MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY"

Átírás

1 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY KÉZI CSABA Date: today.

2 KÉZI CSABA ELŽSZÓ Ez a feladatgy jtemény a Debreceni Egyetem M szaki Karának Matematika II. tantárgyának tematikájához szorosan illeszkedik. Célja a m szaki képzésben részt vev hallgatók matematika tanulmányainak megkönnyítése, továbbá, hogy a hallgatók a matematika mérnöki, illetve gazdasági alkalmazásaiba is betekintést nyerjenek. A feladatgy jtemény jó néhány standard, gyakorló feladatot tartalmaz, melyeken keresztül begyakorolhatók a rutinszer en elvárt feladatok megoldásai. Ezen kívül tartalmaz nehezebb, gondolkodást igényl feladatokat, illetve szép számmal alkalmazott matematikai példákat is. A példatár gondos átolvasásáért, és a felmerül hibák javításáért köszönettel tartozom Molnár Ildikó m szaki menedzser és Tóth Xénia Erzsébet mechatronika szakos hallgatóknak. Köszönettel tartozom Dr. Kocsis Imre tanszékvezet nek, Dr. Szíki Gusztáv Áron f iskolai tanárnak, akik hasznos információkkal láttak el a feladatgy jtemény megírása során. Köszönöm továbbá a M szaki Alaptárgyi Tanszék minden oktatójának, valamint jó barátomnak, Baják Szabolcsnak, akikt l a személyes beszélgetéseink során jó néhány hasznosítható ötletet meríthettem.

3 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 3 I. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. Dierencia- és dierenciálhányados fogalma, geometriai és zikai jelentése.. Feladat. Határozzuk meg az f() = 3 függvény deriváltját az = pontban deníció szerint! A dierenciahányados f() f( ) = 3 = ( ) = ( )( + ) = +, melynek az = pontbeli határértéke lim ( + ) = + =... Feladat. Dierenciálható-e az f() = függvény az = pontban? A dierenciahányados f() f( ) = =, melynek az = pontbeli határértéke létezik ugyan, de nem véges: lim + =, így a függvény nem dierenciálható az = pontban..3. Feladat. Határozzuk meg az f() =, függvény deriváltját az pontban deníció szerint! A dierenciahányados f() f( ) = melynek az pontbeli határértéke = + ( )( )( ) = ( )( ), lim ( )( ) = ( ).

4 4 KÉZI CSABA.4. Feladat. A kilövés után t másodperccel a rakéta 3t méter magasságban van a földfelszín felett. Mekkora a rakéta sebessége másodperccel a kilövés után? Az s(t) = 3t függvény t = pontbeli dierenciálhányadosát (deriváltját) kell meghatároznunk. A dierenciahányados s(t) s(t ) t t = s(t) s() t = 3t 3 t Ennek a t = pontbeli határértéke = 3(t ) t v() = s () t 3(t + ) = 6 m s. = 3(t + )(t ) t = 3(t + )..5. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f() = függvény dierenciálható! Egyedül az = pontban lehet probléma a dierenciálhatósággal. A baloldali derivált az = pontban f ( ) = f() f( ) lim a jobboldali derivált f +( ) = ( + )( ) + f() f( ) lim + ( + ) + + f() f( ) + =, + =, f() f( ) + így f ( ) = f +( ), tehát a függvény dierenciálható. ( ) + ( + ) = =.6. Feladat. Értelmezési tartományának mely pontjaiban dierenciálható az f() = + függvény?

5 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 5 Egyedül az = pontban lehet probléma a dierenciálhatósággal, így írjuk föl az = pontbeli dierenciahányadost: f() f( ) = + +. Ennek a baloldali határértéke f ( ) = lim A jobboldali határérték + + = lim =. ( + ) ( + ) + = lim ( + ) ( + ) = f +( ) = lim =. Így f ( ) f +( ), tehát f nem dierenciálható az = pontban..7. Feladat. Ábrázoljuk az f() = 5 3 függvényt, majd állapítsuk meg, hogy értelmezési tartományának mely pontjaiban dierenciálható! Mivel { 5, ha 5 5 = + 5, ha < 5, ezért { 8, ha 5 f() = +, ha < 5. Ez alapján a függvény:

6 6 KÉZI CSABA Tehát az = ; 5; 8 pontokban lehet probléma a dierenciálhatósággal, így ezeken a helyeken ellen rizzük a dierenciálhatóságot. Mivel az = helyen a baloldali határérték f () f() f() a jobboldali határérték pedig f +() f() f() =, =, ezért f () f + = (), így f nem dierenciálható az = helyen. Hasonlóan mutatható meg, hogy az = 5, illetve az = 8 helyen sem dierenciálható a függvény..8. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha f : I R páros, dierenciálható függvény, akkor a deriváltja páratlan! Az f függvény páros, ezért f( ) = f() minden I esetén. Mivel így f páratlan. f ( ) = f( ) f( ) lim + f() f( ) = f ( ), f() f( ) ( ).9. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha f : I R páratlan, dierenciálható függvény, akkor a deriváltja páros! Az f függvény páratlan, ezért f( ) = f() minden I esetén. Mivel így f páratlan. f ( ) = f( ) f( ) lim + f() f( ) ( ) f() + f( ) ( ) = = f() f( ) = f ( ),

7 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 7.. Feladat. Dierenciálható-e az f() = sin, ha, ha = függvény az = pontban? A dierenciahányados f() f( ) = sin = sin, melynek az = pontbeli határértéke, ugyanis sin = sin. Tehát a függvény dierenciálható az = helyen, és a deriváltja f () =... Feladat. Mutassuk meg, hogy az sin f() =, ha, ha = függvény az = pontban folytonos, de nem dierenciálható! A függvény folytonos az = pontban, mert ott létezik a határértéke, és az, ugyanis sin = sin. A dierenciahányados f() f( ) = sin = sin,

8 8 KÉZI CSABA aminek nem létezik az = pontbeli határétéke, mert például az nπ és az (n+)π sorozatokat véve, az el bbinél ( ) lim sin n =, nπ míg az utóbbinál lim sin n ( (n+ )π ) =. Tehát a függvény nem dierenciálható az = pontban. A feladatban szerepl függvény grakonját az alábbi ábra szemlélteti:.. Feladat. Dierenciálható-e az f() = { +, ha 3, ha > függvény az = pontban? Mivel lim f() =, valamint lim f() =, + így lim f() lim + f(), tehát a függvény nem folytonos az = pontban, így ott nem is dierenciálható.

9 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 9.3. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az {, ha f() = a + a, ha > függvény folytonos! Határozzuk meg az a paraméter értékét úgy, hogy f dierenciálható legyen az = pontban! A baloldali derivált f () =, amelynek az = pontbeli helyettesítési értéke f () = =. A jobboldali derivált f +() f() f() + a + a a( ) A baloldali és jobboldali határértéknek egybe kell esnie ahhoz, hogy a függvény dierenciálható legyen, így a = adódik..4. Feladat. Határozzuk meg az m és b valós paraméter értékét úgy, hogy az { 3, ha f() = m + b, ha > függvény dierenciálható legyen az = pontban! A függvény baloldali deriváltja f ( f() f( ) ) jobboldali deriváltja 3 3 f +( f() f( ) ) + ( )( + + ) m + b (m + b) m( ) = a. + + = 3, = m. Egy függvény pontosan akkor dierenciálható az helyen, ha ott a baloldali és jobboldali deriváltja megegyezik, ezért m = 3. A dierenciálhatósághoz szükséges az adott pontbeli

10 KÉZI CSABA folytonosság, amihez szükséges az adott pontban a baloldali és jobboldali határérték egyenl sége. Így a lim f() f() + egyenl ségb l kapjuk, hogy = m + b. Az m értékét már ismerjük. Azt behelyettesítve b = adódik. Ezzel meghatároztuk a kérdezett paraméterek értékét..5. Feladat. Az m és b paraméterek mely értéke mellett lesz az { sin, ha < π f() = m + b, ha π függvény dierenciálható az = π helyen! A dierenciálhatóságnak szükséges feltétele a folytonosság. Ehhez az = π helyen meg kell egyeznie a függvény baloldali és jobboldali határértékének. A boldali határérték lim f() = sin π =, π a jobboldali határérték Tehát teljesülni kell az lim f() = m π + b. π+ m π + b = egyenletnek. Másrészt ahhoz, hogy a függvény dierenciálható legyen, a bal- és jobboldali deriváltjának meg kell egyeznie az = π helyen. A baloldali derivált f ( f() f( ) ) π π π π π π sin ( π++π sin ( π sin ( π π ) ( sin π ++π π ) cos ( +π ) cos ( +π ) +cos ( π ) ( + cos +π π sin sin π π π ) = sin ( π + +π ) sin ( +π ) sin ( π ) ( sin +π π π sin ( ) ( π cos +π ) sin ( ) π ( ) + π π π π cos = sin ( ) π ( ) + π lim cos = cos π =. π π A jobboldali derivált f +( f() f( ) ) π+ ) m + b (mπ + b) π+ π sin π = ) ( sin +π π π ) cos ( π sin ( π ) = ) +cos ( +π ) ( cos +π ) π ) ( sin π ) = m( π) π+ π = m. =

11 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY Mivel f ( ) = f +( ) egyenl ségnek teljesülnie kell a dierenciálhatósághoz, ezért m = adódik. Másrészt a folytonosság miatt az m π + b = egyenletnek is teljesülni kell, amib l b = π következik..6. Feladat. Az a és b paraméterek mely értéke esetén lesz az { a + b, ha f() = a b, ha > függvény mindenütt dierenciálható? Egyedül az = helyen lehet probléma a dierenciálhatósággal. Ezen a helyen szükségképpen folytonosnak kell lennie a függvénynek, amihez teljesülni kell a egyenl ségnek. Ez jelen esetben az lim f() f() + a( ) + b = a( ) 3 + ( ) + b egyenletet jelenti, amib l b = adódik. A dierenciálhatósághoz a baloldali és jobboldali deriváltaknak egybe kell esni. A baloldali derivált f ( ) = a jobboldali derivált f +( ) = f() f( ) lim + f() f( ) lim a + b ( a + b) + a( + ) + a b ( a + b) + + a a a( + )( + ) a( + ) + = 3a +. = = a, a( 3 + ) + + = + ( + ) ( a( + ) + ) + + Így teljesülnie kell a 3a + = a egyenletnek, amib l a = adódik. =

12 KÉZI CSABA. Deriválási szabályok.. Feladat. Deriváljuk az f() = függvényt! Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja a derivált számszorosa (azaz a számszorzó differenciáláskor változatlan marad) f () = ( 3 ) + 3( ) = = Feladat. Deriváljuk az f() = e (sin + cos ) függvényt! Két függvény szorzatának a deriváltját úgy kapjuk, hogy a szorzat els tényez jének a deriváltját megszorozzuk az eredeti függvény második tényezez jével, ehhez hozzádjuk az eredeti függvény els tényez jének a második tényez deriváltjával való szorzatát. Ezt felhasználva f () = e (sin + cos ) + e (cos sin ) = cos e..3. Feladat. Deriváljuk az f() = + sin cos függvényt! Hányadost úgy deriválunk, hogy a számláló deriváltját megszorozzuk a nevez vel, ebb l levonjuk a számlálónak a nevez deriváltjával kapott szorzatát, majd az így kapott különbséget elosztjuk a nevez négyzetével. Ezt felhasználva f () = ( + cos ) cos ( + sin )( sin ). cos Felbontva a zárójeleket, és felhasználva a sin + cos = trigonometrikus azonosságot f () = + cos + sin. cos.4. Feladat. Deriváljuk az f() = függvényt! Összeget tagonként deriválva f () = Feladat. Deriváljuk az f() = 3 log függvényt! A szorzat deriválási szabályát felhasználva f () = 3 ln 3 log + 3 ln.

13 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 3.6. Feladat. Deriváljuk az f() = sin + függvényt! Felhasználva a = azonosságot, majd alkalmazva a hányados deriválási szabályát cos ( ( ) + ) sin f + () = (. + ).7. Feladat. Deriváljuk az f() = + 7 Felhasználva a 7 = 7 3 függvényt! azonosságot, majd alkalmazva a hányados deriválási szabályát ( ) + f ( ) 3 () = Feladat. Deriváljuk az f() = 4 lg függvényt! A szorzat deriválási szabálya szerint f () = 4 ln 4 lg Feladat. Deriváljuk az f() = függvényt! ln. Felhasználva az összeadásra, illetve konstansszorzóra vonatkozó deriválási szabályokat f () = ( 7 ) + (8 ) 3 = Feladat. Deriváljuk az f() = függvényt! A =, illetve 3 = 3 felhasználása után az összeget tagonként deriválva azt kapjuk, hogy f () = = Feladat. Deriváljuk az f() = + + függvényt! Felhasználva, hogy =, továbbá, hogy =, majd az összeget tagonként deriválva f() = 3 = 3... Feladat. Deriváljuk az f() = 3 sin + 5 cos + sh függvényt!

14 4 KÉZI CSABA Felhasználva az összeadásra, illetve konstansszorzóra vonatkozó deriválási szabályokat f () = 3 cos 5 sin + ch..3. Feladat. Deriváljuk az f() = 5 log 4 függvényt! Felhasználva az összeadásra, illetve konstansszorzóra vonatkozó deriválási szabályokat f () = 5 ln 5 ln Feladat. Deriváljuk az f() = e sin függvényt! Felhasználva a szorzásra vonatkozó deriválási szabályt f () = (e ) sin e (sin ) sin.5. Feladat. Deriváljuk az f() = ln függvényt! Felhasználva a szorzásra vonatkozó deriválási szabályt = e sin e cos sin. f () = ln + (ln ) = ln + = ln Feladat. Deriváljuk az f() = log 3 függvényt! Felhasználva a szorzásra vonatkozó deriválási szabályt f () = ( ) log 3 (log 3 ) log 3.7. Feladat. Deriváljuk az f() = + 3 Felhasználva a hányadosfüggvény deriválási szabályát e = ln log 3 log 3 függvényt. f () = ( + 3 ) e ( + 3 )(e ) = ( + 3) e ( + 3 ) e (e ) e A számlálóban e -et kiemelve, majd elvégezve az egyszer sítést f () = ( + 3) e ( + 3 ) e = e ( ) e e.8. Feladat. Deriváljuk az f() = ( ) sin függvényt! ln 3. = 4 e.

15 Felhasználva a szorzatfüggvény deriválási szabályát MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 5 f () = ( ) sin + ( )(sin ) = ( + 7) sin + ( ) cos..9. Feladat. Deriváljuk az f() = ln(sin ) függvényt! A küls függvény az ln, a bels függvény a sin. El ször deriváljuk a küls függvényt, amire adódik, majd abba beírjuk az eredeti bels függvényt, végül a kapott eredményt szorozzuk a bels függvény deriváltjával: f () = sin (sin ) = cos = ctg. sin.. Feladat. Deriváljuk az f() = ln( + 5 ) függvényt! A küls függvény az ln, a bels függvény + 5. El ször deriváljuk a küls függvényt, amire adódik, majd abba beírjuk az eredeti bels függvényt, végül a kapott eredményt szorozzuk a bels függvény deriváltjával: f () = + 5 ( + 5 ) =.. Feladat. Deriváljuk az f() = e függvényt! + 5 ( + 5) = A küls függvény az e, a bels függvény az. A küls függvény deriváltja e, ebbe beírjuk az eredeti bels függvényt, végül a kapott eredményt szorozzuk a bels függvény deriváltjával: f () = e... Feladat. Deriváljuk az f() = (3 + ) függvényt! A küls függvény az, a bels függvény 3 +. A küls függvény deriváltja 99. Ebbe beírjuk az eredeti bels függvényt, végül a kapott eredményt szorozzuk a bels függvény deriváltjával: f () = (3 + ) 99 (3 + ) = (3 + ) 99 3 = 3(3 + ) Feladat. Deriváljuk az f() = 3 + függvényt! Felhasználva, hogy 3 + = ( + ) 3, a küls függvény 3, a bels függvény +. A küsl függvény deriváltja 3 3, így f () = 3 ( + ) 3 ( + ) = = 3 ( + ) 3.4. Feladat. Deriváljuk az f() = ln( sin ) függvényt! 3 3 ( + ). Küls függvény az ln, bels függvény az sin. A küls függvény deriváltja, amibe beírva

16 6 KÉZI CSABA az eredeti bels függvényt:. A bels függvény deriváltja sin + cos, így sin f sin + cos () =. sin.5. Feladat. Deriváljuk az f() = sin ( 3 cos ) függvényt! 3 Küls függvény az sin, bels függvény az cos. A küls függvény deriváltja cos, amibe beírva az eredeti bels függvényt: cos ( ) 3 3(cos )+3 sin cos. A bels függvény deriváltja, így cos ( ) 3 f 3 cos + 3 sin () = cos. cos cos.6. Feladat. Deriváljuk az f() = tg( + ) függvényt! Küls függvény a tg, bels függvény az +. A küls függvény deriváltja cos, amibe beírva az eredeti bels függvényt:. A bels függvény deriváltja +, így f () = cos ( +) cos ( + ) ( + ) = + cos ( + )..7. Feladat. Deriváljuk az f() = e sin függvényt! Küls függvény a e, bels függvény az sin. A küls függvény deriváltja e, amibe beírva az eredeti bels függvényt: e sin. A bels függvény deriváltja cos, így f () = e sin cos..8. Feladat. Deriváljuk az f() = e +3 4 függvényt! Küls függvény a e, bels függvény az A küls függvény deriváltja e, amibe beírva az eredeti bels függvényt: e A bels függvény deriváltja + 3, így f () = e +3 4 ( + 3)..9. Feladat. Deriváljuk az f() = sin függvényt! Küls függvény a, bels függvény az sin. A küls függvény deriváltja ln, amibe beírva az eredeti bels függvényt: sin ln. A bels függvény deriváltja cos, így f () = sin ln cos..3. Feladat. Deriváljuk az f() = + 3 függvényt! Felhasználva, hogy =, a küls függvény az, bels függvény az + 3. A küls

17 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 7 függvény deriváltja, amibe beírva az eredeti bels függvényt: bels függvény deriváltja +, így f () = ( + 3) ( + ) = Feladat. Deriváljuk az f() = cos(sin ) függvényt! ( + 3). A Küls függvény a cos, bels függvény az sin. A küls függvény deriváltja sin, amibe beírva az eredeti bels függvényt: sin(sin ). A bels függvény deriváltja cos, így f () = sin(sin ) cos..3. Feladat. Deriváljuk az f() = cos( ) függvényt! A szorzat és összetett függvény deriválási szabályát használva f () = cos( ) sin( )( + 3)..33. Feladat. Deriváljuk az f() = ( + ) ln + + függvényt! A szorzat, az összetett függvény és a hányados deriválási szabályát használva f () = ( + ) ln ( + ) ( + ) = ( + ) = ( + ) ln ( + ) ( + ). ( ).34. Feladat. + Deriváljuk az f() = arctg függvényt! A szorzat, a hányados és az összetett függvény deriválási szabályát használva ( ) f + () = arctg + + ( ) Feladat. Deriváljuk az f() = tg(e ) függvényt! Küls függvény a tg, bels függvény az e. A küls függvény deriváltja, amibe beírva cos az eredeti bels függvényt: cos (e ). A bels függvény szintén összetett, a küls függvény e, a bels függvény, az összetett függvény deriválási szabálya szerint (e ) = e. Így f () = cos (e ) (e ) = cos (e ) e.

18 8 KÉZI CSABA.36. Feladat. Deriváljuk az f() = ln ( ln() ) függvényt! Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva f () = ln() = ln()..37. Feladat. Deriváljuk az f() = sin( ) függvényt! Felhasználva, hogy sin = (sin ), az összetett függvény deriválási szabálya szerint f () = (sin ) cos. (.38. Feladat. Deriváljuk az f() = sin cos ( sin )) függvényt! Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva ( f () = cos cos ( sin )) ( sin(sin ) ) cos..39. Feladat. Deriváljuk az f() = ln ( + sin( ) ) függvényt! Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva f () = + sin( ) ( + cos( ) )..4. Feladat. Deriváljuk az f() = sin() függvényt! Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva f () = sin() ln cos()..4. Feladat. Deriváljuk az f() = + függvényt! Felhasználva, hogy = f () = ( + ) ( + )..4. Feladat. Deriváljuk az f() = cos(sin ) függvényt! f () = sin(sin ) cos

19 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY Feladat. Deriváljuk az f() = cos(ln( )) függvényt! f () = sin (ln ( )). (.44. Feladat. Deriváljuk az f() = ln sin ( cos )) függvényt! f cos (cos ()) sin () () = sin (cos ()).45. Feladat. Deriváljuk az f() = sin ( ) függvényt! f () = 4 sin ( ) cos ( ).46. Feladat. Deriváljuk az f() = 3 ln ( sin() ) függvényt! f cos ( ) () = /3 (ln (sin ( ))) /3 sin ( ).47. Feladat. Deriváljuk az f() = 7 sin ( cos () ) függvényt! f () = /7 cos ( (cos ()) ) cos () sin () ( sin ( (cos ()) )) 6/7.48. Feladat. Deriváljuk az f() = ln sin függvényt! A hányados, és a szorzat dierenciálási szabályát alkalmazva f (ln + ) sin ln cos () = sin..49. Feladat. Deriváljuk az f() = sin + sin( ) függvényt! A hányados, és a szorzat dierenciálási szabályát alkalmazva f () = ( sin cos + cos( )) 3 ( sin + sin( ) ) Feladat. Deriváljuk az f() = sin(3) sin(5) függvényt! A szorzat dierenciálási szabályát alkalmazva 3 f () = 3 cos(3) sin(5) + 5 sin(3) cos(5).

20 KÉZI CSABA.5. Feladat. Deriváljuk az f() = ( + ) 3 sin( 4 ) függvényt! A szorzat deriválási szabályát alkalmazva f () = 6( + ) sin( 4 ) + ( + ) cos( 4 )..5. Feladat. Deriváljuk az f() = sin e függvényt! A hányados, és a szorzat dierenciálási szabályát alkalmazva.53. Feladat. Deriváljuk az f() = Felhasználjuk, hogy 8 = 8 : f () = ( sin + cos ) e sin e e. f () = 8 sin függvényt! sin 8 ( sin + cos ) ( sin )..54. Feladat. Deriváljuk az f() = 3π + (4π) 5 függvényt! Az összetett függvény deriválási szabálya szerint f () = 3π 3π + (4π) 5 ln(4π) Feladat. Deriváljuk az f() = (3 + ) e tg függvényt! A hányados deriválási szabályát alkalmazzuk, gyelve arra, hogy a számláló két függvény szorzata, így ott a szorzat deriválási szabályát használjuk: ( (3 f + ) e +( 3 + ) e ) tg ( 3 + ) e cos () =. tg Elvégezve az összevonást ( ) e ( ) tg 3 + f cos () =. tg.56. Feladat. Deriváljuk az f() = sin( ) + sin e függvényt!

21 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY A hányados és az összetett függvény deriválási szabálya szerint ( cos( ) ) f + (sin ) cos e ( sin( ) + sin ) e () =. e Feladat. Deriváljuk az f() = 3 + e tg függvényt! A hányados deriválási szabálya szerint f () = (3 + ) (e tg ) ( 3 + ) (e ) ( ) cos. (e tg ).58. Feladat. Deriváljuk az f() = + arcsin() függvényt! Az összetett függvény deriválási szabálya szerint f () = ln Feladat. Deriváljuk az f() = 7 + arctg e + ln (). függvényt! A hányados dierenciálási szabálya szerint ( ) f + (e + ln ) ( 7 + arctg ) ( ) e + () = ( e + ln )..6. Feladat. Deriváljuk az f() = függvényt!.megoldás Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = = e ln = e ln. Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ( f () = e ln ln + ) = (ln + )..megoldás Vegyük az f() = mindkét oldalának a logaritmusát: ln ( f() ) = ln, amib l ln ( f() ) = ln.

22 KÉZI CSABA Mindkét oldalt dierenciálva az változó szerint f() f () = ln +. Végigszorozva f()-el, kapjuk a megoldást f () = f()(ln + ) = (ln + )..6. Feladat. Deriváljuk az f() = sin függvényt!.megoldás Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = sin = e ln sin = e sin ln. Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ( f () = e sin ln cos ln + sin ) ( = sin cos ln + sin )..megoldás Vegyük az f() = sin mindkét oldalának a logaritmusát: ln ( f() ) = ln sin, amib l ln ( f() ) = sin ln. Mindkét oldalt dierenciálva az változó szerint f() f () = cos ln + sin. Végigszorozva f()-el, kapjuk a megoldást ( f () = f() cos ln + sin ) ( = sin cos ln + sin )..6. Feladat. Deriváljuk az f() = (sin ) függvényt!.megoldás Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = (sin ) = e ln(sin ) = e ln(sin ). Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ) f () = e (ln(sin ln(sin ) ) + sin cos = (sin ) (ln(sin ) + ctg )..megoldás

23 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 3 Vegyük az f() = (sin ) mindkét oldalának a logaritmusát: ln ( f() ) = ln(sin ), amib l ln ( f() ) = ln(sin ). Mindkét oldalt dierenciálva az változó szerint f() f () = ln(sin ) + ctg. Végigszorozva f()-el, kapjuk a megoldást f () = f() (ln(sin ) + ctg ) = (sin ) (ln(sin ) + ctg )..63. Feladat. Deriváljuk az f() = cos függvényt!.megoldás Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = cos = e ln cos = e cos ln. Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ( f () = e cos ln sin ln + cos ) ( = cos sin ln + cos )..megoldás Vegyük az f() = cos mindkét oldalának a logaritmusát: ln ( f() ) = ln cos, amib l ln ( f() ) = cos ln. Mindkét oldalt dierenciálva az változó szerint f() f () = sin ln + cos. Végigszorozva f()-el, kapjuk a megoldást ( f () = f() sin ln + cos ) ( = cos.64. Feladat. Deriváljuk az f() = (cos ) függvényt!.megoldás Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = (cos ) = e ln(cos ) = e ln(cos ). sin ln + cos ).

24 4 KÉZI CSABA Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ) f () = e (ln(cos ln(cos ) ) cos sin = (cos ) (ln(cos ) tg )..megoldás Vegyük az f() = (cos ) mindkét oldalának a logaritmusát: ln ( f() ) = ln(cos ), amib l ln ( f() ) = ln(cos ). Mindkét oldalt dierenciálva az változó szerint f() f () = ln(cos ) tg. Végigszorozva f()-el, kapjuk a megoldást f () = f() (ln(cos ) tg ) = (cos ) (ln(cos ) tg )..65. Feladat. Deriváljuk az f() = (sin ) cos függvényt! Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = (sin ) cos = e ln(sin )cos = e cos ln(sin ). Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ) f () =e ( cos ln(sin ) sin ln(sin ) + cos sin cos = = (sin ) cos ( sin ln(sin ) + cos ctg )..66. Feladat. Deriváljuk az f() = függvényt! Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = = e ln = e ln. Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ( f () = e ln ln + ) ( = ln + ).

25 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY Feladat. Deriváljuk az f() = ( ) függvényt! Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = ( ) = e ln( ) = e ln. Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ( f () = e ln ln ) + = ( ( ) ln + )..68. Feladat. Deriváljuk az f() = e függvényt! Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = e = e ln e = e e ln. Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ( f () = e e ln e ln + e ) ( ) = e e ln + e..69. Feladat. Deriváljuk az f() = () 3 függvényt! Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = () 3 = e ln()3 = e 3 ln(). Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ) f () = e (3 3 ln() ln() + 3 = () 3 (3 ln() + 3)..7. Feladat. Deriváljuk az f() = arcsin() függvényt! Felhasználva, hogy f() = e ln arcsin( ) = e arcsin( ) ln, az összetett függvény deriválási szabálya szerint (küls függvény az e ) ( ) f () = e arcsin( ) ln ( ) ln + arcsin, amib l ( f () = arcsin( ) ln 4 + arcsin( ) ).

26 6 KÉZI CSABA 3. Magasabbrend deriváltak, dierenciálható függvények néhány lokális jellemz je, L'Hospital szabály 3.. Feladat. Számoljuk ki az f() = e függvény n-edik deriváltját! A függvény els deriváltja f () = e, a második deriváltja f () = 4e, harmadik deriváltja 8e. Ebb l a sejtésünk az n-edik deriváltra f (n) () = n e. Ezt teljes indukcióval igazolhatjuk f (n+) () = ( f (n) () ) = ( n e ) = n e = n+ e. Ezzel igazoltuk, hogy f (n) () = n e. 3.. Feladat. Számoljuk ki az f() = n függvéy n-edik deriváltját! A függvény deriváltja f () = n n, második deriváltja f () = n(n ) n. Ebb l már látható, hogy az n-edik derivát f (n) () = n! Feladat. Számoljuk ki az f() = ln függvény n-edik deriváltját! A függvény els deriváltja f () =, második deriváltja f () =, harmadik deriváltja f () = 3. Ebb l megsejthet, hogy az n-edik derivált f (n) () = ( )n+ (n )! n Feladat. Számoljuk ki az f() = sin függvény n-edik deriváltját! A függvény deriváltja f () = cos, második deriváltja f () = sin, harmadik deriváltja f () = cos, negyedik deriváltja f (iv) () = sin. Innent l kezdve ugyanezek a deriváltak ismétl dnek, így sin, ha n = 4k (azaz, ha n osztható 4-el) f (n) cos, ha n = 4k + (azaz, ha n 4-el osztva maradékot ad) () = sin, ha n = 4k + (azaz, ha n 4-el osztva maradékot ad) cos, ha n = 4k + 3 (azaz, ha n 4-el osztva 3 maradékot ad) Feladat. Számoljuk ki az f() = cos függvény n-edik deriváltját! A függvény deriváltja f () = sin, második deriváltja f () = cos, harmadik deriváltja f () = sin, negyedik deriváltja f (iv) () = cos. Innent l kezdve ugyanezek a deriváltak

27 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 7 ismétl dnek, így cos, f (n) sin, () = cos, sin, ha n = 4k (azaz, ha n osztható 4-el) ha n = 4k + (azaz, ha n 4-el osztva maradékot ad) ha n = 4k + (azaz, ha n 4-el osztva maradékot ad) ha n = 4k + 3 (azaz, ha n 4-el osztva 3 maradékot ad) Feladat. Számoljuk ki az f() = függvény negyedik deriváltját! A függvény deriváltja A második derivált A harmadik derivált A negyedik derivált 3.7. Feladat. Határozzuk meg az függvény n-edik deriváltját! A függvény deriváltja A második derivált A harmadik derivált f () = =. f () = 4 3 = 4 3. f () = = f iv () = f() = + f () = ( + ) ( ) ( + )( ) ( ) = Így az n-edik deriváltra a sejtésünk 5 = ( + ) ( ) = f () = ( ( ) ) = 4( ) 3 ( ) = f () = ( 4( ) 3) = ( ) 4 ( ) = f (n) () = n!( ) (n+) = n! ( ) n+. 4 ( ) 3. ( ) 4. ( ).

28 8 KÉZI CSABA Ezt teljes indukcióval bizonyíthatjuk: f (n+) () = ( n!( ) (n+)) ( ) = n! (n + ) ( ) (n+) ( ) = = (n + )!( ) (n+) Feladat. Írjuk fel az f() = függvény = pontbeli érint jének egyenletét! Az érint egyenlete y = f( ) + f ( )( ). Jelen esetben f( ) = f() =, f () =, így f ( ) = f () =. Ebb l a keresett egyenlet y = + ( ). Elvégezve a zárójel felbontását és az összevonást y = Feladat. Írjuk fel az f() = e függvény = pontbeli érint jének egyenletét! Az érint egyenlete y = f( ) + f ( )( ). Jelen esetben f( ) = f() = e =, f () = e, így f ( ) = f () =. Ebb l az érint y = + ( ). Tehát a keresett egyenlet y = +.

29 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY Feladat. Írjuk fel az f() = + függvény = pontbeli érint jének egyenletét! Az érint egyenlete y = f( ) + f ( )( ). Jelen esetben f( ) = f() = 4 =, f () = ( + ) = +, így f ( ) = f () = 4. Ebb l a keresett egyenlet y = + ( ). 4 Elvégezve a zárójel felbontását és az összevonást y = 4 + 3, beszorozva a közös nevez vel 4y = Feladat. Írjuk fel az f() = + + függvény = pontbeli érint jének egyenletét! Az érint egyenlete y = f( ) + f ( )( ). Jelen esetben f( ) = f( ) =, f () = ( + ) ( + ) = + 4 ( + ) ( + ), így f ( ) = f ( ) = 4. Ebb l a keresett egyenlet y = 4( + ).

30 3 KÉZI CSABA Elvégezve a zárójel felbontását és az összevonást y = Feladat. Határozzuk meg az f() = függvény azon érint jének egyenletét, amelyik mer leges az y = + 5 egyenesre! A keresett egyenes egyenlete y = m+b, ahol m = a mer legesség miatt (ugyanis egymásra mer leges egyenesek meredekségeinek szorzata -), tehát az érint y = +b alakú. Másrészt m = f ( ) = Így meghatározható a = egyenletb l, ami ekvivalens az + = egyenlettel. Ennek megoldásai = ± + 8 = ± 3, azaz = vagy =. Így két érintési pont van E = (, ) és E = (, ). Az y = + b egyenletbe behelyettesítve az érintési pontok koordinátáit, megkapjuk a b értékét: b =, b = 5. Így az érint k egyenletei y =, y = + 5.

31 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY Feladat. Határozzuk meg az f() = + 3 függvénynek az y = 4 3 egyenlet egyenessel párhuzamos érint jének egyenletét. A keresett egyenes egyenlete y = m + b, ahol m = 4 a párhuzamosság miatt (ugyanis párhuzamos egyenesek meredeksége megegyezik), tehát az érint y = 4 + b alakú. Másrészt m = f ( ) =. Így meghatározható a = 4 egyenletb l, ami ekvivalens a = 6 egyenlettel. Ennek megoldása = 3. Így az érintési pont E = (3, 6). Az y = 4 + b egyenletbe behelyettesítve az érintési pont koordinátáit, megkapjuk a b értékét: b = 6. Így az érint k egyenletei y = Feladat. Határozzuk meg, hogy az f() = érint je párhuzamos az tengellyel? függvénynek melyik pontjába húzott A keresett érint meredeksége nulla, így az érint t y = b alakban keressük. Másrészt m = f ( ) = 6 (3 + ) (3 + )( ) (3 + ) = 6 (3 + ), amib l =. Így f( ) = 3. Tehát a keresett egyenes egyenlete y = 3.

32 3 KÉZI CSABA 3.5. Feladat. Mekkora annak a háromszögnek a területe, melyet az f() = e 3 függvénynek az = pontjába húzott érint je a koordinátatengelyekkel bezár? Az érint egyenlete y = f( ) + f ( )( ). Jelen esetben f( ) =, továbbá f () = e 6, így f ( ) = f () =. Tehát az érint egyenlete y = +. Ez az egyenes az tengelyt /-nél, az y-tengelyt -nél metszi, így a keresett terület: T = = Feladat. Határozzuk meg az f() = 3 függvénynek az -tengellyel párhuzamos érint jének egyenletét! Az -tengellyel párhuzamos érint meredeksége, így meg kell oldanunk az f () = egyenletet. Mivel f() = 3, ezért f () = 4 3. Így a 4 3 = egyenletet kell megoldanunk. Kiemelve -et az (4 3) = egyenlethez jutunk. Egy szorzat csak úgy lehet nulla, ha valamelyik tényez je nulla, így = vagy = 4 3. Mivel f() =, és f ( 4 3 Tehát a keresett egyenesek egyenlete y = és y = 3 7. ) = 3 7.

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja) Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja

Részletesebben

II. rész. Valós függvények

II. rész. Valós függvények II. rész Valós függvények Feladatok 3 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = + + 3.. 3.4. 3.6. y = y = 3 y = + 3 ln 5 4 3.3. 3.5. 3.7. y = 3 +

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 5. Taylor-polinom

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 5. Taylor-polinom DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS KÉZI CSABA GÁBOR 5. Taylor-polinom 5.. Feladat. Írjuk fel az f(x) = e x függvény x 0 = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével számoljuk ki e közelítő értékét!

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

KALKULUS II. PÉLDATÁR

KALKULUS II. PÉLDATÁR Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR mobidiák könyvtár Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŽ Fazekas István Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR Programozó és programtervez

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 111 É RETTSÉGI VIZSGA 011. október 18. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 7. KÖZÉPSZINT 1) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy B\ A 1; ; 4; 7. Elemeinek felsorolásával adja meg az A halmazt! A ; 5; 6; 8; 9 I. AB 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 és ) Egy

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: 1.

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 063 MATEMATIKA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma

16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma 16. Sorozatok I. Elméleti összefoglaló A sorozat fogalma Sorozatnak nevezzük az olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Számsorozat olyan sorozat, amelynek értékkészlete

Részletesebben

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont)

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont) 1997 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok 1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 3 2 x 1 2 2 x 1 + 2 2x 1 3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe,

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I. ) Mely valós számokra igaz, hogy 7 7 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 8. KÖZÉPSZINT I. 7? Összesen: pont ) Egy 40 000 Ft-os télikabátot a tavaszi árleszállításkor 0%-kal olcsóbban lehet megvenni. Mennyi

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac Mikroökonómia szeminárium Bevezetés, a piac Budapesti Corvinus Egyetem Makroökonómia Tanszék 2011 szeptember 21. A témakör alapfogalmai Keresleti (kínálati) görbe - kereslet (kínálat) fogalma - kereslet

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 091 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 063 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Matematikából osztályozó vizsgára kötelezhető az a tanuló, aki magántanuló, vagy akinek a hiányzása eléri az össz óraszám 30%-át. Az írásbeli vizsga időtartama

Részletesebben

Nagy Ilona 2013.06.01.

Nagy Ilona 2013.06.01. Bevezető matematika példatár Kádasné Dr. V. Nagy Éva Nagy Ilona 0.06.0. Tartalomjegyzék Bevezető. Gyakorlatok.. Műveletek törtekkel, hatványokkal, gyökökkel................. A logaritmus fogalma; arány-

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1313 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA Dr`avni izpitni center *P05C10113M* ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 005. augusztus 9., hétfő SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA RIC 005 P05-C101-1-3M ÚTMUTATÓ a szakmai írásbeli érettségi vizsga feladatainak

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 É RETTSÉGI VIZSGA 005. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz Gedeon Veronika (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. október 16. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2010. október 19. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2010. október 19. EMELT SZINT 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 010. október 19. EMELT SZINT a) Mely valós számok elégítik ki az alábbi egyenlőtlenséget? 3 3 1 1 8 b) Az alábbi f és g függvényt is a f 3 és g 0,5,5 I. 3;6. intervallumon értelmezzük.

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0813 ÉRETTSÉGI VIZSGA 008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1414 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 131 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. október 15. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0631 É RETTSÉGI VIZSGA 006. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 0. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 40 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x 1. feladatsor, megoldások 1. Ez egy elsőrendű diffegyenlet, először a homogén egyenlet megoldását keressük meg, majd partikuláris megoldást keresünk: y y = 0 Ez pl. egy szétválasztható egyenlet, melynek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. október 5. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) b) ( )( ) I. ( pont) (7 pont) a) A négyzetgyök függvény értelmezési tartománya és értékkészlete

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint írásbeli vizsga I. összetevő

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Ismétlő feladatsor: 10.A/I.

Ismétlő feladatsor: 10.A/I. Ismétlő feladatsor: 0.A/I. Harasztos Barnabás 205. január. Feladat Mekkora az alábbi ábrán (szürkével) jelölt síkidom összterülete? A terület egységének a négyzetrács egy négyzetének területét tekintjük!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Király Balázs. március. Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Analízis I. 9. Számhalmazok tulajdonságai.. Gyakorlat.......................................... Házi Feladatok.....................................

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Hány olyan háromjegyű szám létezik, amelyben a számjegyek összege 5? 15 darab ilyen szám van. 5 = 5+0+0 = 4+1+0 = 3+2+0 = 3+1+1=2+2+1 A keresett számok: 500, 401, 410, 104, 140, 302, 320,203,

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Függvények Analízis

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Függvények Analízis MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Függvények Analízis A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben