9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:"

Átírás

1 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y < x (E) y < z < x BME 015. szeptember (16A) Ha az e egységvektor irányszöge α, akkor az e vektor első koordinátája cos α, második koordinátája sin α. Az ábrán látható az egység sugarú k kör és a megfelelő egységvektorok. A tg α = sin α cos α definícióval adható meg. A harmadik ábra a tg α szemléletes jelentését mutatja: az (1; 0) pontban rajzolt érintőből kimetszett szakasz hossza. 1

2 A szögfüggvények értékét kifejezzük hegyesszögek szögfüggvényével. Pontos értékekkel számolunk: x = cos 150 = cos( ) = cos 0 = 0,87 y = sin 5 = sin(5 150 ) = sin 5 = 0,71 z = tg ( 60 ) = [tg( 60 )] = [ tg(60 )] = ( ) =. Vagyis: x < y < z. Tehát a jó válasz a (B).. Mennyivel egyenlő a sin(75 ) cos(75 ) szorzat? (A) (B) (C) (D) 1 (E) 1 BME 010. szeptember 1. (16A) Alkalmazzuk a következő azonosságot: sin α = sin α cos α. Szorozzuk be a kifejezést -vel: sin 75 cos 75, majd alkalmazva az azonosságot: sin75 cos75 = sin( 75 ) = sin 150 = sin 0 = 1. Mivel -vel szoroztunk, így ezzel el is kell osztanunk. Tehát a végeredmény: A jó válasz a (D). 1 : = 1.. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! tg x + sin x = 0 ELTE 015. szeptember (fizika BSc) Először vizsgáljuk meg az egyenlet értelmezési tartományát! sin x tgx = azonosság miatt: cos x 0 vagyis x π + k π, (k Z) cos x Alkalmazzuk ezt az azonosságot: Beszorzunk a nevezővel: sin x cos x + sin x = 0.

3 sin x + sin x cos x cos x = 0. Alkalmazzuk a sin x = 1 cos x azonosságot: 1 cos x + (1 cos x) cos x cos x = 0. Zárójel felbontás és az összevonás elvégzése után a következő egyenletet kapjuk: 1 cos x = 0 cos x = 1 cos x = 1 vagy cos x = 1. Az egyenlet megoldása tehát x = π + k π, k Z, és ez eleme az értelmezési tartománynak.. Egy háromszög oldalainak mérőszámai egymást követő -nál nagyobb egész számok. Bizonyítsa be, hogy a háromszög hegyesszögű! ELTE 01. szeptember (matematika BSc) Legyenek a háromszög oldalai: a, a + 1, a + hosszúságúak, ahol a > teljesül. A leghosszabb oldallal (a + ) szemközti szög legyen: γ. Írjuk fel a koszinusz tételt a leghosszabb oldalra: (a + ) = (a + 1) + a (a + 1) a cos γ. Végezzük el a négyzetre emelést és a zárójelbontást: a + a + = a + a a (a + 1) a cos γ. Összevonás és rendezés után: a a = a (a + 1) cos γ. A bal oldalt felírjuk szorzatalakban: a a = (a + 1)(a ). Mindkét oldalt osztjuk (a+1)-gyel: (a ) = a cos γ vagyis a = cos γ. a Mivel a >, ezért cos γ > 0, amiből következik, hogy γ < 90. Tehát a háromszög hegyesszögű.

4 II. Ismételjünk! 1. Szögfüggvények értelmezése oldal -. oldal. Összefüggések a szögfüggvények között oldal. Trigonometrikus egyenletek oldal. Szinusz és koszinusz tételek alkalmazása 5. oldal

5 III. Gyakorló feladatok 1. Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! a) cos 15 + sin 5 = b) tg 00 + ctg 150 = c) cos sin 75 = d) cos 7π = 6 e) (tg 00π ) = f) sin ( π ) cos ( π ) =. Egyszerűsítse a következő kifejezést! cos( α) cos(180 + α) sin( α) sin(90 + α) =. Írja egyszerűbb alakba a következő kifejezéseket! a) cos(x) + cos(π x) b) cos ( π+x ) c) sin (π x). Állítsa növekvő sorrendbe a x = tg1; y = tg; z = tg mennyiségeket! A szögeket radiánban mérjük. (A) x < y < z (B)y < z < x (C)x < z < y (D) z < y < x (E) y < x < z BME 01. szeptember 7. (15A) 5. Legyen sin α = 0,6. Számítsa ki tgα értékét, ha α [ π ; π]! (A) (B) (C) 0 (D) (E) BME 01. szeptember 1. (15A) 6. Legyen cos α = 5. Mennyi lehet ekkor a sin α, ha α [ π ; 0]? 7. Határozza meg a következő kifejezések legbővebb értelmezési tartományát! a) 1 1 tgx b) sin x 0,5 8. Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) cos x = 1 b) sin (10x + π ) = 9. Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) sin x = sin (x + π ) b) cos (5x π ) = cos (x + π ) c) tgx = tg x 10. Mely valós x értékekre teljesül az egyenlet? 5

6 a) cos x + sin x = 0 b) sin x = tgx c) sin x + 5 cos x = 0 d) sin x cos x = e) sin x + cos x = 11. Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán! cos x + sin x cos x + sin x + sin x = 1 cos x 1. Hány megoldása van a következő egyenletnek a [ π ; π] intervallumon? cos x 1 sin x = 0 ELTE 007. szeptember (földtudományi szak) (A) (B) (C) (D) 1 (E) 0 1. Hány megoldása van sin x 0 egyenlőtlenségnek a [ 10; 10] zárt intervallumon? (A) 1 (B) 7 (C) 6 (D) 0 (E) nincs megoldása 1. Egy torony árnyéka a vízszintes talajon kétszer olyan hosszú, mint a torony magassága. Hány fokos szöget zár be ekkor a nap a vízszintes talajjal? Középszintű érettségi 009. október 15. Egy háromszög két oldalának arány :, az általuk bezárt szög 10, a harmadik oldala c = 8 cm. Mekkorák az ismeretlen oldalak és szögek? 16. Tegyük fel, hogy egy háromszög szögeire fennáll, hogy tgβ sin γ = tgγ sin β. Igazolja, hogy ekkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű. 6

7 IV. Megoldások 1. Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! a) cos 15 + sin 5 = b) tg 00 + ctg150 = c) cos sin 75 = d) cos 7π = 6 e) (tg 00π ) = f) sin ( π ) cos ( π ) a) cos 15 + sin 5 = cos 5 + sin 5 = 0 b) tg 00 + ctg 150 = tg 60 ctg 0 = = c) cos sin 75 = = cos 15 + sin 75 = sin 75 + sin 75 = 0 d) cos 7π 6 = cos (π + π 6 ) = cos (π 6 ) = e) mivel tg 00π = tg ( π + 500π) = tg (π ) = 1, tehát ( ( 1)) = 8 f) sin ( π ) cos ( π ) = ( ) ( 1 ) = 1 = 1 = 1. Egyszerűsítse a következő kifejezést! cos( α) cos(180 + α) sin( α) sin(90 + α) = A szögfüggvények következő tulajdonságait alkalmazzuk: cos( α) = cos α ; sin ( α) = sin α ; cos (180 + α) = cos α ; sin (90 + α) = cos α ; cos α = ctg α. sin α. Írja egyszerűbb alakba a következő kifejezéseket! cos α ( cos α) sin α cos α = ctg α. a) cos x + cos (π x) b) cos ( π+x ) c) sin (π x) a) cos x + cos (π x) = cos x, mivel cos (π x) = cos x b) cos ( π+x ) = cos (π + x) = sin x, az alábbi ábra jól mutatja a (cos x)-nek a ( π )-vel való eltolása, éppen a ( sin x) lesz. 7

