Transzformációk síkon, térben

Átírás

1 Transzformációk síkon, térben

2 Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek nevezzük. Transzformáció: Ha A = B, azaz a teret önmagára képezzük le, akkor a tér transzformációjáról beszélünk. Nem elfajult leképezés: A kiinduló tér és a képtér dimenziója megegyezik, azaz a leképezés során nem történik dimenzióvesztés. (Pl. a transzformációk ennek eleget tesznek.) Elfajult leképezés: A képtér dimenziója alacsonyabb, mint a kiinduló tér dimenziója. (Pl. a tér síkra történő leképezései párhuzamos, centrális vetítés, axonometria )

3 Transzformációk A jellemzés szempontja milyen geometriai tulajdonságokat hagynak invariánsan. Alapvető elvárások: Egyenestartás (lineáris transzformációk) Illeszkedéstartás További elvárások lehetnek: Szögtartás Távolságtartás Párhuzamosságtartás Osztóviszonytartás Kettősviszonytartás Körüljárási irány megtartása

4 A sík transzformációi Mozgások: Eltolás Pont körüli forgatás Ezek kombinációja Egybevágósági transzformációk: Mozgások Tükrözések Ezek kombinációja Tulajdonságok Lineáris transzformáció Szögtartó Párhuzamosságtartó Távolságtartó Irányítástartó Lineáris transzformáció Szögtartó Párhuzamosságtartó Távolságtartó

5 Eltolás A sík transzformációi Forgatás A d(d x,d y ) vektorral történő eltolás: Mátrixos formában: Origó körüli a szöggel történő forgatás: Homogén koordinátákban: Homogén koordinátákban:

6 A sík transzformációi - tükrözések Az x tengelyre való tükrözés: Az y tengelyre való tükrözés: Mátrixos alakban: Mátrixos formában: Mátrixa homogén koordinátákban: Homogén koordinátákban:

7 A sík transzformációi - tükrözések Az y=x egyenesre való tükrözés: Origóra való tükrözés: Mátrixos formában: Mátrixos formában: Homogén koordinátákban: Homogén koordinátákban:

8 A sík egybevágósági transzformációi Az eltolás kivételével minden egybevágósági transzformáció egy 2 2-es mátrixszal azonosítható. Reguláris mátrixok biztosítják a kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést, illetve a transzformációk invertálhatóságát. Identitás - egységmátrix Transzformáció inverze - inverz mátrix Transzformációk egymás utáni végrehajtása mátrixok szorzása Egybevágósági (euklideszi) transzformációk - ortogonális mátrixok Egy M mátrix ortogonális, ha a transzponáltja egyben az inverze is. M =M 1 det(m)=±1 Mozgások (irányítást nem váltó tr.) - +1 det. ortogonális mátrixok Tükrözések (irányítást váltó tr.) - -1 det. ortogonális mátrixok

9 A sík egybevágósági transzformációi Homogén koordinátákat használva az eltolás különleges szerepe megszűnik. 3 3-as mátrixokkal azonosítjuk a transzformációt. 2 2-es ortogonális mátrix eltolás-vektor

10 A sík hasonlósági transzformációi Hasonlósági transzformációk: középpontos hasonlóság euklideszi transzformációk ezek kombinációja Origó középpontú, l arányú hasonlóság: A nemelfajult hasonlósági transzformációk olyan 2 2-es reguláris mátrixszal adhatók meg, melyekre AA =ke, ahol k 0.

11 A sík affin transzformációi Az eddigi transzformációkat leíró 2 2-es reguláris mátrixok vagy ortogonálisak, vagy az AA =ke (k 0) feltételnek tesznek eleget. Milyen transzformációkat írnak le a kimaradó reguláris mátrixok? Nem lesznek távolságtartók. Nem tartják meg a tetszőleges irányú szakaszok arányát. Affinitások Összességében a 2 2-es reguláris mátrixok egyenestartó, illeszkedéstartó,osztóviszonytartó leképezéseket írnak le. Az hasonlósági transzformációkhoz képest nagyobb szabadságot adnak.

12 A sík affin transzformációi A hasonlósági transzformációkkal újabb elemi transzformációk kombinálódnak: Skálázás (tengelyenként különböző mértékben) Nyírás (eláció) A sík pontjait egy egyenessel párhuzamosan elcsúsztatjuk úgy, hogy a csúsztatás mértéke egyenesen arányos a fix egyenestől mért előjeles távolsággal. Az x tengellyel párhuzamos nyírás: Az y tengellyel párhuzamos nyírás:

13 A sík affin transzformációi A síkbeli affinitás alaptétele: Egy síkbeli affinitást három általános helyzetű pont és azok képei egyértelműen meghatároznak. (Ekkor a sík bármely negyedik pontjának képe egyértelműen meghatározható.) Tengelyes affinitás (speciális affinitás): Az affinitások speciális esete, egy egyenes pontonként helyben marad a leképezés során. A fix egyenes neve: tengely Az egymásnak megfelelő pontokat összekötő egyenesek egymással párhuzamosak.

14 A sík projektív transzformációi Egy transzformáció projektív transzformáció, ha egyenestartó illeszkedéstartó kettősviszonytartó. A kettősviszony középpontos vetítéssel szemben invariáns. A projektív transzformációk a sík legáltalánosabb transzformációi, melyek a párhuzamosságot sem tartják meg. A síkbeli projektivitás alaptétele: Egy síkbeli projektív transzformációt négy általános helyzetű pont, és azok képei egyértelműen meghatároznak. A síkon bármely négyszöget bármely másik négyszögbe átvihetünk projektivitás segítségével.

15 A sík projektív transzformációi A végtelen távoli elemekkel kibővített síkon értelmezzük, nemcsak a véges helyzetű pontokra hatnak, hanem a végtelen távoliakra is. A végtelen távoli egyenes képe egy közönséges Ellentengelyek: egyenes lesz. Van egy olyan közönséges egyenes, amelynek a képe a sík végtelen távoli egyenese. Mi történik akkor, ha a végtelen távoli egyenes képe önmaga? Ekkor az affin leképezéseket kapjuk.

16 A sík projektív transzformációi Analitikus leírás homogén koordinátákban: A koordináták közötti kapcsolatot leíró egyenletrendszer: Mátrix alakban: A proj. leképezés hatása a véges részen Descartes-féle koordinátákban is megadható: (Lineáris tört kifejezés)

17 A tér projektív transzformációi A térbeli projektivitás alaptétele: Egy térbeli projektív transzformációt öt általános helyzetű pont, és azok képei egyértelműen meghatároznak. A projektivitás alaptétele: Egy n dimenziós projektív térbeli projektív transzformációt n+2 általános helyzetű pont, és azok képei egyértelműen meghatároznak.

18 A tér projektív transzformációi Analitikus leírás homogén koordinátákban: A koordináták közötti kapcsolatot leíró egyenletrendszer: A tér affin transzformációi Azaz minden projektív transzformációhoz arányosság erejéig hozzárendelünk egy 4 4-es reguláris mátrixot. Az affin transzformációk olyan projektív transzformációk, melyeknél a végtelen távoli sík önmagára képződik le. Kettősviszonytartás helyett belép az osztóviszonytartás. A 44 0 (A 44 a harmadrendű főminor) Az utolsó sor

19 A tér hasonlósági transzformációi A hasonlósági transzformációk olyan affin transzformációk, melyeknél tetszőleges állású szakaszok aránya állandó. Analítikusan: A 4 4-es reguláris mátrixban az utolsó sor A harmadrendű főminorra teljesül az MM =ke (k 0) tulajdonság. A tér egybevágósági transzformációi Az egybevágósági transzformációk olyan hasonlósági transzformációk, melyek a szakaszok hosszát megtartják. Analítikusan: A 4 4-es reguláris mátrixban az utolsó sor A harmadrendű főminor ortogonális 3 3-as mátrix(inverze azonos a transzponáltjával.)

20 A tér mozgásai A mozgások olyan egybevágósági transzformációk, melyek az alakzatok irányítását megtartják. Analítikusan: A 4 4-es reguláris mátrixban az utolsó sor A harmadrendű főminor olyan ortogonális mátrix, melynek a determinánsa +1. Eltolások helye a transzformációk leírásában Homogén koordinátás leírásban az eltolásvektor koordinátái az utolsó oszlopban jelennek meg. Az affin transzformáció mátrixa eltolás-vektor

21 Példák A d vektorral való eltolás homogén koordinátákban Az x tengely körüli +a szöggel való forgatás Az y tengely körüli +a szöggel való forgatás A z tengely körüli +a szöggel való forgatás

22 Példák Az xy síkra való tükrözés A tengelyek mentén különböző mértékű skálázás Az xy síkkal párhuzamos, l,m arányú nyírás