Matematika 11. osztály
|
|
- Jenő Sipos
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály II. rész: Trigonometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018
2 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék II. rész: Trigonometria Vektor fogalma, vektorműveletek Vektorfelbontás, vektorkoordináták Vektorok skaláris szorzása, tulajdonságai Két vektor skaláris szorzása vektorkoordinátákkal Vektorok skaláris szorzata feladatokban Vegyes feladatok Háromszög területe oldallal és a közbezárt szöggel Szinusztétel Feladatok A koszinusztétel Feladatok koszinusztételre Vegyes feladatok szinusz- és koszinusztételre Vegyes feladatok szinusz- és koszinusztételre Vegyes feladatok Addíciós tételek Trigonometrikus egyenletek Trigonometrikus egyenletek Trigonometrikus egyenletek Trigonometrikus egyenletek gyakorlása Trigonometrikus egyenletek gyakorlása
3 Tartalomjegyzék Trigonometrikus függvények Trigonometrikus függvények Összefoglalás Dolgozat írása
4 óra. Vektor fogalma, vektorműveletek 45. óra Vektor fogalma, vektorműveletek Def Helyvektor). Origóból indított és a sík egy pontjában végződő irányított szakasz. Def Szabad vektor). Irányított szakaszok ekvivalencia osztálya, képviselőik azonos irányításúak és azonos nagyságúak. A kezdőpontjuk bárhova választható. Jele: a, a Def Abszolút érték). A vektort jelképező irányított szakasz hossza. Jele: a Def Két vektor összeadása sorba fűzéssel). Az első vektor végpontjába felmérjük a második vektor kezdőpontját. Az első kezdőpontjából a második végpontjába mutat az összegük. Jele: a + b Def Paralelogramma-módszer). Közös kezdőpontból felmérjük mindkét vektort és paralelogrammát szerkesztünk. Ennek a közös pontból induló átlója a két vektor összege. Def Kivonás). Két vektor különbsége a kivonandó végpontjából a kisebbítendő végpontjába mutató vektor. Jele: a b Def Vektor szorzása skalárral:). Adott a vektor és a λ R skalár. Szorzatuk vektor, amelynek abszolútértéke λ a, és λ > 0 esetén iránya a irányú, λ < 0 esetén az a vektor irányával ellentétes, λ = 0 esetén az iránya tetszőleges. Állítás. A vektorok műveleteinek azonosságai: 1. Kommutativitás: a + b = b + a. Asszociativitás: a + b) + c = a + a + b) 3. Disztributivitás: λ a + b) = λ a + λ b és λ a + b) = λ a + λ b 1. Feladat. Adott a 5; ) és b 4; 1) vektor. Számítsuk ki az alábbi műveleteket! a) a c) a e) a + b g) 10 a + b b) a b d) 3 b f) 3 a 4 b h) 0.5 a b 45. Házi feladat. Befejezni az előző példát. 45. Szorgalmi. Egy kocka élvektoraival fejezzük ki a lapátló és a testátló vektorait!
5 46. óra. Vektorfelbontás, vektorkoordináták óra Vektorfelbontás, vektorkoordináták Def Bázis). A sík két nem párhuzamos és nem nulla vektorát bázisnak nevezzük 1. Megjegyzés. Merőleges, egységnyi hosszúságú bázisok a Descartes-féle koordináta rendszerben: az origóból az 1; 0) pontba, illetve a 0; 1)-be mutató vektorok: i és j Tétel Vektorfelbontás). Adott i, j bázis esetén a sík bármely v vektora felírható a bázisvektorok lineáris kombinációjakén, azaz v = x i + y j alakban, ahol x, y R. Tétel Felezőpont). AB szakasz F felezőpontjába mutató vektor: OF = OA + OB Tétel Osztó). Az AB szakasz AP : P B = p : q arányú osztópontjába mutató vektor 3 : OP = q OA + p OB p + q. Feladat. Határozzuk meg a 4; 0) és a 0; 4) pontok felezőpontját! 3. Feladat. Számítsuk ki a 3; 5) és 7; 9) előbbihez közelebbi 3 : 5 arányú osztópontját! 46. Házi feladat. Határozzuk meg a 4; 0) és a 0; 4) pontok negyedelőpontjait! 46. Szorgalmi. Adjuk meg 3; 0.5) és 4; ) 7 : 6 pontok arányú osztópontjait! 1 Térben három, nem egy síkba eső vektor lehet egy bázis. Az egységnyi hosszúságú bázist normált bázisnak hívjuk. Ha ezen felül merőlegesek is a bázisvektorok egymásra, akkor ortonormált bázisról beszélünk. 3 Ezt úgy könnyű elképzelni, mintha a szakasz egy mérleghinta lenne. Ha az A közelében van a forgástengely, akkor A-re kell több súlyt elhelyezni, hogy egyensúly legyen.
6 óra. Vektorok skaláris szorzása, tulajdonságai 47. óra Vektorok skaláris szorzása, tulajdonságai Def. A v és a w vektorok, ha α szöget zárnak be, akkor skaláris szorzatuk a következő: v w = v w cos α Állítás. A vektorok skaláris szorzatának tulajdonságai: 1. Kommutativitás: a b = b a. Disztributivitás a vektorösszeadásra: a b + c) = a b + a c 3. Skalárral való szorzással való kapcsolat: λ 1 a) λ b) = λ1 λ a b) 4. Önmagával vett skaláris szorzat: a a = a 4. Feladat. Egy nagy dobozt 5 méterrel toltunk el előre, közben végig 50 N nagyságú erőt fejtettünk ki a haladás irányába. Mekkora az általunk végzett munka? 5. Feladat. János egy szánkót húz, közben testvére a szánkón ül. Összesen 5 métert halad előre a szánkó és János végig 50 N erőt fejt ki. A szánkóra kötött kötél 60 fokos szöget zár be a talajjal. Mekkora munkát végez János? Tétel. Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor nulla, ha merőlegesek egymásra: a b = 0 a b 6. Feladat. Határozzuk meg a két vektor bezárt szögét, ha tudjuk, hogy: a) a = 3; b = 4, és a b = 6 3 b) a = ; b = 3, és a b = 3 c) a = ; b = 3, és a b = 0 d) a = 0, 5; b = 1, és a b 3 = 47. Házi feladat. Egy vektor hossza 5 egység és skalárisan szoroztuk egy vele 4 fokot bezáró vektorral és az eredmény 10 lett. Mekkora abszolút értékű vektorral szoroztunk? 47. Szorgalmi. Határozzuk meg e 1 és e egységvektorok szögét, ha tudjuk, hogy az összegük vektora és a különbségük vektora ortogonális.
7 48. óra. Két vektor skaláris szorzása vektorkoordinátákkal óra Két vektor skaláris szorzása vektorkoordinátákkal 7. Feladat. Határozzuk meg az 5; 0) és 4; 4) vektorok skaláris szorzatát! Def. A v v 1 ; v ) és w w 1 ; w ) pontba mutató vektorok skaláris szorzata: v w = v 1 w 1 + v w Tétel. Az a és b vektorok által bezár α szögre fennáll az alábbi: α = arccos ) a b a b 8. Feladat. Határozzuk meg az v 4; 5) és w ; 3) vektorok szögét! 9. Feladat. Igaz-e, hogy a vektorok skaláris szorzata asszociatív? 10. Feladat. Ellenőrizzük a vektorok skaláris szorzatának azonosságait a 3; 1) és ; 4) valamint 1; ) helyvektorokkal, illetve a és 3 skalárokkal! 48. Házi feladat. Határozzuk meg a v 0, 5; 0, 75) és a w 6; 40) vektorok szögét! 48. Szorgalmi. Igazoljuk konkrét vektorokkal, hogy a skaláris szorzat bilineáris! a λ b + c) = λ a b) + a c)
8 óra. Vektorok skaláris szorzata feladatokban 49. óra Vektorok skaláris szorzata feladatokban 11. Feladat. Adott a következő három helyvektor: u ; 1), v 4; ) és w 3; 1). Számítsuk ki az alábbi skaláris szorzatokat és a vektorok által bezárt szögeket! a) u v = b) w u w v = c) u 3 v) w = 1. Feladat. Adott az a 4; ) és a b 3; y) vektor. Adjuk meg y értékét úgy, hogy a két vektor merőleges legyen egymásra! Milyen y értékekre lesz a két vektor hajlásszöge hegyesszög és milyen értékeknél lesz tompaszög? 13. Feladat. Add meg azokat a vektorokat, melyek merőleges a v 5; 0) vektorra! Tétel. Az a x; y) vektor mindig merőleges a b y; x) vektorra. Bizonyítás. Végezzük el a két vektor között a skaláris szorzást: x; y) y; x) = x y) + y x = 0 A skalárszorzat eredménye nulla, vagyis a vektorok merőlegesek. 14. Feladat. Számítsuk ki a háromszög szögeit, ha pontjainak koordinátái: A 4, 3); B 5, 1); C 1, 3) 49. Házi feladat. Adjuk meg a következő vektorok hajlásszögét! a ) 1 5 ; 3 és b 7 ; Szorgalmi. Adott a 3; ) és b 4; 1) vektor. Mi lehet c, ha a c = 7 és b c = 1? )
9 50. óra. Vegyes feladatok óra Vegyes feladatok 15. Feladat. Szabályos ABCDEF hatszög A csúcsából a szomszédos csúcsokba mutató vektorok legyenek a és b. Fejezzük ki ezekkel a többi csúcsba mutató vektorokat! 16. Feladat. Mekkora szöget zár be a és b vektor, ha a = 3 és b = 4, valamint a) a + b = 7 b) a + b = 1 c) a + b 17. Feladat. Adott a v vektor. Szerkesszük meg az alábbi vektorokat! = 5 a) v b) 3 v c) 3 4 v 18. Feladat. Két vektor merőleges egymásra, hosszuk 5 és 1 cm. Számítsuk ki az összegük ill. különbségük vektorainak abszolút értékét! 19. Feladat. Adott az a 5; 0.5) és a b 4; y) vektor. Milyen y értékekre lesz a két vektor hajlásszöge hegyesszög és milyen értékeknél lesz tompaszög? 0. Feladat. Határozzuk meg a a 6; 8) vektorral párhuzamos, egységnyi hosszúságú vektor koordinátáit! 1. Feladat. Számítsuk ki az A 6; 1), B ; 5), C ; 3) pontok által meghatározott háromszög súlypontját és a háromszög szögeit és oldalainak hosszúságát!. Feladat. Határozzuk meg a v 1; ; 3) és a w 4; 0; 3) vektorok hajlásszögét! 50. Házi feladat. 15 cm oldalhosszúságú szabályos ABCDEF hatszög A csúcsából a szomszédos csúcsokba mutató vektorok legyenek a és b. Mekkora a + b és a b hossza? 50. Szorgalmi. Egy kocka élvektoraival fejezzük ki a lapátló és a testátló vektorait!
10 óra. Háromszög területe oldallal és a közbezárt szöggel 51. óra Háromszög területe oldallal és a közbezárt szöggel Def. Téglalap területe a két szomszédos oldal hosszának szorzata. Def. Derékszögű háromszög területe a két befogó hosszának szorzatának fele. Def. Háromszög területe az alap és a hozzá tartozó magasság szorzatának fele. T = a m a = T = a b sin γ 3. Feladat. Számítsuk ki a háromszög területét, ha az egyik oldala 6 egység, másik oldala 5 egység hosszúságú és a két oldal által bezárt szög 9 fokos! 4. Feladat. Egy háromszög egyik oldala 5 egység, másik oldala 4 egység hosszúságú és területe 5 területegység. Mekkora a két oldal által bezárt szög? 5. Feladat. Egy háromszög területe 1 területegység, egyik oldala 7 egység és 66 fokos szöget zár be az egyik oldallal. Mekkora ennek az oldalnak a hosszúsága? 6. Feladat. Határozd meg a háromszög területét, ha az egyes csúcsainak koordinátái: A 6; 1) B ; 5) C ; 3) A ; 0) B 4; 6) C 3; 7) 51. Házi feladat. Egy háromszög egyik oldala 7 egység, másik oldala 3 egység hosszúságú és területe 10 területegység. Mekkora a két oldal által bezárt szög? 51. Szorgalmi. Határozd meg a paraleogramma területét, melynek egyik oldala 10 cm, másik oldala 6 cm és a közbezárt szög 45 fok!
11 5. óra. Szinusztétel óra Szinusztétel Tétel. Minden háromszögben két oldal hosszának aránya a velük szemközti szögek szinuszainak arányával egyenlő. Bizonyítás. A háromszög területe kétféleképpen kifejezhető, és az így kapott két összefüggést úgy, mint egyenletet egyszerűsítjük és átrendezzük: T = a c sin β = b c sin α = a b = sin α sin β Megjegyzés. Háromszögben az oldal és a szemközti szög szinuszának hányadosa állandó: a sin α = b sin β = c sin γ 7. Feladat. Mekkora a háromszög területe, ha a = 3, α = 30 és β = 70? 8,33) 8. Feladat. Egy háromszög oldala 10 cm és a rajta fekvő szögek 40 és 60. Mekkora a háromszög területe? 8,6 cm ) 9. Feladat. A háromszög egyik oldala 3 egység, a másik oldala 4 egység hosszúságú. Az előbbivel szemközti szög nagysága 45. Mekkora a két másik szög és az oldal? egyik megoldás: 70,53, 64,47, 3,83 másik: 109,47, 5,53, 1,83) 5. Házi feladat. Mekkorák a háromszög oldalai, ha kerülete 14 cm, két szöge 43,8 és 64,7 nagyságú? 5. Szorgalmi. Egy háromszög szögeinek aránya :3:4, és a kerülete 18 cm. Mekkorák a háromszög oldalai?
12 óra. Feladatok 53. óra Feladatok 30. Feladat. Egy háromszög két oldala 10 cm és 8 cm. A rövidebb megadott oldallal szemközti szög 33. Mekkorák a háromszög ismeretlen szögei és oldala? 4,91 ; 104,09 és 14,5 cm másik megoldás: 9,91 ; 137,09 és,53 cm) 31. Feladat. Egy háromszögben két oldal hosszúságának különbsége 7,5 cm és ezen oldalakkal szemben 34,7 -os, illetve 76, -os szög van. Mekkorák a háromszög oldalai? 9,9164; 13,748; 16,91) 3. Feladat. Egy 50 N nagyságú erőt bontsunk fel két olyan összetevőre, amelyek 54 -os illetve 18 -os szöget alkotnak vele! 1,66 N, 81,3 N) 33. Feladat. Egy 84 cm területű háromszög egyik szöge 67,38, egy másik szöge 53,13. Mekkorák az oldalai? 15, 13, 14) 53. Házi feladat. Egy szabályos 10 cm oldalú háromszög egyik szögét két egyenessel három egyenlő részre osztottuk. Mekkora részekre osztják szét ezen egyenesek a szöggel szemközti oldalt? 53. Szorgalmi. Bizonyítsd be, hogy egy háromszög területére felírható az alábbi összefüggés és írd fel a másik oldalakat tartalmazó hasonló alakú képleteket is! T = a sin β sin γ sin α
13 54. óra. A koszinusztétel óra A koszinusztétel Tétel. A háromszög oldalainak és egyik szögének összefüggései: c = a + b a b cos γ b = a + c a c cos β a = b + c b c cos α Bizonyítás. Legyen CA = b, CB = a, és AB = c. Ekkor c = b a négyzetre emelve: ) c = b a = b b a + a A vektor önmagával vett skalárszorzata a hossznégyzet, valamint megjelent a képletben az a és b skaláris szorzata. A tétel a másik két szögre is felírható és ugyanígy belátható. 34. Feladat. Egy teste két erő hat, az egyik 4 N, a másik 18 N nagyságú. Mekkora a testre ható eredő erő, ha tudjuk, hogy két vektor által bezárt szög 87 54? 35. Feladat. Két hajó 110 -ot bezáróan indul el a kikötőből. Az egyik sebessége 18 km/h, a másiké 48 km/h. Milyen messze vannak egymástól 3 óra 40 perc múlva? 36. Feladat. Számítsd ki a háromszög szögeit, ha oldalai 6; 9; 1 egység hosszúságúak! 37. Feladat. Mekkorák a háromszög szögei, ha az oldalai: 1,5 dm; 63 cm; 0,98 m? 54. Házi feladat. Mekkorák a háromszög szögei, ha az oldalai: 51 dm; 40 cm; m? 54. Szorgalmi. Bizonyítsd be a koszinusztételt geometriai úton! 1 1 Ötlet: a háromszöget bontsd fel két derékszögű háromszögre!
14 óra. Feladatok koszinusztételre 55. óra Feladatok koszinusztételre 38. Feladat. Egy R sugarú körben egy 1 cm hosszúságú húr 4 -os szöget zár be a kör 15 cm hosszúságú húrjával. Mekkora a kör sugara? 39. Feladat. Egy háromszög területe 96 cm, egyik oldala 1 cm, a rajta fekvő egyik szög 30. Mekkorák a háromszög további oldalai és szögei? 40. Feladat. Egy háromszög területe 30,64cm, egyik oldala 8 cm, másik 10 cm hosszúságú. Mekkorák a háromszög további oldalai és szögei? 55. Házi feladat. Falióra kismutatója 10 cm, nagymutatója 14 cm hosszúságú. Milyen távol van egymástól a két mutató végpontja 10 órakor? 55. Szorgalmi. Húrnégyszög oldalai rendre 40cm, 5cm, 68cm és 60cm hosszúak. Mekkorák a szögei?
15 56. óra. Vegyes feladatok szinusz- és koszinusztételre óra Vegyes feladatok szinusz- és koszinusztételre 41. Feladat. Egy szimmetrikus trapéz hosszabbik alapja 8 cm és ez es szöget zár be a trapéz 1,6 cm hosszú átlójával. Mekkorák az ismeretlen oldalak és szögek? 4. Feladat. Egy háromszög két oldalának hossza 14,8 cm és 8, cm. A harmadik oldalhoz tartozó súlyvonal hossza 10,4 cm. Határozzuk meg a harmadik oldal hosszát! 43. Feladat. Egy paralelogramma egyik oldala 4 cm, másik oldala 7 cm hosszúságú és két átló hossza közötti különbség cm. Mekkorák az átlók? 44. Feladat. Egy síktükörtől az A pont 38 cm-re van, míg a B pont 65 cm-re. Az A pontból kiinduló fénysugár es beesési szögben érkezik a síktükörre, majd a visszaverődés után B pontba jut. Mekkora az AB távolság? 45. Feladat. Egy 00 méter magas toronyból A pont es lehajlási szög alatt látszik, míg B pontnál ez A lehajlási szögek mérése során vízszintesen es szöggel kellett elforgani a távcsövet. Mekkora az A és B távolsága? 56. Házi feladat. Egy paralelogramma területe 457,6 cm, egyik oldala 14, cm, egyik szöge Számítsuk ki a másik oldalt és a hosszabbik átlót! 56. Szorgalmi. Milyen hosszúak az óramutatók, ha végpontjaik órakor 13 cm-re, míg 9 órakor 17 cm-re vannak egymástól?
16 óra. Vegyes feladatok szinusz- és koszinusztételre 57. óra Vegyes feladatok szinusz- és koszinusztételre 46. Feladat. Egy háromszög oldalai 6 és 7 egység hosszúak. A rövidebbel szemközti szög 40. Mekkora a beírt kör sugara? 47. Feladat. Egy háromszög egyik oldala 50 cm és a rajta fekvő szöveg 75 és 70 fokosak. Mekkora a megadott oldalhoz tartozó súlyvonal hossza? 48. Feladat. Egy háromszög két oldalának összege 1 cm és 30 -os szöget zárnak be. A háromszög területe 8 cm. Mekkorák a háromszög oldalai? 49. Feladat. Egy háromszög két oldalának aránya 3 : 5 és az általuk bezárt szög 4,7. A háromszög területe 50,4 cm. Mekkorák a háromszög oldalai? 50. Feladat. Egy háromszög területe 4 cm. Két oldala 7,3 cm és 1,8 cm. Mekkora a harmadik oldala? Mekkorák a szögei? 57. Házi feladat. Egy háromszög területe 58 dm. Egyik oldala 8,7 dm és az ezen az oldalon lévő egyik szöge 4,15. Mekkorák a háromszög ismeretlen oldalai és szögei? 57. Szorgalmi. Egy paralelogramma átlóinak hossza e és f, az átlók által bezárt szög nagysága ϕ. Igazold, hogy a paralelogramma területe: T = e f sin ϕ
17 58. óra. Vegyes feladatok óra Vegyes feladatok 51. Feladat. Az ABC hegyesszögű háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, a BCA szög pedig 40. Az AB oldal felezőpontja legyen E, a BC oldal felezőpontja legyen D. a) Számítsd ki a BC oldalhoz tartozó magasság hosszát! 7,7 cm) b) Számítsd ki az AB oldal hosszát! 9,1 cm) c) Határozd meg az AEDC négyszög területét! 40,5 cm ) 5. Feladat. Egy háromszög egyik oldalának hossza 6 cm. Az ezeken nyugvó két szög 50 és 60. A háromszög beírt körének középpontját tükröztük a háromszög oldalaira. E három pont a háromszög csúcsaival együtt egy konvex hatszöget alkot. a) Mekkorák a hatszög szögei? 115 ; 10 ; 15 ; 115 ; 10 ; 15 ;) b) Számítsd ki a hatszög azon két oldalának hosszát, amely a háromszög 60 -os szögének csúcsából indul! 3,1 cm mindkettő) c) Hány négyzetcentiméter a hatszög területe? 5,4 cm ) 53. Feladat. Egy ABC háromszögben a D pont felezi az AB oldalt. A háromszögben ismert: AB = 48 mm, CD = 41 mm, CDA = 47 a) Számítsd ki az ABC háromszög területét! 70 mm ) b) Számítsd ki háromszög BC oldalának hosszát 60 mm) c) Számítsd ki a háromszög B csúcsánál lévő belső szög nagyságát! 30 ) 58. Házi feladat. Az ABC háromszög körülírt körének sugara 6 cm, BAC = 60 a) Számítsd ki a BC oldal hosszát! b) Hány fokos a háromszög másik két szöge, ha az AC oldal b cm, az AB oldal 3b cm hosszúságú? A keresett értékeket egy tizedesjegyre kerekítve add meg! 58. Szorgalmi. Az ABC háromszögben AB=, AC=1, a BC oldal hossza pedig megegyezik az A csúcsból induló súlyvonal hosszával. Mekkora a BC oldal és a terület?
18 óra. Addíciós tételek 59. óra Addíciós tételek Állítás. A szögfüggvények periodikusak, így minden k Z esetén: sinx) = sinx + kπ) cosx) = cosx + kπ) tgx) = tgx + kπ) ctgx) = ctgx + kπ) Állítás. A szögfüggvények fontosabb szimmetriái a következők: sin x) = sinx) sin π x) = cosx) sin π x) = + sinx) cos x) = + cosx) cos π x) = sinx) cos π x) = cosx) tg x) = tgx) tg π x) = ctgx) tg π x) = tgx) ctg x) = ctgx) ctg π x) = tgx) ctg π x) = ctgx) Tétel. A trigonometria alaptétele: cos α + sin α = 1 Tétel. Az addíciós összefüggések összegre vonatkozóan: a) cosx y) = cosx) cosy) + sinx) siny) b) cosx + y) = cosx) cosy) sinx) siny) c) sinx + y) = sinx) cosy) + cosx) siny) d) sinx y) = sinx) cosy) cosx) siny) 54. Feladat. Írd fel a cos x és a sin x addíciós összefüggését! 55. Feladat. Az addíciós tételek segítségével számold ki a 75 és a 15 koszinuszának illetve szinuszának pontos értékét! 59. Házi feladat. Hozzuk egyszerűbb alakra az alábbi kifejezéseket! a) sinπ α) + sinπ + α) π ) π ) b) cos 3 α + cos 3 + α 59. Szorgalmi. Igazold, hogy x R -re teljesül: sin x = sin x cos x
19 60. óra. Trigonometrikus egyenletek óra Trigonometrikus egyenletek 56. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! a) sin x = 1 e) cos x = 1 b) sin x = 0, 5 f) cos x = 0, 5 c) sin x = 1 g) cos x = 1 d) sin x = 0, 5 h) cos x = 0, Feladat. Adjuk meg az alábbi egyenletek megoldását fokban és radiánban is! a) sin x + π ) = 3 3 b) cos 3x π ) = Házi feladat. Oldd meg az alábbi egyenletet! π ) a) sin 3 x 1 = 0 b) cos 4x π ) = 3 3 x c) sin 3 π ) = Szorgalmi. Oldd meg az alábbi egyenletet! tg x + π ) 3 = 0 4
20 óra. Trigonometrikus egyenletek 61. óra Trigonometrikus egyenletek 58. Feladat. Oldd meg az alábbi egyenleteket a [ 4π; 4π] intervallumon! a) sin 3x = sin x b) cos x = cos 4x c) tg 5x = tg x d) sin x π ) = sin x + π ) 4 3 e) cos x π ) = cos x π ) Házi feladat. Oldd meg az alábbi egyenletet! sin x π ) = sin x Feladat. Oldd meg az alábbi egyenletet! tg x = cos x
21 6. óra. Trigonometrikus egyenletek óra Trigonometrikus egyenletek 60. Feladat. Használd a másodfokú egyenletet megoldóképletét! a) sin x + 11 sin x 6 = 0 b) cos x + 11 cos x 6 = 0 c) cos x = 5 cos x + 3 d) sin x = 3 cos x + sin x 6. Házi feladat. Oldd meg az alábbi egyenletet! sin x = 7 sin x Szorgalmi. Oldd meg az alábbi egyenletet! cos x + 3 sin x = 3
22 . 63. óra. Trigonometrikus egyenletek gyakorlása 63. óra Trigonometrikus egyenletek gyakorlása 61. Feladat. Oldd meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! ) π a) cos x + 4 cos x = 3 sin x 3 + kπ; 5π 3 + kπ; k Z b) cos x = 4 5 sin x ) π 6 + kπ; 5π 6 + kπ; k Z c) sin x = sin x + 3 ) 3π + kπ; k Z d) sin x π ) = 1 6 ) π 3 + kπ; kπ; π + kπ; 4π 3 + kπ; k Z 63. Házi feladat. Add meg a következő egyenleteket [0; π] intervallumon! a) sin α = 1 c) sin α = b) cos α = 0, 5 d) cos x + 3 cos x = 0 6. Szorgalmi. Oldd meg a valós számok halmazán! cos x = sin x
23 64. óra. Trigonometrikus egyenletek gyakorlása óra Trigonometrikus egyenletek gyakorlása 6. Feladat. Add meg az összes olyan forgásszöget fokokban mérve, amelyre az alábbi kifejezés nem értelmezhető: k = 5 cos x 90 + n 180 ; n Z) 63. Feladat. Oldd meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) 1 sin x = cos x x = π ) 6 + k π; k Z b) 1 sin x cos x = 1 x 0, k π; k Z) c) ctgx sin x = 3 π 6 + kπ; π 6 + kπ; k Z ) d) cos x π ) = sin x 3 5π ) 3 kπ; π 3 + 4kπ; k Z 64. Házi feladat. Oldd meg az alábbi feladatot! 3 sin x = 4 cos x 63. Szorgalmi. Oldd meg az alábbi feladatot! 1 cos x sin x = 1
24 óra. Trigonometrikus függvények 65. óra Trigonometrikus függvények 64. Feladat. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) fx) : R R; x sinx π) b) gx) : R R; x cos x π ) c) hx) : R R; x 1 cosx) + 1 d) ix) : ]0; π[ R; x tg x π ) e) jx) : ] π ; π [ R; x ctg x + π ) 65. Házi feladat. Ábrázold és jellemezd az alábbi függvényt! kx) : R R; x 1 sinx) Szorgalmi. Adott a gx) = ctg x függvény. Mennyi a következő kifejezés értéke? π ) π ) g + g 6 4
25 66. óra. Trigonometrikus függvények óra Trigonometrikus függvények 65. Feladat. Oldd meg az alábbi egyenleteket grafikus és algebrai úton! a) sin x + π ) 3 = 3 b) tg π ) 6 x = 3 c) cos x = 1 d) sin x ) = Házi feladat. Ábrázold és jellemezd az alábbi függvényt! kx) : R R; x 1 cosx) Szorgalmi. Adott a hx) = tg x függvény. Mennyi a következő kifejezés értéke? π ) π ) g + g 6
26 óra. Összefoglalás 67. óra Összefoglalás 66. Feladat. Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) cos 4x π ) = 3 5π 1 + kπ ; π 3 + kπ ) ; k Z b) sin x 3π 4 ) = π 4 + k π; k π; k Z ) c) tg x + π ) = π 4 + kπ ; 5π 1 + kπ ) ; k Z d) sin x + 5 cos x 4 = 0 ) π 3 + kπ; 5π 3 + kπ; k Z 67. Házi feladat. Oldd meg az alábbi egyenletet! sin 10x + π ) = sin x + 3π ) 66. Szorgalmi. Oldd meg az alábbi egyenletet! sin 3x + 3π 4 ) = sin x 5π 3 )
27 68. óra. Dolgozat írása óra Dolgozat írása kedd
Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.
Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek
Trigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Trigonometria Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben 1. Az ABC hegyesszög háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, a BCA szög nagysága
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6
Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria III.
Trigonometria III. TÉTEL: (Szinusz - tétel) Bármely háromszögben az oldalak és a velük szemközti szögek szinuszainak aránya egyenlő. Jelöléssel: a: b: c = sin α : sin β : sin γ. Megjegyzés: A szinusz -
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.
Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,
Koordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI
TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI http://zanza.tv/matematika/geometria/thalesz-tetele http://zanza.tv/matematika/geometria/pitagorasz-tetel http://zanza.tv/matematika/geometria/nevezetes-tetelek-derekszogu-haromszogben
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Egy háromszög egyik oldala 10 cm hosszú, s a rajta fekvő két szög 50 és 70. Számítsd ki a hiányzó szöget és oldalakat! Legyen a = 10 cm; β = 50 és γ = 70. A két szög ismeretében a harmadik
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
Geometriai feladatok, 9. évfolyam
Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria I.
Trigonometria I. Hegyes szögek szögfüggvényei: Az α hegyesszöggel rendelkező derékszögű háromszögek egymáshoz hasonlóak, mert szögeik megegyeznek. Így oldalhosszaik aránya mindig állandó. Az α szögtől
Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.
EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS
GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon
Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
I. A négyzetgyökvonás
Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút
Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2
Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam
Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező
Hatvány, gyök, normálalak
Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő
I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
2018/2019. Matematika 10.K
Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép, függvénytáblázat 2 órás, 4 jegyet ér 2019. május 27-31. héten Aki hiányzik, a következő héten írja meg, e nélkül
Feladatok MATEMATIKÁBÓL
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!
Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András
Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon
. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát.
Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva 2456. Hány fokosak a következő, radiánban (ívmértékben) megadott szögek? π π π π 2π 5π 3π 4π 7π a) π ; ; ; ; ; b) ; ; ; ;. 2 3 4 8 3 6 4 3 6 2457. Hány fokosak
Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
Koordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2
13. Trigonometria II.
Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája
12. Trigonometria I.
Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát
Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták
Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),
Vektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]
Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =
10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
Fizika 1i, 2018 őszi félév, 1. gyakorlat
Fizika i, 08 őszi félév,. gyakorlat Szükséges előismeretek: vektorok, műveletek vektorokkal (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás, skaláris szorzat és vektoriális szorzat, abszolút érték), vektorok
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
Gyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal:
Gyakorló feladatok 9.évf.. Mennyi az összes részhalmaza az A a c; d; e; f halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Legyen U ;;;;;6;7;8;9, A ;;6;7; és B ;;8. Add meg a következő halmazokat és ábrázold
Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!
1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
Gyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6
Gyakorló feladatok 1. Ismertesd a matematikai indukció logikai sémáját, magyarázzuk meg a bizonyítás lényegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 1 + 3 + + (n 1) = n.. Matematikai indukcióval
Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész
Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=
14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük:
14. Vektorok I. Elméleti összefoglaló Vektor Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: Jelölés: a kezdő és a végpont megadásával: AB ; egy kisbetűvel: v, írásban aláhúzás is szokásos: a; nyomtatásban
9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1
Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az
4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+
4 Vektorok I Feladatok Milyen hosszú a v a b c vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? c b, a, b, c és az a és Mit állíthatunk az BCD konvex négyszögről, ha B D B BC CB CD DC D 0? Igaz-e, hogy
Síkgeometria. c) Minden paralelogramma tengelyesen szimmetrikus. (1 pont) 5) Egy háromszög belső szögeinek aránya 2:5:11. Hány fokos a legkisebb szög?
Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra esik. b) Egy négyszögnek lehet 180 -nál
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2?
Vektoralgebra Elmélet: http://digitus.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/vektorfolcop.pdf Mikor érdemes más, nem ortonormált bázist alkalmazni? Fizikában a ferde hajításoknál megéri úgynevezett ferdeszögű koordináta-rendszert
Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q
Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N
2) Egy háromszög két oldalának hossza 9 és 14 cm. A 14 cm hosszú oldallal szemközti szög 42. Adja meg a háromszög hiányzó adatait!
Szinusztétel 1) Egy háromszög két oldalának hossza 3 és 5 cm. Az 5 cm hosszú oldallal szemközti szög 70. Adja ) Egy háromszög két oldalának hossza 9 és 14 cm. A 14 cm hosszú oldallal szemközti szög 4.
Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?
Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet
Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )
Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése
Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek
2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,
17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )
1. feladat Írjuk föl a következő vektorokat! AC, BF, BG, DF, BD, AG, GB Írjuk föl ezen vektorok egységvektorát is! a=3 m b= 4 m c= m Írjuk föl az egyes pontok koordinátáit: O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 )
Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2
1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy
TARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK
TARTALOM Előszó 9 HALMAZOK Halmazokkal kapcsolatos fogalmak, részhalmazok 10 Műveletek halmazokkal 11 Számhalmazok 12 Nevezetes ponthalmazok 13 Összeszámlálás, komplementer-szabály 14 Összeszámlálás, összeadási
2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.
Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.
Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok
1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)
A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike
Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20.
1. Adott az ABCD tetraéder, határozzuk meg: a) AB + BD + DC b) AD + CB + DC c) AB + BC + DA + CD Vektoralgebra feladatlap 018 január 0.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC, majd
Koordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat
Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.
Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával
Szé12/1/N és Szé12/1/E osztály matematika minimumkérdések a javítóvizsgára
Szé1/1/N és Szé1/1/E osztály matematika minimumkérdések a javítóvizsgára Halmazelmélet Halmaz, részhalmaz, végtelen halmaz, üres halmaz, halmaz megadása, halmazműveletek (metszet, unió, különbség, komplementer),
Analitikus geometria c. gyakorlat (2018/19-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül)
1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül) A tér egy σ síkjában vegyünk két egymásra mer leges egyenest, melyeket jelöljön x és y, a metszéspontjukat pedig jelölje O. A két
I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!
Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
Matematika 11. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematika Intézet. A Bevezető matematika tárgy gyakorlati anyaga
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematika Intézet A Bevezető matematika tárgy gyakorlati anyaga Összeállította: Kádasné Dr. V. Nagy Éva egyetemi docens Szerkesztette: Nagy Ilona BME Budapest
ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.
ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC