Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső
|
|
- Nándor Szabó
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog.
2 Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. 2. A hullámvasút vágányaira erősített szerelvény vagy merev drótra fűzött golyó mozgása.
3 Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. 2. A hullámvasút vágányaira erősített szerelvény vagy merev drótra fűzött golyó mozgása. 3. Egy elhanyagolható tömegű merev rúddal összekötött két részecske mozgása.
4 Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. 2. A hullámvasút vágányaira erősített szerelvény vagy merev drótra fűzött golyó mozgása. 3. Egy elhanyagolható tömegű merev rúddal összekötött két részecske mozgása. 4. Az 1. példában a lejtő vagy gömbsüveg periódikus körmozgást végez valamilyen tengely körül.
5 Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. 2. A hullámvasút vágányaira erősített szerelvény vagy merev drótra fűzött golyó mozgása. 3. Egy elhanyagolható tömegű merev rúddal összekötött két részecske mozgása. 4. Az 1. példában a lejtő vagy gömbsüveg periódikus körmozgást végez valamilyen tengely körül. Feltételezzük, hogy a korong nem hagyja el a felületet.
6 Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. 2. A hullámvasút vágányaira erősített szerelvény vagy merev drótra fűzött golyó mozgása. 3. Egy elhanyagolható tömegű merev rúddal összekötött két részecske mozgása. 4. Az 1. példában a lejtő vagy gömbsüveg periódikus körmozgást végez valamilyen tengely körül. Feltételezzük, hogy a korong nem hagyja el a felületet. 5. Egy edénybe zárt gáz atomjainak mozgása. A doboz falával való ütközést rugalmasnak tekintjük.
7 Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. 2. A hullámvasút vágányaira erősített szerelvény vagy merev drótra fűzött golyó mozgása. 3. Egy elhanyagolható tömegű merev rúddal összekötött két részecske mozgása. 4. Az 1. példában a lejtő vagy gömbsüveg periódikus körmozgást végez valamilyen tengely körül. Feltételezzük, hogy a korong nem hagyja el a felületet. 5. Egy edénybe zárt gáz atomjainak mozgása. A doboz falával való ütközést rugalmasnak tekintjük. 6. Egy csúcsával felfele mutató gömbsüveg külső felületén lecsúszó kis korong mozgása.
8 Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. 2. A hullámvasút vágányaira erősített szerelvény vagy merev drótra fűzött golyó mozgása. 3. Egy elhanyagolható tömegű merev rúddal összekötött két részecske mozgása. 4. Az 1. példában a lejtő vagy gömbsüveg periódikus körmozgást végez valamilyen tengely körül. Feltételezzük, hogy a korong nem hagyja el a felületet. 5. Egy edénybe zárt gáz atomjainak mozgása. A doboz falával való ütközést rugalmasnak tekintjük. 6. Egy csúcsával felfele mutató gömbsüveg külső felületén lecsúszó kis korong mozgása. 7. A 3. példában a rúd helyett használhatunk kötelet.
9 Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. 2. A hullámvasút vágányaira erősített szerelvény vagy merev drótra fűzött golyó mozgása. 3. Egy elhanyagolható tömegű merev rúddal összekötött két részecske mozgása. 4. Az 1. példában a lejtő vagy gömbsüveg periódikus körmozgást végez valamilyen tengely körül. Feltételezzük, hogy a korong nem hagyja el a felületet. 5. Egy edénybe zárt gáz atomjainak mozgása. A doboz falával való ütközést rugalmasnak tekintjük. 6. Egy csúcsával felfele mutató gömbsüveg külső felületén lecsúszó kis korong mozgása. 7. A 3. példában a rúd helyett használhatunk kötelet. 8. Vízszintes síkon guruló függőleges korong.
10 Kötések kényszererők. 1. példa: csak felület menti mozgás, meggátolja a részecske áthatolását a felületen az erő a felületre és a mozgás pályájára is merőleges irányú. A kényszerektől független erőket szabaderőknek nevezzük. m r = F + F, (1) ahol F a szabad- és F a kényszererőt jelenti. A fenti geometriai kényszert a megfelelő felület egyenlete határozza meg: típusú egyenlete határozza meg. ϕ x dx + ϕ y differenciál- vagy más néven Pfaff-alak ϕ(x, y, z) = 0 (2) ϕ dy + dz = ϕ dr = 0. (3) z
11 dr = (dx, dy, dz) lehetséges elmozdulás mivel kizárólag a kötéssel áll összefüggésben se a mozgásegyenletek se a kezdeti feltételek megszorításának nincs alávetve. A valós elmozdulása egy a végtelen sok lehetséges elmozdulások közül. (2) a ϕ(r) skalárfüggvény egy szintfelületét F = λ ϕ. (4) az elmozdulás, azaz a pálya, és a kényszererő ortogonális. A kényszererő által végzett munka a dr elmozdulás során dw = F dr = 0, azaz az időtől független kényszerek esetén fellépő kényszererők nem végeznek munkát. x, y, z koordináták illetve λ, időfüggését kell meghatároznunk. A (1) (3 egyenlet) és a (2) (1 egyenlet) azonos számú egyenletből meg is tehetjük.
12 2. példa: a görbét (hullámvasút vágánya vagy merev drót) nem hagyhatják el a rajtuk mozgó testek. Három dimenzióban görbe = két felület metszésvonala: ϕ 1 (x, y, z) = 0, ϕ 2 (x, y, z) = 0 (5) görbe két kényszer dr ortogonális mindkét függvény gradiensére ortogonális azok tetszőleges lineáris kombinációjára is. F = λ 1 ϕ 1 + λ 2 ϕ 2. Öt ismeretlenre három koordináta, λ 1 és λ 2 a (1) és (5) révén azonos számú egyenlet jut.
13 3. példa: ϕ(x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2 ) (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 d 2 = 0 hat dimenzióba ágyazott öt dimenziós felület. (1) mozgásegyenletek (x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2 ) hat dimenziós kiterjesztése: tekinthetők, ahol ( ) F = λ 12 ϕ(r 1, r 2 ), 12 =,,,,,. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 A kötés a részecskék felcserélésével szemben szimmetrikus az F első három illetve utolsó három komponense belső erők azonos nagyságúak és ellentétes irányításúak.
14 4. példa: az 1. példa általánosítása időtől függő kényszerekre. alakú míg Pfaff-alakja ϕ x dx + ϕ y (4) továbbra is érvényes dy + ϕ z ϕ(x, y, z, t) = 0 dz + ϕ t ϕ dt = ϕ dr + dt = 0. (6) t elmozdulás = felület menti összetevő (mint az időtől független esetben) + a felülettel való együttmozgásból adódó összetevő (6) kényszererő és az elmozdulás már nem ortogonálisak egymásra. időtől függő kényszerek esetén a kényszererők által végzett munka
15 elmozdulás = felület menti összetevő (mint az időtől független esetben) + a felülettel való együttmozgásból adódó összetevő (6) kényszererő és az elmozdulás már nem ortogonálisak egymásra. időtől függő kényszerek esetén a kényszererők által végzett munka nem nulla.
16 Virtuális elmozdulás. Virtuális munka δr, ún. virtuális elmozdulás vektor egy adott időpillanatban a kényszerrel kompatibilis végtelen kis elmozdulás. a rendszert egy másik, a kötés pillanatnyi állapotának megfelelő helyzetben képzeljük el végtelen nagy sebességgel történő elmozdulás (δt = 0). A virtuális munka. ϕ x δx + ϕ y Ha egy pontrendszer egyensúlyban van: ϕ δy + δz = ϕ δr = 0 (7) z δw = F δr = 0, (8) F i + F i = 0. δr i (9) i F i δr i = 0. (10) Virtuális munka elve Egy pontrendszer akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha a szabaderők munkája bármely virtuális elmozdulásnál nulla
17 (10) előnye: elkerüli a kényszererők kiszámítását. hátránya: virtuális elmozdulások bevezetése. Könnyen előálĺıthatók ha például δr i -k egymástól függetlenek az egyes F i erők eltűnnek. Általában a kényszerek kapcsolatot teremtenek a virtuális elmozdulások között δw = 0 F i = 0.
18 A kényszerek általános alakja N részecsk, s darab kötés. x 1, x 2,...x 3N koordináták : 3N j=1 a αj dx j + a α0 dt = 0, α = 1, s, (11) ahol a αj az összes koordináta és az idő ismert folytonos függvényei. Ha ezek valamely ϕ α (x 1, x 2,...x 3N, t) függvények parciális deriváltjai a kényszer holonom. tehát a holonom jelleg feltétele a 2 ϕ α x i x j = 2 ϕ α x j x i a αi x j = a αj x i Ha a holonom kényszerek nem függnek az időtől ( a α0 = 0, α = 1, s) a rendszer szkleronomnak Ellenkező esetben a rendszer reonomnak.
19 A virtuális δx j elmozdulásokra fennáll, hogy 3N j=1 és a megfelelő kényszerőkre, hogy F j = a αj δx j = 0, α = 1, s, s λ α a αj, j = 1, 3N α=1 az s darab λ α + 3N koordináta meghatározható a 3N mozgásegyenlet és s kötésből.
20 Szabadsági fokok Szabadon tömegpont helyzetét az x, y és z független koordinátával jellemezzük. N szabad részecske esetén 3N darab x 1, y 1, z 1,..., x N, y N, z N koordinátával. Egy asztallapon mozgo részecske leírásához két koordináta. A matematikai inga esetén egyetlen φ kitérési szög szükséges. Egy rendszer szabadsági foka alatt azon koordináták minimális számát értjük melyek egyértelműen jellemzik a rendszer állapotát.
21 Kényszer kapcsolat a koordináták között ezek már nem függetlenek. Például a ϕ(x, y, z) = 0 kényszer esetén egyenértékű z = z(x, y) elégséges két koordináta a kötés csökkentette egyel a szabadsági fokok számát az eredetileg háromdimenziós rendszerünk egy két dimenziós altérben mozog. Görbe esetén két kötés, azaz két egyenlet az y mint a z koordináták kiküszöbölhetők a mozgásegyenletekből és az x koordinátára kapott megoldásból a teljes háromdimenziós mozgás megadható a szabadsági fokok száma egy. Minden kötés eggyel csökkenti a szabadsági fokok számát. s darab kötésnek alávetett N részecskéből álló pontrendszer szabadsági fokainak a száma f = 3N s. (12)
22 Egy merev test egy olyan pontrendszer melyben bármely pontpár relatív távolsága állandó: (r i r j ) 2 d ij = 0, i, j = 1, N N(N 1)/2 kötések száma > 3N mivel a kötések nem függetlenek.
23 Egy merev test egy olyan pontrendszer melyben bármely pontpár relatív távolsága állandó: (r i r j ) 2 d ij = 0, i, j = 1, N N(N 1)/2 kötések száma > 3N mivel a kötések nem függetlenek. Egy adott pont távolsága bármely másik három, nem egyvonalban elhelyezkedő ponttól rögzített ugyanez a tulajdonság tetszőleges másik három ponthármasra.
24 Egy merev test egy olyan pontrendszer melyben bármely pontpár relatív távolsága állandó: (r i r j ) 2 d ij = 0, i, j = 1, N N(N 1)/2 kötések száma > 3N mivel a kötések nem függetlenek. Egy adott pont távolsága bármely másik három, nem egyvonalban elhelyezkedő ponttól rögzített ugyanez a tulajdonság tetszőleges másik három ponthármasra. Gondolatban egyenként vigyünk be újabb és újabb részecskéket: Részecske Szabadsági fokok Kötések
25 Egy merev test egy olyan pontrendszer melyben bármely pontpár relatív távolsága állandó: (r i r j ) 2 d ij = 0, i, j = 1, N N(N 1)/2 kötések száma > 3N mivel a kötések nem függetlenek. Egy adott pont távolsága bármely másik három, nem egyvonalban elhelyezkedő ponttól rögzített ugyanez a tulajdonság tetszőleges másik három ponthármasra. Gondolatban egyenként vigyünk be újabb és újabb részecskéket: Részecske Szabadsági fokok Kötések
26 Egy merev test egy olyan pontrendszer melyben bármely pontpár relatív távolsága állandó: (r i r j ) 2 d ij = 0, i, j = 1, N N(N 1)/2 kötések száma > 3N mivel a kötések nem függetlenek. Egy adott pont távolsága bármely másik három, nem egyvonalban elhelyezkedő ponttól rögzített ugyanez a tulajdonság tetszőleges másik három ponthármasra. Gondolatban egyenként vigyünk be újabb és újabb részecskéket: Részecske Szabadsági fokok Kötések (távolság az első részecskétől)
27 Egy merev test egy olyan pontrendszer melyben bármely pontpár relatív távolsága állandó: (r i r j ) 2 d ij = 0, i, j = 1, N N(N 1)/2 kötések száma > 3N mivel a kötések nem függetlenek. Egy adott pont távolsága bármely másik három, nem egyvonalban elhelyezkedő ponttól rögzített ugyanez a tulajdonság tetszőleges másik három ponthármasra. Gondolatban egyenként vigyünk be újabb és újabb részecskéket: Részecske Szabadsági fokok Kötések (távolság az első részecskétől) (távolság az első két részecskétől) i > (távolság korábbi három részecskétő
28 Egy merev test egy olyan pontrendszer melyben bármely pontpár relatív távolsága állandó: (r i r j ) 2 d ij = 0, i, j = 1, N N(N 1)/2 kötések száma > 3N mivel a kötések nem függetlenek. Egy adott pont távolsága bármely másik három, nem egyvonalban elhelyezkedő ponttól rögzített ugyanez a tulajdonság tetszőleges másik három ponthármasra. Gondolatban egyenként vigyünk be újabb és újabb részecskéket: Részecske Szabadsági fokok Kötések (távolság az első részecskétől) (távolság az első két részecskétől) i > (távolság korábbi három részecskétő Összesen tehát s = (N 3) = 3N 6 kötésünk van. Következésképpen: Egy merev test szabadsági fokainak száma hat.
29 Általános koordináták A ϕ(x, y, z) = 0 implicit egyenlet általában nem írható át explicit formába, A kényszererők kiszámítása is bonyodalmas lenne. Egyenértékű parametrikus feĺırása a (holonom) kényszerfelületnek: q 1 és q 2 ún. általános koordináták. x = x(q 1, q 2 ) y = y(q 1, q 2 ) z = z(q 1, q 2 ).
30 R sugarú gömbfelületen való mozgás: ϕ(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 R 2 = 0. q 1 = θ és q 2 = φ. koordinátatranszformáció + x = x(r, θ, φ) y = y(r, θ, φ) z = z(r, θ, φ). ψ(r, θ, φ) = r R = 0, tehát r = állandó. kikötés. A kényszer által tiltott sugárirányú mozgás merőleges a felületre.
31 R sugarú gömbfelületen való mozgás: ϕ(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 R 2 = 0. q 1 = θ és q 2 = φ. koordinátatranszformáció + x = x(r, θ, φ) y = y(r, θ, φ) z = z(r, θ, φ). ψ(r, θ, φ) = r R = 0, tehát r = állandó. kikötés. A kényszer által tiltott sugárirányú mozgás merőleges a felületre. Nem minden holonom feltételre x 1, x 2,..., x 3N q 1, q 2,... q 3N transzformáció, melyben a k darab kötést megfelelő számú q koordináta állandósága biztosítja.
32 R sugarú gömbfelületen való mozgás: ϕ(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 R 2 = 0. q 1 = θ és q 2 = φ. koordinátatranszformáció + x = x(r, θ, φ) y = y(r, θ, φ) z = z(r, θ, φ). ψ(r, θ, φ) = r R = 0, tehát r = állandó. kikötés. A kényszer által tiltott sugárirányú mozgás merőleges a felületre. Nem minden holonom feltételre x 1, x 2,..., x 3N q 1, q 2,... q 3N transzformáció, melyben a k darab kötést megfelelő számú q koordináta állandósága biztosítja. Ha a kötések nem holonómok, akkor a kötések még csak nem is vezetnek a koordináták számának csökkenéséhez.
33 Általános koordinátákat használunk, ha a dinamikáról feltételezzük, hogy valamely szimmetriát követ. Például ha izotróp a külső tér szférikus koordináták. Ebben az esetben a három koordináta egymástól függetlennek tekinthető.
34 Általánosítsuk a koordinátatranszformációt: r i = r i (q 1, q 2,..., q f, t), i = 1, N (13) Jelölés: x i = x i (q, t), i = 1, 3N, q = (q 1, q 2,..., q f ) (14) m i i = 1, 3N m 3k 2 = m 3k 1 = m 3k, k = 1, N.
35 Általánosítsuk a koordinátatranszformációt: Jelölés: r i = r i (q 1, q 2,..., q f, t), i = 1, N (13) x i = x i (q, t), i = 1, 3N, q = (q 1, q 2,..., q f ) (14) m i i = 1, 3N m 3k 2 = m 3k 1 = m 3k, k = 1, N. Egy tetszőleges f (q, q, t) függvény idő szerinti teljes deriváltja: d f f (q, q, t) = q r + f q r + f dt q r q r t.
36 Általánosítsuk a koordinátatranszformációt: Jelölés: r i = r i (q 1, q 2,..., q f, t), i = 1, N (13) x i = x i (q, t), i = 1, 3N, q = (q 1, q 2,..., q f ) (14) m i i = 1, 3N m 3k 2 = m 3k 1 = m 3k, k = 1, N. Egy tetszőleges f (q, q, t) függvény idő szerinti teljes deriváltja: Az f = f (q, t) sajátos esetben: d f f (q, q, t) = q r + f q r + f dt q r q r t. d f f (q, t) = q r + f dt q r t. (15)
37 Általánosítsuk a koordinátatranszformációt: Jelölés: r i = r i (q 1, q 2,..., q f, t), i = 1, N (13) x i = x i (q, t), i = 1, 3N, q = (q 1, q 2,..., q f ) (14) m i i = 1, 3N m 3k 2 = m 3k 1 = m 3k, k = 1, N. Egy tetszőleges f (q, q, t) függvény idő szerinti teljes deriváltja: Az f = f (q, t) sajátos esetben: d f f (q, q, t) = q r + f q r + f dt q r q r t. d dt d f f (q, t) = q r + f dt q r t. (15) q s f (q, t) = d f (q, t) q s dt azaz a kétféle deriválás sorrendje felcserélhető.
38 (14) és (15) alapján a sebesség: x i = dx i dt = q r x i + x i q r t. (16)
39 (14) és (15) alapján a sebesség: A mozgási energia: x i = dx i dt = q r x i + x i q r t. (16) T = i m i 2 ẋ 2 i =
40 (14) és (15) alapján a sebesség: A mozgási energia: x i = dx i dt = q r x i + x i q r t. (16) T = i = i m i 2 ẋ 2 i = [ x i x i m i q r q s + 2 x i x i q r + q r q s t q r ( ) ] 2 xi t
41 (14) és (15) alapján a sebesség: A mozgási energia: x i = dx i dt = q r x i + x i q r t. (16) T = i m i 2 ẋ 2 i = [ x i x i m i q r q s + 2 x i x i q r + q r q s t q r = i = T 2 + T 1 + T 0, ( ) ] 2 xi t (17) ahol T 2 = 1 2 α rs q r q s, másodrendűen homogén (kvadratikus), (18) T 1 = β r q r, elsőrendűen homogén (lineáris), (19) T 0 = γ, nemnegatív fg. (20) α rs, β r és γ az általános koordináták és idő függvényei T = T (q, q, t), q = (q 1, q 2,..., q f ) T 1 és T 0 csak nem eltűnő x i / t esetén jelenik meg.
42 T 2 = 1 2 α rs q r q s, másodrendűen homogén (kvadratikus), (21) T 1 = β r q r, elsőrendűen homogén (lineáris), (22) T 0 = γ, nemnegatív fg. (23) α rs, β r és γ az általános koordináták és idő függvényei T = T (q, q, t), q = (q 1, q 2,..., q f ) T 1 és T 0 csak nem eltűnő x i / t esetén jelenik meg.
43 T 2 = 1 2 α rs q r q s, másodrendűen homogén (kvadratikus), (21) T 1 = β r q r, elsőrendűen homogén (lineáris), (22) T 0 = γ, nemnegatív fg. (23) α rs, β r és γ az általános koordináták és idő függvényei T = T (q, q, t), q = (q 1, q 2,..., q f ) T 1 és T 0 csak nem eltűnő x i / t esetén jelenik meg. Időtől független koordinátatranszformációk esetén a mozgási energia kvadratikus az általános sebességekben.
44 T 2 = 1 2 α rs q r q s, másodrendűen homogén (kvadratikus), (21) T 1 = β r q r, elsőrendűen homogén (lineáris), (22) T 0 = γ, nemnegatív fg. (23) α rs, β r és γ az általános koordináták és idő függvényei T = T (q, q, t), q = (q 1, q 2,..., q f ) T 1 és T 0 csak nem eltűnő x i / t esetén jelenik meg. Időtől független koordinátatranszformációk esetén a mozgási energia kvadratikus az általános sebességekben. Időtől függő koordinátatranszformációk esetén a mozgási energia az általános sebességben kvadratikus tag mellett (T 2 ) egy lineáris tagot (T 1 ) és egy sebességtől független tagot (T 0 ) is tartalmaz.
45 T 2 = 1 2 α rs q r q s, másodrendűen homogén (kvadratikus), (21) T 1 = β r q r, elsőrendűen homogén (lineáris), (22) T 0 = γ, nemnegatív fg. (23) α rs, β r és γ az általános koordináták és idő függvényei T = T (q, q, t), q = (q 1, q 2,..., q f ) T 1 és T 0 csak nem eltűnő x i / t esetén jelenik meg. Időtől független koordinátatranszformációk esetén a mozgási energia kvadratikus az általános sebességekben. Időtől függő koordinátatranszformációk esetén a mozgási energia az általános sebességben kvadratikus tag mellett (T 2 ) egy lineáris tagot (T 1 ) és egy sebességtől független tagot (T 0 ) is tartalmaz. Koordinátatranszformáció esetén a kinetikus energia kifejezése az általános sebességek mellett az általános koordinátákat is tartalmazhatja.
46 A D Alembert elv A virtuális munka elve statikus rendszerekre alkalmazható. Kiterjesztjük dinamikai rendszerekre.
47 A D Alembert elv A virtuális munka elve statikus rendszerekre alkalmazható. Kiterjesztjük dinamikai rendszerekre. Az i. részecske mozgásegyenlete: ṗ i = F i + F i, ahol F i a szabaderők és F i a kényszererők eredője.
48 A D Alembert elv A virtuális munka elve statikus rendszerekre alkalmazható. Kiterjesztjük dinamikai rendszerekre. Az i. részecske mozgásegyenlete: ṗ i = F i + F i, ahol F i a szabaderők és F i a kényszererők eredője. ahol ṗ i tehetetlenségi erő F i + F i ṗ i = 0,
49 A D Alembert elv A virtuális munka elve statikus rendszerekre alkalmazható. Kiterjesztjük dinamikai rendszerekre. Az i. részecske mozgásegyenlete: ṗ i = F i + F i, ahol F i a szabaderők és F i a kényszererők eredője. F i + F i ṗ i = 0, ahol ṗ i tehetetlenségi erő a dinamika második törvénye: egy testre ható erők eredője mindig nulla. F i δr i :
50 A D Alembert elv A virtuális munka elve statikus rendszerekre alkalmazható. Kiterjesztjük dinamikai rendszerekre. Az i. részecske mozgásegyenlete: ṗ i = F i + F i, ahol F i a szabaderők és F i a kényszererők eredője. F i + F i ṗ i = 0, ahol ṗ i tehetetlenségi erő a dinamika második törvénye: egy testre ható erők eredője mindig nulla. F i δr i : (F i ṗ i )δr i = 0 (24) D Alembert elv. i
Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását
Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális
RészletesebbenPÉLDÁK ERŐTÖRVÉNYEKRE
PÉLÁ ERŐTÖRVÉNYERE Szabad erők: erőtörvénnyel megadhatók, általában nem függenek a test mozgásállapotától (sebességtől, gyorsulástól) Példák: nehézségi erő, súrlódási erők, rugalmas erők, felhajtóerők,
RészletesebbenA Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
RészletesebbenAz elméleti mechanika alapjai
Az elméleti mechanika alapjai Tömegpont, a továbbiakban részecske. A jelenségeket a háromdimenziós térben és időben játszódnak le: r helyzetvektor v dr dt ṙ, a dr dt r a részecske sebessége illetve gyorsulása.
RészletesebbenBevezetés az elméleti zikába
Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Az elméleti mechanika newtoni alapjai Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011 TARTALOMJEGYZÉK 1. El szó 7 2. Newton törvényei
RészletesebbenKÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS
KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS 1 EGYENLETES KÖRMOZGÁS Pálya kör Út ív Definíció: Test körpályán azonos irányban haladva azonos időközönként egyenlő íveket tesz meg. Periodikus mozgás 2 PERIODICITÁS
Részletesebben1. Feladatok a dinamika tárgyköréből
1. Feladatok a dinamika tárgyköréből Newton három törvénye 1.1. Feladat: Három azonos m tömegű gyöngyszemet fonálra fűzünk, egymástól kis távolságokban a fonálhoz rögzítünk, és az elhanyagolható tömegű
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
Részletesebben"Flat" rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások
"Flat" rendszerek definíciók, példák, alkalmazások Hangos Katalin, Szederkényi Gábor szeder@scl.sztaki.hu, hangos@scl.sztaki.hu 2006. október 18. flatness - p. 1/26 FLAT RENDSZEREK: Elméleti alapok 2006.
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
RészletesebbenTömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások
2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel
RészletesebbenMechanika. Kinematika
Mechanika Kinematika Alapfogalmak Anyagi pont Vonatkoztatási és koordináta rendszer Pálya, út, elmozdulás, Vektormennyiségek: elmozdulásvektor Helyvektor fogalma Sebesség Mozgások csoportosítása A mozgásokat
Részletesebben1. ábra. 24B-19 feladat
. gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,
RészletesebbenA +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra
. Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.
Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek
Részletesebben1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel
1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel Munkavégzés, teljesítmény 1.1. Feladat: (HN 6B-8) Egy rúgót nyugalmi állapotból 4 J munka árán 10 cm-rel nyújthatunk meg. Mekkora
RészletesebbenGépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, október 10.. CHFMAX. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont)
1. 2. 3. Mondat E1 E2 Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, 2017. október 10.. CHFMAX NÉV: Neptun kód: Aláírás: g=10 m/s 2 Előadó: Márkus / Varga Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont) 1) Az l hosszúságú
RészletesebbenAz alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika
Az alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika 1. előadás Vonatkoztatási rendszer Hely-idő-tömeg standardok 3-dimenziós
RészletesebbenDinamika. A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása.
Dinamika A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása. Newton törvényei: I. Newton I. axiómája: Minden nyugalomban lévő test megtartja nyugalmi állapotát, minden mozgó test
Részletesebben2. E L Ő A D Á S D R. H U S I G É Z A
Mechatronika alapjai 2. E L Ő A D Á S D R. H U S I G É Z A elmozdulás erő nyomaték elmozdulás erő nyomaték Mechanizmusok Mechanizmus: általánosságban: A gép mechanikus elven működő részei Definíció: A
RészletesebbenRobotika. Kinematika. Magyar Attila
Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc
Részletesebben2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
Részletesebben2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések
. REZGÉSEK.1. Harmonikus rezgések: Harmonikus erő: F = D x D m ẍ= D x (ezt a mechanikai rendszert lineáris harmonikus oszcillátornak nevezik) (Oszcillátor körfrekvenciája) ẍ x= Másodrendű konstansegyütthatós
RészletesebbenLendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya.
Lendület Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendülettétel: Az lendület erő hatására változik meg. Az eredő erő határozza meg
RészletesebbenFizika. Fizika. Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK február 13.
Fizika Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK 017. február 13. A lejtő mint kényszer A lejtő egy ún. egyszerű gép. A következő problémában először a lejtőt rögzítjük, és egy m tömegű test súrlódás nélkül lecsúszik
RészletesebbenIrányításelmélet és technika I.
Irányításelmélet és technika I. Mechanikai rendszerek dinamikus leírása Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almos.vein.hu 2010
RészletesebbenFIZIKA II. Dr. Rácz Ervin. egyetemi docens
FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin egyetemi docens Fontos tudnivalók e-mail: racz.ervin@kvk.uni-obuda.hu web: http://uni-obuda.hu/users/racz.ervin/index.htm Iroda: Bécsi út, C. épület, 124. szoba Fizika II. - ismertetés
Részletesebbenrnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika
Fizika mérnm rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Mechanika. előadás Dr. Geretovszky Zsolt 1. szeptember 15. Klasszikus mechanika A fizika azon ága, melynek feladata az anyagi testek mozgására vonatkozó
RészletesebbenMit nevezünk nehézségi erőnek?
Mit nevezünk nehézségi erőnek? Azt az erőt, amelynek hatására a szabadon eső testek g (gravitációs) gyorsulással esnek a vonzó test centruma felé, nevezzük nehézségi erőnek. F neh = m g Mi a súly? Azt
RészletesebbenTárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,
Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus
RészletesebbenA mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája
A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v 0.6 1 / 26 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26 Bevezetés alapi Bevezetés Newton
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
RészletesebbenEgy mozgástani feladat
1 Egy mozgástani feladat Előző dolgozatunk melynek jele és címe: ED ~ Ismét az ellipszis egyenleteiről folytatásának tekinthető ez az írás. Leválasztottuk róla, mert bár szorosan kapcsolódnak, más a céljuk.
Részletesebbenv i = v i V. (1) m i m i (v i V) = i P = i m i V = m i v i i A V = P M
Mképpen függ egy pontrendszer mpulzusa a vonatkoztatás rendszertől? K-ban legyenek a részecskék sebessége v. K -ben mely K-hoz képest V sebességgel halad v = v V. (1) P = m v = m (v V) = m v m V = = P
RészletesebbenMechanika I-II. Példatár
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanika Tanszék Mechanika I-II. Példatár 2012. május 24. Előszó A példatár célja, hogy támogassa a mechanika I. és mechanika II. tárgy oktatását
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenPere Balázs október 20.
Végeselem anaĺızis 1. előadás Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2014. október 20. Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenA térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?
Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]
RészletesebbenA térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?
Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]
RészletesebbenDifferenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
RészletesebbenLagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
Részletesebben1. Az előző előadás anyaga
. Az előző előadás anyaga Egy fiú áll az A pontban és azt látja, hogy a barátnője fuldoklik a B pontban egy tóban. Milyen plyán kell a fiúnak mozognia, hogy a leggyorsabban a barátnőjéhez érjen, ha a parton
RészletesebbenGyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2)
2. Gyakorlat 30B-14 Az Egyenlítőnél, a földfelszín közelében a mágneses fluxussűrűség iránya északi, nagysága kb. 50µ T,az elektromos térerősség iránya lefelé mutat, nagysága; kb. 100 N/C. Számítsuk ki,
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenSzilárd testek rugalmassága
Fizika villamosmérnököknek Szilárd testek rugalmassága Dr. Giczi Ferenc Széchenyi István Egyetem, Fizika és Kémia Tanszék Győr, Egyetem tér 1. 1 Deformálható testek (A merev test idealizált határeset.)
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenTartalomjegyzék. A mechanika elvei. A virtuális munka elve. A TételWiki wikiből 1 / 6
1 / 6 A TételWiki wikiből Tartalomjegyzék 1 A mechanika elvei 2 A virtuális munka elve 3 d'alembert elv és a Lagrange-féle elsőfajú egyenletek 4 A Gauss-féle legkisebb kényszer 5 Általános koordináták
RészletesebbenA bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról
1 A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról A végein fonállal felfüggesztett egyenes rúd részleges erőtani vizsgálatát mutattuk be egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: Forgatónyomaték mérése - I.
RészletesebbenFizika feladatok - 2. gyakorlat
Fizika feladatok - 2. gyakorlat 2014. szeptember 18. 0.1. Feladat: Órai kidolgozásra: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel s 1 utat, második szakaszában
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,
RészletesebbenHajder Levente 2017/2018. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 2 3 Geometriai modellezés feladata A világunkat modellezni kell a térben. Valamilyen koordinátarendszer
RészletesebbenÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN
ÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 3. GÉPEK MECHANIKAI FOLYAMATAI 1. Definiálja a térbeli pont helyvektorát! r helyvektor előáll ortogonális (a 3 tengely egymásra merőleges) koordinátarendszer koordinátairányú
Részletesebben1 2. Az anyagi pont kinematikája
1. Az anyagi pont kinematikája 1. Ha egy P anyagi pont egyenes vonalú mozgását az x = 1t +t) egyenlet írja le x a megtett út hossza m-ben), határozzuk meg a pont sebességét és gyorsulását az indulás utáni
RészletesebbenSerret-Frenet képletek
Serret-Frenet képletek Vizsgáljuk meg az e n normális- és e b binormális egységvektorok változását. e n = αe t + βe n + γe b, e t e n e n = 1 e n e n = 0 β = 0 e n e t = e n e t illetve a α = 1/R. Ugyanakkor
RészletesebbenElméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport
Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport MECHANIKA I. 1. Definiálja a helyvektort! 2. Mondja meg mit értünk vonatkoztatási rendszeren! 3. Fogalmazza meg kinematikailag, hogy mikor
RészletesebbenX i = 0 F x + B x = 0. Y i = 0 A y F y + B y = 0. M A = 0 F y 3 + B y 7 = 0. B x = 200 N. B y =
1. feladat a = 3 m b = 4 m F = 400 N φ = 60 fok Első lépésként alkossuk meg a számítási modellt. A kényszereket helyettesítsük a bennük ébredő lehetséges erőkkel (második ábra). Az F erő felbontásával
RészletesebbenVégeselem analízis. 1. el adás
Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2016. szeptember 7. Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek)
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenVasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet
Vasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet 2. előadás A rugalmas lemezelmélet alapfeltevései A lemez anyaga homogén, izotróp, lineárisan rugalmas (Hooke törvény); A terheletlen állapotban
Részletesebbenr a sugara, h a magassága a hengernek a maximalizálandó függvényünk a V (r, h) = πr 2 h. Az érintkezési pontokban x 2 + y 2 = r 2 és z = h/2.
Feltételes szélsőérték Keressük úgy egy kétváltozós f (x, y) függvény szélsőértékét, hogy közben eleget tegyünk egy másik, g(x, y) = 0 típusú megszorításnak. Példa Határozzuk meg egy forgásellipszoidba
Részletesebben1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből
1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből Forgatónyomaték, impulzusmomentum, impulzusmomentum tétel 1.1. Feladat: (HN 13B-7) Homogén tömör henger csúszás nélkül gördül le az α szög alatt hajló
RészletesebbenTermodinamika (Hőtan)
Termodinamika (Hőtan) Termodinamika A hőtan nagyszámú részecskéből (pl. gázmolekulából) álló makroszkópikus rendszerekkel foglalkozik. A nagy számok miatt érdemes a mólt bevezetni, ami egy Avogadro-számnyi
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 30 Egy
Részletesebbenx = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?
. Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs
RészletesebbenMérések állítható hajlásszögű lejtőn
A mérés célkitűzései: A lejtőn lévő testek egyensúlyának vizsgálata, erők komponensekre bontása. Eszközszükséglet: állítható hajlásszögű lejtő különböző fahasábok kiskocsi erőmérő 20 g-os súlyok 1. ábra
Részletesebben2.3 Newton törvények, mozgás lejtőn, pontrendszerek
Keresés (http://wwwtankonyvtarhu/hu) NVDA (http://wwwnvda-projectorg/) W3C (http://wwww3org/wai/intro/people-use-web/) A- (#) A (#) A+ (#) (#) English (/en/tartalom/tamop425/0027_fiz2/ch01s03html) Kapcsolat
RészletesebbenMerev testek kinematikája
Merev testek kinematikája Egy pontrendszert merev testnek tekintünk, ha bármely két pontjának távolsága állandó. (f=6, Euler) A merev test tetszőleges mozgása leírható elemi transzlációk és elemi rotációk
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenMolekuláris dinamika I. 10. előadás
Molekuláris dinamika I. 10. előadás Miről is szól a MD? nagy részecskeszámú rendszerek ismerjük a törvényeket mikroszkópikus szinten minden részecske mozgását szimuláljuk? Hogyan tudjuk megérteni a folyadékok,
Részletesebbenmérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati
ϕ t + j ϕ = 0 mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati sűrűsége j ϕ - a ϕ-hez tartozó áramsűrűség j ϕ = vϕ + j rev + j irr vϕ - advekció j rev - egyéb reverzibilis áram
RészletesebbenSpeciális relativitás
Fizika 1 előadás 2016. április 6. Speciális relativitás Relativisztikus kinematika Utolsó módosítás: 2016. április 4.. 1 Egy érdekesség: Fizeau-kísérlet A v sebességgel áramló n törésmutatójú folyadékban
RészletesebbenMechanika - Versenyfeladatok
Mechanika - Versenyfeladatok 1. A mellékelt ábrán látható egy jobbmenetű csavar és egy villáskulcs. A kulcsra ható F erővektor nyomatékot fejt ki a csavar forgatása céljából. Az erő támadópontja és az
Részletesebben1. FELADATSOR. x = u + v 2, y = v + z 2, z = z. u y + z. u x + y. v x + y. v y + z. w x + y. w y + z
1. FELADATSOR 1-0: Írjuk le az R3 euklideszi tér Riemann-metrikáját az u, v, z koordináták használatával, ahol x = u + v, y = v + z, z = z. Megoldás. (L. Gy.) 1. változat: Az eredeti metrika a x, x x,
RészletesebbenKlár Gergely 2010/2011. tavaszi félév
Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták
RészletesebbenRezgések és hullámok
Rezgések és hullámok A rezgőmozgás és jellemzői Tapasztalatok: Felfüggesztett rugóra nehezéket akasztunk és kitérítjük egyensúlyi helyzetéből. Satuba fogott vaslemezt megpendítjük. Ingaóra ingáján lévő
RészletesebbenBevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1.(a) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 A deformálható testek mozgása (1) A Helmholtz-féle kinematikai alaptétel: A deformálható test elegendően
RészletesebbenFizika. Fizika. Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK január 30.
Fizika Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK 2017. január 30. Tapasztalatok az erővel kapcsolatban: elhajított kő, kilőtt nyílvessző, ásás, favágás Aristoteles: az erő a mozgás fenntartója Galilei: a mozgás
RészletesebbenGyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid
Szilárdságtani számítások Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid I. Bevezető ismeretek I.1 Definíciók I.2 Tenzoralgebrai alapismeretek I.3 Bevezetés az indexes jelölésmódba I.4 A lineáris rugalmasságtan általános
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenKeresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
Részletesebbena térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus.
2. Gyakorlat 25A-0 Tekintsünk egy l0 cm sugarú üreges fémgömböt, amelyen +0 µc töltés van. Legyen a gömb középpontja a koordinátarendszer origójában. A gömb belsejében az x = 5 cm pontban legyen egy 3
RészletesebbenRezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele
Rezgőmozgás A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele A rezgés fogalma Minden olyan változás, amely az időben valamilyen ismétlődést mutat rezgésnek nevezünk. A rezgések fajtái:
RészletesebbenMechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó
Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.
RészletesebbenDifferenciaegyenletek
Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2009/10 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 1 / 11
RészletesebbenKirchhoff 2. törvénye (huroktörvény) szerint az áramkörben levő elektromotoros erők. E i = U j (3.1)
3. Gyakorlat 29A-34 Egy C kapacitású kondenzátort R ellenálláson keresztül sütünk ki. Mennyi idő alatt csökken a kondenzátor töltése a kezdeti érték 1/e 2 ed részére? Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény)
Részletesebben2 óra szeminárium, kedd 10 óra, 3/II terem. Elektronikus anyag: comodi.phys.ubbcluj.ro/elmeletifizika
Tematika: AZ ELMÉLETI FIZIKA ALAPJAI Kódszám: FLM1303 Kreditszám: 6 Órarend:3 óra előadás, hétfő 10 óra, 243A. terem 2 óra szeminárium, kedd 10 óra, 3/II terem Oktató: Lázár Zsolt József adjunktus főépület
Részletesebben6. A Lagrange-formalizmus
Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 6. rész 1 6. A Lagrange-formalizmus A Lagrange-formalizmus alkalmazásával bizonyos fizikai rendszerek mozgásegyenleteit írhatjuk fel egyszerű módon. Az alapvető
RészletesebbenA loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra.
1 A loxodrómáról Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ezen a térképen a szélességi
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenW = F s A munka származtatott, előjeles skalármennyiség.
Ha az erő és az elmozdulás egymásra merőleges, akkor fizikai értelemben nem történik munkavégzés. Pl.: ha egy táskát függőlegesen tartunk, és úgy sétálunk, akkor sem a tartóerő, sem a nehézségi erő nem
RészletesebbenVontatás III. A feladat
Vontatás III Ebben a részben ázoljuk a ontatási feladat egy lehetséges numerikus megoldási módját Ezt az I részben ismertetett alapegyenletre építjük fel Itt az egy ontatott kerékpár esetét izsgáljuk feladat
Részletesebben