Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Átírás

1 Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b Mennyi az n ā b vektoriális szorzat? n ā b i j k 0 i j 0 + k 0 (. Mennyi az ā b c vegyesszorzat? vagy v (ā b c ( (0 6 v (ā b c Mer leges-e egymásra ā és b? Miért? Nem mert az s 8 skalárszorzat nem nulla. 5. Egy síkba esik-e ā b és c? Miért? Nem mert az v 6 vegyesszorzat nem nulla. 6. Mennyi az ā b vektorok által bezárt szög koszinusza? cos α ā b ā b / 0 7. Mennyi az ā ess b vektorok által kifeszített paralelogramma területe? T par ā b ( + + ( 6 8. Mennyi az ā és b vektorok által kifeszített háromszög területe? T harom T par 9. Mennyi az ā b és c vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogata? V pip ā b c v 6 0. Mennyi az ā b és c vektorok által kifeszített tetraéder térfogata? V tetra V pip 6. Milyen sodrású az ā b és c vektorok által alkotott rendszer? Miért? Jobb mivel v ā b c > 0 (Ha v < 0 balsodrású míg v 0 eseten a három vektor egy síkba esik.

2 . Bázist alkot-e ā b és c? Miért? Igen mert v ā b c 0. Mennyi c-nek a c p mer leges vetülete c-re? c. Mennyi c-nek a c p mer leges vetülete ā-re? 5. Mennyi c-nek a c t mer leges tükrözöttje c-re? c 6. Mennyi c-nek a c t mer leges tükrözöttje ā-re? c p ā c ā a (0 (0 6/5 /5 0 c t c p c (0 /5 /5 7. Mennyi c-nek a c p mer leges vetülete a c és a ā vektorok által generált síkra? c 8. Mennyi c-nek a c p mer leges vetülete a ā és a b vektorok által generált síkra? n ā b (0 c m n c n (6/9 6/9 8/9 n c p c c m ( 6/9 /9 8/9 9. Mennyi c-nek a c t mer leges tükrözöttje a c és a ā vektorok által generált síkra? c 0. Mennyi c-nek a c t mer leges tükrözöttje a ā és a b vektorok által generált síkra? c t c c m ( /9 /9 0/9 Gyakorlás Ismételd meg a feladatot! I. Megoldás: II. Megoldás: ā ( b (0 c ( 5 5 { } 66 nem nem { } bal } igen { { 5} { 5} { 7 5 } { 5} ā ( b (0 c ( 9 5 { } 0 nem igen } { 6 { nem bazis nem { 9 } { 9 } 9 57 } 9 { 9 } { 9 } { 9 } { 9 } { { 5} (Az els sorban az -5 kérdések válaszai vannak stb.. Továbbá {} zárójelekben vannak a vektorok. }

3 0.. Pontok egyenesek síkok Adott három pont P (0 Q ( S ( 6 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Írd fel a P és Q pontokat tartalmazó egyenes (a parametrikus v Q P ( 0 r(t P + t v (t t. (b illetve algebrai egyenleteit! x t t y z t x t y igy az egyenest meghatazozo ket egyenlet: x y z. (c Hol van az O (0 0 0-hoz legközelebbi K r(t 0 pont az egyenesen? 0 r(t 0 v (t 0 t 0 ( 0 + t 0 t 0 K r( (. (d Mennyi az egyenes távolsága az O origótól? (. (e Hol van az S-hez legközelebbi pont az egyenesen? 0 (S r(t 0 v ( t 0 t 0 ( 0 t 0 t 0 / K r(/ (/ /. (f Mennyi az egyenes távolsága S-tol? SK (/ / ( 6 7/. Gyakorlás Ismételd meg a feladatot! I. Megoldás: r(t {t + t + t} 7 P ( Q (5 S ( 0 6 x y z { } 9 { } 9. P (0 Q ( R ( 0 S ( 6 Keresd meg a P Q R pontokat tartalmazó síkot! Írd fel a sík (a parametrikus ā Q P (0 b R P (0 r(u v ( u v + u v. (b illetve algebrai egyenleteit! n ā b (5 0 n [ r P ] (5 (x 0 y ( z 5x y + z 6 0.

4 (c Mennyi az sík távolsága az origótól? P -nek a p m mer leges vetülete n-re Persze p m q m r m. p m np n n ( tavolsag p m np 5 n 6. 5 (d Hol van O mer leges vetülete a síkon? Ahol p m ( (e Hol van O-nak a síkra történ mer leges tükrözöttje? Ahol p m ( (f Hol van S-nek a s sik mer leges vetülete a síkon? S-nek a s sik mer leges vetülete n-re s m ns ( 5 n n ( s sik S ( s m p m (g Mennyi az sík távolsága S-tol? s m p m n(s P n 9 5 (h Hol van S-nak a síkra történ mer leges tükrözöttje? s sik S ( s m p m ( Gyakorlás Ismételd meg a feladatot! I. Megoldás: P ( Q ( R (0 S ( 0 r(u v ( v + u u 6v 6x + y + z 0 /9 (6/9 (/9 (/9 (/9 (/9 (/9 (6/9 7/8 (/8 7/ 8 ( (5/9 7/9 (/9. Mennyi a P QRST tetraéder térfogata? ā Q P ( b R P ( c ( 0 Terfogat ā b c 6. Hol van a P QR sík továbbá az S és az ( pontokon áthaladó egyenes metszéspontja? Egyenes paraméteres egyenlete r(t ( + t 6 + t. Sík algebrai egyenlete Ha metszéspontnál t érteké t 0 akkor 6 + 5x y + z ( + t 0 ( + (6 + t 0 0 t 0 9/. A metszéspont r( 9/ 5.

5 0.. Lineáris transzformációk. Legyen φ ( (x y T (x + y x + 5y T és ψ ( (x y z T (z y x T. (a Mennyi a φ transzformáció F mátrixa? (( x φ y (b Mennyi a ψ transzformáció P mátrixa? x φ y z y x z ( x + y x + 5y 5 ( ( ( x x F y y x x y P y z z (c Mennyi a µ ( v φ (ψ ( v (φ ψ ( v transzformáció M mátrixa? Mi köze van az eredménynek F és P -hez? ( 0 0 M F P (d Mennyi a ν ( v ψ (φ ( v (ψ φ ( v transzformáció N mátrixa? Mi köze van az eredménynek F és P -hez? ( 0 0 N P F 0 5 lenne de nem lehet elvégezni a mátrixszorzást. A ν ψ φ kompozíció sincs értelmezve.. Legyen φ ((x y (x + y x + 5y és ψ ((x y z (z y x. (a Mennyi a φ transzformáció F mátrixa? φ (( x y ( x + y x + 5y ( x y ( 5 ( x y F (b Mennyi a ψ transzformáció P mátrixa? φ (( x y z ( z y x ( x y z ( x y P (c Mennyi a µ ( v φ (ψ ( v (φ ψ ( v transzformáció M mátrixa? Mi köze van az eredménynek F és P -hez? 0 M P F A mátrixos sorrendje az el z oszlopvektoros feladatokhoz kepést megfordult és a felhasznált mátrixok az el z ek transzponáltjai. (d Mennyi a ν ( v ψ (φ ( v (ψ φ ( v transzformáció N mátrixa? Mi köze van az eredménynek F és P -hez? N F P ( lenne de nem lehet elvégezni a mátrixszorzást. A ν ψ φ kompozíció sincs értelmezve.. Legyenek a feladat (x y T vektorai az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban megadva mint oszlopvektorok. Számítsd ki a következ transzformációk hatását az ē ( 0 T és a ē (0 T ortonormált bázisvektorokra illetve írd fel a lin.tr. mátrixát! A megoldás elve: Aē az A mátrix els oszlopa míg Aē az A mátrix második oszlopa. Így Aē Aē -bol mint oszlopvektorokból felépíthet az A mátrix. (a Az x tengelyre való mer leges vetítés (

6 (b az y tengelyre való mer leges vetítés ( (c az x y egyenesre való mer leges vetítés ( / / / / (d az x tengelyre való mer leges tükrözés ( 0 0 (e az y tengelyre való mer leges tükrözés ( 0 0 (f az x y egyenesre való mer leges tükrözés ( 0 0 (g az origóra való tükrözés 0 0 (h az x tengelyre való vetítés ha a vetítés iránya párhuzamos az x y egyenessel 0 0 (i az x tengelyre való vetítés ha a vetítés iránya párhuzamos az x + y 0 egyenessel 0 0 (j a n (cos(0 sin(0 T vektorra való mer leges vetítés P n mátrixa ( / n / ( ( ( P n n n n n T / / / / (k a n (cos(0 sin(0 vektorra való mer leges tükrözés T n mátrixa. T n v P n v v T n P n E T n (l 5 fokos elforgatás (m 0 fokos elforgatás. ( / / / /. Legyenek a feladat (x y z T vektorai az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban megadva mint oszlopvektorok. Számítsd ki a következ transzformációk hatását az ē ( 0 0 T ē (0 0 T és a ē (0 0 T ortonormált bázisvektorokra illetve írd fel a lin.tr. mátrixát! (a Az y tengelyre való mer leges vetítés 6

7 (b az z tengelyre való mer leges vetítés (c az xy síkra való mer leges vetítés (d az y tengelyre való mer leges tükrözés (e az x y síkra való mer leges tükrözés (f az origóra való tükrözés (g az xy síkra való vetítés ha a vetítés iránya párhuzamos a ( 0 T vektorral (h az x tengelyre való vetítés ha a vetítés iránya párhuzamos az x + z 0 síkkal (i a n (cos(0 0 sin(0 vektorra való mer leges vetítés / n 0 / / P n n n n n T 0 ( 0 / 0 / / (j a n (cos(0 0 sin(0 vektorra való mer leges tükrözés (k mer leges vetítés az x + y + z 0 síkra (l mer leges tükrözés az x + y + z 0 síkra. T n v P n v v T n P n E 0 T n n ( T / / / P sik E n n T / / / / / / n ( T / / / T sik E n n T / / / / / / 0 7

8 5. Legyen v (v v v v T. Mennyi A ha A v az a vektor amelynek az (a i-edik eleme v i szomszédainak (vagy szomszédjának ha i vagy az átlaga? v A v (v + v / (v + v / / 0 / 0 0 / 0 / v (b i-edik eleme v i szomszédainak az átlaga ahol az els és az utolsó elemeket is szomszédoknak tekintjük? (v + v 0 0 v A v (v + v / (v + v / 0 0 v 0 0 v (v + v / 0 0 v (c Ismételd meg a feladatot abban az esetben ha a v (v v v v és az va vektorra érvényesek ugyanezek a feltételek! Ha sorvektorokat használunk akkor transzponálni kell az el z mátrixokat de mivel azok szimmetrikusak a transzponálásra nézve így semmi sem változik. 6. (Hasonlósági transzformáció Egy nyúlpopulációban a nyulak mind Szilveszterkor születtek továbbá az egy éves nyulak míg az ennél id sebbek újszülöttet szülnek Szilveszterenként. A populációt jellemezhetjük a December -én éppen az új nyulak születése el tt megmert v (e o T v w (e p T w vektorokkal. (Itt e az egyévesek o az öreg nyulak míg p a teljes populáció létszámát jelölik. Az v w indexek azt jelzik hogy melyik koordináta rendszert használjuk ugyanannak a populációnak a leírására. (a Ha a nyúlpopulációt leíró vektorok A v és B w lesznek egy év múlva akkor mennyi A és B? A v v v e + (p e B w w w p + [e + (p e] w v v e o ( 5 A v v v w w v v v v v v e B o w w w 0 w w (b Ha v S w akkor mennyi S? (c Ha w R v akkor mennyi R? (d Mi köze van S-nek R-hez? Valóban: e o v ( e p w 0 v w e S p v w w w ( 0 e R o w v v w v v S R R S RS SR E. SR (e Mi köze van R-nek és A-nak B-hez? Valóban: B w w R w v A v v S v w R w v A v v (R w v v w B RAS RAR

9 (f Mi köze van S-nek és B-nek A-hoz? Valóban: A v v S v w B w w R w v S v w B w w (S v w w v A SBR SBS Legyen A B 0 0. Mennyi AB BA + E? ( Legyen A 0 B 0 0. Mennyi AB E? 0 Mennyi BA + E? Inhomogén lin.tr. (an tr.. Legyen φ ab (x ax + b. Ha φ ab φ cd φ ef akkor mennyi e és f? φ ab φ cd (x φ ab (φ cd (x φ ab (cx + d a(cx + d + b acx + (ad + b φ acad+b (x e ac f ad + b.. Legyen f(x x + x 0. Mennyi f n (x 0? f xpontja: f(x fix x fix x fix x fix + x fix. Ha a xpont az origó akkor ebben a koordinátarendészében f homogén lineáris lesz így f n (x 0 n ( ( + (.. Legyen f(x x + x 0 6. Mennyi f n (x 0? Itt f-nek nincs xpontja viszont f n (x egy számtani sorozat így f n (x 6 + n.. Legyen f(x.x. Mennyi f n (99? f xpontja: f(x fix x fix x fix.x fix x fix 0. Ha a xpont az origó akkor ebben a koordinátarendészében f homogén lineáris lesz így f n (x 0. n ( Add meg az. 0 9

10 mátrixnak a λ sajátértékéhez tartozó egyik sajátvektort!. x 0 (. 0 (.x Tehát a v (0 T vektor λ sajátérték sajtvektora a feladat mátrixának. ( v többszörösei szinten ilyen vektorok lennének Linearitás bilinearitas multilinearitás. Legyen φ egy lineáris transzformáció továbbá legyen Mennyi φ ( v 5 v? A linearitás miatt φ ( v ( T φ ( v ( T. φ ( v 5 v φ ( v 5φ ( v ( T 5 ( T ( 7 T. Legyen φ : V V R egy olyan szimmetrikus bilineáris lekepézés (függvény hogy Mennyi φ ( v + v v v?a bilinearitas miatt φ ( v v φ ( v v φ ( v v 7. φ ( v + v v v ( φ ( v v + ( ( φ ( v v + ( φ ( v v + ( ( 7φ ( v v A szimmetria miatt φ ( v v φ ( v v így a végeredmény 9.. Legyen φ : V V R egy olyan szimmetrikus bilineáris lekepézés (függvény hogy Mennyi φ ( v v v v? φ ( v v φ ( v v φ ( v v φ ( v v 7. (Koszinusz tétel Legyen adott egy háromszög amelynek két oldala és 7 hosszúak továbbá a közbezárt szögük koszinusza /( 7. Mennyi a harmadik oldal? (Ez nem lesz a zh-ban.. Legyen φ : V V R egy olyan antiszimmetrikus bilineáris lekepézés (függvény hogy φ ( v v. Mennyi φ ( v + v v v? 5. Legyen φ : R R R egy olyan antiszimmetrikus multilinearis lekepézés hogy Mennyi φ ( v + v v v? φ ( v v ( T φ ( v v ( 0 0 T φ ( v v (0 0 T. 6. Legyen φ : R R R R egy olyan antiszimmetrikus multilinearis leképezés hogy Mennyi φ ( v + v v v v + v? Az antiszimmetria miatt a kifejezés kifejtésében a stb. típusú tagok eleve nullák így φ ( v v v. 0 φ( v A v A v B φ( v A v B v A φ ( v + v v v v + v ( φ ( v v v + ( ( φ ( v v v Továbbá φ ( v v v φ ( v v v mivel a ( permutáció páratlan. Hasonlóan ehhez a permutáció páros így Tehát a végeredmény 6 ( 0. φ ( v v v φ ( v v v. 0

11 0.6. Determináns inverz mátrix. Legyen A A x y. u v Adj meg egy olyan egyenletrendszert aminek az egyértelm megoldása x y u v! vagy ( AA E x u y v vagyis ( 0 0 x + y u + v 0 x + y 0 u + v ( x u y v A A E vagyis ( 0 0 x + u x + u 0 y + v 0 y + v. Legyen 5 A. Mennyi (A ha az indexálás -tol kezd dik?? 5 det(a + 5 Most toroljuk ki A-bol a -és elem (nem a -es! sorát es oszlopát: Így Megjegyzés: Valóban (A det(a ( + ( + ( (A 7 (/ (/ 5. Legyen A ( / /. / / Mennyi A? A ortogonális mátrix mivel az oszlopai skalárszorzatai vagy nulla attól függ en hogy az oszlopvektort önmagával vagy egy másik oszloppal szorozzuk össze skalárisan. Így A A T ( / / / / T ( / / / /. Legyen / 0 / A 0 0. / 0 /

12 Mennyi A? Mivel A ortogonális mátrix így / 0 / A A T 0 0 / 0 / T / 0 / / 0 / Mennyi A? 5. Legyen Mennyi A? / / 0 A / / Mennyi 7. Mennyi Mennyi x ha 0 x 0 0 Legyen Mennyi x ha ezek a vektorok nem alkotnak bázist? x 6 mivel ezek a vektorok a mátrixunk sorai. Legyen.. 0. det(b 6 + x B 0 x 6. ā ( 0 b ( x 0 c (0. ā ( 0 T b ( x T c (0 0 T. Mennyi x ha ezek a vektorok nem alkotnak bázist?x 6 mivel ezek a vektorok a mátrixunk oszlopai. 9. Mennyi x ha 0 x x 0 0. Mennyi λ ha λ 0 λ λ 0 λ ( λ( λ 0 0 λ.. Mennyi λ ha λ λ 0. λ λ ( λ( λ 0 λ ±.. Milyen paritásúak a következ permutációk? páros páratlan páratlan páratlan És vég l keresd meg a hibákat a feladatsor megoldásaiban!