MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY

Átírás

1 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY KÉZI CSABA Date: today.

2 KÉZI CSABA ELŽSZÓ Ez a feladatgy jtemény a Debreceni Egyetem M szaki Karának Matematika II. tantárgyának tematikájához szorosan illeszkedik. Célja a m szaki képzésben részt vev hallgatók matematika tanulmányainak megkönnyítése, továbbá, hogy a hallgatók a matematika mérnöki, illetve gazdasági alkalmazásaiba is betekintést nyerjenek. A feladatgy jtemény jó néhány standard, gyakorló feladatot tartalmaz, melyeken keresztül begyakorolhatók a rutinszer en elvárt feladatok megoldásai. Ezen kívül tartalmaz nehezebb, gondolkodást igényl feladatokat, illetve szép számmal alkalmazott matematikai példákat is. A példatár gondos átolvasásáért, és a felmerül hibák javításáért köszönettel tartozom Molnár Ildikó m szaki menedzser és Tóth Xénia Erzsébet mechatronika szakos hallgatóknak. Köszönettel tartozom Dr. Kocsis Imre tanszékvezet nek, Dr. Szíki Gusztáv Áron f iskolai tanárnak, akik hasznos információkkal láttak el a feladatgy jtemény megírása során. Köszönöm továbbá a M szaki Alaptárgyi Tanszék minden oktatójának, valamint jó barátomnak, Baják Szabolcsnak, akikt l a személyes beszélgetéseink során jó néhány hasznosítható ötletet meríthettem.

3 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 3 I. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. Dierencia- és dierenciálhányados fogalma, geometriai és zikai jelentése.. Feladat. Határozzuk meg az f() = 3 függvény deriváltját az = pontban deníció szerint! A dierenciahányados f() f( ) = 3 = ( ) = ( )( + ) = +, melynek az = pontbeli határértéke lim ( + ) = + =... Feladat. Dierenciálható-e az f() = függvény az = pontban? A dierenciahányados f() f( ) = =, melynek az = pontbeli határértéke létezik ugyan, de nem véges: lim + =, így a függvény nem dierenciálható az = pontban..3. Feladat. Határozzuk meg az f() =, függvény deriváltját az pontban deníció szerint! A dierenciahányados f() f( ) = melynek az pontbeli határértéke = + ( )( )( ) = ( )( ), lim ( )( ) = ( ).

4 4 KÉZI CSABA.4. Feladat. A kilövés után t másodperccel a rakéta 3t méter magasságban van a földfelszín felett. Mekkora a rakéta sebessége másodperccel a kilövés után? Az s(t) = 3t függvény t = pontbeli dierenciálhányadosát (deriváltját) kell meghatároznunk. A dierenciahányados s(t) s(t ) t t = s(t) s() t = 3t 3 t Ennek a t = pontbeli határértéke = 3(t ) t v() = s () t 3(t + ) = 6 m s. = 3(t + )(t ) t = 3(t + )..5. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f() = függvény dierenciálható! Egyedül az = pontban lehet probléma a dierenciálhatósággal. A baloldali derivált az = pontban f ( ) = f() f( ) lim a jobboldali derivált f +( ) = ( + )( ) + f() f( ) lim + ( + ) + + f() f( ) + =, + =, f() f( ) + így f ( ) = f +( ), tehát a függvény dierenciálható. ( ) + ( + ) = =.6. Feladat. Értelmezési tartományának mely pontjaiban dierenciálható az f() = + függvény?

5 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 5 Egyedül az = pontban lehet probléma a dierenciálhatósággal, így írjuk föl az = pontbeli dierenciahányadost: f() f( ) = + +. Ennek a baloldali határértéke f ( ) = lim A jobboldali határérték + + = lim =. ( + ) ( + ) + = lim ( + ) ( + ) = f +( ) = lim =. Így f ( ) f +( ), tehát f nem dierenciálható az = pontban..7. Feladat. Ábrázoljuk az f() = 5 3 függvényt, majd állapítsuk meg, hogy értelmezési tartományának mely pontjaiban dierenciálható! Mivel { 5, ha 5 5 = + 5, ha < 5, ezért { 8, ha 5 f() = +, ha < 5. Ez alapján a függvény:

6 6 KÉZI CSABA Tehát az = ; 5; 8 pontokban lehet probléma a dierenciálhatósággal, így ezeken a helyeken ellen rizzük a dierenciálhatóságot. Mivel az = helyen a baloldali határérték f () f() f() a jobboldali határérték pedig f +() f() f() =, =, ezért f () f + = (), így f nem dierenciálható az = helyen. Hasonlóan mutatható meg, hogy az = 5, illetve az = 8 helyen sem dierenciálható a függvény..8. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha f : I R páros, dierenciálható függvény, akkor a deriváltja páratlan! Az f függvény páros, ezért f( ) = f() minden I esetén. Mivel így f páratlan. f ( ) = f( ) f( ) lim + f() f( ) = f ( ), f() f( ) ( ).9. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha f : I R páratlan, dierenciálható függvény, akkor a deriváltja páros! Az f függvény páratlan, ezért f( ) = f() minden I esetén. Mivel így f páratlan. f ( ) = f( ) f( ) lim + f() f( ) ( ) f() + f( ) ( ) = = f() f( ) = f ( ),

7 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 7.. Feladat. Dierenciálható-e az f() = sin, ha, ha = függvény az = pontban? A dierenciahányados f() f( ) = sin = sin, melynek az = pontbeli határértéke, ugyanis sin = sin. Tehát a függvény dierenciálható az = helyen, és a deriváltja f () =... Feladat. Mutassuk meg, hogy az sin f() =, ha, ha = függvény az = pontban folytonos, de nem dierenciálható! A függvény folytonos az = pontban, mert ott létezik a határértéke, és az, ugyanis sin = sin. A dierenciahányados f() f( ) = sin = sin,

8 8 KÉZI CSABA aminek nem létezik az = pontbeli határétéke, mert például az nπ és az (n+)π sorozatokat véve, az el bbinél ( ) lim sin n =, nπ míg az utóbbinál lim sin n ( (n+ )π ) =. Tehát a függvény nem dierenciálható az = pontban. A feladatban szerepl függvény grakonját az alábbi ábra szemlélteti:.. Feladat. Dierenciálható-e az f() = { +, ha 3, ha > függvény az = pontban? Mivel lim f() =, valamint lim f() =, + így lim f() lim + f(), tehát a függvény nem folytonos az = pontban, így ott nem is dierenciálható.

9 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 9.3. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az {, ha f() = a + a, ha > függvény folytonos! Határozzuk meg az a paraméter értékét úgy, hogy f dierenciálható legyen az = pontban! A baloldali derivált f () =, amelynek az = pontbeli helyettesítési értéke f () = =. A jobboldali derivált f +() f() f() + a + a a( ) A baloldali és jobboldali határértéknek egybe kell esnie ahhoz, hogy a függvény dierenciálható legyen, így a = adódik..4. Feladat. Határozzuk meg az m és b valós paraméter értékét úgy, hogy az { 3, ha f() = m + b, ha > függvény dierenciálható legyen az = pontban! A függvény baloldali deriváltja f ( f() f( ) ) jobboldali deriváltja 3 3 f +( f() f( ) ) + ( )( + + ) m + b (m + b) m( ) = a. + + = 3, = m. Egy függvény pontosan akkor dierenciálható az helyen, ha ott a baloldali és jobboldali deriváltja megegyezik, ezért m = 3. A dierenciálhatósághoz szükséges az adott pontbeli

10 KÉZI CSABA folytonosság, amihez szükséges az adott pontban a baloldali és jobboldali határérték egyenl sége. Így a lim f() f() + egyenl ségb l kapjuk, hogy = m + b. Az m értékét már ismerjük. Azt behelyettesítve b = adódik. Ezzel meghatároztuk a kérdezett paraméterek értékét..5. Feladat. Az m és b paraméterek mely értéke mellett lesz az { sin, ha < π f() = m + b, ha π függvény dierenciálható az = π helyen! A dierenciálhatóságnak szükséges feltétele a folytonosság. Ehhez az = π helyen meg kell egyeznie a függvény baloldali és jobboldali határértékének. A boldali határérték lim f() = sin π =, π a jobboldali határérték Tehát teljesülni kell az lim f() = m π + b. π+ m π + b = egyenletnek. Másrészt ahhoz, hogy a függvény dierenciálható legyen, a bal- és jobboldali deriváltjának meg kell egyeznie az = π helyen. A baloldali derivált f ( f() f( ) ) π π π π π π sin ( π++π sin ( π sin ( π π ) ( sin π ++π π ) cos ( +π ) cos ( +π ) +cos ( π ) ( + cos +π π sin sin π π π ) = sin ( π + +π ) sin ( +π ) sin ( π ) ( sin +π π π sin ( ) ( π cos +π ) sin ( ) π ( ) + π π π π cos = sin ( ) π ( ) + π lim cos = cos π =. π π A jobboldali derivált f +( f() f( ) ) π+ ) m + b (mπ + b) π+ π sin π = ) ( sin +π π π ) cos ( π sin ( π ) = ) +cos ( +π ) ( cos +π ) π ) ( sin π ) = m( π) π+ π = m. =

11 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY Mivel f ( ) = f +( ) egyenl ségnek teljesülnie kell a dierenciálhatósághoz, ezért m = adódik. Másrészt a folytonosság miatt az m π + b = egyenletnek is teljesülni kell, amib l b = π következik..6. Feladat. Az a és b paraméterek mely értéke esetén lesz az { a + b, ha f() = a b, ha > függvény mindenütt dierenciálható? Egyedül az = helyen lehet probléma a dierenciálhatósággal. Ezen a helyen szükségképpen folytonosnak kell lennie a függvénynek, amihez teljesülni kell a egyenl ségnek. Ez jelen esetben az lim f() f() + a( ) + b = a( ) 3 + ( ) + b egyenletet jelenti, amib l b = adódik. A dierenciálhatósághoz a baloldali és jobboldali deriváltaknak egybe kell esni. A baloldali derivált f ( ) = a jobboldali derivált f +( ) = f() f( ) lim + f() f( ) lim a + b ( a + b) + a( + ) + a b ( a + b) + + a a a( + )( + ) a( + ) + = 3a +. = = a, a( 3 + ) + + = + ( + ) ( a( + ) + ) + + Így teljesülnie kell a 3a + = a egyenletnek, amib l a = adódik. =

12 KÉZI CSABA. Deriválási szabályok.. Feladat. Deriváljuk az f() = függvényt! Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja a derivált számszorosa (azaz a számszorzó differenciáláskor változatlan marad) f () = ( 3 ) + 3( ) = = Feladat. Deriváljuk az f() = e (sin + cos ) függvényt! Két függvény szorzatának a deriváltját úgy kapjuk, hogy a szorzat els tényez jének a deriváltját megszorozzuk az eredeti függvény második tényezez jével, ehhez hozzádjuk az eredeti függvény els tényez jének a második tényez deriváltjával való szorzatát. Ezt felhasználva f () = e (sin + cos ) + e (cos sin ) = cos e..3. Feladat. Deriváljuk az f() = + sin cos függvényt! Hányadost úgy deriválunk, hogy a számláló deriváltját megszorozzuk a nevez vel, ebb l levonjuk a számlálónak a nevez deriváltjával kapott szorzatát, majd az így kapott különbséget elosztjuk a nevez négyzetével. Ezt felhasználva f () = ( + cos ) cos ( + sin )( sin ). cos Felbontva a zárójeleket, és felhasználva a sin + cos = trigonometrikus azonosságot f () = + cos + sin. cos.4. Feladat. Deriváljuk az f() = függvényt! Összeget tagonként deriválva f () = Feladat. Deriváljuk az f() = 3 log függvényt! A szorzat deriválási szabályát felhasználva f () = 3 ln 3 log + 3 ln.

13 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 3.6. Feladat. Deriváljuk az f() = sin + függvényt! Felhasználva a = azonosságot, majd alkalmazva a hányados deriválási szabályát cos ( ( ) + ) sin f + () = (. + ).7. Feladat. Deriváljuk az f() = + 7 Felhasználva a 7 = 7 3 függvényt! azonosságot, majd alkalmazva a hányados deriválási szabályát ( ) + f ( ) 3 () = Feladat. Deriváljuk az f() = 4 lg függvényt! A szorzat deriválási szabálya szerint f () = 4 ln 4 lg Feladat. Deriváljuk az f() = függvényt! ln. Felhasználva az összeadásra, illetve konstansszorzóra vonatkozó deriválási szabályokat f () = ( 7 ) + (8 ) 3 = Feladat. Deriváljuk az f() = függvényt! A =, illetve 3 = 3 felhasználása után az összeget tagonként deriválva azt kapjuk, hogy f () = = Feladat. Deriváljuk az f() = + + függvényt! Felhasználva, hogy =, továbbá, hogy =, majd az összeget tagonként deriválva f() = 3 = 3... Feladat. Deriváljuk az f() = 3 sin + 5 cos + sh függvényt!

14 4 KÉZI CSABA Felhasználva az összeadásra, illetve konstansszorzóra vonatkozó deriválási szabályokat f () = 3 cos 5 sin + ch..3. Feladat. Deriváljuk az f() = 5 log 4 függvényt! Felhasználva az összeadásra, illetve konstansszorzóra vonatkozó deriválási szabályokat f () = 5 ln 5 ln Feladat. Deriváljuk az f() = e sin függvényt! Felhasználva a szorzásra vonatkozó deriválási szabályt f () = (e ) sin e (sin ) sin.5. Feladat. Deriváljuk az f() = ln függvényt! Felhasználva a szorzásra vonatkozó deriválási szabályt = e sin e cos sin. f () = ln + (ln ) = ln + = ln Feladat. Deriváljuk az f() = log 3 függvényt! Felhasználva a szorzásra vonatkozó deriválási szabályt f () = ( ) log 3 (log 3 ) log 3.7. Feladat. Deriváljuk az f() = + 3 Felhasználva a hányadosfüggvény deriválási szabályát e = ln log 3 log 3 függvényt. f () = ( + 3 ) e ( + 3 )(e ) = ( + 3) e ( + 3 ) e (e ) e A számlálóban e -et kiemelve, majd elvégezve az egyszer sítést f () = ( + 3) e ( + 3 ) e = e ( ) e e.8. Feladat. Deriváljuk az f() = ( ) sin függvényt! ln 3. = 4 e.

15 Felhasználva a szorzatfüggvény deriválási szabályát MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 5 f () = ( ) sin + ( )(sin ) = ( + 7) sin + ( ) cos..9. Feladat. Deriváljuk az f() = ln(sin ) függvényt! A küls függvény az ln, a bels függvény a sin. El ször deriváljuk a küls függvényt, amire adódik, majd abba beírjuk az eredeti bels függvényt, végül a kapott eredményt szorozzuk a bels függvény deriváltjával: f () = sin (sin ) = cos = ctg. sin.. Feladat. Deriváljuk az f() = ln( + 5 ) függvényt! A küls függvény az ln, a bels függvény + 5. El ször deriváljuk a küls függvényt, amire adódik, majd abba beírjuk az eredeti bels függvényt, végül a kapott eredményt szorozzuk a bels függvény deriváltjával: f () = + 5 ( + 5 ) =.. Feladat. Deriváljuk az f() = e függvényt! + 5 ( + 5) = A küls függvény az e, a bels függvény az. A küls függvény deriváltja e, ebbe beírjuk az eredeti bels függvényt, végül a kapott eredményt szorozzuk a bels függvény deriváltjával: f () = e... Feladat. Deriváljuk az f() = (3 + ) függvényt! A küls függvény az, a bels függvény 3 +. A küls függvény deriváltja 99. Ebbe beírjuk az eredeti bels függvényt, végül a kapott eredményt szorozzuk a bels függvény deriváltjával: f () = (3 + ) 99 (3 + ) = (3 + ) 99 3 = 3(3 + ) Feladat. Deriváljuk az f() = 3 + függvényt! Felhasználva, hogy 3 + = ( + ) 3, a küls függvény 3, a bels függvény +. A küsl függvény deriváltja 3 3, így f () = 3 ( + ) 3 ( + ) = = 3 ( + ) 3.4. Feladat. Deriváljuk az f() = ln( sin ) függvényt! 3 3 ( + ). Küls függvény az ln, bels függvény az sin. A küls függvény deriváltja, amibe beírva

16 6 KÉZI CSABA az eredeti bels függvényt:. A bels függvény deriváltja sin + cos, így sin f sin + cos () =. sin.5. Feladat. Deriváljuk az f() = sin ( 3 cos ) függvényt! 3 Küls függvény az sin, bels függvény az cos. A küls függvény deriváltja cos, amibe beírva az eredeti bels függvényt: cos ( ) 3 3(cos )+3 sin cos. A bels függvény deriváltja, így cos ( ) 3 f 3 cos + 3 sin () = cos. cos cos.6. Feladat. Deriváljuk az f() = tg( + ) függvényt! Küls függvény a tg, bels függvény az +. A küls függvény deriváltja cos, amibe beírva az eredeti bels függvényt:. A bels függvény deriváltja +, így f () = cos ( +) cos ( + ) ( + ) = + cos ( + )..7. Feladat. Deriváljuk az f() = e sin függvényt! Küls függvény a e, bels függvény az sin. A küls függvény deriváltja e, amibe beírva az eredeti bels függvényt: e sin. A bels függvény deriváltja cos, így f () = e sin cos..8. Feladat. Deriváljuk az f() = e +3 4 függvényt! Küls függvény a e, bels függvény az A küls függvény deriváltja e, amibe beírva az eredeti bels függvényt: e A bels függvény deriváltja + 3, így f () = e +3 4 ( + 3)..9. Feladat. Deriváljuk az f() = sin függvényt! Küls függvény a, bels függvény az sin. A küls függvény deriváltja ln, amibe beírva az eredeti bels függvényt: sin ln. A bels függvény deriváltja cos, így f () = sin ln cos..3. Feladat. Deriváljuk az f() = + 3 függvényt! Felhasználva, hogy =, a küls függvény az, bels függvény az + 3. A küls

17 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 7 függvény deriváltja, amibe beírva az eredeti bels függvényt: bels függvény deriváltja +, így f () = ( + 3) ( + ) = Feladat. Deriváljuk az f() = cos(sin ) függvényt! ( + 3). A Küls függvény a cos, bels függvény az sin. A küls függvény deriváltja sin, amibe beírva az eredeti bels függvényt: sin(sin ). A bels függvény deriváltja cos, így f () = sin(sin ) cos..3. Feladat. Deriváljuk az f() = cos( ) függvényt! A szorzat és összetett függvény deriválási szabályát használva f () = cos( ) sin( )( + 3)..33. Feladat. Deriváljuk az f() = ( + ) ln + + függvényt! A szorzat, az összetett függvény és a hányados deriválási szabályát használva f () = ( + ) ln ( + ) ( + ) = ( + ) = ( + ) ln ( + ) ( + ). ( ).34. Feladat. + Deriváljuk az f() = arctg függvényt! A szorzat, a hányados és az összetett függvény deriválási szabályát használva ( ) f + () = arctg + + ( ) Feladat. Deriváljuk az f() = tg(e ) függvényt! Küls függvény a tg, bels függvény az e. A küls függvény deriváltja, amibe beírva cos az eredeti bels függvényt: cos (e ). A bels függvény szintén összetett, a küls függvény e, a bels függvény, az összetett függvény deriválási szabálya szerint (e ) = e. Így f () = cos (e ) (e ) = cos (e ) e.

18 8 KÉZI CSABA.36. Feladat. Deriváljuk az f() = ln ( ln() ) függvényt! Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva f () = ln() = ln()..37. Feladat. Deriváljuk az f() = sin( ) függvényt! Felhasználva, hogy sin = (sin ), az összetett függvény deriválási szabálya szerint f () = (sin ) cos. (.38. Feladat. Deriváljuk az f() = sin cos ( sin )) függvényt! Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva ( f () = cos cos ( sin )) ( sin(sin ) ) cos..39. Feladat. Deriváljuk az f() = ln ( + sin( ) ) függvényt! Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva f () = + sin( ) ( + cos( ) )..4. Feladat. Deriváljuk az f() = sin() függvényt! Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva f () = sin() ln cos()..4. Feladat. Deriváljuk az f() = + függvényt! Felhasználva, hogy = f () = ( + ) ( + )..4. Feladat. Deriváljuk az f() = cos(sin ) függvényt! f () = sin(sin ) cos

19 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY Feladat. Deriváljuk az f() = cos(ln( )) függvényt! f () = sin (ln ( )). (.44. Feladat. Deriváljuk az f() = ln sin ( cos )) függvényt! f cos (cos ()) sin () () = sin (cos ()).45. Feladat. Deriváljuk az f() = sin ( ) függvényt! f () = 4 sin ( ) cos ( ).46. Feladat. Deriváljuk az f() = 3 ln ( sin() ) függvényt! f cos ( ) () = /3 (ln (sin ( ))) /3 sin ( ).47. Feladat. Deriváljuk az f() = 7 sin ( cos () ) függvényt! f () = /7 cos ( (cos ()) ) cos () sin () ( sin ( (cos ()) )) 6/7.48. Feladat. Deriváljuk az f() = ln sin függvényt! A hányados, és a szorzat dierenciálási szabályát alkalmazva f (ln + ) sin ln cos () = sin..49. Feladat. Deriváljuk az f() = sin + sin( ) függvényt! A hányados, és a szorzat dierenciálási szabályát alkalmazva f () = ( sin cos + cos( )) 3 ( sin + sin( ) ) Feladat. Deriváljuk az f() = sin(3) sin(5) függvényt! A szorzat dierenciálási szabályát alkalmazva 3 f () = 3 cos(3) sin(5) + 5 sin(3) cos(5).

20 KÉZI CSABA.5. Feladat. Deriváljuk az f() = ( + ) 3 sin( 4 ) függvényt! A szorzat deriválási szabályát alkalmazva f () = 6( + ) sin( 4 ) + ( + ) cos( 4 )..5. Feladat. Deriváljuk az f() = sin e függvényt! A hányados, és a szorzat dierenciálási szabályát alkalmazva.53. Feladat. Deriváljuk az f() = Felhasználjuk, hogy 8 = 8 : f () = ( sin + cos ) e sin e e. f () = 8 sin függvényt! sin 8 ( sin + cos ) ( sin )..54. Feladat. Deriváljuk az f() = 3π + (4π) 5 függvényt! Az összetett függvény deriválási szabálya szerint f () = 3π 3π + (4π) 5 ln(4π) Feladat. Deriváljuk az f() = (3 + ) e tg függvényt! A hányados deriválási szabályát alkalmazzuk, gyelve arra, hogy a számláló két függvény szorzata, így ott a szorzat deriválási szabályát használjuk: ( (3 f + ) e +( 3 + ) e ) tg ( 3 + ) e cos () =. tg Elvégezve az összevonást ( ) e ( ) tg 3 + f cos () =. tg.56. Feladat. Deriváljuk az f() = sin( ) + sin e függvényt!

21 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY A hányados és az összetett függvény deriválási szabálya szerint ( cos( ) ) f + (sin ) cos e ( sin( ) + sin ) e () =. e Feladat. Deriváljuk az f() = 3 + e tg függvényt! A hányados deriválási szabálya szerint f () = (3 + ) (e tg ) ( 3 + ) (e ) ( ) cos. (e tg ).58. Feladat. Deriváljuk az f() = + arcsin() függvényt! Az összetett függvény deriválási szabálya szerint f () = ln Feladat. Deriváljuk az f() = 7 + arctg e + ln (). függvényt! A hányados dierenciálási szabálya szerint ( ) f + (e + ln ) ( 7 + arctg ) ( ) e + () = ( e + ln )..6. Feladat. Deriváljuk az f() = függvényt!.megoldás Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = = e ln = e ln. Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ( f () = e ln ln + ) = (ln + )..megoldás Vegyük az f() = mindkét oldalának a logaritmusát: ln ( f() ) = ln, amib l ln ( f() ) = ln.

22 KÉZI CSABA Mindkét oldalt dierenciálva az változó szerint f() f () = ln +. Végigszorozva f()-el, kapjuk a megoldást f () = f()(ln + ) = (ln + )..6. Feladat. Deriváljuk az f() = sin függvényt!.megoldás Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = sin = e ln sin = e sin ln. Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ( f () = e sin ln cos ln + sin ) ( = sin cos ln + sin )..megoldás Vegyük az f() = sin mindkét oldalának a logaritmusát: ln ( f() ) = ln sin, amib l ln ( f() ) = sin ln. Mindkét oldalt dierenciálva az változó szerint f() f () = cos ln + sin. Végigszorozva f()-el, kapjuk a megoldást ( f () = f() cos ln + sin ) ( = sin cos ln + sin )..6. Feladat. Deriváljuk az f() = (sin ) függvényt!.megoldás Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = (sin ) = e ln(sin ) = e ln(sin ). Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ) f () = e (ln(sin ln(sin ) ) + sin cos = (sin ) (ln(sin ) + ctg )..megoldás

23 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 3 Vegyük az f() = (sin ) mindkét oldalának a logaritmusát: ln ( f() ) = ln(sin ), amib l ln ( f() ) = ln(sin ). Mindkét oldalt dierenciálva az változó szerint f() f () = ln(sin ) + ctg. Végigszorozva f()-el, kapjuk a megoldást f () = f() (ln(sin ) + ctg ) = (sin ) (ln(sin ) + ctg )..63. Feladat. Deriváljuk az f() = cos függvényt!.megoldás Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = cos = e ln cos = e cos ln. Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ( f () = e cos ln sin ln + cos ) ( = cos sin ln + cos )..megoldás Vegyük az f() = cos mindkét oldalának a logaritmusát: ln ( f() ) = ln cos, amib l ln ( f() ) = cos ln. Mindkét oldalt dierenciálva az változó szerint f() f () = sin ln + cos. Végigszorozva f()-el, kapjuk a megoldást ( f () = f() sin ln + cos ) ( = cos.64. Feladat. Deriváljuk az f() = (cos ) függvényt!.megoldás Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = (cos ) = e ln(cos ) = e ln(cos ). sin ln + cos ).

24 4 KÉZI CSABA Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ) f () = e (ln(cos ln(cos ) ) cos sin = (cos ) (ln(cos ) tg )..megoldás Vegyük az f() = (cos ) mindkét oldalának a logaritmusát: ln ( f() ) = ln(cos ), amib l ln ( f() ) = ln(cos ). Mindkét oldalt dierenciálva az változó szerint f() f () = ln(cos ) tg. Végigszorozva f()-el, kapjuk a megoldást f () = f() (ln(cos ) tg ) = (cos ) (ln(cos ) tg )..65. Feladat. Deriváljuk az f() = (sin ) cos függvényt! Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = (sin ) cos = e ln(sin )cos = e cos ln(sin ). Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ) f () =e ( cos ln(sin ) sin ln(sin ) + cos sin cos = = (sin ) cos ( sin ln(sin ) + cos ctg )..66. Feladat. Deriváljuk az f() = függvényt! Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = = e ln = e ln. Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ( f () = e ln ln + ) ( = ln + ).

25 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY Feladat. Deriváljuk az f() = ( ) függvényt! Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = ( ) = e ln( ) = e ln. Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ( f () = e ln ln ) + = ( ( ) ln + )..68. Feladat. Deriváljuk az f() = e függvényt! Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = e = e ln e = e e ln. Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ( f () = e e ln e ln + e ) ( ) = e e ln + e..69. Feladat. Deriváljuk az f() = () 3 függvényt! Az a = e ln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f() = () 3 = e ln()3 = e 3 ln(). Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ) f () = e (3 3 ln() ln() + 3 = () 3 (3 ln() + 3)..7. Feladat. Deriváljuk az f() = arcsin() függvényt! Felhasználva, hogy f() = e ln arcsin( ) = e arcsin( ) ln, az összetett függvény deriválási szabálya szerint (küls függvény az e ) ( ) f () = e arcsin( ) ln ( ) ln + arcsin, amib l ( f () = arcsin( ) ln 4 + arcsin( ) ).

26 6 KÉZI CSABA 3. Magasabbrend deriváltak, dierenciálható függvények néhány lokális jellemz je, L'Hospital szabály 3.. Feladat. Számoljuk ki az f() = e függvény n-edik deriváltját! A függvény els deriváltja f () = e, a második deriváltja f () = 4e, harmadik deriváltja 8e. Ebb l a sejtésünk az n-edik deriváltra f (n) () = n e. Ezt teljes indukcióval igazolhatjuk f (n+) () = ( f (n) () ) = ( n e ) = n e = n+ e. Ezzel igazoltuk, hogy f (n) () = n e. 3.. Feladat. Számoljuk ki az f() = n függvéy n-edik deriváltját! A függvény deriváltja f () = n n, második deriváltja f () = n(n ) n. Ebb l már látható, hogy az n-edik derivát f (n) () = n! Feladat. Számoljuk ki az f() = ln függvény n-edik deriváltját! A függvény els deriváltja f () =, második deriváltja f () =, harmadik deriváltja f () = 3. Ebb l megsejthet, hogy az n-edik derivált f (n) () = ( )n+ (n )! n Feladat. Számoljuk ki az f() = sin függvény n-edik deriváltját! A függvény deriváltja f () = cos, második deriváltja f () = sin, harmadik deriváltja f () = cos, negyedik deriváltja f (iv) () = sin. Innent l kezdve ugyanezek a deriváltak ismétl dnek, így sin, ha n = 4k (azaz, ha n osztható 4-el) f (n) cos, ha n = 4k + (azaz, ha n 4-el osztva maradékot ad) () = sin, ha n = 4k + (azaz, ha n 4-el osztva maradékot ad) cos, ha n = 4k + 3 (azaz, ha n 4-el osztva 3 maradékot ad) Feladat. Számoljuk ki az f() = cos függvény n-edik deriváltját! A függvény deriváltja f () = sin, második deriváltja f () = cos, harmadik deriváltja f () = sin, negyedik deriváltja f (iv) () = cos. Innent l kezdve ugyanezek a deriváltak

27 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY 7 ismétl dnek, így cos, f (n) sin, () = cos, sin, ha n = 4k (azaz, ha n osztható 4-el) ha n = 4k + (azaz, ha n 4-el osztva maradékot ad) ha n = 4k + (azaz, ha n 4-el osztva maradékot ad) ha n = 4k + 3 (azaz, ha n 4-el osztva 3 maradékot ad) Feladat. Számoljuk ki az f() = függvény negyedik deriváltját! A függvény deriváltja A második derivált A harmadik derivált A negyedik derivált 3.7. Feladat. Határozzuk meg az függvény n-edik deriváltját! A függvény deriváltja A második derivált A harmadik derivált f () = =. f () = 4 3 = 4 3. f () = = f iv () = f() = + f () = ( + ) ( ) ( + )( ) ( ) = Így az n-edik deriváltra a sejtésünk 5 = ( + ) ( ) = f () = ( ( ) ) = 4( ) 3 ( ) = f () = ( 4( ) 3) = ( ) 4 ( ) = f (n) () = n!( ) (n+) = n! ( ) n+. 4 ( ) 3. ( ) 4. ( ).

28 8 KÉZI CSABA Ezt teljes indukcióval bizonyíthatjuk: f (n+) () = ( n!( ) (n+)) ( ) = n! (n + ) ( ) (n+) ( ) = = (n + )!( ) (n+) Feladat. Írjuk fel az f() = függvény = pontbeli érint jének egyenletét! Az érint egyenlete y = f( ) + f ( )( ). Jelen esetben f( ) = f() =, f () =, így f ( ) = f () =. Ebb l a keresett egyenlet y = + ( ). Elvégezve a zárójel felbontását és az összevonást y = Feladat. Írjuk fel az f() = e függvény = pontbeli érint jének egyenletét! Az érint egyenlete y = f( ) + f ( )( ). Jelen esetben f( ) = f() = e =, f () = e, így f ( ) = f () =. Ebb l az érint y = + ( ). Tehát a keresett egyenlet y = +.

29 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY Feladat. Írjuk fel az f() = + függvény = pontbeli érint jének egyenletét! Az érint egyenlete y = f( ) + f ( )( ). Jelen esetben f( ) = f() = 4 =, f () = ( + ) = +, így f ( ) = f () = 4. Ebb l a keresett egyenlet y = + ( ). 4 Elvégezve a zárójel felbontását és az összevonást y = 4 + 3, beszorozva a közös nevez vel 4y = Feladat. Írjuk fel az f() = + + függvény = pontbeli érint jének egyenletét! Az érint egyenlete y = f( ) + f ( )( ). Jelen esetben f( ) = f( ) =, f () = ( + ) ( + ) = + 4 ( + ) ( + ), így f ( ) = f ( ) = 4. Ebb l a keresett egyenlet y = 4( + ).

30 3 KÉZI CSABA Elvégezve a zárójel felbontását és az összevonást y = Feladat. Határozzuk meg az f() = függvény azon érint jének egyenletét, amelyik mer leges az y = + 5 egyenesre! A keresett egyenes egyenlete y = m+b, ahol m = a mer legesség miatt (ugyanis egymásra mer leges egyenesek meredekségeinek szorzata -), tehát az érint y = +b alakú. Másrészt m = f ( ) = Így meghatározható a = egyenletb l, ami ekvivalens az + = egyenlettel. Ennek megoldásai = ± + 8 = ± 3, azaz = vagy =. Így két érintési pont van E = (, ) és E = (, ). Az y = + b egyenletbe behelyettesítve az érintési pontok koordinátáit, megkapjuk a b értékét: b =, b = 5. Így az érint k egyenletei y =, y = + 5.

31 MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY Feladat. Határozzuk meg az f() = + 3 függvénynek az y = 4 3 egyenlet egyenessel párhuzamos érint jének egyenletét. A keresett egyenes egyenlete y = m + b, ahol m = 4 a párhuzamosság miatt (ugyanis párhuzamos egyenesek meredeksége megegyezik), tehát az érint y = 4 + b alakú. Másrészt m = f ( ) =. Így meghatározható a = 4 egyenletb l, ami ekvivalens a = 6 egyenlettel. Ennek megoldása = 3. Így az érintési pont E = (3, 6). Az y = 4 + b egyenletbe behelyettesítve az érintési pont koordinátáit, megkapjuk a b értékét: b = 6. Így az érint k egyenletei y = Feladat. Határozzuk meg, hogy az f() = érint je párhuzamos az tengellyel? függvénynek melyik pontjába húzott A keresett érint meredeksége nulla, így az érint t y = b alakban keressük. Másrészt m = f ( ) = 6 (3 + ) (3 + )( ) (3 + ) = 6 (3 + ), amib l =. Így f( ) = 3. Tehát a keresett egyenes egyenlete y = 3.

32 3 KÉZI CSABA 3.5. Feladat. Mekkora annak a háromszögnek a területe, melyet az f() = e 3 függvénynek az = pontjába húzott érint je a koordinátatengelyekkel bezár? Az érint egyenlete y = f( ) + f ( )( ). Jelen esetben f( ) =, továbbá f () = e 6, így f ( ) = f () =. Tehát az érint egyenlete y = +. Ez az egyenes az tengelyt /-nél, az y-tengelyt -nél metszi, így a keresett terület: T = = Feladat. Határozzuk meg az f() = 3 függvénynek az -tengellyel párhuzamos érint jének egyenletét! Az -tengellyel párhuzamos érint meredeksége, így meg kell oldanunk az f () = egyenletet. Mivel f() = 3, ezért f () = 4 3. Így a 4 3 = egyenletet kell megoldanunk. Kiemelve -et az (4 3) = egyenlethez jutunk. Egy szorzat csak úgy lehet nulla, ha valamelyik tényez je nulla, így = vagy = 4 3. Mivel f() =, és f ( 4 3 Tehát a keresett egyenesek egyenlete y = és y = 3 7. ) = 3 7.