Halmazelméleti alapfogalmak

Átírás

1 Halmazelméleti alapfogalmak halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. - halmaz alapfogalom. z azt jelenti, hogy csak példákon keresztül magyarázzuk, szemléltetjük, de értelmezése nincs. - halmazelméletet, melyet önálló diszciplínává antor fejlesztett a XIX. század második felében, a matematika minden ága felhasználja. (Georg antor német matematikus, ). - halmazokat az nagybetivel jelöljük. gy halmaz elemeit, az kisbetivel jelöljük. - zt a tényt, hogy x elem az halmaz eleme (hozzátartozik az halmazhoz) x jelöljük és x eleme halmaznak olvassuk. z x jelölés olvasata: x nem eleme -nak (x elem nincs benne az halmazban). halmaz megadása. - halmaz megadható az elemei felsorolásával, vagyis szintetikus módon. felsorolt elemeket { } zárójelbe írjuk. Minden elemet csak egyszer írunk le. felsorolt elemek sorrendje nem számít. z ilyen halmazokat rendezetlen halmazoknak nevezzük. Például: {1,, 3}= {, 1, 3}, stb. mennyiben a sorrend is számít, a halmazt rendezett halmaznak nevezzük, és ( ) zárójelbe írjuk. Rendezett halmazokkal a kombinatorikában foglalkozunk. Például: (1,, 3) (, 1, 3), stb - halmaz másik megadási módja az analitikus megadás, vagyis megadjuk a halmaz elemeinek jellemz tulajdonságát. jelölési mód formája: p x x; p x x vagy Olvasd: azon x elemek halmaza, amelyekre p(x), vagyis azon x elemek halmaza, amelyek rendelkeznek a p(x) tulajdonsággal. Pl. x 10 x 35, x5, x N x N 10 x 35, x5 x N; 10 x 35, x5 Kiolvasása: azon x számok, melyek 10 és 35 között vannak, utóbbit beleértve, amelyek oszthatók 5-tel és természetes számok. Szabatosan, tömören fogalmazva: azon, 5-tel osztható természetes számok halmaza, amelyek 10 és 35 között vannak, beleértve az utóbbit. z halmaz felsorolással megadva: 15,0,5,30,35. gy halmazban lehet véges számú elem, végtelen számú (pl. a természetes számok halmazában), vagy egyetlen elemet sem tartalmaz. z utóbbi neve üres halmaz, jele:ø. Ha az halmaz minden eleme a halmaznak is eleme, akkor azt mondjuk, hogy részhalmaza -nek. Jele:. Kiolvasása: halmaz részhalmaza halmaznak, benne van a -ben, magában foglalja (tartalmazza) -t. 1

2 z az értelmezés tömörítve: def x x. Ugyanez Venn-uler diagrammal: - z halmaz részhalmazai között van az Ø és maga halmaz is. zeket az halmaz nem valódi részhalmazainak nevezzük. - z halmaz többi részhalmazának a neve az valódi részhalmazai. Ha azt akarjuk jelölni, hogy halmaz valódi részhalmaza -nek, akkor a részhalmaz jelet használjuk, vagyis:. - z halmaz részhalmazainak a halmazát P() jelöli: Vagyis P X X. Tétel: n Ha az halmaznak n eleme van ( n 0 ), akkor részhalmazainak száma. z az állítás matematikai indukcióval, Newton binom- képletével bizonyítható. Pl. P ( ) O, a, b, c, a, b, a, c, b, c,. Legyen = {a, b, c}. Írjuk föl a P()-t. 3 Látható, hogy a megadott 3 elemes halmaznak 8 darab részhalmaza van. Általában egy n elem halmaz esetén P()-nak n eleme van. Két halmaz egyenl, ha ugyanazokat az elemeket tartalmazza, vagyis egymásnak kölcsönösen részhalmazai: ( ) ( ). Halmazmveletek 1. Halmazok egyesített halmaza tartalmazza szóban forgó halmazok összes elemét x x x. Két vagy több halmaz metszete csak azon elemeket tartalmazza, amelyek mindenik halmazban elfordulnak. x x x. def z ábrán a mindkét irányban satírozott rész. Ha két halmaz metszete az üres halmaz, azaz ezeket diszjunkt halmazoknak nevezzük. 3. Két halmaz különbséghalmaza az els halmaz azon elemeit tartalmazza, amelyek nincsenek meg a második halmazban. x x x. (jelöljük \ -vel is.) 4. gy halmaznak adott halmazra vonatkozó kiegészít (komplementer) halmaza tulajdonképpen a két halmaz különbsége: Ha, akkor x x x.

3 5. Két halmaz szimmetrikus különbségén azt értjük, ami benne van a két halmaz valamelyikében, de nincs benne a metszetben. z értelmezése a következ: ( \ ) ( \ ) vagy ( )\( ) 6. Két halmaz Descartes-szorzata a két halmaz elemeibl képezett rendezett elempárok halmaza. x, y x, y mennyiben ezek a halmazok számhalmazok, a Descartes-szorzat mértani ábrázolása derékszög koordináta rendszerben lehetséges. Ha és halmazok egész számokat tartalmaznak, akkor a sík rácspontjainak részhalmazát kapjuk ábraként. Pl. Ha = {, 3, 5}, = {1, 3}, akkor = {(,1); (,3); (3,1); (3,3); (5,1); (5,3)}. z így kapott szorzat rácspontjai a mellékelt ábrán láthatók Ha és zárt intervallumok, akkor az x képe egy téglalap, a belsejével együtt. Pl. Ha = [, 5], = [1, 3], akkor az szorzat mértani képe az ábrán látható téglalap és annak belseje. Nyilvánvaló, hogy amennyiben nyílt, vagy félig nyílt, félig zárt intervallumokat veszünk, e szerint fog változni az, hogy a téglalap belsejéhez éppen melyik határszakasza fog hozzátartozni. 3

4 4 halmazokkal végzett mveletek tulajdonságai: O, O O, akkor Ha,, (de Morgan képletek) Halmazelméleti összefüggések bizonyítása:

5 izonyítás axiomatikusan: Igazolni fogjuk, dupla bennfoglaltatással, hogy M ( ) () () N és N () () ( ) M (1) Ha xm ( ), akkor xx( ), azért x így x( ) x( ), tehát x( ) ( ) N x esetén, azért M N. Fordítva: () Ha x () () N, akkor x( ) x( ), ezért x így x( ) M x esetén, azért N M. Tehát M = N Nevezetes számhalmazok: természetes számok halmaza: N 0,1,,3,... z egész számok halmaza: Z..., 3,, 1,0,1,,3,... a racionális számok halmaza: Q.= a, b Z, b 0 b Valós számok halmaza: R Irracionális számok halmaza: R \ Q Minden olyan számhalmaz esetében, ha a halmaz nem tartalmazza a 0-t, akkor a szokásos jelölés, hogy megcsillagozzuk a halmaz nagybetjét: N* = N \ {0}. számhalmazok között fennáll a következ bennfoglalás: N Z Q R. N Z Q R 5

6 Függvények Ha az minden elemének megfeleltetünk a halmaz legfeljebb egy elemét, akkor az ilyen f megfeleltetést, függvénynek (leképezésnek) nevezzük. z a függvény értelmezési tartománya és a a függvény értékkészlete. Tehát egy függvényt három elem határoz meg: az értelmezési tartomány, a értékkészlet és a megfeleltetési törvény (eljárás). f függvény jelölése f : vagy. Ha a, akkor az f( a) értéket az a elem képének vagy helyettesítési értéknek nevezzük. Ha az halmaz számhalmaz, akkor az f : függvényt számfüggvénynek nevezzük. Ha M f( M) f( x) x M. és Im( f ) akkor az M halmaz képe z Im( f ) f( ) f( x) x. halmazt a függvény képhalmazának nevezzük, (, ), ( ) G x y x y f x halmazt az f grafikonjának nevezzük. z f(x)= 0 egyenlet megoldásai az f függvény és az OX tengely metszéspontjának az x koordinátáját adja. z f : függvényt monoton növekvnek (csökkennek) nevezzük, ha x1, x esetén f( x1) f( x) illetve f( x1) f( x). monotonítás tanulmányozása f ( x) f( x1) végett az tört eljelét szoktuk tanulmányozni. x x1 z f : R R, f( x) ax b függvényt elsfokú függvénynek nevezzük, amely szigorúan növekv, ha a> 0 és szigorúan csökken, ha a<0 és állandó, ha a= 0. nevezzük. z alakja. z f : R R, ( ), a 0 függvényt másodfokú függvénynek f x a x b x c b a 4a a x b x c a x 6 a másodfokú függvény kannónikus b z ax bxc0 másodfokú egyenlet megoldó képlete: x1,, ahol a b 4ac

7 másodfokú egyenlet felírása a gyökei segítségével, szorzótényezs alakban: ax bxca xx1 x x másodfokú egyenlet felírása az S és P segítségével: S x1 x és P x1 x z ( ) ( ) x S x P 0 ahol ax bxc 0 másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggések b c (Viéte-féle összefüggések): x1x, x1x a a z b ( ) egyenlet parabola csúcsának a koordinátái: V, a 4a f x a x b x c Ha a 0 akkor min f ( x ) min( ax bx c b ) ha x xr 4a a b Ha a 0 akkor max f( x) max( ax bxc) ha x xr 4a a másodfokú függvény eljeltáblázatai: Ha 0 akkor az f( x) ax bx c eljele: x x 1 x f(x) a eljele 0 a eljele 0 a eljele Ha 0 akkor az f( x) ax bx c eljele: x b x1 x a f(x) a eljele 0 a eljele Ha 0 akkor az f( x) ax bx c eljele: x f(x) a eljele 7

8 b Ha a< 0 akkor a másodfokú függvény monoton növekv, ha x, a, és b monoton csökken, ha x, a. b Ha a> 0 akkor a másodfokú függvény monoton csökken, ha x, a, és b monoton növekv, ha x, a. gy f : függvény páros, ha f( x) f( x) minden x esetén. gy f : függvény páratlan, ha f( x) f( x) minden x esetén. Szürjektív, injektív, bijektív függvények z f : fügvény szürjektív, ha y esetén létezik x úgy, hogy y f( x). kkor is szürjektív, ha f( ). z f : függvény injektív, ha x1, x és f( x1) f ( x) x1 x. z f : függvény bijektív, ha szürjektív és injektív. Tehát bijektív, ha az f-en keresztül az halmaz minden elemének, a halmazból pontosan egy elem felel meg.(egy az egyel való leképezés). gy függvény akkor és csakis akkor invertálható, ha bijektív. ármely függvény 1 1 és inverze között fennáll: f ( x) f( x) f( x) f ( x) x. 8