7. előadás: Lineármodulus a vetületi főirányokban és a területi modulus az azimutális vetületeken

Átírás

1 7 előadás: Lineármodulus a vetületi főirányokban és a területi modulus az azimutális vetületeken Mivel az azimutális vetületeken normális elhelyezésben a meridiánok és a paralelkörök, más elhelyezésben pedig a segédmeridiánok és a segédparalelkörök kielégítik azt a feltételt, hogy merőlegesek egymásra az alapfelületen, és képük merőleges egymásra a képfelületen, ezek az irányok a vetületi főirányok Normális elhelyezésben tehát a lineármodulust a meridián és a paralelkör irányában kell meghatározni Az 1 ábrán az A pontot meridián irányban 1 ábra: Fokhálózati vonalak ívdarabjai és képük azimutális vetületen A A1 R d β, paralelkör irányban AA R sin β d λ elemi távolságra mozdítottuk el A meridián irányú elmozdulásnak a képen dp, a paralelkör irányú elmozdulásnak pedig p d λ elemi elmozdulás felel meg Ennek megfelelően: meridiánkép elemi ívdarabja dp l m, meridián elemi ívdarabja R dβ paralekör képének elemi ívdarabja p dλ p lp paralekör elemi ívdarabja R sin β dλ R sin β A kettő közül a nagyobbik a torzulási ellipszis a fél nagytengelye, a kisebbik a b fél kistengelye Ferde elhelyezésben a vetületi főirányok a segédmeridiánok és a segédparalekörök, ezért a β, γ és p helyett β -t, γ t és p -t kell írni a képletekbe 7-1

2 Óravázlat a Vetülettan előadásaihoz Sztereografikus vetület Vetületi egyenletek és torzulási modulusok A gömbnek igen gyakran alkalmazott perspektív azimutális vetülete a sztereografikus vetület A sík és a gömb érintési pontja a K vetületi kezdőpont A Q vetítési központ a kezdőponthoz tartozó átmérő másik végpontja, tehát D R ábra: Sztereografikus fokhálózati kép szerkesztése Az ábra ferdetengelyű sztereografikus vetületet ábrázol Alsó része a vetítés módját, felső része pedig a segédfokhálózati vonalak képének alakulását mutatja Szemlélet alapján megállapítható, hogy a vetület perspektív és azimutális, tehát megfelel azoknak a jellemzőknek, amelyeket a perspektív vetületekre felsoroltunk A ferdetengelyű sztereografikus vetület sugárfüggvénye az ábráról, a QKA háromszögből: β p R tan Alkalmazzuk p -re a vetületi főirányok lineármodulusainak előbb levezetett összefüggéseit: dp l sm, R dβ β β β β R tan tan p 1 l SP R sin β R sin β β β β sin 7-

3 A lineármodulus mint látható az azimutális vetületekre megállapított vetületi főirányokban egyenlő, tehát a sztereografikus vetület szögtartó és a torzulási ellipszis (Tissot-féle indikatrix) körré fajul (a b) A lineármodulus az elmondottak alapján valamely pontban minden irányban: 1 l, β és a területi modulus: 1 τ l 4 β A torzulási modulusok képletéből megállapítható, hogy a sztereografikus vetületen, ha a sík a gömböt érinti, a kezdőpontban semmilyen torzulás sincsen (ez minden azimutális vetületen így van), továbbá a hossztorzulás és így a területtorzulás is, a kezdőponttól távolodva nő, de a kezdőpont körül rajzolt egy-egy körön állandó A hossztorzulás mindig hossznövekedésben jelentkezik, mert a lineármodulus a kezdőpontot kivéve, mindig nagyobb egynél A derékszögű koordináták a síkon az β x p δ R tan δ és β y p sin δ R tan sin δ képletekből számíthatók A irányszög egyenlő az azimuttal (vagy ha az x tengely pozitív ága délre mutat, akkor δ α + 18 o A sugárfüggvényt az előzőekben a perspektivitás alapján (szemléletből) vezettük le A sugárfüggvényt levezethetjük úgy is, hogy az azimutális vetületeken a vetületi főirányokra levezetett lineármodulusokat egymással egyenlővé tesszük: dp p R dβ R sin β Rendezve az egyenlőséget: dp dβ p sin β Mindkét oldalon az integrálást elvégezve: β ln p ln tan + ln c, ahol ln c az integrálási állandó Áttérve a numerusokra: p c tan β 7-3

4 Óravázlat a Vetülettan előadásaihoz A c-t abból a feltételből határozhatjuk meg, hogy β helyen (a kezdőpontban) a lineármodulus az egységgel egyenlő A segédmeridián irányú lineármodulus képletébe helyettesítsük be a sugárfüggvény differenciálját: 1 1 c dβ β dp l, R dβ R dβ β o o helyen ez 1-gyel tartozik egyenlőenek lenni: c l 1 R és ebből c R, tehát a ferdetengelyű érintő sztereografikus vetület sugárfüggvénye: β p R tan A sztereografikus vetület számára a perspektív síkvetületek általános vetületi egyenleteiből is származtathatók vetületi egyenletek, amelyek ferdetengelyű elhelyezés esetén is közvetlen kapcsolatot adnak a valódi földrajzi koordináták és a síkkoordináták között Ha az egyenletekben D R helyettesítést elvégezzük, akkor a ferdetengelyű érintő sztereografikus vetület számára a következő vetületi egyenleteket kapjuk: sin β β β sin β λ x R β β + sin β sin β λ R sin β sin λ y R β β sin β sin β λ + Normális elhelyezésben ( β o ): sin β λ x R, y R β Egyenlítői elhelyezésben ( β 9 o ): sin β sin λ β β sin β sin λ x R, y R sin β λ sin β λ Az előbbiekben megadott vetületi egyenletek északkeleti tájékozású síkkoordinátarendszerre vonatkoznak Ha az x tengely pozitív ága délnek mutat (a magyarországi tájékozás szerint), akkor az (53) egyenletek jobb oldalát -1-gyel kell szorozni: sin β β β sin β λ x R, β β + sin β sin β λ R sin β sin λ y R β β sin β sin β λ + 7-4

5 A sztereografikus síkkoordinátákból pl az alábbi módon számíthatunk valódi gömbi földrajzi koordinátákat Először x, y-ból számítjuk a kérdéses (A) pont és a vetületi kezdőpont távolságát: p x + y β a sugárfüggvény képletéből kifejezve: p β arctan R y α δ arctan, x vagy délnyugati tájékozás esetén: α δ ± 18 o Poláris gömbháromszög A pont valódi pólustávolsága és földrajzi hosszúsága a mellékelt poláris gömbháromszögből kifejezhető: β β β + sin β sin β α, sinα sin β sinλ sin β ahonnan a szögértékeket visszakeresve kapjuk ϕ (9 o - β )-t és λ -t 7-5