II. Halmazok. Relációk. II.1. Rövid halmazelmélet. A halmaz megadása. { } { } { } { }

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "II. Halmazok. Relációk. II.1. Rövid halmazelmélet. A halmaz megadása. { } { } { } { }"

Átírás

1 II. Halmazok. Relációk II.1. Rövid halmazelmélet A halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. A halmaz alapfogalom. Ez azt jelenti, hogy csak példákon keresztül magyarázzuk, szemléltetjük, de értelmezése nincs. A halmazelméletet, melyet önálló diszciplínává Cantor fejlesztett a XIX. század második felében, a matematika minden ága felhasználja. (Georg Cantor német matematikus, ) A halmazokat az abc nagybetűivel jelöljük. Azt a tényt, hogy x elem az A halmaz eleme (hozzátartozik az A halmazhoz) x A jelöljük és x eleme A halmaznak olvassuk. Az x A jelölés olvasata: x nem eleme A-nak (x elem nincs benne az A halmazban). A halmaz megadása. -A halmaz megadható az elemei felsorolásával, vagyis szintetikus módon. A felsorolt elemeket { } zárójelbe írjuk. Minden elemet csak egyszer írunk le. A felsorolt elemek sorrendje nem számít. Az ilyen halmazokat rendezetlen halmazoknak nevezzük. -A halmaz másik megadási módja az analitikus megadás, vagyis megadjuk a halmaz elemeinek jellemző tulajdonságát. x p x. { } E jelölési mód formája: ( ) Olvasata: azon x elemek halmaza, amelyekre p(x), vagyis azon x elemek halmaza, amelyek rendelkeznek a p(x) tulajdonsággal. A= x10< x 35, xμ5, x N = x N 10< x 35, xμ5 = x N; 10< x 35, xμ5 { } { } { } Kiolvasása: azon x számok, melyek 10 és 35 között vannak, utóbbit beleértve, amelyek oszthatók 5-tel és természetes számok. Szabatosan, tömören fogalmazva: azon, 5-tel osztható természetes számok halmaza, amelyek 10 és 35 között vannak, beleértve az utóbbit. Az A halmaz felsorolással megadva: A = { 15,20,25,30,35}. Egy halmazban lehet véges számú elem, végtelen számú (pl. a természetes számok halmazában), vagy egyetlen elemet sem tartalmaz. Ez utóbbi neve üres halmaz, jele:ø. Ha az A halmaz minden eleme a B halmaznak is eleme, akkor azt mondjuk, hogy A részhalmaza B-nek. Jele: A B. Kiolvasása: A halmaz részhalmaza B halmaznak, A benne van a B-ben, B magában foglalja (tartalmazza) A-t. Ez az értelmezés tömörítve: def ( A B) ( x A x B). 1

2 Ugyanez Venn-Euler diagrammal: A B Az A halmaz részhalmazai között van az Ø és A maga A halmaz is. Ezeket az A halmaz nem valódi részhalmazainak nevezzük. Az A halmaz többi részhalmazának a neve az A valódi részhalmazai. Ha azt akarjuk jelölni, hogy A halmaz valódi részhalmaza B-nek, akkor a részhalmaz jelet használjuk, vagyis: A B. Az A halmaz részhalmazainak a halmazát P(A) jelöli: P A = X X A. Vagyis ( ) { } n Ha az A halmaznak n eleme van ( n 0 ), akkor A részhalmazainak száma 2. Ez az állítás matematikai indukcióval, Newton binom képletével bizonyítható. A bizonyítást az olvasóra bízom. Legyen A = {a, b, c}. Írjuk föl a P(A)-t. P ( A) = O/, a, b, c, a, b, a, c, b, c, A. { { }{ }{ }{ }{ }{ } } Látható, hogy a megadott 3 elemes halmaznak 3 8= 2 darab részhalmaza van. Két halmaz egyenlő, ha ugyanazokat az elemeket tartalmazza, vagyis egymásnak kölcsönösen részhalmazai: ( A= B) ( A B B A). Halmazműveletek def 1.Halmazok egyesített halmaza tartalmazza szóban forgó halmazok összes elemét A B= x x A x B { } A B 2.Két vagy több halmaz metszete csak azon elemeket tartalmazza, amelyek mindenik halmazban előfordulnak. A B= { x x A x B}. Az ábrán a mindkét irányban satírozott rész. Ha két halmaz metszete az üres halmaz, ezeket diszjunkt halmazoknak nevezzük. A B 3.Két halmaz különbséghalmaza az első halmaz azon elemeit tartalmazza, amelyek nincsenek meg a második halmazban. A B= x x A x B. (jelöljük A \ B-vel is.) { } A B 4.Egy halmaznak adott halmazra vonatkozó kiegészítő (komplementer) halmaza tulajdonképpen a két halmaz különbsége: Ha A E, akkor CE A= E A= x x E x A. { } E 2

3 5.Két halmaz Descartes-szorzata a két halmaz elemeiből képezett rendezett elempárok A B= x, y x A, y B halmaza. ( ) { } Amennyiben ezek a halmazok számhalmazok, a Descartes-szorzat mértani ábrázolása derékszögű koordináta rendszerben lehetséges. Ha A és B halmazok egész számokat tartalmaznak, akkor a sík rácspontjainak részhalmazát kapjuk ábraként. Ha A = {2, 3, 5}, B = {1, 3}, akkor A B = {(2,1); (2,3); (3,1); (3,3); (5,1); (5,3)}. Az így kapott szorzat rácspontjai a mellékelt ábrán láthatók Ha A és B zárt intervallumok, akkor az AxB képe egy téglalap, a belsejével együtt. Ha A = [2, 5], B = [1, 3], akkor az A B szorzat mértani képe az ábrán látható téglalap és annak belseje. Nyilvánvaló, hogy amennyiben nyílt, vagy félig nyílt, félig zárt intervallumokat veszünk, e szerint fog változni az, hogy a téglalap belsejéhez éppen melyik határszakasza fog hozzátartozni. 3

4 A halmazokkal végzett műveletek tulajdonságai: A A= A, A O/ = A A B C = A B A B= B A A B C = A B ( A B) C = A ( B C) Ha A, B E, akkor A A= A, A O/ = O/ CE A B = CE A CE A B= B A CE A B = CE A CE ( A B) C = A ( B C) (de Morgan képletek) Nevezetes számhalmazok: A természetes számok halmaza: N = { 0,1,2,3,... } Az egész számok halmaza: Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,... } ( ) ( ) ( A C) ( ) ( ) ( A C) ( ) B ( ) B a A racionális számok halmaza: Q.= a, b Z, b 0 b Valós számok halmaza: R Irracionális számok halmaza: R \ Q Minden olyan számhalmaz esetében, ha a halmaz nem tartalmazza a 0-t, akkor a szokásos jelölés, hogy megcsillagozzuk a halmaz nagybetűjét: N* = N \ {0}. A számhalmazok között fennáll a következő bennfoglalás: N Z Q R. A halmazműveletek és feladatmegoldás Egy osztályban 30 tanuló van. Ezek háromféle sportkörre járnak: futballozni, kosarazni és úszni. 20 tanuló futballozik, 16 tanuló kosarazik, 10 tanuló úszik, 11-en futballoznak 4

5 és kosaraznak, 7 tanuló futballozik és úszik, 5 tanuló kosarazik és úszik, 4 tanuló mindhárom tevékenységen részt vesz. Hány tanuló nem jár egyetlen sportkörre sem? Megoldás A halmazdiagrammot belülről kifelé haladva kell kitölteni a feladat adatainak megfelelően, aztán számolunk: ( ) + ( ) + 4 =27, = 3 Tehát van 3 tanuló, aki nem vett részt semmilyen sporttevékenységen. Egy 38-as létszámú nagyobb közösségben mindenki jár valamilyen nyelvórára. Angolra 21-en, németre 19-en, franciára 12-en. 7-en járnak angolra is és németre is, 6-on németre és franciára, 3-an pedig angolra és franciára. Hányan vannak akik mind a három nyelvet tanulják? Megoldás Kitöltjüka halmazábrát. Az ismeretlen középső mezőben levők száma legyen x. Ilyenformán a csak a és n = 7-x, a csak n és f = 6-x, csak a és f = 3-x. A csak angol: 21-7-(3-x) = 11+x. A csak német: 19-7-(6-x) = 6+x A csak francia: 12-6-(3-x) = 3+x Ezeket rendre összeadva meg kell kapnunk az összlétszámot: (11 + x) + (6 + x) + (3 + x) + (7 x) + (3 x) + (6 x) x = 38 Tehát 36 + x = 38, x = 2. Ketten tanulják mindhárom nyelvet. 5

6 II.2. A relációk 1. Adottak A = { 2,5} és B= { 10,11,12,15} halmazok. Képezzük az A B Descartes-szorzatot. A B= {(2,10);(2,11);(2,12);(2,15);(5,10);(5,11);(5,12);(5,15)}. Válasszuk a fenti halmaz következő részhalmazát: {( 2,10);(2,12);(5,10);(5,15) }. Vajon milyen szabály szerint válogattunk? Milyen összefüggés figyelhető meg a Descartes-szorzat választott elempárjai között? Ha az elempárok (a,b), akkor a osztója b-nek. A példa az A és B halmaz elemei között egy kapcsolatot értelmez. A példánkban azt mondjuk: aρb (a elem ρ relációban van b-vel), ha a osztója b-nek. A ρ ( ró )görög betű. 2. Maradjunk az előző példa két halmazánál. Ebben a példában ρ relációt megadó szabály legyen: aρb, ha 7a+2>b Ekkor a ρ = {(2,10); (2,11); (2,12); (2,15); (5,10); (5,11); (5,12); (5,15)} = A B halmaz pontosan a megadott relációban levő elempárokat adja meg.. Adottak az A és B halmazok. Az A és B halmazon értelmezett bináris (kétváltozós) reláció az A és B halmazok A B Descartes-szorzatának egy részhalmaza. 6

7 Megjegyzések -Mivel maga a Descartes-szorzat nem kommutatív, a két halmaz szerepe általában nem felcserélhető. -A fenti példákból adódik, hogy a reláció megadásához, a halmazok megadása mellett, elégséges a Descartes-szorzat részhalmazának megadása. Ilyen esetben lehet az a feladat, hogy fogalmazzuk meg a reláció, a válogatás, a megfeleltetés szabályát. -Fordítva is eljárhatunk: megadjuk a két halmazt és azt a szabályt, amely szerint az első halmaz valamely elemének megfeleltetjük a második halmaz valamely elemét. Ilyenkor viszont az lehet a feladat, hogy adjuk meg az A B-nek a relációt leíró részhalmazát, vagyis soroljuk fel a relációban levő elempárokat. -A következőkben a relációban mindig elempár fog szerepelni, vagyis bináris (kétváltozós) relációkról lesz szó. Ezeket röviden relációknak fogjuk nevezni. 3. A={Eszter, Anna, Kincső, Rózsa}, B={eper, málna, egres, alma, szamóca, narancs}. Ha képeznénk az A B szorzatot, annak 24 db eleme lenne. Ebből ad meg a következő reláció ötöt. ρ = {( Eszter, eper)( ; Eszter, egres)( ; Anna, alma)( ; Anna, narancs)( ; Rózsa, szamóca) }. Vajon mi lehet a reláció szabálya? Ha megfigyeljük a megadott relációt, meg tudjuk fogalmazni a reláció törvényét: aρb, ha a és b magánhangzói azonosak. A fenti példákból látható, hogy bármilyen természetű elemeket tartalmazó halmazokkal fogalmazhatunk relációkat. A példák sora szinte kimeríthetetlen. 4. A = {piros, zöld, fehér, sárga}, B = {Sára, Panka, Zelma, Ernő, Flóra}. ( a, b) A B, aρb ha a szó ugyanazzal a betűvel kezdődik, mint b szó. Tehát ρ = {(piros, Panka), (zöld, Zelma), (fehér, Flóra), (sárga, Sára)}. 5. A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 4}, vagyis A = B. ρ = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}. Mi a reláció törvénye? aρ b a b. 6. A = B = a III. éves hallgatók halmaza. ( a, b) A, aρb, ha a hallgató ugyanolyan magas, mint b hallgató. Készítünk egy gyors felmérést. A ρ relációt azok a hallgatópárok alkotják, akik ugyanolyan magasak. Tegyük föl, hogy ezekkel a hallgatókkal dolgoztunk: A = {BM, VE, SA, DM, ME, SzT, SzE, BA} és ezeket az adatokat kaptuk: 1,58 BM, VE 1,59 SA, DM,ME 1,56 SzT 7

8 1,57 SzE 1,53 - BA Tehát ρ = {(BM, BM); (BM, VE); (VE, BM); (VE,VE); (SA, SA); (SA, DM); (DM, SA); (DM, DM); (SA, ME); (ME, SA); (ME, ME); (DM, ME); (ME, DM); (SzT, SzT); (SzE, SzE); (BA, BA)} Ha egy relációban A = B, akkor a relációt bináris homogén relációnak nevezzük. Tehát az utolsó két példa bináris, homogén reláció. A relációk ábrázolása (1)Rács A vízszintes tengelyen sorra ábrázoljuk az A halmaz elemeit, a függőleges tengelyen a B halmaz elemeit, ezeken keresztül rendre függőleges, illetve vízszintes szakaszokat húzunk és az egymással relációban levők metszéspontját megjelöljük. 1. = { 2,5} és B= { 10,11,12,15} A. ρ = {( a, b) a osztja b t} reláció gráfja látható a fenti ábrán. A lenti rács a 3. példa gráfját ábrázolja. 3. A={Eszter, Anna, Kincső, Rózsa}, B={eper, málna, egres, alma, szamóca, narancs}. ρ = Eszter, eper ; Eszter, egres ; Anna, alma ; Anna, narancs ; Rózsa, szamóca {( )( )( )( )( )} 8

9 . (2)Nyíldiagram A legegyszerűbb függvények ábrázolásánál is használjuk. A halmazok elemeit felsorakoztatjuk, a párban levő elemek közé kitesszük a nyilakat a megfelelő irányba. 4. A = {piros, zöld, fehér, sárga}, B = {Sára, Panka, Zelma, Ernő, Flóra}. ρ = {(piros, Panka), (zöld, Zelma), (fehér, Flóra), (sárga, Sára)}. (3)Gráf (pontosabb az irányított gráf megnevezés) Csak a homogén relációkat ábrázoljuk gráffal, vagyis ha ugyanazon a halmazon értelmeztük, A = B. Itt PL.6. ábrája következik gráffal ábrázolva: 9

10 SzT BA BM SA DM SzE VE ME Az önmagába visszakanyarodó nyílat hurokélnek nevezzük. Ez azt jelenti, hogy bármely hallgató relációban van önmagával, mivel önmagával egyenlő magasságú. A következők egy A halmazon értelmezett bináris homogén relációkra vonatkoznak A relációk tulajdonságai (1)Relációban van-e egy elem önmagával, vagy nem? (a)reflexivítás Egy bináris homogén reláció reflexív, ha az A halmaz minden eleme relációban van önmagával. ρ : A A reflexív a A esetén aρ a Ha a relációt gráffal ábrázoljuk, minden elem esetén megvannak a hurokélek. Ha ráccsal ábrázoljuk, az átlóról nem hiányzik egyetlen metszéspont sem Példák 1.)A fenti gráfból látszik, hogy a PL.6.-ban egy reflexív reláció van megadva, minden elemnek relációban van önmagával, minden elem esetében visszafordul önmagába is a nyíl (hurokélek). 2.)A 5.-ban szintén reflexív relációt adtunk meg, mert bármely szám esetén igaz, hogy a a. Az alábbi ábra a 5. ábrája ráccsal: 10

11 3.)A következőkben megadott példáknál csak a halmaz lesz megadva, amelyen a relációt értelmezzük és a reláció rövid leírása. A reflexivítás fennállásának ellenőrzése az olvasóra marad. a.)a természetes számok halmazán az egyenlőségi reláció. (reflexív, mert bármely természetes szám egyenlő önmagával). b.)az emberek egy csoportján az ugyanolyan súlyos reláció c.)az emberek egy csoportján az ugyanolyan magas d.)az emberek egy csoportján az ugyanolyan idős e.)az emberek egy csoportján a nem magasabb f.)a természetes számok halmazán a g.)a Föld országainak halmazán az ugyanazon a földrészen vannak h.)az emberek egy csoportjának halmazán ugyanabban a városban lakik i.)az egy óvodába járó gyerekek halmazán az ugyanabba a csoportba jár j.)az emberek egy csoportjának halmazán nem hosszabb a haja (b)irreflexív reláció Egy bináris homogén relációt akkor nevezünk irreflexívnek, ha egyetlen elem sincs az alaphalmazban, amely relációban lenne önmagával. ρ : A A irreflexív a A esetén a/ ρ a A rácson. illetve a gráfon a reflexivítást jelentő részletek egyetlen esetben sem jelenhetnek meg, vagyis nincs egy hurokél sem és nincs egyetlen pont sem az átlón. 11

12 Példák 1.)Nyilván, hogy a reflexivításnál felhozott példák nem felelhetnek meg. 2.)a.)Egy megye lakóinak halmazán az édesanyja reláció. (Egy lakos akkor van relációban egy másikkal, ha az első édesanyja a másodiknak). Nyilván, mivel senki sem lehet saját magának édesanyja, ezért ez egy irreflexív reláció. b.)az emberek egy csoportja halmazában az alacsonyabb c.)valamely számhalmazban a > d.)az emberek egy csoportján a súlyosabb e.)az emberek egy csoportján a fiatalabb f.)a síklapok halmazán a kisebb területű (Egy síklap relációban van egy másikkal, ha a területe kisebb, mint a másik területe) (2)A kölcsönösséggel kapcsolatos tulajdonságok (a)szimmetria Egy bináris homogén relációt szimmetrikusnak nevezzük, ha abból, hogy egy elem relációban van egy másikkal, következik, hogy a második elem is relációban van az elsővel ρ : A A szimmetrikus ha aρ b, akkor bρ a A gráfon ez úgy látszik, hogy két elem között, vagy nincs nyíl, vagy oda-vissza megy a nyíl. Ha a ráccsal való ábrázolást nézzük, akkor minden pont a főátlóra nézve szimmetrikusan kell elhelyezkedjen, esetleg magán a főátlón lehetnek pontok. Példák 1.)A 5. szimmetrikus reláció, mert ha egyik hallgató magassága egyezik a másikéval, akkor a másodiké is egyezik az elsőével. 2.)A reflexivításnál felsoroltak közül szimmetrikusak: a.), b.), c.), d.), g.), h.), i.) Térjünk ezekre vissza és indokoljuk a szimmetriát. 3.)A háromszögek halmazán a kongruencia 4.)Az egyenesek halmazán a merőlegesség (ha a b b a ). (b)aszimmetria Egy bináris homogén reláció aszimmetrikus, ha egyetlen esetben sem teljesül a szimmetria ρ : A A aszimmetrikus ha aρb, akkor egyetlen esetben sem, hogy bρ a A ráccsal való ábrázolásnál két pontot ha él köt össze, az csak egyirányú lehet. Nincsenek hurokélek sem. A ráccsal való ábrázolásnál nincs olyan pont, amely valamelyik másiknak az átlóra nézve szimmetrikusa lenne. 12

13 Példák 1.)A reflexivításnál megadottak közül egyik sem aszimmetrikus 2.)Az irreflexivításnál megadottak közül a 2.) példában megadott mind a hat reláció aszimmetrikus. (pl. a c.) példánál: ha egy szám nagyobb, mint a másik, akkor nem lehet, hogy a második nagyobb legyen, mint az első). Indokoljuk végig az összes példát. (c)antiszimmetria Egy bináris homogén relációt antiszimmetrikusnak nevezünk, ha abból, hogy aρb és bρa következik, hogy a elem egyenlő a b elemmel. ρ : A A antiszimmetrikus ha abból, hogy ( aρb és bρa) a= b A gráffal való ábrázoláson bármely két pontot nem köt össze él, vagy csak egyik irányú él köt össze. Hurokélek léte nem kizárt. A ráccsal való ábrázolásnál nincs olyan pontpár, amelyek egymás szimmetrikusai az átlóra nézve, illetve ezek csak az átlón lehetnek. Példák 1.)Valamely számhalmaz a relációval (ha a b és b a, akkor a = b) 2.)Valamely számhalmaz a relációval 3.)N, osztója (ha a b és b a, akkor a = b) 4.)A szavak halmazában az ábécésorrendben nem előzi meg reláció (Ha egy szót abc rendben nem előz meg egy másik szó, de a másikat sem előzi meg az első, akkor a két szó ugyanaz kell legyen.) 5.)Egy A halmaz összes részhalmazainak P(A) halmazán a reláció. (Ha M, N P( A), M N és N M M = N ) (3)Az átörökíthetőségről szóló tulajdonság Tranzitivítás, vagy láncszabály Egy bináris homogén reláció tranzitív, ha abból, hogy egy elem relációban van egy másodikkal, a második pedig relációban van egy harmadikkal, következik, hogy akkor az első elem is relációban van a harmadikkal. ρ : A A tranzitív ha abból, hogy ( aρb és bρc) aρc A gráfon az látható, hogy ha egy elemből van egy út egy másik felé, a másiktól egy harmadik felé, akkor az első és a harmadik között is van egy direkt út is. A rácsról a tranzitivítást nehezebb leolvasni. Példák 1.)A 5. és 6. relációk tranzitívak. 2.)A reflexivításnál megadott mind a 10 reláció tranzitív 13

14 3.)Az irreflexivításnál megadottak az a.) kivételével mind tranzitívak 4.)A háromszögek halmazán a kongruencia, a hasonlóság 5.)A természetes számok halmazán az oszthatóság 6.)Az emberek egy csoportjának halmazán az unokatestvére reláció nem tranzitív 7.)Az egyenesek halmazán a merőlegesség nem tranzitív Nevezetes kétváltozós homogén relációk (I.)Ekvivalencia reláció Egy bináris homogén relációt ekvivalencia relációnak nevezünk, ha reflexív, szimmetrikus és tranzitív. Adottak a következő halmazok: A = {3 alma}, B = {3 dió}, C = {alma, fésű, öv}, D = {4 egér}, E = {5 kutya}, F = {4 ember}, G = {5 jaguár}, I = {BMW, Opel, Audi, W}. A felsorolt halmazok által alkotott halmazban értelmezzük a következő relációt: Egy halmaz relációban van egy másikkal, ha ugyanannyi elemet tartalmaznak. A relációt gráffal ábrázoljuk. A B E D I C G F A fent megadott példa egy ekvivalencia reláció. Valóban a reláció reflexív, mert egy halmaz ugyanannyi elemet tartalmaz, mint saját maga, vagyis bármely elem relációban van önmagával. A gráf minden elemének megvan a hurokéle. A reláció szimmetrikus: ha az egyik halmazban ugyanannyi elem van, mint a másikban, akkor a másodikban is ugyanannyi elem van mint az elsőben, vagyis ha egyik elem relációban van egy másikkal, akkor ez a második is relációban van az elsővel. Az ábrát nézve ha két elem között van egy él, akkor megvan a visszafelé tartó él is a két elem között. A reláció tranzitív, mert ahol 3 elem kapcsolódik egybe, ott megvan az első és a harmadik közötti direkt él is. (A B, B C, akkor A C is). Tulajdonság 14

15 Bármely ekvivalencia reláció azon a halmazon, amelyen értelmezett egy osztályfelbontást valósít meg. Vagyis az alaphalmazt ekvivalencia osztályokra bontja. Osztályok: az alaphalmaz olyan részhalmazai, amelyeknek páronként nincs közös elemük (páronként diszjunktak) és az osztályokat képező halmazok egyesítése pontosan az alaphalmazzal egyenlő. A tulajdonság fordítva is igaz Ha van egy alaphalmaz és azon egy osztályfelbontás, akkor ehhez tartozik egy ekvivalencia reláció, amely ezt az osztályfelbontást létrehozza. Röviden mondva az ekvivalencia reláció osztályokat hoz létre. Ha a fenti példát nézzük, akkor 3 osztály kaptunk: {A, B, C}; {E, G}; {D, F, I}. Ezek a ráccsal való ábrázoláson láthatóan elkülönülnek. Ezek valóban osztályok: a 3 elemes halmazokat tartalmazó, az 5 elemes halmazokat tartalmazó, illetve a 4 elemes halmazokat tartalmazó osztályokról van szó.. Megjegyzés Ha az összes halmazok halmazán értelmezzük ezt a relációt, már el is jutottunk a számosság fogalmához, amely az ugyanannyi elemet tartalmazó halmazokat sorolja egy osztályba. Egy ilyen osztály reprezentánsa lesz egy természetes szám. Ezt a relációt nevezzük ekvipotencia relációnak (lásd a Számhalmazok című fejezetet) Legyen az alaphalmaz az emberek egy csoportja, a reláció: ugyanabban az évben született. A reláció valóban ekvivalencia reláció. Bármely ember ugyanabban az évben született, mint önmaga, tehát reflexív. Ha egy ember ugyanabban az évben született, mint egy másik, akkor a másik is ugyanabban az évben született, mint az első, tehát szimmetrikus. Ha egy ember ugyanabban az évben született, mint egy másik, a másik, mint egy harmadik, akkor az első is ugyanabban az évben született, mint a harmadik, tehát tranzitív. A reláció az emberek adott csoportját ún. kortárs osztályokra bontja föl. Az osztály reprezentánsa bármelyik személy a kortársak közül. A háromszögek halmaza és a kongruencia Hogy ez egy ekvivalencia reláció, az igazolást az olvasóra bízom. Az ekvivalencia osztályok az egymással egybevágó háromszögek. A logi készlet lapjai és a szín (ugyanolyan színű/) Ez alapján a 48 lapot 3 osztályba soroljuk. A példák sora végeláthatatlan, hiszen már egész kicsi kortól osztályozzuk, osztályokba soroljuk valamilyen szempont szerint (ez a reláció) a minket körülvevő világ dolgait (ez az alaphalmaz). 15

16 Érdemes végiggondolni az előzőkben felsorolt összes példát és közülük kiválogatni az ekvivalencia relációkat, megadva az alaphalmazon meghatározott osztályfelbontást is. (II.)Rendezési relációk Egy homogén bináris reláció irreflexív rendezési reláció, ha rendelkezik a következő tulajdonságokkal: irreflexív, aszimmetrikus és tranzitív. Egy homogén bináris reláció reflexív rendezési reláció, ha rendelkezik a következő tulajdonságokkal: reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív. Megjegyzés. Ha a fenti rendezési relációk bármelyike olyan, hogy az alaphalmaz bármely két elem között az a= b, aρ b, bρ a közül valamelyik fennáll, akkor a rendezési relációt teljes rendezésnek nevezzük. Ez az alaphalmaz elemei között létrehoz egy sorbarendezést. Ellenkező esetben a sorbarendezés nem teljes, parciális. Példák Irreflexív rendezési relációk: a.)valamely számhalmazon a < b.)valamely számhalmazon a > c.)az emberek halmazán az idősebb, mint d.)az emberek halmazán az könnyebb, mint c.)az emberek halmazán az magasabb, mint e.)a szavak halmazán a kevesebb betűből áll, mint f.)természetes számok halmazán: 3-mal osztva több maradékot ad mint Reflexív rendezési relációk: a.)valamely számhalmazon a b.)valamely számhalmazon a c.)n*, oszthatóság d.)egy halmaz részhalmazainak halmazán a részhalmaz reláció Ezek közül teljes rendezést valósít meg az irreflexívek közül az a.), b.), a reflexívek közül az a.), b.), d.). 16

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a

Részletesebben

MATEMATICĂ ÎN ÎNVĂŢĂMÂNT PRIMAR ŞI PREŞCOLAR Îndrumător de studiu Codul disciplinei: PLM3309

MATEMATICĂ ÎN ÎNVĂŢĂMÂNT PRIMAR ŞI PREŞCOLAR Îndrumător de studiu Codul disciplinei: PLM3309 PREŞCOLAR (ÎN LIMBA MAGHIARĂ, LA SATU MARE) EXTENSIA UNIVERSITARĂ: SATU MARE ANUL UNIVERSITAR: 2015/2016 SEMESTRUL: I. MATEMATICĂ ÎN ÎNVĂŢĂMÂNT PRIMAR ŞI PREŞCOLAR Îndrumător de studiu Codul disciplinei:

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2006

A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2006 A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2006 Köszönöm Koós Gabriella végzős hallgatónak, hogy felhívta a figyelmemet az anyag előző változatában szereplő néhány

Részletesebben

Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1

Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1 2. fejezet Halmazelmélet D 2.1 Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenl nek, ha elemeik ugyanazok. A halmazt, melynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Jele:. D 2.2 Az A halmazt a B halmaz

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Horváth Árpád 2008. december 16. A segédletek egy része a matek honlapon található: http://www.roik.bmf.hu/matek Kötelező irodalom: Bagyinszki

Részletesebben

EGY ÖTLET. A Venn-diagram és a logikai szita alkalmazásai

EGY ÖTLET. A Venn-diagram és a logikai szita alkalmazásai XXII/1 2. szám, 2014. máj. EGY ÖTLET A Venn-diagram és a logikai szita alkalmazásai Tuzson Zoltán Az ábráknak nemcsak a geometriában van fontos szerepük, hanem a legkülönbözőbb feladatok megoldásában is

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február Helyi tanterv Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február 1 A TANTERV SZERKEZETE Bevezető Célok és feladatok Fejlesztési célok és kompetenciák Helyes

Részletesebben

23. Kombinatorika, gráfok

23. Kombinatorika, gráfok I Elméleti összefoglaló Leszámlálási alapfeladatok 23 Kombinatorika, gráfok A kombinatorikai alapfeladatok esetek, lehetőségek összeszámlálásával foglalkoznak Általában n jelöli a rendelkezésre álló különbözőfajta

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A:= { a csoport tanulói b) B:= { Magyarország városai ma c) C:=

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

Gáspár Csaba. Analízis

Gáspár Csaba. Analízis Gáspár Csaba Analízis Készült a HEFOP 3.3.-P.-004-09-00/.0 pályázat támogatásával Szerzők: Lektor: Gáspár Csaba Szili László, egyetemi docens c Gáspár Csaba, 006. Tartalomjegyzék. Bevezetés 5. Alapvető

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3.

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3. Analízis I. jegzet László István 2008. november 3. Tartalomjegzék 1. Halmazok 5 1.1. Halmaz fogalma............................ 5 1.2. Halmaz megadása........................... 6 1.2.1. Eplicit megadás.......................

Részletesebben

MATEMATIKA C 8. évfolyam 6. modul ATTÓL FÜGG?

MATEMATIKA C 8. évfolyam 6. modul ATTÓL FÜGG? MATEMATIKA C 8. évfolyam 6. modul ATTÓL FÜGG? Készítette: Surányi Szabolcs MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 6. MODUL: ATTÓL FÜGG? TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az

Részletesebben

Geometriai axiómarendszerek és modellek

Geometriai axiómarendszerek és modellek Verhóczki László Geometriai axiómarendszerek és modellek ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék Budapest, 2011 1) Az axiómákra vonatkozó alapvető ismeretek Egy matematikai elmélet felépítésének

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Halmazelmélet alapfogalmai

Halmazelmélet alapfogalmai 1. Az A halmaz elemei a kétjegyű négyzetszámok. Adja meg az A halmaz elemeit felsorolással! 2. Adott három halmaz: A = {1; 3; 5; 7; 9}; B = {3; 5; 7}; C = {5;10;15} Ábrázolja Venn-diagrammal az adott halmazokat!

Részletesebben

Halmazok-előadás vázlat

Halmazok-előadás vázlat Halmazok-előadás vázlat Naiv halmazelmélet:. Mi a halmaz? Mit jelent, hogy valami eleme a halmaznak? Igaz-e, hogy a halmaz elemei valamilyen kapcsolatban állnak egymással? Jelölés: a A azt jelenti, hogy

Részletesebben

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam BEVEZETŐ Ez a helyi tanterv a kerettanterv Emelet matematika A változata alapján készült. Az emelt oktatás során olyan tanulóknak kívánunk magasabb szintű ismerteket nyújtani, akik matematikából átlag

Részletesebben

Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz

Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz MATEMATIKA 6. Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz Témák 1. Játékos feladatok Egyszerű, matematikailag is értelmezhető hétköznapi szituációk megfogalmazása szóban és írásban.

Részletesebben

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz Fejlesztőfeladatok MATEMATIKA 4. szint 2015 Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

Részletesebben

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra) MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,

Részletesebben

Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium

Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör Halmazok

Részletesebben

A matematikai logika alapjai

A matematikai logika alapjai A matematikai logika alapjai A logika a gondolkodás törvényeivel foglalkozó tudomány A matematikai logika a logikának az az ága, amely a formális logika vizsgálatára matematikai módszereket alkalmaz. Tárgya

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 9. OSZTÁLY

MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 9. OSZTÁLY MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 9. OSZTÁLY Heti 4 óra Évi 148 óra Készítette: Ellenőrizte: Literáti Márta matematika tanár.. igazgató 1 / 5 I. Az általános iskolai ismeretek ismétlése 1. óra: Műveletek

Részletesebben

Béres Mária TANÍTÓI KÉZIKÖNYV. Színes matematika tankönyvsorozat 2. osztályos elemeihez

Béres Mária TANÍTÓI KÉZIKÖNYV. Színes matematika tankönyvsorozat 2. osztályos elemeihez Béres Mária TANÍTÓI KÉZIKÖNYV a Színes matematika tankönyvsorozat 2. osztályos elemeihez Béres Mária, Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt., 2009 Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt. www.ntk.hu Vevőszolgálat: info@ntk.hu Telefon:

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 9. évfolyam TANULÓK KÖNYVE 1. FÉLÉV A kiadvány KHF/4361-1/008. engedélyszámon 008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak)

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Erre a dokumentumra az Edemmester Gamer Blog kiadványokra vonatkozó szabályai érvényesek. 1. feladat: Határozd meg az a, b és

Részletesebben

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. FELADATOK A RELÁCIÓK, GRÁFOK TÉMAKÖRHÖZ 1. rész A feladatsorban használt jelölések: R = {r R r < 0}, R + = {r R r>0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. 4.1. Feladat. Adja meg az α = {(x, y) x +

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.)

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) 22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) A) A PERMUTÁCIÓK CIKLIKUS SZERKEZETE 1. feladat: Egy húsztagú társaság ül az asztal körül. Néhányat közülük (esetleg az összeset) párba állítunk, és a párok

Részletesebben

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve Matematika Készítette: a gimnázium reál szakmai munkaközössége 2015. Tartalom Emelt szintű matematika képzés... 3 Matematika alapóraszámú képzés... 47 Matematika

Részletesebben

A LOGIKAI TÁBLÁZAT MÓDSZERE Tuzson Zoltán tanár, Székelyudvarhely

A LOGIKAI TÁBLÁZAT MÓDSZERE Tuzson Zoltán tanár, Székelyudvarhely A LOGIKAI TÁBLÁZAT MÓDSZERE Tuzson Zoltán tanár, Székelyudvarhely Ebben a dolgozatban olyan rejtvényszerű logikai feladványok megoldásával foglalkozunk, amelyek szorosan kapcsolódnak mind a matematikai

Részletesebben

Érettségi feladatok: Halmazok, logika 1/5

Érettségi feladatok: Halmazok, logika 1/5 Érettségi feladatok: Halmazok, logika 1/5 I. Halmazműveletek 2006. február/12. Az A és a B halmazokról a következőket tudjuk: A B = {1; 2}, A U B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, A \ B = {5; 7}. Adja meg az A

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A VETÜLETEK ALAP- ÉS KÉPFELÜLETE Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A geodézia, a térinformatika és a térképészet a görbült földfelületen elhelyezkedő geometriai alakzatokat

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás 12. évfolyam Osztályozó vizsga 2013. augusztus Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás Ismerje a számsorozat

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

Árvainé Libor Ildikó Murátiné Szél Edit. Tanítói kézikönyv. tanmenetjavaslattal. Sokszínû matematika. 4

Árvainé Libor Ildikó Murátiné Szél Edit. Tanítói kézikönyv. tanmenetjavaslattal. Sokszínû matematika. 4 Árvainé Libor Ildikó Murátiné Szél Edit Tanítói kézikönyv tanmenetjavaslattal Sokszínû matematika. 4 Mozaik Kiadó - Szeged, 2007 Készítette: ÁRVAINÉ LIBOR ILDIKÓ szakvezetõ tanító MURÁTINÉ SZÉL EDIT szakvezetõ

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok

Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok Halmazok Jelölések: A halmazok jele általában nyomtatott nagybetű: A, B, C Az x eleme az A halmaznak: Az x nem eleme az A halmaznak: Az A halmaz az a, b, c elemekből áll: A halmazban egy elemet csak egyszer

Részletesebben

MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM

MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM SZERZŐK: Veppert Károlyné, Ádám Imréné, Heibl Sándorné, Rimainé Sz. Julianna, Kelemen Ildikó, Antalfiné Kutyifa Zsuzsanna, Grószné Havasi Rózsa 1 1-2. ÉVFOLYAM Gondolkodási, megismerési

Részletesebben

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT ) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak

Részletesebben

Statisztika I. 6. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 6. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 6. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre GYAKORISÁGI SOROK ELOSZLÁSA KONCENTRÁCIÓ ELEMZÉSE GYAKORISÁGI SOROK ELOSZLÁSA KONCENTRÁCIÓ ELEMZÉSE szorosan kapcsolódik a szóródás elemzéshez, elméleti

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

Kombinatorika. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András. 2015. december 6.

Kombinatorika. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András. 2015. december 6. Kombinatorika 9 10. évfolyam Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András 2015. december 6. A kötet létrehozását 2008-tól 2010-ig a Fővárosi Közoktatásfejlesztési Közalapítvány támogatta Technikai

Részletesebben

Szakmai zárójelentés

Szakmai zárójelentés Szakmai zárójelentés A csoporttechnológia (Group Technology = GT) elvi és módszertani alapjaihoz, valamint a kapcsolódó módszerek informatikai alkalmazásaihoz kötődő kutatómunkával a Miskolci Egyetem Alkalmazott

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5 1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat

Részletesebben

Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések

Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések Tankönyv: Ullman-Widom: Adatbázisrendszerek Alapvetés Második, átdolgozott kiadás, Panem, 2009 2.4. Relációs algebra (áttekintés) 5.1.

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 2. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Matematikai logika Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat Bemutatjuk a NAT 01 és a hozzá kapcsolódó új kerettantervek alapján készült MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat 9 10 1 MATEMATIKA A KÖTETEKBEN FELLELHETŐ DIDAKTIKAI ESZKÖZTÁR A SOROZAT KÖTETEI A KÖVETKEZŐ KERETTANTERVEK

Részletesebben

Relációs algebra 1.rész

Relációs algebra 1.rész Relációs algebra 1.rész Tankönyv: Ullman-Widom: Adatbázisrendszerek Alapvetés Második, átdolgozott kiadás, Panem, 2009 Lekérdezések a relációs modellben 2.4. Egy algebrai lekérdező nyelv -- 01B_RelAlg1alap:

Részletesebben

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra A Kiadó javaslata alapján összeállította: Látta:...... Harmath Lajos munkaközösség vezető tanár Jóváhagyta:... igazgató

Részletesebben

Absztrakt algebra I. Csoportelmélet

Absztrakt algebra I. Csoportelmélet Absztrakt algebra I. Csoportelmélet Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem 2006 Bevezetés Ez az anyag tartalmazza az Algebra és számelmélet című tárgy 4. féléves részének kötelező elméleti

Részletesebben

Mesterséges intelligencia, 7. előadás 2008. október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.)

Mesterséges intelligencia, 7. előadás 2008. október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.) Mesterséges intelligencia, 7. előadás 2008. október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.) Bizonytalanságkezelés: Az eddig vizsgáltakhoz képest teljesen más világ. A korábbi problémák nagy része logikai,

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. egyetemi jegyzet mobidiák

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Országos döntő, 1. nap - 015. május 9. ÖTÖDIK OSZTÁLY - ok 1. Egy háromjegyű szám középső számjegyét elhagyva egy kétjegyű számot kaptunk. A két szám összege

Részletesebben

Ittfoglalomösszea legfontosabbtudnivalókat, részleteka honlapon, illetvea gyakorlatvezetőtől is kaptok információkat.

Ittfoglalomösszea legfontosabbtudnivalókat, részleteka honlapon, illetvea gyakorlatvezetőtől is kaptok információkat. 1 Ittfoglalomösszea legfontosabbtudnivalókat, részleteka honlapon, illetvea gyakorlatvezetőtől is kaptok információkat. A statisztika tanulásához a legtöbb infomrációkat az előadásokon és számítógépes

Részletesebben

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk: 1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:

Részletesebben

Matematikai modellalkotás

Matematikai modellalkotás Konferencia A Korszerű Oktatásért Almássy Téri Szabadidőközpont, 2004. november 22. Matematikai modellalkotás (ötletek, javaslatok) Kosztolányi József I. Elméleti kitekintés oktatási koncepciók 1. Realisztikus

Részletesebben

Halmazelmélet. Halmazok megadása

Halmazelmélet. Halmazok megadása Halmazok megadása Halmazelmélet 145. Amikor a halmazt körülírással vagy valamilyen tulajdonságával adjuk meg, bármilyen elemrôl egyértelmûen el kell tudnunk dönteni, hogy beletartozik a halmazba vagy sem.

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika. István Fazekas

Valószínűségszámítás és statisztika. István Fazekas Valószínűségszámítás és statisztika István Fazekas Tartalomjegyzék 1. fejezet. A valószínűségszámítás alapfogalmai 5 1.1. A valószínűség 5 1.2. Halmazalgebrák és σ-algebrák 11 1.3. A feltételes valószínűség

Részletesebben

Beadható feladatok. 2006. december 4. 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját!

Beadható feladatok. 2006. december 4. 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját! Beadható feladatok 2006. december 4. 1. Feladatok 2006. szeptember 13-án kitűzött feladat: 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját! Adott I 1,..., I n [0, 1] intervallumokból szeretnénk

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

Szeminárium-Rekurziók

Szeminárium-Rekurziók 1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Halmazok. Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai.

Halmazok. Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. Halmazok Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. 1. lapfogalmak halmaz és az eleme fogalmakat alapfogalmaknak tekintjük, nem deniáljuk ket. Jelölés: x H,

Részletesebben

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9.Ny osztály Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Algebra és számelmélet Alapműveletek az egész és törtszámok körében Műveleti sorrend,

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Az első oldalon 1-gyel kezdve egyesével beszámozták egy könyv összes oldalát. Hány oldalas ez a könyv, ha ehhez 55 számjegyet használtak fel? Az első 9 oldalhoz 9 számjegyet használtak, a további

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Általános iskola Matematika Évfolyam: 1 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Halmazok összehasonlítása

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Valószínűségszámítás

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Valószínűségszámítás MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Valószínűségszámítás A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Egyszerű programozási tételek

Egyszerű programozási tételek Egyszerű programozási tételek Sorozatszámítás tétele Például az X tömbben kövek súlyát tároljuk. Ha ki kellene számolni az összsúlyt, akkor az S = f(s, X(i)) helyére S = S + X(i) kell írni. Az f0 tartalmazza

Részletesebben

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot 1991. évi verseny, 1. nap 1. Bizonyítsd be, hogy 1 101 + 1 102 + 1 103 +... + 1 200 < 1 2. 2. Egy bálon 42-en vettek részt. Az első lány elmondta, hogy 7 fiúval táncolt, a második lány 8-cal, a harmadik

Részletesebben

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik 1991. évi verseny, 1. nap 1. Számold össze, hány pozitív osztója van 16 200-nak! 2. Bontsd fel a 60-at két szám összegére úgy, hogy az egyik szám hetede egyenlő legyen a másik szám nyolcadával! 3. Van

Részletesebben

Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus

Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus Síktopológiák a Sorgenfrey-egyenes ötletével Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus 1. Bevezetés A Sorgenfrey-egyenes

Részletesebben

MATEMATIKA C 6. évfolyam 6. modul CSUPA TALÁNY

MATEMATIKA C 6. évfolyam 6. modul CSUPA TALÁNY MATEMATIKA C 6. évfolyam 6. modul CSUPA TALÁNY Készítette: Köves Gabriella MATEMATIKA C 6. ÉVFOLYAM 6. MODUL: TALÁNY TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály A képességfejlesztés fókuszai

Részletesebben

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 1 Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések A matematikában alapfogalmaknak tekintjük azokat a fogalmakat, amelyeket nem határozunk meg, nem definiálunk más fogalmak segítségével

Részletesebben