9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:"

Átírás

1 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y < x (E) y < z < x BME 015. szeptember (16A) Ha az e egységvektor irányszöge α, akkor az e vektor első koordinátája cos α, második koordinátája sin α. Az ábrán látható az egység sugarú k kör és a megfelelő egységvektorok. A tg α = sin α cos α definícióval adható meg. A harmadik ábra a tg α szemléletes jelentését mutatja: az (1; 0) pontban rajzolt érintőből kimetszett szakasz hossza. 1

2 A szögfüggvények értékét kifejezzük hegyesszögek szögfüggvényével. Pontos értékekkel számolunk: x = cos 150 = cos( ) = cos 0 = 0,87 y = sin 5 = sin(5 150 ) = sin 5 = 0,71 z = tg ( 60 ) = [tg( 60 )] = [ tg(60 )] = ( ) =. Vagyis: x < y < z. Tehát a jó válasz a (B).. Mennyivel egyenlő a sin(75 ) cos(75 ) szorzat? (A) (B) (C) (D) 1 (E) 1 BME 010. szeptember 1. (16A) Alkalmazzuk a következő azonosságot: sin α = sin α cos α. Szorozzuk be a kifejezést -vel: sin 75 cos 75, majd alkalmazva az azonosságot: sin75 cos75 = sin( 75 ) = sin 150 = sin 0 = 1. Mivel -vel szoroztunk, így ezzel el is kell osztanunk. Tehát a végeredmény: A jó válasz a (D). 1 : = 1.. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! tg x + sin x = 0 ELTE 015. szeptember (fizika BSc) Először vizsgáljuk meg az egyenlet értelmezési tartományát! sin x tgx = azonosság miatt: cos x 0 vagyis x π + k π, (k Z) cos x Alkalmazzuk ezt az azonosságot: Beszorzunk a nevezővel: sin x cos x + sin x = 0.

3 sin x + sin x cos x cos x = 0. Alkalmazzuk a sin x = 1 cos x azonosságot: 1 cos x + (1 cos x) cos x cos x = 0. Zárójel felbontás és az összevonás elvégzése után a következő egyenletet kapjuk: 1 cos x = 0 cos x = 1 cos x = 1 vagy cos x = 1. Az egyenlet megoldása tehát x = π + k π, k Z, és ez eleme az értelmezési tartománynak.. Egy háromszög oldalainak mérőszámai egymást követő -nál nagyobb egész számok. Bizonyítsa be, hogy a háromszög hegyesszögű! ELTE 01. szeptember (matematika BSc) Legyenek a háromszög oldalai: a, a + 1, a + hosszúságúak, ahol a > teljesül. A leghosszabb oldallal (a + ) szemközti szög legyen: γ. Írjuk fel a koszinusz tételt a leghosszabb oldalra: (a + ) = (a + 1) + a (a + 1) a cos γ. Végezzük el a négyzetre emelést és a zárójelbontást: a + a + = a + a a (a + 1) a cos γ. Összevonás és rendezés után: a a = a (a + 1) cos γ. A bal oldalt felírjuk szorzatalakban: a a = (a + 1)(a ). Mindkét oldalt osztjuk (a+1)-gyel: (a ) = a cos γ vagyis a = cos γ. a Mivel a >, ezért cos γ > 0, amiből következik, hogy γ < 90. Tehát a háromszög hegyesszögű.

4 II. Ismételjünk! 1. Szögfüggvények értelmezése https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/1.pdf https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/1.pdf 1-. oldal -. oldal. Összefüggések a szögfüggvények között https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/1.pdf. oldal. Trigonometrikus egyenletek https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/1.pdf oldal. Szinusz és koszinusz tételek alkalmazása https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/1.pdf 5. oldal

5 III. Gyakorló feladatok 1. Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! a) cos 15 + sin 5 = b) tg 00 + ctg 150 = c) cos sin 75 = d) cos 7π = 6 e) (tg 00π ) = f) sin ( π ) cos ( π ) =. Egyszerűsítse a következő kifejezést! cos( α) cos(180 + α) sin( α) sin(90 + α) =. Írja egyszerűbb alakba a következő kifejezéseket! a) cos(x) + cos(π x) b) cos ( π+x ) c) sin (π x). Állítsa növekvő sorrendbe a x = tg1; y = tg; z = tg mennyiségeket! A szögeket radiánban mérjük. (A) x < y < z (B)y < z < x (C)x < z < y (D) z < y < x (E) y < x < z BME 01. szeptember 7. (15A) 5. Legyen sin α = 0,6. Számítsa ki tgα értékét, ha α [ π ; π]! (A) (B) (C) 0 (D) (E) BME 01. szeptember 1. (15A) 6. Legyen cos α = 5. Mennyi lehet ekkor a sin α, ha α [ π ; 0]? 7. Határozza meg a következő kifejezések legbővebb értelmezési tartományát! a) 1 1 tgx b) sin x 0,5 8. Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) cos x = 1 b) sin (10x + π ) = 9. Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) sin x = sin (x + π ) b) cos (5x π ) = cos (x + π ) c) tgx = tg x 10. Mely valós x értékekre teljesül az egyenlet? 5

6 a) cos x + sin x = 0 b) sin x = tgx c) sin x + 5 cos x = 0 d) sin x cos x = e) sin x + cos x = 11. Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán! cos x + sin x cos x + sin x + sin x = 1 cos x 1. Hány megoldása van a következő egyenletnek a [ π ; π] intervallumon? cos x 1 sin x = 0 ELTE 007. szeptember (földtudományi szak) (A) (B) (C) (D) 1 (E) 0 1. Hány megoldása van sin x 0 egyenlőtlenségnek a [ 10; 10] zárt intervallumon? (A) 1 (B) 7 (C) 6 (D) 0 (E) nincs megoldása 1. Egy torony árnyéka a vízszintes talajon kétszer olyan hosszú, mint a torony magassága. Hány fokos szöget zár be ekkor a nap a vízszintes talajjal? Középszintű érettségi 009. október 15. Egy háromszög két oldalának arány :, az általuk bezárt szög 10, a harmadik oldala c = 8 cm. Mekkorák az ismeretlen oldalak és szögek? 16. Tegyük fel, hogy egy háromszög szögeire fennáll, hogy tgβ sin γ = tgγ sin β. Igazolja, hogy ekkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű. 6

7 IV. Megoldások 1. Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! a) cos 15 + sin 5 = b) tg 00 + ctg150 = c) cos sin 75 = d) cos 7π = 6 e) (tg 00π ) = f) sin ( π ) cos ( π ) a) cos 15 + sin 5 = cos 5 + sin 5 = 0 b) tg 00 + ctg 150 = tg 60 ctg 0 = = c) cos sin 75 = = cos 15 + sin 75 = sin 75 + sin 75 = 0 d) cos 7π 6 = cos (π + π 6 ) = cos (π 6 ) = e) mivel tg 00π = tg ( π + 500π) = tg (π ) = 1, tehát ( ( 1)) = 8 f) sin ( π ) cos ( π ) = ( ) ( 1 ) = 1 = 1 = 1. Egyszerűsítse a következő kifejezést! cos( α) cos(180 + α) sin( α) sin(90 + α) = A szögfüggvények következő tulajdonságait alkalmazzuk: cos( α) = cos α ; sin ( α) = sin α ; cos (180 + α) = cos α ; sin (90 + α) = cos α ; cos α = ctg α. sin α. Írja egyszerűbb alakba a következő kifejezéseket! cos α ( cos α) sin α cos α = ctg α. a) cos x + cos (π x) b) cos ( π+x ) c) sin (π x) a) cos x + cos (π x) = cos x, mivel cos (π x) = cos x b) cos ( π+x ) = cos (π + x) = sin x, az alábbi ábra jól mutatja a (cos x)-nek a ( π )-vel való eltolása, éppen a ( sin x) lesz. 7

