Koordinátageometria jegyzetvázlat

Átírás

1 Koordinátageometria jegyzetvázlat Készítette: Dr. Nagy Gábor adjunktus június

2 Tartalomjegyzék Bevezetés 3 1. Az euklidészi sík transzformációi Lineáris algebrai alapismeretek Az euklidészi sík Egyenesek megadása Affin transzformációk Affin transzformáció hatása a vektorokon Hasonlósági transzformációk Egybevágósági transzformációk Feladatok A valós projektív sík Az euklidészi sík végtelen távoli elemei Homogén koordinátázás Projektív transzformációk Centrális-axiális kollineációk A teljes négyoldal projektív tulajdonságai Az euklidészi sík projektív transzformációi Feladatok A vetítések geometriája Az euklidészi tér alapfogalmai Térbeli végtelen távoli elemek Párhuzamos és középpontos vetítés Ábrázológeometriai alaptételek

3 Bevezetés A geometriának hagyományosan két különböző megközelítésmódja ismeretes: a szintetikus és az analitikus megközelítés. A szintetikus felépítésben alapfogalmak és axiómák egy rendszeréből indulunk ki és ezekből építjük fel a bonyolultabb fogalmakat és állításokat. Ebben a megközelítésben a koordinátarendszer bevezetését általában hosszadalmas technikai megfontolások előzik meg, mivel sok esetben az egyszerűen megfogalmazott geometriai tulajdonság nagyon összetett algebrai rendszert rejt magába. Az ilyen kérdésekkel kapcsolatos matematikai kutatások a geometria alapjai címet viselik. Ezzel szemben az analitikus tárgyalásban a koordinátarendszert eleve adottnak tételezzük fel, és ennek segítségével definiáljuk a különböző fogalmakat. Ez az út látszólag könnyebb az előzőnél, azonban itt is akad egy legyőzendő akadály. Ugyanis a koordinátarendszer segítségével definiált fogalmak esetén mindig szem előtt kell tartanunk azt, hogy az igazán geometriai fogalmak nem függhetnek a koordinátarendszer speciális megválasztásától (invariánsok). Ekkor persze azt is pontosan jelezni kell, hogy milyen koordinátarendszert használunk, hiszen különböző koordinátarendszerek esetén az invariáns fogalmak osztálya is merőben különböző lehet. Ennek a jegyzetnek a célja olyan geometriai ismeretek összefoglalása, amelyek egyaránt használhatók a geometria felsőbb tárgyalásában és az alkalmazott geometria, elsősorban a számítógépes geometriai ábrázolás területén is. Ezért megközelítésünk alapvetően analitikus lesz. 3

4 1. fejezet Az euklidészi sík transzformációi 1.1. Lineáris algebrai alapismeretek Ebben a fejezetben a vektorok témakörének minimális alapismereteit gyűjtöttük össze, amelyek a sík- és térgeometriai megfontolásokhoz nehezen nélkülözhetők. Az n x 1,..., x n x i alkot a komponensenkénti x 1,..., x n y 1,..., y n valós szám n-esek halmaza vektorteret x 1 y 1,..., x n y n összeadás és a valós számokkal (skalárokkal) való λ x 1,..., x n λx 1,..., λx n, λ szorzás műveleteire nézve. Ezen halmaz elemeit n-dimenziós vektoroknak nevezzük. Ha v 1,..., v m n és c 1,..., c m R, akkor c 1 v 1... c m v m szintén vektor, ezt a v 1,..., v m vektorok lineáris kombinációjának hívjuk. A lineáris kombináció triviális, ha c 1... c m 0. A v 1,..., v n m vektorok lineárisan függők, ha a O 0,..., 0 nullvektor előáll, mint a v 1,..., v m vektorok nem-triviális lineáris kombinációja. Könnyű meggondolni, hogy ez ekvivalens azzal, hogy a szóbanforgó m vektor egyike előáll a többi lineáris kombinációjaként. Ebből adódik, hogy két vektor akkor és csak akkor lineárisan függő, ha az egyik a másik skalárszorosa. Igaz továbbá, hogy ha az u 1,..., u k vektorok mindegyike a v 1,..., v m vektorok lineáris kombinációja, akkor az u i -k lineáris kombinációja előáll, mint az eredeti v j -k lineáris kombinációja. Hagyományosan az n halmaz elemeit sorvektorokként jelenítjük meg, természetesen megállapodás szerint ezek helyett használhatunk oszlopvektorokat is. A fent definiált fogalmak változtatás nélkül alkalmazhatók oszlopvektorok esetén is. 4 n

5 # # # # 1.1. LINEÁRIS ALGEBRAI ALAPISMERETEK 5 Azt mondjuk, hogy az f : n m leképezés lineáris, ha f u v f u f v és f λv λ f v teljesül minden u, v n vektorra és λ skalárra. Ismert, hogy minden lineáris f : n n leképezés alakú, ahol Az f : x 1,..., x n x1,..., x n x1 a 11 x 1 a 12 x 2... a 1n x n, x2 a 21 x 1 a 22 x 2... a 2n x n,. xn a n1 x 1 a n2 x 2... a nn x n. A a i j a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... a n1 a n2 a nn "!!! (1.1) $ n n-es mátrixot az f leképezés mátrixának nevezzük. Ha g : n n lineáris leképezés mátrixa B % b i j akkor az f & g : n n, v C b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n... b n1 b n2 b nn f g v ' leképezés szintén lineáris, és a! c 11 c 12 c 1n!! c 21 c 22 c 2n..., c n1 c n2 c nn mátrixára teljesül c i j a i1 b 1 j... a in b n j. Az így meghatározott C mátrixot az A és B mátrixszorzatának nevezzük és C AB-vel jelüljük. A leképezések szorzatának asszociatív tulajdonságából következik a mátrixszorzás asszociativitása. Az identikus leképezés mátrixa az 1 n egységmátrix. Minden n $ n-es A mátrixra teljesül 1 n A A1 n A. "!!! "!!!,

6 6 1. FEJEZET. AZ EUKLIDÉSZI SÍK TRANSZFORMÁCIÓI A mátrixszorzat definíciójából még egy fontos észrevételt tudunk leszűrni: Az A és B mátrixok AB szorzatának sorvektorai a B mátrix sorainak lineáris kombinációi. Hasonlóan, a szorzat oszlopvektorai az A oszlopainak lineáris kombinációi. Az A mátrix determinánsa a det A σ( S n sgn σ a 1σ) 1* a nσ) n* valós szám, ahol S n az 1,..., n halmaz permutációinak halmaza, az sgn σ pedig 1 vagy + 1 attól függően, hogy a σ páros vagy páratlan permutáció. Az n 2 és n 3 esetekben det A a 11 a 22 + a 12 a 21 illetve det A a 11 a 22 a 33 + a 11 a 23 a 32 a 12 a 23 a 31 + a 12 a 21 a 33 a 13 a 21 a 32 + a 13 a 22 a 31. A determinánsok szorzástétele szerint az n $ n-es A, B mátrixok esetén det AB det A det B. Az A mátrix adjungáltjának nevezzük, és A adj -al jelöljük azt az n $ n- es, nem csupa nullából álló mátrixot, amelyre teljesül AA adj A adj A det A 1 n. Ismert, hogy az adjungált mátrix mindig létezik, és abban az esetben, ha a mátrix determinánsa nem nulla, egyetlen ilyen mátrix van. Az n 2 és n 3 esetekben illetve A adj, a 22 + a 12 + a 21 a 11 - (1.2) A adj a 22 a 33 + a 23 a 32 + a 12 a 33 a 13 a 32 a 12 a 23 + a 13 a 22 + a 21 a 33 a 23 a 31 a 11 a 33 + a 13 a 31 + a 11 a 23 a 13 a 21 # (1.3) a 21 a 32 + a 22 a 31 + a 11 a 32 a 12 a 31 a 11 a 22 + a 12 a 21 Ha det A /. 0, akkor az A0 1 det A 0 1 A adj mátrixra teljesül AA0 1 A0 1 A 1 n. Az A0 1 mátrixot az A inverz mátrixának nevezzük. Ha det A 0, akkor nem létezik inverze, hiszen det AB det A det B 0 minden B-re, amíg det 1 n 1. Tekintsük az A mátrix elemeiből képzett n egyenletből álló, n ismeretlenes homogén lineáris egyenletrendszert: a 11 X 1 a 12 X 2... a 1n X n 0, a 21 X 1 a 22 X 2... a 2n X n 0,. a n1 X 1 a n2 X 2... a nn X n 0. (1.4)

7 1.2. AZ EUKLIDÉSZI SÍK 7 Ennek mindig van megoldása, nevezetesen 0 0,..., 0, ezt nevezzük a triviális megoldásnak. Nem-triviális megoldás létezése definíció szerint pontosan azt jelenti, hogy az egyenletrendszert meghatározó A mátrix oszlopvektorai lineárisan függők. A nem-triviális megoldások megkeresése az ismert Gauss-féle eliminációs eljárással történik, amikor is az egyenletek lineáris kombinációit képezve alakítjuk azt át. Az (1.4) egyenletrendszernek pontosan akkor van nem-triviális megoldása, ha az átalakítással csökkenteni tudjuk az egyenletek számát, azaz az (1.4) egyik egyenlete kifejezhető a többi lineáris kombinációjaként. Ez nyilván ekvivalens azzal, hogy az A mátrix sorai lineárisan függők. Ezeket összefoglalva kimondjuk az alábbi tételt Tétel (Cramer-szabály). Legyen A n $ n-es mátrix és tekintsük a hozzá tartozó n egyenletből álló, n ismeretlenes (1.4) homogén lineáris egyenletrendszert. Ekkor az alábbiak ekvivalensek: (i) (ii) (iii) Az egyenletrendszernek létezik nem-triviális megoldása. Az A mátrix sorai lineárisan függők. Az A mátrix oszlopai lineárisan függők. 0. (iv) det A Bizonyítás. Az i, ii és iii pontok ekvivalenciáját a tétel kimondása előtt meggondoltuk. Tegyük fel, hogy det A 0 és tekintsük az A mátrix A adj adjungáltját, erre fennáll A adj A 0. Mivel A adj nem nullmátrix, és tudjuk, hogy a mátrixszorzat sorai A sorainak lineáris kombinációi, ezért azt látjuk, hogy A sorainak egy lineáris kombinációja kiadja a nullvektort, vagyis A sorvektorai lineárisan függők. Eszerint iv 21 ii. Tegyük végül fel, hogy det A 3. 0, azaz A invertálható. Ez egyenértékű azzal, hogy az A által meghatározott f : n n lineáris leképezés invertálható. (Az f inverze az a lineáris leképezés, amelyet A0 1 határoz meg.) Mivel tehát f bijektív és f 0 0, ezért x. 0 esetén f x Az f definíciójának és az (1.4) az összehasonlítása alapján ez azt jelenti, hogy az egyenletrendszernek nincs nem-triviális megoldása. Ezzel beláttuk, hogy i 51 iv Az euklidészi sík Általános értelemben síknak nevezünk minden olyan 87, 9, I halmazhármast, ahol I egy 7;: 9 -n értelmezett szimmetrikus reláció. 7 elemeit pontoknak, 9 elemeit egyeneseknek hívjuk, P 7, e 9 elemre PIe esetén azt mondjuk, hogy a P pont illeszkedik az e egyenesre. Bevett szokás, hogy

8 < < 8 1. FEJEZET. AZ EUKLIDÉSZI SÍK TRANSZFORMÁCIÓI az egyeneseket azonosítjuk a rájuk illeszkedő pontok halmazával. Ekkor PIe esetén azt is mondjuk, hogy e tartalmazza P-t, valamint beszélünk két egyenes metszetéről, stb Definíció. Az euklidészi sík 7 ponthalmaza a valós számpárok $ halmaza. Az egyeneseket mint az ax by c 0 alakú egyenletek megoldáshalmazait tekintjük: : ax by c < 0, x, y 2 ax by c 0. Az I illeszkedési relációt természetes módon, azaz a tartalmazás feltételével értelmezzük. A P 1 x 1, y 1 és P 2 x 2, y 2 pontok távolsága alatt a d P 1, P 2 >= x 1 + x 2 2 y 1 + y 2 2 valós számot értjük. Megjegyzés. A távolságfüggvény fenti definíciója azt jelenti, hogy az euklidészi síkon adottnak tekintett koordinátarendszer Descartes-féle derékszögű koordinátarendszer. Amikor az ax by c 0 alakú egyenletekről beszélünk, akkor feltételezzük, hogy az adott egyenlet nem-triviális, azaz az a és b számok nem lehetnek egyszerre nullák. Ellenkező esetben ugyanis az egyenlet megoldáshalmaza vagy az üres halmaz (ha c. 0), vagy a teljes $ (ha c 0). Ezen ponthalmazokat természetesen nem tekintjük egyeneseknek. Továbbá az ax by c 0 és a X b Y c 0 egyenleteket nem tekintjük különbözőknek, ha létezik egy λ. 0 valós szám, amelyre a λa, b λb és c λc teljesül Definíció. Az a, b vektort az < : ax by c 0 egyenes normál- 0, akkor m + a? b, t + c? b választással < vektorának nevezzük. Ha b. egyenlete Y mx t alakra hozható; ekkor m-et az < meredekségének, t-t az tengelymetszetének nevezzük. Az egyenesek egyenletének Y mx t alakú megadásának előnye, hogy az m és t számok szemléletes információt tartalmaznak az egyenes koordinátarendszerben felvett helyzetéről. Másik előny, hogy az egyenlet megadása egyértelmű. Hátrányosnak mondhatjuk azonban, hogy az y- tengellyel párhuzamos egyenesek nem adhatók meg ilyen alakban; ezeknél a X k formát szoktuk használni. A továbbiakban mindkétféle megadást használjuk, attól függően, hogy az adott esetben melyik egyszerűbb számunkra. Definíció szerint a sík minden pontja meghatároz egy kétdimenziós vektort, ezt a pont helyvektorának is mondjuk. Adott P 1 x 1, y 1, P 2 x 2, y 2

9 < < 1.2. AZ EUKLIDÉSZI SÍK 9 pontok esetén az x 2 + x 1, y 2 + y 1 vektort a P 1 -ből P 2 -be mutató vektornak nevezzük és +@+ P 1 P 2 -vel jelöljük. A következő lemma bizonyítása triviális Lemma. Legyenek a és b valós számok és tegyük fel, hogy nem mindkettő nulla. Ekkor az ax by 0 egyenlet minden megoldása + λb, λa, λ alakú. 6 Egy Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerben a P x, y pont origó körüli 90 fokos elforgatottja P + y, x. Tehát az x, y, x, y vektorok pontosan akkor merőlegesek egymásra, ha x, y λ + y, x teljesül valamely λ valós számra. Az 1.4 lemma szerint ez pontosan megfelel az xx yy 0 egyenlőség teljesülésének. Két egyenes párhuzamos, ha megegyeznek vagy diszjunktak. Ismert, hogy ez azzal ekvivalens, hogy a meredekségeik megegyeznek, illetve, hogy a normálvektoraik egymás skalárszorosai. Ez utóbbit meggondoljuk adott < 1 : a 1 X b 1 Y c 1 0 és < 2 : a 2 X b 2 Y c 2 0 egyenesek esetén. A két egyenes metszete nyilván az a 1 X b 1 Y c 1 0 a 2 X b 2 Y c 2 0 egyenletrendszer megoldáshalmaza, amely átalakítható az a 1 b 2 + a 2 b 1 X c 1 b 2 + c 2 b 1 0 a 1 b 2 + a 2 b 1 Y c 2 a 1 + c 1 a 2 0 egyenletrendszerré. Ha a 1 b 2 + a 2 b 1. 0, akkor ez utóbbi megoldása egyértelmű, azaz a két egyenesnek egyetlen közös pontja van. Tegyük most fel, hogy a 1 b 2 + a 2 b 1 0, az 1.4 lemma szerint ekkor a 2, b 2 λ a 1, b 1 áll fenn valamely λ valós számra, ahol ráadásul λ. 0. Ez pontosan azt jelenti, hogy a két egyenes normálvektora egymás skalárszorosa. Ebben az esetben vagy teljesül λc 1 c 2, és ekkor < < 1 2, vagy nem, amikor pedig 1 A 2 CB. A normálvektor fontos tulajdonsága, hogy merőleges az egyenes irányvektoraira; így nevezzük az egyenes két különböző P 1, P 2 pontja által meghatározott +@+ P 1 P 2 vektorokat. Ha az egyenes egyenlete < : ax by c 0, a pontok koordinátái pedig x 1, y 1 és x 1, y 2, akkor +@+ P 1 P 2 x 2 + x 1, y 2 + y 1 teljesül a x 2 + x 1 D b y 2 + y 1 0. Ez azt jelenti, hogy x 2 + x 1, y 2 + y 1 λ + b, a, azaz az egyenes irányvektorai mind egymás skalárszorosai.

10 10 1. FEJEZET. AZ EUKLIDÉSZI SÍK TRANSZFORMÁCIÓI 1.3. Egyenesek megadása Jól ismert tény, hogy két különböző pont meghatároz egy egyenest. Valóban, ha adott két különböző P 1 x 1, y 1 és P 2 x 2, y 2 pont, akkor y 1 + y 2 X + x 1 + x 2 Y x 1 y 2 + x 2 y 1 0 egy mindkettőt tartalmazó egyenes egyenlete. Ez az egyenes egyértelműen meghatározott, hiszen mint láttuk, két különböző egyenesnek nem lehet egynél több közös pontja. A most felírt egyenlet lehetőséget nyújt arra is, hogy képletet adjunk annak eldöntésére, hogy a P 1 x 1, y 1, P 2 x 2, y 2, P 3 x 3, y 3 pontok egy egyenesre illeszkednek-e. Azt kell ugyanis leellenőrizni, hogy P 3 rajta van-e a P 1 P 2 egyenesen, azaz teljesül-e az egyenlőség. Ez y 1 + y 2 x 3 + x 1 + x 2 y 3 x 1 y 2 + x 2 y 1 0 x 2 + x 1 y 3 + y 1 + x 3 + x 1 y 2 + y 1 0 (1.5) alakra hozható. mondjuk. Az egy egyenesre illeszkedő pontokat kollineárisnak is 1.5. Definíció. Azt mondjuk, hogy a nem kollineáris P 1 x 1, y 1, P 2 x 2, y 2 és P 3 x 3, y 3 ponthármas pozitív, illetve negatív irányítású, ha az x 2 + x 1 y 3 + y 1 + x 3 + x 1 y 2 + y 1 szám értéke pozitív, illetve negatív Definíció. Legyen P 1 x 1, y 1, P 2 x 2, y 2 és P 3 x 3, y 3 három különböző kollineáris pontot. A három pont P 1 P 2 P 3 osztóviszonyának nevezzük azt a λ valós számot, amelyre teljesül +@+ P 1 P 3 λ ++ P 3 P 2. A definícióból adódik, hogy λ E P 1 P 2 P 3 F. 0, + 1, és a pontok helyvektoraira G 1 λ x 3, y 3 x 1, y 1 λ 1 x 2, y 1 λ 2 (1.6) teljesül. Azt mondjuk, hogy P 1 és P 2 közrefogják P 3 -t, ha λ 0. Ekkor µ λ x 1, y 1 5 µ x 2, y 2 áll 1 λ választással 0 H µ H 1 és x 3, y 3 E 1 + µ fenn. Fordítva, az utóbbi egyenletből az osztóviszonyra P 1 P 2 P 3 µ 1 + µ adódik. Ha P 2 P 3, akkor az osztóviszony definíciója nem értelmes. Ha P 1 P 2 illetve P 1 P 3, akkor az osztóviszonyt tekinthetjük + 1-nek illetve 0- nak. Az (1.6) egyenlet szerint két pont és az osztóviszony értéke egyértelműen meghatározza a harmadik pontot.

11 1.3. EGYENESEK MEGADÁSA 11 Három pont kollinearitását illetve az osztóviszony fogalmát a távolságfüggvény segítségével is leírhatjuk. A távolságfüggvény jól ismert tulajdonsága ugyanis a háromszög-egyenlőtlenség: bármely három P 1, P 2, P 3 pont esetén fennáll d P 1, P 2 d P 2, P 3 JI d P 1, P 3, ahol az egyenlőség csak akkor teljesül, ha P 1, P 2 és P 3 elfajuló háromszöget alkotnak, azaz kollineárisak. Pontosabban az egyenlőség szükséges és elegendő feltétele az, hogy a P 1 és P 3 pontok közrefogják P 2 -t. Elmondhatjuk tehát, hogy három pont akkor és csak akkor kollineáris, ha őket megfelelő sorrendben a háromszög-egyenlőtlenségbe helyettesítve egyenlőséget kapunk. A sorrend meghatározza a pontok közrefogását. A λ P 1 P 2 P 3 osztóviszonyra az +K+ P 1 P 3 λ +K+ P 3 P 2 definíció szerint λ d P 1, P 3 d P 3, P 2 teljesül, λ előjelét pedig az alapján határozhatjuk meg, hogy P 1 és P 2 közrefogják-e P 3 -t vagy sem. Megjegyzés. Egyes geometria könyvekben találkozhatunk a közrefogás és az osztóviszony fogalmának a távolságfüggvényre alapuló bevezetésével. Vegyük észre, hogy a mi megközelítésünkben mind az egyenesek illeszkedési tulajdonságai, mind pedig az osztóviszony tisztán lineáris algebrai módszerekkel került bevezetésre, azaz olyanokkal, ahol a meggondolások csak elsőfokú egyenletekre és azok megoldásaira támaszkodnak. Szemléletünk szerint nyilvánvaló tény, hogy minden egyenes ponthalmaza bijektív módon megfeleltethető a valós számok halmazának. Egy r : < bijekciót általában mint egy r : 2 injektív leképezéseket adunk meg, amelyre r <. Az r : 2 leképezés pedig két koordinátafüggvény segítségével, r t x, y : egyváltozós valós függvények. L x t, y t ' alakban állítható elő, ahol 1.7. Definíció. Az < egyenes paraméterezése alatt egy és < között fennálló bijekciót értünk. A paraméterezést lineárisnak nevezzük, ha a koordinátafüggvényei elsőfokúak. Legyen P 1 x 1, y 1 és P 2 x 2, y 2 az < egyenes két különböző pontja. Az (1.6) egyenlőségből adódik, hogy r t M x 2 + x 1 t x 1, y 2 + y 1 t y 1 az < egy lineáris paraméterezése. Valóban, r 0 P 1, r 1 P 2 és t. 0, 1 esetén r t az < -nek azon P 3 pontja, melyre teljesül P 1 P 2 P 3 t 1 + t.

12 12 1. FEJEZET. AZ EUKLIDÉSZI SÍK TRANSZFORMÁCIÓI Vegyük észre, hogy a koordinátafüggvények t-ben lineárisak; a lineáris tagok együttható a +@+ P 1 P 2 vektort, a konstans tagok a P 1 pont helyvektorát adják vissza. Fordítva, legyen r t N u 1 t u 2, v 1 t v 2 az < egy lineáris paraméterezése. Ekkor az < P 1 r 0 és P 2 r 1 két pontjából a fenti módon származtatott paraméterezés pontosan r. Tekintsünk most egy r t u 1 t u 2, v 1 t v 2 lineáris koordinátafüggvényekkel adott 2 leképezést. Ha u 1 és v 1 egyszerre nullák, akkor r konstans és a képhalmaza egyetlen pont. Ha u 1 és v 1 nem egyszerre nullák, akkor r pontosan a < : v 1 X + u 1 Y u 1 v 2 + u 2 v 1 0 egyenes paraméterezése. Ezeket a tulajdonságokat az alábbi állításban foglaljuk össze Állítás. Minden egyenes végtelen sokféleképpen paraméterezhető. Pontosabban, egy adott egyenes lineáris paraméterezései bijekcióba állíthatók az egyenes különböző pontjaiból álló rendezett párok halmazával. Minden nem-konstans lineáris 2 leképezés egy egyértelműen meghatározott egyenes lineáris paraméterezése. Egy egyenesnek léteznek természetesen nem-lineáris paraméterezései is, pl. r t O t 3, 0 az x-tengely egy paraméterezése. Ezek azonban számunkra jelentéktelenek, a továbbiakban kizárólag lineáris paraméterezéssel fogunk foglalkozni, ezért a lineáris jelzőt ezentúl nem is használjuk Affin transzformációk A továbbiakban az euklidészi sík önmagára vett leképezéseinek bizonyos típusait fogjuk vizsgálni. Egy ilyen leképezést P x, y P P x, y alakban tudunk megadni, ahol x és y az x-nek és y-nak mindenütt értelmezett x f x, y, y g x, y függvényei. A sík egy transzformációjáról beszélünk abban az esetben, ha az x, y x, y leképezés bijektív. Tudjuk, hogy ez ekvivalens a leképezés invertálhatóságával, azaz olyan h x, y, k x, y függvények létezésével, amelyek minden x, y esetén teljesítik az x h x, y h f x, y, g x, y ', y k x, y k f x, y, g x, y M egyenlőséget. A sík leképezései közül számunkra csak azok érdekesek, amelyek megőrzik a sík legfontosabb geometriai jellegét, azaz amelyek egyenestartóak Definíció. A sík önmagára vett leképezését egyenestartónak nevezzük, ha kollineáris pontok képei is kollineárisak. Ha egy leképezés egyenestartó és bijektív, akkor kollineációról beszélünk.

13 1.4. AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK 13 Megjegyzés. A fenti értelemben a konstans P x, y Q P 0 x 0, y 0 leképezés is egyenestartó. Általánosan igaz, hogy egy egyenestartó leképezés esetén egy egyenes képe egyenes vagy pont Definíció. A sík P x, y P P x, y, R x a 11 x a 12 y b 1, y a 21 x a 22 y b 2 alakú leképezéseit affin leképezéseknek nevezzük Állítás. Affin leképezések szorzata és (amennyiben létezik) inverze is affin leképezés. A ϕ : P x, y P P x, y, R x a 11 x a 12 y b 1, y a 21 x a 22 y b 2 affin leképezés akkor és csak akkor invertálható, ha a 11 a 22 + a 12 a 21. 0, és pontosan akkor konstans, ha minden a i j 0. Ha a 11 a 22 + a 12 a 21 0, de nem minden a i j 0, akkor ϕ képhalmaza egy egyenes. Bizonyítás. Az affin leképezések szorzatára vonatkozó állítás könnyen leellenőrizhető. Tekintsük most a ϕ affin leképezést; ez nyilván pontosan akkor konstans, ha a 11 a 12 a 21 a Ha a 11 a 22 + a 12 a 21. 0, esetén az akkor minden rögzített x, y x a 11 x a 12 y b 1, y a 21 x a 22 y b 2 egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van x-re és y-ra, ami ráadásul x as11 x as12 y bs1, y as21 x as22 y bs2 alakú, azaz ϕ invertálható és az inverz szintén affin leképezés. Tegyük végül fel, hogy a 11 a 22 + a 12 a 21 0, de nem minden a i j 0. Az 1.4 lemma szerint ekkor az a 11, a 12 és a 21, a 22 vektorok közül az egyik előáll, mint a másik skalárszorosa. Ez azt jelenti, hogy léteznek u, v hogy nem mindkettő nulla és számok úgy, u a 11, a 12 v a 21, a 22 % ua 11 va 21, ua 12 va 22 0, 0. Ekkor viszont minden x, y esetén ux vy ua 11 va 21 x ua 12 va 22 y ub 1 vb 2 ub 1 vb 2, azaz a w + ub 1 + vb 2 választással minden képpont illeszkedik az < : ux vy w 0 egyenesre. Végül a következő tétel bizonyításából kiderül, hogy ϕ képhalmaza maga az < egyenes. 6

14 14 1. FEJEZET. AZ EUKLIDÉSZI SÍK TRANSZFORMÁCIÓI Tétel. Az affin leképezések egyenestartók, a bijektív affin leképezések pedig az osztóviszonyt is megtartják. Bizonyítás. Legyen P 1 x 1, y 1, P 2 x 2, y 2, P 3 x 3, y 3 három különböző kollineáris pont; az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy P 1 és P 2 közrefogják P 3 -t. Ekkor az (1.6) egyenlőség szerint valamely 0 H µ H 1 számra x 3, y µ x 1, y 1 µ x 2, y 2 és P 1 P 2 P 3 µ 1 + µ teljesül. Jelölje P1 x1, y 1, P2 x2, y 2, P3 x3, y 3 a fenti pontok képeit az x, y J x, y a 11 x a 12 y b 1, a 21 x a 22 y b 2 affin leképezés mellett. Ezekre adódik, hogy x3, y 3 a 11 x 3 a 12 y 3 b 1, a 21 x 3 a 22 y 3 b 2 a 11 M 1 + µ x 1 µx 2 a 12 ' 1 + µ y 1 µy 2 b 1, a 21 M 1 + µ x 1 µx 2 a 22 M 1 + µ y 1 µy 2 b µ a 11 x 1 a 12 y 1 b 1, a 21 x 1 a 22 y 1 b 2 M µ a 11 x 2 a 12 y 2 b 1, a 21 x 2 a 22 y 2 b µ x1, y 1 µ x2, y 2, kollineáris pontok. Továbbá, amennyiben ami bizonyítja, hogy P1, P 2, P 3 P1. P2, úgy P 1, P 2 és P 3 különböző pontok, melyek P1 P P 2 3 osztóviszonya megegyezik az eredeti pontok P 1 P 2 P 3 osztóviszonyával. 6 Az alfejezet hátralévő részében ez utóbbi tétel megfordítását bizonyítjuk, azaz megmutatjuk, hogy az euklidészi síkon minden egyenestartó transzformáció affin transzformáció Lemma. Legyenek P 1 x 1, y 1,, P 2 x 2, y 2, P 3 x 3, y 3 az euklidészi sík tetszőleges (nem feltétlenül különböző) pontjai és definiáljuk az O 0, 0, E 1 1, 0, E 2 0, 1 pontokat. Ekkor létezik ϕ affin leképezés, amelyre ϕ O P 1, ϕ E 1 P 2 és ϕ E 2 P 3 teljesül. A ϕ leképezés akkor és csak akkor invertálható, ha a P 1, P 2, P 3 pontok nem kollineárisak. Bizonyítás. Az általános x, y a 11 x a 12 y b 1, a 21 x a 22 y b 2 affin transzformáció esetén O b 1, b 2, E 1 a 11 b 1, a 21 b 2 és E 2 a 12 b 1, a 22 b 2, azaz a 11 x 2 + x 1, a 12 x 3 + x 1, a 21 y 2 + y 1, a 22 y 3 + y 1, b 1 x 1, b 2 y 1 választással egy, a tételben megfogalmazott feltételeknek eleget tevő ϕ affin leképezést kapunk. Az 1.11 állítás szerint ϕ akkor és csak akkor invertálható, ha x 1 + x 1 y 3 + y 1 + x 3 + x 1 y 2 + y 1 T. 0,

15 1.4. AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK 15 ami az (1.5) egyenlőség szerint azzal ekvivalens, hogy a P 1, P 2, P 3 pontok nem kollineárisak. 6 Megjegyzés. Az O 0, 0, E 1 1, 0, E 2 0, 1 pontokat a koordinátarendszer alappontjainak nevezzük. Egy ponthalmazról azt mondjuk, hogy általános helyzetben vannak, ha nincs három kollineáris pontja Lemma. Legyen f : esetén teljesíti a f x y olyan leképezés, amely minden x, y f x f y és f xy R f x f y egyenlőségeket. Ekkor f vagy az azonosan 0 leképezés vagy az identitás -en. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy az f : leképezés eleget tesz a tételbeli feltételeknek. Erre fennáll f 0 f 0 0 f 0 f 0 és f 1 f 1 1 f 1 2, amiből következik, hogy f 0 0 és f 1 0 vagy f 1 1. Ha f 1 0, akkor minden x esetén f x f 1x 0 f x 0, azaz f az azonosan nulla leképezés. Tegyük fel a továbbiakra, hogy f , azaz f 1 1. Mivel 0 f x + x M f x U f + x, így f + x + f x. Ha n pozitív egész, akkor f n f f f 1 n teljesül. Ha n H 0 negatív egész, akkor f n + f + n Ha r n? m WV, ahol n, m WX egészek, akkor + + n n. n f n f rm f r f m f r m, amiből f r n? m r adódik. Megmutatjuk, hogy x H y esetén f x H f y teljesül minden x, y valós szám esetén. Ekkor ugyanis létezik egy a G y + x a 2 áll fenn, amiből azt kapjuk, hogy 0 valós szám, amelyre f y + f x f x + y f a 2 f a 2 G 0. x. Mi- Tegyük végül fel, hogy létezik x valós szám, amelyre f x Y. vel f x is valós, így ekkor létezik egy r ZV racionális szám, amely x és f x közé esik, ha például x H f x, akkor x H r H f x. f monotonitása miatt viszont x H r-ből f x H f r r kellene következzen, tehát ellentmondáshoz jutottunk. Nyilván ugyanígy ellentmondást kapunk, ha x G f x -et tételezzük fel. Vagyis egyetlen x esetén sem állhat fent x. f x, azaz f id Lemma. Legyen ϕ az euklidészi sík olyan egyenestartó transzformációja, amely fixen hagyja a koordinátarendszer három alappontját. Ekkor ϕ a sík identikus leképezése.

16 < FEJEZET. AZ EUKLIDÉSZI SÍK TRANSZFORMÁCIÓI Bizonyítás. Mivel ϕ bijektív, két egyenesnek képének pontosan akkor van közös pontja, ha az eredeti egyeneseknek volt, vagyis ϕ megtartja a párhuzamosságot. Világos továbbá, hogy egy egyenes képét egyértelműen meghatározza két pontjának a képe. Mivel ϕ-nek van két fixpontja az x- illetve az y-tengelyen, ezért ezek fixegyenesek. A legelső megjegyzés szerint pedig függőleges, illetve vízszintes egyenesnek a képe is függőleges, illetve vízszintes. Ez pontosan azt jelenti, hogy a P x, y pont képének első koordinátája csak x-től, a második pedig csak y-tól függ. A ϕ leképezés tehát x, y P f x, g y M alakban adható meg. Az alappontok fixen hagyása miatt f 0 g 0 0 és f 1 g 1 1, s így 1, 1 [ f 1, g 1 M 1, 1 szintén fixpont. Az ezt a pontot O-val összekötő Y X egyenes tehát fixegyenes, amire az x, x alakú pontjainak f x, g x képei is illeszkednek, azaz f x g x minden x esetén. Az < : X Y + c 0 egyenes átmegy a c, 0 és 0, c pontokon, ennek képe pedig átmegy az f c, 0 és 0, f c ' pontokon, azaz < : X Y + f c 0. A P x, y ponton átmenő < : X Y + x + y 0 egyenes képe tehát az < : X Y + f x y 0, ami tartalmazza a P pont P f x, f y ' képét. Vagyis f x 5 f y + f x y 0 teljesül minden x, y esetén. Hasonlóan belátjuk, hogy f xy f x f y ; a triviális részektől eltekintve feltehetjük, hogy x, y. 0. Az O 0, 0 és P 1, m pontokat összekötő Y mx egyenes képe az O-t P 1, f m M -el összekötő Y f m X egyenes. Az 0P (P P x, y ) egyenes képe tehát Y f x0 1 y X egyenletű, és tartalmazza a P f x, f y M pontot, azaz f y f x0 1 y f x teljesül minden 0. x, y esetén. Abból z x0 1 y helyettesítéssel y xz és f x f z adódik. f xz Kapjuk tehát, hogy f eleget tesz az 1.14 lemma feltételeinek, és mivel f 1 1, így f x x minden x elemre. Ez pontosan azt jelenti, hogy ϕ az identikus leképezés a síkon. 6 A fenti lemmákat követően fejezetünk fő tétele már könnyen bebizonyítható Tétel. Az euklidészi sík egyenestartó transzformációi pontosan az invertálható affin leképezések. Bizonyítás. Tekintsük a sík egy tetszőleges ϕ egyenestartó transzformációját és legyen P 1 ϕ O, P 2 ϕ E 1, P 3 ϕ E 2. Az 1.13 lemma szerint létezik egy α affin leképezés, amelyre α O P 1, α E 1 P 2 és α E 2 P 3. A sík β ϕ0 1 & α leképezésre fennáll β O β E 1 β E 2 ϕ0 1 α O ' ϕ0 1 P 1 ϕ0 1 α E 1 M ϕ0 1 P 2 ϕ0 1 α E 2 M ϕ0 1 P 3 O, E 1, E 2,

17 1.5. AFFIN TRANSZFORMÁCIÓ HATÁSA A VEKTOROKON 17 azaz β fixen hagyja a koordinátarendszer három alappontját. Az 1.15 lemma szerint ekkor β ϕ0 1 & α id, amiből következik, hogy ϕ α affin transzformáció Következmény. Az euklidészi sík önmagára vett ϕ bijekciójára az alábbiak ekvivalensek. (i) (ii) (iii) ϕ affin transzformáció. ϕ egyenes- és osztóviszonytartó transzformáció. ϕ egyenestartó transzformáció. Bizonyítás. Az 1.12 tétel szerint i 21 ii, ii 21 iii triviális, iii 21 i pedig pontosan az 1.16 tétel Affin transzformáció hatása a vektorokon Ebben a fejezetben ϕ az euklidészi sík egy x, y x, y a 11 x a 12 y b 1, a 21 x a 22 y b 2 affin transzformációját jelöli. Tudjuk, hogy a sík P 1 x 1, y 1, P 2 x 2, y 2 pontjai meghatározzák az +\+ P 1 P 2 % x 2 + x 1, y 2 + y 1 vektort. Könnyen meggondolható, hogy a P 3 x 3, y 3, P 4 x 4, y 4 pontok akkor és csak akkor határozzák meg ugyanezt a vektort, ha teljesül x 4 + x 3 x 2 + x 1 és y 4 + y 3 y 2 + y 1. Minden i 1, 2, 3, 4 esetén jelölje P i a P i pont ϕ melletti képét. Mivel teljesül +\+ P1 P % 2 a 11 x 2 + x 1 a 12 y 2 + y 1, a 21 x 2 + x 1 a 22 y 2 + y 1 M, ezért nyilván +@+ P 1 P 2 +K+ +@+ P 3 P 4 esetén igaz lesz P1 P +K+ 2 P3 P 4. Ez lehetővé teszi számunkra, hogy azt mondjuk, hogy a +\+ +K+ P 1 P 2 vektor képe a P1 P 2 vektor, hiszen az utóbbi nem függ a vektort meghatározó konkrét pontpár speciális választásától Definíció. A ϕ : x, y ] a 11 x a 12 y b 1, a 21 x a 22 y b 2 affin transzformáció vektorokon értelmezett hatása alatt a ^ ϕ : u, v P a 11 u a 12 v, a 21 u a 22 v 2 2 lineáris leképezést értjük.

18 ^ FEJEZET. AZ EUKLIDÉSZI SÍK TRANSZFORMÁCIÓI A fentiek szerint minden P 1, P 2 pontra fennáll ^ϕ +\+ P 1 P 2 +_+`+`++`+/+ ϕ P 1 ϕ P 2. A továbbiakban azt vizsgáljuk, hogy a ϕ transzformáció hogyan változtathatja meg ponthármasok irányítását. A P 1, P 2, P 3 ponthármas irányítása definíció szerint a +K+ P 1 P 2, +@+ P 1 P 3 vektorokból képzett 2 $ 2-es mátrix determinánsának előjele, ezért elegendő a ϕ vektorokon értelmezett hatását vizsgálni. Legyen u a u 1, u 2 +K+ P 1 P 2, v a v 1, v 2 +@+ P 1 P 2, u ^ϕ u és v ϕ v. A három pont, illetve azok képeinek irányítását a u 1 v 2 + u 2 v 1, illetve det, u1 u2 v1 v2 - det, a 11 u 1 a 12 u 2 a 21 u 2 a 22 u 2 a 11 v 1 a 12 v 2 a 21 v 1 a 22 v 2 - det,b, u 1 u 2, a 11 a 21 v 1 v 2 - a 12 a 22 -b- det, a 11 a 21 u a 12 a 22-1 v 2 + u 2 v 1 számok előjelei határozzák meg. Ezek tehát egyező, illetve ellentétes előjelűek attól függően, hogy a 11 a 22 + a 12 a 21 pozitív vagy negatív szám. Ezzel bebizonyítottuk az alábbi állítást Állítás. A ϕ affin transzformáció vagy megtartja, vagy pedig megfordítja a sík összes ponthármasának irányítását, attól függően, hogy a 11 a 22 + a 12 a 21 G 0 vagy a 11 a 22 + a 12 a 21 H 0. 6 Eszerint az alábbi definíció értelmes Definíció. A ϕ affin transzformációt irányítástartónak nevezzük, ha teljesül a 11 a 22 + a 12 a 21 G Hasonlósági transzformációk Definíció. Azt mondjuk, hogy az euklidészi síkot önmagára képező ϕ leképezés hasonlósági transzformáció, ha létezik egy λ G 0 szám úgy, hogy minden P, Q pontpárra d ϕ P,ϕ Q ' arányának nevezzük. λd P, Q teljesül. A λ számot a hasonlóság Korábbi definícióink szerint transzformáció alatt invertálható leképezést értünk, ezért ebben az esetben ezt a tulajdonságot külön meg kell mutatnunk.

19 1.6. HASONLÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Állítás. A sík hasonlósági transzformációi egyenestartó bijekciók. Bizonyítás. Legyen ϕ hasonlósági transzformáció λ G 0 aránnyal. Legyenek P 1, P 2, P 3 kollineáris pontok és tegyük fel, hogy P 1 és P 2 közrefogják P 3 -t. Ez pontosan akkor teljesül, ha fennáll a d P 1, P 3 d P 3, P 2 d P 1, P 2 egyenlőség. Ekkor azonban d ϕ P 1,ϕ P 2 M λd P 1, P 2 λd P 1, P 3 λd P 3, P 2 d ϕ P 1,ϕ P 3 M 5 d ϕ P 3,ϕ P 2 ', azaz a ϕ P 1, ϕ P 2 és ϕ P 3 pontok kollineárisak úgy, hogy ϕ P 1 és ϕ P 2 közrefogják ϕ P 3 -t. Ez egyrészt azt mutatja, hogy ϕ egyenestartó, másrészt azt, hogy nem kollineáris pontok képe sem lehet kollineáris, vagyis ϕ injektív. Harmadrészt azt láthatjuk, hogy a P 1 P 2 zárt szakasz képe a ϕ P 1 ϕ P 2 zárt szakasz. Ebből az is következik, hogy a P 1 P 2 egyenes képe a teljes ϕ P 1 ϕ P 2 egyenes, hiszen egy egyenes előáll mint adott középpontú, növekvő hosszúságú zárt szakaszok egyesítése. A szürjektivitás bizonyításához tekintsünk egy tetszőleges P pontot, rögzítsük az e, f metsző egyeneseket és jelöljük e -vel és f -vel ezek képeit. Fektessük a g egyenest P-n keresztül úgy, hogy az messe e -t és f -t a különböző A, illetve B pontokban. Mivel e minden pontja valamely e-beli pont képe, így létezik A e, melyre A ϕ A. Hasonlóan, létezik B f, melyre B ϕ B. Ekkor az AB egyenes képe g, azaz létezik Q AB, amelyre ϕ Q P. Ez bizonyítja ϕ szürjektivitását. 6 Azt mondjuk, hogy az e és f egyenesek merőlegesek, ha irányvektoraik merőlegesek, vagy ami ezzel egyenértékű, a normálvektoraik merőlegesek Állítás. A ϕ : x, y a 11 x a 12 y b 1, a 21 x a 22 y b 2 affin transzformációra az alábbiak ekvivalensek. (i) Merőleges egyenesek ϕ melletti képei is merőlegesek. (ii) a 2 11 a a a és a 11 a 12 a 21 a (iii) a 11 εa 22 és a 12 + εa 21, ahol ε dc 1. (iv) ϕ hasonlósági transzformáció λ = a 2 11 a 2 21 aránnyal. Bizonyítás. Tegyük fel i -t. Az x- és y-tengely irányvektorai 1, 0 és 0, 1, ezek képeinek irányvektorai pedig a 11, a 21 és a 12, a 22. A tengelyek merőlegessége adja az a 11 a 12 a 21 a 22 0 feltételt. Hasonlóan vizsgálva a merőleges X Y 0 és X + Y 0 egyeneseket kapjuk, hogy az 1, + 1 és 1, 1 vektorok a 11 + a 12, a 21 + a 22 és a 11 a 12, a 21 a 22 képei szintén merőlegesek, ezzel megkapjuk ii első azonosságát is.

20 20 1. FEJEZET. AZ EUKLIDÉSZI SÍK TRANSZFORMÁCIÓI Mivel ϕ feltevés szerint bijektív, így az a 11 és a 21 számok nem lehetnek egyszerre nullák (ld. az 1.11 állítást). Az 1.4 lemma szerint ekkor ii második egyenlőségéből a 12, a 22 ε + a 21, a 11 következik, az első feltétel szerint pedig ε dc 1. Ez mutatja a ii 21 iii következtetést. Tegyük fel iii -t és tekintsük a P 1 x 1, y 1, P 2 x 2, y 2 pontokat, illetve ezek P1 x1, y 1, P2 x2, y 2 képeit. Ekkor fennáll d P1, P 2 = x2 + x 1 2 y2 + y 2 1 e f a 11 x 2 + x a 12 y 2 + y 1 hg 2 f a 21 x 2 + x a 22 y 2 + y 1 ig 2 = a 2 11 a 2 e 21 x 2 + x 1 2 y 2 + y 1 2 λd P 1, P 2, ahol λ = a 2 11 a 2 21 G 0, vagyis ϕ hasonlósági transzformáció. Végezetül gondoljuk meg, hogy a ϕ hasonlósági transzformáció esetén egy háromszög három oldala pontosan akkor teljesíti a Pitagorasz-féle a 2 b 2 c 2 azonosságot, ha a kép háromszög oldalai is teljesítik azt. A iv 21 i következtetés így adódik az alábbi állításból: Egy háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha oldalai valamilyen sorrendben teljesítik a Pitagorasz-azonosságot. (Ennek az állításnak az elemi bizonyítása iskolai anyag, koordinátarendszer felhasználásával pedig valódi trivialitás.) 6 A szög fogalmának precíz bevezetése a síkgeometriának egy meglepően bonyolult kérdése. Ezért a pontos definícióval nem foglalkozunk, s így a következő tétel bizonyítása sem tekinthető matematikailag teljesnek. Mindazonáltal ezen a ponton a szemléletes megközelítés számunkra elegendő Tétel. A hasonlósági transzformációk pontosan az euklidészi sík egyenesés szögtartó transzformációi. Bizonyítás. Annak meggondolását, hogy a hasonlósági transzformációk szögtartók, az olvasó szemléletére bízzuk. (Utalhatunk itt a hasonló háromszögekre, vagy a szög koszinusz-tételből való meghatározására.) A tétel megfordítása nyilván következik az 1.23 állításból, hiszen egy egyenesés szögtartó transzformáció merőleges egyeneseket merőlegesbe képez. 6 Megjegyzés. A tételben szükségszerűen követeltük meg a szögtartás mellett az egyenestartást is. Aki jártas az inverziók témakörében, az tudja, hogy azok példát szolgáltatnak szögtartó, de nem egyenestartó transzformációkra.

21 1.7. EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Egybevágósági transzformációk Definíció. Az euklidészi sík önmagára vett távolságtartó leképezéseit egybevágósági transzformációknak nevezzük. Az egybevágósági transzformációk nyilván a hasonlósági transzformációk speciális esetei λ 1 aránnyal. Ez magyarázza azt is, hogy nem követeljük meg a definícióban a leképezés invertálhatóságát (ld. az 1.22 állítást) Tétel. Az euklidészi sík egybevágósági transzformációira alábbi két lehetőség egyike teljesül. (i) Irányítástartó transzformáció alakja x, y x cos α y sin α b 1, + x sinα y cos α b 2 ; (ii) Az irányítást megfordító transzformációk alakja x, y x cos α y sin α b 1, x sinα + y cos α b 2. Bizonyítás. Legyen ϕ az euklidészi sík egybevágósági transzformációja. Mivel minden egybevágósági transzformáció hasonlósági transzformáció is egyben, ezért alkalmazhatjuk az 1.23 állítást, amiből adódik, hogy ϕ alakja x, y a 1 x a 2 y b 1, + εa 2 x εa 1 x b 2, ε jc 1. Korábban láttuk azt is, hogy ϕ hasonlósági aránya λ = a 2 1 a 2 2, azaz egybevágósági transzformáció esetén a 2 1 a Ekkor létezik 0 k α H 2π szám, amelyre a 1 cos α és a 2 sin α áll fenn, vagyis ϕ csakugyan a fenti két típus egyike. Az irányítástartásra vonatkozó kijelentés az 1.19 állításból következik Definíció. Az euklidészi sík egybevágósági transzformációit az alábbi osztályokba soroljuk. (i) Ha ϕ irányítástartó és α 0, akkor eltolásról, (ii) ha ϕ irányítástartó és α. 0, akkor α szögű forgatásról, 0, akkor egyenesre vett (iii) ha ϕ irányításváltó és b 1 cos α 2 b 2 sin α 2. tükrözésről, (iv) ha ϕ irányításváltó és b 1 cos 2 α b 2 sin 2 α 0, akkor csúsztatva tükrözésről beszélünk.

22 22 1. FEJEZET. AZ EUKLIDÉSZI SÍK TRANSZFORMÁCIÓI Az egyes típusok fixpontjainak vizsgálatával az olvasó meggyőződhet arról, hogy a fenti osztályozás megfelel a transzformációk szemléletes leírásának. Az euklidészi sík irányítástartó egybevágósági transzformációit mozgásoknak is nevezzük. Számos számítógépes geometriai programban az euklidészi sík mozgásait egy origó középpontú forgatás és egy eltolás szorzataként kell megadni. Ezért fontos a fenti tétel alábbi következménye Következmény. Ez euklidészi sík minden mozgása egyértelműen előállítható egy origó körüli forgatás és egy eltolás szorzataként Feladatok 1.1. feladat. Legyenek f, g : n n az A l a i j és B l b i j n $ n-es mátrixok által az (1.1) egyenlőség szerint meghatározott lineáris leképezések. Mutassa meg, hogy az f & g leképezés lineáris és az őt megadó C c i j mátrixra teljesül c i j a i1 b 1 j... a in b n j feladat. Mutassa meg, hogy az (1.2) és az (1.3) egyenlőségekben megadott adjungált mátrixokra csakugyan teljesül A adj A det A 1 n feladat. Végezzen számolási feladatokat három kollineáris pont osztóviszonyának meghatározására az euklidészi síkon feladat. Bizonyítsa be a háromszög-egyenlőtlenséget az euklidészi síkon feladat. Mutassa meg, hogy az euklidészi sík P 1, P 2, P 3 pontjaira akkor és csakis akkor teljesül d P 1, P 2 2 d P 2, P 3 és P 1 és P 3 közrefogják P 2 -t. d P 1, P 3, ha kollineárisak 1.6. feladat. Legyen ϕ az euklidészi sík affin transzformációja. Mutassa meg, hogy az < ^ egyenes irányvektorának ϕ melletti képe a ϕ < egyenes irányvektora. Igaz-e hasonló állítás az < normálvektorára? 1.7. feladat. Mutassa meg, hogy egy háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha az oldalhosszúságok valamilyen sorrendben teljesítik az a 2 b 2 c 2 Pitagorasz-azonosságot feladat. Tekintsük az euklidészi sík ϕ : x, y m x cos α y sinα b 1, + x sin α y cos α b 2 egybevágósági transzformációját. Mutassa meg, hogy ha α. 0, akkor ϕ-nek pontosan egy fixpontja van feladat. Legyen ϕ az euklidészi sík ϕ : x, y Q x cos α y sin α b 1, x sinα + y cos α b 2 irányításváltó egybevágósági transzformációja. (i) Ha b 1 cos α 2 b 2 sin α 2. 0, akkor ϕ-nek nincs fixpontja.

23 1.8. FELADATOK 23 (ii) Ha b 1 cos α 2 b 2 sin α 2 0, akkor ϕ fixpontjainak halmaza az < : X sin α Y cos α b 2 0 egyenes. & (iii) Ha b 1 cos 2 α b 2 sin 2 α 0, akkor ϕ 2 ϕ ϕ a sík identikus leképezése.

24 2. fejezet A valós projektív sík Az euklidészi síkon sok kényelmetlenség forrása az a tény, hogy két egyenes metsző vagy párhuzamos is lehet. A térbe kilépve további kellemetlenségek adódnak a párhuzamos egyenesekkel, például perspektivikus ábrázolásnál párhuzamos egyeneseket összefutóként kell feltüntetni. Ezek a megfigyelések vetik fel a közönséges sík fogalmának a módosításának az igényét, amellyel feloldhatjuk a a párhuzamos és metsző egyenesek közti különbségtétel által okozott problémákat Az euklidészi sík végtelen távoli elemei Legyen 87, 9, I az euklidészi sík halmazhármasa és bővítsük a pont- és egyeneshalmazokat a 7 S n7n:f7po és 9 S 9 : 9 o halmazokká a következő módon: 7 o elemeit végtelen távoli pontoknak, az egyetlen elemből álló 9 ooo < o halmaz < o elemét pedig végtelen távoli egyenesnek nevezzük. Az eredeti 7 és 9 elemeit közönséges pontoknak és egyeneseknek hívjuk. A 7 S, 9 S halmazokon az alábbi I S illeszkedést definiáljuk. (I1) (I2) (I3) (I4) (I5) Közönséges pontok és egyenesek között az illeszkedést a hagyományos módon értelmezzük. Minden közönséges egyenesre pontosan egy végtelen távoli pont illeszkedik. Minden végtelen távoli pont illeszkedik legalább egy közönséges egyenesre. Két közönséges egyenes akkor és csak akkor illeszkedik ugyanarra a végtelen távoli pontra, ha nincs közönséges metszéspontjuk. (Azaz ha az euklidészi síkon párhuzamosak.) A végtelen távoli egyenesre pontosan a végtelen távoli pontok illeszkednek, azaz < o mint ponthalmaz megegyezik 7mo -vel. 24

25 2.2. HOMOGÉN KOORDINÁTÁZÁS Definíció. A fenti módon definiált 87 S, 9 S, IS halmazhármast a végtelen távoli elemekkel bővített euklidészi síknak nevezzük Állítás. A végtelen távoli elemekkel bővített euklidészi síkon teljesülnek az alábbiak. (i) (ii) (iii) Bijektív viszony áll fenn a végtelen távoli pontok halmaza és az euklidészi sík egyeneseinek párhuzamossági osztályainak halmaza között. Bármely két különböző ponthoz létezik pontosan egy mindkettőt tartalmazó egyenes. Bármely két különböző egyeneshez létezik pontosan egy mindkettőre illeszkedő pont. Bizonyítás. (I2) szerint értelmezhetünk egy 9 7 o leképezést, ami (I3) szerint szürjektív. (I4) pedig azt biztosítja, hogy két egyenes képe akkor és csak akkor egyezik meg, ha azonos párhuzamossági osztályba tartoznak, ami azt jelenti, hogy a leképezés egy bijekciót indukál a párhuzamossági osztályok halmaza és 7 o között. Két közönséges pontot egy közönséges egyenes, két végtelen távoli pontot pedig a végtelen távoli egyenes köti össze. Ha P közönséges, Q pedig egy végtelen távoli pont, akkor őket az a közönséges egyenes köti össze, amely átmegy P-n és abba a párhuzamossági osztályba tartozik, amely az i -ben említett módon Q-nak megfelel. Két metsző közönséges egyenes közönséges pontban metszi egymást. Két párhuzamos közönséges egyenes ugyanazt a végtelen távoli pontot tartalmazza, tehát ezek egy végtelen távoli pontban metszik egymást. Végül e közönséges egyenes és < o közös pontja az (I2) szerint e-re illeszkedő végtelen távoli pont. 6 A továbbiakban a végtelen távoli elemekkel bővített euklidészi síkkal fogunk dolgozni. Pont, illetve egyenes alatt egyaránt értünk közönséges, illetve végtelen távoli pontokat és egyeneseket is Következmény. Tekintsük az e, f egyeneseket és a P pontot úgy, hogy P ne illeszkedjék sem e-re, sem f -re. Definiáljuk az π e, f,p : e f vetítést: a Q e pontra legyen π e, f,p Q f A PQ. Ekkor π e, f,p egy bijekciót határoz meg e és f ponthalmazai között Homogén koordinátázás Az előző fejezetben bevezetett kibővített euklidészi sík számos geometriai jelenséget leegyszerűsít. A rajta végzett számolások azonban igen nehézkesek lennének, ha nem vezetnénk be egy megfelelő koordinátarendszert;

26 26 2. FEJEZET. A VALÓS PROJEKTÍV SÍK azonban ez az első pillanatban jelentősen különbözni fog az eddig megszokott koordinátarendszerektől Definíció. Homogén számhármasnak nevezzük az x 0 : x 1 : x 2, (x 0, x 1, x 2 ) hármasokat, ahol nem mindhárom x i egyenlő nullával és amelyek skalárszorzó erejéig vannak egyértelműen meghatározva. Azaz az x 0 : x 1 : x 2 és y 0 : y 1 : y 2 homogén hármasokat pontosan akkor tekintjük egyenlőknek, ha létezik 0. λ szám, amelyre y 0 λx 0, y 1 λx 1 és y 2 λx 2. Hangsúlyozzuk, hogy a homogén számhármasok nem vektorok, viszont minden nullvektortól különböző 3-dimenziós vektor meghatároz egy homogén számhármast. Tekintsük az a 0 X 0 a 1 X 1 a 2 X 2 0 alakú 3-változós homogén lineáris egyenletet. Ha ennek az x 0, x 1, x 2 számhármas megoldása, akkor minden 0. λ szám esetén λx 0, λx 1, λx 2 is megoldása, azaz értelmes azt mondani, hogy az x 0 : x 1 : x 2 homogén számhármas megoldása a fenti homogén lineáris egyenletnek Definíció. Jelölje 7 proj a valós homogén számhármasok halmazát és jelölje 9 proj a 3-változós homogén lineáris egyenletek halmazát. Definiáljuk az I proj relációt oly módon, hogy egy homogén számhármas pontosan akkor áll relációban egy homogén lineáris egyenlettel, ha megoldása neki. Ekkor a 87 proj, 9 proj, I proj halmazhármas által alkotott síkot valós projektív síknak nevezzük. A 7 proj illetve 9 proj halmazok elemeit projektív pontoknak, illetve projektív egyeneseknek nevezzük. Vegyük észre, hogy a 3-változós homogén lineáris egyenletek és a homogén számhármasok között kölcsönösen egyértelmű kapcsolat áll fenn, hiszen egyrészt egy ilyen egyenlet három együtthatója nem lehet egyszerre nulla, másrészt pedig az együtthatók skalárszorzó erejéig vannak meghatározva. Ennek értelmében az a 0 X 0 a 1 X 1 a 2 X 2 0 egyenlet által meghatározott egyenes jelölésére az f a 0 : a 1 : a 2g alakot is használjuk, illetve azt mondjuk, hogy az említett egyenest a nullvektortól különböző a 0, a 1, a 2 vektor határozza meg. Ebben a jelölésben egy projektív pont pontosan akkor illeszkedik egy projektív egyenesre, ha az őket meghatározó vektorok belső szorzata nulla. A fentiek értelmében tehát egy projektív pontot végtelen sok számhármassal írhatunk le; bizonyos esetben hasznos lehet egy megállapodás rögzítése arra vonatkozólag, hogy a lehetséges számhármasok közül melyiket használjuk. Ezen megállapodás szerint az x 0 : x 1 : x 2 homogén számhármas normálalakja q 0 x 1 x : : 1r, ha x 2 x. 0, q 0 : 1 : 0r, ha x 2 0 és x 2 x 2 x 1 0, és 1 : 0 : 0, ha x 1 x 2 0. x 1. A projektív sík geometriai struktúráját az alábbi tétel írja le.

27 < < < < 2.2. HOMOGÉN KOORDINÁTÁZÁS Tétel. Legyenek 87 S, 9 S, IS és s7 proj, 9 proj, I proj a végtelen távoli elemekkel bővített euklidészi síkot, illetve a projektív síkot meghatározó halmazhármasok. Definiáljuk a ϕ : 7 S : 9 S 7 : proj 9 proj leképezést: ϕ P x : y : 1, ha P P x, y közönséges pont, P P + b : a : 0, ha P az < : ax by c 0 közönséges egyenes végtelen távoli pontja; valamint ϕ < : ax 0 bx 1 cx 2 0, ha < : ax by c 0 közönséges egyenes, : X 2 0, ha < < o a végtelen távoli egyenes. Ekkor ϕ egy jól értelmezett illeszkedéstartó bijekció a két sík pont- egyeneshalmazai között. Bizonyítás. Az, hogy ϕ jól értelmezett bijekció, az egyenesek esetén következik abból, hogy közönséges egyenes normálvektora nem lehet nullvektor. A ponthalmazoknál ugyanez a tulajdonság csak végtelen távoli pontok esetén szorul meggondolásra, de ez is adódik abból a tényből, hogy két közönséges egyenes akkor és csakis akkor párhuzamos, ha normálvektoraik egymás skalárszorosai. Ezért a 2.2 állítás i pontja alapján ϕ bijekciót határoz meg a kibővített sík végtelen távoli pontjai és a projektív sík X 2 0 egyenesének pontjai között. A ϕ illeszkedéstartása azt jelenti, hogy minden P 7 S, < 9 S, PIS esetén ϕ P I proj ϕ < teljesül. Abban az esetben, ha P P x, y közönséges pont, az < szükségszerűen < : ax by c 0 alakú közönséges egyenes. Ekkor az állítás ϕ definíciója szerint teljesül, hiszen mindkét illeszkedést az ax by c 0 egyenlet határozza meg. Szintén igaz, hogy végtelen távoli pont képe illeszkedik a végtelen távoli egyenes képére. Végül tegyük fel, hogy P az < : ax by c 0 egyenes végtelen távoli pontja, ekkor nyilván P + b : a : 0 illeszkedik az < egyenes : ax 0 bx 1 cx 2 0 képére. 6 Ezzel megmutattuk, hogy a kibővített euklidészi sík és a projektív sík izomorfak. A továbbiakban nem is fogunk különbséget tenni a két sík között. Azaz egyrészt a homogén számhármasokat a végtelen távoli elemekkel bővített euklidészi sík koordinátarendszereként használjuk. Másrészt pedig az euklidészi síkot mint a projektív sík azon részhalmazát tekintjük, amelyet az X 2 0 projektív egyenes ponthalmazának elhagyásával nyerünk. Az alfejezet végén meggondoljuk, hogy koordinátákkal kifejezve mit jelent három projektív pont kollinearitása. Tegyük fel, hogy a P x 0 : x 1 :

28 28 2. FEJEZET. A VALÓS PROJEKTÍV SÍK x 2, Q y 0 : y 1 : y 2, R z 0 : z 1 : z 2 pontok mind illeszkednek az < : u 0 X 0 u 1 X 1 u 2 X 2 0 egyenesre. Ez pontosan azt jelenti, hogy az x 0 U 0 x 1 U 1 x 2 U 2 0 y 0 U 0 y 1 U 1 y 2 U 2 0 z 0 U 0 z 1 U 1 z 2 U 2 0 homogén lineáris egyenletrendszernek van nem-triviális megoldása, nevezetesen u 0, u 1, u 2. A Cramer-szabály szerint ez azzal ekvivalens, hogy az együtthatókból, azaz a három pont homogén koordinátáiból alkotott mátrix determinánsa nulla: det x 0 x 1 x 2 y 0 y 1 y 2 z 0 z 1 z 2 # Állítás. Három projektív pont akkor és csakis akkor kollineáris, ha a homogén koordinátáikból alkotott 3 $ 3-as mátrix determinánsa nulla. 6 A determináns definíciójából adódik, hogy soraiban és oszlopaiban lineáris. Speciálisan, ha a mátrix egyik sorát megszorozzuk egy λ számmal, akkor a determináns értéke is λ-szorosára változik. Ebből is látszik, hogy bármely pontnál tetszőlegesen választhatjuk meg az őt előállító vektort. A Cramer-szabály ismételt felhasználásából adódik, hogy ha P, Q és R kollineáris, akkor az őket meghatározó x 0, x 1, x 2, y 0, y 1, y 2, z 0, z 1, z 2 vektorok lineárisan függők, azaz léteznek c 1, c 2, c 3 nem mind nulla és c 1 x 0, x 1, x 2 c 2 y 0, y 1, y 2 c 3 z 0, z 1, z 2 Ha c 3 csak úgy lehetséges, ha egymás skalárszorosai, vagyis P P. Q, akkor c 3. 0, és a fenti egyenlet számok úgy, hogy % 0, 0, 0. 0, akkor már x 0, x 1, x 2 és y 0, y 1, y 2 is lineárisan függők, ami Q. Ha tehát z 0, z 1, z 2 alakra hozható, ahol λ, µ λ x 0, x 1, x 2 µ y 0, y 1, y 2 nem lehetnek egyszerre nullák Állítás. Ha P x 0 : x 1 : x 2 és Q y 0 : y 1 : y 2 különböző projektív pontok, akkor a PQ egyenes ponthalmaza R z 0 : z 1 : z 2 4 z 0, z 1, z 2 λ x 0, x 1, x 2 µ y 0, y 1, y 2, λ, µ t. u