9. előadás. Térbeli koordinátageometria

Átírás

1 9. előadás Térbeli koordinátageometria

2 Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy másodfokúak. Sík, egyenes, gömb, másodrendű felületek.

3 Térfogat Tétel: A térbeli Descartes-féle koordinátarendszer P i =(x i,y i, z i ) pontjai (i=1,2,3,4) által meghatározott tetraéder V előjeles térfogatára: x 1 y 1 z 1 1 6V = x 2 y 2 z 2 1 x 3 y 3 z 3 1 x 4 y 4 z 4 1

4 Egyenes Hogyan adhatunk meg egy egyenest? 2. Két pontjával. 3. Egy pontjával és az irányával.

5 Egyenes Adott a P 0 (x 0,y 0,z 0 ) pont és az egyenessel párhuzamos v = (v 1,v 2,v 3 ) 0 vektor, egy irányvektor: Vektoregyenlet: p = p 0 + tv Paraméteres egyenletrendszer: X = x 0 + tv 1 Y = y 0 + tv 2 Z = z 0 + tv 3 Irányvektoros egyenlet nincs!

6 Egyenes A paraméteres egyenletrendszerből a t paramétert kiküszöbölve kapjuk az egyenes egyenletrendszerét: (X - x 0 )/v 1 = (Y - y 0 )/v 2 = (Z - z 0 )/v 3. Ha a v i koordináták valamelyike 0, akkor a tört helyett az X = x 0 típusú egyenlet áll.

7 Egyenes A vektoregyenletet más alakban is írhatjuk: (p - p 0 ) x v = 0. Legyen m = p 0 x v. Ekkor m független az egyenesen lévő P 0 pont választásától, mert ha P 1 az egyenesen van, akkor (p 1 - p 0 ) x v = 0 miatt p 1 x v = p 0 x v = m. Az egyenest v és m egyértelműen meghatározza. Az egyenes Plücker-féle koordinátái: (v 1, v 2, v 3, m 1, m 2, m 3 ).

8 Egyenes A Plücker-koordináták nem függetlenek egymástól. Mivel v és m merőlegesek, ezért v 1 m 1 + v 2 m 2 + v 3 m 3 = 0. Ha az irányvektor helyett annak λ-szorosát tekintjük, akkor ugyanazt az egyenest kapjuk. Ezért egy számhatos és annak λ- szorosa ugyanahhoz az egyeneshez tartozik.

9 Sík Hogyan adhatunk meg egy síkot? 2. Három pontjával. 3. Egy pontjával és az irányával.

10 Sík Tétel: Ha a koordinátarendszer P i =(x i,y i, z i ) pontjai (i=1,2,3) nem kollineárisak, akkor az általuk meghatározott sík egyenlete: x 1 y 1 z 1 1 x 2 y 2 z 2 1 x 3 y 3 z 3 1 = 0 X Y Z 1

11 Térfogat Bizonyítás: A térbeli Descartes-féle koordinátarendszer P i =(x i,y i, z i ) pontjai (i=1,2,3,4) által meghatározott tetraéder V előjeles térfogatára: x 1 y 1 z 1 1 6V = x 2 y 2 z 2 1 x 3 y 3 z 3 1 x 4 y 4 z 4 1

12 Sík Az (X,Y,Z) pont pontosan akkor illiszkedik a P i =(x i,y i, z i ) pontok (i=1,2,3) által meghatározott síkra, ha a tetraéder térfogata 0.

13 Sík Adott a P 0 (x 0,y 0,z 0 ) pont és az egymással nem párhuzamos u = (u 1,u 2,u 3 ) és v = (v 1,v 2,v 3 ) ( 0) vektorok. Vektoregyenlet: p = p 0 + su + tv Paraméteres egyenletrendszer: X = x 0 + su 1 + tv 1 Y = y 0 + su 2 + tv 2 Z = z 0 + su 3 + tv 3

14 Sík Ha a három pont nem kollineáris, akkor P 1 P 2 x P 1 P 3 = n 0. Az n vektor merőleges a pontok által meghatározott síkra.

15 Sík Adott a P 0 (x 0,y 0,z 0 ) pont és a síkra merőleges n = (A,B,C) 0 vektor, egy normálvektor: Vektoregyenlet: n(p - p 0 ) = 0. Normálvektoros egyenlet: AX + BY + CZ= Ax 0 + By 0 + CZ 0

16 Féltér Adott a határoló félsík P 0 (x 0,y 0,z 0 ) pontja és a síkra merőleges n = (A,B,C) 0 normálvektor: Vektoregyenlet: n(p - p 0 ) > 0 vagy < 0. Normálvektoros egyenlet: AX + BY + CZ > vagy < Ax 0 + By 0 + CZ 0

17 Sík Tétel: Minden AX + BY + CZ + D = 0 lineáris egyenlet valamely sík egyenlete, ha A, B és C közül legalább az egyik nem 0. Bizonyítás: Az n = (A,B,C) 0 vektor egy normálvektor. Feltehető, hogy pl. A 0. ekkor a P 0 (-D/A,0,0) ponton átmenő, n normálvektorú sík egyenlete éppen AX + BY + CZ + D = 0.

18 Térelemek távolsága Pontok, egyenesek és síkok távolságát szeretnénk meghatározni. Két párhuzamos sík vagy egyenes távolsága meghatározható, ha pont és sík, illetve pont és egyenes távolságát ki tudjuk számolni.

19 Térelemek távolsága Pont és egyenes/sík távolsága: d = n 0 (p p 0 )

20 Térelemek távolsága Éppen a p-p 0 vektor egyenesre/síkra merőleges összetevőjének a hosszát kell meghatároznunk. Ha az egyenes/sík egyenlete adott, akkor a távolságot a normálegyenletbe való behelyettesítéssel kapjuk: d = Ax + By + Cz D / A 2 + B 2 + C 2

21 Térelemek távolsága Két kitérő egyenes távolsága: A p 2 -p 1 vektor mindkét egyenesre merőleges összetevőjének a hosszát kell meghatároznunk. d = ( v 1 x v 2 ) 0 (p 2 p 1 )

22 Gömb A g gömböt egyértelműen meghatározza C(a,b,c) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van g-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a) 2 + (Y-b) 2 + (Z-c) 2 = r 2.

23 Gömb Tétel: Minden gömb egyenlete A(X 2 + Y 2 + Z 2 ) + BX + CY + DZ + E = 0 alakban írható, ahol A 0. A megfordítás nem igaz. Viszont igaz a következő: Tétel: Ha A 0, akkor az A(X 2 + Y 2 + Z 2 ) + BX + CY + DZ + E = 0 gömb, pont, vagy az üres halmaz egyenlete.

24 Kör Tétel: Ha a P i (x i,y i,z i ) i=1,2,3,4 pontok nincsenek egy síkon, akkor a rajtuk átmenő gömb egyenlete x 12 +y 12 +z 1 2 x 1 y 1 z 1 1 x 22 +y 22 +z 2 2 x 2 y 2 z 2 1 x 32 +y 32 +z 3 2 x 3 y 3 z 3 1 x 42 +y 42 +z 4 2 x 4 y 4 z 4 1 X 2 +Y 2 +Z 2 X Y Z 1 = 0

25 Gömb A bizonyítás ugyanaz, mint a megfelelő síkbeli tétel (három ponton átmenő kör egyenlete) esetén. Az 5x5-ös determináns már túl nagy, ezért ezt ritkán használjuk, általában egyszerűbben is fel lehet írni az egyenletet.

26 Vizsgaidőpontok? Május 23 Június 6 Június 20 Július 4 (uv) Péntekenként reggel 9-től, írásban.

27 SZÜNET

28 Forgásfelületek Gömböt kapunk, ha egy kört a középpontján átmenő egyenes körül megforgatunk.

29 Forgásfelületek Tétel: Ha az (x,y)-síkban lévő F(X, Y 2 ) = 0 egyenletű alakzatot az x-tengely körül megforgatjuk, akkor a keletkező térbeli alakzat egyenlete F(X, Y 2 + Z 2 ) = 0. (A koordináták szerepét felcserélhetjük. Az eredeti alakzat szimmetrikus az x- tengely-re.)

30 Bizonyítás: Legyen a P(x,y,z) távolsága az x-tengelytől d. A P pont pontosan akkor van a térbeli alakzaton, ha az (x,y)- síkbeli (x,d) és (x,-d) pontok a síkbeli alakzaton vannak, azaz ha F(x, d 2 ) = 0. Viszont d 2 = y 2 + z 2. Forgásfelületek

31 Forgásfelületek Az X 2 + Y 2 = 1 egyenletű egységkört akár az x-, akár az y-tengely körül forgatjuk, az X 2 + Y 2 + Z 2 = 1 egyenletű gömböt kapjuk. Ugyanezt kapjuk, ha az (x,z)-síkban lévő X 2 + Z 2 = 1 egyenletű egységkört a z- tengely, vagy az x-tengely körül forgatjuk.

32 Forgásfelületek Forgáskúp: Forgassuk meg az (x,z)-síkban lévő a 2 Z 2 = b 2 X 2 egyenletű egyenespárt a z- tengely körül. a 2 Z 2 = b 2 X 2 + b 2 Y 2 vagy X 2 /a 2 + Y 2 /a 2 - Z 2 /b 2 =0

33 Forgásfelületek Forgásparaboloid: Forgassuk meg az (x,z)-síkban lévő Z = X 2 egyenletű parabolát a z-tengely körül. Z = X 2 + Y 2

34 Forgásfelületek Forgásellipszoid: Forgassuk meg az (x,z)- síkban lévő X 2 /a 2 + Z 2 /b 2 = 1 egyenletű ellipszist az x-tengely körül. X 2 /a 2 + Y 2 /b 2 + Z 2 /b 2 = 1.

35 Ellipszoid A forgásellipszoidra merőleges affinitást alkalmazva általános ellipszoidot kapunk: X 2 /a 2 + Y 2 /b 2 + Z 2 /c 2 = 1.

36 Forgásfelületek Forgáshiperboloid: Forgassuk meg az (x,z)- síkban lévő X 2 /a 2 - Z 2 /b 2 = 1 egyenletű hiperbolát a z-tengely körül. Ez az egyköpenyű hiperboloid. X 2 /a 2 + Y 2 /a 2 - Z 2 /b 2 = 1.

37 Forgásfelületek Forgáshiperboloid: Forgassuk meg az (x,z)- síkban lévő X 2 /a 2 - Z 2 /b 2 = 1 egyenletű hiperbolát az x-tengely körül. Ez a kétköpenyű hiperboloid. X 2 /a 2 - Y 2 /b 2 - Z 2 /b 2 = 1.

38 Hiperboloid A forgáshiperboloidra merőleges affinitást alkalmazva általános hiperboloidot kapunk: X 2 /a 2 ± Y 2 /b 2 + Z 2 /c 2 = 1.

39 Egyköpenyű hiperboloid Tétel: Az egyköpenyű hiperboloid minden pontján át megy két olyan egyenes, amelyet a felület tartalmaz.

40 Egyköpenyű hiperboloid Bizonyítás: Elég forgáshiperboloidra belátni, mert az affinitás egyenestartó. X 2 /a 2 + Y 2 /a 2 - Z 2 /b 2 = 1. Messük el a felületet az X = a egyenletű síkkal. A metszet pontjaira Y 2 /a 2 = Z 2 /b 2 és X = a, azaz Y = ±a/bz és X = a. Ez azt jelenti, hogy a metszet két egyenes, melyek egyenletrendszere X = a és Y/a = ±Z/b.

41 Egyköpenyű hiperboloid Ez a két egyenes az (a,0,0) pontban metszi egymást. Ha most P a hiperboloid tetszőleges pontja, akkor a P-n átmenő, a z-tengelyre merőleges síkot az előző egyenesek közül mindkettő metszi. A hiperboloid z-tengely körüli forgásszimmetriája miatt az egyeneseket elforgathatjuk úgy, hogy átmenjenek P-n.

42 Másodrendű felületek Az előzőekben szereplő felületeket másodfokú egyenletekkel adtuk meg. A síkbe.li másodrendű görbék mintájára definiálhatjuk a másodrendű felületeket. Ha F(X,Y,Z) másodfokú polinom, akkor az F(X,Y,Z) = 0 egyenlettel adott alakzatot másodrendű felületnek nevezzük. A másodrendű felületeket is lehet osztályozni. Részletesen lásd a Hajós-könyvben.

43 Másodrendű felületek Tétel: A másodrendű felületek a következők: Ellipszoid (gömb) Pont Üres halmaz Egyköpenyű vagy kétköpenyű hiperboloid Körkúp (egyenes vagy ferde) Henger, melynek alapja kúpszelet Elliptikus paraboloid Hiperbolikus paraboloid (ezt még nem láttuk!) Elliptikus paraboloid Metsző vagy párhuzamos síkpár Sík vagy egyenes

44 Hiperbolikus paraboloid Ha két parabola tengelyének iránya ellentétes, síkjaik pedig merőlegesek egymásra, ha továbbá az egyik parabolát úgy mozgatjuk, hogy síkjának állása és tengelyének iránya ne változzék, s hogy tengelypontja a másik parabolát írja le, akkor a mozgó parabola hiperbolikus paraboloidot ír le.

45 Hiperbolikus paraboloid 2Z = X 2 Y 2