A kör. A kör egyenlete

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A kör. A kör egyenlete"

Átírás

1 A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - 0y + 0 b) x + y - 6x - 6y + 0 c) x + y + x - 6y - 0 d) x + y - x - 8, 0 e) x + y + 6y - 0 f) x + y + 0x + 6y a) x + y - 8x - 6y 0 b) x + y + 6y - 8y 0 c) x + y - ax - by 0 d) x + y - 0x + y + 0 e) x + y + x-6y-0-0 (A kör középpontjának koordinátái C(- )) 86 A kör egyenlete: (x - ) + (y - ) egyen x - y 7, y - Az ordináták rendre: + és és és - 8 és és és - Az abszcisszák rendre: y esetén + és - y 0 esetén x 6, x - y - esetén nincs megoldás 87 a) x - 6x + y + 0 b) x + y - 6x - y + 0 c) x + y + x - 6y d) x + y + 8x - 7y x + y 0 Belsô pont az A, mert + 0 < 0 A többi pont a körön kívül van, mert például a B pontra + 0 > 0 89 (x + ) + (y - ) Az A pontra (- + ) + (- ) 8<, tehát A a körön belül van C, E, F a körön van, B és D a körön kívül van 80 A kör egyenlete: (x - ) + (y - ) x- y! Ha y x+, akkor a y - x + egyenletben az y helyére x + -et helyettesítve: x + x + adódik Innen x 0 Ekkor y A 0 O külsô pont, mert ( 0 - ) + - > O Ha y x-, akkor ( x ) + 9 $ x Innen x, y A Q O pont a kör belsô pontja, mert ( - ) + - < O 9 8 A kör egyenlete: x- + y O A x- y+ O egyenletbôl x- y+! Ha y x +, akkor az egyenletrendszer gyöke (0 ), amely a körön kívül van Ha y x -, akkor a megoldás ( ) 8 (x + ) + y 9 8 x + (y - )

2 A kör 8 8 Az egybevágósági transzformációknál a sugár hossza nem változik a) r 6, (6 ) b) r 6, (- 6 -) c) r 6, (-6 ) d) egyen az origó az O pont, a kör középpontja a pont Ekkor az O vektor koordinátái (6 -) Az eltolt kör középpontjának koordinátáit az O +v vektor koordinátái adják: (8 -) e) r 6, ( -) f) O( 6 - ), 90 -kal elforgatva O ( 6 ), r 6 g) (- -6) r 6 h) { + qfu 60, tg`{ + tg{ + tg f f j - tg{ $ tg f tg{ + - egyenletbôl tg{ - tg{ (8 ábra) O O Oldjuk v - meg az u + v és a egyenletrendszert: u + u, v - A kör egyenlete: bx-- l + by- + l 6 i) r, ( -8) j) r, ( -) 8 a) (x - ) + y b) (x + ) + y c) x + (y - ) d) x + (y + ) 86 a) ( ), ( -), r ét megoldás van: (x - ) + (y - ) (x - ) + (y + ) b) (x! ) + (y + 6) c) égy megoldás van: (x! ) + (y - ) vagy (x! ) + (y + ) 87 A középpont koordinátái: (!r r) vagy (!r -r), a sugár r égy megoldás van: x + y! rx - ry + r 0 és x + y! rx + ry + r 0 88 a) A középpont koordinátái (aa) a sugár qau A kör egyenlete (x - a) + (x - a) a b) (a a), r qau, x + y - ax - ay + a 0 c) A kör sugara: r a + a a, itagorasz tétele szerint Egyenlete: x + y - ax - ay 0 89 a) ( 9) Mivel a kör mindkét tengelyt érinti, a középpontjának koordinátái: (r r) és sugara r A kör egyenlete: (x - r) + (y - r) r Ekkor ( - r) + (9 - r) r Innen r, r 7 ét megoldás van: (x - ) + (y - ) és (x - 7) + (y - 7) 89 b) (x - ) + (y - ) 9 és (x - ) + (y - ) c) (x - 0) + (y - 0) 00 és (x - ) + (y - ) d) bx+ 8+ 0l + by+ 8+ 0l b8+ 0l és bx + 8-0l + by + 8-0l b8-0l 80 a) (6 7), r 6 $ -7 $ - + 6,(x-6) + (y - 7) 6 b) ( x- ) + ( y- ) 7 8 a) (9 9), r, (u ), (x - u) + (y - v) r Mivel rajta van a körön, azért (9 - u) + (9 - ) Innen u, u 6 ét megoldás van: (x - ) + (y - ) és (x - 6) + (y - ) b) (x - ) + (y - ) és (x - ) + (y - 6)

3 A kör egyenlete 8 a) Az AB szakasz felezômerôlegesének egyenlete: x - y Ha y 0, x 0 O r A 7 Akör egyenlete: x- + y 9 O b) x + y+ 9 O a) x- + y O b) x + (y + 8) 9 8 a) (x - ) + (y - ) b) (x + 6) + (y + ) 6 c) (x + ) + (y - ) d) x- + y- O O 7 8 a) ( -), (- -), a kör (u, v) középpontja illeszkedik a szakasz felezômerôlegesére, a 7x + y egyenletû egyenesre r qvu Felírhatjuk a következô egyenletrendszert: ( u ) 7u+ v ( v ) v ét megoldás van: u, v -, u, v - A körök egyenletei: (x - ) + (y + ) és (x - ) + (y + ) b) x- b+ le + + y - b+ le b+ l és x-b- le + y-b- le b-l c) (x - ) + y 69 és (x - ) + (y - 8) 86 a) Az érintési pont koordinátái: E( ) E-ben az y x - egyenletû egyenesre emelt merôleges egyenlete: y -x + A kör középpontja az y -x + egyenletû egyenes és a (0 ), E( ) szakaszt felezô merôleges egyenes közös pontja A felezômerôleges egyenlete x- y, r O A kör egyenlete: x- + y- 98 O O 98 b) (x -,) + (y +,), 87 a) Az érintési pont koordinátái: E( ), r (87 ábra) Az x + y egyenletû 0 egyenes normálvektora: n( ) Az egységvektor: n O Akör sugara: r O E Mivel E n 0 O, ezért E vektor koordinátái: ( ) A középpontra O OE + E, ezért a pont koordinátái ( + + ), O ( ) A -nak E-re vonatkozó tükörképe is megoldás: (0 ) 87 A körök egyenletei: (x - ) + (y - ) és x + (y - ) b) x + (y + ) és (x + ) + y 88 a) ( - ), ( ), r 0 A kör (u v) középpontja rajta van a szakasz felezômerôlegesén, amelynek egyenlete: y x Másrészt 0, azaz (u + ) + (v - ) 0 és v u Ebbôl az egyenletrendszerbôl u 0, v 0, u, v 6 adódik ét megoldás van: x + y 0 és (x - ) + (y - 6) 0

4 6 A kör 8 b) (x - 8) + (y - ) és (x - ) + (y + 6) c) (x - ) + (y - ) 0 és (x + ) + (y - 6) 0 89 egyen e : y x + és e : y x - 6 e e a középpárhuzamos egyenlete: e: y x + Az e egyik pontja Q( 0) Q pontnak az e egyenestôl mért távolsága a keresett kör sugara: r A kör középpontjának (u v) koordinátáira a következô egyenletrendszert írhatjuk fel, felhasználva az adott ( ) pont koordinátáit: rajta van a körön, ezért ( - u) + ( - v) 0, másrészt a kör középpontja illeszkedik az e középvonalra, ezért v u + Az egyenletrendszerbôl két megoldást kapunk: (x + ) + (y - ) 0 és (x -,) + (y - 8,) 0 80 együk észre, hogy az adott egyenesek párhuzamosak ét megoldás van: x + y - x - y + 0 és x + y + x r 0 Megoldások: (x - ) + (y - 8) 80 és (x + ) + (y + 8) 80 8 ( ), r (x - ) + (y - ) 8 A háromszög köré írható kör sugara r 8 A( ) pont a háromszög súlypontja is A BC oldal A felezôpontja az A és a pont felhasználásával kiszámítható, mert A : A : A ( ) A BC oldal egyenlete: x + y 7, a háromszög köré írható kör egyenlete: (x - ) + (y - ) 8 A BC oldal és a kör közös pontjai adják a szabályos háromszög csúcspontjait: Bb+ - l, Cb- + l 8 egyen u > 0, u > 0, u > 0, u > 0 Ekkor r u, r u, r u és r u Az egyenes normálegyenlete: 0, ahol az egységvektor n O x+ y-0 0 Alkalmazva a távolságképletet, és figyelembe véve, hogy az egységvektor a,,, pontokat tartalmazó félsíkba mutat-e, vagy sem, a 8 ábra alapján felírhatjuk a következô egyenleteket: u+ u-0 u+ u-0 u+ u-0 u u 0 u, - u, u, u Innen kapjuk a körök középpontjainak koordinátáit és a körök sugarait ( ), r, r 6 6 O 6 (, -,), r, - r O 8 ( ), r (x - ) + (y - ) 86 A Q pont koordinátái: (0 y) Ekkor Q 0 a következôképpen írható fel: 9 + (y - ) 90 Innen y, y 8 A Q (0 ) és a (9 ) pontok meghatározta szakasz felezômerôlegesére, másrészt az y egyenletû egyenesre illeszkedik a keresett kör középpontja A x + y 7, y egyenletrendszerbôl ( ), r adódik Hasonlóképpen számítható ki a Q (0 8) pontban érintô kör középpontjának koordinátái és a kör sugara ( 8), r Megoldások: (x - ) + (y - ) és (x - ) + (y - 8)

5 A kör egyenlete 7 87 A kör középpontja az AB átfogó szakasz felezôpontja: O Az AC oldal egyenlete: -x + y 7 A BC befogó egyenes egyenlete: -x + y -6 A C csúcs koordinátái: C( -) A kör egyenlete: x- + ( y- ) O 88 (x - ) + (y - ) 0 89 Az érintô kör középpontja rajta van az y x egyenletû egyenesen: (x x) -nak az origótól való távolsága: O x az x egyenletû egyenestôl q x - q távolságra van Ekkor x (x - ) Innen x - +, x -- ét megoldás van r -b- + l -, r -b- - l + A körök egyenletei: x -- b + le + y -b- + le b- l, : x+ + D + : y+ + D b+ l 860 Ábrázoljuk az y x egyenletû egyenest és az x + y 9 egyenletû kört ét pont felel meg: (0 ), (0 ) 86 Elegendô a téglalapot az egyik átlójával megfelezni Megoldás: négyzet, t r 86 Az érintési pont: (- ) Az adott egyenes normálvektora: n( -), a normálvektor 0 hossza n Az egységvektor koordinátái: n - O Ekkor a vektor koordinátái: 0 $ n 0 (8-6) O O + innen O( 6 - ) Akeresett kör középpontja: (6 -) Még egy megoldást kapunk, ha -t a -re tükrözzük A körök egyenletei: (x - 6) + (y + ) 00 és (x + 0) + (y - 0) q) s) w) nem kör egyenlete, v) pontkör (r 0), a többi kör egyenlete izsgáljuk például a j) egyenletét: x +, x + y - y,6 Innen (x +,) + (y -,), +, +,6 (x +,) + (y -,) 6, (-,,), r, pl: c) (0 0), r 0 h) (0 ), r k) 0 O, r l) O, r m) Osszuk el az egyenletet -mal O, r 8 n) O, r 0 a b a + b o) (a 0), r qau t) - -, r O 86 a) A (- ) középpontú, r sugarú kör külsô pontjainak koordinátái b) (x - ) + (y + ) - Ilyen pont nem létezik c) ( -) pont d) (x - y)(x + y - ) 0 Az x - y 0 és az x + y - 0 egyenletû egyenesek pontjainak koordinátái 86 a) (x - ) + (y + ) és (x + ) + (y - ) körök egyenletei ( -), r, (- ), r egyenes egyenlete: x + y - b) 7x + 8y B C B + C - AD 866 x + + y + A O A O Szükséges és elégséges, hogy A! 0 és A B + C >AD legyen a) A! 0 és D 0 b) A! 0 és C 0 c) A! 0 és B 0 d) Szüksé-

6 8 A kör ges és elégséges, hogy y 0 esetén az AX + BX + D 0 egyenletnek pontosan egy gyöke legyen B AD és A! 0 e) A! 0 és C AD f) B AD, B C, A! ( ), r 0, x + y - 0x + 6y b x- l + y- r O Tegyük fel, hogy a (x y ), és a (x y ), rácspontok rajta vannak a fenti körön Ekkor bx- l + y - bx - + y - O l O Innen x - x + y -y - _ y- yi _ x-xi Ha x! x, akkor a bal oldal racionális, a jobb oldal irracionális miatt! Tehát x x y -y - _ y- yi 0, innen _ y- yi y+ y- 0 O y y, vagy y+ y Utóbbi nem lehetséges, mert y, y! Z Ellentmondásra jutottunk, ezért igaz a feladat állítása 869 b x- l + y- r O egyen (x y ), (x y ), rácspontok Ekkor x - x + y -y - _ y- yi _ x-xi Innen adódik, hogy x x és y y 870 egyen Q(0 ) Q rajta van az x + y egyenletû körön Tekintsük a Q ponton átmenô y mx + egyenletû egyeneseket Az egyenesnek és a körnek közös pontját az x + y, y mx + egyenletekbôl álló egyenletrendszer gyöke (i) adja x + (mx + ) Innen m (m + )x + mx 0 x 0, y, x- m + y - m Minden racionális m-re m + x és y is racionális A feladat állítása igaz 87 a) Az x tengely pontjainak második koordinátája 0, az y tengely pontjainak elsô koordinátája 0 Ha y 0, M (6 0), M (- 0), ha x 0, M b0 l, M b0 l + - b) M ( 0), M (- 0), M 0 M b 0 - l c) Mb 0l, M 0 M (0 ), M (0 -) + O - O 87 ( 0), (- 0), Q 0, Q 0 egyen az origó az O pont O O - Ekkor O $ O -, OQ$ OQ - Az origó a kör belsô pontja Az origó a húrt és a Q Q húrt két részre osztja A részek szorzata egyenlô a évfolyamon igazolt tétel szerint 87 A húr végpontjai A és B AB 0 AB felezôpontja legyen F Ekkor AF, F és A r ( a kör középpontja) AF derékszögû háromszögben r +, r, b l ét megoldás van, a körök egyenletei x + y - 0x! 0 y+ 0

7 A kör egyenlete 9 87 ét megoldás van: (x - ) + (y! ) 87 AB 8, r 0, (u v), (0 8) F 9 AB, ezért F pont felezi az AB húrt F v Az AF derékszögû háromszögben v + 0, innen v 8 u + (8-8), 0 u + 0, innen u!0 ét megoldás van: x + y! 60x - 96y $ -$ ( -), r, d 877 ( ), r, (- -6), r 6 A keresett kör középpontja ( -), az átmérô: 0, r, egyenlete: (x - ) + (y + ) A tengelypontok: b! 0l és 87 b0 -! 6lAnégyszög átlói merôlegesek egymásra és a hosszuk és 6 Anégy- szög területe: területegység a b b 878 A kör átmérôje AB a + ( b -) a sugara r + - +, a középpontja a b + a b a b b O, az egyenlete: x - + y O O Rendezve a kör egyenletét: () x + y - ax - (b + )y + b 0 Az x tengelyt olyan pontban metszi a kör, amelynek második koordinátája: y 0 Ekkor () szerint () x - ax + b 0 Ha () diszkriminánsa a - b > 0, akkor valóban a kör olyan két pontban metszi, amelyek abszcisszái () valós gyökei 879 A középpontok koordinátái: ( 9), (- -7) A centrális egyenlete: y x +, a 6, 880 ( ), r A négyszög csúcsai: x 0, A(0 ), C(0 -), y 0, B b- 0l, T Db+ 0l T, T 6 6 9, 9% T 88 ( ), r, (- ), r x + y + x - 8y A keresett koncentrikus kör egyenlete: () x + y - x + y + k 0 ()-nek az x tengellyel való metszéspontjai: b+ -k 0l és b- -k 0l () az y tengelyt a b0 + -k l és a b0 - -k l pontokban metszi A négyszög átlóinak hossza: - k és - k A négyszög területe: -k $ - k 6 6 Innen k - és k 0 A feladatnak a k - felel meg Megoldás: (x - ) + (y + ) 0 88 A kör középpontja az x - y - és az y x, vagy az x - y - és az y -x, egyenletû egyeneseken van Megoldás: (x - ) + (y - ) 0 és (x + ) + (y - ) 80 C C 88 A, B 0 kell legyen Ekkor ( x- ) + y O Innen C! ét 6 megoldás van: (x - ) + (y! )

8 0 A kör 88 a) Meg kell oldani a következô egyenletrendszert: + + a+ b 0 ( ) a+ b a b b) a b- 886 a) A kör egyenlete x + y + ax+ by + c 0 alakú Ezért + - a+ b+ c a+ b+ c a- b+ c 0 egyenletrendszer gyökei: a-, b, c- 8 _ x- i + _ y+ i Afeladatot úgy is megoldhatjuk, hogy kiszámítjuk az ABC háromszögben az oldalfelezô merôlegesek közös pontját, azután a kör sugarát b) ( x- ) + ( y+ ) 00 c) ( x- ) + ( y- ) d) ( x- ) + y- O 9 6 e) ( x- ) + y- O 887 A körív olyan kör része, amely áthalad az A(- 0 0), B(0 0), C(0 0) pontokon A kör egyenlete: x + ( y+ 0) 0 Ha x - 0, y 0, ha x - 0, y, 8 és így tovább, akkor a tartórudak hossza rendre 0,8 8,9 0 méter 888 a) Elôször számítsuk ki a háromszög csúcspontjainak koordinátáit: A ( ), B( - ), + + Feltételezve, hogy az egyenesek m n Ugyanis például az és egyene- és 0 Hasonlóképpen és, illetve és közös pontjai is kielégítik () egyenletet () ( x-y-)( 7x-y- ) + + m( 7x-y- ) $ ( x+ y+ 8) + n ( x+ y+ 8)( x-y- ) 0 A () másodfokú egyenlet akkor és csakis akkor kör egyenlete, ha az x, y együtthatói egyenlôk, az xy tag együtthatója 0 és r > 0 Így m-ra és n-re felírhatjuk () rendezése után a következô egyenletrendszert: 9m+ 7n- m- n Innen m n - Helyettesítsük m és n értékét ()-ben a m és a n helyére Ekkor ( x ) ( y ) valóban kör egyenlete b) 7x + 7y - 9x+ y- 6 0 Megjegyzés: Ha a m és n paraméterekre kapott egyenletek nem függetlenek egymástól, akkor nincs megoldás Ekkor az adott egyenesek közül kettô párhuzamos 890 A metszéspontok koordinátái: A( -,), B(6-0,), C(, 0) A x+ y- 0 egyenletû egyenes merôleges a x-y- 0 egyenletû egyenesre, mert $ - $ 0! AB r egység C( - ) A kör egyenlete: x- + y- 86 O 86 O 698 C( 6 6 ) ( x- ) + ( y- ) c) A (- ), B O x- + y+ O 7 O 889 Az adott egyeneseket jelöljük a következôképpen: : x-y- 0 : 7x-y- 0 : x y 8 0 páronként metszik egymást: () sek metszéspontjának koordinátáira 0, 0, 0 b) A ( ) O, C O - B( - - ),

9 A kör egyenlete 89 A csúcsok koordinátái: A(- -), B(- 6 ), 89 C( -) A körülírt kör egyenlete: ( x+ ) + y Az A(- -) csúcson átmenô belsô szögfelezô egyenlete: x+ y+ 9 - x+ y+ 8, innen () y x+ A C csúcsnál fekvô c szög szögfelezô egyenesének egyenlete: - x+ y+ 8 x+ y+ 6 - Innen () b- l x+ b + l y-6-8 A beírható kör O középpontjának koordinátáit az ()-() egyenletekbôl álló egyenletrendszer gyökei adják x - + és y - + A beírható kör sugara a x+ y+ 9 0 normálegyenlet felhasználásával számítható ki u - 89 A körök középpontjai: ( 0-6), ( 0) Aháromszög egyik oldala 6 egység, a hozzá tartozó magasság egység t területegység, a kerület hossza 0,8 egység 89 Az ABC háromszög derékszögû, mert AC( - 9 ), BC( - 6) és AB 6 6 $ (- 9) + $ (- 6) 0 t területegység, r k r egység 89 A háromszög derékszögû B 90 (89 ábra) a) b) ( ) ( ) 0 0 ( ) c) S O d) ( ) e) M( ) f) A háromszögbe írható kör sugara: AB + BC -AC u - O( + u -u), Ob- + l 89 A B pont koordinátái ( b 0 ),a C pont koordinátái c c O Ekkor c: 6 és b+ c Innen B( 0), C(8 ) A kör egyenlete: ( x - 7) + ( y - ) I megoldás Írjuk fel az ABC háromszög köré írható kör egyenletét és ellenôrizzük, hogy a D pont illeszkedik-e a körre? II megoldás AB( - 7), AD() 7 AB $ AD 7-7 0, tehát AB AD BC( 8 ), CD( - ) BC $ CD , tehát BC CDAnégy pont az AD átmérô fölé rajzolt körön van a) Az A( -), B(8 ), C( ) pontokon átmenô 9 0 kör egyenlete: x O y + 0 O egyen x 0 00 Ekkor y,, y- 9, Megoldás: D(0 -,9) + 89 O 89 b) D 0 adódik az x- + y 6 O 6 O 6 egyenletbôl

10 A kör A skaláris szorzat segítségével számítsuk ki az a és a c szögeket AB( - ), AD( 8) AB, AD 68, AB $ AD 6-0- Másrészt - $ 68 cos a Innen cosa- -, a Hasonlóképpen számíthatjuk ki a cosc értékét cosc, c Mivel a+ c 80, azért az ABCD négyszög húrnégyszög 899 A négyszög ABC pontjain átmenô kör egyenlete: ( x- ) + y A D( ) pont koordinátái kielégítik a kör egyenletét! 900 Az ABD pontokon átmenô kör egyenlete: ( x- ) + ( y+ ) A C pont koordinátái kielégítik a kör egyenletét 90 A( ), C( -) A négyzet középpontja az AC szakasz felezôpontja ( 0) (90 ábra) C( - ) Forgassuk el a C vektort kal D ( ) Ekkor OD O + D, D( ), B(0 -) 90 A B csúcs koordinátáit úgy számítjuk ki, hogy az A( -) pontot tükrözzük a x+ y egyenletû szimmetriatengelyre AB egyenes egyenlete: x- y Az AB szakasz F felezôpontjának koordinátáit a x+ y x- y egyenletrendszer gyökei adják F( ) B(7 ) A szimmetrikus 90 trapéz köré írható kört egyértelmûen meghatározzák az A, B, D pontok A középpontját a x+ y egyenletû egyenes és az AD szakasz f felezô merôlegesének közös pontja adja f egyenlete x+ y- 0 (9,6-7,), r A, 9 A trapéz köré írható kör egyenlete: ( x - 96, ) + + ( y + 7, ), 9 90 A téglalap B csúcsának koordinátái: B(- -9) Ugyanis AD( - ), AD( - 9 ) Elforgatva +90 -kal kapjuk az AB vektort AB( - - 9) Ekkor OB OA+ AB, OB( - - 9) AB csúcs koordinátái (- -9) A téglalap köré írható kör középpontja azonos a BD szakasz felezô-

11 A kör egyenlete pontjával (- -), a kör sugara: r, egyenlete: k:( x+ ) + ( y+ ) A B csúcsot tükrözve az A pontra még egy téglalapot kapunk: B*( 9 ) Az AB* C* D téglalap köré írható kör egyenlete: k:( x- ) + ( y- ) A k kör a tengelyeket a ( 0), (- 0), b l, b0 -- 6l koordinátájú pontokban metszi A k kör a tengelyeket a ( 0), b0 + l, b0 - l, koordinátájú pontokban érinti, illetve metszi A kimetszett húrok hossza: 6 6 egység 90 A háromszöget helyezzük el az ábrán látható módon a koordináta-rendszerben egyen A(-a 0), B(a 0), ekkor C(0 a) Az ABC háromszög így valóban egyenlô szárú és derékszögû háromszög A CB( a - a) kal elforgatva CC ( a a) Így az OC OC + CC az OC és a C koordinátái ( a a) Hasonló meggondolással kapjuk, hogy B ( a a), a szimmetria miatt A ( a a) ( - a A szóbanforgó csúcsok az origótól a + a a egység távolságra vannak, és így az x + y a egyenletû körön vannak 90 Az egyenesek párhuzamosak Ebbôl következik, hogy a kör (u v) középpontja az x egyenletû egyenesre illeszkedik és a sugara r A középpont rajta van a x- y 6 egyenletû egyenesen is Mivel u, v 9 Megoldás: ( x- ) + ( y- 9) x-b- le + y-b- le b-l egyen e : x+ y- 0, e : x+ y- 0 és e : y x- e e, ezért az érintôkör középpontja rajta van a középpárhuzamoson, amelynek egyenlete k: x+ y Másrészt rajta van az e és e egyenesek által bezárt szögek szögfelezôin f és f egyenleteit az e és e egyenesek normálegyenleteivel, illetve a d Ax + By+ C távolságképlettel írhatjuk fel A + B f egyenlete: x- y Az f egyenlete: x+ y 9 A k kör középpontja a O pont, a sugár r kör egyenlete: x- + y- 907 O O A k kör középpontjának koordinátáit a k és f egyenesek metszéspontja adja ( 0), r egyenlete: ( x- ) + y 908 a) egyen e: x- y 0, e : x+ y- 0 és e : x+ y A középpont rajta van az e és e egyenesek szögfelezôin, másrészt az e egyenesen A szögfelezôk egyenletei:

12 A kör 909 f : x+ y, f: x- y A k kör középpontjának koordinátái kielégítik az f és e egyenleteket Innen: ( - ), a sugár r 0 egység A k kör középpontjának koordinátáit az f és e egyenletrendszer gyökei adják O, a sugár: r A körök egyenletei: 0 ( x- ) + ( y+ ), és x- + y- O O 90 9 b) ( x- ) + ( y- ), és x+ + y-, O O 909 A k kör középpontja rajta van az x 6 egyenletû egyenesen, másrészt egyenlô távol van az x+ y- 0 egyenletû egyenestôl és a ( ), illetve ( 0 ) koordinátájú pontoktól ( ) A ( 6 v) pontra felírhatjuk a következô egyenletet: 6 v () ( 6- ) + ( v - ) + - () egyenlet gyökei: v 9, v 7 Mindkét gyök megoldás Az egyik kör középpontjának koordinátái: (6 7), a sugara egység, a másik kör kö- zéppontja: (6 9), a sugara egység 90 egyen x $ 0 és y $ 0 Ekkor a kettôs egyenlôtlenség a következôképpen írható: # x + y # x+ y Az x + y $ egyenlôtlenséget kielégítô ( x y) számpárok az origó középpontú egység sugarú körvonal vagy a körön kívül fekvô pontok koordinátái Az x + y # x+ y, illetve az ( x- ) + ( y-) egyenlettel megadott ponthalmaz az elsô síknegyedben az ( ) középpontú, r sugarú körön vagy annak belsejében helyezkedik el A kettôs egyenlôtlenséggel megadott síkidomot az ábrán az I síknegyedben bevonalkáztuk Ha x # 0 és y $ 0, akkor a II síknegyedbeli holdacskát kapjuk És így tovább A négy bevonalkázott holdacska egybevágó Egyik területe: 9 b l r r $ t - - O T $ 8 területegység O 9 A ( 6) ponton átmenô egyenesek egyenlete: y mx+ b alakú 6 m+ b, ezért y mx+ 6- m Az egyenesek normálegyenlete: 0 Az ábra alapján mx- y + 6-m m + állítjuk, hogy két egységsugarú érintôkör létezhet: (- ), r, ( - ), r Ekkor pontra: ()

13 A kör egyenlete -m- + 6-m m+ + 6-m -m O pontra: () () egyenletbôl m + m + + m O m, m A feladat követelményeinek az m felel meg Az egyenes egyenlete: x- y+ 0 A ()-es egyenletbôl kapjuk a második megoldást: y 6, x- 8, 9 Az A(0 0), B( ), C( 0) csúcsokon átmenô kör egyenlete: 6 k:( x- ) + y- O A kör 6 O középpontja a D( -) ponttól d 97 egység 6 távolságra van A keresett kör R sugarát úgy kapjuk, hogy a k kör sugarát, -et a felével megnöveljük R Helyezzük el az ABC háromszöget a koordináta-rendszerben úgy, hogy a csúcsok koordinátái a következô számpárok legyenek: A( - a 0), B( a 0), C( c d), ahol a> 0, dy 0 Ekkor a x ( y) pontra A + B + C ( x + a) + y + ( x - a) + y + ( x - c) + ( y - d) Ren- c d 8c 8d 8c + 8d dezve: A + B + C x - + y - + a + + $ a + O O c d A négyzetösszeg akkor a legkisebb, ha x, y Ekkor a pont az ABC háromszög súlypontja 9 álasszuk meg a koordináta-rendszert úgy, hogy a háromszög csúcspontjainak koordinátái: A - c 0 O, B c 0 O Cx ( y ) legyen ( C > 0, yy 0 ) Ekkor t c y és 8t c y (t jelenti az ABC háromszög területét) Az oldalak négyzetösszegére felírhatjuk a következô egyen- c c c letet: () c + x+ + y + x- + y c y O O Ha y > 0, akkor ()-bôl x + ( y- c) c c adódik, ha y < 0, akkor x + ( y+ c) A mértani hely két kör: ( 0 c), r, c ( 0 - c), r Mindkét kör minden pontja hozzátartozik a mértani helyhez 9 egyen x ( y ) Ekkor ( x+ ) + y + ( x- ) + y + x + ( y- 6) k Innen rendezéssel: x + ( y- ) `k -j adódik Ha k <, akkor a mértani hely üres halmaz Ha k, akkor a mértani hely egy pont: (0 ) Ha k >, akkor a mértani hely kör, amelynek középpontja a (0 ) koordinátájú pont, a sugara egység A kör minden pontja megfelel k -

14 6 A kör 96 A keresett kör középpontja egyrészt rajta van az origó körül rajzolt egységsugarú körön, másrészt az x+ y egyenletû egyenesre a ( ) pontban emelt merôleges egyenesen A körök egyenletei: ( x ) y és x + ( y+ ) 8 97 egyen a szabályos háromszög oldala a hosszúságú Ekkor a magassága a álasszuk a meg a koordináta-rendszert úgy, hogy a csúcsok koordinátái a következôk legyenek: B - 0 O, C a 0 O, A a O 0 O A feladat szerint: x y a a a O + - x+ + y + x- + y O O O Innen rendezéssel az x + y+ egyenletet kapjuk A mértani hely olyan kör, amely- a a O O a O a nek középpontja a 0 - pont, a sugara egység A kör minden pontja megfelel O ör és egyenes kölcsönös helyzete ör érintôje a 98 a) ( ), ( 0) b) ( ) c) ét közös pont van, ha r > a a r mr O egy közös pont van, ha r nincs közös pont, ha r < d) m + m + O, r mr O - - e) ét közös pont van, ha m + m + O r b > egy közös pont van, m + b b ha r, nincs közös pont, ha r < m + m + 99 a) ét közös pont van b) ét közös pont c) Egy közös ponton van d) incs közös pont D < 0 90 a) ( ) és - O b) (0 0) és O c) (,9,) és (0, 0,) d) ( ) és (- -) e) ( -6) 9 9 a) ét közös pont van: ( ) és - O b) Egy közös pont van: ( -) c) Az egyenes egyenlete: x+ y Az egyenesnek és az x + y egyenletû körnek egy közös pontja van: ( ) Az egyenes az x + y 6 egyenletû kört két pontban metszi O O és O O

15 ör és egyenes kölcsönös helyzete ör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a szakaszra, ahol az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van (- ), a sugár r 8 <, tehát a körön belül van Az ábra szerint A A -, a legrövidebb húr hossza: AB A húr egyenesének egyenlete: x+ y 9 A kör középpontja az AB szakasz felezômerôlegesére illeszkedik Ennek egyenlete 7x+ y A középpontja: ( ) A sugár r A egység A kör egyenlete: ( x- ) + ( y- ) A C csúcs koordinátáit a kör és az y- x 7 egyenletû egyenes közös pontjai adják C ( 9), C ( - ) 9 x + y + x- 7y 0 96 Számítsuk ki a ( 7) középpontú, r egység sugarú kör és az x+ y 7 egyenletû egyenes közös pontjainak koordinátáit ( - ), ( ) 97 egyen A( ), B(- -) Ekkor az átfogó egyenes egyenlete x- y- 7 Mivel a Tt (, ) illeszkedik az átfogóra, azért t - $, - 7, innen t - 06, Az ABC derékszögû háromszög köré írható Thalész-kör egyenlete: (- ), r, ( x+ ) + ( y- ) A T ponton átmenô magasságegyenes egyenlete: x+ y 8 C( - ), C O 98 A kör középpontja az origó, O(0 0), az érintési pont az E(6-8) pont A keresett kör középpontja rajta van az OE egyenesen, és az E ponttól egység távolságra van OE egyenes egyenlete: x+ y 0 E vagyis ( x- 6) + ( y+ 8) ( - ), ( - 0 ), és a sugár r ét megoldás van: ( x+ ) + ( y- ) és ( x- ) + ( y+ 0) 99 Az ábra szerint CD Mivel E CD, ezért ED A CD egyenes normálegyenlete: x - y A k kör ( u v) középpontjának a CD egyenestôl mért távolsága: 9 d u v 8 A k kör középpontja rajta van az AB szakasz felezômerôlegesén, az f egyenesen f egyenlete: 7x+ y, tehát 7u+ v A keresett 99 kör r A sugarára felírhatjuk a következô egyenletet: ( u+ ) + ( v- ) r Másrészt r E + ED, tehát () ( u+ ) + ( v-) u v b l A k kör egyen- lete: ( x- ) + ( y- 7), a k kör egyenlete ( x - 7) + + ( y + 0) 0 90 Az origón átmenô kör egyenlete: x + y + ax+ by 0 alakú A szögfelezô origótól különbözô pontja p ( p, ) ahol p Y 0 Mivel rajta van a körön, azért p + p + ap+ bp 0

16 8 A kör p Y 0-val egyszerûsítve: p+ a+ b 0, tehát a+ b- p A körnek a tengelyekkel való metszéspontjai: O(0 0) és A( - a 0), illetve O(0 0) és B( - b 0) OA + OB - ( a + b) p Tehát a kérdéses összeg csak a pont megválasztásától függ 9 x+ y 9 Az adott kör - abszcisszájú pontjai: b- l, b- - l A pontokban az érintôk egyenletei: e : - x + y 6 és e : - x - y 6 Írjuk fel a normálvektorok skaláris szorzatát 6$ 6cos{ -, cos{ { 67, Mivel a { nem tom- 6 paszög, azért a két érintô hajlásszöge 67, Az érintôk metszéspontja O { 6, 6 9 Az érintôk egyenletei: y, x -, y - és xx+ yy, ahol 0< x < A trapéz + y csúcsai: A(- -), B - x O, C - y + x O, D(- ) A B csúcs koordinátáit az xx+ yy y - egyenletrendszer, a C csúcs koordinátáit az xx + yy egyenletrendszer gyökei adják A trapéz AC átlójának egyenlete: () - x y + - A trapéz BD y x y x y x x x y x y átlójának egyenlete: () x y () és () egyenlet megfelelô oldalait összeadva y adódik y értékét behelyettesítve ()-ben az x helyére és figyelembe vé- x x y x + y ve, hogy x + y, x 0 adódik M 0 x+ O A nem párhuzamos oldalak érintési pontjai: ^- 0 h, ^ x y h A egyenes egyenlete: - yx+ _ x+ i y y Ha x 0, akkor y y, tehát a x + egyenes átmegy az M ponton 9 a) (0 0) ponton átmenô egyenesek egyenlete y mx- 0m Az m paramétert úgy kell megválasztani, hogy a körnek és az egyenesnek egy közös pontja legyen Ez akkor teljesül, ha az x y + egyenletrendszerbôl adódó x + ( mx- 0m) másodfokú y mx-0m egyenlet diszkriminánsa 0 `+ m j x - 0m x + 00m - 0 egyenletbôl a diszkri- mináns D: m Tehát m! ét megoldás van Az érintôk egyenletei: O x! y 0 Az érintési pontok koordinátái: O, O Az érintôszakasz O hossza: egység Az érintôk hajlásszögét a normálvektorok segítségével számítjuk ki n b l, n b - l, n n cos{ -, { 0 Az egyenes hajlásszöge hegyesszög: ~ 80-0 b) x- y, x- y, ^ -h, ^ h, egység, 90

17 ör és egyenes kölcsönös helyzete ör érintôje 9 c) y, x- y 0, ^ 0 h, ^, -, h, 8 egység,, d) x+ y, x- y-, ^ h, ^ - h, egység, Tekintsük azt a derékszögû háromszöget, amelynek befogói a kör sugara és a (8 0) pontból a körhöz húzott érintôszakasz Az átfogó hossza 8 egység Ekkor sina, a 0, 8 a Az A(-,) pontból az x + y 00 egyenletû körhöz húzott érintôk egyenletei 7x+ y-0 és x- y- 0 A ( 0) ponton átmenô és az x + y 00 egyenletû kört érintô egyenesek egyenlete y 0, 60x- y 60 A hiányzó csúcsok koordinátái: 0-0 O, O 98 a) A (0 0) ponton át húzzunk merôleges egyenest a x- y 7 egyenletû egyenesre Ennek egyenlete: x+ y 0 Ez az egyenes kimetszi a körbôl a keresett érintôk pontjait x + y Innen y x+ y 0, y! x " Az érintési pontok koordinátái: E b- l, E b - l Az érintôk egyenletei: x- y- és x- y b) x - y x - y - c) x - y 69, x - y -69 d) Az y x-7 egyenletû egyenesre merôleges egyenes egyenlete: x+ y b alakú A b értékét úgy kell megválasztani, hogy az egyenesnek a körrel pontosan egy közös pontja legyen A diszkrimináns: D 6b -0 `b - j 0, ha b! 0 Az érintôk egyenletei: x+ y 0 és x+ y A pont abszcisszáját a QO derékszögû háromszög segítségével számíthatjuk ki, ahol O a kör középpontja (az origó) OQ, Q, O +, O 7 Az érintési pont koordinátáit az x + y egyenletû kör és az O átmérô fölé rajzolt Thalész-kör közös 0 pontjai adják E 7 7 O, E O Az érintôk egyenletei: x+ y és x+ y- 90 Az alappal szemközti C(6 8) csúcson és a beírt kör O(0 0) középpontján átmenô egyenes a beírt kört az alap C felezôpontjában metszi és merôleges az alap egyenesére Az OC _ x + y 6 8 b egyenes egyenlete: y x A C 6 pont koordinátáit az 8 ` egyenletrendszer gyökei y x 6 b a adják: (,8 6,) és (-,8-6,) Mivel a kör a háromszögbe írt kör, azért a C koordinátái az ábra szerint (-,8-6,) Az AB alapegyenes egyenlete: x+ y- 0 A C pontból a körhöz húzott egyik száregyenes egyenlete: y 8 A csúcs koordinátái: x + -0 egyenletbôl x - - A B 7 csúcs koordinátáit megkapjuk, ha az A pontot tükrözzük a C pontra B(, -0,8) 90

18 0 A kör 9 9 Az AOC háromszögben tg0 OC a Innen a, a szabályos háromszög oldala egység hosszú Az A csúcs koordinátái Ab-6 - l, B b6 - l, C b0 l Az oldalak egyenletei: y x+, y- x+, y - 9 Az adott k kör középpontján át húzzunk merôleges egyenest az adott e egyenesre álasszuk ezt az egyenest x tengelynek, az e egyenest y tengelynek A kör középpontjának rögzített koordinátái (u, 0), az y tengely változó pontjának koordinátái (0 p) A középpontú kör egyenlete: x + ( y- p) u + p - r Innen leolvasha- tó, hogy p-tôl függetlenül a Qc u - r 0m rajta van mindegyik körön megoldás van, ha u > r, megoldás, ha u r, nincs megoldás, ha u < r 9 a) x+ y ( a kör középpontja, a kör adott pontja) b) x- y+ 9 0 c) x- y+ 9 0 és x+ y- 0 9 Az érintési pontok koordinátái: E^ h, E ^- -h Az e érintô normálvektora: n^ -h, e normálvektora: n^ - h Az érintôk egyenletei: e : x - y, e : x- y 7 7 e és e Q metszéspontjának koordinátái: Q - O 9 A kör a tengelyeket a (0 0), (0 8), (6 0) pontokban metszi Ezekben a pontokban a kör érintôinek egyenletei rendre x+ y-, x- y- 8, x+ y 6 A hajlásszögek az érintôk és a tengelyek által beárt szöggel egyenlôk:, és 6,6 96 A pálya egyenletét a ( ) pontban a körhöz húzható érintô egyenlete adja: x-y A kör középpontjának koordinátái: ( -) A x- y 0 egyenessel párhuzamos körérintôk érintési pontjait úgy kapjuk meg, ha a középponton átmenô, és a x y egyenesre merôleges egyenesnek és a körnek a közös pontjait határozzuk meg Az érintési pontok koordinátái: E^ -h, E^ - h Az érintôk egyenletei: e : x - y , e : x- y Az érintô egyenlete: y x+ b alakú A b-t úgy kell meghatározni, hogy az egyenesnek és a körnek egy közös pontja legyen Ekkor a kapott másodfokú egyenlet diszkriminánsa: D ( 6b-6) -0`b - b+ j D 0, ha b - 9! ét érintô létezik Egyenletük: y x- 9! 99 ét érintôt kapunk: x+ y- 7 0, x+ y 90 a) Az érintô egyenlete: y mx alakú m-et úgy kell meghatározni, hogy az y mx egyenletû egyenesnek az x + y -0x- y+ 0 egyenletû körrel egy közös pontja legyen 0 Az egyenletrendszer diszkriminánsa: D 80m- 8m D 0, ha m 0, m ét érintôt kapunk Egyenleteik: y 0 és 0x- y 0 b) x- y+ 0, x - y-7 0 c) x, x -y- 0 d) 9x + 0y 8, x

19 ör és egyenes kölcsönös helyzete ör érintôje 9 A kör egyenlete: ( x- ) + ( y+ ) 6 A (0 -) pont a kör ( -) középpontjától egység távolságra van A pontból a körhöz húzható érintôszakasz olyan derékszögû háromszögnek a befogója, amelynek átfogója egység, a másik befogó egység Az érintôszakasz hossza rajta van a körön, belsô pont -re 0 9 ét megoldás van (-0, 8,8), (6 ) Ugyanis a (- 0) ponton átmenô körérintôk egyenlete: - x+ y, - x+ y 9 Tekintsük az ábrát A A felezi az A-nál fekvô derékszöget A AE 9 derékszögû háromszög átfogója 0 egység Így ( a - ) + 0 Innen a! ét megoldás van A b 0l, A b 0l a) A közös külsô és belsô érintôk átmennek a körök külsô, illetve belsô hasonlósági pontjain, a Q és a Q ponton A két kör olyan helyzetû, hogy az egyik külsô érintô egyenlete: y A Q pont koordinátáit úgy számítjuk ki, hogy elôször felírjuk centrális egyenletét y x O, azután a Q pont koordinátái egyszerûen adódnak Q ( ), Q O Ezután kiszámítjuk a Q és a Q ponton átmenô, például az ( x- ) + ( y- ) egyenletû kör y egyenestôl különbözô érintôjének egyenletét: x- y 0 A Q ponton átmenô másik érintô egyenlete: x+ y b) A két kör metszi egymást Csak külsô érintôik vannak Egyenleteik: x+ y 7 és x- y 7 c) Csak közös külsô érintôk léteznek Egyenleteik: x+ y b! l 9 9 A közös érintô egyenlete: x+ y 96 A harmadik csúcs rajta van a körön és az AB oldal felezômerôlegesén ét megoldás van: C (6 8), C (-, -0,) 97 Az A( ) csúccsal szemközti oldal A felezôpontjának koordinátái A ( 7) A szabályos háromszög magassága: AA egység A szabályos háromszög oldala legyen a hosszúságú a 6 A BC oldal egyenlete: x+ y 8 A szabályos háromszög B(b b ) csúcsa raj- ta van a BC oldal egyenesén, másrészt az A csúcstól 6 egység távolságra van A keresett csúcsok koordinátái: B b- 7+ l, C b+ 7- l 98 A négyszög csúcsai: A, B, C, D Az A csúcs koordinátáit a x+ y 0, x- y+ 0 egyenesek közös pontja adja A(- ) Az A átló egyenlete: y BD átló egyenlete: x

20 A kör x A B csúcs koordinátáit az x- y+ 0 egyenletrendszer, a D csúcs koordinátáit az x x+ y 0 egyenletrendszer megoldása adja B( 6), D( -) Írjuk fel az A, B, D pontokon átmenô kör egyenletét: ( x- ) + ( y- ) A C csúcs koordinátáit a kör és az A átló egyenleteibôl álló egyenletrendszer gyökei adják C( 9) 99 ét megoldás van, mert két érintô húzható O, O 960 A ( -0) középpontú r 0 egység sugarú kör 0 egység hosszúságú húrjai a középponttól d egység távolságra vannak A húrok felezôpontjai egy ( x- ) + ( y+ 0) egyenletû körön vannak Az origón átmenô y mx egyenletû egyenesek közül azt az egyenest kell kiválasztani, amely érinti az ( x- ) + ( y+ 0) egyenletû kört Az egyik érintô egyenlete x 0 (az y tengely) A másik érintô egyenletét az y mx ( x ) ( y 0) egyenletrendszerbôl adódó diszkriminánsból számíthatjuk ki m - 0, m - Az x 0 egyenletû egyenes az ( x- ) + ( y+ 0) 0 egyenletû kört a (0 -) és a (0 -) pontokban, az y- x egyenletû egyenes a kört a Q ( -) és a Q ( -9) pontokban metszi QQ 0 egység 96 A kör középpontja rajta van az y x egyenletû egyenesen, tehát a középpont koordinátái: u v, a sugár r u, mert a kör érinti az origóban az y-x egyenletû egyenest A kö- zéppont r távolságra van az x - y + 0 normálegyenletû egyenestôl is Tehát u ét megoldás van: ( x- ) + ( y- ) 8, vagy ( x+ ) + ( y+ ) 8 96 k : x-b - le + y-b- le b -l és k : x-b-- le + y- b+ le b+ l 96 Meg kell keresni az adott körnek azt a pontját, amelyik legközelebb van az AB egyeneshez Ezt a pontot a (8 ) ponton átmenô, és az AB egyenesre merôleges e egyenes metszi ki a körbôl Megoldás ( -) 96 A (6 ) ponton átmenô e egyenes egyenlete: y mx+ -6m alakú e normálegyen- mx- y + -6m lete: 0 m-et úgy kell meghatározni, hogy - m+ + -6m legyen m + m + Megoldás: y és x- y 96 ( x- ) + ( y- 7) 0 A ponthalmaz kör, a kör minden pontja hozzátartozik a felté- telt kielégítô ponthalmazhoz 966 Az ABCD paralelogramma A csúcsának koordinátái (0 0), a C csúcs koordinátái (p q) Az AC átló felezôpontja: F p O F illeszkedik az x+ egyenletû egyenesre, tehát

21 ör és egyenes kölcsönös helyzete ör érintôje () p + $ q Másrészt C rajta van a körön, ezért () ( p- 8) + ( q- ) () és () egyenletekbôl álló egyenletrendszer gyökei adják a C csúcspont koordinátáit ét megoldás van C (8 0) és C ( 8) Az AC átló felezôpontja: F ( ) A paralelogramma B és D csúcsait úgy számíthatjuk ki, hogy felírjuk a F egyenesre merôleges, és az F ponton átmenô szelô egyenletét (Ugyanis F felezi a B D húrt, ezért a (8 ) középpontból a húr felezôpontjához húzott szakasz merôleges a húrra) A szelô kimetszi a körbôl a B és a D csúcsokat A szelô egyenlete: x, B és D koordinátái: B ( ), D ( 8) Hasonló meggondolással kapjuk a C ( 8) pont felhasználásával a B, D csúcsok koordinátáit B (8 0), D ( 8) Az AB C D és az AB C D négyszögek valóban paralelogrammák és eleget tesznek a feladat követelményeinek 967 ét megoldás van ( ), (8 0) 968 A kör középpontjának koordinátái: (u u), az érintési pont koordinátái E( ) Az adott egyenes irányvektora: v(- ), a E ( -u - u) E v E $ v 0 Innen u A kör egyenlete: ( x- ) + ( y- ) 969 olyan kör van, amely megfelel a feladat követelményeinek Ezek közül legkisebb az A(0 0), B b 0l, C(0 ) csúcsokkal kifeszített háromszögbe írt kör Ennek a középpontja rajta van az y x egyenletû egyenesen, tehát (u u), r u Az adott egyenes normálegyenlete: x+ y- 0 A beírt körre felírhatjuk a következô egyenletet: u + u - - u - O - O - O A kör egyenlete: x- + y- O O O Az oldalak egyenletei: y! x, x A kerület 9 egység, a terület területegység 97 egyenek a téglalap csúcsainak koordinátái: A(0 0), B(a 0), C(a a), D(0 a) Az E koordinátái: a a O AE $ BD 0 97 Az origón átmenô érintô egyenlete y mx Az egyenes akkor érinti a kört, ha az x + y - 8x+ y- + a 0 egyenletrendszerbôl adódó diszkrimináns 0 y mx D:( 8 -a) m - 8m+ 8 - a 0 ét m érték, két érintô van Ha ezek merôlegesek egymásra, akkor az iránytangenseik szorzata a 97 m$ m -, a gyökök és együtthatók közötti összefüggés alapján, a 8 97 Az A( -) csúccsal szemközti BC oldal A 8 - a felezôpontja azonos az adott kör ( ) középpontjával Ebbôl következik, hogy a BC oldal a kör átmérôje égtelen sok megoldás van 97 Tekintsük az ábrát Az érintônégyszög egyenlô szárú trapéz, mert két szemközti oldala párhuzamos és a trapéz tengelyesen szimmetrikus Az alapok összege 0, mert a szárak összege $ AD 0 egység A má-

22 A kör sik szár irányvektorát úgy számíthatjuk ki, ha elôször kiszámítjuk az M pont koordinátáit _ úgy, hogy MD AD 0 egység legyen Az M(p q) pontra () q p- b ` () p + ( q- 6) 0b a 8 6 ()-() egyenletrendszerbôl: p, q A trapéz BC szára párhuzamos az MD szakaszszal MD egyenes irányvektora v O, illetve v MD ( -7) egyen a B(b b ), a C(c c ) 8 Ekkor B és C koordinátáira felírhatjuk a következô egyenletrendszert: () b b- () c c- 6 () b + _ b+ i + c + _ c+ 6i 0, mert az érintônégyszög szemközti oldalainak összege egyenlô és (6) -, mert BC egyenes iránytangense b b- c 7 - c egyenlô az MD egyenes iránytangensével ()-(6) egyenletrendszer megoldása, mivel 6 b, b, c, c > 0, b b 8 c 6 c 97 A rajta van a körön, mert a koordinátái kielégítik az adott kör egyenletét ( x- ) + ( y- ) 69 egyenletbôl ( ) A C csúcsot úgy kapjuk, hogy az A pontot tükrözzük a középpontra C(- ) A( - ) Elforgatva! 90 -kal, B( 7), D(-9 -) 976 A és B valóban a k:( x- ) + y 6 kör pontjai Igazoljuk! A C pont koordinátái _ c+ i + _ c+ i 9 (c c ) Ekkor () és () _ c - i + c 6 ét megoldás van C c 6 c ( ), _ - i + _ - i 0 C - O 977 Az egyenes egyenlete: y- x+ a, ahol a > 0 Az egyenes érinti az x + y O egyenletû kört, ha a Az érintési pont: E O Ábrázoljuk a deltoidot A beírt kör O középpontja az y tengelyre esik, mert az y tengely szimmetriatengely Másrészt O rajta van az ABC szög szögfelezôjén x+ y- AB egyenes normálegyenlete: 0 x-y- 8 A BC egyenes normálegyenlete: 0 A O(0 v) középpontra felírhatjuk a következô egyenletet: v- v A deltoidba írható kör középpontjának koordinátái O(0 -)

23 örök kölcsönös helyzete, közös pontjaik meghatározása Az OB egyenesre merôleges, és a B ponton átmenô egyenes egyenlete: 7x+ y 9 A pont 7 koordinátái: 7x + 9 egyenletbôl 8 O, illetve O A Q pont koordinátái: Q - O 8 A QRS egyenlô szárú trapéz, ezért R O, S - O A R átló egyenlete: x- y, az SQ átlóegyenlete: x+ y- Mindkét átló átmegy az O ponton, mert O koordinátái mindkét egyenletet kielégítik x y 979 Az origónak az + egyenletû egyenesre esô merôleges vetülete legyen koordinátái x, y ahol ab Y 0 Ekkor x + y állandó A mér- a b ab a b a + b a + b + a b tani hely origó középpontú kör A kör sugarának négyzete r A kör tengelypontjai ( pont) nem tartoznak a mértani + a b helyhez örök kölcsönös helyzete, közös pontjaik meghatározása 980 a) A két körnek egy közös pontja van, érintik egymást a ( 0) pontban 8+ - O b) O, 8- + O, c) (- ) d) - O O 98 ( ) az érintési pont A keresett kör középpontja rajta van az y x egyenletû egyenesen, mivel mindkét koordinátatengelyt érinti Ezért u v és r u A kör egyenlete: (x - u) + (y - u) u Mivel a pont illeszkedik a keresett körre, azért ( - u) + ( - u) u Innen u 7! 6 Megoldás: x- b7! 6lE + y- b7! 6lE b7! 6l 98 a) A körök közös pontjainak koordinátái: ( 00 ), ( ) A keresett kör uv ( ) középpontjára és a sugár r u + v és ( u- ) + ( v- ) ét megoldás van: x + y - x+ y 0 és x + y + x- y 0 b) A kör középpontja a (0 0) és az ( ) pontokat összekötô szakasz felezôpontja Megoldás: x + y -x- y A körök közös pontjainak koordinátái: ( - ), O A keresett kör középpontja az x tengelyen van, tehát a koordinátái: (u 0), másrészt ( u + ) + u - + O Innen u, r A kör egyenlete: x- + y 6 O 6 98 A két kör közös pontjainak koordinátái: ( -), ( - ), és az adott ( -) pontok derékszögû háromszöget feszítenek ki A kör egyenlete: x + y - x+ y ( ), ( )

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2) 55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok ) Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0. Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

Koordináta-geometria II.

Koordináta-geometria II. Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a

Részletesebben

Koordináta - geometria I.

Koordináta - geometria I. Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

KOORDINÁTA-GEOMETRIA

KOORDINÁTA-GEOMETRIA XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

V. Koordinátageometria

V. Koordinátageometria oordinátageometria Szakaszt adott arányban osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 a) xf= + = 9 yf= + N 7 N = F_ 9 i b) 7 O c) - O N d) - O a c N e) O O b 6 - b 6 & b + =- = =- & b =- 8 B( - 8) 7 N N N N

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét. Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig

4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig Oktatási Hivatal Az forduló feladatainak megoldása (Szakközépiskola) Melyek azok az m Z számok, amelyekre az ( m ) x mx = 0 egyenletnek legfeljebb egy, az m x + 3mx 4 = 0 egyenletnek legalább egy valós

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:

Részletesebben

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok 2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe

Részletesebben

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

b) Az egyenesnek és a körnek akkor és csak akkor van közös pontja, ha az egyenleteikből álló egyenletrendszernek van megoldása (1 pont)

b) Az egyenesnek és a körnek akkor és csak akkor van közös pontja, ha az egyenleteikből álló egyenletrendszernek van megoldása (1 pont) 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások ) Koordinátageometria Megoldások - - Koordinátageometria - megoldások a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 0, egyik

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria ) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrzek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1 Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van. Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)] Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. 3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Geometriai feladatok, 9. évfolyam

Geometriai feladatok, 9. évfolyam Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

Az 1. forduló feladatainak megoldása

Az 1. forduló feladatainak megoldása Az 1. forduló feladatainak megoldása 1. Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala! Megoldás:

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

I. A négyzetgyökvonás

I. A négyzetgyökvonás Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút

Részletesebben

Síkgeometria. Ponthalmazok

Síkgeometria.  Ponthalmazok Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen

Részletesebben

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC. ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok

Részletesebben

Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével

Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Rátz László Vándorgyűlés 2018 Győr Fonyó Lajos Keszthelyi Vajda János Gimnázium A

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben