Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Átírás

1 Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge. a háromszög magasságpontja. izonyítsuk e, hogy =! I. megoldás szakasz hossza legyen x, az T szakaszé y. T háromszög egyenlő szárú, derékszögű. Ezért T hossza x+y. z T háromszög is egyenlő szárú, derékszögű. Ezért T =y. T, T háromszögek egyevágók, mert két-két oldaluk és közezárt szögük egyenlő. Ezért =. II. megoldás T =, mert merőleges szárú hegyesszögek. z T, T háromszögek derékszögűek és még van T egy-egy egyenlő szögük, ráadásul a T és T egymásnak megfelelő oldalak egyenlőek (a T háromszög egyenlő szárú derékszögű) ezért a két háromszög egyevágó. Eől következik, hogy =. x+y T y y z I., II. és III. megoldás árája x T III. megoldás z, oldalak hosszát jelölje és a. T egyenlő szárú derékszögű háromszög, ezért T =, T = a. T egyenlő szárú derékszögű háromszög, ezért T = a. Felírjuk a cosinus tételt az háromszögre: (*) = a + acos = a + a = = + a =. z utolsó egyenlőség a T derékszögű háromszögre felírt Pithagoras tétel. (*) sor elejére és végére nézve látjuk, hogy már készen vagyunk. IV. megoldás Tükrözzük az pontot a oldalra, a tükörképet jelöli. Ismeretes, hogy a háromszög köré írt körön van. = a tükrözés miatt. =. =, mert mindegyikhez -os kerületi szög tartozik. Így =. 1/6 ' T IV. megoldás árája ' T

2 V. megoldás szakaszt oldal felezőpontjára tükrözve kapjuk -t. a körülírt körön van. Tudjuk, hogy átmérője a körnek, ezért = 90. =, mert ívhez tartozó kerületi szög. egyenlő szárú derékszögű háromszög, ezért =. tükrözés miatt =, ezért készen vagyunk. VI. megoldás Legyen O a háromszög köré írható körének középpontja. z O vektort jelölje m, az ' O, O, O, vektorokat a,, c, d. z V. megoldás árája Felhasználjuk, hogy m = a + + c. Eől pld d = m c = a + + c c = a +. = a. z a és vektorok által kifeszített paralelogramma egyik átlója, a másik. kerületi és középponti szögek tétele miatt O = 90. Így az a és vektorok által kifeszített paralelogramma négyzet, mert az a, vektorok hossza a köré írt kör sugarával egyenlő. négyzet átlói egyenlőek, így =. '' F O T F T ' VI. megoldás és a VII. megoldás árája VII. megoldás z pontot, egyenesekre tükrözve kapjuk az, pontokat, melyek a köré írt körön vannak. a tükrözés miatt a duplája, azaz 90, ezért Thales tétele miatt átmérő. tükrözés miatt háromszög egyenlő szárú is. Ha a kör sugara R, akkor = R, és = ' = R. z oldalhoz tartozó kerületi szög, ezért = Rsin = R. Így =. /6

3 VIII. megoldás z háromszöget úgy helyezzük el a koordinátarendszere, hogy az origóa, az x tengely pozitív részére kerüljön, pont az y = x egyenes első negyeden lévő részén legyen. Koordinátákkal: (;), (a;0). egyenes egyenlete y = x. pont első koordinátája. egyenes merőleges -re, ezért egyenlete y = a x. z x = és az y = a x egyenesek metszéspontja adja az magasságpontot, melynek második koordinátája (a ) lesz. és pontok távolsága ( a ) +, és pontok T (;) (; ) VIII. megoldás árája (a;0) távolsága + ( a ). Látható, hogy =. IX. megoldás Tekintsük az háromszöget a köré írt körével együtt, melynek középpontja O. -t O körül 90 -kal a háromszög körüljárásával ellenkező irányan elforgatjuk. elforgatottja, elforgatottja legyen, egyeesik -val. = 90 a forgatás miatt, ezért Thales tétel miatt átmérő. párhuzamos egyenessel, mert mindketten -re merőlegesek. Thales tétele miatt 90. magasság merőleges egyenesre, ezért párhuzamos egyenessel. négyszög paralelogramma, mert szemközti oldalai párhuzamosak. Így = =. = ' F O T O S T IX. megoldás és a X. megoldás árája X. megoldás Legyen O a háromszög köré írható kör közepe, F az oldal felezőpontja, S a háromszög súlypontja. a háromszög magasságpontja. Kerületi és középponti szögek tétele miatt O derékszögű háromszög, és egyenlő szárú. OF =, mert OF az Thales körének sugara, pedig az átmérője. Tudjuk, hogy az S-re vonatkozó (-) szeres hasonlóság FO-t -e viszi. Így = FO =. 3/6

4 XI. megoldás háromszög oldalai a szokásos etűzés szerint a,, c. T háromszög egyenlő szárú, derékszögű, ezért T = T = T = T =. T T négyszög húrnégyszög, mert van két szemközti derékszöge. pontnak a húrnégyszög köré írható körére vonatkozó hatványa a T = T = = asin = T, ahol T a háromszög területe. Eől T c T következik, hogy T = T Ezt rendezve = = = c =. T T T T T XI. megoldás és a XII. megoldás árája T XII. megoldás háromszög jelölései legyenek a szokásosak. legyen a háromszög magasságpontja, T az csúcshoz, T a csúcshoz tartozó magasság talppontja. T háromszög és T a háromszög egyenlő szárú és derékszögű. Eől következik, hogy T = és T =. z T T négyszög húrnégyszög Thales tétel miatt, erre a húrnégyszögre alkalmazzuk Ptolemaiosz tételét: T T = T T T T. T T húrhoz a T T húrnégyszög köré írt köréen -os kerületi szög tartozik. kör átmérője, ezért T T = * sin = T T = sin =. Felhasználjuk, hogy a 3a a T T = a =. megfelelő értékeket eírva a a + a Ptolemaiosz tétele, a következő egyenlőséget kapjuk: =. jo oldal számlálója az háromszögre vonatkozó cosinus tétel szerint tel egyenlő. Eől következik, hogy =. 4/6

5 XIII. megoldás legyen a háromszög magasságpontja. oldalra tükrözzük az háromszöget, legyen tükörképe. T és a tükörképe, T is, sőt T is annyi. Ezért szakasz -os látókörén van és. =90 a tükrözés miatt, ezért szakasz párhuzamos szakasszal, így húrtrapéz, melynek szárai és egyenlőek. Ezért =. XIV. megoldás Tekintsük háromszöget a köré írt körével együtt húrhoz kerületi szög tartozik, ezért a köre írt négyzet oldalával egyenlő. Rajzoljuk e az KL négyzetet! -ől induló magasság LK oldalt T-en, oldalt T -en a köré írt kört -en metszi. az magasságpont oldalra tükrözött képe. tükrözés és a szimmetriák miatt T = T = T. z egyenlő szakaszokól következik, hogy = K =. T ' XIII. megoldás árája T L T T ' T T K XIV. megoldás és a XV. megoldás árája XV. megoldás legyen a háromszög magasságpontja, T = T = T =. Két szakasz egyenlőségéhez elég megmutatni azt, hogy van olyan pont, ami körül az egyiket a másika 90 -kal tudjuk forgatni. Ez jelen eseten a T pont, ezért =. 5/6

6 XVI. megoldás legyen a háromszög magasságpontja, T az csúcshoz tartozó magasság, T a -hez tartozó magasság csúcspontja. T =. T T négyszög és T T négyszög is húrnégyszög Thales tétele miatt. z első körnek, a másodiknak az átmérője. T T szakasz a két kör közös húrja, melyhez mindkét kören -os kerületi szög tartozik. Ezért a két kör átmérője illetve is egyenlők. XVII. megoldás legyen a háromszög magasságpontja, T az csúcshoz tartozó magasság, T a -hez tartozó magasság talppontja. T =. T T négyszög húrnégyszög, T T négyszög húrnégyszög Thales tétele miatt. z első körnek, a másodiknak az átmérője. T T a T húr és a T húr kerületi szöge az egyik, illetve a másik kören. T = T =, ezért T = T. Egyenlő szakaszok ugyanolyan szögű látóköreinek átmérői egyenlők, ezért =. T 135 T XVIII. megoldás árája T XVIII. megoldás jelöli a magasságpontot, T, T, T a magasságvonalak talppontjait., háromszögeknek az -nál fekvő közös szögükön kívül van még egy-egy derékszöge, így a harmadik szögük is egyenlő: = =. z az T háromszög külső szöge, így 135. Írjunk fel két szinusz-tételt: sin : = sin 45 =. sin : = sin135 T T XVI., XVII. megoldások árája XIX. megoldás Húzzuk meg az K párhuzamost a magasságponton át a oldallal. z K, háromszögek hasonlók, mert szögeik egyenlők: az K, szögpár és a K, szögpár is merőleges szárú. K háromszög szögei alapján egyenlő szárú derékszögű háromszög, azaz K =. Ezért az K, háromszögek egyevágóak: =. XVIII., XIX. megoldások a törökálinti álint árton Ált. és Középiskola diákjaitól, Kiss Gariellától, ill. Vágó Lajostól, Szomju László tanítványaitól származnak. T β x x K β XIX. megoldás árája T 6/6