Pere Balázs október 20.
|
|
|
- Róbert Kelemen
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Végeselem anaĺızis 1. előadás Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék október 20.
2 Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?
3 Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?
4 Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?
5 Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?
6 Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?
7 Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?
8 Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?
9 Rugalmasságtani alapok Dinamika Anyagtörvények Rugalmasságtani peremérték feladat megfogalmazása Rugalmasságtani peremérték feladat közeĺıtő megoldása Virtuális munka elve Virtuális elmozdulás elve Potenciális energia minimuma elv Lagrange-féle variációs elv Ritz-módszer
10 A végeselem módszer felépítése 3D-s feladatra Tetraéder, pentaéder és hexaéder végeselemek Elmozdulások, alakváltozások és feszültségek közeĺıtése egy végeselemen Egy végeselem alakváltozási energiája és merevségi mátrixa Külső erők munkája egy végeselemen Egy végeselem potenciális energiája Teljes szerkezet merevségi mátrixa és tehervektora i peremfeltételek figyelembevétele Megoldás: elmozdulás-, alakváltozás- és feszültségmező előálĺıtása Speciális terhelések i terhelés Rugalmas ágyazás Kiegészítések a végeselem módszerhez Numerikus integrálás: Gauss kvadratúra
11 Mechanikai modellek a végeselem módszerben Rúd-modellek Bernoulli-féle rúdelmélet Timoshenko-féle rúdelmélet 2D-s feladatok Általánosított síkfeszültség feladat Síkalakváltozási feladat Forgásszimmetrikus feladat Lemez- és héj-modellek Mebrán elmélet Kirchhoff-Love elmélet Reissner-Mindlin elmélet
12 : A kinematika a testek mozgását, alakváltozását írja le, és nem keresi a mozgást vagy alakváltozást létrehozó okokat. A kinematika szó eredete: κινε ιν (kinein), jelentése: mozogni.
13 Elmozdulások kezdeti helyzet χ( r) pillanatnyi helyzet Q u Q r r e z e x O e y
14 Elmozdulások kezdeti helyzet χ( r) pillanatnyi helyzet Q u Q r r e z e x O e y r a deformálatlan test pontjaiba mutató vektor r = x e x + y e y + z e z
15 Elmozdulások kezdeti helyzet χ( r) pillanatnyi helyzet Q u Q r r e z e x O e y r a deformált test pontjaiba mutató vektor ahol r = x e x + ỹ e y + z e z x = x (x, y, z) ỹ = ỹ (x, y, z) z = z (x, y, z)
16 Elmozdulások kezdeti helyzet χ( r) pillanatnyi helyzet Q u Q r e z r e x O e y u = r r = ( x x) e x + (ỹ y) e y + ( z z) e z = u e x + v e y + w e z ahol u = u (x, y, z) v = v (x, y, z) w = w (x, y, z)
17 Elmozdulások kezdeti helyzet χ( r) pillanatnyi helyzet Q u Q r e z r e x O e y χ ( r) egy vektor-vektor függvény, amely megadja a deformálatlan test pontjainak leképezését a deformált test pontjaira. Ez a függvény nem feltétlenül lineáris! χ ( r) = χ (x, y, z) = r
18 χ( r) P Q r u + u u Q P r r e z r e x O e y vagy ugyan ez másként χ ( r P ) = r P χ ( r Q + r) = r Q + r
19 χ( r) P Q r u + u u Q P r r e z r e x O e y Kérdés: Mekkora a u, ha r és r tetszőleges?
