MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY"

Átírás

1 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY KÉZI CSABA Date: today.

2 KÉZI CSABA ELŽSZÓ Ez a feladatgy jtemény a Debreceni Egyetem M szaki Karának Matematika II. tantárgyának tematikájához szorosan illeszkedik. Célja a m szaki képzésben részt vev hallgatók matematika tanulmányainak megkönnyítése, továbbá, hogy a hallgatók a matematika mérnöki, illetve gazdasági alkalmazásaiba is betekintést nyerjenek. A feladatgy jtemény jó néhány standard, gyakorló feladatot tartalmaz, melyeken keresztül begyakorolhatók a rutinszer en elvárt feladatok megoldásai. Ezen kívül tartalmaz nehezebb, gondolkodást igényl feladatokat, illetve szép számmal alkalmazott matematikai példákat is. A példatár gondos átolvasásáért, és a felmerül hibák javításáért köszönettel tartozom Molnár Ildikó m szaki menedzser és Tóth Xénia Erzsébet mechatronika szakos hallgatóknak. Köszönettel tartozom Dr. Kocsis Imre tanszékvezet nek, Dr. Szíki Gusztáv Áron f iskolai tanárnak, akik hasznos információkkal láttak el a feladatgy jtemény megírása során. Köszönöm továbbá a M szaki Alaptárgyi Tanszék minden oktatójának, valamint jó barátomnak, Baják Szabolcsnak, akikt l a személyes beszélgetéseink során jó néhány hasznosítható ötletet meríthettem.

3 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 3 I. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. Dierencia- és dierenciálhányados fogalma, geometriai és zikai jelentése.. Feladat. Határozzuk meg az f() = 3 függvény deriváltját az = pontban deníció szerint! A dierenciahányados f() f( ) = 3 = ( ) = ( )( + ) = +, melynek az = pontbeli határértéke lim ( + ) = + =... Feladat. Dierenciálható-e az f() = függvény az = pontban? A dierenciahányados f() f( ) = =, melynek az = pontbeli határértéke létezik ugyan, de nem véges: lim + =, így a függvény nem dierenciálható az = pontban..3. Feladat. Határozzuk meg az f() =, függvény deriváltját az pontban deníció szerint! A dierenciahányados f() f( ) = melynek az pontbeli határértéke = + ( )( )( ) = ( )( ), lim ( )( ) = ( ).

4 4 KÉZI CSABA.4. Feladat. A kilövés után t másodperccel a rakéta 3t méter magasságban van a földfelszín felett. Mekkora a rakéta sebessége másodperccel a kilövés után? Az s(t) = 3t függvény t = pontbeli dierenciálhányadosát (deriváltját) kell meghatároznunk. A dierenciahányados s(t) s(t ) t t = s(t) s() t = 3t 3 t Ennek a t = pontbeli határértéke = 3(t ) t v() = s () t 3(t + ) = 6 m s. = 3(t + )(t ) t = 3(t + )..5. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f() = függvény dierenciálható! Egyedül az = pontban lehet probléma a dierenciálhatósággal. A baloldali derivált az = pontban f ( ) = f() f( ) lim a jobboldali derivált f +( ) = ( + )( ) + f() f( ) lim + ( + ) + + f() f( ) + =, + =, f() f( ) + így f ( ) = f +( ), tehát a függvény dierenciálható. ( ) + ( + ) = =.6. Feladat. Értelmezési tartományának mely pontjaiban dierenciálható az f() = + függvény?

5 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 5 Egyedül az = pontban lehet probléma a dierenciálhatósággal, így írjuk föl az = pontbeli dierenciahányadost: f() f( ) = + +. Ennek a baloldali határértéke f ( ) = lim A jobboldali határérték + + = lim =. ( + ) ( + ) + = lim ( + ) ( + ) = f +( ) = lim =. Így f ( ) f +( ), tehát f nem dierenciálható az = pontban..7. Feladat. Ábrázoljuk az f() = 5 3 függvényt, majd állapítsuk meg, hogy értelmezési tartományának mely pontjaiban dierenciálható! Mivel { 5, ha 5 5 = + 5, ha < 5, ezért { 8, ha 5 f() = +, ha < 5. Ez alapján a függvény:

6 6 KÉZI CSABA Tehát az = ; 5; 8 pontokban lehet probléma a dierenciálhatósággal, így ezeken a helyeken ellen rizzük a dierenciálhatóságot. Mivel az = helyen a baloldali határérték f () f() f() a jobboldali határérték pedig f +() f() f() =, =, ezért f () f + = (), így f nem dierenciálható az = helyen. Hasonlóan mutatható meg, hogy az = 5, illetve az = 8 helyen sem dierenciálható a függvény..8. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha f : I R páros, dierenciálható függvény, akkor a deriváltja páratlan! Az f függvény páros, ezért f( ) = f() minden I esetén. Mivel így f páratlan. f ( ) = f( ) f( ) lim + f() f( ) = f ( ), f() f( ) ( ).9. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha f : I R páratlan, dierenciálható függvény, akkor a deriváltja páros! Az f függvény páratlan, ezért f( ) = f() minden I esetén. Mivel így f páratlan. f ( ) = f( ) f( ) lim + f() f( ) ( ) f() + f( ) ( ) = = f() f( ) = f ( ),

7 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 7.. Feladat. Dierenciálható-e az f() = sin, ha, ha = függvény az = pontban? A dierenciahányados f() f( ) = sin = sin, melynek az = pontbeli határértéke, ugyanis sin = sin. Tehát a függvény dierenciálható az = helyen, és a deriváltja f () =... Feladat. Mutassuk meg, hogy az sin f() =, ha, ha = függvény az = pontban folytonos, de nem dierenciálható! A függvény folytonos az = pontban, mert ott létezik a határértéke, és az, ugyanis sin = sin. A dierenciahányados f() f( ) = sin = sin,

8 8 KÉZI CSABA aminek nem létezik az = pontbeli határétéke, mert például az nπ és az (n+)π sorozatokat véve, az el bbinél ( ) lim sin n =, nπ míg az utóbbinál lim sin n ( (n+ )π ) =. Tehát a függvény nem dierenciálható az = pontban. A feladatban szerepl függvény grakonját az alábbi ábra szemlélteti:.. Feladat. Dierenciálható-e az f() = { +, ha 3, ha > függvény az = pontban? Mivel lim f() =, valamint lim f() =, + így lim f() lim + f(), tehát a függvény nem folytonos az = pontban, így ott nem is dierenciálható.

9 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 9.3. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az {, ha f() = a + a, ha > függvény folytonos! Határozzuk meg az a paraméter értékét úgy, hogy f dierenciálható legyen az = pontban! A baloldali derivált f () =, amelynek az = pontbeli helyettesítési értéke f () = =. A jobboldali derivált f +() f() f() + a + a a( ) A baloldali és jobboldali határértéknek egybe kell esnie ahhoz, hogy a függvény dierenciálható legyen, így a = adódik..4. Feladat. Határozzuk meg az m és b valós paraméter értékét úgy, hogy az { 3, ha f() = m + b, ha > függvény dierenciálható legyen az = pontban! A függvény baloldali deriváltja f ( f() f( ) ) jobboldali deriváltja 3 3 f +( f() f( ) ) + ( )( + + ) m + b (m + b) m( ) = a. + + = 3, = m. Egy függvény pontosan akkor dierenciálható az helyen, ha ott a baloldali és jobboldali deriváltja megegyezik, ezért m = 3. A dierenciálhatósághoz szükséges az adott pontbeli

10 KÉZI CSABA folytonosság, amihez szükséges az adott pontban a baloldali és jobboldali határérték egyenl sége. Így a lim f() f() + egyenl ségb l kapjuk, hogy = m + b. Az m értékét már ismerjük. Azt behelyettesítve b = adódik. Ezzel meghatároztuk a kérdezett paraméterek értékét..5. Feladat. Az m és b paraméterek mely értéke mellett lesz az { sin, ha < π f() = m + b, ha π függvény dierenciálható az = π helyen! A dierenciálhatóságnak szükséges feltétele a folytonosság. Ehhez az = π helyen meg kell egyeznie a függvény baloldali és jobboldali határértékének. A boldali határérték lim f() = sin π =, π a jobboldali határérték Tehát teljesülni kell az lim f() = m π + b. π+ m π + b = egyenletnek. Másrészt ahhoz, hogy a függvény dierenciálható legyen, a bal- és jobboldali deriváltjának meg kell egyeznie az = π helyen. A baloldali derivált f ( f() f( ) ) π π π π π π sin ( π++π sin ( π sin ( π π ) ( sin π ++π π ) cos ( +π ) cos ( +π ) +cos ( π ) ( + cos +π π sin sin π π π ) = sin ( π + +π ) sin ( +π ) sin ( π ) ( sin +π π π sin ( ) ( π cos +π ) sin ( ) π ( ) + π π π π cos = sin ( ) π ( ) + π lim cos = cos π =. π π A jobboldali derivált f +( f() f( ) ) π+ ) m + b (mπ + b) π+ π sin π = ) ( sin +π π π ) cos ( π sin ( π ) = ) +cos ( +π ) ( cos +π ) π ) ( sin π ) = m( π) π+ π = m. =

11 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY Mivel f ( ) = f +( ) egyenl ségnek teljesülnie kell a dierenciálhatósághoz, ezért m = adódik. Másrészt a folytonosság miatt az m π + b = egyenletnek is teljesülni kell, amib l b = π következik..6. Feladat. Az a és b paraméterek mely értéke esetén lesz az { a + b, ha f() = a b, ha > függvény mindenütt dierenciálható? Egyedül az = helyen lehet probléma a dierenciálhatósággal. Ezen a helyen szükségképpen folytonosnak kell lennie a függvénynek, amihez teljesülni kell a egyenl ségnek. Ez jelen esetben az lim f() f() + a( ) + b = a( ) 3 + ( ) + b egyenletet jelenti, amib l b = adódik. A dierenciálhatósághoz a baloldali és jobboldali deriváltaknak egybe kell esni. A baloldali derivált f ( ) = a jobboldali derivált f +( ) = f() f( ) lim + f() f( ) lim a + b ( a + b) + a( + ) + a b ( a + b) + + a a a( + )( + ) a( + ) + = 3a +. = = a, a( 3 + ) + + = + ( + ) ( a( + ) + ) + + Így teljesülnie kell a 3a + = a egyenletnek, amib l a = adódik. =

12 KÉZI CSABA. Deriválási szabályok.. Feladat. Deriváljuk az f() = függvényt! Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja a derivált számszorosa (azaz a számszorzó differenciáláskor változatlan marad) f () = ( 3 ) + 3( ) = = Feladat. Deriváljuk az f() = e (sin + cos ) függvényt! Két függvény szorzatának a deriváltját úgy kapjuk, hogy a szorzat els tényez jének a deriváltját megszorozzuk az eredeti függvény második tényezez jével, ehhez hozzádjuk az eredeti függvény els tényez jének a második tényez deriváltjával való szorzatát. Ezt felhasználva f () = e (sin + cos ) + e (cos sin ) = cos e..3. Feladat. Deriváljuk az f() = + sin cos függvényt! Hányadost úgy deriválunk, hogy a számláló deriváltját megszorozzuk a nevez vel, ebb l levonjuk a számlálónak a nevez deriváltjával kapott szorzatát, majd az így kapott különbséget elosztjuk a nevez négyzetével. Ezt felhasználva f () = ( + cos ) cos ( + sin )( sin ). cos Felbontva a zárójeleket, és felhasználva a sin + cos = trigonometrikus azonosságot f () = + cos + sin. cos.4. Feladat. Deriváljuk az f() = függvényt! Összeget tagonként deriválva f () = Feladat. Deriváljuk az f() = 3 log függvényt! A szorzat deriválási szabályát felhasználva f () = 3 ln 3 log + 3 ln.

13 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 3.6. Feladat. Deriváljuk az f() = sin + függvényt! Felhasználva a = azonosságot, majd alkalmazva a hányados deriválási szabályát cos ( ( ) + ) sin f + () = (. + ).7. Feladat. Deriváljuk az f() = + 7 Felhasználva a 7 = 7 3 függvényt! azonosságot, majd alkalmazva a hányados deriválási szabályát ( ) + f ( ) 3 () = Feladat. Deriváljuk az f() = 4 lg függvényt! A szorzat deriválási szabálya szerint f () = 4 ln 4 lg Feladat. Deriváljuk az f() = függvényt! ln. Felhasználva az összeadásra, illetve konstansszorzóra vonatkozó deriválási szabályokat f () = ( 7 ) + (8 ) 3 = Feladat. Deriváljuk az f() = függvényt! A =, illetve 3 = 3 felhasználása után az összeget tagonként deriválva azt kapjuk, hogy f () = = Feladat. Deriváljuk az f() = + + függvényt! Felhasználva, hogy =, továbbá, hogy =, majd az összeget tagonként deriválva f() = 3 = 3... Feladat. Deriváljuk az f() = 3 sin + 5 cos + sh függvényt!

14 4 KÉZI CSABA Felhasználva az összeadásra, illetve konstansszorzóra vonatkozó deriválási szabályokat f () = 3 cos 5 sin + ch..3. Feladat. Deriváljuk az f() = 5 log 4 függvényt! Felhasználva az összeadásra, illetve konstansszorzóra vonatkozó deriválási szabályokat f () = 5 ln 5 ln Feladat. Deriváljuk az f() = e sin függvényt! Felhasználva a szorzásra vonatkozó deriválási szabályt f () = (e ) sin e (sin ) sin.5. Feladat. Deriváljuk az f() = ln függvényt! Felhasználva a szorzásra vonatkozó deriválási szabályt = e sin e cos sin. f () = ln + (ln ) = ln + = ln Feladat. Deriváljuk az f() = log 3 függvényt! Felhasználva a szorzásra vonatkozó deriválási szabályt f () = ( ) log 3 (log 3 ) log 3.7. Feladat. Deriváljuk az f() = + 3 Felhasználva a hányadosfüggvény deriválási szabályát e = ln log 3 log 3 függvényt. f () = ( + 3 ) e ( + 3 )(e ) = ( + 3) e ( + 3 ) e (e ) e A számlálóban e -et kiemelve, majd elvégezve az egyszer sítést f () = ( + 3) e ( + 3 ) e = e ( ) e e.8. Feladat. Deriváljuk az f() = ( ) sin függvényt! ln 3. = 4 e.

15 Felhasználva a szorzatfüggvény deriválási szabályát MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 5 f () = ( ) sin + ( )(sin ) = ( + 7) sin + ( ) cos..9. Feladat. Deriváljuk az f() = ln(sin ) függvényt! A küls függvény az ln, a bels függvény a sin. El ször deriváljuk a küls függvényt, amire adódik, majd abba beírjuk az eredeti bels függvényt, végül a kapott eredményt szorozzuk a bels függvény deriváltjával: f () = sin (sin ) = cos = ctg. sin.. Feladat. Deriváljuk az f() = ln( + 5 ) függvényt! A küls függvény az ln, a bels függvény + 5. El ször deriváljuk a küls függvényt, amire adódik, majd abba beírjuk az eredeti bels függvényt, végül a kapott eredményt szorozzuk a bels függvény deriváltjával: f () = + 5 ( + 5 ) =.. Feladat. Deriváljuk az f() = e függvényt! + 5 ( + 5) = A küls függvény az e, a bels függvény az. A küls függvény deriváltja e, ebbe beírjuk az eredeti bels függvényt, végül a kapott eredményt szorozzuk a bels függvény deriváltjával: f () = e... Feladat. Deriváljuk az f() = (3 + ) függvényt! A küls függvény az, a bels függvény 3 +. A küls függvény deriváltja 99. Ebbe beírjuk az eredeti bels függvényt, végül a kapott eredményt szorozzuk a bels függvény deriváltjával: f () = (3 + ) 99 (3 + ) = (3 + ) 99 3 = 3(3 + ) Feladat. Deriváljuk az f() = 3 + függvényt! Felhasználva, hogy 3 + = ( + ) 3, a küls függvény 3, a bels függvény +. A küsl függvény deriváltja 3 3, így f () = 3 ( + ) 3 ( + ) = = 3 ( + ) 3.4. Feladat. Deriváljuk az f() = ln( sin ) függvényt! 3 3 ( + ). Küls függvény az ln, bels függvény az sin. A küls függvény deriváltja, amibe beírva

16 6 KÉZI CSABA az eredeti bels függvényt:. A bels függvény deriváltja sin + cos, így sin f sin + cos () =. sin.5. Feladat. Deriváljuk az f() = sin ( 3 cos ) függvényt! 3 Küls függvény az sin, bels függvény az cos. A küls függvény deriváltja cos, amibe beírva az eredeti bels függvényt: cos ( ) 3 3(cos )+3 sin cos. A bels függvény deriváltja, így cos ( ) 3 f 3 cos + 3 sin () = cos. cos cos.6. Feladat. Deriváljuk az f() = tg( + ) függvényt! Küls függvény a tg, bels függvény az +. A küls függvény deriváltja cos, amibe beírva az eredeti bels függvényt:. A bels függvény deriváltja +, így f () = cos ( +) cos ( + ) ( + ) = + cos ( + )..7. Feladat. Deriváljuk az f() = e sin függvényt! Küls függvény a e, bels függvény az sin. A küls függvény deriváltja e, amibe beírva az eredeti bels függvényt: e sin. A bels függvény deriváltja cos, így f () = e sin cos..8. Feladat. Deriváljuk az f() = e +3 4 függvényt! Küls függvény a e, bels függvény az A küls függvény deriváltja e, amibe beírva az eredeti bels függvényt: e A bels függvény deriváltja + 3, így f () = e +3 4 ( + 3)..9. Feladat. Deriváljuk az f() = sin függvényt! Küls függvény a, bels függvény az sin. A küls függvény deriváltja ln, amibe beírva az eredeti bels függvényt: sin ln. A bels függvény deriváltja cos, így f () = sin ln cos..3. Feladat. Deriváljuk az f() = + 3 függvényt! Felhasználva, hogy =, a küls függvény az, bels függvény az + 3. A küls

17 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 7 függvény deriváltja, amibe beírva az eredeti bels függvényt: bels függvény deriváltja +, így f () = ( + 3) ( + ) = Feladat. Deriváljuk az f() = cos(sin ) függvényt! ( + 3). A Küls függvény a cos, bels függvény az sin. A küls függvény deriváltja sin, amibe beírva az eredeti bels függvényt: sin(sin ). A bels függvény deriváltja cos, így f () = sin(sin ) cos..3. Feladat. Deriváljuk az f() = cos( ) függvényt! A szorzat és összetett függvény deriválási szabályát használva f () = cos( ) sin( )( + 3)..33. Feladat. Deriváljuk az f() = ( + ) ln + + függvényt! A szorzat, az összetett függvény és a hányados deriválási szabályát használva f () = ( + ) ln ( + ) ( + ) = ( + ) = ( + ) ln ( + ) ( + ). ( ).34. Feladat. + Deriváljuk az f() = arctg függvényt! A szorzat, a hányados és az összetett függvény deriválási szabályát használva ( ) f + () = arctg + + ( ) Feladat. Deriváljuk az f() = tg(e ) függvényt! Küls függvény a tg, bels függvény az e. A küls függvény deriváltja, amibe beírva cos az eredeti bels függvényt: cos (e ). A bels függvény szintén összetett, a küls függvény e, a bels függvény, az összetett függvény deriválási szabálya szerint (e ) = e. Így f () = cos (e ) (e ) = cos (e ) e.

18 8 KÉZI CSABA.36. Feladat. Deriváljuk az f() = ln ( ln() ) függvényt! Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva f () = ln() = ln()..37. Feladat. Deriváljuk az f() = sin( ) függvényt! Felhasználva, hogy sin = (sin ), az összetett függvény deriválási szabálya szerint f () = (sin ) cos. (.38. Feladat. Deriváljuk az f() = sin cos ( sin )) függvényt! Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva ( f () = cos cos ( sin )) ( sin(sin ) ) cos..39. Feladat. Deriváljuk az f() = ln ( + sin( ) ) függvényt! Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva f () = + sin( ) ( + cos( ) )..4. Feladat. Deriváljuk az f() = sin() függvényt! Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva f () = sin() ln cos()..4. Feladat. Deriváljuk az f() = + függvényt! Felhasználva, hogy = f () = ( + ) ( + )..4. Feladat. Deriváljuk az f() = cos(sin ) függvényt! f () = sin(sin ) cos

19 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY Feladat. Deriváljuk az f() = cos(ln( )) függvényt! f () = sin (ln ( )). (.44. Feladat. Deriváljuk az f() = ln sin ( cos )) függvényt! f cos (cos ()) sin () () = sin (cos ()).45. Feladat. Deriváljuk az f() = sin ( ) függvényt! f () = 4 sin ( ) cos ( ).46. Feladat. Deriváljuk az f() = 3 ln ( sin() ) függvényt! f cos ( ) () = /3 (ln (sin ( ))) /3 sin ( ).47. Feladat. Deriváljuk az f() = 7 sin ( cos () ) függvényt! f () = /7 cos ( (cos ()) ) cos () sin () ( sin ( (cos ()) )) 6/7.48. Feladat. Deriváljuk az f() = ln sin függvényt! A hányados, és a szorzat dierenciálási szabályát alkalmazva f (ln + ) sin ln cos () = sin..49. Feladat. Deriváljuk az f() = sin + sin( ) függvényt! A hányados, és a szorzat dierenciálási szabályát alkalmazva f () = ( sin cos + cos( )) 3 ( sin + sin( ) ) Feladat. Deriváljuk az f() = sin(3) sin(5) függvényt! A szorzat dierenciálási szabályát alkalmazva 3 f () = 3 cos(3) sin(5) + 5 sin(3) cos(5).

20 KÉZI CSABA.5. Feladat. Deriváljuk az f() = ( + ) 3 sin( 4 ) függvényt! A szorzat deriválási szabályát alkalmazva f () = 6( + ) sin( 4 ) + ( + ) cos( 4 )..5. Feladat. Deriváljuk az f() = sin e függvényt! A hányados, és a szorzat dierenciálási szabályát alkalmazva.53. Feladat. Deriváljuk az f() = Felhasználjuk, hogy 8 = 8 : f () = ( sin + cos ) e sin e e. f () = 8 sin függvényt! sin 8 ( sin + cos ) ( sin )..54. Feladat. Deriváljuk az f() = 3π + (4π) 5 függvényt! Az összetett függvény deriválási szabálya szerint f () = 3π 3π + (4π) 5 ln(4π) Feladat. Deriváljuk az f() = (3 + ) e tg függvényt! A hányados deriválási szabályát alkalmazzuk, gyelve arra, hogy a számláló két függvény szorzata, így ott a szorzat deriválási szabályát használjuk: ( (3 f + ) e +( 3 + ) e ) tg ( 3 + ) e cos () =. tg Elvégezve az összevonást ( ) e ( ) tg 3 + f cos () =. tg.56. Feladat. Deriváljuk az f() = sin( ) + sin e függvényt!

21 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY A hányados és az összetett függvény deriválási szabálya szerint ( cos( ) ) f + (sin ) cos e ( sin( ) + sin ) e () =. e Feladat. Deriváljuk az f() = 3 + e tg függvényt! A hányados deriválási szabálya szerint f () = (3 + ) (e tg ) ( 3 + ) (e ) ( ) cos. (e tg ).58. Feladat. Deriváljuk az f() = + arcsin() függvényt! Az összetett függvény deriválási szabálya szerint f () = ln Feladat. Deriváljuk az f() = 7 + arctg e + ln (). függvényt! A hányados dierenciálási szabálya szerint ( ) f + (e + ln ) ( 7 + arctg ) ( ) e + () = ( e + ln )..6. Feladat. Deriváljuk az f() = függvényt!.megoldás Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = = e ln = e ln. Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ( f () = e ln ln + ) = (ln + )..megoldás Vegyük az f() = mindkét oldalának a logaritmusát: ln ( f() ) = ln, amib l ln ( f() ) = ln.

22 KÉZI CSABA Mindkét oldalt dierenciálva az változó szerint f() f () = ln +. Végigszorozva f()-el, kapjuk a megoldást f () = f()(ln + ) = (ln + )..6. Feladat. Deriváljuk az f() = sin függvényt!.megoldás Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = sin = e ln sin = e sin ln. Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ( f () = e sin ln cos ln + sin ) ( = sin cos ln + sin )..megoldás Vegyük az f() = sin mindkét oldalának a logaritmusát: ln ( f() ) = ln sin, amib l ln ( f() ) = sin ln. Mindkét oldalt dierenciálva az változó szerint f() f () = cos ln + sin. Végigszorozva f()-el, kapjuk a megoldást ( f () = f() cos ln + sin ) ( = sin cos ln + sin )..6. Feladat. Deriváljuk az f() = (sin ) függvényt!.megoldás Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = (sin ) = e ln(sin ) = e ln(sin ). Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ) f () = e (ln(sin ln(sin ) ) + sin cos = (sin ) (ln(sin ) + ctg )..megoldás

23 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 3 Vegyük az f() = (sin ) mindkét oldalának a logaritmusát: ln ( f() ) = ln(sin ), amib l ln ( f() ) = ln(sin ). Mindkét oldalt dierenciálva az változó szerint f() f () = ln(sin ) + ctg. Végigszorozva f()-el, kapjuk a megoldást f () = f() (ln(sin ) + ctg ) = (sin ) (ln(sin ) + ctg )..63. Feladat. Deriváljuk az f() = cos függvényt!.megoldás Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = cos = e ln cos = e cos ln. Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ( f () = e cos ln sin ln + cos ) ( = cos sin ln + cos )..megoldás Vegyük az f() = cos mindkét oldalának a logaritmusát: ln ( f() ) = ln cos, amib l ln ( f() ) = cos ln. Mindkét oldalt dierenciálva az változó szerint f() f () = sin ln + cos. Végigszorozva f()-el, kapjuk a megoldást ( f () = f() sin ln + cos ) ( = cos.64. Feladat. Deriváljuk az f() = (cos ) függvényt!.megoldás Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = (cos ) = e ln(cos ) = e ln(cos ). sin ln + cos ).

24 4 KÉZI CSABA Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ) f () = e (ln(cos ln(cos ) ) cos sin = (cos ) (ln(cos ) tg )..megoldás Vegyük az f() = (cos ) mindkét oldalának a logaritmusát: ln ( f() ) = ln(cos ), amib l ln ( f() ) = ln(cos ). Mindkét oldalt dierenciálva az változó szerint f() f () = ln(cos ) tg. Végigszorozva f()-el, kapjuk a megoldást f () = f() (ln(cos ) tg ) = (cos ) (ln(cos ) tg )..65. Feladat. Deriváljuk az f() = (sin ) cos függvényt! Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = (sin ) cos = e ln(sin )cos = e cos ln(sin ). Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ) f () =e ( cos ln(sin ) sin ln(sin ) + cos sin cos = = (sin ) cos ( sin ln(sin ) + cos ctg )..66. Feladat. Deriváljuk az f() = függvényt! Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = = e ln = e ln. Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ( f () = e ln ln + ) ( = ln + ).

25 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY Feladat. Deriváljuk az f() = ( ) függvényt! Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = ( ) = e ln( ) = e ln. Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ( f () = e ln ln ) + = ( ( ) ln + )..68. Feladat. Deriváljuk az f() = e függvényt! Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = e = e ln e = e e ln. Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ( f () = e e ln e ln + e ) ( ) = e e ln + e..69. Feladat. Deriváljuk az f() = () 3 függvényt! Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = () 3 = e ln()3 = e 3 ln(). Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ) f () = e (3 3 ln() ln() + 3 = () 3 (3 ln() + 3)..7. Feladat. Deriváljuk az f() = arcsin() függvényt! Felhasználva, hogy f() = e ln arcsin( ) = e arcsin( ) ln, az összetett függvény deriválási szabálya szerint (küls függvény az e ) ( ) f () = e arcsin( ) ln ( ) ln + arcsin, amib l ( f () = arcsin( ) ln 4 + arcsin( ) ).

26 6 KÉZI CSABA 3. Magasabbrend deriváltak, dierenciálható függvények néhány lokális jellemz je, L'Hospital szabály 3.. Feladat. Számoljuk ki az f() = e függvény n-edik deriváltját! A függvény els deriváltja f () = e, a második deriváltja f () = 4e, harmadik deriváltja 8e. Ebb l a sejtésünk az n-edik deriváltra f (n) () = n e. Ezt teljes indukcióval igazolhatjuk f (n+) () = ( f (n) () ) = ( n e ) = n e = n+ e. Ezzel igazoltuk, hogy f (n) () = n e. 3.. Feladat. Számoljuk ki az f() = n függvéy n-edik deriváltját! A függvény deriváltja f () = n n, második deriváltja f () = n(n ) n. Ebb l már látható, hogy az n-edik derivát f (n) () = n! Feladat. Számoljuk ki az f() = ln függvény n-edik deriváltját! A függvény els deriváltja f () =, második deriváltja f () =, harmadik deriváltja f () = 3. Ebb l megsejthet, hogy az n-edik derivált f (n) () = ( )n+ (n )! n Feladat. Számoljuk ki az f() = sin függvény n-edik deriváltját! A függvény deriváltja f () = cos, második deriváltja f () = sin, harmadik deriváltja f () = cos, negyedik deriváltja f (iv) () = sin. Innent l kezdve ugyanezek a deriváltak ismétl dnek, így sin, ha n = 4k (azaz, ha n osztható 4-el) f (n) cos, ha n = 4k + (azaz, ha n 4-el osztva maradékot ad) () = sin, ha n = 4k + (azaz, ha n 4-el osztva maradékot ad) cos, ha n = 4k + 3 (azaz, ha n 4-el osztva 3 maradékot ad) Feladat. Számoljuk ki az f() = cos függvény n-edik deriváltját! A függvény deriváltja f () = sin, második deriváltja f () = cos, harmadik deriváltja f () = sin, negyedik deriváltja f (iv) () = cos. Innent l kezdve ugyanezek a deriváltak

27 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 7 ismétl dnek, így cos, f (n) sin, () = cos, sin, ha n = 4k (azaz, ha n osztható 4-el) ha n = 4k + (azaz, ha n 4-el osztva maradékot ad) ha n = 4k + (azaz, ha n 4-el osztva maradékot ad) ha n = 4k + 3 (azaz, ha n 4-el osztva 3 maradékot ad) Feladat. Számoljuk ki az f() = függvény negyedik deriváltját! A függvény deriváltja A második derivált A harmadik derivált A negyedik derivált 3.7. Feladat. Határozzuk meg az függvény n-edik deriváltját! A függvény deriváltja A második derivált A harmadik derivált f () = =. f () = 4 3 = 4 3. f () = = f iv () = f() = + f () = ( + ) ( ) ( + )( ) ( ) = Így az n-edik deriváltra a sejtésünk 5 = ( + ) ( ) = f () = ( ( ) ) = 4( ) 3 ( ) = f () = ( 4( ) 3) = ( ) 4 ( ) = f (n) () = n!( ) (n+) = n! ( ) n+. 4 ( ) 3. ( ) 4. ( ).

28 8 KÉZI CSABA Ezt teljes indukcióval bizonyíthatjuk: f (n+) () = ( n!( ) (n+)) ( ) = n! (n + ) ( ) (n+) ( ) = = (n + )!( ) (n+) Feladat. Írjuk fel az f() = függvény = pontbeli érint jének egyenletét! Az érint egyenlete y = f( ) + f ( )( ). Jelen esetben f( ) = f() =, f () =, így f ( ) = f () =. Ebb l a keresett egyenlet y = + ( ). Elvégezve a zárójel felbontását és az összevonást y = Feladat. Írjuk fel az f() = e függvény = pontbeli érint jének egyenletét! Az érint egyenlete y = f( ) + f ( )( ). Jelen esetben f( ) = f() = e =, f () = e, így f ( ) = f () =. Ebb l az érint y = + ( ). Tehát a keresett egyenlet y = +.

29 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY Feladat. Írjuk fel az f() = + függvény = pontbeli érint jének egyenletét! Az érint egyenlete y = f( ) + f ( )( ). Jelen esetben f( ) = f() = 4 =, f () = ( + ) = +, így f ( ) = f () = 4. Ebb l a keresett egyenlet y = + ( ). 4 Elvégezve a zárójel felbontását és az összevonást y = 4 + 3, beszorozva a közös nevez vel 4y = Feladat. Írjuk fel az f() = + + függvény = pontbeli érint jének egyenletét! Az érint egyenlete y = f( ) + f ( )( ). Jelen esetben f( ) = f( ) =, f () = ( + ) ( + ) = + 4 ( + ) ( + ), így f ( ) = f ( ) = 4. Ebb l a keresett egyenlet y = 4( + ).

30 3 KÉZI CSABA Elvégezve a zárójel felbontását és az összevonást y = Feladat. Határozzuk meg az f() = függvény azon érint jének egyenletét, amelyik mer leges az y = + 5 egyenesre! A keresett egyenes egyenlete y = m+b, ahol m = a mer legesség miatt (ugyanis egymásra mer leges egyenesek meredekségeinek szorzata -), tehát az érint y = +b alakú. Másrészt m = f ( ) = Így meghatározható a = egyenletb l, ami ekvivalens az + = egyenlettel. Ennek megoldásai = ± + 8 = ± 3, azaz = vagy =. Így két érintési pont van E = (, ) és E = (, ). Az y = + b egyenletbe behelyettesítve az érintési pontok koordinátáit, megkapjuk a b értékét: b =, b = 5. Így az érint k egyenletei y =, y = + 5.

31 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY Feladat. Határozzuk meg az f() = + 3 függvénynek az y = 4 3 egyenlet egyenessel párhuzamos érint jének egyenletét. A keresett egyenes egyenlete y = m + b, ahol m = 4 a párhuzamosság miatt (ugyanis párhuzamos egyenesek meredeksége megegyezik), tehát az érint y = 4 + b alakú. Másrészt m = f ( ) =. Így meghatározható a = 4 egyenletb l, ami ekvivalens a = 6 egyenlettel. Ennek megoldása = 3. Így az érintési pont E = (3, 6). Az y = 4 + b egyenletbe behelyettesítve az érintési pont koordinátáit, megkapjuk a b értékét: b = 6. Így az érint k egyenletei y = Feladat. Határozzuk meg, hogy az f() = érint je párhuzamos az tengellyel? függvénynek melyik pontjába húzott A keresett érint meredeksége nulla, így az érint t y = b alakban keressük. Másrészt m = f ( ) = 6 (3 + ) (3 + )( ) (3 + ) = 6 (3 + ), amib l =. Így f( ) = 3. Tehát a keresett egyenes egyenlete y = 3.

32 3 KÉZI CSABA 3.5. Feladat. Mekkora annak a háromszögnek a területe, melyet az f() = e 3 függvénynek az = pontjába húzott érint je a koordinátatengelyekkel bezár? Az érint egyenlete y = f( ) + f ( )( ). Jelen esetben f( ) =, továbbá f () = e 6, így f ( ) = f () =. Tehát az érint egyenlete y = +. Ez az egyenes az tengelyt /-nél, az y-tengelyt -nél metszi, így a keresett terület: T = = Feladat. Határozzuk meg az f() = 3 függvénynek az -tengellyel párhuzamos érint jének egyenletét! Az -tengellyel párhuzamos érint meredeksége, így meg kell oldanunk az f () = egyenletet. Mivel f() = 3, ezért f () = 4 3. Így a 4 3 = egyenletet kell megoldanunk. Kiemelve -et az (4 3) = egyenlethez jutunk. Egy szorzat csak úgy lehet nulla, ha valamelyik tényez je nulla, így = vagy = 4 3. Mivel f() =, és f ( 4 3 Tehát a keresett egyenesek egyenlete y = és y = 3 7. ) = 3 7.

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja) Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

II. rész. Valós függvények

II. rész. Valós függvények II. rész Valós függvények Feladatok 3 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = + + 3.. 3.4. 3.6. y = y = 3 y = + 3 ln 5 4 3.3. 3.5. 3.7. y = 3 +

Részletesebben

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok 2015. március 29. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Hol növekv az f() függvény, ha deriváltja f () = ( + 2)( 5) 2? Megoldás: Egy függvény növekedését,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam 01/01 1. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor a kapott kétjegyű szám értéke az eredeti szám értékénél 108 %-kal nagyobb. Melyik ez a kétjegyű szám? Jelölje a kétjegyű számot xy. 08 A feltételnek

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 5. Taylor-polinom

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 5. Taylor-polinom DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS KÉZI CSABA GÁBOR 5. Taylor-polinom 5.. Feladat. Írjuk fel az f(x) = e x függvény x 0 = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével számoljuk ki e közelítő értékét!

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: a) b) lg 8 0 6 I. (5 pont) (5 pont) a) A logaritmus értelmezése alapján: 80 ( vagy ) Egy szorzat

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

Matematika és geometria feladatok a TERMÉSZETTUDOMÁNYI ALAPISMERETEK. című tárgyhoz

Matematika és geometria feladatok a TERMÉSZETTUDOMÁNYI ALAPISMERETEK. című tárgyhoz Matematika és geometria feladatok a TERMÉSZETTUDOMÁNYI ALAPISMERETEK című tárgyhoz Összeállította : Kézi Csaba Gábor Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék Debrecen,

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

Jelenlegi életkor Életkor 11 év múlva Anya x x + 11 Gyermek x 29 x 29 + 11 = x 18

Jelenlegi életkor Életkor 11 év múlva Anya x x + 11 Gyermek x 29 x 29 + 11 = x 18 Szöveges feladatok Életkori feladatok. Feladat. Egy anya 29 éves volt, amikor a a született. év múlva az életkora évvel lesz kevesebb, mint a a akkori életkorának kétszerese. Hány évesek most? Megoldás.

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

KALKULUS II. PÉLDATÁR

KALKULUS II. PÉLDATÁR Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR mobidiák könyvtár Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŽ Fazekas István Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR Programozó és programtervez

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

1. Sorozatok 2014.03.12.

1. Sorozatok 2014.03.12. 1. Sorozatok Azokat a függvényeket, amelyek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza ( jelölése N ), a képhalmaz a valós számok halmaza, sorozatnak nevezzük. Az a függvény n N helyen vett

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 10. Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: É rettségi feladatgyűjtemény matematikából

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

lim 2 2 lim 2 lim 1 lim 3 4 lim 4 FOLYTONOSSÁG 1 x helyen? ( 2 a matek világos oldala Mosóczi András 4.1.? 4.5.? 4.2.? 4.6.? 4.3.? 4 4.7. 4.4.? 4.8.?

lim 2 2 lim 2 lim 1 lim 3 4 lim 4 FOLYTONOSSÁG 1 x helyen? ( 2 a matek világos oldala Mosóczi András 4.1.? 4.5.? 4.2.? 4.6.? 4.3.? 4 4.7. 4.4.? 4.8.? FÜGGVÉNYEK HTÁÉTÉKE Mosóczi ndrás..?..?..?..?..?..?..?.8.? FOLYTONOSSÁG DEFINÍCIÓ. z üggvény olytonos az a helyen értelmezve van az a helyen létezik és véges a tárértéke az a helyen és a a DEFINÍCIÓ. z

Részletesebben

Végeredmények, feladatok részletes megoldása

Végeredmények, feladatok részletes megoldása Végeredmények, feladatok részletes megoldása I. Kombinatorika, gráfok Sorba rendezési problémák (Ismétlés). Részhalmaz-kiválasztási problémák, vegyes összeszámlálási feladatok (Ismétlés). Binomiális együtthatók,

Részletesebben

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege?

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? ! " # $ %& '()(* $ A táblára felírtuk a 0-tól 00-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? 0 0 0 0 0. 9 7. 9 9 9 + ')./ &,- $ Először a 0-tól 999-ig

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 063 MATEMATIKA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben