Rugalmasságtan és FEM, 2005/2006. II. félév, I. ZÁRTHELYI, A

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Rugalmasságtan és FEM, 2005/2006. II. félév, I. ZÁRTHELYI, A"

Henrik Székely
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 Rugalmasságtan és FEM, 5/6. II. félév, I. ZÁRTHELYI, A 6. április., Név: NEP T UN kod :. feladat Adott az elmozdulásmez½o: u = ( ax z i + bxz k) ; a = [mm ] ; b = [mm ].a., Írja fel az alakváltozási tenzor mátrixát az (x = [mm] ; y = [mm] ; z = [mm]) koordinátájú pontban!.b., Határozza meg az x és z tengelypárok fajlagos szögváltozását az (x = [mm] ; y = [mm] ; z = [mm]) koordinátájú pontban!.c., Adja meg az n T = [; ; ] irányhoz tartozó fajlagos nyúlást az (x = ; y = [mm] ; z = [mm]) koordinátájú pontban!. feladat A test egy adott pontjában a feszültségi állapotot a következ½o adatok jellemzik: x = [MP a] ; xy = 5 [MP a] ; sík-feszültségi állapot, a rugalmassági modulus értéke: 5 [MP a] ; a Poisson tényez½o értéke: :..a., Határozza meg az alakváltozási tenzor mátrixát!.b., Számítsa ki az (i j) (j) normálisú síkhoz tartozó feszültségvektort és normálfeszültséget!. feladat Adott az Airy-féle feszültségfüggvény: (x; y) = A 6 xy :.a., Határozza meg a Mohr szerinti egyenérték½u feszültség értékét sík-alakváltozási állapot esetén az (x = [mm] ; y = 5 [mm] ; z = [mm]) koordinátájú pontban az A = [N=mm ] állandó mellett! (a Poisson tényez½o értéke: :5).. feladat Az r b = [mm] sugarú furattal és R = [mm] küls½o sugárral bíró állandó szélesség½u tárcsát zsugorkötéssel szerelték a merev tengelyre. Az! = [=s] szögsebesség½u forgáskor a radiális feszültség a tárcsában SI mértékegységekkel a r (r) = : 7 : 5 r 7:5 6 r függvényként ismert. A Poisson tényez½o értéke: :..a., Mekkora nyomás ébred forgás közben a tengely és a tárcsa közt?.b., Mekkora a tárcsa anyagának s½ur½usége?.c., Mekkora tangenciális feszültség ébred a tárcsa küls½o sugaránál?

2 Megoldások. feladat Adott az elmozdulásmez½o: u = ( ax z i + bxz k) ; a = [mm ] ; b = [mm ].a., Írja fel az alakváltozási tenzor mátrixát az (x = [mm] ; y = [mm] ; z = [mm]) koordinátájú pontban!.b., Határozza meg az x és z tengelypárok fajlagos szögváltozását az (x = [mm] ; y = [mm] ; z = [mm]) koordinátájú pontban!.c., Adja meg az n T = [; ; ] irányhoz tartozó fajlagos nyúlást az (x = ; y = [mm] ; z = [mm]) koordinátájú pontban!.a., Írja fel az alakváltozási tenzor mátrixát az (x = [mm] ; y = [mm] ; z = [mm]) koordinátájú pontban! " (ax z) = axz " (bxz ) = bxz " = ; @ = z) () @ = z) (bxz ) = ax + @ (bxz ) " = 6 axz (ax + bz ) (ax + bz ) bxz 7 5 Az (x = [mm] ; y = [mm] ; z = [mm]) koordinátájú pontban az a = [mm ] és b = [mm ] állandók mellett: " = 5.b., Határozza meg az x és z tengelypárok fajlagos szögváltozását az

3 (x = [mm] ; y = [mm] ; z = [mm]) koordinátájú pontban! Az x és z tengelypárok fajlagos szögváltozása az xz mennyiség. Az (x = [mm] ; y = [mm] ; z = [mm]) koordinátájú pontban az a = [mm ] és b = [mm ] állandók mellett: xz = ax + bz = : xz =.c., Adja meg az n T = [; ; ] irányhoz tartozó fajlagos nyúlást az (x = ; y = [mm] ; z = [mm]) koordinátájú pontban! Mivel n T i T, így (x = ; y = [mm] ; z = [mm]) koordinátájú pontban az a = [mm ] állandó esetén " n " x = axz = : " n " x =. feladat A test egy adott pontjában a feszültségi állapotot a következ½o adatok jellemzik: x = [MP a] ; xy = 5 [MP a] ; sík-feszültségi állapot, a rugalmassági modulus értéke: 5 [MP a] ; a Poisson tényez½o értéke: :..a., Határozza meg az alakváltozási tenzor mátrixát!.b., Számítsa ki az (i j) (j) normálisú síkhoz tartozó feszültségvektort és normálfeszültséget!.a., Határozza meg az alakváltozási tenzor mátrixát! A feszültségi tenzor mátrixa ( z = ): 5 = 5 5 [MP a] : Az alakváltozás komponensek sík-feszültségi állapot esetén: " x = E ( x y ) = E x = " y = E ( y x ) = E x = xy = G xy = " z = ( + ) xy = E (" x + " y ) = ( [MP a]) = 5 5 [MP a] : ( [MP a]) = 5 [MP a] ( + :) 5 ( 5 [MP a]) = 6 5 [MP a] : : (5 :) =

4 Az alakváltozási tenzor mátrixa: " = 5 5 : (i j) (j) normálisú síkhoz tartozó feszültségvektort és normálfeszült-.b., Számítsa ki az séget! A sík normálisa Így tehát a normálfeszültség pedig: (i j) (j) = k j = i n i! n = n i = n = n n n i = [ ; 5; ] 5 5 [MP a] ; 5 [MP a] = [MP a]:. feladat Adott az Airy-féle feszültségfüggvény: (x; y) = A 6 xy :.a., Határozza meg a Mohr szerinti egyenérték½u feszültség értékét sík-alakváltozási állapot esetén az (x = [mm] ; y = 5 [mm] ; z = [mm]) koordinátájú pontban az A = [N=mm ] állandó mellett! (a Poisson tényez½o értéke: :5). A feszültség komponensek: x (x; A 6 = Axy; y (x; = xy (x; Sík-alakváltozási állapot esetén: A 6 z = ( x + y ) = Axy: = A 6 = A feszültségi tenzor mátrixa: = 6 Axy Ay Ay 7 5 ; Axy

5 amely az (x = [mm] ; y = 5 [mm] ; z = [mm]) koordinátájú pontban az A = [N=mm ] állandó mellett 5 = 5 [MP a] = 5 5 [MP a]! = [MP a] = 5 [MP a] A Mohr szerinti egyenérték½u feszültség: M = = 5 ( 5) = [MP a] : M = [MP a]. feladat Az r b = [mm] sugarú furattal és R = [mm] küls½o sugárral bíró állandó szélesség½u tárcsát zsugorkötéssel szerelték a tengelyre. Az! = [=s] szögsebesség½u forgáskor a radiális feszültség a tárcsában SI mértékegységekkel a r (r) = : 7 : 5 r 7:5 6 r függvényként ismert. A Poisson tényez½o értéke: :..a., Mekkora nyomás ébred forgás közben a tengely és a tárcsa közt?.b., Mekkora a tárcsa anyagának s½ur½usége?.c., Mekkora tangenciális feszültség ébred a tárcsa küls½o sugaránál?.a., Mekkora nyomás ébred forgás közben a tengely és a tárcsa közt? A radiális feszültség az r b = [mm] sugárnál a tengely és a tárcsa közt ébred½o nyomást adja negatív el½ojellel: r (r = r b ) = p = : 7 : 5 : 7:5 6 : = 5:99 8 [P a] p = 59:9 [MP a] :.b., Mekkora a tárcsa anyagának s½ur½usége? Az adott függvényben az A, B és C állandók beazonosíthatók r (r) = : 7 {z } A : {z } 5 r 7:5 {z 6 } r : B C A C értékéb½ol a s½ur½uség számítható: C = + 8! = + : = 7:5 6! = 8 8 7:5 6 : = 9 kg m

6 kg = 9 : m.c., Mekkora tangenciális feszültség ébred a tárcsa küls½o sugaránál? Az A, B és C állandók ismeretében a tangenciális feszültség képlete felírható: t = A + B r + C r ; ahol C = +! = + : 9 = 8 8 P a C = :75 6 : m A tangenciális feszültség függvénye ekkor P a :75 6 m t (r) = A + B r + C r = : 7 + : 5 r :75 6 r ; amely felhasználásával a tangenciális feszültség értéke a tárcsa küls½o sugaránál (R = : [m]) t (r = R) = : 7 + : 5 : :75 6 : = :6 7 [P a] t (r = R) = 6: [MP a]

Hasonló dokumentumok

Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával

Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 212. október 16. Frissítve: 215. január