Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások"

Átírás

1 Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk a vektorműveleteket: FO = a FO (a;b) (1; 0) DC = b DC (a;b) (0; 1) AO = a + b AO (a;b) (1; 1) AC = a + (a + b ) = a + b AC (a;b) (; 1) BE = b BE (a;b) (0; ) FB = a b FB (a;b) (1; 1) CE = b a CE (a;b) ( 1; 1) DF = a + [ (a + b )] = a b DF (a;b) ( ; 1) 1

2 . Tekintsük az alábbi kockában a következő vektorokat: a = AB, b = AE és c = AD. Fejezd ki az AC, AH, DB, ED, AG, FH, GD vektorokat az a és b vektorok segítségével! Alkalmazzuk a vektorműveleteket: AC = a + c AH = b + c DB = a c ED = c b AG = a + b + c FH = (a c) = a + c GD = (a + b ) = a b 3. Írd fel az A ( ; 5) és B (3; 4) pontokba mutató a és b helyvektorokat az i és j bázisvektorok segítségével! A helyvektor az origóból indul, így koordinátája megegyezik a végpontjának koordinátájával: a ( ; 5) a = ( ) i + 5 j b (3; 4) b = 3 i + ( 4) j = 3 i 4 j 4. Írd fel az AB és BA vektorokat az i és j bázisvektorok segítségével, ha adott az A (7; 1) és B ( 5; 9) pont! Először írjuk fel a két vektort koordináták segítségével: AB ( 5 7; 9 ( 1)) AB ( 1; 10) BA (7 ( 5); 1 9) BA (1; 10)

3 Az adott vektorokat eltolva az origóba helyvektorokat kapunk, s így adódnak a megoldások: AB = ( 1) i + 10 j BA = 1 i 10 j 5. Adott az a (7; 1) és b ( 13; 9) helyvektor. Határozd meg a a ; 3b ; 5a + b és 4b a vektorok koordinátáit az i és j bázisvektorok segítségével! A vektorok koordinátáit a műveleteknek megfelelően számíthatjuk ki: a = (7 i j) = 14 i j a (14; ) 3b = ( 3) ( 13 i + 9 j) = 39 i 7 j 3b (39; 7) 5a + b = 5 (7 i j) + ( 13 i + 9 j) = i + 4 j 5a + b (; 4) 4b a = 4 ( 13 i + 9 j) (7 i j) = ( 59) i + 37 j 4b a ( 59; 37) 6. Adott az a ( 4; 11) és b (8; 7) helyvektor. Határozd meg a 3a ; 5b ; 6a + b és 9b a vektorok koordinátáit! A vektorok koordinátáit a műveleteknek megfelelően számíthatjuk ki: 3a (3 ( 4); 3 11) 3a ( 1; 33) 5b (( 5) 8; ( 5) ( 7)) 5b ( 40; 35) 6a (6 ( 4); 6 11) 6a ( 4; 66) 6a + b ( 16; 59) 9b (9 8; 9 ( 7)) } a ( ( 4); 11) 9b (7; 63) } 9b a (80; 85) a ( 8; ) 3

4 7. Ábrázold a v ( 6; 4) helyvektort, számítsd ki a hosszát és bontsd fel az alábbi vektorokkal párhuzamos összetevőkre: a) i (1; 0) és j (0; 1) b) a ( 4; ) és b (1; 8) Tekintsük a következő ábrát: A vektor hossza: v = ( 6) + 4 = 5. Bontsuk fel a vektort összetevőkre: a) Az ábra alapján az i és j bázisvektorokkal való felírása: v = 6 i + 4 j b) Legyen v = α a + β b. Írjuk fel a következő egyenletrendszert: 4α + β = 6 } α 8β = 4 Az egyenletrendszer megoldása: α = 15 és β = 15. Ezek alapján az a és b bázisvektorokkal való felírása: v = 15 a 15 b. 4

5 8. Ábrázold a v (3; 4; 5) t, számítsd ki a hosszát és bontsd fel az alábbi vektorokkal párhuzamos összetevőkre: a) i (1; 0; 0), j (0; 1; 0) és k (0; 0; 1) b) a (1; ; ), b (3; 4; 1) és c (1; 3; ) Tekintsük a következő ábrát: A vektor hossza: v = 3 + ( 4) + 5 = 50. Bontsuk fel a vektort összetevőkre: a) Az ábra alapján az i, j és k bázisvektorokkal való felírása: v = 3 i 4 j + 5 k b) Legyen v = α a + β b + γ c. Írjuk fel a következő egyenletrendszert: α + 3β + γ = 3 α 4β 3γ = 4 α + β + γ = 5 } 5

6 Az egyenletrendszer megoldása: α = 4, β = 1 5 és γ = 8 5. Ezek alapján az a, b és c bázisvektorokkal való felírása: v = 4 a b 8 5 c. 9. Adott az a (1; 3; ) és a b (6; 4; 9) vektor. Határozd meg a a + b és az 1 3 b a vektorok koordinátáit! A vektorok koordinátáit a műveleteknek megfelelően számíthatjuk ki: a ( 1; ( 3); ) } b (6; 4; 9) a (; 6; 4) } a + b (8; ; 5) b (6; 4; 9) 1 b ( 1 6; 1 4; 1 ( 9)) } a (1; 3; ) 1 b (; 4 ; 3) 3 3 } a (1; 3; ) 1 b a (1; 13 ; 5) Határozd meg a B és C pont koordinátáját, ha adott az A (; 7) pont, illetve az AB ( 1; 3) és a CA (5; 4) vektor! Az AB ( 1; 3) vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: b 1 = 1 b 1 = 1 b 7 = 3 b = 10 A CA (5; 4) vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: c 1 = 5 c 1 = 3 7 c = 4 c = 11 Ezek alapján a keresett pontok koordinátái: B (1; 10) és C ( 3; 11). 11. Számítsd ki az a ( 3; 4) helyvektor hosszát! A vektor hosszát kiszámíthatjuk a megfelelő képlettel: a = ( 3) + 4 = 5 = 5. 6

7 1. Számítsd ki annak az a vektornak a hosszát, amelynek kezdőpontja A (5; 7) és végpontja B ( 1; )! A vektor hosszát kiszámíthatjuk a megfelelő képlettel: a = AB = (( 1) 5) + (( ) 7) = = Számítsd ki az ABC kerületét, melynek csúcspontjai: A (1; 3), B (; 5), C ( 4; 7)! A háromszög oldalait tekintsük vektoroknak, s számítsuk ki az adott vektorok a hosszát: a = BC = (( 4) ) + (7 ( 5)) = ( 6) + 1 = ,4 b = AC = (( 4) 1) + (7 3) = ( 5) + 4 = 41 6,4 c = AB = ( 1) + (( 5) 3) = 1 + ( 8) = 65 8,1 Ezek alapján a háromszög kerülete: K = 13,4 + 6,4 + 8,1 = 7, Adj meg három olyan vektort, amely merőleges az a ( 7; 6) vektorra! Az eredeti vektor koordinátáit cseréljük fel és az egyiket vegyük ellenkező előjellel. Ezek alapján az a vektor (+ 90 ) - os elforgatottja: a ( 6; 7). Ezek alapján az a vektor ( 90 ) - os elforgatottja: a (6; 7). Ha a koordinátákat szorozzuk, akkor a vektor hossza változik, de az iránya nem: a (1; 14). 7

8 15. Adott egy paralelogramma három csúcsa: ( 3; 4), (5; ) és (6; 8). Határozd meg a paralelogramma negyedik csúcsának koordinátáit! Az adott csúcsokat nevezzük A, B, illetve C nek és keressük a paralelogramma D csúcsát. A feladatnak három megoldása van a következők szerint: Tekintsük először azt az esetet, amikor a paralelogramma adott átlója az AC szakasz. Ekkor AB = DC, vagyis koordinátákkal felírva: DC (8; 6). A DC vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: 6 d 1 = 8 d 1 = 8 d = 6 d = 14 Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: D 1 ( ; 14). Tekintsük most azt az esetet, amikor a paralelogramma adott átlója a BC szakasz. Ekkor AB = CD, vagyis koordinátákkal felírva: CD (8; 6). A CD vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: d 1 6 = 8 d 1 = 14 d 8 = 6 d = Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: D (14; ). 8

9 Tekintsük végül azt az esetet, amikor a paralelogramma adott átlója az AB szakasz. Ekkor AC = DB, vagyis koordinátákkal felírva: DB (9; 4). A DB vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: 5 d 1 = 9 d 1 = 4 d = 4 d = 6 Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: D 3 ( 4; 6). 16. Adott egy négyzet két szomszédos csúcsa: ( 1; 3) és (5; 4). Határozd meg a négyzet hiányzó csúcsainak koordinátáit! Az adott csúcsokat nevezzük A - nak, illetve B nek és keressük a négyzet C, D csúcsát. A feladatnak két megoldása van a következők szerint: Először tekintsük az első ábrát: Ekkor az AB (6; 7) vektor (+90 ) - os elforgatottja az AD (7; 6) vektor. Az AD vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: d 1 ( 1) = 7 d 1 = 6 d 3 = 6 d = 9 Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: D (6; 9). 9

10 Ekkor a DA ( 7; 6) vektor (+90 ) - os elforgatottja a DC (6; 7) vektor. A DC vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: c 1 6 = 6 c 1 = 1 c 9 = ( 7) c = Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: C (1; ). Most tekintsük a második ábrát: Ekkor az AB (6; 7) vektor ( 90 ) - os elforgatottja az AD ( 7; 6) vektor. Az AD vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: d 1 ( 1) = 7 d 1 = 8 d 3 = 6 d = 3 Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: D ( 8; 3). Ekkor a AD = DA (7; 6) vektor ( 90 ) - os elforgatottja a DC (6; 7) vektor. A DC vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: c 1 ( 8) = 6 c 1 = c ( 3) = ( 7) c = 10 Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: C ( ; 10). 17. Egy négyzet egyik csúcsa A ( 1; 3), középpontja K (1; 4). Határozd meg a többi csúcs koordinátáit! Tekintsük a következő ábrát: A négyzet átlói merőlegesen felezik egymást. 10

11 Ekkor a KA ( ; 1) vektor (+90 ) - os elforgatottja a KB (1; ) vektor. A KB vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: b 1 1 = 1 b 1 = b 4 = b = Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: B (; ). Ekkor a KA = KC (; 1) vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: c 1 1 = c 1 = 3 c 4 = 1 c = 5 Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: C (3; 5). Ekkor a KB = KD ( 1; ) vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: d 1 1 = 1 d 1 = 0 d 4 = d = 6 Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: D (0; 6). 18. Egy rombusz két átellenes csúcsa A ( 10; 4), C(6; 8). Határozd meg a hiányzó két csúcs koordinátáit, ha a BD átló hossza fele az AC átlóénak! Tekintsük a következő ábrát: A rombusz átlói merőlegesen felezik egymást. A CA ( 16; 1) átlóvektor segítségével felírhatjuk a KA vektort: KA = 1 CA KA ( 8; 6) 11

12 A KA vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: 10 k 1 = 8 k 1 = 4 k = 6 k = Ebből adódik, hogy a középpont koordinátái K ( ; ). Ekkor a KA ( 8; 6) vektor (+90 ) - os elforgatottjának fele a KB ( 3; 4) vektor. A KB vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: b 1 ( ) = 3 b 1 = 5 b ( ) = 4 b = 6 Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: B ( 5; 6). Ekkor a KA ( 8; 6) vektor ( 90 ) - os elforgatottjának fele a KD (3; 4) vektor. A KD vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: d 1 ( ) = 3 d 1 = 1 d ( ) = 4 d = Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: D (1; ). 19. Egy téglalap két csúcsa az A ( ; 4) és B (7; 16) pontok. Határozd meg a C, D csúcsok koordinátáit, ha tudjuk, hogy az AB oldal hossza háromszorosa a BC oldal hosszának! Legyen a H pont az AB oldal A hoz közelebbi harmadolópontja. Ekkor AH = 1 AB, vagyis mivel AB (9; 1), így az AH (3; 4). 3 A feladatnak két megoldása van a következők szerint: 1

13 Először tekintsük az első ábrát: Ekkor az AH (3; 4) vektor (+90 ) - os elforgatottja az AD ( 4; 3) vektor. Az AD vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: d 1 ( ) = 4 d 1 = 6 d 4 = 3 d = 7 Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: D ( 6; 7). Ekkor az AD = BC ( 4; 3) vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: c 1 7 = 4 c 1 = 3 c 16 = 3 c = 19 Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: C (3; 19). Most tekintsük a második ábrát: Ekkor az AH (3; 4) vektor ( 90 ) - os elforgatottja az AD (4; 3) vektor. Az AD vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: d 1 ( ) = 4 d 1 = d 4 = 3 d = 1 Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: D (; 1). Ekkor az AD = BC (4; 3) vektor végpontjai segítségével felírhatjuk a következőket: c 1 7 = 4 c 1 = 11 c 16 = 3 c = 13 Ezek alapján a keresett csúcs koordinátái: C (11; 13). 0. Legyenek A, B, C, D, E a sík tetszőleges pontjai. Határozd meg az α valós szám értékét, ha AB + BC + CD = α (DE + EA )! Az összefűzési szabály segítségével a következőt kapjuk: AD = α DA. Ezek alapján α = 1. 13

14 1. Az ABC háromszög AB oldalának A hoz közelebbi negyedelőpontja N, B hez közelebbi negyedelőpontja M. Fejezd ki a CM et és CN et CA és CB segítségével ( a két vektor lineáris kombinációjaként)! Tekintsük a következő ábrát: Ezek alapján felírhatjuk a következőket: CM = CB + 1 (CA CB ) = 1 CA + 3 CB CN = CA + 1 (CB CA ) = 3 CA + 1 CB Az ABC háromszögben AB = 4, BC = 5, CA = 6. Az A csúcsból induló belső szögfelező metsze a BC oldalt P ben. Határozd meg az α és β értékét, ha AP = α AB + β AC! Tekintsük a következő ábrát: A szögfelező a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja két részre, vagyis BP = és CP = 3. Ezek alapján felírhatjuk a következőt: AP = AB + (AC AB ) = 3 AB + AC α = β = 5 14

15 3. Az ABC háromszög BC oldalának C n túli meghosszabbításán úgy vettük fel a P pontot, hogy BP: CP = 9: 5. Bontsd fel az AP t AB ral és AC ral párhuzamos összetevőkre! Tekintsük a következő ábrát: Ezek alapján felírhatjuk a következőket: AP = AB + 9 (AC AB ) = 9 AC 5 AB Határozd meg a következő vektorokkal egyirányú egységvektorok koordinátáit! a) a (4; 3) b) b (1; 4; 5) Az egységvektor koordinátáihoz el kell osztanunk a vektor koordinátáit a vektor a hosszával: v e = v = 1 v. v v a) Számítsuk ki az a vektor hosszát: a = ( 3) = 5. Ezek alapján a megoldás: a e ( 4 ; 3 ). 5 5 b) Számítsuk ki az b vektor hosszát: b = = 4. Ezek alapján a megoldás: b e ( 1 4 ; 4 4 ; 5 4 ). 15

16 5. Határozd meg az α = 10, β = 5 és γ = 330 irányszögű egységvektorok koordinátáit! Amennyiben a v vektor irányszöge φ, akkor a koordinátái: v (cos φ ; sin φ). Ezek alapján a megoldások: v (cos 10 ; sin 10 ) v ( 1 ; 3 ) v (cos 5 ; sin 5 ) v ( ; ) v (cos 330 ; sin 330 ) v ( 3 ; 1 ) 6. Számítsd ki az a ( 5, ) és b (1; 4) vektorok által bezárt szöget! Ábrázoljuk közös koordináta rendszerben a két helyvektort: A derékszögű OCA - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki az AOC = φ 1 szöget: tg φ 1 = 5 φ 1 1,8 16

17 A derékszögű ODB - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a DOB = φ szöget: tg φ = 1 4 φ 1 14,04 Ezek alapján a két vektor által bezárt szög nagysága: φ = ,8 + 14,04 = 15, Legyen O az ABC köré írt kör középpontja, M a háromszög magasságpontja. Bizonyítsd be, hogy OA + OB + OC = OM! Legyen az O pont AB egyenesre vonatkozó tükörképe O. Tekintsük a következő ábrát: Mivel O a köré írt kör középpontja, így OA = OB = OC. Ebből felírhatjuk a következőt: OA + OB + OC = OO + OC = OC + CT = OT. Mivel az OO merőleges az AB re, így CT is merőleges AB re. Ebből következik, hogy a T pont rajta van az m c magasságvonalon. Ehhez hasonlóan belátható, hogy a T pont rajta van az m a és m b magasságvonalon is. Ezek alapján a T pont a háromszög M magasságpontja, vagyis OA + OB + OC = OT = OM. 17

18 8. Bizonyítsd be, hogy az ABC S súlypontjából a csúcsokba vezető vektorok összege 0! Legyen O a sík egy tetszőleges pontja. Ebből felírhatjuk a következőt: SA + SB + SC = OA OS + OB OS + OC OS = OA + OB + OC 3 OS. Az S súlypontba mutató vektorról tudjuk, hogy OS = OA + OB + OC 3. Ezek alapján adódik az állítás: SA + SB + SC = OA + OB + OC 3 OA + OB + OC = Legyen az ABC súlypontja S, az XYZ súlypontja pedig Q. Bizonyítsd be, hogy AX + BY + CZ = 3 SQ! Legyen O a sík egy tetszőleges pontja. Ebből felírhatjuk a következőt: AX + BY + CZ = OX OA + OY OB + OZ OC = OX + OY + OZ (OA + OB + OC ). A Q és S súlypontba mutató vektorokról tudjuk, hogy OQ = OX + OY + OZ és OS = OA 3 + OB + OC 3. Ezek alapján adódik az állítás: AX + BY + CZ = 3 OQ 3 OS = 3 (OQ OS ) = 3 SQ. 30. Bizonyítsd be, hogy egy tetszőleges O pontból az ABC csúcsaiba vezető vektorok összege egyenlő az O pontból az oldalfelező pontokba vezető vektorok összegével! Legyen az AB oldal felezőpontja F 1, a BC oldalé F, a CA oldalé pedig F 3. Ezek alapján adódik az állítás: OF 1 + OF + OF 3 = OA + OB + OB + OC + OA + OB = (OA + OB + OC ) = OA + OB + OC. 18

19 31. Bizonyítsd be, hogy ha F 1, F, F 3, F 4, F 5, F 6 egy hatszög egymás utáni oldalfelező pontjai, akkor F 1 + F F 5 6 = 0. Legyen a hatszög csúcsa A, B, C, D, E, F és a sík egy tetszőleges pontja O. Továbbá legyen az AB oldal felezőpontja F 1, a BC oldal felezőpontja F és így tovább. Ebből felírhatjuk a következőt: OF 1 = OA + OB és OF = OB + OC, vagyis F 1 = OF OF 1 = OB + OC OA + OB = OC OA Ehhez hasonlóan megkaphatjuk a kifejezés többi tagját is: F 3 4 = OE OC és F 5 6 = OA Ezek alapján adódik az állítás: F 1 + F F 5 6 = OC OA + OE OC + OA OE = 0.. OE. 3. Bizonyítsd be, hogy AB + AC + AD + AE + AF = 3 AD, ha A, B, C, D, E, F egy szabályos hatszög csúcsai! A szabályos hatszög esetén tudjuk a következőket: DE = AB ; EF = BC ; FA = CD. Ezek alapján adódik az állítás: AB + AC + AD + AE + AF = = AB + (AB + BC ) + (AB + BC + CD) + (AB + BC + CD + DE) + (AB + BC + CD + DE + EF ) = = AB + (AB + BC ) + (AB + BC + CD) + (AB + BC + CD AB) + (AB + BC + CD AB BC ) = = 3 AB + 3 BC + 3 CD = 3 (AB + BC + CD ) = 3 AD 33. Az O középpontú kör AB és CD húrja merőlegesek egymásra, egyeneseik metszéspontja M. Bizonyítsd be, hogy OA + OB + OC + OD = OM! Legyen az AB húr felezőpontja P, a CD húr felezőpontja pedig Q. 19

20 Tekintsük a következő ábrát: Ebből felírhatjuk a következőket: OA + OB = OP és OC + OD = OQ. Mivel bármely húr felezőmerőlegese átmegy a kör középpontján, így az OP merőleges az AB re, az OQ pedig merőleges a CD re. Ezekből azt kapjuk, hogy az OPMQ négyszög téglalap, vagyis OP + OQ = OM. Ezek alapján adódik az állítás: OA + OB + OC + OD = (OP + OQ ) = OM. 34. Bizonyítsd be, hogy egy tetszőleges ABCD négyszög középvonalainak M metszéspontjából a négyszög csúcsaiba mutató vektorok összege 0! Legyen az AB oldal felezőpontja E, a CD oldal felezőpontja pedig F. Ebből felírhatjuk a következőket: ME = MA + MB és MF = MC + MD. Mivel M a középvonalak metszéspontja, így ME és MF egyenlő nagyságúak, de ellentétes irányúak, vagyis ME + MF = 0. Ezek alapján adódik az állítás: MA + MB + MC + MD = 0, amiből azt kapjuk, hogy MA + MB + MC + MD = 0. 0

21 35. Legyen az ABCD paralelogramma síkjában egy tetszőleges pont O. Bizonyítsd be, hogy OA + OC = OB + OD! Tudjuk, hogy AD = OD OA és BC = OC OB, továbbá AD = BC. Ebből felírhatjuk a következőt: OD OA = OC OB. Ezek alapján, rendezés után adódik az állítás. 36. Az ABCD négyszög AB és CD oldalának felezőpontja E és F. Bizonyítsd be, hogy EF = 1 (AD + BC )! Tekintsük a következő ábrát: Az összefűzési szabály segítségével írjuk fel az EF vektort többféleképpen: EF = EA + AD + DF és EF = EB + BC + CF. Tudjuk, hogy EA = EB és DF = CF. Ebből felírhatjuk a következőket: EF = EB + AD CF és EF = EB + BC + CF. Ezek alapján, a két egyenletet összeadva adódik az állítás: EF = AD + BC. 1

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I. Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)] Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =

Részletesebben

Koordináta - geometria I.

Koordináta - geometria I. Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat

Részletesebben

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a

Részletesebben

4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+

4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+ 4 Vektorok I Feladatok Milyen hosszú a v a b c vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? c b, a, b, c és az a és Mit állíthatunk az BCD konvex négyszögről, ha B D B BC CB CD DC D 0? Igaz-e, hogy

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC. ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II. Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek

Részletesebben

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0. Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok ) Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Részletesebben

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0 Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük:

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: 14. Vektorok I. Elméleti összefoglaló Vektor Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: Jelölés: a kezdő és a végpont megadásával: AB ; egy kisbetűvel: v, írásban aláhúzás is szokásos: a; nyomtatásban

Részletesebben

4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig

4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig Oktatási Hivatal Az forduló feladatainak megoldása (Szakközépiskola) Melyek azok az m Z számok, amelyekre az ( m ) x mx = 0 egyenletnek legfeljebb egy, az m x + 3mx 4 = 0 egyenletnek legalább egy valós

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével

Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Rátz László Vándorgyűlés 2018 Győr Fonyó Lajos Keszthelyi Vajda János Gimnázium A

Részletesebben

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20.

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20. 1. Adott az ABCD tetraéder, határozzuk meg: a) AB + BD + DC b) AD + CB + DC c) AB + BC + DA + CD Vektoralgebra feladatlap 018 január 0.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC, majd

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú. Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.

Részletesebben

Koordináta-geometria II.

Koordináta-geometria II. Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - 0y + 0 b) x + y - 6x - 6y + 0 c)

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Egy háromszög egyik oldala 10 cm hosszú, s a rajta fekvő két szög 50 és 70. Számítsd ki a hiányzó szöget és oldalakat! Legyen a = 10 cm; β = 50 és γ = 70. A két szög ismeretében a harmadik

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás

Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Matematika BSc Elemi matematika 3 Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Kitűzött feladatok Geometria 1. Egy ABD háromszög szögei rendre α, β, γ. Mekkora szöget zár be egymással a) az

Részletesebben

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z 146/1 147/2 1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z b) 0; H; I; N; O; S; X; Z c) 0; O; H; I; X; Z a) kőr dáma b) pikk jumbo; kőr dáma.; káró

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25) I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =

Részletesebben

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás 5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét. Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a

Részletesebben

KOORDINÁTA-GEOMETRIA

KOORDINÁTA-GEOMETRIA XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal

Részletesebben

1. Feladatlap - VEKTORALGEBRA. Műveletek vektorokkal. AD + BC = BD + AC. Igaz ez az összefüggés

1. Feladatlap - VEKTORALGEBRA. Műveletek vektorokkal. AD + BC = BD + AC. Igaz ez az összefüggés 1 Feladatlap - VEKTORALGEBRA Műveletek vektorokkal 1 Adott egy ABCD tetraéder Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC + DA + CD 2 Adott az ABCD tetraéder Igazoljuk,

Részletesebben

V. Koordinátageometria

V. Koordinátageometria oordinátageometria Szakaszt adott arányban osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 a) xf= + = 9 yf= + N 7 N = F_ 9 i b) 7 O c) - O N d) - O a c N e) O O b 6 - b 6 & b + =- = =- & b =- 8 B( - 8) 7 N N N N

Részletesebben

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van. Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Az 1. forduló feladatainak megoldása

Az 1. forduló feladatainak megoldása Az 1. forduló feladatainak megoldása 1. Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala! Megoldás:

Részletesebben

A vektor fogalma (egyszer

A vektor fogalma (egyszer Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Elméleti anyag: A vektor fogalma (egyszerű meghatározás): az irányított szakaszokat nevezzük vektoroknak. Egy vektornak

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok 2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe

Részletesebben

Matematika 11. osztály

Matematika 11. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály II. rész: Trigonometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék II. rész: Trigonometria...........................

Részletesebben

Analitikus geometria c. gyakorlat

Analitikus geometria c. gyakorlat matematikatanári szak (2016/2017-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (M veletek vektorokkal) 1) Az a vektor hossza kétszerese a b vektor hosszának. Mekkora a két vektor szöge, ha az a b vektor mer leges

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22. osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1 Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

1. feladat Bizonyítsuk be, hogy egy ABCD húrnégyszögben AC BD

1. feladat Bizonyítsuk be, hogy egy ABCD húrnégyszögben AC BD 1. feladat Bizonyítsuk be, hogy egy ABCD húrnégyszögben AC BD = DA AB + BC CD AB BC + CD DA. Első megoldás: A húrnégyszögnek az A, B, C, ill. D csúcsoknál levő szögét jelölje rendre α, β, γ, ill. δ, azab,

Részletesebben

Geometriai feladatok, 9. évfolyam

Geometriai feladatok, 9. évfolyam Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32

Részletesebben

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0

Részletesebben