Vektorok és koordinátageometria

Átírás

1 Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon, hogy az egyik pont a kezdőpont, a másik pont a végpont, akkor irányított szakaszt kapunk. Jelölés: AB Definíció: Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort. (A vektor nem egy bizonyos irányított szakasz, hanem egy irány, és egy hosszérték. Az irányított szakasszal csak reprezentáljuk a vektort.) Jelölés: AB vagy v (vagy nyomtatásban gyakran vastagon szedett betűvel: v) Definíció: A vektort meghatározó irányított szakasz hossza a vektor abszolútértéke. Jelölés: AB vagy v Definíciók: Két vektor ellentétes irányú, ha párhuzamosak, de nem egyirányúak. Ha két vektor egyenlő abszolútértékű (hosszú) és ellentétes irányú, akkor a két vektor egymás ellentettje. u = v u = v Két vektor egyenlő, ha egyirányúak és abszolútértékük (hosszuk) egyenlő. u = v Definíció: Az a és b vektorok összege azon párhuzamos eltolás vektora, amellyel az a-ral és a b-ral meghatározott párhuzamos eltolások egymásutánja helyettesíthető. v = a + b 1

2 Definíció: Az a és b vektorok különbsége az a + ( b) vektor. v = a b Definíció: Azt a vektort, amelynek abszolútértéke (hossza) 0, nullvektornak nevezzük. A nullvektor iránya tetszőleges. Definíció: Ha λ tetszőleges valós szám, akkor λ a olyan vektor, amelynek abszolútértéke (hossza) λ a, és λ > 0 esetén a vektorral egyirányú, λ < 0 esetén a vektorral ellentétes irányú. v = 2a u = 1 2 a 1. Az ábrán egy négyzet négy csúcsa által meghatározott hat vektor látható. Határozza meg a következő vektorokat: a) a = b) d = c) a + b = d) d + a = e) f d = f) e a = g) e + c = h) e + f = i) c b = 2. Az ábrán egy szabályos hatszög három csúcsa által meghatározott három vektor látható. Fejezze ki a, b és c vektorokkal az alábbi vektorokat. a) AB = b) CB = c) OE = d) FC = e) DA = f) OB = g) AC = h) FB = i) EC = 2

3 Két vektor skaláris szorzata Definíció: Két vektor skaláris szorzatán értjük azt a valós számot, melyet úgy kapunk, hogy a két vektor abszolútértékét (hosszát) és bezárt szögük koszinuszát összeszorozzuk: a b = a b cos φ Tétel: Két vektor akkor és csakis akkor merőleges, ha a skaláris szorzatuk nulla. a b = 0 a b 3. Határozza meg a következő vektorok skaláris szorzatát: a) a = 5 b = 3 φ = 60 b) a = 4 b = 4,4 φ = 65 c) a = 2,3 b = 11 φ = 110 d) a = 10 b = 15 φ = 40 e) a = 10,32 b = 173,521 φ = Határozza meg a vektorok hajlásszögét, ha ismerjük a következőket: a) a = 7 b = 5 a b = 11 b) a = 4,1 b = 4,8 a b = 6 c) a = 3,2 b = 13 a b = 4 d) a = 7 b = 3 a b = 4 e) a = 52,3 b = 0,0005 a b = 0 5. Egy rombusz átlóvektorainak hossza 10 és 12 egység. Határozza meg a két vektor skaláris szorzatát. Válaszát indokolja! 6. A szabályos sokszögek egy-egy oldala legyen 3 egység. Az ábrákon egy csúcs és két szomszédos csúcsa által meghatározott vektor látható. Határozza meg az egyes esetekben a vektorok skaláris szorzatát. a) b) c) d) 3

4 Műveletek vektorkoordinátákkal Definíció: A derékszögű koordináta rendszerben a P(x; y) pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor. Definíció: A derékszögű koordináta-rendszerben egy vektor koordinátái megegyeznek origó kezdőpontú reprezentánsának koordinátáival. Jelölés: v(v 1 ; v 2 ). Tétel: (Összeg, különbség, szorzás számmal) Ha v v 1 ; v 2, u(u 1 ; u 2 ) és v + u = w akkor w(v 1 + u 1 ; v 2 + u 2 ) Ha v v 1 ; v 2, u(u 1 ; u 2 ) és v u = w akkor w(v 1 u 1 ; v 2 u 2 ) Ha v v 1 ; v 2, λ R és λv = w akkor w(λv 1 ; λv 2 ) Összeg Különbség Szorzás számmal Tétel: (skaláris szorzat) a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 Tétel: (vektor hossza) a = a a Olvassa le az ábrán látható vektorok koordinátáit, és számolja ki az abszolútértéküket (hosszukat)! 8. Adott két vektor, a 3; 5 ; b( 5; 7). Adja meg az alábbi műveletek eredményeit. a) a + b = b) a b c) 3a d) 2a + 3b e) a b f) Adja meg a két vektor által bezárt szöget. 4

5 Szakasz hossza, felezőpontja, súlypont Tétel: Az A(a 1 ; a 2 ) és B(b 1 ; b 2 ) pontok által meghatározott szakasz hossza az egymásnak megfelelő koordináták különbségének négyzetösszegének négyzetgyökével egyenlő. AB = a 1 b a 2 b 2 2 Tétel: Az A(a 1 ; a 2 ) és B(b 1 ; b 2 ) pontok által meghatározott szakasz F felezőpontjának koordinátái a megfelelő koordináták számtani közepe. F = a 1 + b 1 ; a 2 + b Tétel: Az A(a 1 ; a 2 ), B(b 1 ; b 2 ) és C(c 1 ; c 2 ) pontok által meghatározott háromszög S súlypontjának koordinátái a megfelelő koordináták számtani közepe. S = a 1 + b 1 + c 1 ; a 2 + b 2 + c Adott egy-egy háromszög csúcsainak koordinátáival. Számítsuk ki a háromszögek kerületét, adjuk meg az oldalfelező-pontjainak és a súlypontjának koordinátáit. a) A 2; 2, B 2; 4, C( 4; 1) b) A 1; 1, B 4; 1, C( 5; 2) 10. Számítsa ki az alábbi négyszögek kerületét, területét, és átlóik metszéspontjainak koordinátáit a) b) 11. Egy háromszög két csúcsa A ( 2; 3), B (1; 8). Számítsa ki a harmadik csúcs koordinátáit, ha a súlypont S (4; 1) és adja meg a háromszög kerületét! 5

6 Az egyenest meghatározó adatok a koordináta rendszerben Definíció: Egy egyenes irányvektora bármely, az egyenessel párhuzamos, nullvektortól különböző vektor. Jele: v( v 1 ; v 2 ) Definíció: A síkban egy egyenes normálvektora bármely, az egyenesre merőleges, nullvektortól különböző vektor. Jele: n( A; B ) Definíció: A síkbeli koordináta-rendszerben egy egyenes irányszöge az egyenes és az x tengely pozitív félegyenese (pozitív iránya) által bezárt előjeles szög. Definíció: Egy egyenes irányszögének tangensét (ha létezik) az egyenes iránytangensének vagy meredekségének nevezzük. m = tan α Tétel: Ha az e egyenes két különböző pontja P 1 (x 1 ; y 2 ) és P 2 ( x 2 ; y 2 ), akkor az e iránytangense (meredeksége): m = y 2 y 1 x 2 y 2 Tétel: Ha az e egyenes egy irányvektora v( v 1 ; v 2 ), egy normálvektora n( A; B ), akkor az e iránytangense (meredeksége): m = v 2 v 1 m = A B 12. Adja meg a P 1 P 2 egyenes egy irányvektorát, egy normálvektorát, iránytangensét és irányszögét, ha a) P 1 0; 0, P 2 (3; 2) b) P 1 1; 3, P 2 (2; 4) c) P 1 4; 7, P 2 (6; 5) 13. Egy egyenes egy normálvektora a) n( 0; 2 ) b) n( 1; 2 ) c) n( 3; 5 ) Adjuk meg az egyenes egy irányvektorát, iránytangensét, és irányszögét az egyes esetekben. 6

7 Az egyenes egyenlete Definíció: Egy, a síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben elhelyezkedő alakzat egyenlete egy olyan kétismeretlenes egyenlet, amelyet az alakzat P(x ; y) pontjainak koordinátái kielégítenek, más pontok koordinátái viszont nem elégítenek ki. Tétel: Ha adott egy egyenes egy P 0 (x 0 ; y 0 ) pontja, valamint adott az iránya (egy normálvektorral, egy irányvektorral, vagy iránytangensével), akkor az egyenes egyenlete egyértelműen meghatározható: Az egyenes egyenletének Az egyenes egyenletének Az egyenes egyenletének normálvektoros alakja: irányvektoros alakja: iránytangenses alakja: Ax + By = Ax 0 + By 0 v 2 x x 0 = v 1 (y y 0 ) y = m x x 0 + y 0 Tétel: Két egyenes párhuzamos, ha egy irányvektoruk, egy normálvektoruk, iránytangensük, vagy irányszögük megegyezik. Tétel: Két egyenes merőleges, ha: (1) Az egyik egy normálvektora megegyezik a másik egy irányvektorával. (2) Irányvektoraik, vagy normálvektoraik skaláris szorzata Adja meg annak az egyenesnek az egyenletét, mely áthalad az origón, és egy normálvektora n. a) n(1; 1) b) n(2; 3) c) n( 1; 4) 15. Adja meg annak az egyenesnek az egyenletét, mely áthalad az origón, és egy irányvektora v. a) v(1; 1) b) v(2; 3) c) v( 1; 4) 16. Adja meg annak az egyenesnek az egyenletét, melynek egy pontja P 0 és a meredeksége m. a) P 0 1; 0, m = 1 b) P 0 1; 5 ; m = 3 c) P 0 4; 7, m = Adja meg a következő egyenesek irányvektorát, normálvektorát, iránytangensét. a) y = 4 b) x + y = 2 c) x = Adja meg az egyenes egyenletét, mely áthalad az A és B pontokon. a) A 1; 3, B 2; 5 b) A 1; 5 ; B(7; 1) c) A 2; 4, B(6; 4) 19. Adja meg az AB szakasz szakaszfelező merőlegesének egyenletét. a) A 0; 1, B 1; 0 b) A 2; 4, B(1; 3) c) A 4; 5, B(2; 0) 20. Adja meg f egyenes egyenletét, ha áthalad P 0 (5; 2) ponton és az e: 2x 3y = 6 a) egyenessel párhuzamos. b) egyenesre merőleges. 7

8 A kör egyenlete Tétel: K ( u ; v ) középpontú, r sugarú kör egyenlete: k: x u 2 + y v 2 = r Írja fel azoknak a köröknek az egyenletét, amelyeknek középpontja és sugara. a) K (0; 1), r = 2 b) K (3; 1), r = 5 c) K ( 2; 4), r = 0,5 d) K ( 1; 5), r = Írjuk fel az AB átmérőjű kör egyenletét, ha a) A (0; 0), B ( 4; 0) b) A (2; 3), B ( 2; 5) c) A (1; 4), B (7; 0) 23. Egy derékszögű háromszög három csúcsának koordinátái A(3; 2), B(10; 3), C(4; 5). Adja meg a köré írt körének egyenletét. Megjegyzés: A kör egyenlete nem mindig ebben az alakban van megadva, ha a zárójelek fel vannak bontva és az egyenlet nullára van rendezve, akkor a kör általános egyenletét kapjuk: k: Ax 2 + Ay 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 Ebből azonban nehezen olvasható le a kör középpontjának koordinátái, és a sugara. Ekkor a teljes négyzetté alakítás módszerével kell átalakítanunk az egyenletet. (Lásd. mintapélda) MINTAPÉLDA: Határozza meg a k: x 2 + y 2 + 2x 4y + 3 = 0 egyenletű kör középpontjának koordinátáit, és a kör sugarát. x 2 + y 2 + 2x 6y + 3 = 0 x 2 + 2x = x 2 + 2x = x x 2 + y 2 + 2x 6y + 3 = 0 y 2 6y = y 2 6y = y x y = 0 x y 3 2 = 7 K 1; 3, r = 7 2,65 Először elvégezzük a teljes négyzetté alakítást azokon a tagokon melyekben az x szerepel Másodszor elvégezzük a teljes négyzetté alakítást azokon a tagokon melyekben az y szerepel Visszahelyettesítjük az eredeti egyenletbe a kapott algebrai kifejezéseket. A konstans tagokat átrendezzük az egyenlet másik oldalára, és megkapjuk a K(u, v) középpontú kör egyenletét. Leolvassuk az adatokat. 24. Adja meg a kör középpontját és sugarát, ha a kör egyenlete a) x 2 + y 2 4y = 0 b) x 2 + y 2 + 2x 2y + 1 = 0 c) x 2 + y 2 + 8x 10y + 3 = 0 8

9 Alakzatok közös pontjai Megjegyzés: Két alakzat közös pontjának (pontjainak) koordinátái mindkét alakzat egyenletét kielégítik, ezért a két alakzat egyenletéből álló kétismeretlenes egyenletrendszer megoldásai. (Lásd: mintapéldák) MINTAPÉLDA: Határozza meg az e: 2x + 3y = 11 egyenletű és az f: 3x + 8y = 27 egyenletű egyenesek metszéspontjának koordinátáit. 2x + 3y = 11 3x + 8y = 27 6x + 9y = 33 6x + 16y = 54 7y = 21 y = 3 2x + 9 = 11 2x = 2 x = 1 P(1; 3) / 3 / 2 /: ( 7) / 9 /: 2 Az egyenletrendszer megoldásához alkalmazhatjuk az egyenlő együtthatók módszerét. Az első egyenlet háromszorosából kivonjuk a második egyenlet kétszeresét. Így megkapjuk, hogy y = 3. Ezt visszahelyettesítve például az első egyenletbe kapjuk, hogy x = 1. Az egyenesek metszéspontja tehát P (1; 3) 25. Adottak e és f egyenesek. Határozza meg metszéspontjaik koordinátáit. a) e: 5x 2y = 47; f: 2x + 5y = 13 b) e: 2x 5y = 4; f: 3x + 2y = 13 c) e: 4x 3y = 4; f: 3x 2y = 13 d) e: 4x 3y = 27.5; f: x 2y = Milyen távol van az e: x + 2y = 2 egyenletű egyenestől a P pont, ha a pont koordinátái: a) P(0; 0) b) P(0; 5) c) P(1; 4) Segítség: Írjuk fel a P ponton átmenő, e egyenesre merőleges f egyenes egyenletét, határozzuk, meg a két egyenes metszéspontját (talppont), és számoljuk ki a metszéspont és a P pont távolságát. 27. Egy háromszög csúcsai A, B és C. Határozza meg a háromszög magasságpontjának koordinátáit, ha a csúcsok koordinátái A(10; 1), B(2; 3), és C(6; 7). Segítség: A magasságpont a magasságvonalak metszéspontja. Egy magasságvonal egy csúcsra illeszkedő, a szemközti oldalra merőleges egyenes. Írjuk fel két magasságvonal egyenletét, és határozzuk meg a metszéspontjukat. 9

10 MINTAPÉLDA: Határozza meg az e: x 3y = 13 egyenletű egyenes és a k: x y 2 2 = 5 egyenletű kör metszéspontjának koordinátáit. x y 2 2 = 5 x 3y = 13 x 3y = 13 x = y x = 13 3y 13 3y y 2 2 = y 2 + y 2 2 = y + 9y 2 + y 2 4y + 4 = 5 10y 2 70y = 0 y 2 7y + 12 = 0 y 1,2 = 7 ± = 7 ± 1 2 x 1 = = 1 x 2 = 13 9 = 4 P 1 (1; 4) és P 2 (3; 4) = y 1 = 4 y 2 = 3 Az egyenletrendszer megoldásához az egyenes egyenletéből kifejezzük, az x ismeretlent, majd behelyettesítjük a kör egyenletébe. Felbontva a zárójeleket és nullára rendezve egy másodfokú egyenletet kapunk. A megoldó képlet segítségével megkapjuk a két pont egy-egy y koordinátáját. Visszahelyettesítve a kifejezésbe megkapjuk a másik koordinátát is. 28. Határozza meg a k: x 2 + y 2 = 25 egyenletű kör és az e egyenes metszéspontjait, ha az egyenes egyenlete a) e: x = 3 b) e: x + 7y = 25 c) e: 3x + 4y = Határozza meg a k: x y = 13 egyenletű kör és az e: 5x y = 29 egyenletű egyenes metszéspontjainak koordinátáit! 30. Adott egy körvonal P(5; 3) pontja. Határozza meg a pontba húzott érintő egyenes egyenletét, ha a kör egyenlete. a) k: x y 2 2 = 5 b) k: x y 2 = 13 c) k: x y = 20 Segítség: Használjuk fel, hogy az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre. Olvassuk le a K középpont koordinátáit, és adjuk meg a KP vektor koordinátáit. Mivel ez a vektor merőleges az egyenesre ezért ez a normálvektora. Így adott a keresett egyenes egy P pontja, és adott egy normálvektor. Érettségi feladatok és megoldásaik:

11 A feladatok megoldásai: 1. feladat a) c b) b c) e d) f e) a f) b g) d h) 2a i) e 2. feladat a) a b) b c) c d) 2a e) 2b f) c g) a + b h) a c i) a c 3. feladat a) a b = 7,5 b) a b 7,44 c) a b 2,61 d) a b 9,38 e) a b = 0 4. feladat a) φ 71,68 b) φ 107,75 c) φ 69,72 d) φ 150,79 e) φ = feladat A két vektor skaláris szorzata 0, mert merőlegesek. 6. feladat a) u v = 0 b) u v 2,78 c) u v = 4,5 d) u v 6,36 7. feladat a(3; 2) a = 13 3,61 b( 1; 3) b = 10 3,16 c( 4; 3) c = 5 d(3; 0) d = 3 e(2; 2) e = 8 2,83 8. feladat a) a + b = ( 2; 12) b) a b = (8; 2) c) 3a = (9; 15) d) 2a + 3b = ( 9; 31) e) a b = 20 f) φ 66,5 9. feladat a) K 14,16 F a ( 3; 2,5) F b ( 1; 1,5) F c (0,3) S( 1, 3 ; 2, 3 ) b) K 14,63 F a ( 4,5; 0,5) F b ( 2; 1,5) F c ( 1,5,0) S( 2, 67; 0,67 ) 10. feladat a) K 13,42 T = 10 M(3,5; 2) b) K 16,32 T = 15 F b (4; 3) 11. feladat C (13; 2) K 42, feladat a) v 3 ; 2 n 2; 3 m = 2 α 33,69 3 b) v 1 ; 1 n 1; 1 m = 1 α = 45 c) v 5 ; 1 n 1; 5 m = 1 5 α 11, feladat a) v 0 ; 2 m α = 90 b) v 2 ; 1 m = 1 2 α 26,57 11

12 c) v 5 ; 3 m = 3 5 α 30, feladat a) x + y = 0 b) 2x + 3y = 0 c) x + 4y = feladat a) x + y = 0 b) 3x + 2y = 0 c) 4x + y = feladat a) x + y = 1 b) 3x + y = 8 c) 2x + y = feladat a) n 0; 1, v 1; 0, m = 0 b) n 1; 1, v 1; 1, m = 1 c) n 1; 0, v 0; 1, m 18. feladat a) x + y = 1 b) x + 2y = 9 c) 2x + y = feladat a) x y = 0 b) x + y = 5 c) 6x + 5y = feladat a) f: 2x 3y = 16 b) f: 3x + 2y = feladat a) x 2 + y 1 2 = 4 b) x y 1 2 = 25 c) x y 4 2 = 0,25 d) x y = feladat a) x y 2 = 4 b) x 2 + y 4 2 = 5 c) x y = feladat k: x 6,5 2 + y 2,5 2 = 12,5 24. feladat a) K 0; 2, r = 2 b) K 1; 1, r = 1 c) K 4; 5, r = 38 6, feladat a) P(9; 1) b) P(3; 2) c) P(47; 64) d) P(5; 2.5) 26. feladat a) d(p; e) 0,89 b) d(p; e) 5,37 c) d(p; e) 2, feladat a) M(5; 4) 28. feladat a) P 1 3; 4, P 2 ( 3; 4) b) P 1 3; 4, P 2 (4; 3) c) P 1 4; 3, P 2 (4; 3) 29. feladat P 1 5; 4, P 2 (6; 1) 30. feladat a) e: 2x + y = 13 b) e: 2x 3y = 1 c) e: x + 2y = 11 12