Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Átírás

1 Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk a vektorműveleteket: FO = a FO (a;b) (1; 0) DC = b DC (a;b) (0; 1) AO = a + b AO (a;b) (1; 1) AC = a + (a + b ) = a + b AC (a;b) (; 1) BE = b BE (a;b) (0; ) FB = a b FB (a;b) (1; 1) CE = b a CE (a;b) ( 1; 1) DF = a + [ (a + b )] = a b DF (a;b) ( ; 1) 1

2 . Tekintsük az alábbi kockában a következő vektorokat: a = AB, b = AE és c = AD. Fejezd ki az AC, AH, DB, ED, AG, FH, GD vektorokat az a és b vektorok segítségével! Alkalmazzuk a vektorműveleteket: AC = a + c AH = b + c DB = a c ED = c b AG = a + b + c FH = (a c) = a + c GD = (a + b ) = a b 3. Írd fel az A ( ; 5) és B (3; 4) pontokba mutató a és b helyvektorokat az i és j bázisvektorok segítségével! A helyvektor az origóból indul, így koordinátája megegyezik a végpontjának koordinátájával: a ( ; 5) a = ( ) i + 5 j b (3; 4) b = 3 i + ( 4) j = 3 i 4 j 4. Írd fel az AB és BA vektorokat az i és j bázisvektorok segítségével, ha adott az A (7; 1) és B ( 5; 9) pont! Először írjuk fel a két vektort koordináták segítségével: AB ( 5 7; 9 ( 1)) AB ( 1; 10) BA (7 ( 5); 1 9) BA (1; 10)

3 Az adott vektorokat eltolva az origóba helyvektorokat kapunk, s így adódnak a megoldások: AB = ( 1) i + 10 j BA = 1 i 10 j 5. Adott az a (7; 1) és b ( 13; 9) helyvektor. Határozd meg a a ; 3b ; 5a + b és 4b a vektorok koordinátáit az i és j bázisvektorok segítségével! A vektorok koordinátáit a műveleteknek megfelelően számíthatjuk ki: a = (7 i j) = 14 i j a (14; ) 3b = ( 3) ( 13 i + 9 j) = 39 i 7 j 3b (39; 7) 5a + b = 5 (7 i j) + ( 13 i + 9 j) = i + 4 j 5a + b (; 4) 4b a = 4 ( 13 i + 9 j) (7 i j) = ( 59) i + 37 j 4b a ( 59; 37) 6. Adott az a ( 4; 11) és b (8; 7) helyvektor. Határozd meg a 3a ; 5b ; 6a + b és 9b a vektorok koordinátáit! A vektorok koordinátáit a műveleteknek megfelelően számíthatjuk ki: 3a (3 ( 4); 3 11) 3a ( 1; 33) 5b (( 5) 8; ( 5) ( 7)) 5b ( 40; 35) 6a (6 ( 4); 6 11) 6a ( 4; 66) 6a + b ( 16; 59) 9b (9 8; 9 ( 7)) } a ( ( 4); 11) 9b (7; 63) } 9b a (80; 85) a ( 8; ) 3

4 7. Ábrázold a v ( 6; 4) helyvektort, számítsd ki a hosszát és bontsd fel az alábbi vektorokkal párhuzamos összetevőkre: a) i (1; 0) és j (0; 1) b) a ( 4; ) és b (1; 8) Tekintsük a következő ábrát: A vektor hossza: v = ( 6) + 4 = 5. Bontsuk fel a vektort összetevőkre: a) Az ábra alapján az i és j bázisvektorokkal való felírása: v = 6 i + 4 j b) Legyen v = α a + β b. Írjuk fel a következő egyenletrendszert: 4α + β = 6 } α 8β = 4 Az egyenletrendszer megoldása: α = 15 és β = 15. Ezek alapján az a és b bázisvektorokkal való felírása: v = 15 a 15 b. 4

5 8. Ábrázold a v (3; 4; 5) t, számítsd ki a hosszát és bontsd fel az alábbi vektorokkal párhuzamos összetevőkre: a) i (1; 0; 0), j (0; 1; 0) és k (0; 0; 1) b) a (1; ; ), b (3; 4; 1) és c (1; 3; ) Tekintsük a következő ábrát: A vektor hossza: v = 3 + ( 4) + 5 = 50. Bontsuk fel a vektort összetevőkre: a) Az ábra alapján az i, j és k bázisvektorokkal való felírása: v = 3 i 4 j + 5 k b) Legyen v = α a + β b + γ c. Írjuk fel a következő egyenletrendszert: α + 3β + γ = 3 α 4β 3γ = 4 α + β + γ = 5 } 5

6 Az egyenletrendszer megoldása: α = 4, β = 1 5 és γ = 8 5. Ezek alapján az a, b és c bázisvektorokkal való felírása: v = 4 a b 8 5 c. 9. Adott az a (1; 3; ) és a b (6; 4; 9) vektor. Határozd meg a a + b és az 1 3 b a vektorok koordinátáit! A vektorok koordinátáit a műveleteknek megfelelően számíthatjuk ki: a ( 1; ( 3); ) } b (6; 4; 9) a (; 6; 4) } a + b (8; ; 5) b (6; 4; 9) 1 b ( 1 6; 1 4; 1 ( 9)) } a (1; 3; ) 1 b (; 4 ; 3) 3 3 } a (1; 3; ) 1 b a (1; 13 ; 5) Határozd meg a B és C pont koordinátáját, ha adott az A (; 7) pont, illetve az AB ( 1; 3) és a CA (5; 4) vektor! Az AB ( 1; 3) vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: b 1 = 1 b 1 = 1 b 7 = 3 b = 10 A CA (5; 4) vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: c 1 = 5 c 1 = 3 7 c = 4 c = 11 Ezek alapján a keresett pontok koordinátái: B (1; 10) és C ( 3; 11). 11. Számítsd ki az a ( 3; 4) helyvektor hosszát! A vektor hosszát kiszámíthatjuk a megfelelő képlettel: a = ( 3) + 4 = 5 = 5. 6

7 1. Számítsd ki annak az a vektornak a hosszát, amelynek kezdőpontja A (5; 7) és végpontja B ( 1; )! A vektor hosszát kiszámíthatjuk a megfelelő képlettel: a = AB = (( 1) 5) + (( ) 7) = = Számítsd ki az ABC kerületét, melynek csúcspontjai: A (1; 3), B (; 5), C ( 4; 7)! A háromszög oldalait tekintsük vektoroknak, s számítsuk ki az adott vektorok a hosszát: a = BC = (( 4) ) + (7 ( 5)) = ( 6) + 1 = ,4 b = AC = (( 4) 1) + (7 3) = ( 5) + 4 = 41 6,4 c = AB = ( 1) + (( 5) 3) = 1 + ( 8) = 65 8,1 Ezek alapján a háromszög kerülete: K = 13,4 + 6,4 + 8,1 = 7, Adj meg három olyan vektort, amely merőleges az a ( 7; 6) vektorra! Az eredeti vektor koordinátáit cseréljük fel és az egyiket vegyük ellenkező előjellel. Ezek alapján az a vektor (+ 90 ) - os elforgatottja: a ( 6; 7). Ezek alapján az a vektor ( 90 ) - os elforgatottja: a (6; 7). Ha a koordinátákat szorozzuk, akkor a vektor hossza változik, de az iránya nem: a (1; 14). 7

8 15. Adott egy paralelogramma három csúcsa: ( 3; 4), (5; ) és (6; 8). Határozd meg a paralelogramma negyedik csúcsának koordinátáit! Az adott csúcsokat nevezzük A, B, illetve C nek és keressük a paralelogramma D csúcsát. A feladatnak három megoldása van a következők szerint: Tekintsük először azt az esetet, amikor a paralelogramma adott átlója az AC szakasz. Ekkor AB = DC, vagyis koordinátákkal felírva: DC (8; 6). A DC vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: 6 d 1 = 8 d 1 = 8 d = 6 d = 14 Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: D 1 ( ; 14). Tekintsük most azt az esetet, amikor a paralelogramma adott átlója a BC szakasz. Ekkor AB = CD, vagyis koordinátákkal felírva: CD (8; 6). A CD vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: d 1 6 = 8 d 1 = 14 d 8 = 6 d = Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: D (14; ). 8

9 Tekintsük végül azt az esetet, amikor a paralelogramma adott átlója az AB szakasz. Ekkor AC = DB, vagyis koordinátákkal felírva: DB (9; 4). A DB vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: 5 d 1 = 9 d 1 = 4 d = 4 d = 6 Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: D 3 ( 4; 6). 16. Adott egy négyzet két szomszédos csúcsa: ( 1; 3) és (5; 4). Határozd meg a négyzet hiányzó csúcsainak koordinátáit! Az adott csúcsokat nevezzük A - nak, illetve B nek és keressük a négyzet C, D csúcsát. A feladatnak két megoldása van a következők szerint: Először tekintsük az első ábrát: Ekkor az AB (6; 7) vektor (+90 ) - os elforgatottja az AD (7; 6) vektor. Az AD vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: d 1 ( 1) = 7 d 1 = 6 d 3 = 6 d = 9 Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: D (6; 9). 9

10 Ekkor a DA ( 7; 6) vektor (+90 ) - os elforgatottja a DC (6; 7) vektor. A DC vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: c 1 6 = 6 c 1 = 1 c 9 = ( 7) c = Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: C (1; ). Most tekintsük a második ábrát: Ekkor az AB (6; 7) vektor ( 90 ) - os elforgatottja az AD ( 7; 6) vektor. Az AD vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: d 1 ( 1) = 7 d 1 = 8 d 3 = 6 d = 3 Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: D ( 8; 3). Ekkor a AD = DA (7; 6) vektor ( 90 ) - os elforgatottja a DC (6; 7) vektor. A DC vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: c 1 ( 8) = 6 c 1 = c ( 3) = ( 7) c = 10 Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: C ( ; 10). 17. Egy négyzet egyik csúcsa A ( 1; 3), középpontja K (1; 4). Határozd meg a többi csúcs koordinátáit! Tekintsük a következő ábrát: A négyzet átlói merőlegesen felezik egymást. 10

11 Ekkor a KA ( ; 1) vektor (+90 ) - os elforgatottja a KB (1; ) vektor. A KB vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: b 1 1 = 1 b 1 = b 4 = b = Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: B (; ). Ekkor a KA = KC (; 1) vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: c 1 1 = c 1 = 3 c 4 = 1 c = 5 Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: C (3; 5). Ekkor a KB = KD ( 1; ) vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: d 1 1 = 1 d 1 = 0 d 4 = d = 6 Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: D (0; 6). 18. Egy rombusz két átellenes csúcsa A ( 10; 4), C(6; 8). Határozd meg a hiányzó két csúcs koordinátáit, ha a BD átló hossza fele az AC átlóénak! Tekintsük a következő ábrát: A rombusz átlói merőlegesen felezik egymást. A CA ( 16; 1) átlóvektor segítségével felírhatjuk a KA vektort: KA = 1 CA KA ( 8; 6) 11

12 A KA vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: 10 k 1 = 8 k 1 = 4 k = 6 k = Ebből adódik, hogy a középpont koordinátái K ( ; ). Ekkor a KA ( 8; 6) vektor (+90 ) - os elforgatottjának fele a KB ( 3; 4) vektor. A KB vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: b 1 ( ) = 3 b 1 = 5 b ( ) = 4 b = 6 Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: B ( 5; 6). Ekkor a KA ( 8; 6) vektor ( 90 ) - os elforgatottjának fele a KD (3; 4) vektor. A KD vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: d 1 ( ) = 3 d 1 = 1 d ( ) = 4 d = Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: D (1; ). 19. Egy téglalap két csúcsa az A ( ; 4) és B (7; 16) pontok. Határozd meg a C, D csúcsok koordinátáit, ha tudjuk, hogy az AB oldal hossza háromszorosa a BC oldal hosszának! Legyen a H pont az AB oldal A hoz közelebbi harmadolópontja. Ekkor AH = 1 AB, vagyis mivel AB (9; 1), így az AH (3; 4). 3 A feladatnak két megoldása van a következők szerint: 1

13 Először tekintsük az első ábrát: Ekkor az AH (3; 4) vektor (+90 ) - os elforgatottja az AD ( 4; 3) vektor. Az AD vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: d 1 ( ) = 4 d 1 = 6 d 4 = 3 d = 7 Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: D ( 6; 7). Ekkor az AD = BC ( 4; 3) vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: c 1 7 = 4 c 1 = 3 c 16 = 3 c = 19 Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: C (3; 19). Most tekintsük a második ábrát: Ekkor az AH (3; 4) vektor ( 90 ) - os elforgatottja az AD (4; 3) vektor. Az AD vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: d 1 ( ) = 4 d 1 = d 4 = 3 d = 1 Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: D (; 1). Ekkor az AD = BC (4; 3) vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: c 1 7 = 4 c 1 = 11 c 16 = 3 c = 13 Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: C (11; 13). 0. Legyenek A, B, C, D, E a sík tetszőleges pontjai. Határozd meg az α valós szám értékét, ha AB + BC + CD = α (DE + EA )! Az összefűzési szabály segítségével a következőt kapjuk: AD = α DA. Ezek alapján α = 1. 13

14 1. Az ABC háromszög AB oldalának A hoz közelebbi negyedelőpontja N, B hez közelebbi negyedelőpontja M. Fejezd ki a CM et és CN et CA és CB segítségével ( a két vektor lineáris kombinációjaként)! Tekintsük a következő ábrát: Ezek alapján felírhatjuk a következőket: CM = CB + 1 (CA CB ) = 1 CA + 3 CB CN = CA + 1 (CB CA ) = 3 CA + 1 CB Az ABC háromszögben AB = 4, BC = 5, CA = 6. Az A csúcsból induló belső szögfelező metsze a BC oldalt P ben. Határozd meg az α és β értékét, ha AP = α AB + β AC! Tekintsük a következő ábrát: A szögfelező a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja két részre, vagyis BP = és CP = 3. Ezek alapján felírhatjuk a következőt: AP = AB + (AC AB ) = 3 AB + AC α = β = 5 14

15 3. Az ABC háromszög BC oldalának C n túli meghosszabbításán úgy vettük fel a P pontot, hogy BP: CP = 9: 5. Bontsd fel az AP t AB ral és AC ral párhuzamos összetevőkre! Tekintsük a következő ábrát: Ezek alapján felírhatjuk a következőket: AP = AB + 9 (AC AB ) = 9 AC 5 AB Határozd meg a következő vektorokkal egyirányú egységvektorok koordinátáit! a) a (4; 3) b) b (1; 4; 5) Az egységvektor koordinátáihoz el kell osztanunk a vektor koordinátáit a vektor a hosszával: v e = v = 1 v. v v a) Számítsuk ki az a vektor hosszát: a = ( 3) = 5. Ezek alapján a megoldás: a e ( 4 ; 3 ). 5 5 b) Számítsuk ki az b vektor hosszát: b = = 4. Ezek alapján a megoldás: b e ( 1 4 ; 4 4 ; 5 4 ). 15

16 5. Határozd meg az α = 10, β = 5 és γ = 330 irányszögű egységvektorok koordinátáit! Amennyiben a v vektor irányszöge φ, akkor a koordinátái: v (cos φ ; sin φ). Ezek alapján a megoldások: v (cos 10 ; sin 10 ) v ( 1 ; 3 ) v (cos 5 ; sin 5 ) v ( ; ) v (cos 330 ; sin 330 ) v ( 3 ; 1 ) 6. Számítsd ki az a ( 5, ) és b (1; 4) vektorok által bezárt szöget! Ábrázoljuk közös koordináta rendszerben a két helyvektort: A derékszögű OCA - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki az AOC = φ 1 szöget: tg φ 1 = 5 φ 1 1,8 16

17 A derékszögű ODB - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a DOB = φ szöget: tg φ = 1 4 φ 1 14,04 Ezek alapján a két vektor által bezárt szög nagysága: φ = ,8 + 14,04 = 15, Legyen O az ABC köré írt kör középpontja, M a háromszög magasságpontja. Bizonyítsd be, hogy OA + OB + OC = OM! Legyen az O pont AB egyenesre vonatkozó tükörképe O. Tekintsük a következő ábrát: Mivel O a köré írt kör középpontja, így OA = OB = OC. Ebből felírhatjuk a következőt: OA + OB + OC = OO + OC = OC + CT = OT. Mivel az OO merőleges az AB re, így CT is merőleges AB re. Ebből következik, hogy a T pont rajta van az m c magasságvonalon. Ehhez hasonlóan belátható, hogy a T pont rajta van az m a és m b magasságvonalon is. Ezek alapján a T pont a háromszög M magasságpontja, vagyis OA + OB + OC = OT = OM. 17

18 8. Bizonyítsd be, hogy az ABC S súlypontjából a csúcsokba vezető vektorok összege 0! Legyen O a sík egy tetszőleges pontja. Ebből felírhatjuk a következőt: SA + SB + SC = OA OS + OB OS + OC OS = OA + OB + OC 3 OS. Az S súlypontba mutató vektorról tudjuk, hogy OS = OA + OB + OC 3. Ezek alapján adódik az állítás: SA + SB + SC = OA + OB + OC 3 OA + OB + OC = Legyen az ABC súlypontja S, az XYZ súlypontja pedig Q. Bizonyítsd be, hogy AX + BY + CZ = 3 SQ! Legyen O a sík egy tetszőleges pontja. Ebből felírhatjuk a következőt: AX + BY + CZ = OX OA + OY OB + OZ OC = OX + OY + OZ (OA + OB + OC ). A Q és S súlypontba mutató vektorokról tudjuk, hogy OQ = OX + OY + OZ és OS = OA 3 + OB + OC 3. Ezek alapján adódik az állítás: AX + BY + CZ = 3 OQ 3 OS = 3 (OQ OS ) = 3 SQ. 30. Bizonyítsd be, hogy egy tetszőleges O pontból az ABC csúcsaiba vezető vektorok összege egyenlő az O pontból az oldalfelező pontokba vezető vektorok összegével! Legyen az AB oldal felezőpontja F 1, a BC oldalé F, a CA oldalé pedig F 3. Ezek alapján adódik az állítás: OF 1 + OF + OF 3 = OA + OB + OB + OC + OA + OB = (OA + OB + OC ) = OA + OB + OC. 18

19 31. Bizonyítsd be, hogy ha F 1, F, F 3, F 4, F 5, F 6 egy hatszög egymás utáni oldalfelező pontjai, akkor F 1 + F F 5 6 = 0. Legyen a hatszög csúcsa A, B, C, D, E, F és a sík egy tetszőleges pontja O. Továbbá legyen az AB oldal felezőpontja F 1, a BC oldal felezőpontja F és így tovább. Ebből felírhatjuk a következőt: OF 1 = OA + OB és OF = OB + OC, vagyis F 1 = OF OF 1 = OB + OC OA + OB = OC OA Ehhez hasonlóan megkaphatjuk a kifejezés többi tagját is: F 3 4 = OE OC és F 5 6 = OA Ezek alapján adódik az állítás: F 1 + F F 5 6 = OC OA + OE OC + OA OE = 0.. OE. 3. Bizonyítsd be, hogy AB + AC + AD + AE + AF = 3 AD, ha A, B, C, D, E, F egy szabályos hatszög csúcsai! A szabályos hatszög esetén tudjuk a következőket: DE = AB ; EF = BC ; FA = CD. Ezek alapján adódik az állítás: AB + AC + AD + AE + AF = = AB + (AB + BC ) + (AB + BC + CD) + (AB + BC + CD + DE) + (AB + BC + CD + DE + EF ) = = AB + (AB + BC ) + (AB + BC + CD) + (AB + BC + CD AB) + (AB + BC + CD AB BC ) = = 3 AB + 3 BC + 3 CD = 3 (AB + BC + CD ) = 3 AD 33. Az O középpontú kör AB és CD húrja merőlegesek egymásra, egyeneseik metszéspontja M. Bizonyítsd be, hogy OA + OB + OC + OD = OM! Legyen az AB húr felezőpontja P, a CD húr felezőpontja pedig Q. 19

20 Tekintsük a következő ábrát: Ebből felírhatjuk a következőket: OA + OB = OP és OC + OD = OQ. Mivel bármely húr felezőmerőlegese átmegy a kör középpontján, így az OP merőleges az AB re, az OQ pedig merőleges a CD re. Ezekből azt kapjuk, hogy az OPMQ négyszög téglalap, vagyis OP + OQ = OM. Ezek alapján adódik az állítás: OA + OB + OC + OD = (OP + OQ ) = OM. 34. Bizonyítsd be, hogy egy tetszőleges ABCD négyszög középvonalainak M metszéspontjából a négyszög csúcsaiba mutató vektorok összege 0! Legyen az AB oldal felezőpontja E, a CD oldal felezőpontja pedig F. Ebből felírhatjuk a következőket: ME = MA + MB és MF = MC + MD. Mivel M a középvonalak metszéspontja, így ME és MF egyenlő nagyságúak, de ellentétes irányúak, vagyis ME + MF = 0. Ezek alapján adódik az állítás: MA + MB + MC + MD = 0, amiből azt kapjuk, hogy MA + MB + MC + MD = 0. 0

21 35. Legyen az ABCD paralelogramma síkjában egy tetszőleges pont O. Bizonyítsd be, hogy OA + OC = OB + OD! Tudjuk, hogy AD = OD OA és BC = OC OB, továbbá AD = BC. Ebből felírhatjuk a következőt: OD OA = OC OB. Ezek alapján, rendezés után adódik az állítás. 36. Az ABCD négyszög AB és CD oldalának felezőpontja E és F. Bizonyítsd be, hogy EF = 1 (AD + BC )! Tekintsük a következő ábrát: Az összefűzési szabály segítségével írjuk fel az EF vektort többféleképpen: EF = EA + AD + DF és EF = EB + BC + CF. Tudjuk, hogy EA = EB és DF = CF. Ebből felírhatjuk a következőket: EF = EB + AD CF és EF = EB + BC + CF. Ezek alapján, a két egyenletet összeadva adódik az állítás: EF = AD + BC. 1