A Hamilton-Jacobi-egyenlet

Átírás

1 A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P k = 0, Ṗ k = H Q 1 = 0, H = H + W t W S jelölés Legyen S = W 2(q, P; t) S t + H(q k, p k, t) = 0 p k = S. q k ( S t + H q k, S ), t = 0 q k Hamilton-Jacobi-egyenlet (parciális differenciálegyenlet).

2 Mi az S alkotófüggvény fizikai jelentése? S q k = p k és S t Ebből adódik, hogy = H: ds dt = ds dt = f k=1 S q k + S q k t. f p k q k H = L. k=1 S = t t 0 Ldt. Az S hatásfüggvénye = hatásintegrál folytonosan változó felső határral.

3 Példák a Hamilton-Jacobi-egyenletre 1. A hajítás. Az m tömegű anyagi pont, g gravitációs gyorsulás (z irányú). H t = 0 H = E = áll. 1 2m Vegyük fel az S 0-t H = T + V = 1 2m (p2 x + p 2 y + p 2 z ) mgz. p x = S0 x, [ ( ) 2 S0 + x S = S 0(x, y, z). Et S0 py = y, ( ) 2 S0 + y S 0 = X (x) + Y (y) + Z(z) S0 pz = z. ( ) ] 2 S0 mgz = E z 1 2m X m Y m Z 2 mgz = E.

4 1 2m X 2 = α 2, 1 2m Y 2 1 = α 3, 2m Z 2 mgz = α 4. α 2 + α 3 + α 4 = E. X (x) = 2mα 2x, Y (y) = 2mα 3y, Z(z) = 1 3m 2 g (2mα4 + 2m2 gz) 3 2. S 0 = 2mα 2x + 2mα 3y + 1 3m 2 g [2m(E α2 α3) + 2m2 gz] 3 2. p x = S0 x = 2mα 2, p y = S0 y = 2mα 3, p z = S0 z = [2m(E α2 α3) + 2m2 gz] 1 2 ;

5 β 1 = S0 E t = 1 mg [2m(E α2 α3) + 2m2 gz] 1 2 t, β 2 = S0 = mx 1 α 2 2mα2 mg [2m(E α2 α3) + 2m2 gz] 2 1, β 3 = S0 = my 1 α 3 2mα3 mg [2m(E α2 α3) + 2m2 gz] mg [2m(E α2 α3) + 2m2 gz] 1 2 = β1 + t. Ezt behelyettesítfe a fenti második és a harmadik egyenletbe 2α2 x = m t + 2α2 (β2 + β1) = a1t + b1, m 2α3 y = m t + 2α3 (β3 + β1) = a2t + b2. m z = 1 2 gt2 + β 1gt + m2 g 2 β 1 2 2m(E α 2 α 3) 2m 2 g = 1 2 gt2 + a 3t + b 3. Az a i, b i (vagy az E, α 2, α 3, β 1, β 2, β 3) integrálási állandók a kezdeti feltételekből számíthatók ki.

6 2.Tömegpont mozgása centrális erőtérben. H = 1 ( ) pr 2 + p2 ϑ + V (r) 2m r 2 H ϑ = 0 S 0 = S 1(r) + α 2ϑ α 2 = S0 ϑ = p ϑ, impulzusnyomaték nagysága. [ ( 1 ) ] 2 ds1 + α2 2 + V (r) = E. 2m dr r 2 ds 1 = 2m(E V ) α2 2 dr r, 2 S 1 = 2m(E V ) α2 2 r 2 dr.

7 S 0 = 2m(E V ) α2 2 β 1 = S0 E t = dr + α2ϑ. r 2 mdr t, 2m(E V ) α2 2 r 2 kiszámithatjuk az r rádiuszvektort az idő függvényében. β 2 = S0 α 2dr = ϑ. α 2 r 2m(E 2 V ) α2 2 r 2 meghatározza a tömegpont pályaegyenletét.

8 Merev testek mozgása Olyan tömegpontok rendszere, amelyek egymától való távolsága állandó. Diszkrét tömegpontok rendszerének fogjuk fel.

9 nyugalmi (XYZ)-inercia-, koordináta-rendszer az x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z mozgó koordináta-rendszer, amelyet a merev testhez rögzítünk, így az részt vesz annak minden mozgásában. A kezdőpont a test tömegközéppontjában. A merev test helyzetét a nyugalmi koordináta-rendszerhez viszonyítva meghatározza a mozgó koordináta-rendszer O origójának helyzetvektora, R, illetve három független szög hat koordinátánk van. A merev test hat szabadságfokú mechanikai rendszer.

10 Végtelen kis elmozdulást előálĺıthatjuk két elmozdulás összegeként: kicsiny párhuzamos eltolás + végtelen kis elforgatás a tömegközéppont körül.

11 Végtelen kis elmozdulást előálĺıthatjuk két elmozdulás összegeként: kicsiny párhuzamos eltolás + végtelen kis elforgatás a tömegközéppont körül. r a mozgó koordináta-rendszerben, r 0 a nyugvó koordináta-rendszerben

12 Végtelen kis elmozdulást előálĺıthatjuk két elmozdulás összegeként: kicsiny párhuzamos eltolás + végtelen kis elforgatás a tömegközéppont körül. r a mozgó koordináta-rendszerben, r 0 a nyugvó koordináta-rendszerben d r 0 = d R + dϕ r.

13 Végtelen kis elmozdulást előálĺıthatjuk két elmozdulás összegeként: kicsiny párhuzamos eltolás + végtelen kis elforgatás a tömegközéppont körül. r a mozgó koordináta-rendszerben, r 0 a nyugvó koordináta-rendszerben d r 0 = d R + dϕ r. d r 0 dt = v, d R dt = V, dϕ dt = ω,

14 Végtelen kis elmozdulást előálĺıthatjuk két elmozdulás összegeként: kicsiny párhuzamos eltolás + végtelen kis elforgatás a tömegközéppont körül. r a mozgó koordináta-rendszerben, r 0 a nyugvó koordináta-rendszerben d r 0 = d R + dϕ r. d r 0 dt = v, d R dt = V, dϕ dt = ω, v = V + ω r

15 Ha a mozgó koordináta-rendszer nem az O tömegközéppontban van hanem attól a távolságra az O pontban:. r = r + a

16 Ha a mozgó koordináta-rendszer nem az O tömegközéppontban van hanem attól a távolságra az O pontban: r = r + a. v = V + ω a + ω r, =

17 Ha a mozgó koordináta-rendszer nem az O tömegközéppontban van hanem attól a távolságra az O pontban: r = r + a. v = V + ω a + ω r, = V = V + ω a, ω = ω

18 Ha a mozgó koordináta-rendszer nem az O tömegközéppontban van hanem attól a távolságra az O pontban:. r = r + a v = V + ω a + ω r, = V = V + ω a, ω = ω A haladó mozgás sebességének nincs abszolút jellege mint a szögsebességnek.

19 Ha a mozgó koordináta-rendszer nem az O tömegközéppontban van hanem attól a távolságra az O pontban:. r = r + a v = V + ω a + ω r, = V = V + ω a, ω = ω A haladó mozgás sebességének nincs abszolút jellege mint a szögsebességnek. Mindig választható olyan O kezdőpont, amelynek V sebessége nulla. A mozgás tiszta forgatásként fogható fel. Ezt a tengelyt a test pillanatnyi forgástengelyének nevezzük.

20 A tehetetlenségi nyomaték A merev test nozgási energiája diszkrét tömegpontok rendszere esetén : T = mv 2 ahol az összegezést a testet alkotó összes pontra kell elvégeznünk. 2

21 A tehetetlenségi nyomaték A merev test nozgási energiája diszkrét tömegpontok rendszere esetén : T = mv 2 ahol az összegezést a testet alkotó összes pontra kell elvégeznünk. T = m 2 (V + ω r)2 = m 2 V 2 + mv (ω r) + m 2 (ω r)2. 2

22 A tehetetlenségi nyomaték A merev test nozgási energiája diszkrét tömegpontok rendszere esetén : T = mv 2 ahol az összegezést a testet alkotó összes pontra kell elvégeznünk. T = m 2 (V + ω r)2 = m 2 V 2 + mv (ω r) + m 2 (ω r)2. mv (ω r) = mr(v ω) = (V ω) mr = 0 2 mivel a kezdőpontot a tömegközéppontban választottuk.

23 A tehetetlenségi nyomaték A merev test nozgási energiája diszkrét tömegpontok rendszere esetén : T = mv 2 ahol az összegezést a testet alkotó összes pontra kell elvégeznünk. T = m 2 (V + ω r)2 = m 2 V 2 + mv (ω r) + m 2 (ω r)2. mv (ω r) = mr(v ω) = (V ω) mr = 0 2 mivel a kezdőpontot a tömegközéppontban választottuk. T = MV m(ω 2 r 2 (ωr) 2) 2 A test energiáját csak akkor bonthatjuk fel két, haladó és forgó mozgási energiákra, ha a kezdőpontot a tömegközéppontban vesszük fel.

24 A tehetetlenségi nyomaték A merev test nozgási energiája diszkrét tömegpontok rendszere esetén : T = mv 2 ahol az összegezést a testet alkotó összes pontra kell elvégeznünk. T = m 2 (V + ω r)2 = m 2 V 2 + mv (ω r) + m 2 (ω r)2. mv (ω r) = mr(v ω) = (V ω) mr = 0 2 mivel a kezdőpontot a tömegközéppontban választottuk. T = MV m(ω 2 r 2 (ωr) 2) 2 A test energiáját csak akkor bonthatjuk fel két, haladó és forgó mozgási energiákra, ha a kezdőpontot a tömegközéppontban vesszük fel. A forgási energia tenzorjelölésekkel : T rot = 1 m(ω 2 i xi 2 ω i x i ω k x k ) = 1 m(ωi ω k δ ik xl 2 ω i ω k x i x k ) = 2 2 = 1 2 ω iω k m(x 2 l δ ik x i x k ). felhasználtuk az azonos indexekre vonatkozó összegeszési megállapodást.

25 Bevezetve a Θ ik = m(x 2 l δ ik x i x k ) másodrendű szimmetrikus tenzort, a kinetikus energia kifejezése : T = MV 2 2 és a merev test Lagrange-függvénye L = MV Θ ikω i ω k Θ ikω i ω k U ahol az U potenciális energia függhet, a tömegközéppont X, Y, Z koordinátáitól és a mozgó koordináta-rendszer tengelyeinek irányát megadó három szögtől.

26 A Θ ik tenzor a test tehetetlenségi nyomatékának tenzora vagy egyszerűen a tehetetlenségi tenzor.

27 A Θ ik tenzor a test tehetetlenségi nyomatékának tenzora vagy egyszerűen a tehetetlenségi tenzor. m(y 2 + z 2 ) mxy mxz Θ ik = myx m(x 2 + z 2 ) myz mzx mzy m(x 2 + y 2 )

28 A Θ ik tenzor a test tehetetlenségi nyomatékának tenzora vagy egyszerűen a tehetetlenségi tenzor. m(y 2 + z 2 ) mxy mxz Θ ik = myx m(x 2 + z 2 ) myz mzx mzy m(x 2 + y 2 ) Θ xx, Θ yy, Θ zz komponenseket a megfelelő tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük.

29 A Θ ik tenzor a test tehetetlenségi nyomatékának tenzora vagy egyszerűen a tehetetlenségi tenzor. m(y 2 + z 2 ) mxy mxz Θ ik = myx m(x 2 + z 2 ) myz mzx mzy m(x 2 + y 2 ) Θ xx, Θ yy, Θ zz komponenseket a megfelelő tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük. A tehetetlenségi nyomaték additív.

30 A Θ ik tenzor a test tehetetlenségi nyomatékának tenzora vagy egyszerűen a tehetetlenségi tenzor. m(y 2 + z 2 ) mxy mxz Θ ik = myx m(x 2 + z 2 ) myz mzx mzy m(x 2 + y 2 ) Θ xx, Θ yy, Θ zz komponenseket a megfelelő tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük. A tehetetlenségi nyomaték additív. Ha a merev testet folytonosnak tekintjük: Θ ik = ρ(xl 2 δ ik x i x k )dv.

31 A Θ ik tenzor a test tehetetlenségi nyomatékának tenzora vagy egyszerűen a tehetetlenségi tenzor. m(y 2 + z 2 ) mxy mxz Θ ik = myx m(x 2 + z 2 ) myz mzx mzy m(x 2 + y 2 ) Θ xx, Θ yy, Θ zz komponenseket a megfelelő tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük. A tehetetlenségi nyomaték additív. Ha a merev testet folytonosnak tekintjük: Θ ik = ρ(xl 2 δ ik x i x k )dv. Másodrendű szimmetrikus tenzort diagonalizálni lehet az x 1, x 2 és x 3 tengelyek megfelelő irányú megválasztásával.

32 A Θ ik tenzor a test tehetetlenségi nyomatékának tenzora vagy egyszerűen a tehetetlenségi tenzor. m(y 2 + z 2 ) mxy mxz Θ ik = myx m(x 2 + z 2 ) myz mzx mzy m(x 2 + y 2 ) Θ xx, Θ yy, Θ zz komponenseket a megfelelő tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük. A tehetetlenségi nyomaték additív. Ha a merev testet folytonosnak tekintjük: Θ ik = ρ(xl 2 δ ik x i x k )dv. Másodrendű szimmetrikus tenzort diagonalizálni lehet az x 1, x 2 és x 3 tengelyek megfelelő irányú megválasztásával. Ezek az irányok a főtehetetlenségi tengelyek. A tenzor megfelelő komponensei fő tehetetlenségi nyomatékok.

33 A Θ ik tenzor a test tehetetlenségi nyomatékának tenzora vagy egyszerűen a tehetetlenségi tenzor. m(y 2 + z 2 ) mxy mxz Θ ik = myx m(x 2 + z 2 ) myz mzx mzy m(x 2 + y 2 ) Θ xx, Θ yy, Θ zz komponenseket a megfelelő tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük. A tehetetlenségi nyomaték additív. Ha a merev testet folytonosnak tekintjük: Θ ik = ρ(xl 2 δ ik x i x k )dv. Másodrendű szimmetrikus tenzort diagonalizálni lehet az x 1, x 2 és x 3 tengelyek megfelelő irányú megválasztásával. Ezek az irányok a főtehetetlenségi tengelyek. A tenzor megfelelő komponensei fő tehetetlenségi nyomatékok. Ilyen választás esetén : T rot = 1 2 (Θ1ω2 1 + Θ 2ω2 2 + Θ 3ω3) 2

34 A Θ ik tenzor a test tehetetlenségi nyomatékának tenzora vagy egyszerűen a tehetetlenségi tenzor. m(y 2 + z 2 ) mxy mxz Θ ik = myx m(x 2 + z 2 ) myz mzx mzy m(x 2 + y 2 ) Θ xx, Θ yy, Θ zz komponenseket a megfelelő tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük. A tehetetlenségi nyomaték additív. Ha a merev testet folytonosnak tekintjük: Θ ik = ρ(xl 2 δ ik x i x k )dv. Másodrendű szimmetrikus tenzort diagonalizálni lehet az x 1, x 2 és x 3 tengelyek megfelelő irányú megválasztásával. Ezek az irányok a főtehetetlenségi tengelyek. A tenzor megfelelő komponensei fő tehetetlenségi nyomatékok. Ilyen választás esetén : T rot = 1 2 (Θ1ω2 1 + Θ 2ω2 2 + Θ 3ω3) 2 Mivel Θ 1 + Θ 2 = m(x x x 2 3 ) m(x x 2 2 ) = Θ 3,

35 Θ 1 Θ 2 Θ 3 aszimmetrikus pörgettyű

36 Θ 1 Θ 2 Θ 3 aszimmetrikus pörgettyű Θ 1 = Θ 2 Θ 3, szimmetrikus pörgettyű a főtengelyek az x 1x 2 síkban tetszőlegesen választhatók.

37 Θ 1 Θ 2 Θ 3 aszimmetrikus pörgettyű Θ 1 = Θ 2 Θ 3, szimmetrikus pörgettyű a főtengelyek az x 1x 2 síkban tetszőlegesen választhatók. Θ 1 = Θ 2 = Θ 3 gömbi pörgettyű mindhárom fő tehetetlenségi tengely tetszőlegesen választható.

38 Θ 1 Θ 2 Θ 3 aszimmetrikus pörgettyű Θ 1 = Θ 2 Θ 3, szimmetrikus pörgettyű a főtengelyek az x 1x 2 síkban tetszőlegesen választhatók. Θ 1 = Θ 2 = Θ 3 gömbi pörgettyű mindhárom fő tehetetlenségi tengely tetszőlegesen választható. Ha a testnek van szimmetriasíkja, akkor a tömegközéppontnak és két fő tehetetlenségi tengelynek ebben a síkban kell elhelyezkednie, míg a harmadik merőleges rá.

39 Példa Egy síkban elhelyezkedő részecskék rendszere. Ha a rendszer síkja az x 1x 2, akkor, mivel x 3 = 0 Θ 1 = mx 2 2, Θ 2 = mx 2 1, Θ 3 = m(x x 2 2 ) tehát Θ 3 = Θ 1 + Θ 2.

40 Példa Egy síkban elhelyezkedő részecskék rendszere. Ha a rendszer síkja az x 1x 2, akkor, mivel x 3 = 0 tehát Θ 1 = mx 2 2, Θ 2 = mx 2 1, Θ 3 = m(x x 2 2 ) Θ 3 = Θ 1 + Θ 2. Ezt a Θ 3 tehetetlenségi nyomatékot még a következőképen is kiszámithatjuk : Θ 3 = i m i r 2 i =

41 Példa Egy síkban elhelyezkedő részecskék rendszere. Ha a rendszer síkja az x 1x 2, akkor, mivel x 3 = 0 tehát Θ 1 = mx 2 2, Θ 2 = mx 2 1, Θ 3 = m(x x 2 2 ) Θ 3 = Θ 1 + Θ 2. Ezt a Θ 3 tehetetlenségi nyomatékot még a következőképen is kiszámithatjuk : Θ 3 = i m i r 2 i = 1 M i,k m i m k r 2 i =

42 Példa Egy síkban elhelyezkedő részecskék rendszere. Ha a rendszer síkja az x 1x 2, akkor, mivel x 3 = 0 tehát Θ 1 = mx 2 2, Θ 2 = mx 2 1, Θ 3 = m(x x 2 2 ) Θ 3 = Θ 1 + Θ 2. Ezt a Θ 3 tehetetlenségi nyomatékot még a következőképen is kiszámithatjuk : Θ 3 = i m i r 2 i = 1 M i,k m i m k r 2 i = 1 2M i,k m i m k (r 2 i + r 2 k ) =

43 Példa Egy síkban elhelyezkedő részecskék rendszere. Ha a rendszer síkja az x 1x 2, akkor, mivel x 3 = 0 tehát Θ 1 = mx 2 2, Θ 2 = mx 2 1, Θ 3 = m(x x 2 2 ) Θ 3 = Θ 1 + Θ 2. Ezt a Θ 3 tehetetlenségi nyomatékot még a következőképen is kiszámithatjuk : Θ 3 = i = 1 2M i,k m i r 2 i = 1 M i,k m i m k r 2 i = 1 2M m i m k (r 2 i 2r i r k + r 2 k ) = i,k m i m k (r 2 i + r 2 k ) =

44 Példa Egy síkban elhelyezkedő részecskék rendszere. Ha a rendszer síkja az x 1x 2, akkor, mivel x 3 = 0 tehát Θ 1 = mx 2 2, Θ 2 = mx 2 1, Θ 3 = m(x x 2 2 ) Θ 3 = Θ 1 + Θ 2. Ezt a Θ 3 tehetetlenségi nyomatékot még a következőképen is kiszámithatjuk : Θ 3 = i = 1 2M i,k m i r 2 i = 1 M i,k m i m k r 2 i = 1 2M m i m k (r 2 i 2r i r k + r 2 k ) = 1 2M i,k m i m k (r 2 i + r 2 k ) = m i m k (r i r k) 2 ahol felhasználtuk, hogy m i r i = 0 mivel a kezdőpont a test tömegközéppontjában van. i,k

45 Példa Egy síkban elhelyezkedő részecskék rendszere. Ha a rendszer síkja az x 1x 2, akkor, mivel x 3 = 0 tehát Θ 1 = mx 2 2, Θ 2 = mx 2 1, Θ 3 = m(x x 2 2 ) Θ 3 = Θ 1 + Θ 2. Ezt a Θ 3 tehetetlenségi nyomatékot még a következőképen is kiszámithatjuk : Θ 3 = i = 1 2M i,k m i r 2 i = 1 M i,k m i m k r 2 i = 1 2M m i m k (r 2 i 2r i r k + r 2 k ) = 1 2M i,k m i m k (r 2 i + r 2 k ) = m i m k (r i r k) 2 ahol felhasználtuk, hogy m i r i = 0 mivel a kezdőpont a test tömegközéppontjában van. Tehát a Θ 3 = 1 m i m k l 2 ik 2M kifejezésben nem a pontok koordinátái, hanem az egymástól mért távolságok szerepelnek. i,k i,k

46 Ha a testnek van (valamilyen rendű) szimmetriatengelye, akkor a tömegközéppont ezen a tengelyen van. Megegyezik ezzel a tengellyel az egyik fő tehetetlenségi tengely is. Ha a szimmetriatngely rendje kettőnél nagyobb, akkor a test szimmetrikus pörgettyű. Ha a rendszert alkotó részecskék egy egyenes mentén helyezkednek el, például az x 3 mentén, akkor Θ 1 = Θ 2 = mx 2 3, Θ 3 = 0 Az ilyen rendszert rotátornak nevezzük.

47 Ha a mozgó koordináta-rendszer kezdőpontját nem az O-val jelölt tömegközéppontban hanem egy olyan O pontban vesszük fel melynek helyzetvektora O-hoz képest a lesz, akkor r = r + a, x i = x i + a i és a tehetetlenségi nyomaték új tenzora Θ ik = Θ ik + M(a 2 δ ik a i a k ) lesz (Steiner képlete) ami gyakran megkönnyíti Θ ik kiszámítását.