8 c) Alkalmazhatjuk a sin(α β) = sin α cos β cos α sin β addíciós tételt: sin ( π x) = sin π cos x cos π sin x = ( 1) cos x 0 sin x = cos x.. Állítsa növekvő sorrendbe a x = tg1; y = tg; z = tg mennyiségeket! A szögeket radiánban mérjük. (A) x < y < z (B) y < z < x (C)x < z < y (D) z < y < x (E) y < x < z BME 01. szeptember 7. (15A) 1 < π < < < π, ezért a tg1 az első negyedben van, tg és tg pedig a második negyedben van. Ebből következik, hogy tg1 > 0; tg < 0; tg < 0. A tg függvény a ] π ; π] intervallumon szigorú monoton nő tg < tg. Tehát: tg < tg < tg1. A helyes válasz a (B). 5. Legyen sin α = 0,6. Számítsa ki tgα értékét, ha α [ π ; π]! (A) (B) (C) 0 (D) (E) BME 01. szeptember 1. (15A) 8

9 Használjuk fel a következő azonosságokat: tg α = sin α cos α ; cos α = 1 sin α! cos α = 1 0,6 = 0,6 cosα = 0,8 mert α [ π ; π]. tgα = 0,6 0,8 =. A helyes válasz: a (D). 6. Legyen cosα = 5. Mennyi lehet ekkor a sin α, ha α [ π ; 0]? sin α = sin α cos α és sin α = 1 cos α, ezért: sin α = 1 ( 5 ) = 16 5 sin α = 5, mert α [ π ; 0] sin α = ( 5 ) 5 = 5 7. Határozza meg a következő kifejezések legbővebb értelmezési tartományát! a) 1 1 tgx b) sinx 0,5 a) A tangens értelmezési tartománya miatt: x π + kπ; k Z. A nevező miatt: 1 tgx 0 tgx 1 x π + kπ; k Z. A kifejezés értelmezési tartománya: x R\ {x = π + kπ; x = π + kπ} ahol k Z. b) A négyzetgyök miatt: sin x 0,5 0 sin x 0,5 Az értelmezési tartomány: {x R π + kπ x 5π + kπ; k Z}

10 8. Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) cos x = 1 b) sin (10x + π ) = a) cos x = 1 cos x = 1 cos x = ± 1 ; cos x = 1 megoldásai: x 1 = π + kπ; x = π + kπ k Z. cos x = 1 megoldásai: x = π + kπ; x = π + kπ k Z. b) A sin (10x + π ) = a szinusz függvény π és 5π nél lesz : I. 10x 1 + π = π + kπ II. 10x + π = 5π + kπ Rendezzük az egyenleteket x-re: 10x 1 = π π + kπ 10x = 5π π + kπ 10x 1 = 7π + kπ 10x 1 = 11π + kπ (10-zel osztva) 1 x 1 = 7π 10 + kπ 5, k Z x = 11π 10 + kπ 5, k Z 10

11 9. Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) sin x = sin (x + π ) b) cos (5x π ) = cos (x + π ) c) tgx = tg x A megoldás során felhasználjuk, hogy ha sin α = sin β akkor α = β + kπ vagy α = π β + kπ, ha cos α = cos β akkor α = β + kπ vagy α = β + kπ, ha tgα = tg β akkor α = β + kπ. a) sin x = sin (x + π ) x = x + π + kπ, rendezve az egyenletet azt kapjuk, hogy x 1 = π + kπ, k Z vagy x = π (x + π ) + kπ. Rendezzük az egyenletet x-re: Tehát az egyenlet megoldásai: x 1 = π + kπ; b) cos (5x π ) x = cos (x + π ) x = π π + kπ x = π + kπ x = π 1 + kπ, k Z. x = π 1 + kπ, k Z. 5x π = x + π + kπ Rendezzük az egyenletet! vagy 5x π = (x + π ) + kπ x = π + π + kπ x = 17π 1 + kπ x 1 = 17π 8 + kπ, k Z 11

