Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Átírás

1 Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ). Jelen esetben f( 0 ) = f() =, f () =, így f ( 0 ) = f () =. Ebből a keresett egyenlet y = + ( ). Elvégezve a zárójel felbontását és az összevonást y =.. Feladat. Írjuk fel az f() = e függvény 0 = 0 pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ). Jelen esetben f( 0 ) = f(0) = e 0 =, f () = e, így f ( 0 ) = f (0) =. Ebből az érintő y = + ( 0). Tehát a keresett egyenlet y = +.

2 3. Feladat. Írjuk fel az f() = + függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ). Jelen esetben f( 0 ) = f() = 4 =, f () = ( + ) = +, így f ( 0 ) = f () = 4. Ebből a keresett egyenlet y = + ( ). 4 Elvégezve a zárójel felbontását és az összevonást y = 4 + 3, beszorozva a közös nevezővel 4y = 6 4. Feladat. Írjuk fel az f() = + + függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ). Jelen esetben f( 0 ) = f( ) =, továbbá f () = ( + ) ( + ) ( + ) = + 4 ( + ),

3 3 így f ( 0 ) = f ( ) = 4. Ebből a keresett egyenlet y = 4( + ). Elvégezve a zárójel felbontását és az összevonást y = Feladat. Határozzuk meg az f() = függvény azon érintőjének egyenletét, amelyik merőleges az y = + 5 egyenesre! A keresett egyenes egyenlete y = m+b, ahol m = a merőlegesség miatt (ugyanis egymásra merőleges egyenesek meredekségeinek szorzata -), tehát az érintő y = +b alakú. Másrészt m = f ( 0 ) = Így 0 meghatározható a = egyenletből, ami ekvivalens az = 0 egyenlettel. Ennek megoldásai 0 = ± + 8 = ± 3, azaz 0 = vagy 0 =. Így két érintési pont van E = (, 0) és E = (, ). Az y = + b egyenletbe behelyettesítve az érintési pontok koordinátáit, megkapjuk a b értékét: b =, b = 5. Így az érintők egyenletei y =, y = + 5.

4 4 6. Feladat. Határozzuk meg az f() = + 3 függvénynek az y = 4 3 egyenletű egyenessel párhuzamos érintőjének egyenletét. A keresett egyenes egyenlete y = m + b, ahol m = 4 a párhuzamosság miatt (ugyanis párhuzamos egyenesek meredeksége megegyezik), tehát az érintő y = 4 + b alakú. Másrészt m = f ( 0 ) = 0. Így 0 meghatározható a 0 = 4 egyenletből, ami ekvivalens a 0 = 6 egyenlettel. Ennek megoldása 0 = 3. Így az érintési pont E = (3, 6). Az y = 4 + b egyenletbe behelyettesítve az érintési pont koordinátáit, megkapjuk a b értékét: b = 6. Így az érintők egyenletei y = Feladat. Határozzuk meg, hogy az f() = függvénynek melyik pontjába húzott érintője párhuzamos az tengellyel? A keresett érintő meredeksége nulla, így az érintőt y = b alakban keressük. Másrészt m = f ( 0 ) = 6 0(3 + 0) (3 0 + )( 0 ) (3 + 0) = 0 (3 + 0),

5 5 amiből 0 = 0. Így f( 0 ) = 3. Tehát a keresett egyenes egyenlete y = Feladat. Mekkora annak a háromszögnek a területe, melyet az f() = e 3 függvénynek az 0 = 0 pontjába húzott érintője a koordinátatengelyekkel bezár? Az érintő egyenlete y = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ). Jelen esetben f( 0 ) =, továbbá f () = e 6, így f ( 0 ) = f (0) =. Tehát az érintő egyenlete y = +. Ez az egyenes az tengelyt /-nél, az y-tengelyt -nél metszi, így a keresett terület: T = = Feladat. Határozzuk meg az f() = 3 függvénynek az -tengellyel párhuzamos érintőjének egyenletét! Az -tengellyel párhuzamos érintő meredeksége 0, így meg kell oldanunk az f () = 0 egyenletet. Mivel f() = 3, ezért f () = 4 3. Így a 4 3 = 0 egyenletet kell megoldanunk. Kiemelve -et az (4 3) = 0 egyenlethez jutunk. Egy szorzat csak úgy lehet

6 6 nulla, ha valamelyik tényezője nulla, így = 0 vagy = 4 3. Mivel f(0) = 0, és f ( 4 3 Tehát a keresett egyenesek egyenlete y = 0 és y = 3 7. ) = Feladat. Van-e olyan pontja az f() = 3 függvénynek, melyhez húzott érintő párhuzamos az y = egyenletű egyenessel? A keresett egyenes meredeksége, így azt az -et keressük, melyre f () =. Mivel f () = 4 3, ezért a = 0 egyenletet kell megoldanunk. A másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva = és = 3 adódik.. Feladat. Milyen esetén lesz párhuzamos az f() = + függvény érintője párhuzamos az első síknegyed szögfelezőjével? Az f () = egyenlet megoldását keressük. Mivel f () =, ezért a megoldandó egyenlet =, amiből = 0 adódik.. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az f() = függvény tetszőleges pontjába húzott érintő állandó területű háromszögeket metsz ki a koordináta-tengelyekből! Az adott függvény egy tetszőleges 0 pontbeli érintőjének egyenlete y = 0 0 ( 0 ). Felbontva a zárójelet, és elvégezve az egyszerűsítést y = 0 0 adódik. Ennek az egyenesnek a koordináta-tengelyekkel való metszéspontja ( P 0, ), P ( 0, 0). 0 Derékszögű háromszög területe a befogók szorzatának a fele, így amivel igazoltuk az állítást. T = Feladat. Írjuk fel az f() = + függvény 0 = pontbeli normális egyenesének egyenletét! Az normális egyenes egyenlete =, y = f( 0 ) f ( 0 ) ( 0).

7 7 Jelen esetben f( 0 ) = f( ) =, f () =, így f ( (+) 0 ) = f ( ) =. keresett egyenlet y = + ( + ). Elvégezve a zárójel felbontását és az összevonást a keresett egyenes egyenlete y = +. Ebből a 4. Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőegyenesének és normális egyenesének egyenletét! Első lépésben lederiváljuk a függvényt, majd kiszámoljuk a függvénynek és a deriváltjának az 0 pontbeli helyettesítési értékét: Így Ebből az érintő egyenes egyenlete f () = + 8 ( + ) f( 0 ) = 3, f ( 0 ) = 7 9. y = ( + ). 7 Felbontva a zárójelet, és elvégezve az összevonást A normális egyenes egyenlete Felbontva a zárójelet y = y = 3 7 ( + ). 7 y =

8 8 5. Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontjához tartozó simulókörének, érintő egyenesének és normális egyensének egyenletét egyenletét! Számoljuk ki a szubtangens és szubnormális, valamint a tangens szakasz és normális szakasz hosszát! A függvény deriváltja f () =, második deriváltja f () =. Kiszámolva a függvényértéket, a derivált értékét és a második derivált értékét az 0 helyen, f( 0 ) = f() =, f ( 0 ) = f(0) =, f ( 0 ) = f(0) = adódik. Ebből az érintő egyenes egyenlete: y = + ( ), zárójel felbontás és összevonás után a normális egyenes egyenlete zárójel felbontás és összevonás után y =, y = ( ), y = 3. A simulókör középpontjának koordinátái u = 0 f( 0 ) + ( f ( 0 ) ), v = f( f 0 ) + + ( f ( 0 ) ). ( 0 ) f ( 0 ) Ebbe behelyettesítve a megefelelő adatokat u = + 4 = 4, v = adódik. A simulókör sugara r = ( + ( f ( 0 ) ) ) 3 f ( 0 ). = 7 = 3, 5

9 9 Behelyettesítve az adatokat adódik. Így a simulókör egyenlete 5 = 5 5 ( + 4) + (y 3, 5) = 5 4. A tangens szakasz hossza T = f( + ( f ( 0 ) ) 0) f ( 0 ) = 5 = 5, a normális szakasz hossza N = f( 0) + ( f ( 0 ) ) = 5 = 5. A szubtangens a szubnormális S T = f( 0 ) f ( 0 ) = = S N = f( 0 ) f ( 0 ) = =. 6. Feladat. Számoljuk ki az alábbi függvényhatárértékeket: a) b) c) sin ; sin 4 5 ; cos cos 3 ; d) e) f) sin sin 4 ; cos 5 ; e ( ln ) ;

10 0 g) 3 h) ( ln 3) 9 ; e sin 3 ; megoldás a) Alkalmazva a L Hospital szabályt sin = ( sin ) i) cos 4 ; j). 3 9 = cos =. b) Alkalmazva a L Hospital szabályt, valamint az összetett függvény deriválási szabályát ( ) sin 4 sin 4 5 = 4 cos 4 = = 4 (5) 5 5. c) Kétszer alkalmazva a L Hospital szabályt cos cos 3 = ( cos ) ( cos 3 ) = sin 3 sin 3 = 4 cos 9 cos 3 = 4 9. d) Alkalmazva a L Hospital szabályt, valamint az összetett függvény deriválási szabályát ( ) sin sin sin 4 = cos ( ) = sin 4 4 cos 4 =. e) Alkalmazva a L Hospital szabályt, valamint az összetett függvény deriválási szabályát cos 5 e = 5 sin 5 e + e. f) Alkalmazva a L Hospital szabályt ln ( ) = =. g) Alkalmazva a L Hospital szabályt 3 h) Alkalmazva a L Hospital szabályt ln ( ) 3 9 = 3 e sin 3 = = 8. e 3 cos 3 = 3. i) Kétszer alkalmazva a L Hospital szabályt cos 4 = 4 sin 4 = 6 cos 4 = 8.

11 j) Alkalmazva a L Hospital szabályt = Feladat. Számoljuk ki az alábbi függvényhatárértékeket: a) ln ; b) ; c) e ; a) Alkalmazva a L Hospital szabályt b) Alkalmazva a L Hospital szabályt ln d) e ; e) f) = = ; + e. = ln = ln. c) Felhasználjuk, hogy e =, majd alkalmazzuk a L Hospital szabályt: e e = e = e = 0. d) Felhasználjuk, hogy e =, majd alkalmazzuk a L Hospital szabályt: e e = e = = 0. e e) Alkalmazva a L Hospital szabályt 7 3 = ln(3) = 3 ln 3. f) Kétszer alkalmazva a L Hospital szabályt + e e e = = =. 8. Feladat. Számoljuk ki az alábbi függvényhatárértékeket: a) ; b) sin ; c) ln ln(sin ) ; d) e) ln( + ) ; arctg ;

12 a) Mivel ezért kiszámolva a határértéket + = e ln = e ln, ln = + ln + ln adódik, így a keresett határérték e 0 =. b) Mivel kiszámolva a határértéket + = + = + = 0 sin = e ln sin = e sin ln, sin ln = + = + így a keresett határérték e 0 =. c) Alkalmazva a L Hospital szabályt + ln ln(sin ) = + sin + ln sin sin ln = + sin cos = + cos = + sin cos = sin cos sin + cos = 0, sin cos = cos cos sin =. d) Alkalmazva a L Hospital szabályt ln( + ) = + =. e) Alkalmazva a L Hospital szabályt arctg = + =. 9. Feladat. Egy árucikk iránti keresletet az ártól függően az f() = függvény ad meg. Írjuk föl az elaszticitás függvényt! Hány százalékkal változik a kereslet, ha az áru 5 Ft-os árát %-kal emelik, illetve 3%-kal csökkentik?

13 Első lépésben kiszámoljuk az f függvény deriváltját: f () = 00 ( + 5). Ezt felhasználva felírjuk az elaszticitás függvényt: E() = f() f () = ( + 5) = Mivel a termék ára 5 Ft, ezért kiszámoljuk az E(5) értéket: E(5) = =. 00 ( + 5) = + 5. Ez azt jelenti, hogy ha %-kal nő az ár, akkor várhatóan fél százalékkal csökken a termék iránti kereslet. Msárészt, ha 3%-kal csökken az ár, akkor várhatóan 3 0, 5%-kal nő a termék iránti kereslet. 0. Feladat. Egy termékből eladott mennyiség az f() = függvénnyel adható meg, ahol a termék ára. Hány százalékkal változna az eladott mennyiség, ha a termék 000 Ft-os árát 3%-kal növelik? Első lépésben kiszámoljuk az f függvény deriváltját: f () = Ezt felhasználva felírjuk az elaszticitás függvényt: E() = f() f () = = = = A termék ára 000 Ft, ezért kiszámoljuk az E(000) értéket: 5000 E(000) = = = Ez azt jelenti, hogy ha 3%-kal növeljük a termék árát, akkor várhatóan 3 %-kal fog csökkenni 3 a termék iránti kereslet.. Feladat. A raktározási költség a raktározott mennyiség () és egy állandó költség függvénye az f() = képlet szerint. Hány százalékkal változik a raktározási költség, ha 00 termék helyett %-kal kevesebb terméket tárolnak? Első lépésben kiszámoljuk az f függvény deriváltját: f () = 40. 3

14 4 Ezt felhasználva az elaszticitás függvény E() = f() f () = Kiszámoljuk az E(00) értéket E(00) = = =. Így ha %-kal kevesebb terméket raktározunk, akkor költség = %-kal csökken a raktározási