Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Az egyenes és a sík analitikus geometriája"

Átírás

1 Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0 ) pontjával cálszerű megadni. Ebben az esetben az egyenes egyenlete Ax + By = Ax 0 + By 0 alakú, és fordítva: minden Ax + By = C egyenlet, ahol A + B 0, egy egyenes egyenlete. Az egyenes egyenletének Hesse-féle normálalakja (normálegyenlete): Ax + By C A + B = 0, egy P(x 0,y 0 ) pontnak az egyenestől mért távolsága : Ax 0 + By 0 C. A + B Két egyenes párhuzamosságának, illetve merőlegességének feltétele normálvektoraik párhuzamosság, illetve merőlegessége. Két egyenes hajlásszöge normálvektoraik szögével (ha az nem tompaszög), illetve kiegészítőszögével (tompaszög esetén) egyenlő. Feladatok 1) Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek normálvektora n(,), és átmegy a P(7,) ponton. ) Számítsuk ki a következő egyenesek hajlásszögét: a) 5x y + 7 = 0, x + y = 0; b) x y + 7 = 0, x + y = 0; c) x y = 0, x y + = 0; d) x + y 1 = 0, 5x y + = 0. ) Döntsük el, hogy az alábbi egyenletek normálegyenletek-e: a) x + = 0; b) x 5 y 5 1 = 0; c) 5x 1 + 1y 1 + = 0. 1

2 ) Számítsuk ki a P pont és az e egyenes távolságát: a) P(,7) e : x y = 5; b) P(11,9) e : 5x + 1y = 6; c) P(0,0) e : 7x y = 1. 5) Számítsuk ki az alábbi párhuzamos egyenespárok távolságát: a) x y 10 = 0, 6x 8y + 5 = 0; b) x 10y + 9 = 0, 1x 5y 6 = 0. 6) Mekkora távolságra van a 15x 8y = 0 egyenes az origótól? 7) Mekkora a 0x + 1y 9 = 0 és a 0x = 0 egyenesek távolsága? 8) Írjuk fel azoknak az egyeneseknek az egyenleteit, amelyek párhuzamosak a 15x 8y = 0 egyenessel és tőle 6 egységnyi távolságra vannak. 9) Adjuk meg az alábbi egyenespárok szögfelezőinek egyenletét: a) x y = 0, x + y + 7 = 0; b) x y + 5 = 0, x y = 0; c) x + y 1 = 0, 5x + 1y = 0. Egyenes és sík a térben Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter. Az u = (u 1,u,u ) az egyenes irányvektora és P(x 0,y 0,z 0 ) egy pont az egyenesről. Az u vektor nem a nullvektor. Az egyenes egyenlete: X x 0 = Y y 0 = Z z 0. u 1 u u A P(x 1,y 1,z 1 ) és a Q(x,y,z ) pontokon átmenő egyenes egyenlete: X x 1 x x 1 = Y y 1 y y 1 = Z z 1 z z 1.

3 A sík egyenlete: ax + by + cz + d = 0, ahol a,b,c,d együtthatók és X,Y,Z ismeretlenek. Az n = (a,b,c) vektor a sík normálvektora és a + b + c 0. A P(x 0,y 0,z 0 ) pont távolsága a ax + by + cz + d = 0 síktól: ax 0 + by 0 cz 0 + d. a + b + c A síkok különböző megadásai: A v = (v 1,v,v ) irányra merőleges és a P(x 0,y 0,z 0 ) ponton átmenő sík egyenlete: v 1 (x x 0 ) + v (y y 0 ) + v (z z 0 ) = 0. Az u = (u 1,u,u ) és v = (v 1,v,v ) ( u és v lineárisan függetlenek) irányokkal párhuzamos és a P(x 0,y 0,z 0 ) ponton átmenő sík egyenlete: w 1 (X x 0 ) + w (Y y 0 ) + w (Z z 0 ) = 0, ahol w = (w 1,w,w ) = u v. A P(x 1,y 1,z 1 ), Q(x,y,z ) és R(x,y,z ) nem kollineáris pontokon átmenő sík egyenlete: w 1 (X x 1 ) + w (Y y 1 ) + w (Z z 1 ) = 0, ahol w = (w 1,w,w ) = (x 1 x,y 1 y,z 1 z ) (x x,y y,z 1 z ). Az X x 0 = Y y 0 = Z z 0 egyenes és az ax + by + cz + d = 0 u 1 u u síkok párhuzamosak, pontosan akkor ha az (u 1,u,u ) és (a,b,c) vektorok merőleges egymásra, azaz au 1 + bu + cu = 0. Ha a fenti egyenes és sík nem párhuzamosak, akkor metszik egymást és a metszéspontjuk: X 0 = u 1 λ 0 + x 0 Y 0 = u λ 0 + y 0, Z 0 = u λ 0 + z 0 ahol λ 0 = ax 0 + by 0 + cz 0 + d au 1 + bu + cu.

4 Két egyenes párhuzamos pontosan akkor, ha az irányvektoraik párhuzamosak, azaz az irányvektorok lineárisan függőek. Két egyenes merőleges egymásra pontosan akkor, ha az irányvektoraik merőlegesek egymásra, azaz az irányvektoraik skalárszorzata nulla. Két sík párhuzamos pontosan akkor, ha a normálvektoraik párhuzamosak, illetve két sík merőleges egymásra pontosan akkor, ha a normálvektoraik merőlegesek egymásra. Tegyük fel, hogy az ax + by + cz + d = 0 és a a X + b Y + c Z + d = 0 síkok nem párhuzamosak és legyen (x 0,y 0,z 0 ) a { ax + by + cz + d = 0 a X + b Y + c Z + d = 0 egyenletrendszernek egy megoldása. Ha u = (u 1,u,u )-mal jelöljük az (a,b,c) (a,b,c ) vektori szorzatot, akkor a fenti síkok metszete az egyenes. X x 0 u 1 = Y y 0 u = Z z 0 u Feladatok 10) Írjuk fel a P ponton átmenő v irányvektorú egyenes egyenletrendszerét: a) P( 1,,7), v(,,6); b) P(0, 1,), v(1,7, 9); c) P(9,8, ), v(6,0,); d) P( 11,9,1), v(1,8, ). 11) Egy egyenes egyenletrendszeréből hogyan lehet azonnal leolvasni, hogy az egyenes párhuzamos az yz koordinátasíkkal? 1) Döntsük el, rajta van-e a P(,,5) pont az alábbi egyeneseken: a) x 6 = y 0 = z 9,5; b) x = 15 t, y = + 5t, z = + t. 1) Adjuk meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely a) átmegy a P 0 (, 1,5) ponton és párhuzamos az y tengellyel;

5 b) átmegy az origón és a koordinátatengelyek pozitív irányával egyenlő szöget zár be. 1) Írjuk fel a koordinátatengelyek egyenletét. 15) Írjuk fel egy olyan egyenes egyenletrendszerét, amely átmegy a Q(,7,5) ponton és párhuzamos az xy síkkal. 16) Írjuk fel a következő pontpárok összekötő egyenesének egyenletrendszerét: a) P(,5,6), Q(7, 1,); b) P(5,1,), Q( 5,1,); c) P(0,0,0), Q(9,11, 1); d) P(1,1, ), Q(, 1,0). 17) Döntsük el, hogy az alábbi egyenletrendszerek közül melyek adják meg ugyanazt az egyenest: x = 5 t y = 7 + t z = z x = y 1 = z + 1 x = 1 + 9t y = 1 6t z = 5 + t 18) Egy háromszög csúcsainak koordinátái: A(,6, 7), B ( 5,,), C (, 7, ). Írjuk fel a C csúcson átmenő súlyvonal egyenletrendszerét! 19) Adjuk meg a P ( 6,6, 5) és Q(1,6, 1) pontok összekötő egyenesének a koordinátasíkokkal való metszéspontját! 5

6 0) Tükrözzük az x = 7 8t y = + 6t z = 9t egyenest a C (,6,1) pontra! Mi a tükörkép egyenletrendszere? 1) Bizonyítsuk be, hogy az alábbi egyenesek párhuzamosak egy síkkal! x 8 = y + = z x 5 = y 5 = z + 7 x + 8 ) Metszi-e az = y 7 = z + 9 x = 1 7t y = + t z = 8 + 5t egyenes a z tengelyt? ) Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely párhuzamos az x 8 = y = z egyenessel, és átmegy a (, 1, ) ponton! ) Írjuk fel az x = y + = z x = y 5 = z + metsző egyenesek szögfelezőinek egyenletrendszerét! 5) Egy háromszög csúcsai: A(, 1, 1), B (1,, 7), C ( 5,1, ). Írjuk fel a B ponton átmenő belső szögfelező egyenletrendszerét! 6) Vizsgáljuk meg az alábbi egyenespárok kölcsönös helyzetét! Ha metszők, számítsuk ki a metszéspont koordinátáit is! 6

7 x + = y 1 = z és x = t y = 1 + 5t z = 1 7t x = t y = 1 + t z = 1 + tt x = y 8 = z x = 5 + 6t y = t z = 7 + t x = + t és y = t z = + t x = 5 + t és y = t z = t és x = y 9 = z 9 5 7) Adjuk meg az a értékét úgy, hogy a következő két egyenes metsző legyen: x + x a = y = z 1 = y 1 = z 7 8) Mutassuk meg a metszéspont kiszámítása nélkül, hogy az x = 1 + t x = 1 + t y = t és y = 7 t z = + t z = t egyenesek metszők! 9) Döntsük el, milyen a következő két egyenes kölcsönös helyzete: x = + t x = 5 + t y = + t és y = 1 t! z = 6 t z = + t 0) Adjuk meg az x = + 8t y = 8t z = 6 1t egyenesnek azokat a pontjait, amelyek az A(8,, 1) pontjától 7 egységnyi távolságra vannak! 1) Számítsuk ki az alábbi egyenesek hajlásszögét: 7

8 x = y + 1 = z és x + = y = z + 5 x = + t x = 1 + t y = 0 és y = 0 z = t z = + t x = + t x = 17 + t y = 5t és y = t z = t z = t x 1 = y,5 = z + 1 x = t és y = + t z = 5 x + 5 = y 5 = z és x 5 ) Írjuk fel az M (,,16) pontból az = y = z x = + t y = + t z = + t egyenesre állított me- egyenesre állított merőleges egyenletrendszerét! x = 1 + t ) Írjuk fel a P (,1, ) pontból az y = + t z = t rőleges egyenletrendszerét! egyenletrendszerű ) Egy háromszög csúcsai: A(1,, ), B (5,1, 7), C (,1, ). Írjuk fel a C-n átmenő magasságvonal egyenletrendszerét! 5) Számítsuk ki a P (,, 6) pontnak az x = y + 1 = z egyestől mért 6 9 távolságát! 6) Számítsuk ki az alábbi párhuzamos egyenesek távolságát: x = + t x = 7 + t y = 1 + t és y = 1 + t z = t z = + t x = y = z 1 és x + = y + 1 = z + 7) Tükrözzük a P ( 1,,) pontot az x + 1 = y = z egyenesre! Számítsuk ki a tükörkép koordinátáit! 8

9 8) Adjuk meg az alábbi egyenesek az xy síkon lévő vetületének az egyenletrendszerét: x = y + = z x = t y = + 9t z = t 9) Egy egyenes xy síkon lévő merőleges vetületének egyenlete x y = 15; az yz síkon pedig y z = 10. Adjuk meg az egyenes paraméteres egyenletrendszerét! 0) Mekkora az x + = y + 1 = z 7 9 1) Számítsuk ki az alábbi egyenespárok távolságát: x = 8 t x = + t y = + t és y = 5t z = t z = 1 + t x x + x = y = y = z = y 0,5 = z + és x 1 és x = y = z egyenes távolsága a z tengelytől? = y + 1 = z + = z 1 és x 1 = y 1 1 = z 5 ) Írjuk fel az x = y + 6 = z 9 és az x + 1 = y 18 = z egyenesek z 8 7 tengellyel párhuzamos transzverzálisának az egyenletrendszerét! x = 5 6t x = t ) Adottak az y = t és az y = + t egyenesek. Határozzuk meg a két egyenes c ( 11, 11,) vektorral párhuzamos transzverzálisát! z = 1 + t z = 9 t x = 7 + t x = 1 + t ) Írjuk fel az y = t és az y = 8 + t egyenesek normáltranszverzálisának egyenletrendszerét! Számítsuk ki a két kitérő egyenes z = + t z = 1 t távolságát! 5) Írjuk fel az alábbi egyenesek normáltranszverzálisának egyenletrendszerét: x 9 6 = y 7 = z 5 9

10 x + 1 = y 1 1 = z x = 1 + t 6) Írjuk fel a P (6,,) ponton átmenő és az y = t z = 1 + t -os szögben metsző egyenes egyenletét! egyenest 5 7) Adjuk meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely átmegy az A( 1,, ) ponton, merőleges a d(6,, ) vektorra és metszi az x 1 = = y + 1 = z 5 egyenest! 8) Adjuk meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely átmegy a Q( 1, 0) ponton, és merőleges az y = 5 + t és az x = + t z = x = 8 + t y = t egyenesekre! z = t 9) Adott a sík n normálvektora és P pontja. Írjuk fel a sík egyenletét: a) n(,,11), P (9,1,0) b) n(9,1,7), P (1,1, ) c) n(1,0,1), P (,7,5) d) n(,9,9), P (0,0,0) e) n(0,0,1), P (9,1, 7) 50) Írjuk fel a koordinátasíkok egyenletét! 51) Írjuk fel az xz síkkal párhuzamos, attól 8 egységnyi távolságra lévő sík egyenletét! 5) Hogyan mutatkozik az a sík egyenletében, hogy a sík merőleges valamely korrdinátasíkra? 5) Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely merőleges az xy koordinátasíkra, és azt az ax + by = c egyenletű egyenesben metszi! 5) Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy a P (,,5) ponton, és tartalmazza a z tengelyt! 10

11 55) Az origóból egy síkra állított merőleges talppontja a P (,5,) pont. Írjuk fel a sík egyenletét! 56) Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy a Q(,, 5) ponton, és párhuzamos az a(,1, 1) és b(1,,1) vektorokkal! 57) Írjuk fel az A(, 1,), B (,1,) pontokon átmenő és az a(, 1,) vektorral párhuzamos sík egyenletét! 58) Írjuk fel az A(, 1,), B (, 1, 1), C (,0,) pontok síkjának egyenletét! 59) Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az origón, és tartalmazza az x = y + 7 = z egyenest! 60) Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely az x, y, z tengelyeket rendre a,, pontokban metszi! 61) Mekkora térfogatú derékszögű tetraédert metsz ki a x + 6y + 8z = egyenletű sík a koordinátasíkokból? 6) Válaszzuk ki az alábbi síkpárok közül a párhuzamosokat: a) x y + 5z 7 = 0 és x y + 5z + = 0 b) x + y z + 5 = 0 és x + y + z 1 = 0 c) x z + = 0 és x 6z 7 = 0 6) a) Írjuk fel az origón átmenő és a x 8y + 6z = 17 síkkal párhuzamos sík egyenletét! b) Írjuk fel az M (,,8) ponton átmenő és a 9x + 6y z = síkkal párhuzamos sík egyenletét! 6) Írjuk fel az AB szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét, ahol A(,7,6) és B (1, 5,0)! 65) Írjuk fel a P (,0,) ponton átmenő, és az x merőleges sík egyenletét! = y 6 = z 5 egyenesre 66) Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely párhuzamos az x tengellyel, és átmegy a P (0,1,) és a Q(,,5) pontokon! 11

12 67) Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az R ( 1,5,7) ponton, x = 5 t x = 7 + 9t és párhuzamos az y = t és az y = egyenesekkel! z = 1 + t z = t 68) Írjuk fel azoknak a síkoknak az egyenleteit, amelyekben a x+17y +8z = sík a koordinátasíkokat metszi! 69) Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely merőleges az x y+5z = 0 síkra, párhuzamos az x = y = z + 1 egyenessel és átmegy a P (,,1) ponton! 70) Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az A(1, 1,) és a B (,1,1) pontokon, és merőleges az x y + z 5 = 0 síkra! 71) Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az origón, és merőleges a x y + z 1 = 0 és x + y + z = 0 síkokra! 7) Írjuk fel az x = y + 1 síkjának egyenletét! = z és x 1 = y = z + párhuzamos 7) Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy a Q(1,, ) ponton, és párhuzamos x 1 = y + 1 = z 7 és x + 5 = y = z + 1 egyenesekkel! 7) Mutassuk meg, hogy x 1 = y + = z 5 x = 7 + t és y = + t metsző z = 1 t egyenesek, és írjuk fel síkjuk egyenletét! 75) Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely az x 1 = y + 1 = z 7 és x + 5 = y = z + egyenesekkel párhuzamos és tőlük egyenlő távolságra 1 van! 76) Számítsuk ki a következő síkpárok hajlásszögét: a) x y + z 1 = 0, x + y z + = 0 b) y z = 0, y + z = 0 77) Számítsuk ki a 6x y + 18z = 19 sík távolságát a P (,,) ponttól! 78) Számítsuk ki a P ( 1,1, ) pont távolságát az A(1, 1,1), B (,1,), C (, 5, ) pontok síkjától! 1

13 79) Határozzuk meg az y tengelynek azt a pontját, amely az x+y z = 0 síktól egységnyi távolságra van! 80) Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely egyenlő távol van a x 9y + + 5z = 6 síktól, valamint a C (5, 8,7) ponttól! 81) Adjuk meg annak a síknak az egyenletét, amely a x + y z + = 0 és a x + y z 1 = 0 párhuzamos síkoktól egyenlő távolságra van! 8) Számítsuk ki az alábbi síkpárok távolságait: a) x y z 1 = 0 és x y z 6 = 0 b) x y + 6z 1 = 0 és x 6y + 1z + 1 = 0 8) Írjuk fel azoknak a síkoknak az egyenleteit, amelyek a x y z + = 0 síktól egységnyi távolságra vannak! 8) Számítsuk ki az adott egyenes és sík metszéspontjainak koordinátáit: e : x 1 = y + 1 = z 6 S : x + y + z 1 = 0 85) Az m paraméter milyen értékére lesz párhuzamos az x + 1 egyenes az x y + 6z + 7 = 0 síkkal? = y m = z + 86) Adjuk meg az alábbi síkpárok metszésvonalainak egyenletrendszerét: a) x y + z = 0 és x + y 5z = 0 b) x y + z + 1 = 0 és x + y z 8 = 0 87) Bizonyítsuk be, hogy az x y + z 7 = 0, x + y z + = 0 és x y + +z 11 = 0 síkoknak egy közös pontja van! Számítsuk ki ennek a pontnak a koordinátáit! 88) Hogyan kell megválasztanunk az a és b értékét, hogy a x y + z 1 = 0, x + y z + b = 0, x + ax 6z + 10 = 0 síkoknak a) egy közös pontja legyen, b) egy egyenesre illeszkedjenek, c) három párhuzamos egyenesben messék egymást? 1

14 89) Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy a P (,1,) ponton és az x y + z 8 = 0, x + y z + = 0 síkok metszésvonalán! 90) Számítsuk ki az alábbi sík-egyenes pár hajlásszögét: S : x + 9y + z + 7 = 0 e : x + = y 6 = z 9 x = 5 + t 91) Az y = t egyenesnek mely pontja van egyenlő távol az z = 1 + t A(,,7) és B (0, 6,5) pontoktól? 9) Adjuk meg a P (5,, 1) pont vetületét a x y + z = 0 síkon! 9) Mik a P (1,, ) pont x + y z = 0 síkra vonatkozó tükörképének koordinátái? 9) Adjuk meg a P( 6,, 5) és Q(10, 5,) pontokon átmenő egyenes metszéspontjait a koordinátasíkokkal. 95) Tükrözzük az x = t, y = 5+t, z = t egyenest a C(, 1,7) pontra. Mi a tükörkép egyenletrendszere? 96) Bizonyítsuk be, hogy az alábbi egyenesek párhuzamosak egy síkkal: x 8 = y + = z, x 5 = y 5 = z + 7, x + 8 = y 7 = z ) Vizsgáljuk meg az alábbi egyenespárok kölcsönös helyzetét (párhuzamosság, metszés, merőlegesség, kitérés): a) x + = y 1 = z és x = 5 + 6t, y = t, z = 7 + t; 1 b) x = t, y = 1+5t, z = 1 7t és x = +t, y = t, z = +t; c) x = t, y = 1 + t, z = 1 + t és x = 5 + t, y = t, z = t; d) x = y 8 = z és x = y 9 = z 9 5. metsző egye- 98) Írjuk fel az x = y + = z és x = y 5 nesek szögfelezőinek az egyenletredndszerét. = z + 1

15 99) Adjuk meg az m paraméter értékét úgy, hogy a x + = y = z 1 x m = y 1 = z 7 egyenesek merőlegesek legyenek egymásra. 100) Mutassuk meg a metszéspont kiszámítása nélkül, hogy az x = 1 + t, y = = t, z = + t és x = 1 + t, y = 7 t, z = t egyenesek metszők. 101) Írjuk fel az M(,,16) pontból az x = + t, y = + t, z = + t egyenletrendszerű egyenesre állított merőleges egyenletrendszerét. 10) Az A(1,,), B(5,1, 7), C(,1, ) egy háromszög csúcsai. Írjuk fel a C-n átmenő magasságvonal egyenletrendszerét. 10) Számítsuk ki a P(,, 6) pontnak az x 6 távolságát. = y és = z egyenestől mért 10) Határozzuk meg a P( 1,,) pont x + 1 = y = z egyenesre vonatkozó tükörképét. 105) Írjuk fel a koordinátasíkok egyenleteit. 106) Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely merőleges az xoy koordinátasíkra és azt az x + y 1 = 0 egyenletű egyenesben metszi. 107) Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, mely átmegy a P(,5,) ponton és tartalmazza az Oz tengelyt. 108) Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy a Q(,, 5) ponton és párhuzamos az a(,1, 1) és b(1,,1) vektorokkal. 109) Írjuk fel az A(, 1,), B(,1,) pontokon átmenő és az u(,1, ) vektorral párhuzamos sík egyenletét. 110) Írjuk fel az A(8,5,1), B(,, 5), C(0,1, 1) pontok síkjának az egyenletét. 111) Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely az Ox, Oy, Oz tengelyeket rendre a 9, 1, 7 pontokban metszi. Írjuk fel azon egyenesek egyenletét, amelyekben metszi az így kapott sík és a koordináta síkokat. 11) Válasszuk ki az alábbi síkpárok közül a párhuzamosokat: a) x y + 5z 7 = 0 és x y + 5z + = 0; 15

16 b) x + y z + 5 = 0 és x + y + z 1 = 0; c) x z + = 0 és x 6y 7 = 0. 11) Írjuk fel az M(, 8,0) ponton átmenő a x + y 7 = 0 síkkal párhuzamos sík egyenletét. 11) Írjuk fel a P(7,,1) ponton átmenő, az x merőleges sík egyenletét. = y + 1 = z egyenesre 115) Írjuk fel azoknak az egyeneseknek az egyenleteit, amelyekben a x 17y + + 1z = 0 sík metszi a koordináta síkokat. 116) Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely merőleges az x y + 5z = 0 síkra, párhuzamos az x = y = z + 1 egyenessel és átmegy a P(,,1) ponton. 117) Írjuk fel annak a síkban az egyenletét, amely átmegy az origón és merőleges a x y + z 1 = 0 és x + y + z = 0 síkokra. Határozzuk meg azokat az egyeneseket, amelyekben metszi a kapott sík az előbbi síkokat. 118) Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely az x 1 = y + 1 = z 7 és x + 5 = y = z + egyenesekkel párhuzamos és egyenlő távol van tőlük. 1 Számítsuk ki a két egyenes távolságát. 119) Tükrözzük az x 8y+z 6 = 0 és x 8y+z+1 = 0 síkokat egymásra és írjuk fel a tükörképek egyenletét. 10) Az m paraméter milyen értékére lesz párhuzamos az x + 1 = y m = z + egyenes az x y + 6z + 7 = 0 síkkal? 11) Bizonyítsuk be, hogy az x y + z 7 = 0, x + y z + = 0 és x y + + z 11 = 0 síkoknak egy közös pontja van. Számítsuk ki ennek a pontnak a koordinátáit. 1) Adjunk meg egy olyan egyenest, amely az x 8y + z 9 = 0 síktól egységnyire, a x + 0y 5z = 0 síktól pedig egységnyire van. 16

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1 Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)] Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok ) Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

Koordináta-geometria II.

Koordináta-geometria II. Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös

Részletesebben

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15 Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0 Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

9. előadás. Térbeli koordinátageometria

9. előadás. Térbeli koordinátageometria 9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

5. Analitikus térgeometria (megoldások) AC = [2, 3, 6], (z + 5) 2 következik. Innen z = 5 3. A keresett BA BC = [3, 2, 8],

5. Analitikus térgeometria (megoldások) AC = [2, 3, 6], (z + 5) 2 következik. Innen z = 5 3. A keresett BA BC = [3, 2, 8], (megoldások) 1. Alkalmazzuk a T 5. tételt: AB = [ 1, +, 0+] = [1, 1, ], AC = [,, 6], AD = [,, 9].. A P pontnak az origótól mért távolsága az OP helyvektor hosszával egyenl. OA = 4 + ( ) + ( 4) = 6, OB

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

1. FELADAT. Írjuk fel az adott P ponton átmenő és az adott iránnyal párhuzamos egyenes explicit paraméteres és implicit egyenletrendszerét!

1. FELADAT. Írjuk fel az adott P ponton átmenő és az adott iránnyal párhuzamos egyenes explicit paraméteres és implicit egyenletrendszerét! 1. FELADAT. Írjuk fel az adott P ponton átmenő és az adott iránnyal párhuzamos egyenes explicit paraméteres és implicit egyenletrendszerét! 1.1. Kérdés. P (1,, ), v = (, 1, 4). 1.1.1. Megoldás. p = p 0

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

Lineáris algebra mérnököknek

Lineáris algebra mérnököknek B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf87 2017-09-05

Részletesebben

Geometriai példatár 1.

Geometriai példatár 1. Geometriai példatár 1. Koordináta-geometria Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 1.: Koordináta-geometria

Részletesebben

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0. Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,

Részletesebben

KOORDINÁTA-GEOMETRIA

KOORDINÁTA-GEOMETRIA XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal

Részletesebben

V. Koordinátageometria

V. Koordinátageometria oordinátageometria Szakaszt adott arányban osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 a) xf= + = 9 yf= + N 7 N = F_ 9 i b) 7 O c) - O N d) - O a c N e) O O b 6 - b 6 & b + =- = =- & b =- 8 B( - 8) 7 N N N N

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2) 55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

Számítógépes Grafika mintafeladatok

Számítógépes Grafika mintafeladatok Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk

Részletesebben

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása 1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -

Részletesebben

GEOMETRIA 1, alapszint

GEOMETRIA 1, alapszint GEOMETRIA 1, alapszint Kiss György 4-723 Fogadóóra: péntek 8. 15-10. 00 email: kissgy@cs.elte.hu Előadás: 11. 15-13. 45, közben egyszer 15 perc szünet GEOMETRIA 1, alapszint Ajánlott irodalom: Hajós Gy.:

Részletesebben

Hajder Levente 2018/2019. II. félév

Hajder Levente 2018/2019. II. félév Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2018/2019. II. félév Tartalom 1 2 3 4 5 Albrecht Dürer, 1525 Motiváció Tekintsünk minden pixelre úgy, mint egy kis ablakra

Részletesebben

KIDOLGOZÁSA - MATEMATIKA SZAK - 1. Analitikus mértan térben 2

KIDOLGOZÁSA - MATEMATIKA SZAK - 1. Analitikus mértan térben 2 ANALITIKUS MÉRTANBÓL KITŰZÖTT ÁLLAMVIZSGA TÉTELEK KIDOLGOZÁSA - MATEMATIKA SZAK - Tartalomjegyzék 1. Analitikus mértan térben 1.1. Térbeli egyenesek egyenletei Descartes-féle koordináta rendszerhez viszonyítva.........

Részletesebben

Hajder Levente 2014/2015. tavaszi félév

Hajder Levente 2014/2015. tavaszi félév Hajder Levente hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom 1 2 3 4 5 Albrecht Dürer, 1525 Motiváció Tekintsünk minden pixelre úgy, mint

Részletesebben

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - 0y + 0 b) x + y - 6x - 6y + 0 c)

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2011. november 29. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

Lineáris algebra mérnököknek

Lineáris algebra mérnököknek B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf81 2018-09-04

Részletesebben

A vektor fogalma (egyszer

A vektor fogalma (egyszer Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Elméleti anyag: A vektor fogalma (egyszerű meghatározás): az irányított szakaszokat nevezzük vektoroknak. Egy vektornak

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. 3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Számítógépes Grafika mintafeladatok

Számítógépes Grafika mintafeladatok Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 11. évfolyam 2. félév ESZKÖZÖK Matematika A 11. évfolyam 6. modul 6.1 kártyakészlet 6.1 kártyakészlet leírása A kártyákon pontok koordinátáit találjuk. A tanulók

Részletesebben

1. zárthelyi,

1. zárthelyi, 1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y

Részletesebben

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben? . Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25) I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =

Részletesebben

A tér lineáris leképezései síkra

A tér lineáris leképezései síkra A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása

Részletesebben

Analitikus geometria c. gyakorlat

Analitikus geometria c. gyakorlat matematikatanári szak (2016/2017-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (M veletek vektorokkal) 1) Az a vektor hossza kétszerese a b vektor hosszának. Mekkora a két vektor szöge, ha az a b vektor mer leges

Részletesebben

Hajder Levente 2017/2018. II. félév

Hajder Levente 2017/2018. II. félév Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 Sugár és sík metszéspontja Sugár és háromszög metszéspontja Sugár és poligon metszéspontja

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1 Írásban, 90 perc. 2 Személyazonosságot igazoló okmány nélkül

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Geometriai példatár 1.

Geometriai példatár 1. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 1 GEM1 modul Koordináta-geometria SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben