Jelölések. GBN304G Alkalmazott kartográfia II. gyakorlat Térképi vetületekkel kapcsolatos feladatok. Unger János. x;y) )?

Átírás

1 GBN304G Alkalmazott kartográfia II. gyakorlat Térképi vetületekkel kapcsolatos feladatok Unger szeged.hu/eghajlattan Jelölések R/m = alapfelületi gömb sugara u = pólustávolság φ = földrajzi szélesség v, λ = földrajzi hosszúság m = méretarányszám M = méretarány az alapfelületen n = sugárhajlás z = az érintő kúp érintési köréhez húzott sugár és az alapfelületi gömb tengelyének hajlásszöge x, y = koordináták a derékszögű koordináta-rendszerben a képfelületen Földtudományi BSc (Geográfus, Földrajz tanár) (2009) 1. Feladat (Ortografikus poláris síkvetület) I. típus: (φ;λ) (x;y A(40ºÉ;70ºK) (?;?), x =?, y =? x;y) )? φ =40ºÉ u =90º φ =50º λ =70ºK v =70º behelyettesítve u-t és v-t a vetületi egyenletekbe x = R/m sinu cosv = 10 sin50º cos70º = 2,62 y = R/m sinu sinv = 10 sin50º sin70º = 7,2 (2,62;7,2) 2. Feladat (Sztereografikus poláris síkvetület) I. típus: (φ;λ) (x;y A(50ºÉ;60ºNy) (?;?), x =?, y =? x;y) )? φ = 50ºÉ u = 90º φ = 40º λ =60ºNy v = -60º behelyettesítve u-t és v-t a vetületi egyenletekbe x =2 R/m tg(u/2) cosv = 20 tg20º cos(-60º) = 3,64 y =2 R/m tg(u/2) sinv = 20 tg20º sin(-60º) = -6,3 (3,64;-6,3) 3. Feladat (Centrális poláris síkvetület) II. típus: ( ;λ), (x; ) ) φ,, y? A(?;40ºK), (8;?) φ =?, y =? u = 90º φ x = R/m tgu cosv y =R/m tgu sinv 3. (folyt.) v = 40º x = 8 behelyettesítve 8 = 10 tgu cos40º tgu = 8/(10 cos40º) tgu = 1,0443 u = 46,24º u = 90º φ φ = 90º u φ = 43,76ºÉ y = R/m tgu sinv = 10 tg46,24º sin40º = 6,71 y = 6,71 1

2 III. típus: (x;y 4. Feladat (Lambert-féle poláris síkvetület) (6;8) A(?;?), φ =?, λ =? x = 2 R/m sin(u/2) cosv y = 2 R/m sin(u/2) sinv x;y) ) (φ;λ)( )? 4. (folyt.) x = 6 y = 8 behelyettesítve x-et és y-t a vetületi egyenletekbe (I) 6 = 20 sin(u/2) cosv (II) 8 = 20 sin(u/2) sinv elosztva az egyik egyenletet a másikkal (II/I): 8/6 = sinv/cosv = tgv = 1,333 v = 53,13º λ = 53,13ºK 4. (folyt.) behelyettesítve v-t a (II) egyenletbe, megkapjuk u-t: 8 = 20 sin(u/2) sin53,13º sin(u/2) = 0,5 u = 60º φ = 30ºÉ IV. típus: torzulás! 5. Feladat (Postel-féle poláris síkvetület) R = 6370 km A(10ºÉ;10ºK) B(60ºÉ;10ºK) B = 7 cm R/m =?, M =? A vetület a meridiánok mentén hossztartó B = AB ív = 7 cm γ = 50º 5. (folyt.) 50º = 50 (π/180) = 0,8726 (rad) AB = (R/m) γ = 7 cm R/m 50º (rad!) = 7 cm R/m = AB/(50º (rad!)) = 8,021 cm R/m = 8,021 cm m = R:R/m R = 6370 km = cm R/m = 8,021 cm m = /8,021= M = 1: V. típus: szakaszhossz kiszámítása a képfelületen 6. Feladat (Meridiánban hossztartó kúpvetület) z = 60º A(0º;40ºK), B(25ºÉ;70ºNy) B (szakasz) =? 2

3 6. (folyt.) x = R/m (tgz+u z) cos(n v) y = R/m (tgz+u z) sin(n v) z = 60º n = cos60º = 0,5 φ A =0º u A =90º λ A =40ºK v A = 40º n = cosz φ B =25ºÉ u B =65º λ B =70ºNy v B = -70º behelyettesítve u A -t, v A -t, u B -t és v B -t a vetületi egyenletekbe: 6. (folyt.) x A =10 (tgz + u A z) cos(n v A ) = = 10 (tg60º + 90º (rad!) 60º (rad!)) cos(0,5 40º) = 21,2 90º = 90 (π/180) = 1,5708 (rad) 60º = 1,0472 (rad) cos20º = 0,9397 x A = 21,2 y A =10 (tgz + u A z) ) sin(n v A ) = = 10 (tg60º + 90º (rad!) 60º (rad!)) sin(0,5 40º) = 7,71 y A = 7,71 6. (folyt.) x B =10 (tgz + u B z) cos(n v B ) = = 10 (tg60º + 65º (rad!) 60º (rad!)) cos(0,5 (-70º)) = 14,9 x B = 14,9 65º = 65 (π/180) = 1,1345 (rad) 60º = 1,0472 (rad) cos(-35º) = 0,8192 y B =10 (tgz + u B z) sin(n v B ) = = 10 (tg60º + 65º (rad!) 60º (rad!)) sin(0,5 (-70º)) = = -10,43 y B = -10,43 6. (folyt.) a szakasz hosszát megadó képlet szerint: B = {(x A x B ) 2 + ( y A y B ) 2 } 1/2 = = {(21,2 14,9) 2 + (7,71 (-10,43)) 2 } 1/2 = 19,207 cm B = 19,207 cm VI. típus: loxodróma 7. Feladat (Mercator-féle hengervetület) loxodróma azimutja =? (α( =?) A(10ºÉ;10ºK), B(40ºÉ;70ºK) Mennyi a loxodróma azimutja A és B között, α =? 7. (folyt.) x A = R/m v A = 10 v A = 10 (10º (rad!)) = 1,745 10º = 0,1745 (rad) x A = 1,745 B x B = R/m v B =10 v B = = 10 (70º (rad!)) = 12,22 70º = 1,222 (rad) x B = 12,22 3

4 7. (folyt.) y A = R/m 2,3 lg(ctg(u A /2)) = 10 2,3 lg(ctg(40º)) = 1,76 u A = 80º y A = 1,76 y B = R/m 2,3 lg(ctg(u B /2)) = 10 2,3 lg(ctg(25º)) = 7,63 u B = 50º y B = 7,63 7. (folyt.) az ábra szerint: tgα =(x B x A )/(y B y A ) = (12,22 1,745)/(7,63 1,76) = = 1,785 B tgα = 1,785 α = 60º43 8. Feladat (Mercator-féle hengervetület) VII. típus A(20ºÉ;20ºK), B(?;80ºK), α = 20º milyen szélességi körön fekszik B, φ B =? 8. (folyt.) x A =R/m v A =10 v A = 10 (20º (rad!)) = 3,49 x A = 3,49 x B = R/m v B =10 v B = 10 (80º (rad!)) = 13,96 x B = 13,96 y A = R/m 2,3 lg(ctg(u A /2)) = 10 2,3 lg(ctg(u A /2)) = = 10 2,3 lg(ctg(35º)) = 3,56 y A = 3,56 8. (folyt.) az ábra szerint: tgα = (x( B x A )/(y B y A ) 9. Feladat (IV. típus) (Négyzetes hengervetület) GYAKORLÁS! tg20º = (13,96 3,49)/(y B 3,56) = 0,364 y B = y B = 32,33 = 10 2,3 lg(ctg(u B /2)) 1,406 = lg(ctg(u B /2)) 25,47 = ctg(u B /2) u B = 4º30 φ B = 85º30 É 32,33 B R = 6370 km A(70ºÉ; 80ºNy) B = 12 cm M = 1: B(?;?) (délebbre!), R/m =? 4

5 9. Feladat (folyt.) m = R : R/m R/m = R : m R/m = : = 34,38 cm R/m = 34,38 cm B = AB = R/m γ (rad!) = 12 cm γ (rad!) = 12 : 34,38 = 0,349 γ = 20º φ B = 50ºÉ B(50ºÉ;80ºNy) 10. Feladat (III. típus) (Sztereografikus poláris síkvetület) (5;7) A(?;?) φ A =? λ A =? x = 2 R/m tg(u/2) cosv y = 2 R/m tg(u/2) sinv GYAKORLÁS! 10. Feladat (folyt.) x = 5, y = 7 Behelyettesítve x-et és y-t a vetületi egyenletekbe (I) 5 = 20 tg(u/2) cosv (II) 7 = 20 tg(u/2) sinv elosztva az egyik egyenletet (II/I) a másikkal: 7/5 = sinv/cosv = tgv = 1,4 v = 54,46º 10. Feladat (folyt.) Behelyettesítve v-t az egyik egyenletbe (I), megkapjuk u-t! 5 = 20 tg(u/2) cos54,46º tg(u/2) = 0,43 u = 46,53º φ = 43,46ºÉ A(43,46ºÉ ; 54,46ºK) λ = 54,46ºK 11. Feladat (I. típus) (Lambert-féle poláris síkvetület) GYAKORLÁS! 11. Feladat (folyt.) A (50ºÉ; 20ºNy) (?;?) x =?, y=? Vetületi egyenletek: x = 2R/m sin(u/2) cosv y = 2R/m sin(u/2) sinv u = 40º v = -20º x = 20 sin20º cos(-20º) = 6,43 y = 20 sin20º sin(-20º) = -2,34 (6,43;-2,34) 5

6 12. Feladat (II. típus) (Centrális poláris síkvetület) R/m = 5 cm, A(?; 30ºK), (6;?) φ =?, y =? v = 30º, x = 6 u = 90º - φ GYAKORLÁS x = R/m tgu cosv y = R/m tgu sinv 12. Feladat (folyt.) 6 = 5 tgu cos30º tgu =6/(5 cos30º) tgu = 1,386 u = 54,19º u = 90º - φ φ= 90º -u φ = 35,81ºÉ y = R/m tgu sinv = 5 tg 54,19º sin 30º = 3,465 y = 3, Feladat (VI. típus) GYAKORLÁS! (Mercator-féle hengervetület) R/m = 9 cm A(20ºÉ;20ºNy) B(40ºÉ;35º K) Mennyi a loxodróma azimutja A és B között, α =? u A =90º-φ A = 90º - 20º = 70º u A /2 =35º u B =90º-φ B = 90º - 40º = 50º u B /2 =25º 13. Feladat (folyt.) x A =R/m v A =9 v A = 9 (-20º (rad!)) = -3,14 x B = R/m v B = 9 v B = 9 (35º (rad!)) = 5,498 y A = R/m 2,3 lg(ctg(u A /2)) = = 9 2,3 lg(ctg(35 )) = 3,203 y B = R/m 2,3 lg(ctg(u B /2)) = = 9 2,3 lg(ctg(25º)) = 6,856 az ábra szerint: 13. Feladat (folyt.) tgα =(x B x A )/(y B y A ) = = (5,498 (-3,14))/(6,856 3,203) = = 8,638/3,653 = 2,365 B tgα = 2,365 α = 67º04 6