12 5x π = x π + kπ 6x = π π + kπ 6x = π 1 + kπ x = π 7 + kπ, k Z. Tehát az egyenlet megoldásai: x 1 = 17π 8 + kπ ; x = π 7 + kπ, k Z. c) tgx = tg x x = x + kπ x = kπ, k Z. Meg kell vizsgálni a két tangens értelmezési tartományát, hogy minden megoldás jó e. Elég megnézni, hogy a cos x és a cos x hol lenne nulla. cos x = 0 x = π + kπ cosx = 0 x = π + kπ Az ábrán jól látható, hogy a pirossal jelzett megoldásoknál ( x = kπ ) egyik koszinusz sem lesz nulla. 10. Mely valós x értékekre teljesül az egyenlet? a) cos x + sin x = 0 b) sin x = tg x c) sin x + 5 cos x = 0 d) sin x cos x = e) sin x + cos x = a) cos x + sin x = 0 Első megoldás: Rendezzük át az egyenletet: sin x = cos x. Oszthatunk cos x-el, mivel cos x = 0 nem megoldása az egyenletünknek, így nem vesztünk gyököt. 1

13 A megoldás: x = π + kπ, k Z. sin x cos x = tgx = Második megoldás: Emeljük az átrendezett egyenletet négyzetre: sin x = cos x Helyettesítsük be a sin x = 1 cos x összefüggést:. 1 cos x = cos x Rendezzük az egyenletet: cos x = 1. A 8.a feladatnál láttuk ennek az egyenletnek a megoldásait: cos x = 1 megoldásai: x 1 = π + kπ; x = π + kπ k Z cos x = 1 megoldásai: x = π + kπ; x = π + kπ k Z. Mivel négyzetre emeltünk és ez nem ekvivalens átalakítás, ezért az eredményt mindenképpen ellenőriznünk kell. Látszik, hogy a megoldás csak azokban a negyedekben lehet, ahol a szinusz és a koszinusz ellentétes előjelű, vagyis a második és a negyedik negyedben. Tehát itt csak az x és az x jó megoldás. Harmadik megoldás: Osszuk el az egyenletet -vel: Észrevehetjük, hogy = sin π Ezeket behelyettesítve: cos x + 1 sin x = 0. 1 és = cos π. sin π cos x + cos π sin x = 0 egyenlethez jutunk. Felhasználva a sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, addíciós tételt: sin π cosx + cos π sinx = sin ( π + x) = 0. Ennek megoldása: π + x = kπ x = π + kπ, k Z. b) sin x = tgx A tangens miatt az egyenlet értelmezési tartománya: x R; és x π + kπ; k Z Felhasználva az azonosságokat: sin x sin x cos x = cos x. Szorozzunk be cos x-el és rendezzük 0-ra az egyenletet! sin x cos x sin x = 0 Emeljük ki a sin x-et! sin x (cos x 1) = 0 Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, így sin x = 0 vagy cos x 1 = 0. 1

14 Ha sin x = 0, akkor x 1 = kπ, ha cos x 1 = 0, akkor cos x = ± 1. Ekkor x = π + kπ; x = π + kπ; x = π + kπ; x 5 = π + kπ, k Z Megjegyzés: Gyakori hiba a sin x-el való leosztás, ami gyökvesztéshez vezet. c) sin x + 5 cos x = 0 Használjuk a sin x = 1 cos x azonosságot! (1 cos x) + 5 cos x = 0 cos x + 5 cos x = 0 cos x + 5 cos x = 0 cos x 5 cos x + = 0 Másodfokú egyenletet kapunk cosx-re nézve. A másodfokú egyenlet megoldóképletének segítségével megkapjuk a két gyököt: 5 ± 5 16 cos x 1, = ahonnan cos x 1 = és cos x = 1. = 5 ±, Mivel 1 cosx 1, ezért a cos x 1 = -nek nincs megoldása. A cos x = 1 megoldásai: x 1 = π + kπ; x = π + kπ, k Z. d) A sin x cos x = egyenletet szorozzuk be -vel: sin x cos x =. Helyettesítsük be a sin x-re vonatkozó azonosságot: sin x =, < 1 és 1 sin x 1, ezért a sin x = -nak nincs megoldása. e) sin x + cos x = Osszuk el az egyenletet -vel! 1 sin x + 1 cos x = 1 Vegyük észre, hogy 1 = cos π ; 1 = sin π. Ezeket behelyettesítve az egyenletbe: cos π sinx + sin π cosx = 1 Tehát az egyenlet megoldása: x = π + kπ, k Z. 11. Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán! cos x + sin x cos x sin (x + π ) = 1 x + π = π + kπ. + sin x + sin x = 1 cos x ELTE 007. szeptember (földtudományi szak) 1

15 Értelmezési tartomány: cos x 0 x R és x π + kπ; k Z cos x + sin x cos x Szorozzuk be az egyenletet cos x-el: + sin x + sin x = 1 cos x cos x + sin x + sin x cos x + sin x cos x = 1. Alkalmazzuk az következő összefüggéseket: cos x + sin x = 1 és sin x = sin x cos x: Emeljük ki a sin x cos x -et: 1 + sin x cos x + sinx cos x = 1 sin x cos x + sin x cos x = 0. sin x cos x(1 + cos x ) = 0. Ez akkor teljesül, ha sin x = 0 vagy (1 + cos x) = 0 vagy cos x = 0, de ez utóbbi nem megoldás az értelmezési tartomány miatt. Ha sin x = 0 x 1 = kπ, ha (1 + cos x) = 0 cos x = 1 x = π + kπ; x = π + kπ, k Z. 1. Hány megoldása van a következő egyenletnek a [ π ; π] intervallumon? cos x 1 sin x = 0 (A) (B) (C) (D) 1 (E) 0 Először vizsgáljuk meg az értelmezési tartományt: sin x 0 sin x sin x ± x 1 π + kπ és x π + kπ, k Z. Egy tört értéke akkor nulla, ha a számlálója nulla és a nevezője nem nulla. Ennek a megoldásai: cos x 1 = 0 cos x = 1. x 1 = π + kπ és x = π + kπ, k Z 15

16 Összevetve az értelmezési tartománnyal megállapíthatjuk, hogy nincs megoldása ennek az egyenletnek. Tehát a helyes válasz az (E). 1. Hány megoldása van sin x 0 egyenlőtlenségnek a [ 10; 10] zárt intervallumon? (A) 1 (B) 7 (C) 6 (D) 0 (E) nincs megoldása A négyzetre emelés miatt sin x 0. A két feltételből következik, hogy sin x = 0 sin x = 0 x = kπ Azt kell még megvizsgálni, hogy ezek a gyökök közül mennyi esik a megadott intervallumba. Mivel π < 10 < π és π < 10 < π, a következő ábrán jól látható, hogy 7 megoldása ( π; π; π; 0; π; π; π) van az egyenlőtlenségnek ezen az intervallumon. Tehát a helyes válasz a (B). 1. Egy torony árnyéka a vízszintes talajon kétszer olyan hosszú, mint a torony magassága. Hány fokos szöget zár be ekkor a nap a vízszintes talajjal? A hosszabb befogó legyen: x, a rövidebb x. A derékszögű háromszögre felírhatjuk, hogy tgα = x x, és x-el egyszerűsítve kapjuk, hogy tgα = 1, ahonnan az α = 6,57. Középszintű érettségi 009. október 16

17 15. Egy háromszög két oldalának arány :, az általuk bezárt szög 10, a harmadik oldala c=8 cm. Mekkorák az ismeretlen oldalak és szögek? Legyenek az oldalak a, b és c. Ekkor a = x és b = x és γ = 10. A két oldal és a közbezárt szög segítségével felírhatjuk a koszinusz tételt: Helyettesítsünk be: Végezzük el a műveleteket: c = a + b abcosγ. 8 = (x) + (x) (x) (x) cos = 9x + x 1x ( 1 ) 1 = 9x + x + 6x 1 = 19x 76 = x x = 76, (x > 0). Tehát az a = 76 6,15 (cm) és a b = 76 17,(cm). A hiányzó szöget kiszámolhatjuk a szinusztétel segítségével (α biztos, hogy hegyesszög, mert γ tompaszög): sin α sin 10 = 76 8 sin α = 0,6 α = 6,6. A háromszög szögeinek összege 180, így β = ,6 =,. Tehát a háromszög hiányzó adatai: a = 76 cm 6,15 cm; b = 76 cm 17,; α = 6,6 ; β =,. 16. Tegyük fel, hogy egy háromszög szögeire fennáll, hogy tgβ sin γ = tgγ sin β. Igazolja, hogy ekkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű. Mivel létezik a tgβ és tgγ, ezért sem β, sem γ nem lehet 90. A szögfüggvények közötti összefüggéseket használva, felírhatjuk: sin β cos β sin γ sin γ = cos γ sin β. Oszthatunk sinβ-val és sin γ-val, mivel ezek nem lehetnek nullák: Szorozzunk be a nevezőkkel: Szorozzuk meg mindkét oldalt -vel: sin γ sin β = cos β cos γ. sin γ cos γ = sin β cos β. sin γ cos γ = sin β cos β. 17

18 sin γ cos γ = sin γ és sin β cos β = sin β ezért: sin γ = sin β. Ez akkor teljesül, ha γ = β, amiből következik, hogy γ = β vagyis a háromszög egyenlő szárú, VAGY, ha γ = 180 β Rendezzük ezt az egyenletet: γ + β = 180 (γ + β) = 180 γ + β = 90 α = 90, tehát a háromszög ebben az esetben derékszögű. 18

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás: Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria II. Trigonometria II. A tetszőleges nagyságú szögek szögfüggvényeit koordináta rendszerben egységhosszúságú forgásvektor segítségével definiáljuk. DEFINÍCIÓ: (Vektor irányszöge) Egy vektor irányszögén értjük

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett

Részletesebben

2018/2019. Matematika 10.K

2018/2019. Matematika 10.K Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép, függvénytáblázat 2 órás, 4 jegyet ér 2019. május 27-31. héten Aki hiányzik, a következő héten írja meg, e nélkül

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben

I. A négyzetgyökvonás

I. A négyzetgyökvonás Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek . Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria I. Trigonometria I. Hegyes szögek szögfüggvényei: Az α hegyesszöggel rendelkező derékszögű háromszögek egymáshoz hasonlóak, mert szögeik megegyeznek. Így oldalhosszaik aránya mindig állandó. Az α szögtől

Részletesebben

Matematika 11. osztály

Matematika 11. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály II. rész: Trigonometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék II. rész: Trigonometria...........................

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek. Készítette: Darabos Noémi Ágnes

8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek. Készítette: Darabos Noémi Ágnes 8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Készítette: Darabos Noémi Ágnes Matematika A. évfolyam 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek XV.

Egyenletek, egyenlőtlenségek XV. Egyenletek, egyenlőtlenségek XV. Trigonometrikus (nem alap) egyenletek Amennyien az egyenlet nem alapegyenlet, akkor arra törekszünk, hogy a szögfüggvények közötti összefüggések alkalmazásával egyféle

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x 1) (x + 1) 7x + 1 = x (4 + x) + 2 b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) d) 6 (x 8)

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonosság

Függvények határértéke és folytonosság Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

Ábrahám Gábor: A Jensen-egyenlőtlenség. Megoldások. Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Ábrahám Gábor: A Jensen-egyenlőtlenség. Megoldások. Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) I. Geometriai egyenlőtlenségek, szélsőérték feladatok 1. Mivel az [ ] f :0; π ; xa sin xfolytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni,

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI

TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI http://zanza.tv/matematika/geometria/thalesz-tetele http://zanza.tv/matematika/geometria/pitagorasz-tetel http://zanza.tv/matematika/geometria/nevezetes-tetelek-derekszogu-haromszogben

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Oktatási Hivatal 04/0 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MTEMTIK I KTEGÓRI (SZKKÖZÉPISKOL) Javítási-értékelési útmutató Határozza meg a tízes számrendszerbeli x = abba és y =

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember. Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható nálható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók a szürke

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok! Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy: Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Húrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele

Húrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele Húrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele Markó Zoltán 11C Húrnégyszögek Definíció: Húrnégyszögnek nevezzük az olyan négyszöget, amely köré kör írható Vagyis az olyan konvex négyszögek, amelyeknek oldalai egyben

Részletesebben

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2. 1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,

Részletesebben

Matematika 11. osztály

Matematika 11. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria III. Trigonometria III. TÉTEL: (Szinusz - tétel) Bármely háromszögben az oldalak és a velük szemközti szögek szinuszainak aránya egyenlő. Jelöléssel: a: b: c = sin α : sin β : sin γ. Megjegyzés: A szinusz -

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Kisérettségi feladatsorok matematikából

Kisérettségi feladatsorok matematikából Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Egy háromszög egyik oldala 10 cm hosszú, s a rajta fekvő két szög 50 és 70. Számítsd ki a hiányzó szöget és oldalakat! Legyen a = 10 cm; β = 50 és γ = 70. A két szög ismeretében a harmadik

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

Koczog András Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig. Szögfüggvények alapjai

Koczog András   Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig. Szögfüggvények alapjai Szögfüggvények alapjai Értelmezés derékszögű háromszögekben Két derékszögű háromszög hasonlóságát teljesen meghatározza egyik szögük nagysága, így oldalaik aránya mindig megegyezik, függetlenül hosszuktól.

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:

Részletesebben

Matematika tanmenet 10. évfolyam 2018/2019

Matematika tanmenet 10. évfolyam 2018/2019 Matematika tanmenet 10. évfolyam 2018/2019 Műveltségi terület: MATEMATIKA Iskola, osztályok: Vetési Albert Gimnázium, 10.A, 10.B, 10.C, 10.D Tantárgy: MATEMATIKA Heti óraszám: 3 óra Készítette: a matematika

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Végeredmények, feladatok részletes megoldása

Végeredmények, feladatok részletes megoldása Végeredmények, feladatok részletes megoldása I. Kombinatorika, gráfok Sorba rendezési problémák (Ismétlés). Részhalmaz-kiválasztási problémák, vegyes összeszámlálási feladatok (Ismétlés). Binomiális együtthatók,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete) Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)

Részletesebben

Az 1. forduló feladatainak megoldása

Az 1. forduló feladatainak megoldása Az 1. forduló feladatainak megoldása 1. Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala! Megoldás:

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I.

Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. DEFINÍCIÓ: (Nyitott mondat) Az olyan állítást, amelyben az alany helyén változó szerepel, nyitott mondatnak nevezzük. A nyitott mondatba írt változót

Részletesebben

MATEMATIKA 10. osztály (Elnézést a tegezésért, gyerekeknek készült eredetileg. ) I. GYÖKVONÁS. x j)

MATEMATIKA 10. osztály (Elnézést a tegezésért, gyerekeknek készült eredetileg. ) I. GYÖKVONÁS. x j) MATEMATIKA 10. osztály (Elnézést a tegezésért, gyerekeknek készült eredetileg. ) I. GYÖKVONÁS Négyzetgyök 1. Számítsd ki számológép nélkül a pontos értékét: a) 0 4 1 7 8 6 7 d) 00 18. Melyik a nagyobb?

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben