BSc szakdogozat. Természettudományi Kar Matematika BSc szak június 3.

Átírás

1 EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM Biszak Előd Tamás Digitalizált térképek 3-dimenziós ábrázolása Témavezető: Dr. Csikós Balázs BSc szakdogozat Természettudományi Kar Matematika BSc szak június 3.

2 Kivonat A szakdolgozatban digitalizált térképek 3-dimenziós ábrázolásának elméleti kérdéseivel foglalkoztam. Ha egy adott térképet 3-dimenzióban, domborzattal együtt szeretnénk megjeleníteni, az első fontos feladat, hogy ismerjük a térkép milyen módon, milyen eljárással lett levetítve a földgömbről. Ezen információk alapján meg kell tudnunk állapítani a térkép tetszőleges pontjának földrajzi koordinátái, az adott ponton a tengerszint feletti magasságot. Ezért az első fejezet a térképészeti vetületekkel, tulajdonságaikkal, vetületi átszámításokkal foglalkozik. A második fejezetben a program egy rövid leírása történik, amelyben működése matematikai hátterét ismerhetjük meg, valamint néhány monitorkép is bemutatásra kerül az eredmények szemléltetése végett.

3 Tartalomjegyzék Kivonat i Ábrák jegyzéke iii 1. Térképészeti vetületek Hiperfelületekről általánosan dimenziós felületekről Ívhossz Szög Terület A gömb vetületei Kúpvetületek Azimutális vetületek Hengervetületek A forgási ellipszoidról Az alkalmazásról Működés Egy pixel útja Mozgás Monitorképek Irodalomjegyzék 37 ii

4 Ábrák jegyzéke 1.1. Kúpvetületek Körcikk poláris és Descartes-féle koordinátái közötti összefüggés Perspektív vetítés gömbről síkra Azimutális vetületek vetületi egyenletei A gnomikus vetület Az ortografikus vetület A sztereografikus projekció Területtartó azimutális vetület Meridiánokon hossztartó azimutális vetület A területtartó hengervetület Cassini-vetület vetületi egyenletei Rodrigues-formula adott v R 3 vektor egyenes körüli elforgatottjára Kárpátok a Második katonai felmérésen Dunakanyar a Második katonai felmérésen I Dunakanyar a Második katonai felmérésen II Dunakanyar a Harmadik katonai felmérésen Dunakanyar a Második katonai felmérésen III Dunakanyar a Második katonai felmérésen IV Budapest és környéke a Második katonai felmérésen Balaton a Harmadik katonai felmérésen Balaton a Második katonai felmérésen iii

5 1. fejezet Térképészeti vetületek Mivel a Föld szabálytalan idom, először olyan idommal kell helyettesítenünk, amely alakját és méreteit tekintve jól közelíti a Föld felszínét, de matematikaiag jól kezelhető. Ez az úgynevezett alapfelület. Alapfelületnek forgási ellipszoidot vagy gömböt szoktunk választani. Ha adott egy térkép ( jelölés: Ω ), legyen f : Ω M leképezés, amelyben M jelöli az alapfelületet, egy p Ω pont képe, azon p M, amit ábrázol. Ekkor ezen f függvény az alapfelület, vagy egy részének egy paraméterezését adja. Ha két térképünk van ( jelölés: Ω 1, Ω 2 ), amelyek adott alapfelület ugyanazon részét ábrázolják, és adott p Ω 1 pont Ω 2 beli koordinátáját szeretnénk megtudni, akkor ehhez egy adott felület két paraméterezése közötti átmeneti leképezést kell ismernünk. Tehát térképészeti vetület alatt az adott alapfelület paraméterezéseit ( térképeit ) fogjuk érteni, azon megkötéssel, hogy ez folytonosan differenciálható legyen Hiperfelületekről általánosan 1. Definíció. Egy R n -beli C m -osztályú paraméterezett hiperfelület egy Ω R n 1 nyílt tartományból R n -be menő r : Ω R n C m -osztályú leképezés. Ω lefedhető a koordinátatengelyekkel párhuzamos egyenesekkel, melyek természetes módon paraméterezhetők egy t u 0 +te i leképezéssel, ahol u 0 Ω, e i = (0,..., 0, 1, 0,... 0). A t r(u 0 + te i ) görbék az r paraméterezés paramétervonalai. A paramétervonalak 1

6 1. fejezet Térképészeti vetületek 2 sebességvektora t = 0-ban: d dt r(u 0 + te i ) t=0 = i r(u 0 ) =: r i (u 0 ). Tehát r 1 (u 0 ),..., r n 1 (u 0 ) az r(u 0 )-ot átmenő paramétervonalak sebességvektorai. 2. Definíció. r reguláris paraméterezés, ha legalább C 1 -osztályú és a parciális deriváltak lineárisan függetlenek u 0 Ω esetén. Ezentúl feltesszük, hogy a paraméterezés injektív és reguláris. Legyen M az r leképezés értékkészlete. Ha feltesszük, hogy a paraméterezés injektív akkor tetszőleges p = r(u 0 ) ponton t = 0 időpillanatban áthaladó M-beli γ görbe paraméterezhető r u alakban, ahol u : [a, b] Ω, sima paraméterezett görbe, 0 [a, b], u(0) = u 0. Ekkor ezen görbe sebbeségvektora a t = 0 időpillanatban n 1 γ (0) = r i (u 0 ) u i (0), (1.1) i=1 ahol u i az u i-edik koordinátafüggvényét jelöli. Tehát a parciális deriváltak egy lineáris kombinációja, valamint tetszőleges lineáris kombinációjuk megadja egy p-n átmenő görbe p-beli sebességvektorát. beli érintőtere. T p M jel = {r 1 (u 0 ),..., r n 1 (u 0 ) lineáris kombinációi } = M p- 3. Definíció. Az r paraméterezett hiperfelület N egységnormális mezője az az N : Ω R n leképezés, melyre: N(u 0 ) merőleges r i (u 0 )-ra i = 1... n 1 N(u 0 ) = 1 r 1 (u 0 ),..., r n 1 (u 0 ), N(u 0 ) pozitív irányításúak. Az N vektormezőt n = 3 esetén a következő képpen számolhatjuk ki: N = r 1 r 2 r 1 r 2 4. Definíció. A hiperfelület első alapformája a p = r(u 0 ) pontban az a I p : T p M T p M R

7 1. fejezet Térképészeti vetületek 3 leképezés, melyre I p (v, w) = v, w, ahol.,. a szokásos skaláris szorzatot jelöli. 5. Definíció. A hiperfelület második alapformája a p = r(u 0 ) pontban az a II p : T p M T p M R leképezés, melyre II p (v, w) = n 1 i,j=1 r ij (u 0 ), N(u 0 ) v i w j, ahol a v i és w i számok a v és w vektorok koordinátái az r 1 (u 0 ),..., r n 1 bázisban. Ezen bilineáris függvényekhez tartozó mátrixokat a r 1 (u 0 ),..., r n (u 0 ) bázisban jelöljük G(u 0 )-val, illetve B(u 0 )-val. Ekkor: G(u 0 ) = r 1 (u 0 ), r 1 (u 0 )... r 1 (u 0 ), r n 1 (u 0 )..... r n 1 (u 0 ), r 1 (u 0 )... r n 1 (u 0 ), r n 1 (u 0 ) B(u 0 ) = r 1,1 (u 0 ), N(u 0 )... r 1,n 1 (u 0 ), N(u 0 )..... r n 1,1 (u 0 ), N(u 0 )... r n 1,n 1 (u 0 ), N(u 0 ) dimenziós felületekről Az előző részben szereplő G = {g ij } n 1 i,j=1 távolságokról, területekről, szögekről. mátrix mindent elárul az adott felületen A fenti jelölésekkel legyen γ = r u egy felületen futó görbe. Ekkor I p (γ (t), γ (t)) = γ (t), γ (t) =

8 1. fejezet Térképészeti vetületek 4 r 1 (u(t))u 1 (t) + r2 (u(t))u 2 (t), r1 (u(t))u 1 (t) + r2 (u(t))u 2 (t) = g 11 (t)(u 1 (t)) 2 + 2g 12 (t)u 1 (t)u 2 (t) + g22 (t)(u 2 )(t) 2, ahol g ij (t) az r(u(t)) ponthoz tartozó fent definiált G(u(t)) mátrix megfelelő eleme Ívhossz Legyen γ felületen futó görbe. Jelölje l(γ) az ívhosszt. Ekkor a fenti jelölésekkel: l(γ) = = a b b a γ (t) dt = b a γ (t), γ (t) dt g 11 (t)(u 1 (t)) 2 + 2g 12 (t)u 1 (t)u 2 (t) + g 22 (t)(u 2 (t)) 2 A képletből azonnal látszik, hogy ha G(t) = I, t [a, b], akkor az adott görbe hossztartó módon parametrizálódik, illetve, ha G(t) = λi, λ R, akkor λ arányú nyújtás történik. Ha feltesszük, hogy u C 1, akkor könnyen látható, hogy a γ = r u paraméterezés akkor és csak akkor hossztartó, ha f 1 (t) jel = g 11 (t)(u 1 (t)) 2 + 2g 12 (t)u 1 (t)u 2 (t) + g 22 (t)(u 2 (t)) 2 (u 1 (t)) 2 + (u 2 (t)) 2 = f 2 (t) jel = t [a, b]. Ha ugyanis lenne egy olyan t 1 [a, b], melyre ez nem teljesülne, például f 1 (t 1 ) > f 2 (t 1 ) lenne, akkor annak egy elég kis U környezetére létezne olyan ɛ > 0, melyre igaz, hogy f 1 (t) > f 2 (t) + ɛ t U-ra. Ekkor viszont ezen az U [a, b]-n nem lehetne egyenlő a két integrál. Tehát a hossztartóság szükséges és elégséges feltétele, hogy (g 11 (t) 1)(u 1 (t)) 2 + 2g 12 (t)u 1 (t)u 2 (t) + (g22 (t) 1)(u 2 (t)) 2 = 0 t [a, b] (1.2) teljesüljön. Legyen most r : Ω R 3, s : Ω R 3 két paraméterezett felület G r = {g ij } 3 i,j=1, illetve G s = {h ij } 3 i,j=1 első alapforma mátrixokkal, M r, illetve M s értékkészletekkel. Legyen γ = r u, u : [a, b] Ω az M r, illetve ˆγ = s u az M s felületen futó görbe. Világos,

9 1. fejezet Térképészeti vetületek 5 hogy annak a szükséges és elégséges feltétele, hogy tetszőleges [a, b ] [a, b]-re a γ [a,b ] és ˆγ [a,b ] hosszaik megegyezzenek: f 1 (t) jel = g 11 (t)(u 1 (t)) 2 + 2g 12 (t)u 1 (t)u 2 (t) + g 22 (t)(u 2 (t)) 2 (h 11 (t)(u 1 (t)) 2 + 2h 12 (t)u 1 (t)u 2 (t) + h 22 (t)(u 2 (t)) 2 = f 2 (t) jel = t [a, b]-re azaz, hogy (g 11 (t) h 11 (t))(u 1 (t)) 2 + 2(g 12 (t) h 12 (t))u 1 (t)u 2 (t) + (g22 (t) h 22 (t))(u 2 (t)) 2 = 0 (1.3) t [a, b]-re. Ha ugyanis lenne egy olyan t 1 [a, b], melyre ez nem teljesülne, például f 1 (t 1 ) > f 2 (t 1 ) lenne, akkor annak egy elég kis U környezetére létezne olyan ɛ > 0, melyre igaz, hogy f 1 (t) > f 2 (t) + ɛ t U-ra. Ekkor viszont ezen az U [a, b]-n nem lehetne egyenlő a két integrál Szög 6. Definíció. Ha γ, φ két felületen futó, t 0 időpillanatban metsző, a t 0 pontban regulárian paraméterezett görbe, akkor az általuk bezárt α szögön a γ (t 0 ) és φ (t 0 ) vektorok által bezárt α szöget értjük. Ekkor cos α = γ (t 0 ), φ (t 0 ) γ (t 0 ) φ (t 0 ). Azonnal látszik, hogy pontosan akkor szögtartó egy pontban a paraméterezés, ha G = λi, mivel γ = r u, φ = r v-ből γ (t 0 ), φ (t 0 ) γ (t 0 ) φ (t 0 ) = g 11 u 1 v 1 + 2g12 u 1 v 2 + g22 u 2 v 2, g 11 (u 1 ) 2 + 2g 12 u 1 u 2 + g 22 (u 2 ) g 2 11 (v 1 ) 2 + 2g 12 v 1 v 2 + g 22 (v 2 ) 2 ahonnan G = λi-ből. λu 1 v 1 + λu 2 v 2 λ(u = u1 v1 + u2 v2. 1 ) 2 + λ(u 2 ) 2 λv λv 2 2 (u 1 ) 2 + (u 2 ) (v 2 1 ) 2 + (v 2 ) 2

10 1. fejezet Térképészeti vetületek 6 Illetve ellenkező esetben, ha g 12 nem nulla akkor r 1, r 2, ha g 11 g 22, akkor r 1, r 1 + r 2 triviális ellenpélda. 1. Állítás. Legyen r : Ω R3, s : Ω R 3 két paraméterezett felület G r = {g ij } 3 i,j=1, illetve G s = {h ij } 3 i,j=1 első alapforma mátrixokkal. Legyenek γ = r u, φ = r v az első felületen futó, r(u 0 ) pontban metsző regulárisan paraméterezett görbék. Legyen továbbá ˆγ = s u, ˆφ = s v a γ és φ által az s felületen meghatározott görbék. Ekkor a ˆγ és ˆφ által bezárt szög akkor, és csak akkor egyezik meg a γ és φ által bezárttal tetszőleges γ és φ esetén, ha G r = λg s, valamilyen λ : Ω R-re. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy G r = λg s, valamilyen λ : Ω R-re. Ekkor λ 0 = λ(u 0 ) jelöléssel γ (t 0 ), φ (t 0 ) γ (t 0 ) φ (t 0 ) = g 11 u 1 v 1 + 2g12 u 1 v 2 + g22 u 2 v 2 g 11 (u 1 ) 2 + 2g 12 u 1 u 2 + g 22 (u 2 ) 2 g 11 (v 1 ) 2 + 2g 12 v 1 v 2 + g 22 (v 2 ) 2 ( ) λ 0 h 11 u 1 v 1 + 2h12 u 1 v 2 + h22 u 2 v 2 = ( ) λ 0 h 11 (u 1 ) 2 + 2h 12 u 1 u 2 + h 22 (u 2 ) 2 h 11 (v 1 ) 2 + 2h 12 v 1 v 2 + h 22 (v 2 ) 2 = ˆγ (t 0 ), ˆφ (t 0 ) ˆγ (t 0 ) ˆφ (t 0 ) Ellenkező esetben tekintsük az r 1, r 2, illetve a nekik megfelelő s 1, s 2 bezárt szögei közötti összefüggést: r 1, r 2 r1, r 1 r 2, r 2 = g 12 g11 g22 = λ 1 h 12 λ2 h 11 λ3 g 22, ami a λ 1 = λ 2 λ 3 esettől eltekintve ellenpélda. Ha λ 1 = λ 2 λ 3 r 1, illetve r 1 + r 2 és s 1, s 1 + s 2 bezárt szögei különböznek Terület Legyen R M kompakt lezárású nyílt, jelölje A(R) R felszínét. Ekkor D = r 1 (R) jelöléssel: A(R) = D r 1 (u, v) r 2 (u, v) d(u, v)

11 1. fejezet Térképészeti vetületek 7 Az integrandus négyzete, szemelőtt tartva a sin 2 φ + cos 2 φ = 1 összefüggést, melyből ( ) r1 r r 1 r 2 ( ) r1, r 2 2 = 1 r 1 r 2 a következővel egyenlő: r 1 r 2 2 = r 1 2 r 2 2 r 1, r 2 2 = g 11 g 22 g 12 g 21 = det G. Ebből azonnal látszik, hogy a területtartás elégséges feltétele, hogy det G(u, v) = 1 (u, v) Ω legyen. A szükségesség az (u, v) det G(u, v) függvény folytonosságából következik. Ha van egy olyan p = (u 0, v 0 ) pont, melyre például det G(u 0, v 0 ) > 1, akkor annak van egy kis U p környezete, ahol det G > 1 + ɛ valamely elég kicsi ɛ > 0-ra. Tehát det G(u, v)d(u, v) > (1 + ɛ) A(Up ) > A(U p ). U p 2. Állítás. Legyen r : Ω R3, s : Ω R 3 két paraméterezett felület G r = {g ij } 3 i,j=1, illetve G s = {h ij } 3 i,j=1 első alapforma mátrixokkal, valamint M r, illetve M s értékkészletekkel. Ekkor A(R) = A ( s ( r 1 (R) )) R M r kompakt lezárású nyílt det G r (p) = det G s (p) p Ω Bizonyítás. Tegyük fel, hogy det G r (p) = det G r (p) u Ω. Legyen R M r tetszőleges kompakt lezárású nyílt halmaz. D jel = r 1 (R). Ekkor A(R) = D det Gr (u, v)d(u, v) = D det Gs (u, v)d(u, v) = A(s(D)). Ha létezik p 1 Ω, amelyre például det G r (p 1 ) > det G s (p 1 ), akkor a det függvény folytonossága miatt létezik ɛ > 0 és p 1 -nak kis U környezete, melyre

12 1. fejezet Térképészeti vetületek 8 det G r (p) > det G s (p) + ɛ p U, melyből A(U) = r 1 (U) det Gr (u, v)d(u, v) > det Gs (u, v)d(u, v) = A(s(r 1 (U))) r 1 (U) 1.3. A gömb vetületei Ebben a részben az M alapfelületnek az R sugarú gömböt választjuk. Vetületen tehát egy legalább C 1 osztályú paraméterezést értünk valamely Ω R 2 paramétertartománnyal. A gömb standard paraméterezése azon r : [ π, π] ( π 2, π 2 ) R3 leképezést értjük, mely a (λ, ϕ) ponthoz az (R sin λ cos ϕ, R sin ϕ, R cos λ cos ϕ) pontot rendeli. Egy adott vetület vetületi egyenletén azon f : [ π, π] ( π 2, π 2 ) R2 függvényt értjük, mely egy adott p M pont (ϕ, λ) standard koordinátáihoz az adott vetületbeli koordinátáit rendeli. Északi póluson a r(0, π 2 ), déli póluson az r(0, π 2 ) pontot értjük. Paralelkörök, illetve meridiánok alatt a standard paraméterezés első, illetve második változó szerinti paramétervonalait értjük. Kezdőmeridiánon, illetve egyenlítőn a [0, 2π] t r(0, π 2 + t 2 ), illetve a [0, 2π] t r( π + t) görbéket értjük Kúpvetületek Egy vetületet akkor nevezünk kúpvetületnek, ha a paramétertartomány egy körcikk és létezik egy P pont a gömbön, melyre a P -n átmenő főkörök képei egy O középpontú sugársorhoz tartoznak;

13 1. fejezet Térképészeti vetületek ábra. Kúpvetületek. az OP egyenesre merőleges síkok által kimetszett körök képei O középpontú koncentrikus körök ívei. Minden kör úgy képződik a neki megfelelő körívre, hogy azonos hosszú körívek képei is azonos hosszúak. Az egyszerűség kedvéért most normális elhelyezésű kúpvetületekkel fogunk foglalkozni, amikor is ez a P pont az északi pólus. Ekkor persze a sugársort a meridiánképek alkotják, a koncentrikus köröket pedig a paralelkörök képei. A p 0 sugarú Ω körcikket természetes módon paraméterezhetjük poláris koordinátákkal, úgy hogy egy A Ω pont (p, γ) koordinátái az egyik r 0 kezdősugárral bezárt szög, valamint a középponttól való távolság. Ekkor az 1.2. ábrán látható módon elhelyezett körcikk egy A (p, γ) koordinátájú pontjának koordinátái az ábrán berajzolt derékszögű koordináta-rendszerben: x = p sin γ, y = p 0 p cos γ.

14 1. fejezet Térképészeti vetületek ábra. Körcikk poláris és Descartes-féle koordinátái közötti összefüggés. Kúpvetületekhez tartozó paraméterezés, a szög-, illetve területtartóság feltétele Legyen A Ω az (α, r) polár-koordinátájú pont. Jelölje f : r [ π 2, π 2 ] azt a leképezést, amely az r-hez azt a szöget rendeli, amelyhez tartozó paralelkör képe az O körüli r sugarú körív. Tegyük fel, hogy α a kezdőmeridián képével bezárt szög. Ekkor az α szögű pontokhoz tartozó meridián, ha a körcikk szöge α 0, 2π α 0 α =: cα, és R-et 1-nek választjuk, p(r, α) def = r(cα, f(r)) = (sin cα cos f(r), sin f(r), cos cα cos f(r)). Ebből tetszőleges normális elhelyezésű kúpvetülethez tartozó paraméterezés:

15 1. fejezet Térképészeti vetületek 11 s(x, y) = ( ) y sin c arcsin cos f( y 2 + (x p 0 ) 2 ) y 2 +(x p 0 ) 2 sin f( y 2 + (x p 0 ) 2 ) ( ) y cos c arcsin cos f( y 2 + (x p 0 ) 2 ) y 2 +(x p 0 ) 2 T Ebből P (r, α) def = p 1(r, α) p 2 (r, α) sin cα sin f(r)f (r) cos f(r)f (r) cos cα sin f(r)f (r) c cos cα cos f(r) 0 c sin cα cos f(r)) Ekkor a p paraméterezés Ĝ első alapforma mátrixa az (r, α) pontban: Ĝ(r, α) = (f (r)) c 2 cos 2 f(r) Legyen q : R + [ π, π] R 3 a sík poláris koordinátázása, azaz q(r, α) = (r sin α, r cos α, 0). Ekkor q 1 (r, α) = (sin α, cos α, 0), q 2 (r, α) = (r cos α, r sin α, 0), q 1, q 1 = 1, q 2, q 2 = r 2, q 1, q 2 = 0, ahonnan G p (r, α) = r 2. (1.4) Innen a 1. állítás alapján a vetület pontosan akkor szögtartó, ha Ĝ(r, α) = (f (r)) c 2 cos 2 f(r) = λ(r) r 2,

16 1. fejezet Térképészeti vetületek 12 valamilyen λ : R R függvényre, azaz c 2 cos 2 f(r) = (f (r)) 2 r 2, vagyis ha kielégíti a következő differenciálegyenletet: f cos f(r) (r) = ±c r (1.5) Mivel det G p (r, α) = r, a területtartóság feltétele a 2. állítás alapján, hogy f kielégítse a következő differenciál egyenlletet: cf (r) cos f(r) = r. (1.6) Példa szögtartó kúpvetületre Szögtartó kúpvetület azon x = p sin[n(λ λ 0 )], y = p 0 p cos[n(λ λ 0 )] vetületi egyenletekkel megadott vetület, melyben n = lg(cos ϕ 1 sec ϕ 2 ) lg [ tan( 1 4 π ϕ 2) cot( 1 4 π ϕ 1) ], p = F tan n ( 1 4 π ϕ), p 0 = F tan n ( 1 4 π ϕ 0), F = cos ϕ 1 tan n ( 1 4 π ϕ 1), n ahol ϕ, λ a standard koordináták, ϕ 1, ϕ 2 adott paralelkör, λ 0, ϕ 0 adott meridiánhoz, illetve paralelkörhöz tartozó szögértékek. 3. Állítás. Ez a vetület tényleg szögtartó.

17 1. fejezet Térképészeti vetületek 13 Bizonyítás. A fenti jelölésekkel c = 1 n, ( n r f(r) = 2 arctan F ) π 2, f (r) = ( r F ) 2 n 1 ( r ) 1 n 1 1 n F F = 2 ( rn ( r F ) 1 n 1 + ( r F ) 2 ). n Ahonnan a cos(t) = 1 tan2 ( 1 2 t) 1 + tan 2 ( 1 2 t) képletből: továbbá cos f(r) c r tovább alakítva = 1 1 tan 2 ( 1 2 f(r)) ( ( n r ( 1 + tan ( 1 tan2 arctan n r ) ) F + π = 2f(r))) nr ( 1 + tan ( 2 arctan ( ) )) n r F + π, 4 ( tan (arctan 2 n r F ) + π ) ( ( ( tan arctan n r )) F + tan π 4 = 4 1 tan ( arctan ( )) n r F tan π 4 ( n r F = + 1 ) 2 ( r ) 2 n F + 2 ( r F = 1 n r F ( r F ) 2 n 2 ( r F ) 1 ) 2, n + 1 ) 1 n ( r F ) 2n +2( r F ) 1n +1 ( r F ) 2n 2( r F ) 1n +1 ( ) = nr 1 + ( r F ) 2n +2( r F ) 1n +1 ( r F ) 2n 2( r F ) 1n +1 ) 1 n 4 ( r F ( nr 2 ( ) 2 ) = r n F + 2 ) 1 n F ) 2 2 ( r ( ( ) = f (r). nr r n F Azimutális vetületek Egy vetületet akkor nevezünk azimutálisnak, ha létezik egy p M pont, amelyre: a p-n átmenő főkörök vetített képei sugársort alkotnak, melynek tartópontja a pont p képe.

18 1. fejezet Térképészeti vetületek 14 ezen főkörök bezárt szögei megegyeznek a képeik által bezárt szögekkel a p-hez tartozó átmérőre merőleges síkok által a gömbből kimetszett körök képei koncentrikus körök p középponttal. Ezen p pontot nevezzük a vetületi kezdőpontnak. Perspektív síkvetületek Perspektív síkvetületnek azon azimutális vetületeket nevezzük, amikor egy adott p ponton áthaladó átmérőn adott Q pontból egy adott, az átmérőre merőleges s síkra vetítjük a gömb pontjait. Ezt a p pontot nevezzük vetületi kezdőpontnak, a Q pontot vetítési középpontnak, az s síkot képfelületnek nevezzük. Ha a vetületi kezdőpont az egyik pólus, akkor normális, ha az egyenlítő síkjában fekszik, akkor transzverzális vetületről beszélünk. Ha pedig egyéb helyzetben van akkor ferdetengelyű vetületnek hívjuk. Vezessük le a perspektív síkvetületekhez tartozó vetületi egyenleteket. Az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy a K középpont a kezdőmeridiánon fekszik. Legyen a K (ϕ 0, λ 0 ) standard koordinátájú pont a vetületi kezdőpont, Q a vetítési középpont D távolságra a gömb közzéppontjától. Az s sík f előjeles távolságra helyezkedjen K-tól, ahol a pozitív irány a Q irányával ellentétes. Rajta vegyük fel a pozitív irányítású derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy K képe legyen az origó, az x tengely legyen a KP főkör képe, ahol P az északi pólust jelöli. Legyen A egy tetszőleges (λ, ϕ) koordinátájú vetíteni kívánt pont. Ekkor a P KA gömbháromszög oldalai: P K = π 2 ϕ 0 =: β 0, P A = π 2 ϕ =: β, KA =: β. Legyen F az a pont, amit úgy kapunk, hogy A-ból merőlegest bocsátunk a QK egyenesre. Ekkor: tehát KA F A = QK QF, KA = F A QK, QF

19 1. fejezet Térképészeti vetületek ábra. Perspektív vetítés gömbről síkra. F A = R sin β, QF = D + R cos β, QK = D + R + f, amiből p := AK R sin β = (D + R + f) D + R cos β. A P KA gömbháromszögre a gömbi koszinusz-, illetve szinusztételből sin α sin β = sin λ sin β, cos β = cos β 0 cos β + sin β 0 sin β cos λ, valamint érvényes rá a következő összefüggés: cos α sin β = sin β 0 cos β cos β 0 sin β cos λ, Bizonyítás. A koszinusztétel alapján cos λ = cos β cos β cos β 0 sin ββ 0, cos α = cos β cos β cos β 0 sin β β 0

20 1. fejezet Térképészeti vetületek 16. Ezeket a képletbe helyettesítve: cos β cos β cos β 0 β 0 = sin β 0 sin β cos β 0(cos β cos β cos β 0 ) sin β 0 cos β cos β cos β 0 = sin 2 β 0 cos β cos β 0 cos β + cos 2 β 0 cos β cos β cos β cos β 0 = cos β cos β cos β 0. Ezeket helyettesítjük a képletbe, valamint vegyük figyelembe, hogy azimutális vetület lévén KA x-tengellyel bezárt szöge α. Ekkor tehát a perspektív vetületek általános képlete: x = p R(sinβ 0 cos β cos β 0 sin β cos λ) cos α = (D + R + f) D + R(cos β 0 cos β + sin β 0 sin β cos λ) y = p Rsinβ sin λ sin α = (D + R + f) D + R(cos β 0 cos β + sin β 0 sin β cos λ) Tehát a vetületi egyenletek: R(cos ϕ 0 sin ϕ sin ϕ 0 cos ϕ cos λ) x = (D + R + f) D + R(sin ϕ 0 sin ϕ + cos ϕ 0 cos ϕ cos λ) R cos ϕ sin λ) y = (D + R + f) D + R(sin ϕ 0 sin ϕ + cos ϕ 0 cos ϕ cos λ) (1.7) Ezen képletekből tehát ϕ 0 = π 2 helyettesítéssel a normális, ϕ 0 = 0 helyettesítéssel a transzverzális, f = 0 helyettesítéssel pedig az érintően elhelyezett síkra vonatkozó perspektív síkvetület egyenleteit kapjuk.

21 1. fejezet Térképészeti vetületek ábra. Azimutális vetületek vetületi egyenletei. Azimutális vetületek általános vetületi egyenletei Legyen K (λ 0, ϕ 0 ) standard koordinátájú pont a vetítési kezdőpont. A tetszőleges (λ, ϕ) koordinátájú pont. Jelölje P az északi pólust. Ekkor az AKP gömbháromszögre a gömbi koszinusz-, illetve szinusztételt alkalmazva: cos AK = sin ϕ sin ϕ 0 + cos ϕ cos ϕ 0 cos λ, sin α = cos ϕ 1 (sin ϕ sin ϕ 0 + cos ϕ cos ϕ 0 cos λ) 2. sin λ ahhonnan a síkbeli vetület polárkoordinátáit megkaphatjuk: r = f 1 (arccos(sin ϕ sin ϕ 0 + cos ϕ cos ϕ 0 cos λ)) ( cos ϕ ) 1 (sin ϕ sin ϕ 0 + cos ϕ cos ϕ 0 cos λ) α = arcsin 2 sin λ (1.8)

22 1. fejezet Térképészeti vetületek 18 Néhány nevezetes perspektív síkvetület A gnomikus vetület szerkesztését Thalesnek tulajdonítjuk. A vetület síkja érint a p pontban, a vetítési középpontja a gömb középpontja, azaz D = 0, tehát az benne van minden főkör síkjában, tehát minden főkör képe egyenes, ami azt jelenti, hogy a vetületen két pontot összekötve a két pontot összekötő főkört kapjuk, ezért jelentősége van a tengerészetben és a hosszútávú repülésben. A gnomikus vetület vetületi egyenletei 1.5. ábra. A gnomikus vetület. a (1.7) egyenletbe D = 0, f = 0 helyettesítéssel: x = R cos ϕ 0 sin ϕ sin ϕ 0 cos ϕ cos λ sin ϕ 0 sin ϕ + cos ϕ 0 cos ϕ cos λ, cos ϕ sin λ y = R sin ϕ 0 sin ϕ + cos ϕ 0 cos ϕ cos λ. Az ortografikus vetület esetén a Q vetítési középpont a végtelenben van, vagyis tulajdonképpen merőleges vetítés történik. Az ortografikus vetület egyenletetei a (1.8)

23 1. fejezet Térképészeti vetületek ábra. Az ortografikus vetület. egyenletbe f 1 = cos függvényt helyettesítve: r = sin ϕ sin ϕ 0 + cos ϕ cos ϕ 0 cos λ, ( cos ϕ ) 1 (sin ϕ sin ϕ 0 + cos ϕ cos ϕ 0 cos λ) α = arcsin 2. sin λ Azimuitális vetületekhez tartozó paraméterezés, a szögtartóság, területtartóság feltétele Legyen K a (λ 0, ϕ 0 ) standard koordinátájú pont a vetületi kezdőpont. Azimutális vetületnél tetszőleges p (r, α) poláris koordinátájú pont ősképét úgy kapjuk meg, hogy azon főkörön, mely merőleges K meridiánjára és átmegy K-n felmérünk egy bizonyos távolságot, mely csak r-től függ. Tehát a paraméterezést előállíthatjuk a következő

24 1. fejezet Térképészeti vetületek 20 alakban (f(r) jelzi ezen távolsághoz tartozó szög nagyságát): cos λ 0 0 sin λ cos α sin α cos ϕ 0 sin ϕ 0 sin α cos α 0 0 cos f(r) sin f(r) sin λ 0 0 cos λ 0 0 sin ϕ 0 cos ϕ sin f(r) cos f(r) cos λ 0 0 sin λ 0 sin λ 0 cos λ 0 0 cos f(r) sin f(r) 0 cos ϕ 0 sin ϕ sin ϕ 0 0 sin f(r) cos f(r) 0 sin ϕ 0 cos ϕ 0 sin λ 0 0 cos λ 0 cos λ 0 cos ϕ 0 ami tovább egyenlő: cos λ 0 0 sin λ sin λ 0 0 cos λ cos ϕ 0 sin ϕ 0 0 sin ϕ 0 cos ϕ 0 cos α sin α 0 sin α cos α Végeredményben tetszőleges azimutális vetülethez tartozó p paraméterezés, ha a síkon poláris koordináta-rendszert veszünk fel: p(r, α) = cos λ 0 sin f(r) sin α + cos f(r) cos ϕ 0 sin λ 0 sin ϕ 0 sin f(r) cos α sin λ 0 sin f(r) cos α cos ϕ 0 + sin ϕ 0 cos f(r) sin λ 0 sin f(r) sin α + cos λ 0 cos f(r) cos ϕ 0 sin ϕ 0 sin f(r) cos α cos λ 0 T Ahonnan a sík Descartes-féle koordinátáival, r = x 2 + y 2, α = arccos y x 2 +y 2. s(x, y) = cos λ 0 sin f( x 2 + y 2 ) sin α + cos f( x 2 + y 2 ) cos ϕ 0 sin λ 0 sin ϕ 0 sin f( x 2 + y 2 ) cos α sin λ 0 sin f( x 2 + y 2 ) cos α cos ϕ 0 + sin ϕ 0 cos f( x 2 + y 2 ) sin λ 0 sin f( x 2 + y 2 ) sin α + cos λ 0 cos f( x 2 + y 2 ) cos ϕ 0 sin ϕ 0 sin f( x 2 + y 2 ) cos α cos λ 0 T A szögtartóság, illetve területtartóság feltételének bizonyításához tegyük fel, hogy K a (0, 0, 1)koordinátájú pont. Tehát λ 0 = 0 és ϕ 0 = 0. Ekkor:

25 1. fejezet Térképészeti vetületek 21 p(r, α) = ( sin f(r) cos α, cos f(r), sin f(r) sin α), a deriváltak: P (r, α) def = p 1(r, α) p 2 (r, α) = cos f(r)f (r) cos α sin f(r)f (r) cos f(r)f (r) sin α sin f(r) sin α 0 sin f(r) cos α. Ekkor a p paraméterezés Ĝ első alapforma mátrixa az (r, α) pontban: Ĝ(r, α) = (f (r)) sin 2 f(r). (1.4) alapján a szögtartóság pontosan akkor teljesül, ha Ĝ(r, α) = (f (r)) sin 2 f(r) = λ(r) r 2, valamiyen λ : R R függvényre, ahonnan sin 2 f(r) = (f (r)) 2 r 2, tehát a szögtartóság szükséges és elégséges feltétele, hogy f kielégítse a következő differenciálegyenletet: f (r) = ± sin f(r). (1.9) r A területtartóság feltétele, hogy f kielégítse a következő differenciálegyenletet: f (r) sin f(r) = r. (1.10)

26 1. fejezet Térképészeti vetületek 22 A sztereografikus vetület Sztereografikus vetületről abban az esetben beszélünk, ha a perspektív vetület képtere a p pontban érinti a síkot, a vetítési középpont pedig az ellentétes oldalon a gömbön helyezkedik el ábra. A sztereografikus projekció. Ekkor a vetületi egyenletek, mivel D = R, f = 0: x = 2R cos ϕ 0 sin ϕ sin ϕ 0 cos ϕ cos λ 1 + sin ϕ 0 sin ϕ + cos ϕ 0 cos ϕ cos λ, cos ϕ sin λ y = 2R 1 + sin ϕ 0 sin ϕ + cos ϕ 0 cos ϕ cos λ, a fenti jelölésekkel. 4. Állítás. A sztereografikus projekció szögtartó. Bizonyítás. A korábbi jelöléseket használva ( r f(r) = 2 arctan, 2)

27 1. fejezet Térképészeti vetületek 23 f (r) = 1, 1 + r2 4 ahonnan a sin(t) = 2 tan( 1 2 t) 1 + tan 2 ( 1 2 t) képletetből sin f(r) r = 2 tan( 1 2 f(r)) r ( 1 + tan 2 ( 1 2 f(r))) = r ( r 1 + r2 4 ) = r2 4 = f (r). Néhány nem perspektív azimutális vetület Területtartó azimutális vetületet a következő módon szerkezhetünk. A vetítendő pontot a kezdőponttal összekötő húr hosszát felmérjük a megfelelő főkör képére K képéből. Ekkor a vetületi egyenletek a (1.8) egyenlet alapján f 1 (x) = 2 sin x 2 -ből: 1.8. ábra. Területtartó azimutális vetület.

28 1. fejezet Térképészeti vetületek 24 r = 2 sin (arccos(sin ϕ sin ϕ 0 + cos ϕ cos ϕ 0 cos λ)), 2 ( cos ϕ ) 1 (sin ϕ sin ϕ 0 + cos ϕ cos ϕ 0 cos λ) α = arcsin 2. sin λ 5. Állítás. Ez a vetület valóban területtartó. Bizonyítás. Esetünkben ( r f(r) = 2 arcsin, 2) f (r) = 1 1 ( ), r 2 2 ahonnan f (r) sin f(r) = = 1 1 ( r 2 1 ( r 1 ( ) 2 r ( ( r ) sin 2 arcsin 2 2)) ) ( r ) 2 1 = r. 2 Meridiánokon hossztartó azimutális vetületet úgy szerkezthetünk, hogy a vetítendő A pont képét úgy kapjuk, hogy ha a kezdőponttal összekötő főkör képére K képétől Rβ távolságot mérünk fel, ahol R a gömb sugara, O a gömb középpontja β az OA, OK egyenesek által bezárt szög. Ekkor a vetületi egyenletek a (1.8) egyenlet alapján f 1 (x) = Rx-ből: r = R arccos(sin ϕ sin ϕ 0 + cos ϕ cos ϕ 0 cos λ) ( cos ϕ ) 1 (sin ϕ sin ϕ 0 + cos ϕ cos ϕ 0 cos λ) α = arcsin 2 sin λ Hengervetületek Egy vetületet akkor nevezünk hengervetületnek, ha az Ω paramétertartomány téglalap és létezik egy P M pont, melyre

29 1. fejezet Térképészeti vetületek ábra. Meridiánokon hossztartó azimutális vetület. P -n átmenő főkörök képei párhuzamos egyenesek; OP egyenesre merőleges síkok által kimetszett körök képei párhuzamos egyenesek és merőlegesek az előzőkre. Ezen P pontot nevezzük a vetületi kezdőpontnak. Lambert-féle területtartó hengervetület Területtartó hengervetületet oly módon gyárthatunk, hogy a hengert úgy helyezzük a gömbhöz, hogy az alkotói a föld tengelyével párhuzamosak legyenek, majd a gömb pontjainak képét a pontból a föld tengelyére állított merőleges és a henger metszéspontja adja a ábra szerint. Ekkor ha a sík koordináta-rendszerét úgy vesszük fel, hogy az x tengely az egyenítő, az y tengely a kezdő meridián képei legyenek, a hengert a r( π, t) t ( π 2, π 2 ) görbe képénél vágjuk fel, a skálázás egysége a gömb R sugara, akkor a vetületi egyenletek: x = λ cos ϕ 0,

30 1. fejezet Térképészeti vetületek ábra. A területtartó hengervetület. ahol ϕ 0 ( π 2, π 2 ) adott. y = sin ϕ cos ϕ 0, 6. Állítás. A Lambert-féle hengervetület területtartó és a ϕ 0 koordinátájú paralelkörön hosszaránytartó. Bizonyítás. Először a területtartóságot bizonyítjuk. A vetületi egyenetekből: λ = x cos ϕ 0, ϕ = arcsin(y cos ϕ 0 ). Tehát a vetülethez tartozó paraméterezés: s(x, y) = (sin x x cos arcsin(y cos ϕ 0 ), y cos ϕ 0, cos cos arcsin(y cos ϕ 0 )) cos ϕ 0 cos ϕ 0 Ekkor: ( cos x cos ϕ s 1 (x, y) = 0 cos arcsin(y cos ϕ 0 ), 0, sin x ) cos ϕ 0 cos arcsin(y cos ϕ 0 ), cos ϕ 0 cos ϕ 0

31 1. fejezet Térképészeti vetületek 27 ( s 2 (x, y) = sin x cos ϕ 0 y cos 2 ϕ 0 1 (y cos ϕ0 ), cos ϕ 0, cos ) x cos ϕ 0 y cos 2 ϕ 0, 2 1 (y cos ϕ0 )r s 1, s 1 = cos2 arcsin(y cos ϕ 0 ) cos 2 ϕ 0, s 2, s 2 = cos 2 ϕ 0 1 (y cos ϕ 0 ) 2, s 1, s 2 = 0. Tehát: G(x, y) = cos 2 arcsin(y cos ϕ 0 ) cos 2 ϕ cos 2 ϕ 0 1 (y cos ϕ 0 ) 2, det G(x, y) = cos2 arcsin(y cos ϕ 0 ) 1 (y cos ϕ 0 ) 2 = 1 (y cos ϕ 0) 2 1 (y cos ϕ 0 ) 2 = 1. A hossztartóság bizonyításához γ := r u, ahol u(t) = (0, ϕ 0 ) + te 1 t [ π, π]. Ekkor u (t) = (0, 1)-ből a hossztartóság feltétele az 1.2 képlet szerint, hogy g 11 (u(t)) = λ λ R t [ π, π]-re. g 11 (t, ϕ 0 ) = 1 ϕ2 0 cos2 ϕ 0 cos 2 ϕ 0 = Hengervetület hossztartó meridiánokkal Ha azt akarjuk, hogy a meridiánok hossztartóak legyenek azonnal adódnak is a vetületi egyenletek. Ha úgy állítjuk fel a koordináta-rendszert a hengeren, mint az előző részben akkor a fenti jelölésekkel: x = λ cos ϕ 0, y = ϕ. 7. Állítás. Ez a vetület hossztartó a meridiánokon és a ϕ 0 paralelkörön. Bizonyítás. A vetülethez tartozó paraméterezés: r(x, y) = (sin x x cos y, sin y, cos cos y), cos ϕ 0 cos ϕ 0

32 1. fejezet Térképészeti vetületek 28 ( cos x cos ϕ r 1 (x, y) = 0 cos y, 0, sin x ) cos ϕ 0 cos y, cos ϕ 0 cos ϕ 0 r 2 (x, y) = ( sin x cos ϕ 0 sin y, cos y, cos r 1, r 1 = cos2 y cos 2 ϕ 0, r 2, r 2 = 1, ) x sin y, cos ϕ 0 r 1, r 2 = 0. Tehát: G(x, y) = cos 2 y cos 2 ϕ , ahonnan y = ϕ 0 helyettesítéssel láthatjuk, hogy ϕ 0 paralelkörön hossztartó a paraméterezés. A meridiánokat természetesen paraméterezhetjük az u : t r(u 0 +te 2 ) leképezéssel. Ekkor u 1 (t) = 0, u 2 (t) = 1, ahonnan a (1.2) egyenletbe behelyettesítve: ( cos 2 ) y cos (1 1) 1 = 0, ϕ 0 tehát a meridiánokon is beláttuk a hossztartóságot. A Cassini-féle vetület A Cassini-féle vetület ugyanolyan módon keletkezik, mint a feljebb taglalt, meridiánokon hossztartó hengervetület azzal a különbséggel, hogy először a földet elforgatjuk úgy, hogy a kezdő meridián menjen az egyenlítőbe. 8. Állítás. A Cassini-féle vetülethez tartozó vetületi egyenletek: a fenti jelölésekkel. x = arcsin (cos ϕ sin λ), y = arctan ( ) tan ϕ, cos λ

33 1. fejezet Térképészeti vetületek ábra. Cassini-vetület vetületi egyenletei. Bizonyítás. Jelölje P az északi pólust, standard koordinátájú pontot. Legyen A tetszőleges (λ, ϕ) standard koordinátájú pont, R a (λ, 0), Q (0, ϕ) standard koordinátájú pontok. Ekkor az ábrán látható jelölésekkel a P AQ illetve RAS derékszögű gömbháromszögekből: tan λ = tan ϕ tan ϕ sin( π = 2 λ) cos(λ), ( π ) sin ϕ = sin sin λ = cos ϕ sin λ, 2 ahonnan az állítás már következik A forgási ellipszoidról a-val, illetve b-vel jelöljük a fél nagy-, illetve kistengelyét. Az a b b hányadost lapultságnak nevezzük( jelölés: f). Az első excetricitást jelölje e = a 2 b 2 a 2.

34 1. fejezet Térképészeti vetületek 30 A második excentricitást jelölje e = a 2 b 2 b 2. Az ellipszoid standard paraméterezése alatt azon r : [ π, π] [ π 2, π 2 ] R3 leképezést értjük, ami a (λ, ϕ) ponthoz a (a cos λ cos φ, b sin φ, a sin λ cos φ) pontot rendeli, ahol ϕ = a sin φ b 2 cos 2 φ+a 2 sin 2 φ. Egy adott vetület vetületi egyenlete alatt azon f : [ π, π] [ π 2, π 2 ] R2 függvényt értjük, ami egy adott p M pont (ϕ, λ) standard koordinátáihoz az adott vetületbeli koordinátáit rendeli. Északi póluson a r( π 2, 0), déli póluson a r( π 2, 0) pontot értjük. Paralelkörök, illetve meridiánok alatt az első, illetve második változó szerinti paramétervonalakat értjük. Az ellipszoidra jellemző mennyiségek között triviáisan fennállnak a következő összefüggések: e 2 = e2, e 2 = e 2, (1 e 2 )(1+e 2 ) = 1, f = 1 1 e 1 e 2 1+e 2, e 2 = 2f f Állítás. Adott (ϕ, λ) standard koordinátájú pont második koordinátája az egyenlítő síkjával bezárt szöget adja meg. Bizonyítás. Mivel ez az ellipszoid az (a cos φ, b sin φ) ellipszoid y tengely körül megforgatott képe, elegendő az állítást adott meridián síkjában igazolni. koordinátájú pontban a normális Ekkor a (λ, ϕ) standard (b cos φ,a sin φ), ennek az x tengellyel bezárt szöge b 2 cos 2 φ,a 2 sin 2 φ a sin φ b 2 cos 2 φ, a 2 sin 2 φ = ϕ.

35 2. fejezet Az alkalmazásról A program C++-ban íródott, a megjelenítéshez az OpenGL könyvtárat használtam. Az input egy ECW vagy JP2 formátumú fájl, ezt jeleníti meg 3-dimenzióban, domborzattal, továbbá lehetőségünk van a billentyűzet és az egér segítségével közelíteni a Föld felszíne felé, forgatnunk a kamerát a Föld, illetve saját tengelye körül Működés Egy pixel útja Nevezzük a Föld standard koordinátázásának azon koordinátázást, ahol az y tengely a Föld forgástengelye ( az északi és a déli póus összekötő egyenes ), az z tengely az egyenlítő síkjának és a kezdőmeridián síkjának metszete, valamint az x tengely ezekre merőleges és x, y, z pozitív irányítású. Tegyük fel, hogy adott egy téglalap alakú térkép, azaz egy n m-es színértékű mátrix ( jelölés: BMP = {a i,j } i=n 1,j=m 1 i,j=0 ), az M alapfelület ( gömb, vagy forgási ellipszoid ), egy r : Ω M reguláris, injektív, legalább C 1 -osztályú paraméterezés, u 0 = (x 0, y 0 ) Ω, a 0,0 vetületbeli koordinátái, 31

36 2. fejezet Az alkalmazásról 32 d 1 állandó, a i,j és a i+1,j vetületbeli koordinátáik különbsége tetszőleges 0 i, j, i n 1, j m-re. d 2 állandó, a i,j és a i,j+1 vetületbeli koordinátáik különbsége tetszőleges 0 i, j, i n, j m 1-re. Legyen adott továbbá a, b > 0, valamint egy N forgási ellipszoid a és b nagy, illetve kis féltengelyekkel. Legyen [ π, π] [ π 2, π 2 ] H jel = { π h ij = ( π + i , π 2 j π } ) : i = , j = az ellipszoid standard koordinátázásának három szögmásodpercenkénti rácspontjai, SRT M = {s ij } n,m i,j=0 valósértékű mátrix. Ennek s ij eleme a H h ij standard koordinátájú pontban érintő síkra merőleges egyenes N-nel, illetve Földdel való metszetének különbségét adja meg ( elnevezés: magasság ). Jelölje továbbá t : Ω R 2 a vetületi egyenleteket. Ezen információk alapján szeretnénk adott (i, j)-re, 0 i, j, i n, j m, kiszámítani a ij standard koordinátáit. Először is ki kell számolnunk a vetületbeli koordinátáit, ezt a következő egyenletek alapján tehetjük meg: x = x 0 d 1 i, y = y 0 d 2 j. A vetületi egyenletekből megkaphatjuk az adott alapfelület standard koordinátázásában a pont koordinátáit. Ebből átszámoljuk az N felületbeli (λ, ϕ) standard koordinátáiba. Ekkor (λ, ϕ) előáll a hozzá legközelebb álló három H-beli pont konvex kombinációjaként, azaz (λ, ϕ) = α 1 h i1 j 1 + α 2 h i2 j 2 + α 3 h i3 j 3, ahol i α i = 1, α i > 0 i = Ekkor legyen s = α 1 s i1 j 1 + α 2 s i2 j 2 + α 3 s i3 j 3 a (λ, ϕ) standard koordinátájú pontban a közelítő magasság. Ekkor (a cos λ cos φ, b sin φ, a sin λ cos φ) + sn(λ, ϕ),

37 2. fejezet Az alkalmazásról 33 képletbe helyettesítve, ahol N(λ, ϕ) az (b cos φ cos λ, a sin φ, b cos φ sin λ) vektor normáltja, az adott pontbeli egységnormális, valamint ϕ = tényleges, standard koordinátáit. a sin φ, kaphatjuk meg a pont b 2 cos 2 φ+a 2 sin 2 φ Mozgás A kamerával közelíthetünk a földgömb közepéhez, valamint forgathatjuk a kamerát a földgömb, valamint saját tengelye körül is. Ezen forgatások gyors és hatékony kivitelezése érdekében kvaterniókat használunk. 7. Definíció. Kvaterniók ( jelölés: H ) alaphalmaza H = { (a, b, c, d) R 4}. Ezen értelmezünk három műveletet a skalárral való szorzást, az összeadást és a kvaterniószorzás. A skalárral való szorzás, valamint az összeadás R 4 szokásos skalárral való szorzása, illetve összeadása, azaz (a 1, b 1, c 1, d 1 ) + (a 2, b 2, c 2, d 2 ) = (a 1 + a 2, b 1 + b 2, c 1 + c 2, d 1 + d 2 ), λ(a, b, c, d) = (λa, λb, λc, λd). A kvaterniószorzás definiálásához jelöljük az R 4 standard bázisát 1 jel = e 1, i jel = e 2, j jel = e 3, k jel = e 4 -val. Ekkor tetszőleges (a, b, c, d, e) R 4 elem a1 + bi + cj + dk a, b, c, d R alakban áll elő. 1 lesz az egységelem a kvaterniószorzásra nézve, ezért az elemeket a + bi + cj + dk alakban fogjuk írni. Ezután a műveletet először a bázis elemeken definiáljuk a következőképpen: i 2 = j 2 = k 2 = ijk = 1, majd ezen összefüggéseket, valamint az asszociativitást és disztributivitást használva definiálhatjuk tetszőleges két elem szorzatát.

38 2. fejezet Az alkalmazásról 34 Ezek alapján p, q H, p = a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k, q = a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k, a i, b i, c i, d i R i = 1, 2, két tetszőleges elemre pq = a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 d 1 d 2 + (a 1 b 2 + b 1 a 2 + c 1 d 2 d 1 c 2 )i+ + (a 1 c 2 b 1 d 2 + c 1 a 2 + d 1 b 2 )j + (a 1 d 2 + b 1 c 2 c 1 b 2 + d 1 a 2 )k. 10. Állítás. A kvaterniók algebrát alkotnak R felett. Bizonyítás. A vektortér tulajdonságok R 4 R feletti vektortér mivoltából következnek. A kvaterniószorzat disztributivitása az összeadás műveletre nézve definíciójából következik. Legyen a, b R 4, p, q H, p = a 1 +b 1 i+c 1 j+d 1 k, q = a 2 +b 2 i+c 2 j+d 2 k, a i, b i, c i, d i R i = 1, 2, ekkor (ap)(bq) = (aa 1 + ab 1 i + ac 1 j + ad 1 k)(ba 2 + bb 2 i + bc 2 j + bd 2 k) = aa 1 ba 2 ab 1 bb 2 ac 1 bc 2 ad 1 bd 2 + (aa 1 bb 2 + ab 1 ba 2 + ac 1 bd 2 ad 1 bc 2 )i+ + (aa 1 bc 2 ab 1 bd 2 + ac 1 ba 2 + ad 1 bb 2 )j + (aa 1 bd 2 + ab 1 bc 2 ac 1 bb 2 + ad 1 ba 2 )k = (ab)(a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 d 1 d 2 + (a 1 b 2 + b 1 a 2 + c 1 d 2 d 1 c 2 )i+ + (a 1 c 2 b 1 d 2 + c 1 a 2 + d 1 b 2 )j + (a 1 d 2 + b 1 c 2 c 1 b 2 + d 1 a 2 )k) = (ab)(pq) Ezzel az összes algebratulajdonságot beláttuk. 8. Definíció. Egy q = a + bi + cj + dk H imaginárius része: Iq = bi + cj + dk H. 9. Definíció. Egy q = a + bi + cj + dk H valós része: Rq = a R. 10. Definíció. Egy q = a + bi + cj + dk H hossza q = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 R. Jelölés: Legyen a R, v = (v 1, v 2, v 3 ) R 3, ekkor a + v alatt a + v 1 i + v 2 j + v 3 k H-t értjük. 11. Definíció. Egy q = a + v kvaternió konjugáltja q = a v. 11. Állítás. p, q H, melyekre Rp = 0, Rq = 0. Ekkor p = 0 + u, q = 0 + v u, v R3, valamint pq = u, v + u v, ahol a vektoriális,.,. a skaláris szorzást jelöli.

39 2. fejezet Az alkalmazásról 35 Bizonyítás. pq = u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 + (u 2 v 3 u 3 v 2 )i + (u 3 v 1 u 1 v 3 )j + (u 1 v 2 u 2 v 1 )k = u, v + u v Tulajdonságok: (q) = q, p + q = p + q, λq = λq, λ R-ra, pq = q p q 1 = q q. 12. Definíció. q kvaternióval való konjugálás, azon C q : H H leképezés, melyre C q (p) = qpq 1. Tulajdonságok: C 1 az identitás, mivel C 1 (v) = 1 v 1 = v. pq-val való konjugálás a C p C q leképezés, mivel C pq (v) = (pq)v(pq) 1 = (pq)v(q 1 p 1 ) = p(qvq 1 )p 1 = C p C q (v). C q inverzleképezése C q 1, mivel C q C q 1 = C qq 1 = C Állítás. Legyen q = cos ( α 2 ) + u sin ( α 2 ), ahol a R, u R 3 egységvektor, p = 0 + v, valamilyen v R 3 -re. Ekkor C q (p) = 0 + v, ahol v v u irányvektorú egyenes körül pozitív irányba α szöggel elforgatott képe.

40 2. fejezet Az alkalmazásról 36 Bizonyítás. C q (p) = C q (v) = ( ( α ) ( α )) ( ( α ) ( α )) cos + u sin v cos u sin = v cos 2 α 2 + (uv vu) sin α 2 cos α 2 uvu sin2 α 2 = v cos 2 α 2 + 2(u v) sin α 2 cos α 2 (v u, u 2u u, v ) sin2 α 2 = v(cos 2 α 2 α sin2 2 ) + (u v)2(sin α 2 cos α 2 ) (u u, v ) α sin2 2 = v cos α + (u v) sin α (u u, v )(1 cos α) = (v u u, v ) cos α + (u v) sin α u u, v = v o cos α + (u v) sin α v p, ahol v o és v p a v vektor merőleges, illetve párhuzamos komponense az u vektorra nézve. Ez pedig pont az v vektor u irányvektorú egyenes körüli pozitív irányba α szöggel elforgatottja, ahogy az a 2.1. ábráról leolvasható ábra. Rodrigues-formula adott v R 3 vektor egyenes körüli elforgatottjára

41 1. fejezet Térképészeti vetületek Monitorképek Ebben a részben bemutatunk néhánhy képet a program működéséről. Igyekeztünk olyan pillanatképeket készíteni, melyben jól megfigyelhető a domborzati viszonyok helyes ( a térképpel összhangban lévő ) megjelenítése ábra. Kárpátok a Második katonai felmérésen ( ).

42 1. fejezet Térképészeti vetületek ábra. Dunakanyar a Második katonai felmérésen ( ) ábra. Dunakanyar a Második katonai felmérésen ( ).

43 1. fejezet Térképészeti vetületek ábra. Dunakanyar a Harmadik katonai felmérésen ( ) ábra. Dunakanyar a Második katonai felmérésen ( ).

44 1. fejezet Térképészeti vetületek ábra. Dunakanyar a Második katonai felmérésen ( ) ábra. Budapest és környéke a Második katonai felmérésen( ).

45 1. fejezet Térképészeti vetületek ábra. Balaton a Harmadik katonai felmérésen( ) ábra. Balaton a Második katonai felmérésen( ).

46 Irodalomjegyzék [1] Varga József, Vetülettan. Műegyetemi kiadó, [2] and spatial rotation [3] [4] projection [5] cylindrical equal-area projection [6] projection [7] conformal conic projection [8] projection [9] 1/Documentation/ [10] [11] 42