Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató. A hármas és háromszoros integrál

Átírás

1 Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató A hármas és háromszoros integrál Definició A fizikai meggondolások előzményeként jutunk el a hármas integrál következő értelmezéséhez. Legyen értelmezve a háromdimenziós tér V tartományában az f(x,y,z) függvény. Bontsuk fel a V térfogatot V, V,, V n részekre úgy, hogy Mindegyik V k térfogatban válasszunk egy Q k (ξ k, η k,ζ k ) pontot. Szorozzuk meg mindegyik V k térfogatot az f(x,y,z) függvény Q k pontban felvett értékével, és a részletszorzatokat adjuk össze: Ha ennek az összegnek van határértékem midőn az n minden határon túl növekszik úgy, hogy a V, V,, V n résztérfogatok mindegyikének átmérője (legtávolabbi két pontjának egymástól való távolsága) zérushoz tart, és ez a határérték független a V térfogat egyébként tetszőleges felosztási módjától, valamint a Q k pontnak a V k térfogatban elfoglalt helyzetétől, akkor ezt a határértéket nevezzük az f(x,y,z) függvény V tartományra vonatkozó hármas integráljának: Ez azt jelenti, hogy ha a V k átmérője d k és a d 1, d 2,, d n átmérők legnagyobbika D, akkor tetszőleges kis ε>0 számhoz lehet találni egy δ>0

2 számot úgy, hogy D<δ esetén függetlenül a V k felosztástól és a Q k pontnak a V k -ban elfoglalt helyzetétől. integrál a V térfogatát adja. Kiszámítása egyszeres integrál ( egy háromszoros integrál) kiszámítására. Tételezzük fel, hogy a V térfogatot határoló zárt F felületet az x, y vagy z tengelyek akármelyikével párhuzamos egyenes legfeljebb 2 pontban metszi. Az (x, y) síkra merőleges, az F felülettel egyetlen pontot tartalmazó hengeralkotók kimetszik az F felület T vetületét az (x, y) síkon (ábra). A vetítőhenger és az F felület közös pontjai két részre osztják az F felületet; az alsó z ), ill. felső z ). A T tartományt felosztjuk sok kis alaptartományra és mindegyikre egy-egy, a z tengellyel párhuzamos alkotójú hengerszerű testet képzelünk el, amelyik a V térfogatból egy vékony oszlopot metsz ki. A alaptartomány felett lévő oszlopot ismét felosztjuk az (x, y) síkkal párhuzamos síkokkal 2

3 magasságú részekre. Tehát ezek a térfogatrészecskék alakban adódnak (k=1, 2,, m). A kis alaptartomány egy koordinátájú pontján átmenő, a z tengellyel párhuzamos egyenes metszi az F felületet a P 1 és P 2 koordinátájú pontjaimban, ahol. Az így adódó hosszúságú húr minden egyes térfogatban levő részén választunk egy-egy koordinátájú pontot. Ha rögzítjük a -t, és az m növekedésével leghosszabbika is zérushoz tart, akkor az egyszeres integrál értelmezése szerint: Továbbá a kettős integrál értelmezése szerint: Ezek alapján a hármas integrál kiszámítási eljárása: Itt a, ill. a V tartomány alulról ill. felülről határoló felület függvényét,, ill. a _V tartománynak az (x, y) síkon levő T vetületét elölről, ill. hátulról határoló görbe függvényét, a és b pedig a V tartomány pontjainál előforduló legkisebb és legnagyobb x koordinátát jelenti. 3

4 Példák: az összessége, (ábra). amelyekre egyenletű gömb első térnyolcadban levő azon pontok A következőképpen jegyezhetjük meg magunknak a kiszámítási eljárást. Kiválasztunk a V tartomány (nyolcadgömb) belsejében egy P(x, y, z) pontot, arra ültetünk egy térfogat elemet. Ezt szorozzuk az függvény helybeli értékével:, és azután ezeket a szorzatokat összegezzük. Először z változik rögzített x, y mellett a szóba jövő legkisebb z- től a legnagyobbig: az (x, y) síktól a gömbfelületig, azaz -tól -ig; azután rögzített x mellett y változik az x tengelytől az körig, azaz -tól -ig; végül x változik 0-tól 1-ig. Így az összegzésből nem marad ki a V tartomány egyetlen pontja sem: 4

5 Fontos speciális esetek: a. Hengerkoordináta-rendszer: 5

6 példák: 6

7 b. Gömbi koordináta-rendszer: Valóban a P pontban összefutó három egymásra merőleges él Gömbi koordináták alkalmazásával a hármas integrál 7

8 példa: térnyolcadába eső része: 8