A loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra.

Átírás

1 1 A loxodrómáról Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ezen a térképen a szélességi és hosszúsági köröknek egymással párhuzamos, illetve egy - másra merőleges egyenesek felelnek meg. A meridiánokat állandó α szögben metsző pá - lyán hajózva loxodróma / gömbre írt csavarvonal mentén mozgunk, melynek képe a Mercator - térképen egy α hajlásszögű egyenes, a meridiánok ( függőleges ) kép ~ egye - neseihez képest. Nézzük a loxodróma paraméteres egyenletrendszerének levezetését!. ábra forrása: [ ] A. ábrán a szokásos gömbi ( matematikai ) koordináta-rendszert ábrázolták. Az R sugarú gömbfelület egy tetszőleges pontjának derékszögű koordinátái:

2 x = R cos φ cos λ, ( 1 / 1 ) y = R cos φ sin λ, ( 1 / ) z = R sin φ. ( 1 / 3 ) Itt φ a gömbi földrajzi szélesség, λ a gömbi földrajzi hosszúság szögértéke. Ahhoz, hogy a gömbre írt loxodrómát megadhassuk, ismerni kell a φ és a λ szögek közti matematikai összefüggést. Ezt mozgástani úton állítjuk elő v.ö.:[ 3 ]! 3. ábra Az gömb felületén mozgó, pillanatnyilag a P gömbfelületi pontban tartózkodó mozgó pont sebességének komponensei ld. 3. ábra! : v R = dr = 0, v λ = R cos φ dλ, v φ = R. ( ) A P pontbeli érintősíkban a sebességvektor és a meridián által közbezárt α szögre ( ) - vel is írhatjuk, hogy ctgα = m = v φ v λ = R R cos φ dλ = cos φ dλ = 1 cos φ dλ, tehát: ctgα = m = 1 cos φ dλ ; ( 3 ) ( 3 ) - ban a változókat szétválasztva:

3 3 cos φ = m dλ ; ( 4 ) integrálva v. ö.: [ 4 ]! : = ln tg φ + π cos φ 4 + C 1, ( 5 ) m dλ = m λ + C, ( 6 ) így ( 4 ), ( 5 ), ( 6 ) szerint: ln tg φ + π = m λ + c, c = C 4 C 1. ( 7 ) A c integrálási állandót pl. abból a feltételből határozzuk meg, hogy ld. az 1. ábrát is!, az Egyenlítőnél: φ = 0 λ = λ 0 ; ( 8 ) most ( 7 ) és (8 ) - cal: ln tg 0 + π 4 = 0 = m λ 0 + c 0 c 0 = m λ 0 ; ( 9 ) majd ( 7 ) és ( 9 ) - cel: ln tg φ + π 4 = m λ m λ 0 = m λ λ 0, ( 10 ) innen ( 3 ) - mal is: λ = λ 0 + tgα ln tg φ + π 4. ( 11 ) A ( 11 ) összefüggés teremti meg a kapcsolatot a φ és a λ szögek között. Majd ( 1 ) és (11 ) - gyel a ( 8 ) szerinti loxodróma paraméteres egyenletrendszere: x(φ) = R cos φ cos λ 0 + tgα ln tg φ + π 4, ( 1 / 1 ) y(φ) = R cos φ sin λ 0 + tgα ln tg φ + π 4, ( 1 / ) z(φ) = R sin φ. ( 1 / 3 ) Ezzel feladatunkat elvileg megoldottuk. Adatok az ábrázoláshoz: R = 1( m ) ; λ 0 = 0 ( rad ); tgα =. ( A ) Most ( 1 ) és ( A ) - val előállítjuk a loxodróma saját axonometrikus képét 4. ábra.

4 4 4. ábra Ha a gömbre írt csavarvonal átmegy a gömb ( φ 1, λ 1 ) pontján, akkor ( 7 ) - ből: ln + π 4 így ekkor ( 7 ) és (13) - mal: ln tg φ + π 4 ln tg φ + π 4 ezzel: = m λ 1 + c 1 c 1 = ln + π 4 = m λ + ln + π 4 ln + π 4 m λ 1, innen: m λ 1, ( 13 ) = m λ m λ 1 = m λ λ 1 = ctg α λ λ 1, λ λ 1 = tg α ln tg φ + π 4 ln + π 4 = tg α ln tg φ +π 4 +π 4, végül: λ φ = λ 1 + tg α ln tg φ +π 4 +π 4. ( 14 / 1 ) Most térjünk vissza a

5 5 ctgα = m = 1 cos φ dλ dλ tgα = cos φ > 0 ; ( 3 ) egyenlethez! Ebből kiolvasható, hogy ~ ha > 0, akkor λ növekedésével φ is növekszik, így a fenti levezetés szerint: dλ λ λ 1 = +tg α ln tg φ +π 4 +π 4 λ φ = λ 1 + tg α ln tg φ +π 4 +π 4 ; ( 14 / ) ~ ha < 0 dλ dλ val: > 0, akkor λ növekedésével φ csökken, így fentiek kis módosításá - λ λ 1 = tg α ln tg φ +π 4 +π 4 Összefoglalva: λ φ = λ 1 tg α ln tg φ +π 4 +π 4. ( 14 / 3 ) λ φ = λ 1 ± tg α ln tg φ +π 4 +π 4, ( 14 ) ahol ~ a + előjel él, ha a görbe keletre csavarodik, ~ a előjel él, ha a görbe nyugatra csavarodik [ 4 ]. Az 1. ábra középső része mutatja a kétféle csavarodású loxodrómát. Az 5. ábra mutatja a 4. ábrához képest ellenkezőleg csavarodó loxodrómát. Most ( 1 ) és ( 14 ) szerint a gömb ( φ 1, λ 1 ) pontján átmenő loxodróma paraméteres egyenletrendszerének ( 1 ) - nél általánosabb alakja: x φ = R cos φ cos λ 1 ± tg α ln tg φ +π 4 +π 4, ( 15 / 1 ) y φ = R cos φ sin λ 1 ± tg α ln tg φ +π 4 +π 4, ( 15 / ) z φ = R sin φ, π < φ < π. ( 15 / 3 ) Az előző dolgozatunkból vettük át az itteni 6. ábrát, ahol a sötétkék vonal az y(x) = ln tg x + π 4 ( 16 ) inverz Gudermann - függvény képe. Erről leolvasható, hogy π < x < π, vagyis ( 15 / 3 ) szögtartomány - megadása helyes.

6 6 5. ábra 6. ábra

7 7 Megjegyzések: M1. A loxodróma mellett másik fontos gömbi geometriai fogalom az ortodróma. 7. ábra forrása: [ 5 ] Az e mentén való hajózás adja a legrövidebb úthosszat a gömb A és B pontja között. Az út ilyenkor egy gömbi főkör mentén halad. Ebből következik, hogy a loxodróma men - tén hosszabb az út, mint az ortodróma mentén, ha utóbbin nincs akadály pl.: jéghegyek. Kiszámítjuk a loxodróma ívhosszát 3. ábra : v = v φ + v λ ; ds = R + R cos φ dλ ; ds = R + R cos φ dλ ; ds = R 1 + cos φ dλ ds = R 1 + tg α ; ds = R 1 ds = R cos α s ds = R s 1 cos α Ha cos α ; integrálva: φ φ 1 ; φ s φ1 = R ; ( 3 ) - mal is: cos α φ φ 1 ; ( 17 ) φ 1 π, φ + π, ( 18 )

8 8 akkor ( 17 ) és ( 18 ) - cal: φ s φ1 R π π = R π, tehát: cos α cos α s teljes = R π. ( 19 ) cos α A 6. ábra sötétkék görbéjéről az is leolvasható, hogy amíg a φ szög π / - től + π / - ig halad, addig a λ szög - től + - ig tart. Ez azt jelenti, hogy a loxodróma a pólusok körül végtelen sokszor csavarodik 4., 5. ábra. Emiatt is érdekes tény, hogy a végnélküli loxodróma a ( 19 ) szerinti véges hosszúsággal bír [ 4 ]. M. Az ortodrómával ha nem is így neveztük már foglakoztunk egy korábbi dolgoza - tunkban, melynek címe: Érdekes geometriai számítások - 6.: Két földrajzi hely távolságának meghatározása. M3. A gömbi földrajzi szög - koordinátákat fok mértékegységben szokás megadni. Ehhez ( 15 ) - öt átírjuk: x φ = R cos φ cos λ 1 ± 180 π tg tg α ln tg tg α ln φ , ( 0 / 1 ) φ +45 y φ = R cos φ sin λ 1 ± 180 π +45, ( 0/ ) z φ = R sin φ, 90 < φ < 90. ( 0 / 3 ) M4. Az interneten sok szép kép található a loxodrómáról. Ilyen a 8. ábra is. 8. ábra forrása: [ 6 ]

9 9 Források: [ 1 ] [ ] [ 3 ] L. G. Lojcjanszkij ~ A. I. Lurje: Kursz tyeoretyicseszkoj mehanyiki,tom I. Sztatyika i kinyematyika 8. kiadás, Nauka, Moszkva,198. [ 4 ] Szász Pál: A differenciál - és integrálszámítás elemei, I. kötet. kiadás, Közoktatásügyi Kiadóvállalat, Budapest, [ 5 ] [ 6 ] Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula ny. mérnöktanár