20 χ( r) P Q r u + u u Q P r r e z r e x O e y r + r + ( u + u) = r + r
21 χ( r) P Q r u + u u Q P r r ez r r + r + ( u + u) = r + r ex O ey r + r + ( u + u) = χ ( r) + [ χ ( r + r) χ ( r)] }{{}}{{} r r r }{{ + u } + r + u = χ ( r + r) r
22 χ( r) P Q r u + u u Q P r r ez r r + r + ( u + u) = r + r ex O ey r + r + ( u + u) = χ ( r) + [ χ ( r + r) χ ( r)] }{{}}{{} r r r }{{ + u } + r + u = χ ( r + r) r
23 χ( r) P Q r u + u u Q P r r ez r r + r + ( u + u) = r + r ex O ey r + r + ( u + u) = χ ( r) + [ χ ( r + r) χ ( r)] }{{}}{{} r r r }{{ + u } + r + u = χ ( r + r) r
24 Sorfejtés a lineáris tagokig bezárólag χ ( r + r) χ ( r) }{{} r + χ x χ χ x + y + y z z + r + r + u = r + χ χ χ x + y + x y z z r + u = χ χ χ x + y + x y z z
25 Sorfejtés a lineáris tagokig bezárólag χ ( r + r) χ ( r) }{{} r + χ x χ χ x + y + y z z + r + r + u = r + χ χ χ x + y + x y z z r + u = χ χ χ x + y + x y z z
26 Sorfejtés a lineáris tagokig bezárólag χ ( r + r) χ ( r) }{{} r + χ x χ χ x + y + y z z + r + r + u = r + χ χ χ x + y + x y z z r + u = χ χ χ x + y + x y z z
27 r + u = χ χ χ x + y + x y z z = = χ x ( e x e x ) x + χ y ( e y e y ) y + χ z ( e z e z ) z = = ( ) ( ) ( ) χ χ χ x e x e x x + y e y e y y + z e z e z z
28 r + u = χ χ χ x + y + x y z z = = χ x ( e x e x ) x + χ y ( e y e y ) y + χ z ( e z e z ) z = = ( ) ( ) ( ) χ χ χ x e x e x x + y e y e y y + z e z e z z
29 Azonosság ( ) ( a b c = a ) b c
30 = r + u = χ χ χ x + y + x y z z = = χ x ( e x e x ) x + χ y ( e y e y ) y + χ z ( e z e z ) z = ( ) ( ) ( ) χ χ χ x e x e x x + y e y e y y + z e z e z z
31 ( ) ( ) ( ) χ χ χ x e x e x x + y e y e y y + z e z e z z = ( ) χ = x e x ( χ + y e y ( χ + z e z ( ) ( ) χ χ e x x + x e x e y y + x e x e z z+ ) e x x + ) e x x + ( χ y e y ( χ z e z ) e y y + ) e y y + ( χ y e y ( χ z e z ) e z z+ ) e z z =
32 ( ) ( ) ( ) χ χ χ x e x e x x + y e y e y y + z e z e z z = ( ) χ = x e x ( χ + y e y ( χ + z e z ( ) ( ) χ χ e x x + x e x e y y + x e x e z z+ ) e x x + ) e x x + ( χ y e y ( χ z e z ) e y y + ) e y y + ( χ y e y ( χ z e z ) e z z+ ) e z z =
33 = ( ) χ = x e x ( e x x + e y y + e z z) + ( ) χ + y e y ( e x x + e y y + e z z) + ( ) χ + z e z ( e x x + e y y + e z z) = ( χ x e x + χ y e y + χ ) z e z ( x e x + y e y + z e z )
34 = ( ) χ = x e x ( e x x + e y y + e z z) + ( ) χ + y e y ( e x x + e y y + e z z) + ( ) χ + z e z ( e x x + e y y + e z z) = ( χ x e x + χ y e y + χ ) z e z ( x e x + y e y + z e z )
35 = r + u = ( χ x e x + χ y e y + χ ) z e z ( x e x + y e y + z e z ) = = χ ( ) x e x + y e y + z e z }{{} ( x e x + y e y + z e z ) = }{{} r = χ r
36 = r + u = ( χ x e x + χ y e y + χ ) z e z ( x e x + y e y + z e z ) = = χ ( ) x e x + y e y + z e z }{{} ( x e x + y e y + z e z ) = }{{} r = χ r
37 = r + u = ( χ x e x + χ y e y + χ ) z e z ( x e x + y e y + z e z ) = = χ ( ) x e x + y e y + z e z }{{} ( x e x + y e y + z e z ) = }{{} r = χ r
38 Mivel χ ( r) = r és r = r + u r + u = r r = r r r = ( r + u) r = r = ( r r + u ) r r = r r }{{} I r + u u r = r + r r r
39 Mivel χ ( r) = r és r = r + u r + u = r r = r r r = ( r + u) r = r = ( r r + u ) r r = r r }{{} I r + u u r = r + r r r
40 Mivel χ ( r) = r és r = r + u r + u = r r = r r r = ( r + u) r = r = ( r r + u ) r r = r r }{{} I r + u u r = r + r r r
41 r + u = r + u r r u = u r r
42 Definíció Az elmozdulás függvény gradiensét deriválttenzornak nevezzük. u r = u = D D = u x e x + u y e y + u z e z (xyz) [ ] D = u x v x w x u y v y w y u z v z w z
43 Definíció Az elmozdulás függvény gradiensét deriválttenzornak nevezzük. u r = u = D D = u x e x + u y e y + u z e z (xyz) [ ] D = u x v x w x u y v y w y u z v z w z
44 Definíció Az elmozdulás függvény gradiensét deriválttenzornak nevezzük. u r = u = D D = u x e x + u y e y + u z e z (xyz) [ ] D = u x v x w x u y v y w y u z v z w z
45 A deriválttenzor felbontása szimmetrikus és ferdén szimmetrikus részekre D = 1 ( D + D T ) + 1 ( D D T ) } 2 {{}} 2 {{} A Ψ
46 Tétel Ha az u, v és w sokkal kisebb mint a test jellemző méretei, azaz az elmozdulások nagyon kicsik, akkor az A jó közeĺıtéssel az alakváltozást írja le, a Ψ pedig a tengely körüli szögelfordulást. A az alakváltozási tenzor, Ψ a forgató tenzor.
47 Definíció Az A = 1 ( D + D T ) = 1 ( u + u) 2 2 egyenletet kinematikai egyenletnek nevezzük. A kinematikai egyenlet kapcsolatot teremt az elmozdulások és az alakváltozások között.
48 Elemi triéder e z Q e x e y
49 A deriválttenzor szemléltetése u = D r = A r + Ψ r Ha r = e x u x = A e x + Ψ e x = α x + β x r = e y u y = A e y + Ψ e y = α y + β y r = e z u z = A e z + Ψ e z = α z + β z
50 Deriválttenzor szemléltetése α z βz u z e z β x e y α y Q u x u y β y e x α x
51 Forgás szemléltetése [ ] Ψ = (xyz) Megjegyzés: ahol ( 1 v ) 2 x u y ( w x u z = ) ( u y v 1 ( u x) 2 z w ( x 1 0 v 2 z w y ( 1 w 2 y v z ) 0 ψ z ψ y ψ z 0 ψ x ψ y ψ x 0 β n = Ψ n = ψ n. ψ = ψ x e x + ψ y e y + ψ z e z 0 ) ) =
52 Forgás szemléltetése ψ y β z ψ x ϕ x ϕ y e z ϕ y Q ψ y β x ψ x βy ψ z ϕ z e x ϕ x ϕ z e y ψ z
53 szemléltetése [ ] A = (xyz) vagy tömörebben u ( x v x + u y ( w x + u z ) ) ( 1 u 2 y + v 1 2 v y ( w y + v z 1 ( u x) 2 z + w x ) A = 1 ( u + u) ( v z + w y w z ) )
54 Alakváltozás szemléltetése w z ( 1 u + ) w 2 z x α z ( 1 v + ) w 2 z y e z ( 1 w + ) u 2 x z Q ( 1 w + ) v 2 y z α x ( 1 v + ) u u x 2 x y e x e y v y α y ( 1 u + ) v 2 y x
55 Ha a kezdetben egységnyi hosszúságú szakaszok hossza csak kis mértékben változik meg és a koordináta-tengelyek kezdetben kilencven fokos szöge csak kis mértékben csökken vagy növekszik, azaz u x 1 v y 1 w z 1 és 1 2 ( u y + v ) 1 x ( 1 v 2 z + w ) 1 y ( 1 w 2 x + u ) 1 z
56 akkor a fajlagos nyúlások az ε x u x ε y v y ε z w z összefüggésekkel, a szögtorzulások pedig a 1 2 γ xy = 1 ( ( 1 u 2 γ yx = arc tg 2 y + v )) 1 ( u x 2 y + v ) x 1 2 γ yz = 1 ( ( 1 v 2 γ zy = arc tg 2 z + w )) 1 ( v y 2 z + w ) y 1 2 γ zx = 1 ( ( 1 w 2 γ xz = arc tg 2 x + u )) 1 ( w z 2 x + u ) z összefüggésekkel kaphatók.
57 [ ] A = (xyz) u ( x v x + u y ( w x + u z ) ) ( 1 u 2 y + v 1 2 v y ( w y + v z 1 ε x 2 γ xy 1 1 ( u x) 2 z + w x ) 1 2 γ xz 2 γ 1 yx ε y 1 2 γ 1 zx 2 γ zy ε z 2 γ yz 1 2 ( v z + w y w z ) )
58 Alakváltozás szemléltetése ε y 1 2 γ xz α z 1 2 γ yz e z α x 1 2 γ zx e x Q e y 1 2 γ zy α y 1 2 γ xy 1 2 γ yx ε x ε y
59 i egyenlet Skalár egyenletek ε x = u x, ε y = v y, γ xy = u y + v x γ yz = v z + w y γ zx = w x + u z ε z = w z
60 / A = 1 ( u + u) / 2 ( ) 1 A = ( u + u) = 2 = 1 u 2( }{{} + }{{ } u ) = 0 0 0
61 / A = 1 ( u + u) / 2 ( ) 1 A = ( u + u) = 2 = 1 u 2( }{{} + }{{ } u ) = 0 0 0
62 / A = 1 ( u + u) / 2 ( ) 1 A = ( u + u) = 2 = 1 u 2( }{{} + }{{ } u ) = 0 0 0
63 i egyenlet Az A = 0 egyenletet kompatibilitási egyenletnek nevezzük.
Végeselem analízis. 1. el adás
Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2016. szeptember 7. Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek)
V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I
ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I Előadásvázlat a Multidiszciplináris Műszaki Tudományi Doktori Iskola hallgatói számára
Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid
Szilárdságtani számítások Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid I. Bevezető ismeretek I.1 Definíciók I.2 Tenzoralgebrai alapismeretek I.3 Bevezetés az indexes jelölésmódba I.4 A lineáris rugalmasságtan általános
A V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I
GÉPÉSZMÉRNÖKI, INFORMATIKAI ÉS VILLAMOSMÉRNÖKI KAR ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK A V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I Előadásvázlat a Multidiszciplináris Műszaki
Lemez- és gerendaalapok méretezése
Lemez- és gerendaalapok méretezése Az alapmerevség hatása az alap hajlékony merev a talpfeszültség egyenletes széleken nagyobb a süllyedés teknıszerő egyenletes Terhelés hatása hajlékony alapok esetén
Tartószerkezet-rekonstrukciós Szakmérnöki Képzés
1_5. Bevezetés Végeselem-módszer Végeselem-módszer 1. A geometriai tartomány (szerkezet) felosztása (véges)elemekre.. Lokális koordináta-rendszer felvétele, kapcsolat a lokális és globális koordinátarendszerek
Matematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Energiatételek - Példák
9. Előadás Húzott rúd potenciális energiája: Hooke-modell: σ = Eε Geom. hetséges Geometriai egyenlet: + geom. peremfeltételek: u εx = ε = x u(0) = 0 ul () = 0 du dx Energiatételek Példák = k l 0 pudx l
Rugalmasságtan. Műszaki Mechanikai Intézet Miskolci Egyetem 2015
Rugalmasságtan Műszaki Mechanikai Intézet attila.baksa@uni-miskolc.hu Miskolci Egyetem 05 Példák (folyt.) 5. feladat Fajlagos térfogatváltozás DDKR-ben és HKR-ben. dv = [ e x e y e z]dxdydz dv = [( a x
MUNKA- ÉS ENERGIATÉTELEK
MUNKA- ÉS ENERGIAÉELEK 1. előadás: Alapfogalmak; A virtuális elmozdulások tétele 2. előadás: Alapfogalmak; A virtuális erők tétele Elmozdulások számítása a virtuális erők tétele alapján 3. előadás: Az
TERMÉKTERVEZÉS NUMERIKUS MÓDSZEREI. 1. Bevezetés
TERMÉKTERVEZÉS NUMERIKUS MÓDSZEREI Dr. Goda Tibor egyetemi docens Gép- és Terméktervezés Tanszék 1. Bevezetés 1.1. A végeselem módszer alapjai - diszkretizáció, - szerkezet felbontása kicsi szabályos elemekre
A végeselem módszer alapjai. 2. Alapvető elemtípusok
A végeselem módszer alapjai Előadás jegyzet Dr. Goda Tibor 2. Alapvető elemtípusok - A 3D-s szerkezeteket vagy szerkezeti elemeket gyakran egyszerűsített formában modellezzük rúd, gerenda, 2D-s elemek,
MECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája
Egészségügyi mérnökképzés MECHNIK I. rész: Szilárd testek mechanikája készítette: Németh Róbert Igénybevételek térben I. z alapelv ugyanaz, mint síkban: a keresztmetszet egyik oldalán levő szerkezetrészre
GEOTECHNIKA I. LGB-SE TALAJOK SZILÁRDSÁGI JELLEMZŐI
GEOTECHNIKA I. LGB-SE005-01 TALAJOK SZILÁRDSÁGI JELLEMZŐI Wolf Ákos Mechanikai állapotjellemzők és egyenletek 2 X A X 3 normál- és 3 nyírófeszültség a hasáb oldalain Y A x y z xy yz zx Z A Y Z ZX YZ A
Szélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
TERMÉKSZIMULÁCIÓ. Dr. Kovács Zsolt. Végeselem módszer. Elıadó: egyetemi tanár. Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás március 22.
TERMÉKZIMULÁCIÓ Végeselem módszer Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás 211. március 22. Elıadó: Dr. Kovács Zsolt egyetemi tanár A végeselem módszer lényege A vizsgált, tetszıleges geometriai kialakítású
Dr. Égert János Dr. Molnár Zoltán Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT MECHANIKA
Dr. Égert János Dr. Molnár Zoltán Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT MECHANIKA UNIVERSITAS-GYŐR Nonprofit Kft. Győr, 2010 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK ALKALMAZOTT
Szilárdságtani alapfogalmak
2. FEJEZET Szilárdságtani alapfogalmak 2.1. Mi a szilárdságtan 2.1.1. műszaki mechanika tudományának egy részterületét nevezzük szilárdságtannak. Maga a mechanika az anyagi világban lejátszódó folyamatok
Frissítve: 2015.04.29. Feszültség- és alakváltozási állapot. 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort!
1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort! 1 / 20 2. példa: Rajzoljuk fel az adott feszültségtenzorhoz tartozó kockát! 2 / 20 3. példa: Feszültségvektor számítása. Egy alkatrész egy
sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
A Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
BME Gépészmérnöki Kar 3. vizsga (112A) Név: 1 Műszaki Mechanikai Tanszék január 11. Neptun: 2 Szilárdságtan Aláírás: 3
BME Gépészmérnöki Kar 3. vizsga (2A) Név: Műszaki Mechanikai Tanszék 2. január. Neptun: 2 Szilárdságtan Aláírás: 3. feladat (2 pont) A vázolt befogott tartót a p intenzitású megoszló erőrendszer, az F
Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával
Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 212. október 16. Frissítve: 215. január
MODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ
Mechatronika = Mechanikai elemek+ elektromechanikai átalakítók+ villamos rendszerek+ számítógép elemek integrációja Eszközök, rendszerek, gépek és szerkezetek felügyeletére, vezérlésére (manapság miniatürizált)
Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel
Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel Segédlet az A végeselem módszer alapjai tárgy 4. laborgyakorlatához http://www.mm.bme.hu/~kossa/vemalap4.pdf Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu)
EGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA
EGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA Írta: Hajdu Endre A számítógépemhez tartozó két hangfal egy-egy négyzet keresztmetszetű hasáb hely - szűke miatt az ablakpárkányon van elhelyezve (. ábra).. ábra Hogy az
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1.(a) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 A deformálható testek mozgása (1) A Helmholtz-féle kinematikai alaptétel: A deformálható test elegendően
Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
Vasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet
Vasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet 2. előadás A rugalmas lemezelmélet alapfeltevései A lemez anyaga homogén, izotróp, lineárisan rugalmas (Hooke törvény); A terheletlen állapotban
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév)
DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév) Dinamika Pontszám 1. A mechanikai mozgás fogalma (1) 2. Az anyagi pont pályája (1) 3. A mozgástörvény
Robotika. Kinematika. Magyar Attila
Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc
időpont? ütemterv számonkérés segédanyagok
időpont? ütemterv számonkérés segédanyagok 1. Bevezetés Végeselem-módszer Számítógépek alkalmazása a szerkezettervezésben: 1. a geometria megadása, tervkészítés, 2. műszaki számítások: - analitikus számítások
Rugalmasságtan. Műszaki Mechanikai Intézet Miskolci Egyetem 2015
Rugalmasságtan Műszaki Mechanikai Intézet attila.baksa@uni-miskolc.hu Miskolci Egyetem 2015 Egyenletek a hengerkoordináta-rendszerben (HKR) SP = OQ = r z QP = z e r = cos ϕ e x + sin ϕ e y e ϕ = sin ϕ
Rugalmasságtan és FEM, 2005/2006. II. félév, I. ZÁRTHELYI, A
Rugalmasságtan és FEM, 5/6. II. félév, I. ZÁRTHELYI, A 6. április., 7 5 8 Név: NEP T UN kod :. feladat Adott az elmozdulásmez½o: u = ( ax z i + bxz k) ; a = [mm ] ; b = [mm ].a., Írja fel az alakváltozási
Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás robotra
Budapesti M szaki És Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar M szaki Mechanikai Tanszék Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás
Végeselem modellezés alapjai 1. óra
Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2013. szeptember 23. Javítva: 2013.10.09.
Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor
. Hármas Integrál. Bevezetés és definíciók A bevezetés első részében egy feladaton keresztül jutunk el a hármasintegrál definíciójához. Feladat: Legyen R korlátos test, és a testnek legyen az f(x, y, z
MODELLEZÉS ÉS SZIMULÁCIÓ (A LINEÁRIS RUGALMASSÁGTAN ÉS A VÉGESELEM-MÓDSZER)
MODELLEZÉS ÉS SZIMULÁCIÓ (A LINEÁRIS RUGALMASSÁGTAN ÉS A VÉGESELEM-MÓDSZER) MODELLEZÉS ÉS SZIMULÁCIÓ (A LINEÁRIS RUGALMASSÁGTAN ÉS A VÉGESELEM-MÓDSZER) Szerzők: Dr. Mankovits Tamás Huri Dávid Lektor: Dr.
Lin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
Matematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
a térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus.
2. Gyakorlat 25A-0 Tekintsünk egy l0 cm sugarú üreges fémgömböt, amelyen +0 µc töltés van. Legyen a gömb középpontja a koordinátarendszer origójában. A gömb belsejében az x = 5 cm pontban legyen egy 3
TERMÉKSZIMULÁCIÓ I. 9. elıadás
TERMÉKSZIMULÁCIÓ I. 9. elıadás Dr. Kovács Zsolt egyetemi tanár Végeselem típusok Elemtípusok a COSMOSWorks Designer-ben: Lineáris térfogatelem (tetraéder) Kvadratikus térfogatelem (tetraéder) Lineáris
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
Használhatósági határállapotok. Alakváltozások ellenőrzése
1.GYAKORLAT Használhatósági határállapotok A használhatósági határállapotokhoz tartozó teherkombinációk: Karakterisztikus (repedésmentesség igazolása) Gyakori (feszített szerkezetek repedés korlátozása)
1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások
2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel
7. GRAVITÁCIÓS ALAPFOGALMAK
7. GRAVITÁCIÓS ALAPFOGALMAK A földi nehézségi erőtérnek alapvetően fontos szerepe van a geodéziában és a geofizikában. A geofizikában a Föld szerkezetének tanulmányozásában és különféle ásványi nyersanyagok
0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika
0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika Mechanika (ismétlés) statika, kinematika Dinamika, energia Áramlástan Reológia Optika find x Teszt: 30 perc, 30 kérdés Matek alapfogalmak: Adattípusok: Természetes,
Mechanika. Kinematika
Mechanika Kinematika Alapfogalmak Anyagi pont Vonatkoztatási és koordináta rendszer Pálya, út, elmozdulás, Vektormennyiségek: elmozdulásvektor Helyvektor fogalma Sebesség Mozgások csoportosítása A mozgásokat
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 213. október 8. Javítva: 213.1.13. Határozzuk
Héj / lemez hajlítási elméletek, felületi feszültségek / élerők és élnyomatékok
Héj / leme hajlítási elméletek felületi fesültségek / élerők és élnomatékok Tevékenség: Olvassa el a bekedést! Jegee meg a héj és a leme definícióját! Tanulja meg a superpoíció elvét és a membrán állapot
Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó, 2010
Tartalomjegyzék 15. Elliptikus egyenletek 7 15.1. Bevezetés: Elliptikus egyenletek alkalmazott feladatokban... 7 15.2. Elméleti háttér.......................... 9 15.3. Véges dierencia eljárások II...................
Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.
Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,
Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus
Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső
Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. Kényszerek Geometriai vagy
Földstatikai feladatok megoldási módszerei
Földstatikai feladatok megoldási módszerei Földstatikai alapfeladatok Földnyomások számítása Általános állékonyság vizsgálata Alaptörés parciális terhelés alatt Süllyedésszámítások Komplex terhelési esetek
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria II.
Trigonometria II. A tetszőleges nagyságú szögek szögfüggvényeit koordináta rendszerben egységhosszúságú forgásvektor segítségével definiáljuk. DEFINÍCIÓ: (Vektor irányszöge) Egy vektor irányszögén értjük
Fizika. Fizika. Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK február 13.
Fizika Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK 017. február 13. A lejtő mint kényszer A lejtő egy ún. egyszerű gép. A következő problémában először a lejtőt rögzítjük, és egy m tömegű test súrlódás nélkül lecsúszik
Csuklós mechanizmus tervezése és analízise
Csuklós mechanizmus tervezése és analízise Burmeister Dániel 1. Feladatkitűzés Megtervezendő egy többláncú csuklós mechanizmus, melynek ABCD láncában található hajtórúd (2-es tag) mozgása során három előírt
Nemlineáris anyagviselkedés peridinamikus modellezése. Ladányi Gábor, PhD hallgató
Nemlineáris anyagviselkedés peridinamikus modellezése Ladányi Gábor, PhD hallgató ladanyi@uniduna.hu Tartalom Bevezetés Motiváció A peridinamikus anyagmodell Irodalmi áttekintés Korábbi kutatási eredmények
Lin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) 1. ábra
Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) Egy korábbi dolgozatunkban címe: Két egyenes körhenger a merőlegesen metsződő tengelyű körhengerek áthatási feladatával foglalkoztunk. Most
Alkalmazott Mechanika Tanszék. Széchenyi István Egyetem
Széchenyi István Egyetem Szerkezetek dinamikája Alkalmazott Mechanika Tanszék Elméleti kérdések egyetemi mesterképzésben (MSc) résztvev járm mérnöki szakos hallgatók számára 2013. szeptember 6. 1. Folytonos
Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
1. Az előző előadás anyaga
. Az előző előadás anyaga Egy fiú áll az A pontban és azt látja, hogy a barátnője fuldoklik a B pontban egy tóban. Milyen plyán kell a fiúnak mozognia, hogy a leggyorsabban a barátnőjéhez érjen, ha a parton
Végeselem analízis 5. gyakorlat (kidolgozta: Bojtár Gergely egyetemi tanársegéd)
p 0 v =0 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK Végeselem analízis. gakorlat (kidolgozta: Bojtár Gergel egetemi tanársegéd) Feladat: Tengelszimmetrikus héj (hengeres tartál) Adott: A hengeres
Infobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
A K É T V É G É N A L Á T Á M A S Z T O T T T A R T Ó S T A T I K A I V IZS-
A K É T V É G É N A L Á T Á M A S Z T O T T T A R T Ó S T A T I K A I V IZS- Forgatónyomaték meghatározása G Á L A T A Egy erő forgatónyomatékkal hat egy pontra, ha az az erővel össze van kötve. Például
MODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ
Mechatronika = Mechanikai elemek+ elektromechanikai átalakítók+ villamos rendszerek+ számítógép elemek integrációja Eszközök, rendszerek, gépek és szerkezetek felügyeletére, vezérlésére (manapság miniatürizált)
λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
Tartószerkezet-rekonstrukciós Szakmérnöki Képzés
1_1. Bevezetés Végeselem-módszer Számítógépek alkalmazása a szerkezettervezésben: 1. a geometria megadása, tervkészítés, 2. mőszaki számítások: - analitikus számítások gyorsítása, az eredmények grafikus
Kizárólag oktatási célra használható fel!
DEBRECENI EGYETEM, MŰSZAKI KAR, ÉPÍTŐMÉRNÖKI TANSZÉK Acélszerkezetek II III. Előadás Vékonyfalú keresztmetszetek nyírófeszültségei - Nyírófolyam - Nyírási középpont - Shear lag hatás - Csavarás Összeállította:
MateFIZIKA: Szélsőértékelvek a fizikában
MateFIZIKA: Szélsőértékelvek a fizikában Tasnádi Tamás 1 2015. április 10.,17. 1 BME, Mat. Int., Analízis Tsz. Tartalom Energiaminimum-elv a mechanikában (ápr. 10.) Okos szappanhártyák (ápr. 10.) Legrövidebb
GÉPÉSZETI ALKALMAZOTT SZÁMÍTÁSTECHNIKA f iskolai mérnökhallgatók számára. A 4. gyakorlat anyaga. Adott: Geometriai méretek:
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM KÖZLEKEDÉSI ÉS GÉPÉSZMÉRNÖKI INTÉZET ÁLTALÁNOS GÉPÉSZETI TANSZÉK GÉPÉSZETI ALKALMAZOTT SZÁMÍTÁSTECHNIKA f iskolai mérnökhallgatók számára A 4. gyakorlat anyaga Feladat: Saját síkjában
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
Nemlineáris anyagviselkedés peridinamikus modellezése
Nemlineáris anyagviselkedés peridinamikus modellezése Ladányi Gábor, PhD hallgató ladanyi@uniduna.hu Témvezető: Dr. Gonda Viktor Kutatási beszámoló 2018.06.22. Tartalom Bevezetés Motiváció A peridinamikus
1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek
7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen n N, I R intervallum és A: I M n n (R), B: I R n folytonos függvények, és tekintsük az { y (x) = A(x)y(x) + B(x) y(ξ) = η kezdeti érték problémát,
A spin. November 28, 2006
A spin November 28, 2006 1 A spin a kvantummechanikában Az elektronnak és sok más kvantummechanikai részecskének is van egy saját impulzusnyomatéka amely független a mozgásállapottól. (Úgy is mondhatjuk,
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó
9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI DOLGOZAT. Magas nyomású ipari tartály feszültségi analízise az ADINA végeselemes programrendszerrel
MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI DOLGOZAT Magas nyomású ipari tartály feszültségi analízise az ADINA végeselemes programrendszerrel Bodó Lajos I. éves MSc. gépészmérnök
PÉLDÁK ERŐTÖRVÉNYEKRE
PÉLÁ ERŐTÖRVÉNYERE Szabad erők: erőtörvénnyel megadhatók, általában nem függenek a test mozgásállapotától (sebességtől, gyorsulástól) Példák: nehézségi erő, súrlódási erők, rugalmas erők, felhajtóerők,
1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
Egy kinematikai feladathoz
1 Egy kinematikai feladathoz Az [ 1 ] példatárból való az alábbi feladat. Egy bütyök v 0 állandó nagyságú sebességgel halad jobbról balra. Kontúrjának egyenlete a hozzá kötött, vele együtt haladó O 1 xy
Fizika II minimumkérdések. A zárójelben lévő értékeket nem kötelező memorizálni, azok csak tájékoztató jellegűek.
izika II minimumkérdések zárójelben lévő értékeket nem kötelező memorizálni, azok csak tájékoztató jellegűek. 1. Coulomb erőtörvény: = kq r 2 e r (k = 9 10 9 m2 C 2 ) 2. Coulomb állandó és vákuum permittivitás
3. Lokális approximáció elve, végeselem diszkretizáció egydimenziós feladatra
SZÉCHENYI ISÁN EGYEEM AAMAZO MECHANIA ANSZÉ 6. MECHANIA-ÉGESEEM MÓDSZER EŐADÁS (kidolgozta: Szüle eronika, eg. ts.) I. előadás. okális aroimáció elve, végeselem diszkretizáció egdimenziós feladatra.. Csomóonti
A szilárdságtan alapkísérletei I. Egyenes rúd húzása, zömök rúd nyomása
3. FEJEZET A szilárdságtan alapkísérletei I. Egyenes rúd húzása, zömök rúd nyomása 3.1. Az alapkísérletek célja Hétköznapi megfigyelés, hogy ugyanazon szilárd test alakváltozásainak mértéke függ a testet
Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika 2. ZH, december 05. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont)
1. 2. 3. Mondat E1 E2 NÉV: Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika 2. ZH, 2017. december 05. Neptun kód: Aláírás: g=10 m/s 2 ; ε 0 = 8.85 10 12 F/m; μ 0 = 4π 10 7 Vs/Am; c = 3 10 8 m/s Előadó: Márkus /
Lineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
A véges forgatás vektoráról
A véges forgatás vektoráról Az idők során sokszor olvastuk azt a mondatot a mechanika - könyvekben hogy a végtelen kis szögelfordulások az elemi forgások vektornak tekinthetők [ ] Természetesen adódik
Az alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika
Az alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika 1. előadás Vonatkoztatási rendszer Hely-idő-tömeg standardok 3-dimenziós
I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =