Váltakozó áram. A váltakozó áram előállítása

Átírás

1 Váltakozó áram A váltakozó áram előállítása Mágneses térben vezető keretet fogatunk. A mágneses erővonalakat metsző vezetőpárban elektromos feszültség (illetve áram) indukálódik. Az indukált feszültség maximális nagysága, ahol - a mágneses indukció, - a vezető hossza, - a körmozgás sebessége. Mivel a sebesség és mágneses erővonalak közötti szög változik az indukált feszültség pillanatnyi értéke: szorzat úgy is értelmezhető, mint az erőtérre merőleges sebességkomponens. Az mellékelt ábra a sebesség felbontását ábrázolja, ha a vezetőkeretet oldalról figyeljük. Mivel az - szög (0,360) fokos intervallumban változik, a sin értéke (1,-1) közötti értékeket vehet fel. A szinusz szögfüggvénnyel összhangban a feszültség előjele félperiódusonként váltakozik. Az ilyen típusú feszültséget váltakozó feszültségnek nevezzük. Ha a keret forgatása állandó - szögsebességgel történik és a maximális feszültséget -el jelöljük, akkor a pillanatnyi feszültség - értéke: ahol - a sebesség és mágneses indukció közötti szög. A fenti összefüggésben ahol - a -idő alatt besepert - szög. Ha a pillanatnyi feszültség időbeni változását ábrázoljuk, akkor a mellékelt grafikont kapjuk. A mindennapi életben a legtöbb elektromos berendezés ilyen váltakozó áramot használ. A következőkben megvizsgáljuk, hogyan viselkedik a váltakozó áramú áramkörben egy ellenállás, kondenzátor és tekercs. Végül pedig a három alkatrészt összekapcsoljuk sorosan és párhuzamosan. A váltakozó áram teljesítményét meghatározhatjuk egy olyan egyenáramú áramkör teljesítményének kiszámításával, amely ugyanannyi idő alatt ugyanakkora teljesítményre képes egy ellenálláson. A váltakozó áram teljesítménye: 1

2 ahol - a pillanatnyi áramerősség, - annak az egyenáramnak az erőssége, amely ugyanazt a teljesítményt biztosítja (neve effektív áramerősség). Az - áramerősség hasonlóan változik a pillanatnyi feszültséggel: Tehát: Ahhoz, hogy kiszámítsuk értékét, ki kell számítanunk a váltakozó áram pillanatnyi teljesítményének középértékét. Mivel középértéke egy periódusra nézve nulla, következik, hogy: vagy Ellenállás váltakozó áramú áramkörben A következőkben megvizsgáljuk az ellenállás, kondenzátor és tekercs viselkedését váltakozó áramú áramkörben. Minden esetben azonos szinuszosan váltakozó feszültséget használunk, melynek pillanatnyi értékét a következő egyenlet adja: Elsőként tekintsünk egy ohmikus ellenállást, melyre a fenti egyenlettel megadott váltakozó feszültséget kötünk. Számítsuk ki, Ohm törvényét használva, az ellenálláson áthaladó áram erősségét: A pillanatnyi áramerősség ( ) felírható tehát, mint egy maximális áramerősség ( ) és egy sinusos tag szorzata. Megjegyzendő, hogy a kapott áramerősség és a tápfeszültség azonos 2

3 fázisban vannak, tehát az ellenállás nem okoz fáziskülönbséget a váltakozó áramú áramkörben. Kondenzátor váltakozó áramú áramkörben Kössünk kondenzátorra váltakozó áramú áramforrást, melynek feszültségét az alábbi egyenlet írja le: Egyenfeszültségű áramforrás esetén a kondenzátor rövid idő alatt feltöltődik, de azután megakadályozza az áram áthaladását. Váltakozó áram esetén minden félperiódusban váltakozik a feszültség előjele, ezért újból és újból feltöltődik a kondenzátor mindig ellentétes töltésekkel. Így gyakorlatilag az áramkörben nem szakad meg az áram, csak időben változó rezgéseket végez. Keressük meg az áramerősség pillanatnyi értékének kifejezését: az áramerősség differenciált kifejezése. A töltés felírható, mint: Behelyettesítve és deriválva kapjuk: A könnyebb összehasonlítás érdekében írjuk át az eredményt: Összevetve az időtől független tagot (a maximális áramerősséget) Ohm törvényével, arra a következtetésre jutunk, hogy a nevező egy ellenállás érték kell legyen, a kondenzátor ellenállása váltakozó áramú áramkörben, neve kapacitív reaktancia: - kapacitív reaktancia, mértékegysége az ohm (Ω). A maximális áramerősség, tehát: Észrevehető, hogy a kondenzátor az áramerősség sietését okozza a feszültséghez képest. 3

4 Ábrázolva kapjuk: Az ábrán is látható, hogy a kondenzátor miatt az áramerősség 90 fokkal siet a feszültséghez képest. Tekercs a váltakozó áramú áramkörben Helyezzünk tekercset a váltakozó áramú áramkörünkbe. A váltakozó áramú áramforrás által szolgáltatott feszültség maradjon: Számítsuk ki a tekercsen átfolyó áram pillanatnyi erősségének kifejezését: ami a tekercsben indukált feszültség kifejezése differenciált alakban. Kifejezve, majd integrálva az áramerősségre kapjuk: Az utolsó egyenlőséget átírjuk a azonosságot felhasználva, kapjuk: Az eredményből következik, hogy a tekercs az áramerősség késését idézi elő az áramerősséghez képest. Egybevetve Ohm törvényével kapjuk: tehát, egy ellenállás dimenziójú tag kell legyen, neve induktív reaktancia és -ban mérik. Ábrázolva: 4

5 az ábráról leolvasható, hogy a feszültség 90 fokkal előzi meg az áramerősséget. Soros RLC áramkör A váltakozó áramú soros RLC áramkör áramforrásához sorosan kötünk ellenállást, tekercset és kondenzátort. A soros kapcsolásra jellemzően az áramerősség azonos a három áramköri elemen, a pillanatnyi feszültségek összege pedig egyenlő kell legyen az áramforrás pillanatnyi feszültségével: A pillanatnyi feszültségeket kiszámíthatjuk mint forgóvektorok vetületeit az x tengelyen. Az ábrázolásnál figyelembe kell venni az előzőekben levezetett fáziskéséseket az áramerősség és a különböző feszültségek között. A teljes feszültséget (az áramforrás maximális feszültségét) megkapjuk, ha vektoriálisan összeadjuk a három áramköri elem feszültségét ábrázoló forgóvektort. A Pitagorasz szabály szerint: mivel:, és, az előző egyenletből kapjuk: vagy, figyelembe véve, hogy a teljes feszültség egyenlő az áramerősség és az áramkör teljes ellenállásának szorzatával ( : 5

6 ahol az áramkör teljes ellenállása vagy más néven impedanciája. A fentiek szerint meg lehet rajzolni az ellenállások fázisdiagramját soros RLC áramkörre (mellékelt ábra). A feszültségdiagramból kiderül, hogy a feszültség általában nincs fázisban az áramerősséggel. A fáziskülönbséget a szög tangensével szokás megadni: Párhuzamos RLC áramkör A váltakozó feszültségű áramforráshoz párhuzamosan kapcsolunk ellenállást, tekercset és kondenzátort. A párhuzamos kapcsolás tulajdonságai szerint a feszültségek az áramkör elemein azonosak lesznek a pillanatnyi áramerősségek összege pedig megegyezik a főáram pillanatnyi értékével: Forgóvektorok segítségével ábrázolva: Az áramerősségek amplitúdói közötti összefüggés: Felhasználva az,, és egyenlőségeket, kapjuk: vagy: ahol a párhuzamos áramkör eredő ellenállása (impedanciája). 6

7 Az áramerősség és feszültség közötti fáziseltolódás tangense: Rezonancia az RLC áramkörökben a) soros RLC áramkör Rezonanciáról beszélünk akkor, ha az áramkörben maximálisra nő az áramerősség. Ezzel a megfogalmazással egyenértékű kifejezések: 1) Az impedancia minimális; 2) 3) ; 4) ; 5) Nincs fáziseltolódás a feszültség és áramerősség között; Adott RLC áramkör esetén meghatározható az a periódus (frekvencia), amely esetén bekövetkezik a rezonancia: vagy vagy ahonnan és ahol a rezonancia körfrekvencia, illetve a rezonancia periódus. Ha ábrázoljuk az áramerősséget a körfrekvencia függvényében az alábbi grafikont kapjuk: 7

8 Rezonancia esetén a kondenzátorra/tekercsre eső feszültség illetve teljes feszültség arányát jósági tényezőnek nevezzük: b) párhuzamos RLC áramkör Ebben az esetben: Az áramkör fő ágában az áramerősségnek minimális, az áramkör impedanciájának maximális értéke van. A rezonancia frekvencia/periódus összefüggés megegyezik a soros RLC áramkörnél megadottal. Teljesítmény a váltakozó áramú áramkörökben Mivel az áramerősség és feszültség is időben változik, ezért a teljesítmény is az idő függvénye. A pillanatnyi teljesítményt a feszültség és áramerősség pillanatnyi értékeinek szorzata adja: Ha egy soros RLC áramkör feszültség diagramját beszorozzuk az áramerősséggel, akkor teljesítmény diagramot kapunk: ahol: P t tekercs teljesítménye; P k kondenzátor teljesítménye; a kettő különbsége adja a reaktív (meddő) teljesítményt: Az aktív teljesítmény az ohmikus ellenállás teljesítménye: A meddő teljesítmény nem használódik fel csak átalakul a tekercs mágneses terének és a kondenzátor elektromos terének energiájává, majd visszaáramlik az áramforrásba. 8

9 ahol - a feszültség és áramerősség közötti fáziskülönbség, - pedig az áramkör teljesítménytényezője. Ez a teljesítmény az elhasznált teljesítmény, hővé illetve, ha az áramkör mozgó alkatrészeket is tartalmaz, akkor ezek teljesítményét is fedezi. A teljes vagy látszólagos teljesítmény: Az ábra szerint a teljesítményekre igaz, hogy: Az aktív teljesítmény mértékegysége a watt, a látszólagos teljesítményé a VA (volt-amper) és a reaktív (meddő) teljesítményé a VAR (volt-amper-reaktív). 9