Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai"

Átírás

1 A VETÜLETEK ALAP- ÉS KÉPFELÜLETE Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A geodézia, a térinformatika és a térképészet a görbült földfelületen elhelyezkedő geometriai alakzatokat (pontokat, vonalakat vagy felületdarabokat) helyhez kötéssel azonosít és/vagy síkban ábrázol. Az ennek során megkövetelt pontosságtól függően választjuk meg a lokalizáláshoz illetve az ábrázoláshoz használt felületet. Kis terület esetén maga a földfelszín is többnyire elfogadható pontossággal közelíthető síkkal. Nagyobb terület esetén a földalak görbültsége már nem hagyható figyelmen kívül. A megkövetelt pontosságtól függően közelíthetjük a tényleges földalakot gömbbel, a sarkoknál fellépő lapultságot is figyelembe vevő forgási ellipszoiddal, vagy az elméleti földalakkal az átlagos tengerszinttel egybeeső nehézségi szintfelülettel a geoiddal. Bármilyen felületen történjék is az alakzatok lokalizálása, a megjelenítés gyakorlatilag mindig síkban történik, legyen szó akár papírtérképről, akár képernyőtérképről. Emiatt a minden irányban görbült felületen lokalizált objektumokat az ábrázolás előtt rendszerint síkra képezik le olymódon, hogy a síkbeli méretviszonyok (hosszak, irányok ill. szögek, területek nagysága) a földfelületi méretviszonyoktól kevéssé térjenek el, és így azokra térképi mérések alapján vissza lehessen következtetni. A kiindulási görbült felületet alapfelületnek, a hozzárendelési (általában sík) felületet képfelületnek, a leképezést vetületnek nevezzük. Előírjuk, hogy mind az alapfelület, mind a képfelület lehetőleg folytonos, szabályos és zárt matematikai képlettel (esetleg sorral) leírható legyen (Minthogy a geoid-felületre az utóbbi két feltétel nem teljesül, így az a vetületi vizsgálatoknak közvetlenül nem képezi tárgyát.) A felületek zárt képlettel való leírása általában a derékszögű x,y,z koordináták közötti összefüggések megadásával történik. Ezek az összefüggések megadhatók egyenletként, függvény formájában vagy paraméteres alakban. a) A felületek egyenlete egy skalár-vektor függvény nívófelületét jelenti. A sík egyenlete pl.: Az R sugarú, origó-centrikus gömb egyenlete: A z forgástengelyű, origó-centrikus forgási ellipszoid z irányú féltengelyét b-vel, a másik (elforgatott) féltengelyét a-val jelölve, kapjuk az egyenletet. b) A kétváltozós függvény-alak az egyenlet-alak speciális esetének tekinthető. Hátránya, hogy egyes felületek csak többértékű függvénnyel írhatók le. A síkot ebben az esetben a a gömbfelületet a, a forgási ellipszoidot a, függvény adja meg.

2 c) Az ún. paraméteres alak esetében a felület pontjainak x, y, z koordinátáit az u,v valós paraméterek folytonos függvényeként adjuk meg: A v paraméter rögzített értékeinél a felületen a folytonos u-vonalak seregét, az u paraméter rögzített értékeinél a folytonos v-vonalak seregét kapjuk. Ezek az ún. paramétervonalak a felületet egyrétűen fedik le (??? ábra). A felület minden pontján áthalad egy u- és egy vele nem párhuzamos v-vonal. Sem az u-vonalak, sem a v-vonalak nem metszhetik egymást. A sík paraméteres alakja: A gömb paraméterezhető pl. az alakban. A pólusokat a z tengelyen felvéve, az u paraméter itt megfelel a közismert földrajzi szélességnek, v pedig a földrajzi hosszúságnak. A forgási ellipszoid egyik lehetséges paraméteres felírása: (Ez előállítható az R sugarú gömbből a/r-szeres hasonlósági transzformációval, majd b/aszoros, z irányú merőleges affinitással.) A forgási ellipszoid felület méreteit a féltengelyek a és b hossza egyértelműen meghatározza. A felület lapultsága miatt a>b, a lapultság mértékét az mérőszám, az ún. lapultság, vagy az ún. első excentricitás adja meg. E két mérőszám kapcsolatát az egyenlet adja meg. Fordítva az egyenlet megoldásából: amelynél tekintve, hogy a lapultság értéke 1-nél nagyobb nem lehet csak a előjel jó. Vagyis Szokás még definiálni az e ún. második excentricitást: Képfelület a síkon kívül lehet ún. síkbafejthető felület is, amely a rajta lévő felületi görbék ívhosszának megváltozása nélkül síkká transzformálható. Ilyen pl. a forgáskúp palástja, vagy a forgáshenger palástja. Az ívhosszak változása egyébként maga után vonja a felület többi belső méretviszonyának így a felületi szögeknek és területeknek a síkbafejtés során bekövetkező változatlanságát is. Magától a leképezéstől elvárjuk, hogy létesítsen kölcsönösen egyértelmű (injektiv) megfeleltetést az alap- és a képfelület pontjai között az ábrázolandó területre vonatkozólag; legyen lehetőleg egyetlen zárt matematikai képlettel (esetleg sorral) leírható; legyen az ábrázolandó terület minden pontjában kétszer folytonosan differenciálható.

3 A leképezési függvényeket vetületi egyenleteknek hívják. Paraméterek az alap- és a képfelületen Az alapfelület paraméterezése a földrajzi koordinátarendszer Mind a gömb-, mind a forgási ellipszoid-felületi pontokat meg lehet adni térbeli derékszögű koordinátákkal. Ekkor a koordinátarendszer origóját célszerűen az alapfelületi alakzat középpontjában vesszük fel; a z tengely a polártengellyel esik egybe, az x tengelyt pedig rendszerint a kezdőfélsík iránya jelöli ki. Az egyenlítő síkja ekkor az xy síkra esik. Alkalmazásuk akkor előnyös, ha alapfelületi és alapfelületen kívüli pontok kapcsolata kerül előtérbe (pl. a GPS működése során). Hátrányuk, hogy egy pont koordinátáiról nem ismerhető fel közvetlenül, hogy az alapfelületen van-e, illetve a derékszögű koordináták kis megváltozása is az alapfelület elhagyásához vezethet. A gömb- és a forgási ellipszoid alapfelület szokásos paraméterezése mégis a földrajzi koordinátarendszer. Ez az alakzat középpontjában felvett origójú térbeli polárkoordinátarendszeren alapul, melynek polártengelye kijelöli az (É-i) pólust (???ábra). A földrajzi szélesség Gömb alapfelület esetén vegyünk fel egy tetszőleges alapfelületi P pontot. Az origótól a P-hez vezető rádiuszvektornak a polártengellyel bezárt szöge (a pólustávolság), illetve ennek pótszöge, a rádiuszvektornak a polártengelyre merőleges síkkal bezárt szöge a (=90 - ) földrajzi szélesség adja az egyik paramétert. (Megjegyezzük, hogy e rádiuszvektor egyben merőlegesen metszi az alapfelületet.) A koordinátarendszer kezdő-félsíkja (melynek határa a polártengelyre esik) a gömbfelületen kijelöli a kezdőmeridiánt. Most az alapfelületi P pontot tartalmazó, a polártengely által határolt félsíknak a kezdő-félsíkkal bezárt szöge adja a másik paramétert, a földrajzi hosszúságot. (A harmadik polárkoordináta, a rádiuszvektor R hossza, amely megegyezik a gömb sugarával, minden P pontra azonos, így ez a P pont megadásánál figyelmen kívül hagyható.) Az egyik paraméter rögzítésével és a másik változtatásával jutunk a gömbfelület paramétervonalaihoz. Az azonos földrajzi szélességű (vagy azonos pólustávolságú) pontok által meghatározott gömbi körök a szélességi körök vagy parallelkörök. (Ezek között kitüntetett szerepet játszik a 0 -os szélességi kör, az egyenlítő.) A földrajzi szélességet előjellel látjuk el, amelyet az É-i félgömbön tekintünk pozitívnak (vagyis 90 90, és ). Az R sugarú gömbön a szélességi kör r sugara: az egyenlítő sugara így R. A földrajzi hosszúságot a K-i féltekén tekintjük pozitívnak (vagyis ). Az azonos földrajzi hosszúságú pontok által meghatározott gömbi főkörívek (félkörök) a hosszúsági körökvagy meridiánok. A hosszúsági kör sugara mindig R. A kezdőmeridiánnal nem keverendő össze a középmeridián, amely az ábrázolt terület középvonalában haladó, többnyire kerek értékű hosszúsági kör. Ez általában a térképi fokhálózat szimmetriatengelye, így a képfelületen egyenesként jelenik meg. Forgási ellipszoid alapfelület esetén a földrajzi szélességet többféle meggondolás alapján is lehet értelmezni, amelyek mind a gömbi földrajzi szélesség általánosításai. A térbeli polárkoordinátarendszer segítségével kapott definíció szerint a geocentrikus szélesség az origóból az ellipszoidfelületi P ponthoz vezető rádiuszvektornak a polártengelyre merőleges síkkal bezárt szöge (???ábra). Ettől különbözik a forgási ellipszoid fenti paraméteres alakján alapuló redukált szélesség, amely a P pontból az ellipszoid-felületre alkalmazott z irányú a/b-szeres merőleges affinitással kapott (gömbfelületi) P pont gömbi szélessége (???ábra). Végül az ellipszoidi geodéziai szélességet az ellipszoidfelület P pontbeli normálisának a polártengelyre merőleges síkkal bezárt szögével definiáljuk (???ábra). Könnyű belátni, hogy gömbfelületi (a=b) P pont esetén mind a geocentrikus,

4 mind a redukált, mind pedig a geodéziai szélesség ugyanazzal a gömbi szélességgel egyezik meg. Ezen lehetőségek közül ellipszoidi földrajzi szélességnek azt célszerű tekinteni, amely a fizikai földfelszínen legalábbis közelítőleg mérhető. Ha a geoid valamely P pontjában a geoid normálisa (a nehézségi erő irányát megadó függővonal) és a Sarkcsillag irányára merőleges sík (az egyenlítő síkja) által bezárt A szöget (az ún. csillagászati vagy asztronómiai szélességet) csillagászati eszközökkel lemérjük, akkor az a geodéziai szélességgel közelítőleg meg fog egyezni. Ebből a megfontolásból az ellipszoidi földrajzi szélességet a geodéziai szélességgel definiáljuk. Ennek pótszöge a geodéziai pólustávolság: =90. A közelítés hibáját egyrészt a szabálytalan geoidfelület merőlegesének az ellipszoid-felületi merőlegestől való eltérése (az ún. függővonal-elhajlás), másrészt az ellipszoid forgástengelyének a Sarkcsillag irányával bezárt szögkülönbsége adja. Az azonos földrajzi szélességű pontok itt is egy szélességi kör vagy parallelkör mentén helyezkednek el, melyek előállíthatók az ellipszoidfelület forgástengelyre merőleges körmetszeteként. A továbbiakban szükségünk lesz a paramétervonalak geometriai jellemzőire. A földrajzi szélességű parallelkör r sugarának és az egyenlítőtől való z távolságának meghatározásához tekintsük a forgási ellipszoid egy a forgástengelyt tartalmazó síkmetszetét (???ábra), amely egy ellipszis (ún.bimeridián). Írjuk fel a tengelyek által alkotott r,z koordinátarendszerben a bimeridián kanonikus egyenletét: Innen pl. a felső ív által megadott függvény: és Másrészt a függvény r -beli deriváltja megegyezik a függvénygörbe (r,z) pontbeli érintőjének iránytangensével. Az érintő az r tengellyel bezárt szöge (90 ), ezért Tehát Négyzetreemelés után innen r kifejezhető: (Az egyenlítő sugara tehát a.) r képletét behelyettesítve az ellipszis kanonikus egyenletébe, z kifejezhető: Vagyis Most már meghatározhatók az egyes ellipszoidi szélességek közötti összefüggések. A???ábrából: A forgási ellipszoidból a/b-szeres merőleges affinitással a sugarú gömböt kapunk, eközben a geocentrikus szélesség egyik szögszárát képező rádiuszvektor a redukált (gömbi) szélesség szárába megy át, vagyis

5 A két utóbbi egyenlőségből következik. Egy síkgörbe simulókörének azt a kört nevezzük, amelynek a P 0 közös pontban mind az első deriváltja (tehát a P 0 pontbeli érintő iránytangense), mind a második deriváltja megegyezik a görbéével. (Egy kör bármely pontbeli simulóköre természetesen sajátmagával esik egybe.) Vizsgáljuk az ellipszoidfelületi P ponton áthaladó összes a forgási ellipszoid síkmetszeteként keletkező felületi görbe P pontbeli simulókörének sugarát, az ún. görbületi sugarat. Meusnier ismert tétele szerint: ha arányba állítjuk a P ponton átmenő ( szélességű) parallekör r sugarát (a ferdemetszet görbületi sugarát), valamint a meridiánra merőleges sík ellipszoidfelülettel alkotott metszésvonalának (a normálmetszetnek ) a P pontbeli görbületi sugarát az N( ) ún. harántgörbületi sugarat, eredményként a két sík által bezárt szög (esetünkben az???ábráról leolvashatóan a szélesség) cosinus-át kapjuk: Innen r ismeretében az N( ) kifejezhető: Az???ábrán az r befogójú és szögű derékszögű háromszög átfogója éppen Innen Az N( ) a z képletébe is behozható: A földrajzi hosszúság Az ellipszoidi földrajzi hosszúságot az ellipszoid centrumából mint origóból kiinduló és az ellipszoidfelület forgástengelyével egybeeső polártengelyű térbeli polárkoordinátarendszerből kiindulva a gömbhöz hasonlóan, a P pontot tartalmazó félsíknak a kezdő félsíkkal alkotott (előjeles) szög segítségével definiáljuk. A fizikai földfelszínen a hosszúság szintén mérhető csillagászati eszközökkel, éspedig a pontbeli és a Greenwich-i delelés időpontjának különbségéből: 1 óra eltérés megfelel 15 hosszúságkülönbségnek. Az azonos földrajzi hosszúságú pontok egy fél-ellipszis alakú meridiánt határoznak meg, melynek féltengelyei a és b. Írjuk fel az (r,z) síkban az origó-centrikus meridián-ellipszis egy adott r 0,z 0 koordinátájú pontjában a simulókör sugarát a 0 szélesség függvényében (??? ábra). A meridián-ívet pl. a függvény alakban adjuk meg. Az (egyelőre ismeretlen) sugarú, (u,v) középpontú simulókör szintén függvény alakban: A fenti definíció az alábbi három egyenlethez vezet: 1.) (az r 0,z 0 pont a két alakzat közös pontja)

6 2.) (az r 0,z 0 pontban a két alakzat érintője közös) 3.) (az r 0,z 0 pontban a második deriváltak egyenlők) A 2.) egyenletből r 0 u kifejezhető: Ezt behelyettesítjük a 3.) egyenletbe, majd ebből kifejezzük -t: Végül az helyettesítéssel kapjuk, hogy (Itt felhasználtuk a azonosságot.) A meridián-ellipszis görbületi sugara tehát a szélesség változásával pontról pontra változik. Ezt a függvényt nevezzük meridiángörbületi sugárnak, amelyet szokásosan M( )-vel jelölünk: A földi ellipszoidok lapultsága miatt a meridiángörbületi sugár legkisebb az egyenlítőnél, legnagyobb a pólusnál. A földrajzi hosszúság kezdőfélsíkját illetve az általa kimetszett kezdőmeridiánt a felmérés kiterjedésétől függően nem csak globálisan, hanem helyileg is rögzíthetik. A geokartográfiában és a topográfiai térképműveknél általában Greenwich-i kezdőmeridiánt használnak. Régebben - főleg Európában - elterjedt volt a Ferro-i (Kanári-szigetek) kezdőmeridián használata, amely a Greenwich-itől mintegy 17 40'-re Ny-ra fekszik. K- Európa több országában Pulkovo-i kezdőmeridiánnal dolgoztak, amely Greenwich-től mintegy 30 20'-re K-re helyezkedik el. A magyarországi térképezéseknél a gellérthegyi meridián játszik fontos szerepet, amelynek a ferroi kezdőmeridiántól való eltérését a Besselellipszoidon 36 42'51.69"-nek tekintették, míg a greenwichi hosszúsága az IUGG'67-es ellipszoidon 19 2'54.856"-nek van megállapítva. Átszámítás derékszögű és földrajzi koordináták között A forgási ellipszoid paraméteres alakját a földrajzi szélesség és a földrajzi hosszúság mint paraméterek segítségével a képletek adják, amelyek a, földrajzi koordinátákkal megadott pontok térbeli derékszögű koordinátáinak meghatározására szolgálnak. Amennyiben a térbeli derékszögű koordinátákból kell a földrajzi koordinátákat kiszámítani, akkor a z képletéből kifejezzük -t:

7 majd az x vagy az y képletéből a segítségével -t. Vegyük most a, földrajzi koordinátákon kívül még az ellipszoid feletti h magasságot is figyelembe. A???ábráról leolvasható, hogy Ezekből a képletekből tehát kiszámíthatók a földrajzi koordinátákkal és az ellipszoid feletti h magassággal megadott pont térbeli derékszögű koordinátái. Az x, y, z térbeli derékszögű koordináták ismeretében először felírjuk az összefüggést és kifejezzük belőle h-t, amelyet a z képletébe helyettesítünk. Az így kapott nem-lineáris összefüggésből a egy negyedfokú egyenlet megoldásán keresztül kapható meg. Az egzakt képlet, amelyet a műholdas helymeghatározás használ fel, Borkowski-tól származik. Kevésbé pontos eredményt adnak a földrajzi koordinátákra és a h magasságra Bowring közelítő képletei: ahol A geodéziai felmérések során fontos szerepet kap az alapfelületen értelmezett forgásfelületi polárkoordinátarendszer. A polártengely az O ponton áthaladó, az É-i irányt kijelölő meridiánív. A polárkoordinátákkal (azop geodetikus vonal hosszával mint polártávolsággal és a 0 és 360 közé eső azimuttal mint polárszöggel) adott P pont földrajzi koordinátáinak kiszámítását első geodéziai alapfeladatnak nevezzük. Ha a földrajzi koordinátákkal adott P pont polárkoordinátáit számítjuk ki, akkor a második geodéziai alapfeladatot oldjuk meg. Gömb alapfelület esetén mind az első, mind a második geodéziai alapfeladat gömbháromszögtani összefüggésekkel oldható meg. Segédföldrajzi koordináták Gömb alapfelület esetén értelmezhető a segédföldrajzi koordinátarendszer. Ehhez először is ki kell jelölni a gömbön a segédpólust és ezzel együtt a segédpoláris tengelyt. A segédpólustól egyenlő gömbi távolságra (segédpólustávolságra) lévő pontok képezik a segédparallelköröket, 90 -os gömbi távolság esetén a segédegyenlítőt. A segédpólustávolság pótszöge a * segédszélesség. A két segédpólust összekötő gömbi főkörívek a segédmeridiánok. Ezek közül egyet segédkezdőmeridiánnak választva, ennek félsíkja bármely segédmeridián félsíkjával a segédhosszúságnak nevezett * szöget zárja be. A segédhosszúságot a segéd-é-i pólus felől nézve az óramutató járásával ellentétesen irányítjuk, és nagyságára: -180 * 180. (Megjegyezzük, hogy az esetek túlnyomó többségében a segédkezdőmeridián tartalmazza az egyik pólust, ugyanis a pólusokon és a

8 segédpólusokon áthaladó gömbi főkör - bimeridián - egy-egy szakasza meridián és egyben segédmeridián is.) A segédföldrajzi koordinátarendszer bevezetésének fő előnye abban áll, hogy segítségükkel bizonyos rokonvetületek egységesen tárgyalhatók, és ezek leképezési függvényei egyszerű, egységes alakban adhatók meg. Tetszőleges gömbfelületi (, ) koordinátákkal megadott pont segédföldrajzi ( *, *) koordinátáinak meghatározása a második geodéziai alapfeladatra vezethető vissza, míg a segédföldrajzi ( *, *) koordináták ismeretében az első geodéziai alapfeladat megoldása alapján kapjuk a (, ) földrajzi koordinátákat, mindkét esetben gömbháromszögtani összefüggések segítségével. A képfelület paraméterezése A képfelületet (az esetleges síkbafejtés után) paraméterezhetjük síkbeli derékszögű x,y koordinátarendszer segítségével. Az egyik koordinátatengelynek célszerűen a fokhálózat szimmetriatengelyét vagy egy azzal párhuzamos egyenest választjuk. Ennek irányát szokás hálózati északi iránynak is nevezni. A geodéziában előszeretettel tekintik a hálózati északi irányt x-nek, szemben a matematikában és a vetülettanban inkább szokásos y-nal. Derékszögű koordinátarendszer alkalmazásakor a vetületi egyenletek gömb alapfelület esetén, attól függően, hogy a szélességet vagy a pólustávolságot használjuk, vagy alakúak; forgási ellipszoid alapfelület esetén (a szélességgel vagy a pólustávolsággal) vagy alakúak. A parallelkörök képei a vetületek egy részénél, különösen kúppalást-képfelületnél, körív alakak. Ilyen esetben előnyös a képsíkon a polárkoordinátarendszer bevezetése. A koordinátarendszer origója a körív középpontjába kerül, a polártengely többnyire a középmeridiánnal esik egybe. (Nem-koncentrikus körívek esetében az origó helyzete így a szélesség függvényében akár változhat is.) Polárkoordinátarendszer alkalmazásakor a leképezés függvényei gömb alapfelület esetén ( val jelölve a polártávolságot, -val a polárszöget): illetve alakúak; forgási ellipszoid alapfelület esetén illetve alakúak

9 A képfelületi síkkoordinátarendszer origóját szokás vetületi kezdőpontnak nevezni. Nevezetes alapfelületi vonalak és felületdarabok Ortodrómák, gömbi és ellipszoidi körök, loxodrómák A vetületek vizsgálatánál a paramétervonalak mellett az alapfelületi vonalak három fajtája: az ortodrómának is nevezett geodetikus vonal, a gömbi (ellipszoidfelületi) körív és a loxodróma játszik központi szerepet. Az ortodróma tehát az alapfelületi pontokat összekötő legrövidebb felületi görbeív. Gömb alapfelület esetén minden 180 -nál nem nagyobb középponti szöghöz tartozó főkörív ortodróma, így a (segéd-)meridiánok és a (segéd-)egyenlítő is. A meridiánokkal és az egyenlítővel egybe nem eső gömbi főköröket szokás harántköröknek is nevezni. Az ortodróma ívhosszát gömbön a radiánban megadott középponti szögnek az R sugárral való szorzata adja. A szélességkülönséghez tartozó meridiánív mint speciális ortodróma s hossza így: A forgásfelületek (így a gömb- és a forgási ellipszoid-felületek) ortodrómáinak fontos tulajdonságát fogalmazza meg a Clairaut-tétel. Eszerint a geodetikus vonal és a forgásfelület parallelköre által bezárt szög (az azimut pótszöge) koszinuszának és a parallelkör sugarának a szorzata a geodetikus vonal mentén haladva nem változik. Jelölje az azimutot a geodetikus vonal tetszőleges pontjában, és r a pontnak a forgástengelytől mért távolságát (másként a ponton áthaladó parallelkör sugarát); ekkor Clairaut tétele képletben az alábbi alakot ölti: A minden parallelkört merőlegesen metsző felületi görbék a meridiángörbék esetén ez a szorzat zérus, emiatt a meridiángörbék nyilván geodetikus vonalak. (A forgási ellipszoidon az összes többi ortodróma térgörbe.) A és szélességek közötti meridiánívhosszat az ellipszisív simulókör-sugarának (az M-mel jelölt meridiángörbületi sugárnak) a földrajzi szélesség szerinti integráljaként kapjuk: A parallelkörök mind gömbön, mind forgási ellipszoidon a poláris tengelyre nézve forgásszimmetrikus körök, amelyek gömb alapfelület esetén (az egyelítőt kivéve) gömbi kiskörök. E szélességű parallelkörön egy hosszúságkülönbséghez tartozó ív s hossza:. A gömbfelületen a parallelkörökön kívül további felületi kiskörök is felvehetők. Egy ilyen kiskörön az ívhosszat alkalmasan felvett segédföldrajzi koordinátarendszerben az képlet adja. Forgási ellipszoid alapfelület szélességű parallelkörén a hosszúságkülönbséghez tartozó s ívhossz: Az egyenlítő, mint speciális a sugarú parallelkör mentén ez -vá egyszerűsödik.

10 Loxodrómának azokat az alapfelületi vonalakat nevezzük, amelyeknek minden pontjában az azimut állandó. A meridiánok az =0 és =180 azimuthoz tartozó speciális loxodrómák, a parallelkörök pedig az =90 és =270 azimuthoz tartozó speciális loxodrómák. A többi loxodróma olyan csavarvonal, amely az egyik pólusból a másik pólusba vezet. Írjuk fel gömb alapfelületre egy ilyen loxodróma egyenletét az egyértékűség miatt alakban. Ehhez változtassuk meg a, koordinátájú pontot, -val, ami egy kis foktrapézt hoz létre a gömbön, melynek oldalai arc és arc cos ; átellenes csúcsait kössük össze egy s hosszúságú loxodróma-ívvel (???ábra). A kicsiny foktrapéz oldalai és "átlója" közelítőleg síkban lévőnek tekinthetők, amelyben ; ezt egyszerűsítve és átrendezve: Ha most a loxodrómát kis darabokra bontjuk, akkor az összegzés, majd a minden határon túli finomítás után az integrálás az alábbi eredményre vezet: innen ; Ha a loxodróma pl. a 0, 0 koordinátájú ponton halad át, akkor a C integrációs konstans: Ekkor a loxodróma egyenlete az alábbi alakban írható: Egyenletünk szerint minden -hez egyetlen tartozik, és 90 esetén. Egy -hoz viszont ( 90 esetén) végtelen sok is tartozhat. A 1, 1 és 2, 2 koordinátájú pontokon áthaladó loxodróma azimutja: Az azimuthoz tartozó loxodróma 1 és 2 szélességek közé eső darabjának ívhossza szintén az iménti ábra alapján adható meg, ugyanis:, ahonnan A loxodróma-ívet kis részekre felosztva, a képletet az egyes részekre alkalmazva összegzünk, ami a minden határon túli finomítás után integrálásba megy át: innen. vagyis a loxodróma-ív hossza az íven fellépő szélességmegváltozás lineáris függvénye. Nevezetes alapfelületi felületdarabok Az alábbiakban megemlítünk néhány alapfelületi vonalak által határolt nevezetes felületdarabot, amelyek a térképészetben szerepet játszanak. A térgeometriából ismert, hogy egy sík egy gömbfelületet két gömbsüvegre bont fel. Két párhuzamos síkkal elmetszve a gömbfelületet, a két gömbsüveg között egy gömbövet kapunk. A 1 és 2 ( 1 2 ) szélességek közé eső gömböv F felszíne:

11 ( 1 =-90 vagy 2 =+90 esetén ugyanez a képlet megadja az egy parallelkör által határolt gömbsüveg felszínét.) A forgási ellipszoidon az egyenlítő ( 0 =0 ) és szélességi kör közé eső ellipszoidöv F felszíne: Ugyanez sor alakjában felírva: A -be 90 -ot helyettesítve kapjuk a fél-ellipszoid felszínét, ennek kétszereséből pedig az F e ellipszoidi felszínt: A fentiek alapján a 1 és 2 szélességi körök közé eső ellipszoid-öv F felszíne: illetve ugyanez sor-alakban: Kössük össze a gömbfelület egyik átmérőjének végpontjait két gömbi főkörívvel (félkörrel); ezek a gömbfelületet két gömbkétszögre bontják. A 1 és 2 meridián által közrezárt gömbkétszög a teljes gömbfelszín (4 R 2 ) arányos része, F felszíne tehát: A forgási ellipszoidon is kijelölhető a határoló 1 és 2 meridiánokkal egy ellipszoidi kétszög (zóna); ennek F felszíne a forgási ellipszoid teljes felszínének arányos része: A térképészetben jelentős szerepet játszik a 1 és 2 ( 1 2 ) parallelkör, valamint a 1 és 2 ( 1 2 ) meridián által határolt felületdarab, az ún. foktrapéz, másként földrajzi négyszög. Ennek F felszíne gömb alapfelületen: Forgási ellipszoid alapfelületen a 1 és 2 ( 1 2 ) parallelkör, valamint a 1 és 2 ( 1 2 ) meridián által határolt foktrapéz felszíne: A gömb alapfelületen végzett számítások fontos eszköze a gömbháromszög, amelyet három gömbi főkörív határol. A gömbháromszögnek három oldala és három szöge van, amelyek közül általános esetben három mennyiség független, a többi a gömbháromszögtani tételek segítségével kiszámolható. Ha a gömbháromszög szögeit, és jelöli, akkor a gömbháromszög F felszíne:. A gömháromszög felszíne negatív nem lehet, így Az = mennyiséget gömbi szögfölöslegnek nevezzük. Ennek felhasználásával:. Másrészt a konvex gömbháromszög szögeinek összege 540 -nál kisebb.

12 A térképészeti számításokban gyakran használnak olyan gömbháromszögeket, amelyeknek egyik csúcsa a pólusban van. Az ilyen gömbháromszögeket szokás polárgömbháromszögnek nevezni. A síkháromszögek sok tulajdonsága a gömbháromszögekre is átvihető. Így pl. két oldal összege nagyobb a harmadik oldalnál. A gömbháromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög, egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szög helyezkedik el. Ezek alapján az általános gömbháromszögek mellett beszélhetünk az egyenlő szárú (szimmetrikus) és az egyenlő oldalú (szabályos) gömbháromszögekről. A gömbháromszögekre vonatkozó tulajdonságok egy részénél előnyös, ha egységsugarú gömbön vizsgáljuk ezeket. Ekkor a gömbháromszög oldalhosszai egyértelműen megadhatók a hozzájuk tartozó középponti szögekkel. A továbbiakban tehát a gömbháromszög oldalait is szögekkel adjuk meg. Az általános gömbháromszögek oldalai és szögei közül három tetszőleges adat független, a többi adat az alábbi összefüggésekkel határozható meg. A gömbháromszög szögeire (,, ), valamint a velük szemközti oldalakra (a,b,c) vonatkozik az ún. gömbháromszögtani szinusztétel: A gömbháromszög oldalai és egyik szöge között teremti meg a kapcsolatot az ún. gömbháromszögtani oldal-koszinusztétel, pl. az a oldalra és a vele szemközti szögre felírva: A gömbháromszög szögei és egyik oldala közötti összefüggést az ún. gömbháromszögtani szög-koszinusztétel adja meg, pl. az a oldalra és a vele szemközti szögre felírva: Ha adott a három oldal, vagy két oldal és a közbezárt szög, akkor az oldal-koszinusztétellel; ha a három szög, vagy egy oldal és a rajta fekvő két szög, akkor a szög-koszinusztétellel lehet elindulni a megoldásban. A fenti tételek kombinálásával minden ismeretlen adat kiszámítható, de gyakran jól hasznosítható az ún. második alapforma is, amely két oldal, a közbezárt szög és valamelyik másik szög között létesít összefüggést: (A baloldalon szereplő oldalak kiválasztása és sorrendje szerint összesen 6 alakja írható fel.) Mint látható, az a oldal és az szög ebből kifejezhető, azonban a b oldal és a szög kiszámítása másodfokú egyenletre vezet. Meridiánkonvergencia az alapfelületen és a térképen A meridiánok a pólus felé összetartanak, ezzel kapcsolatos a meridiánkonvergencia fogalma, amely mind a térképészetben, mind a navigációban használatos. A meridiánok összetartásának mértékét fejezi ki az alapfelületi meridiánkonvergencia. Vegyünk két pontot (P 1 és P 2 ) az alapfelületen és kössük össze ezeket egymással és a pólussal ortodrómaívek segítségével. A két pontbeli azimut különbségének 180 feletti részét nevezzük a ( -vel jelölt) alapfelületi meridiánkonvergenciának. Képletben: Gömb alapfelület esetén egyszerű összefüggés adható meg a gömbi szögfölösleg és a valódi gömbi meridiánkonvergencia között. Ehhez írjuk fel a P 1, a P 2 és a pólus által meghatározott polárgömbháromszög belső szögeinek összegét (???ábra):

13 ahol a két pont hosszúságkülönbsége és a gömbi szögfölösleg. Átrendezve az egyenletet: vagyis. A navigációban az alapfelületi meridiánkonvergencia kiszámítására az alábbi közelítő képletet használják: ahol arc a meridiánkonvergencia ívmértéke, s jelöli a P 1 és P 2 pontok közötti távolságot (km-ben), 1 és 2 a pontok szélességét, R pedig a közelítő földsugarat (R=6371.1km). A vetületi meridiánkonvergencia az a -vel jelölt szög (???ábra), amelyet a képfelületi P' ponton áthaladó meridiánkép érintője a képfelületi derékszögű koordinátarendszer hálózati északi irányt kijelölő tengelyével bezár, és amelyet az óramutató járásával ellentétesen irányítunk. A vetületi meridiánkonvergenciának a vetületek geodéziai alkalmazásánál van szerepe.

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái

Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Bolyai Intézet Geometria Tanszék Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái Szakdolgozat Írta: Pásztor Péter Matematika

Részletesebben

Vetülettani és térképészeti alapismeretek

Vetülettani és térképészeti alapismeretek Vetülettani és térképészeti alapismeretek A geodéziában - mint ismeretes - a földalak első megközelítője a geoid. Geoidnak nevezzük a nehézségi erőtér potenciáljának azt a szintfelületét, amelynek potenciálértéke

Részletesebben

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 2 GEM2 modul Metrikus feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 8. modul Hasonlóság és alkalmazásai Készítették: Vidra Gábor, Lénárt István Matematika A 10. évfolyam 8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Tető nem állandó hajlású szarufákkal

Tető nem állandó hajlású szarufákkal 1 Tető nem állandó hajlású szarufákkal Már korábbi dolgozatainkban is szó volt a címbeli témáról. Most azért vettük újra elő, mert szép és érdekes ábrákat találtunk az interneten, ezzel kapcsolatban, és

Részletesebben

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Ha egy rögzített egyenes körül egy tetszőleges görbét forgatunk, akkor a görbe úgynevezett forgásfelületet ír le; a rögzített egyenes, amely körül a görbe forog,

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. Csavarvonal, csavarfelületek. Összeállította: Dr. Geiger János. Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. Csavarvonal, csavarfelületek. Összeállította: Dr. Geiger János. Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA Csavarvonal, csavarfelületek Összeállította: Dr. Geiger János Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM 2014 TARTALOM 1. A munkafüzet célja, területei, elsajátítható kompetenciák...

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

10. évfolyam, negyedik epochafüzet

10. évfolyam, negyedik epochafüzet 10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Írta: LEITOLD ADRIEN LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Egyetemi tananyag COPYRIGHT: Dr. Leitold Adrien Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Matematika Tanszék LEKTORÁLTA: Dr. Buzáné

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

2. Interpolációs görbetervezés

2. Interpolációs görbetervezés 2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,

Részletesebben

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika 2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

FAUR KRISZTINA BEÁTA, SZAbÓ IMRE, GEOTECHNIkA

FAUR KRISZTINA BEÁTA, SZAbÓ IMRE, GEOTECHNIkA FAUR KRISZTINA BEÁTA, SZAbÓ IMRE, GEOTECHNIkA 7 VII. A földművek, lejtők ÁLLÉkONYSÁgA 1. Földművek, lejtők ÁLLÉkONYSÁgA Valamely földművet, feltöltést vagy bevágást építve, annak határoló felületei nem

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V. Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,

Részletesebben

Alak- és helyzettűrések

Alak- és helyzettűrések 1. Rajzi jelek Alak- és helyzettűrések Az alak- és helyzettűrésekkel kapcsolatos előírásokat az MSZ EN ISO 1101:2006 Termékek geometriai követelményei (GPS). Geometriai tűrések. Alak-, irány-, helyzet-

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

(térképi ábrázolás) Az egész térképre érvényes meghatározása: Definíció

(térképi ábrázolás) Az egész térképre érvényes meghatározása: Definíció Az egész térképre érvényes meghatározása: A térkép hossztartó vonalain mért távolságnak és a valódi redukált vízszintes távolságnak a hányadosa. M = 1 / m, vagy M = 1 : m (m=méretarányszám) A méretarány

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ............................................................ 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!............................. 9 Mit tanultunk a számokról?............................................

Részletesebben

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

MUNKAANYAG. Földi László. Méret- és alakellenőrzések idomszerekkel, speciális mérőeszközökkel. A követelménymodul megnevezése:

MUNKAANYAG. Földi László. Méret- és alakellenőrzések idomszerekkel, speciális mérőeszközökkel. A követelménymodul megnevezése: Földi László Méret- és alakellenőrzések idomszerekkel, speciális mérőeszközökkel A követelménymodul megnevezése: Általános anyagvizsgálatok és geometriai mérések A követelménymodul száma: 0225-06 A tartalomelem

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Dr. Engler Péter. Fotogrammetria 2. FOT2 modul. A fotogrammetria geometriai és matematikai alapjai

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Dr. Engler Péter. Fotogrammetria 2. FOT2 modul. A fotogrammetria geometriai és matematikai alapjai Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr. Engler Péter Fotogrammetria 2. FOT2 modul A fotogrammetria geometriai és matematikai alapjai SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői

Részletesebben

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve! (9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora

Részletesebben

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar 2.3.2.2.1.2 Keresztirányú stabilitás nagy dőlésszögeknél A keresztirányú stabilitás számszerűsítésénél, amint korábban láttuk, korlátozott a metacentrikus magasságra való támaszkodás lehetősége. Csak olyankor

Részletesebben

Geodézia. Felosztása:

Geodézia. Felosztása: Geodézia Görög eredetű szó. Geos = föld, geometria = földmérés A geodézia magyarul földméréstan, a Föld felületének, alakjána méreteinek, valamint a Föld felületén levő létesítmények és ponto helymeghatározásával,

Részletesebben

Váltakozó áram. A váltakozó áram előállítása

Váltakozó áram. A váltakozó áram előállítása Váltakozó áram A váltakozó áram előállítása Mágneses térben vezető keretet fogatunk. A mágneses erővonalakat metsző vezetőpárban elektromos feszültség (illetve áram) indukálódik. Az indukált feszültség

Részletesebben

I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám,

I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám, Dobos Sándor, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Dobos Sándor; dátum: 005. november 1. feladat A 70-nek 80%-a mely számnak a 70%-a? I. rész. feladat Egy szabályos

Részletesebben

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. . tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

A hagyományos fa tartógerendák keresztmetszeti méreteinek arányairól

A hagyományos fa tartógerendák keresztmetszeti méreteinek arányairól Bevezetés A hagyományos fa tartógerenák keresztmetszeti méreteinek arányairól Az iők során figyelve az ács, ill. a fás szakmai tananyag alakulását, feltűnt, hogy bizonyos kérések nem, vagy csak alig kerülnek

Részletesebben

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot 1991. évi verseny, 1. nap 1. Bizonyítsd be, hogy 1 101 + 1 102 + 1 103 +... + 1 200 < 1 2. 2. Egy bálon 42-en vettek részt. Az első lány elmondta, hogy 7 fiúval táncolt, a második lány 8-cal, a harmadik

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

1. A kutatások elméleti alapjai

1. A kutatások elméleti alapjai 1. A kutatások elméleti alapjai A kedvezőbb kapcsolódás érdekében a hipoid fogaskerekek és az ívelt fogú kúpkerekek korrigált fogfelülettel készülnek, aminek eredményeként az elméletileg konjugált fogfelületek

Részletesebben

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. FÉLÉV A kiadvány KHF/4356-14/2008. engedélyszámon 2008.11.25. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

Elemi matematika szakkör

Elemi matematika szakkör lemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 26. 1.1. eladat. z konvex négyszögben {} = és { } = (lásd a mellékelt ábrát). izonyítsd be, hogy a következő három kijelentés egyenértékű: 1. z négyszögbe

Részletesebben

FÖLDMÉRÉS ÉS TÉRKÉPEZÉS

FÖLDMÉRÉS ÉS TÉRKÉPEZÉS NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM ERDŐMÉRNÖKI KAR Környezetmérnöki Szak Dr. Bácsatyai László FÖLDMÉRÉS ÉS TÉRKÉPEZÉS Kézirat Sopron, 2002. Lektor: Dr. Bányai László tudományos osztályvezető a műszaki tudomány

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből)

Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből) Fénytan 1 Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből) Feladatok F. 1. Vízszintes asztallapra fektetünk egy negyedhenger alakú üvegtömböt, amelynek függőlegesen álló síklapját

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt S T A T I K A Ez az anyag az "Alapítvány a Magyar Felsôoktatásért és Kutatásért" és a "Gépészmérnök Képzésért Alapítvány" támogatásával készült a Mûszaki Mechanikai Tanszéken kísérleti jelleggel, hogy

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 10. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/4365-1/008. engedélyszámon 008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0

Részletesebben

SZABADALMI LEÍRÁS 771H7. szám.

SZABADALMI LEÍRÁS 771H7. szám. Megjelent 1 í>1920. évi szeptember hó 18-án. MAGYAR KIRÁLYI SZABADALMI HIVATAL. SZABADALMI LEÍRÁS 771H7. szám. VII/a. OSZTÁLY. Eljárás és kéazülék rendszerestávlati (torzított)átvitelreoptikai vagyfényképészeti

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára Feladatok MATEMATIKÁBÓL a. évfolyam számára I.. Egy 35 fős osztályból mindenki részvett valamelyik iskolai kiránduláson. 5-en Debrecenbe utaztak, 8-an pedig Pécsre. Hányan utaztak mindkét városba?. Állapítsa

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 8. EMELT SZINT I. 1) Egy 011-ben készült statisztikai összehasonlításban az alábbiakat olvashatjuk: Ha New York-ban az átlagfizetést és az átlagos árszínvonalat egyaránt

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint)

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) (ESZÉV 2004.minta III./7) Egy négyoldalú gúla alaplapja rombusz. A gúla csúcsa a rombusz középpontja felett van, attól 82 cm távolságra. A rombusz oldalának hossza

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva.

Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva. Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT Készítette: Szigeti Zsolt Felkészítő tanár: Báthori Éva 2010 október Dolgozatom témája a különböző függvények, illetve mértani

Részletesebben

Geodézia 4. Vízszintes helymeghatározás Gyenes, Róbert

Geodézia 4. Vízszintes helymeghatározás Gyenes, Róbert Geodézia 4. Vízszintes helymeghatározás Gyenes, Róbert Geodézia 4.: Vízszintes helymeghatározás Gyenes, Róbert Lektor: Homolya, András Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel

Részletesebben

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás A lineáris programozás A geometriai megoldás Készítette: Dr. Ábrahám István A döntési, gazdasági problémák optimalizálásának jelentős részét lineáris programozással oldjuk meg. A módszer lényege: Az adott

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Országos döntő, 1. nap - 015. május 9. ÖTÖDIK OSZTÁLY - ok 1. Egy háromjegyű szám középső számjegyét elhagyva egy kétjegyű számot kaptunk. A két szám összege

Részletesebben

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam BEVEZETŐ Ez a helyi tanterv a kerettanterv Emelet matematika A változata alapján készült. Az emelt oktatás során olyan tanulóknak kívánunk magasabb szintű ismerteket nyújtani, akik matematikából átlag

Részletesebben

= szinkronozó nyomatékkal egyenlő.

= szinkronozó nyomatékkal egyenlő. A 4.45. ábra jelöléseit használva, tételezzük fel, hogy gépünk túllendült és éppen a B pontban üzemel. Mivel a motor által szolgáltatott M 2 nyomaték nagyobb mint az M 1 terhelőnyomaték, a gép forgórészére

Részletesebben

MUNKAANYAG. Dr. Engler Péter. A mérőfénykép. A követelménymodul megnevezése: Fotogrammetria feladatai

MUNKAANYAG. Dr. Engler Péter. A mérőfénykép. A követelménymodul megnevezése: Fotogrammetria feladatai Dr. Engler Péter A mérőfénykép A követelménymodul megnevezése: Fotogrammetria feladatai A követelménymodul száma: 2241-06 A tartalomelem azonosító száma és célcsoportja: SzT-009-50 A MÉRŐFÉNYKÉP ESETFELVETÉS

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk

MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk MTEMTIK C 1. évflyam. mdul mi terünk Készítette: Kvács Kárlyné Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató mdul célja Időkeret jánltt krsztály Mdulkapcslódási pntk térfgat- és felszínszámítási

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Gyenes Róbert. Geodézia 4. GED4 modul. Vízszintes helymeghatározás

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Gyenes Róbert. Geodézia 4. GED4 modul. Vízszintes helymeghatározás Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Gyenes Róbert Geodézia 4. GED4 modul Vízszintes helymeghatározás SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI. törvény

Részletesebben

Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória

Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória 2005. január 12. feladatok kidolgozására két óra áll rendelkezésre. Számológép nem használható. példák tetszőleges sorrendben megoldhatók.

Részletesebben

3. számú mérés Szélessávú transzformátor vizsgálata

3. számú mérés Szélessávú transzformátor vizsgálata 3. számú mérés Szélessávú transzformátor vizsgálata A mérésben a hallgatók megismerkedhetnek a szélessávú transzformátorok főbb jellemzőivel. A mérési utasítás első része a méréshez szükséges elméleti

Részletesebben

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra A Kiadó javaslata alapján összeállította: Látta:...... Harmath Lajos munkaközösség vezető tanár Jóváhagyta:... igazgató

Részletesebben

5. modul Térfogat és felszínszámítás 2

5. modul Térfogat és felszínszámítás 2 Matematika A 1. évfolyam 5. modul Térfogat és felszínszámítás Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

Loványi István vizsgakérdései kidolgozva (béta)

Loványi István vizsgakérdései kidolgozva (béta) Loványi István vizsgakérdései kidolgozva (béta) 1. Morfológiai képfeldolgozás elmélete 1. Alapvető halmazműveletek, tulajdonságaik Műveletek: egyesítés (unió) metszet negált összetett műveletek... Tulajdonságok:

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 1. FIZ1 modul. Optika feladatgyűjtemény

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 1. FIZ1 modul. Optika feladatgyűjtemény Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csordásné Marton Melinda Fizikai példatár 1 FIZ1 modul Optika feladatgyűjtemény SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése:

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése: Szabó László Szilárdságtan A követelménymodul megnevezése: Kőolaj- és vegyipari géprendszer üzemeltetője és vegyipari technikus feladatok A követelménymodul száma: 047-06 A tartalomelem azonosító száma

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Hagyományos fakötések rajzai...5 2. Mérnöki fakötések rajzai... 15 3. Fedélidomok szerkesztése,

Tartalomjegyzék. 1. Hagyományos fakötések rajzai...5 2. Mérnöki fakötések rajzai... 15 3. Fedélidomok szerkesztése, Tartalomjegyzék 1. Hagyományos fakötések rajzai...5 2. Mérnöki fakötések rajzai... 15 3. Fedélidomok szerkesztése, fedélsíkok valódi méretének meghatározása... 27 3.1. Fedélidomok szerkesztése... 27 3.1.1.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása DEFINÍCIÓ: (Séta) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben a csúcsok és élek többször is szerepelhetnek, sétának nevezzük. Egy lehetséges séta: A; 1; B; 2; C; 3; D; 4;

Részletesebben

9. előadás. Térbeli koordinátageometria

9. előadás. Térbeli koordinátageometria 9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a 4 egyjegyű pozitív osztóinak halmazát! A keresett halmaz: {1 4 6 8}. ) Hányszorosára nő egy cm sugarú kör területe, ha a sugarát háromszorosára

Részletesebben

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Ismert fogalmak Témák Vektortér Lineáris kombináció Lineáris függőség, függetlenség Generátorrendszer, bázis, dimenzió Lineáris leképezések Szabadvektorok vektortere

Részletesebben

Sugárkövetési algoritmusok (2. rész)

Sugárkövetési algoritmusok (2. rész) Sugárkövetési algoritmusok (2. rész) Ismét jelentkezik a sugarak szerelmeseinek szóló cikkünk, melyben tovább folytatjuk a fények birodalmában megkezdett utazásunkat. A fénysugarak rekurzív követésével

Részletesebben

A meteorológia az időjárás tudománya

A meteorológia az időjárás tudománya Ismerd meg! A meteorológia az időjárás tudománya A meteorológia a légkörben végbemenő folyamatok, jelenségek vizsgálatával foglalkozó tudomány, amelyen belül különös hangsúlyt fektetnek az időjárási és

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT ) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat

Részletesebben

Geodézia 5. Vízszintes mérések alapműveletei

Geodézia 5. Vízszintes mérések alapműveletei Geodézia 5. Vízszintes mérések alapműveletei Tarsoly, Péter, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Tóth, Zoltán, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geodézia 5.: Vízszintes mérések

Részletesebben

9. Áramlástechnikai gépek üzemtana

9. Áramlástechnikai gépek üzemtana 9. Áramlástechnikai gépek üzemtana Az üzemtan az alábbi fejezetekre tagozódik: 1. Munkapont, munkapont stabilitása 2. Szivattyú indítása soros 3. Stacionárius üzem kapcsolás párhuzamos 4. Szivattyú üzem

Részletesebben

4. A FORGÁCSOLÁS ELMÉLETE. Az anyagleválasztás a munkadarab és szerszám viszonylagos elmozdulása révén valósul meg. A forgácsolási folyamat

4. A FORGÁCSOLÁS ELMÉLETE. Az anyagleválasztás a munkadarab és szerszám viszonylagos elmozdulása révén valósul meg. A forgácsolási folyamat 4. A FORGÁCSOLÁS ELMÉLETE Az anyagleválasztás a munkadarab és szerszám viszonylagos elmozdulása révén valósul meg. A forgácsolási folyamat M(W) - a munka tárgya, u. n. munkadarab, E - a munkaeszközök,

Részletesebben

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. 3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság

Részletesebben

ö ö ö ö ő ö ö ő ö ő ő ő ö ö ő ő ö ö ő ő ű ű ő ő ö ű ő ö ö ő ö ő ö ú ő ö ű ű ő ő ö ű ő ö ö ű ű ő ö ű ő ö ö ű ű ű ű ű ű ű ö ű ő É ö ú ö ö ö ö Ő ö ö ö ö ő ö ö ő ö ö ő ö ö ő ű ö ö ö ö ö ö ő Ö ő ö ö ő ö ő ö

Részletesebben