8 c) Alkalmazhatjuk a sin(α β) = sin α cos β cos α sin β addíciós tételt: sin ( π x) = sin π cos x cos π sin x = ( 1) cos x 0 sin x = cos x.. Állítsa növekvő sorrendbe a x = tg1; y = tg; z = tg mennyiségeket! A szögeket radiánban mérjük. (A) x < y < z (B) y < z < x (C)x < z < y (D) z < y < x (E) y < x < z BME 01. szeptember 7. (15A) 1 < π < < < π, ezért a tg1 az első negyedben van, tg és tg pedig a második negyedben van. Ebből következik, hogy tg1 > 0; tg < 0; tg < 0. A tg függvény a ] π ; π] intervallumon szigorú monoton nő tg < tg. Tehát: tg < tg < tg1. A helyes válasz a (B). 5. Legyen sin α = 0,6. Számítsa ki tgα értékét, ha α [ π ; π]! (A) (B) (C) 0 (D) (E) BME 01. szeptember 1. (15A) 8

9 Használjuk fel a következő azonosságokat: tg α = sin α cos α ; cos α = 1 sin α! cos α = 1 0,6 = 0,6 cosα = 0,8 mert α [ π ; π]. tgα = 0,6 0,8 =. A helyes válasz: a (D). 6. Legyen cosα = 5. Mennyi lehet ekkor a sin α, ha α [ π ; 0]? sin α = sin α cos α és sin α = 1 cos α, ezért: sin α = 1 ( 5 ) = 16 5 sin α = 5, mert α [ π ; 0] sin α = ( 5 ) 5 = 5 7. Határozza meg a következő kifejezések legbővebb értelmezési tartományát! a) 1 1 tgx b) sinx 0,5 a) A tangens értelmezési tartománya miatt: x π + kπ; k Z. A nevező miatt: 1 tgx 0 tgx 1 x π + kπ; k Z. A kifejezés értelmezési tartománya: x R\ {x = π + kπ; x = π + kπ} ahol k Z. b) A négyzetgyök miatt: sin x 0,5 0 sin x 0,5 Az értelmezési tartomány: {x R π + kπ x 5π + kπ; k Z}

10 8. Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) cos x = 1 b) sin (10x + π ) = a) cos x = 1 cos x = 1 cos x = ± 1 ; cos x = 1 megoldásai: x 1 = π + kπ; x = π + kπ k Z. cos x = 1 megoldásai: x = π + kπ; x = π + kπ k Z. b) A sin (10x + π ) = a szinusz függvény π és 5π nél lesz : I. 10x 1 + π = π + kπ II. 10x + π = 5π + kπ Rendezzük az egyenleteket x-re: 10x 1 = π π + kπ 10x = 5π π + kπ 10x 1 = 7π + kπ 10x 1 = 11π + kπ (10-zel osztva) 1 x 1 = 7π 10 + kπ 5, k Z x = 11π 10 + kπ 5, k Z 10

11 9. Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) sin x = sin (x + π ) b) cos (5x π ) = cos (x + π ) c) tgx = tg x A megoldás során felhasználjuk, hogy ha sin α = sin β akkor α = β + kπ vagy α = π β + kπ, ha cos α = cos β akkor α = β + kπ vagy α = β + kπ, ha tgα = tg β akkor α = β + kπ. a) sin x = sin (x + π ) x = x + π + kπ, rendezve az egyenletet azt kapjuk, hogy x 1 = π + kπ, k Z vagy x = π (x + π ) + kπ. Rendezzük az egyenletet x-re: Tehát az egyenlet megoldásai: x 1 = π + kπ; b) cos (5x π ) x = cos (x + π ) x = π π + kπ x = π + kπ x = π 1 + kπ, k Z. x = π 1 + kπ, k Z. 5x π = x + π + kπ Rendezzük az egyenletet! vagy 5x π = (x + π ) + kπ x = π + π + kπ x = 17π 1 + kπ x 1 = 17π 8 + kπ, k Z 11

12 5x π = x π + kπ 6x = π π + kπ 6x = π 1 + kπ x = π 7 + kπ, k Z. Tehát az egyenlet megoldásai: x 1 = 17π 8 + kπ ; x = π 7 + kπ, k Z. c) tgx = tg x x = x + kπ x = kπ, k Z. Meg kell vizsgálni a két tangens értelmezési tartományát, hogy minden megoldás jó e. Elég megnézni, hogy a cos x és a cos x hol lenne nulla. cos x = 0 x = π + kπ cosx = 0 x = π + kπ Az ábrán jól látható, hogy a pirossal jelzett megoldásoknál ( x = kπ ) egyik koszinusz sem lesz nulla. 10. Mely valós x értékekre teljesül az egyenlet? a) cos x + sin x = 0 b) sin x = tg x c) sin x + 5 cos x = 0 d) sin x cos x = e) sin x + cos x = a) cos x + sin x = 0 Első megoldás: Rendezzük át az egyenletet: sin x = cos x. Oszthatunk cos x-el, mivel cos x = 0 nem megoldása az egyenletünknek, így nem vesztünk gyököt. 1

13 A megoldás: x = π + kπ, k Z. sin x cos x = tgx = Második megoldás: Emeljük az átrendezett egyenletet négyzetre: sin x = cos x Helyettesítsük be a sin x = 1 cos x összefüggést:. 1 cos x = cos x Rendezzük az egyenletet: cos x = 1. A 8.a feladatnál láttuk ennek az egyenletnek a megoldásait: cos x = 1 megoldásai: x 1 = π + kπ; x = π + kπ k Z cos x = 1 megoldásai: x = π + kπ; x = π + kπ k Z. Mivel négyzetre emeltünk és ez nem ekvivalens átalakítás, ezért az eredményt mindenképpen ellenőriznünk kell. Látszik, hogy a megoldás csak azokban a negyedekben lehet, ahol a szinusz és a koszinusz ellentétes előjelű, vagyis a második és a negyedik negyedben. Tehát itt csak az x és az x jó megoldás. Harmadik megoldás: Osszuk el az egyenletet -vel: Észrevehetjük, hogy = sin π Ezeket behelyettesítve: cos x + 1 sin x = 0. 1 és = cos π. sin π cos x + cos π sin x = 0 egyenlethez jutunk. Felhasználva a sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, addíciós tételt: sin π cosx + cos π sinx = sin ( π + x) = 0. Ennek megoldása: π + x = kπ x = π + kπ, k Z. b) sin x = tgx A tangens miatt az egyenlet értelmezési tartománya: x R; és x π + kπ; k Z Felhasználva az azonosságokat: sin x sin x cos x = cos x. Szorozzunk be cos x-el és rendezzük 0-ra az egyenletet! sin x cos x sin x = 0 Emeljük ki a sin x-et! sin x (cos x 1) = 0 Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, így sin x = 0 vagy cos x 1 = 0. 1

14 Ha sin x = 0, akkor x 1 = kπ, ha cos x 1 = 0, akkor cos x = ± 1. Ekkor x = π + kπ; x = π + kπ; x = π + kπ; x 5 = π + kπ, k Z Megjegyzés: Gyakori hiba a sin x-el való leosztás, ami gyökvesztéshez vezet. c) sin x + 5 cos x = 0 Használjuk a sin x = 1 cos x azonosságot! (1 cos x) + 5 cos x = 0 cos x + 5 cos x = 0 cos x + 5 cos x = 0 cos x 5 cos x + = 0 Másodfokú egyenletet kapunk cosx-re nézve. A másodfokú egyenlet megoldóképletének segítségével megkapjuk a két gyököt: 5 ± 5 16 cos x 1, = ahonnan cos x 1 = és cos x = 1. = 5 ±, Mivel 1 cosx 1, ezért a cos x 1 = -nek nincs megoldása. A cos x = 1 megoldásai: x 1 = π + kπ; x = π + kπ, k Z. d) A sin x cos x = egyenletet szorozzuk be -vel: sin x cos x =. Helyettesítsük be a sin x-re vonatkozó azonosságot: sin x =, < 1 és 1 sin x 1, ezért a sin x = -nak nincs megoldása. e) sin x + cos x = Osszuk el az egyenletet -vel! 1 sin x + 1 cos x = 1 Vegyük észre, hogy 1 = cos π ; 1 = sin π. Ezeket behelyettesítve az egyenletbe: cos π sinx + sin π cosx = 1 Tehát az egyenlet megoldása: x = π + kπ, k Z. 11. Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán! cos x + sin x cos x sin (x + π ) = 1 x + π = π + kπ. + sin x + sin x = 1 cos x ELTE 007. szeptember (földtudományi szak) 1

15 Értelmezési tartomány: cos x 0 x R és x π + kπ; k Z cos x + sin x cos x Szorozzuk be az egyenletet cos x-el: + sin x + sin x = 1 cos x cos x + sin x + sin x cos x + sin x cos x = 1. Alkalmazzuk az következő összefüggéseket: cos x + sin x = 1 és sin x = sin x cos x: Emeljük ki a sin x cos x -et: 1 + sin x cos x + sinx cos x = 1 sin x cos x + sin x cos x = 0. sin x cos x(1 + cos x ) = 0. Ez akkor teljesül, ha sin x = 0 vagy (1 + cos x) = 0 vagy cos x = 0, de ez utóbbi nem megoldás az értelmezési tartomány miatt. Ha sin x = 0 x 1 = kπ, ha (1 + cos x) = 0 cos x = 1 x = π + kπ; x = π + kπ, k Z. 1. Hány megoldása van a következő egyenletnek a [ π ; π] intervallumon? cos x 1 sin x = 0 (A) (B) (C) (D) 1 (E) 0 Először vizsgáljuk meg az értelmezési tartományt: sin x 0 sin x sin x ± x 1 π + kπ és x π + kπ, k Z. Egy tört értéke akkor nulla, ha a számlálója nulla és a nevezője nem nulla. Ennek a megoldásai: cos x 1 = 0 cos x = 1. x 1 = π + kπ és x = π + kπ, k Z 15

16 Összevetve az értelmezési tartománnyal megállapíthatjuk, hogy nincs megoldása ennek az egyenletnek. Tehát a helyes válasz az (E). 1. Hány megoldása van sin x 0 egyenlőtlenségnek a [ 10; 10] zárt intervallumon? (A) 1 (B) 7 (C) 6 (D) 0 (E) nincs megoldása A négyzetre emelés miatt sin x 0. A két feltételből következik, hogy sin x = 0 sin x = 0 x = kπ Azt kell még megvizsgálni, hogy ezek a gyökök közül mennyi esik a megadott intervallumba. Mivel π < 10 < π és π < 10 < π, a következő ábrán jól látható, hogy 7 megoldása ( π; π; π; 0; π; π; π) van az egyenlőtlenségnek ezen az intervallumon. Tehát a helyes válasz a (B). 1. Egy torony árnyéka a vízszintes talajon kétszer olyan hosszú, mint a torony magassága. Hány fokos szöget zár be ekkor a nap a vízszintes talajjal? A hosszabb befogó legyen: x, a rövidebb x. A derékszögű háromszögre felírhatjuk, hogy tgα = x x, és x-el egyszerűsítve kapjuk, hogy tgα = 1, ahonnan az α = 6,57. Középszintű érettségi 009. október 16

17 15. Egy háromszög két oldalának arány :, az általuk bezárt szög 10, a harmadik oldala c=8 cm. Mekkorák az ismeretlen oldalak és szögek? Legyenek az oldalak a, b és c. Ekkor a = x és b = x és γ = 10. A két oldal és a közbezárt szög segítségével felírhatjuk a koszinusz tételt: Helyettesítsünk be: Végezzük el a műveleteket: c = a + b abcosγ. 8 = (x) + (x) (x) (x) cos = 9x + x 1x ( 1 ) 1 = 9x + x + 6x 1 = 19x 76 = x x = 76, (x > 0). Tehát az a = 76 6,15 (cm) és a b = 76 17,(cm). A hiányzó szöget kiszámolhatjuk a szinusztétel segítségével (α biztos, hogy hegyesszög, mert γ tompaszög): sin α sin 10 = 76 8 sin α = 0,6 α = 6,6. A háromszög szögeinek összege 180, így β = ,6 =,. Tehát a háromszög hiányzó adatai: a = 76 cm 6,15 cm; b = 76 cm 17,; α = 6,6 ; β =,. 16. Tegyük fel, hogy egy háromszög szögeire fennáll, hogy tgβ sin γ = tgγ sin β. Igazolja, hogy ekkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű. Mivel létezik a tgβ és tgγ, ezért sem β, sem γ nem lehet 90. A szögfüggvények közötti összefüggéseket használva, felírhatjuk: sin β cos β sin γ sin γ = cos γ sin β. Oszthatunk sinβ-val és sin γ-val, mivel ezek nem lehetnek nullák: Szorozzunk be a nevezőkkel: Szorozzuk meg mindkét oldalt -vel: sin γ sin β = cos β cos γ. sin γ cos γ = sin β cos β. sin γ cos γ = sin β cos β. 17

18 sin γ cos γ = sin γ és sin β cos β = sin β ezért: sin γ = sin β. Ez akkor teljesül, ha γ = β, amiből következik, hogy γ = β vagyis a háromszög egyenlő szárú, VAGY, ha γ = 180 β Rendezzük ezt az egyenletet: γ + β = 180 (γ + β) = 180 γ + β = 90 α = 90, tehát a háromszög ebben az esetben derékszögű. 18

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek. Készítette: Darabos Noémi Ágnes

8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek. Készítette: Darabos Noémi Ágnes 8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Készítette: Darabos Noémi Ágnes Matematika A. évfolyam 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI

TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI http://zanza.tv/matematika/geometria/thalesz-tetele http://zanza.tv/matematika/geometria/pitagorasz-tetel http://zanza.tv/matematika/geometria/nevezetes-tetelek-derekszogu-haromszogben

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Ábrahám Gábor: A Jensen-egyenlőtlenség. Megoldások. Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Ábrahám Gábor: A Jensen-egyenlőtlenség. Megoldások. Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) I. Geometriai egyenlőtlenségek, szélsőérték feladatok 1. Mivel az [ ] f :0; π ; xa sin xfolytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni,

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember. Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható nálható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók a szürke

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2. 1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 12. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 12. évfolyam 01/01 1. évfolyam 1. Egy röplabda bajnokságban minden csapat pontosan egyszer játszik a többi csapat mindegyikével. A bajnokságból még két forduló van hátra és eddig 104 mérkőzést játszottak le. Hány csapat

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

Végeredmények, feladatok részletes megoldása

Végeredmények, feladatok részletes megoldása Végeredmények, feladatok részletes megoldása I. Kombinatorika, gráfok Sorba rendezési problémák (Ismétlés). Részhalmaz-kiválasztási problémák, vegyes összeszámlálási feladatok (Ismétlés). Binomiális együtthatók,

Részletesebben

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont I. 1. A páros számokat tartalmazó részhalmazok: 6 ; 8 ; 6 ; 8. { } { } { }. 5 ( a ) 17 Összesen: t = = a a Összesen: ot kaphat a vizsgázó, ha csak két helyes részhalmazt ír fel. Szintén jár, ha a helyes

Részletesebben

MATEMATIKA 10. osztály (Elnézést a tegezésért, gyerekeknek készült eredetileg. ) I. GYÖKVONÁS. x j)

MATEMATIKA 10. osztály (Elnézést a tegezésért, gyerekeknek készült eredetileg. ) I. GYÖKVONÁS. x j) MATEMATIKA 10. osztály (Elnézést a tegezésért, gyerekeknek készült eredetileg. ) I. GYÖKVONÁS Négyzetgyök 1. Számítsd ki számológép nélkül a pontos értékét: a) 0 4 1 7 8 6 7 d) 00 18. Melyik a nagyobb?

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 10. Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: É rettségi feladatgyűjtemény matematikából

Részletesebben

= 0. 1 pont. Összesen: 12 pont

= 0. 1 pont. Összesen: 12 pont 1. Egy számtani sorozat páros sorszámú, illetve páratlan sorszámú tagjai is számtani sorozatot alkotnak. Páratlan sorszámú tag összesen 11 darab van, páros sorszámú pedig 10. A feladat feltétele szerint:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Fa rudak forgatása II.

Fa rudak forgatása II. Fa rudak forgatása II. Dolgozatunk I. részében egy speciális esetre oldottuk meg a kitűzött feladatokat. Most egy általánosabb elrendezés vizsgálatát végezzük el. A számítás a korábbi úton halad, ügyelve

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22. osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Tamás Ferenc: Nevezetes szögek szögfüggvényei

Tamás Ferenc: Nevezetes szögek szögfüggvényei Tamás Ferenc: Nevezetes szögek szögfüggvényei A derékszögű háromszögekben könnyedén fel lehet írni a nevezetes szögek szögfüggvényeit. Megjegyezni viszont nem feltétlenül könnyű! Erre van egy könnyen megjegyezhető

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

Tétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180

Tétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180 Tétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180 Bizonyítás: legyenek az ABC háromszög belső szögei α, β, γ. Húzzunk a C csúcson át párhuzamost AB-vel. A C csúcsnál keletkezett egyenesszöget a háromszög

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

XXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12.

XXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12. XXIV. NEMZETKÖZI MGYR MTEMTIKVERSENY Szabadka, 05. április 8-. IX. évfolyam. Egy -as négyzetháló négyzeteibe a bal felső mezőből indulva soronként sorra beirjuk az,,3,,400 pozitív egész számokat. Ezután

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

Matematika. Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója

Matematika. Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója Matematika Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján végezze, a következők figyelembevételével. Formai kérések: Kérjük, hogy piros tollal

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2013. április 8. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. Jelöljük x-szel az adott hónapban megkezdett 100 kb-s csomagok számát. Az első szolgáltatónál

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója SZAKKÖZÉPISKOLA A 006-007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója. Feladat: Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 3-at, -et, 3-at adva

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÁSA: MATEMATIKA, KÖZÉP SZINT. 3, ahonnan 2 x = 3, tehát. x =. 2

PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÁSA: MATEMATIKA, KÖZÉP SZINT. 3, ahonnan 2 x = 3, tehát. x =. 2 FELADATSOR MEGOLDÁSA I. rész 1.1.) a) igaz b) hamis. 1..) A helyes megoldás: b) R = r 1..) x = 7 = ahonnan x = tehát x =. 1.4.) Az oszlopdiagramból kiolvasható hogy a két üzem termelése között a legnagyobb

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika PRÉ megoldókulcs 013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Adott A( 1; 3 ) és B( ; ) 7 9 pont. Határozza meg

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

1. Feladatsor. I. rész

1. Feladatsor. I. rész . feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható

Részletesebben

1. Bevezetés a trigonometriába

1. Bevezetés a trigonometriába 1. Bevezetés a trigonometriába Ha egy háromszöget nagyítunk vagy kicsinyítünk, a szögei nem változnak. Az aránytartás következtében a megfelelőoldalak aránya szintén állandó. Ebből arra következtethetünk,

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben