Rugalmasságtan. Műszaki Mechanikai Intézet Miskolci Egyetem 2015

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Rugalmasságtan. Műszaki Mechanikai Intézet Miskolci Egyetem 2015"

Átírás

1 Rugalmasságtan Műszaki Mechanikai Intézet Miskolci Egyetem 05

2 Példák (folyt.)

3 5. feladat Fajlagos térfogatváltozás DDKR-ben és HKR-ben. dv = [ e x e y e z]dxdydz dv = [( a x + e x)( a y + e y)( a z + e z)]dxdydz A I = dv dv dv = [ a x e y e z] + [ e x a y e z] + [ e x e y a z] + O( a ) = ε x + ε y + ε z = u + v y + w = div u = u ( u = r er + r ϕ eϕ + ) ez u = e r u r + eϕ r u r + r ( u u + ez ϕ = u + v ϕ ) + w = εr + εϕ + εz u r = u v w er + eϕ + r r r ez; u ϕ = u v w er +u eϕ + eϕ v er + ϕ ϕ ϕ ez; u = u v w er + eϕ + ez 3/8

4 6. feladat Egy rugalmas test P (x, y, z) pontjában is mert a T feszültségi tenzor [T ] = (x,y,z) [ x y x( y ) 0 x( y ) 3 (y 3 3y) z ] Kérdés: (a) határozzuk meg a b = b(x, y, z) térfogati tehervektort, ha a mechanikai egyensúly a test minden pontjában teljesül! σ x azaz b = 4z e z τ xy + τxy y + τxz + bx = xy xy + bx = 0 bx = 0 + σy y + τyz + by = y + y + b y = 0 b y = 0 τ xz + τyz y + σz + bz = 4z + bz = 0 bz = 4z 4/8

5 6. feladat (folyt.) Feladat: (b) keressük meg a főfeszültségeket a rugalmas test P (a, 0, a) pontjában, és ugyanitt határozzuk meg a nyírófeszültség legnagyobb értékét is (τ max = σ σ 3 =, 5a)! Ismeretes, hogy a főfeszültségeket az alábbi sajátértékfeladat megoldásából nyerjük: (T σ) n = 0 σ, σ és σ 3 számítása a det(t σ) = 0 karakterisztikus egyenletből történik; az n, n és n 3 főirányok meghatározásához pedig σ i ismeretében az eredeti sajátértékfeladat egyenletet használjuk fel. [T ] (x,y,z) (a, 0, a) = a [ ] det(t σ) = 0 σ a 0 a σ a σ = (4a σ)(σ a ) = 0 σ = σ z = 4a > σ = a > σ 3 = a a sajátvektorok n = e z, illetve a többi sajátvektorok [ a a 0 a a a ] [ ] [ n x n y = ] an x + an y = 0, an x an y = 0; 3an z = 0 mivel n x = n y, n z = 0 és n x + n y + n z = így n = ( e x + e y), n 3 = n n 3 = ( e x + e y). 5/8

6 6. feladat (folyt.) Feladat: (c) Határozzuk meg a P (a, 0, a) pontban az S feszültségi deviátor tenzort! σ k = 3 (σx + σy + σz) = T I 3 = 4a 3 [ 4a 3 a 0 ] S = T σ k = a 4a a 3 S I 0 minden esetben. 6/8

7 Alakváltozási tenzorral kapcsolatos kompatibilitási feltételek \ A = ( u) + u ) / A = 0 szükséges és elégséges feltétel, hogy egy megadott A-hoz egy u elmozdulásvektort rendeljünk, amely egy merevtestszerű elmozdulástól eltekintve egyértelműen meghatározott, ha a test egyszeresen összefüggő térbeli tartományban helyezkedik el. (Saint-Venant-féle kompatibilitási, vagy összeférhetőségi egyenlet) e z ( A ) e z = ( e z ) A ( e z) = 0 Megj.: e z = e z = y ex + ey [ y 0 ] [ ε x γ xy γ xz γ yx ε y γ yz γzx γ zy ε z y 0 ] [ y 0 ] = ε x y εy + γxy y = 0 azaz εx y + εy = γxy y illetve εy + εz y = γyz y és εz + εx = γzx y. 7/8

8 Alakváltozási tenzorral kapcsolatos kompatibilitási feltételek e y ( A ) e x = ( e y ) A ( e x) = 0 Megj.: e y = ex ez illetve ex = ey y ez [ 0 azaz illetve és ] [ ε x γ xy γ xz γyx εy γ yz γzx γ zy ε z y 0 ( ( ( γxy γyz γzx y ] [ 0 + γyz + γzx y + γxy y ] ( = γxy ) + γxz = ε z y y ) + γyx = ε x y ) + γzy = ε y. γyz ) γxz + ε z y y 8/8

9 Véges alakváltozások Véges alakváltozások ε = (U + U T + U T U) ε x = e x ε e x = u + ex U T U e x = u + u = u e x + v e y + w e z [ ( ) u + ( ) v + ( ) w ] mivel U e x = u v w e x U T = [ u v w ] U e y = u y v y w y γ xy = e x ε e y = u y + v + ex U T U e y = u y + v + u v y + v v y + w a merevtestszerű infinitezimális forgásból számolt linearizált alakváltozások zérus értékűek, de a véges alakváltozások nem. w y 9/8

10 Egyenletek a hengerkoordináta-rendszerben (HKR) SP = OQ = r z QP = z e r = cos ϕ e x + sin ϕ e y e ϕ = sin ϕ e x + cos ϕ e y x O ϕ e z e ϕ P (r, ϕ, z) e r y Q d e r = e dϕ ϕ d e ϕ dϕ = e r Bázisvektorok és koordináták u = u e r + v e ϕ + w e z = r er + r ϕ eϕ + ez U = u = u r er + u u eϕ + r ϕ ez 0/8

11 Egyenletek a hengerkoordináta-rendszerben (HKR) Alakváltozások u r u ϕ u = u v w er + eϕ + r r r ez = u v w er + u eϕ + eϕ v er + ϕ ϕ ϕ = u v w er + eϕ + ez U e r = u r [U] (r,ϕ,z) = U e ϕ = u r ϕ ( u u r r ( ϕ v) ) v r r u + v ϕ w r r w ϕ U e z = u u v w [A] = (r,ϕ,z) A = ( ) U + U T = A T szimmetrikus ( u v ) r r = + u r ϕ v r... ε r γrϕ γrz γϕr εϕ γϕz γzr γzϕ εz u r + r v ϕ ( w ( r + u v + w ϕ w ) ) /8

12 Egyenletek a hengerkoordináta-rendszerben (HKR) Egyensúlyi egyenletek HKR-ben T = ρ r e r + ρ ϕ e ϕ + ρ z e z ρ r = σ r e r + τ ϕr e ϕ + τ zr e z, ρ ϕ = τ rϕ e r + σ ϕ e ϕ + τ zϕ e z, ρ z = τ rz e z + τ ϕz e ϕ + σ z e z, ( T = T r er + r ϕ eϕ + ) ez = T r er + T T eϕ + r ϕ ez = ρ r r + ρr r + ρ ϕ r ϕ + ρz ρϕ (r ρr) + r ϕ + (r ρz) + r q = 0 τrϕ (rσr) + r ϕ σϕ + (rτrz) + rqr = 0 σϕ (rτϕr) + τϕr + r ϕ + (rτϕz) + rqϕ ϕ = 0 τzϕ (rτzr) + r ϕ + (rσz) + rqz = 0 /8

13 Egyenletek a gömbikoordináta-rendszerben (GKR) d er = sin ϑ e dϕ ϕ d er = e dϑ ϑ d eϕ dϑ = 0 d eϑ = e dϑ r x z d eϑ = cos ϑ e dϕ ϕ O ϕ OP = r e ϕ e r P (r, ϕ, ϑ) ϑ e ϑ Q y x = r cos ϕ sin ϑ y = r sin ϕ sin ϑ z = r cos ϑ e r = {cos ϕ sin ϑ; sin ϕ sin ϑ; cos ϑ} e ϕ = { sin ϕ; cos ϕ; 0} e ϑ = {cos ϕ cos ϑ; sin ϕ cos ϑ; sin ϑ} Bázisvektorok és koordináták u = u e r + v e ϕ + w e ϑ = r er + r sin ϑ ϕ eϕ + r ϑ e ϑ U = u = u r er + u r sin ϑ ϕ eϕ + r u ϑ e ϑ 3/8

14 Egyenletek a gömbikoordináta-rendszerben (GKR) Tekintsük az alábbi gömbszimmetrikus alakváltozást u = u(r) e r u r = u r er, u u = u sin ϑ eϕ, ϕ ϑ = u e ϑ U = u r er er + u r eϕ eϕ + u r e ϑ e ϑ = U T = A [ A ] ε r = u r ε ϕ = ε ϑ = u r [ u 0 r u = 0 0 r u (r,ϕ,ϑ) 0 0 r γ ϑr = γ ϕr = γ ϑϕ = 0 Az e r, e ϑ és e ϕ alakváltozási főirányok, a ε r, ε ϕ = ε ϑ főnyúlások, főtengelyek KR-ben az A diagonális szerkezetű ] 4/8

15 Egyenletek a gömbikoordináta-rendszerben (GKR) Egyensúlyi egyenletek gömbszimmetrikus terhelésre T = σ r(r) e r e r + σ ϕ(r) e ϕ e ϕ + σ ϑ (r) e ϑ e ϑ T = T r er + r sin ϑ σ ϕ(r) T ϕ eϕ + r T ϑ e ϑ = σr sin ϑ er + r r sin ϑ σr e r+ r sin ϑ ( sin ϑ er cos ϑ e ϑ) + σ ϑ (r) cos ϑ r sin ϑ e ϑ + σr r er σ ϑ r er = ( σr r + σr σϕ r r σ ) ϑ e r r mellyel σ r r + r σr σϕ + σ ϑ + q r = 0. r 5/8

16 Lineárisan rugalmas test anyagtörvénye (Hooke-törvény) Rugalmas testnek nevezzük a kontinuumot, ha a kontinuum mozgása során a feszültségtenzor a kontinuum minden egyes pontjában egyértelmű függvénye az alakváltozási tenzornak. Az alakváltzási tenzor függhet még további nem mechanikai mennyiségektől is: hőmérséklet, villamos térerősség, entrópia, stb. A T és A közötti függvénykapcsolatot hívjuk a rugalmas test anyagtörvényének. Homogén anyagtörvényről beszélünk, ha ez az összefüggés független a helykoordinátáktól. Ha a test izotróp, akkor a feszültségi és alakváltozási tenzorok főirányai összeesnek. (izotrópia=iránytól való függetlenség) 6/8

17 Lineárisan rugalmas test anyagtörvénye (Hooke-törvény) Az A és T közös főtengelyei által meghatározott KR-ben ε i = C i σ + C i σ + C i3 σ 3 (i =,, 3) Tiszta húzás(nyomás) esetére vonatkozó képletek szerint pl. ε = C σ + C σ + C 3 σ 3 = σ E ν E σ ν E σ 3 = + ν E σ ν E (σ + σ + σ 3 ) ahol ν a Poisson szám, E a rugalmassági (Young) modulusz. A = + ν [ T ν ] E + ν T I KR-ben igaz T I = σ + σ + σ 3 illetve továbbá A = [ T ν ] G + ν T I G = ( T = G A + ν ) ν A I E a csúsztató rugalmassági modulusz ( + ν) A I = ε + ε + ε 3 Az első skalár invariánsok között fennállnak az alábbi összefüggések A I = ν G + ν T I T I = G + ν ν A I A I = ν + ν G 3σ k = σ k K ahol K a térfogati rugalmassági modulusz. K = 3 G + ν ν 7/8

18 Lineárisan rugalmas test anyagtörvénye (Hooke-törvény) Összenyomhatatlan rugalmas testre A I = ε x + ε y + ε z = u + v y + w = u = div u = 0 K = (ν = ) σ k véges σ k = KA I Az anyagtörvény felírása a λ és µ Lamé-állandók segítségével T = µa + λa I ahol ν λ = µ ν = ν E λ, µ = G Lamé állandók ( + ν)( ν) A = µ T λt I µ(3λ + µ) 8/8

19 Lineárisan rugalmas test anyagtörvénye (Hooke-törvény) anizotróp eset Tömörített írásmód/jelölés x = x, y = x, z = x 3 σ x = σ, σ y = σ, σ z = σ 3, τ yz = σ 4, τ xz = σ 5, τ xy = σ 6, ε x = ε, ε y = ε, ε z = ε 3, γ yz = ε 4, γ xz = ε 5, γ xy = ε 6, mellyel az anizotróp lineárisan rugalmas test anyagtörvénye σ i = σ σ σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 }{{} σ 6 C ij ε j = C ij ε j j= = (j néma/összegző index) C C C 3 C 4 C 5 C 6 C C C 3 C 4 C 5 C 6 C 3 C 3 C 33 C 34 C 35 C 36 C 4 C 4 C 43 C 44 C 45 C 46 C 5 C 5 C 53 C 54 C 55 C 56 C 6 C 6 C 63 C 64 C 65 C 66 }{{}}{{} C ε ε ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 ε 9/8

20 Fajlagos alakváltozási energia Anyagállandók mátrixa u(ε) = mely alapján ε 0 σdε = ε 0 σ i dε i = ε 0 ε i C ij dε j = ε i 0 ( ) d C ijε i ε j = C ijε i ε j = εt Cε u ε i = C ij ε j = σ i u ε i ε j = u ε j ε i C ij = σ i = σ j = C ji C mátrixa szimmetrikus ε j ε i azaz C = C T, így a független, rugalmassági állandók száma = db. Míg izotóp esetben az alábbi mátrixot kapjuk C = G ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν /8

21 Anyagállandók mátrixa Egy szimmetria-síkkal rendelkező anizotróp test (monoclinic materials) C = azaz 3 független rugalmassági állandó. C C C C 6 C C C C 6 C 3 C 3 C C C 44 C C 45 C 55 0 C 6 C 6 C C 66 ε = C σ = S σ S = {s ij } (i, j =,,..., 6) S = S T hajlékonysági mátrix fajlagos alakváltozási energia u = σt S σ C, S pozitív definit szimmetrikus mátrixok. ε k = u σ k x T C x 0 x T C x = 0 x = 0 /8

22 Alakváltozási energia 3 u = T : A = t ij a ij = (σxεx + σyεy + σzεz + τxyγxy + τxzγxz + τyzγyz) = i,j= [ G ε x + ε y + ε z + ( γ xy + γyz xz) ] + γ + G ν ν (εx + εy + εz) = { [ ( )] ( + ν) σ E x + σy + σ z + τxy + τ yz + τ xz ν (σx + σ y + σ } z) = u T + u V ahol az u T a térfogat-torzításhoz, míg az u V u T = + ν 6E a térfogat-változáshoz tartozik. U = u dv = W = q u dv + p u da V V A [ ] (σx σ y) + (σ y σ z) + (σ z σ x) + 6(τxy + τyz + τxz), u V = ν 6E (σx + σy + σz) /8

23 Lineáris rugalmasságtan alapegyenletei a lehetséges peremfeltételek A = A u + A p V = A A u A p = {0} n = {n x, n y, n z } E, ν (G, ν) ÓØØ x z O A u y n V A p q p Izotróp rugalmas test. Kinematikai (geometriai) egyenlet A = ( u + u) E = 6 I = kinematikai (geometriai) peremfeltétel u( r) = v r A u. Egyensúlyi egyenlet T + q = 0 E = 3 I = 6 - statikai (feszültségi) peremfeltétel T n = p r A p 3. Anyagtörvény t ij = C ijkl a ij (σ i = C ij ε j ) E = 6 I = 0 I = = 5 E = = 5 3/8

24 Lamè-Navier egyenlet levezetése Az általános Hooke-törvény T = G ( A + ν ) ν A I A = ( T ν ) G + ν T I és a geometriai egyenlet alapján írható, hogy ν u u T = G( u + u ) + G u = ν + v y + w = εx + εy + εz = A I T = G u + G ( u) + G ν G ( u) = G u + ( u) ν ν melyből a Lamè-Navier egyenlet u + ν ( u) + q G = 0 a DPF [ T n = p G u( n) rot u n + ν u ] ν n = p r A p (Belátható a ( u) n = u( n) ( u n) alapján) 4/8

25 Lamè-Navier egyenlet levezetése Az előzőekben felírt Lamè-Navier egyenlet a rugalmasságtan első peremérték-feladata () A = A u ha az egész határoló felületen az elmozdulás-vektor adott () A = A p ha az egész határoló felületen a felületi terhelés adott, a megoldhatóság szükséges feltétele, hogy q dv + p da = 0 r q dv + r p da = 0 V A V A legyen (3) Az A felület A u peremszakaszán az elmozdulás az A p peremszakaszán pedig a felületi terhelés adott A p, A u { } (4) ha nincs térfogati terhelés akkor A I harmonikus függvény ( A I = 0) A I = u A I + ν ( ν)g q = q 0 u ( q)+ ( ν)g G u = 0 ( u = v = w = 0) u biharmónikus vektor! = 0 5/8

26 A Lamè-Navier egyenlet felírása DDRK-ben u = u e x + v e y + w e z u = e x u + e y v + e z w u = u + v y + w q = q x e x + q y e y + q z e z u + ( u ν + v y + w v + ( u ν y + v y + w w + ( u ν + v y + w ) + qx G = 0 ) + qy G = 0 ) + qz G = 0 6/8

27 Beltrami-Michell-féle egyenlet felírása A I = ν G + ν T I ( u ) + ν A I + q G = 0 ( u) + ν A I + q G = 0 A + ν A I + G ( q + q ) = 0 A = ( T νt ) I G + ν [ T ν G + ν T I + ] + ν T I + q + q = 0 ν G + ν T I + ν ( ν)g q = 0 + ν T I + q ν = 0 mely alapján a Beltrami-Michell egyenlet T + + ν T I + ν q + q + q = 0 ν A feszültségmező meghatározásához még fel kell használni az egyensúlyi egyenlet is. Részletes elemzéssel kimutatható, hogy a Beltrami-Michell hat egyenlete közül csak három független. 7/8

28 Kérdések?

Rugalmasságtan. Műszaki Mechanikai Intézet Miskolci Egyetem 2015

Rugalmasságtan. Műszaki Mechanikai Intézet Miskolci Egyetem 2015 Rugalmasságtan Műszaki Mechanikai Intézet attila.baksa@uni-miskolc.hu Miskolci Egyetem 2015 Egyenletek a hengerkoordináta-rendszerben (HKR) SP = OQ = r z QP = z e r = cos ϕ e x + sin ϕ e y e ϕ = sin ϕ

Részletesebben

Pere Balázs október 20.

Pere Balázs október 20. Végeselem anaĺızis 1. előadás Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2014. október 20. Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?

Részletesebben

MUNKA- ÉS ENERGIATÉTELEK

MUNKA- ÉS ENERGIATÉTELEK MUNKA- ÉS ENERGIAÉELEK 1. előadás: Alapfogalmak; A virtuális elmozdulások tétele 2. előadás: Alapfogalmak; A virtuális erők tétele Elmozdulások számítása a virtuális erők tétele alapján 3. előadás: Az

Részletesebben

Energiatételek - Példák

Energiatételek - Példák 9. Előadás Húzott rúd potenciális energiája: Hooke-modell: σ = Eε Geom. hetséges Geometriai egyenlet: + geom. peremfeltételek: u εx = ε = x u(0) = 0 ul () = 0 du dx Energiatételek Példák = k l 0 pudx l

Részletesebben

Végeselem analízis. 1. el adás

Végeselem analízis. 1. el adás Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2016. szeptember 7. Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek)

Részletesebben

Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid

Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid Szilárdságtani számítások Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid I. Bevezető ismeretek I.1 Definíciók I.2 Tenzoralgebrai alapismeretek I.3 Bevezetés az indexes jelölésmódba I.4 A lineáris rugalmasságtan általános

Részletesebben

BME Gépészmérnöki Kar 3. vizsga (112A) Név: 1 Műszaki Mechanikai Tanszék január 11. Neptun: 2 Szilárdságtan Aláírás: 3

BME Gépészmérnöki Kar 3. vizsga (112A) Név: 1 Műszaki Mechanikai Tanszék január 11. Neptun: 2 Szilárdságtan Aláírás: 3 BME Gépészmérnöki Kar 3. vizsga (2A) Név: Műszaki Mechanikai Tanszék 2. január. Neptun: 2 Szilárdságtan Aláírás: 3. feladat (2 pont) A vázolt befogott tartót a p intenzitású megoszló erőrendszer, az F

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

MECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája

MECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája Egészségügyi mérnökképzés MECHNIK I. rész: Szilárd testek mechanikája készítette: Németh Róbert Igénybevételek térben I. z alapelv ugyanaz, mint síkban: a keresztmetszet egyik oldalán levő szerkezetrészre

Részletesebben

GEOTECHNIKA I. LGB-SE TALAJOK SZILÁRDSÁGI JELLEMZŐI

GEOTECHNIKA I. LGB-SE TALAJOK SZILÁRDSÁGI JELLEMZŐI GEOTECHNIKA I. LGB-SE005-01 TALAJOK SZILÁRDSÁGI JELLEMZŐI Wolf Ákos Mechanikai állapotjellemzők és egyenletek 2 X A X 3 normál- és 3 nyírófeszültség a hasáb oldalain Y A x y z xy yz zx Z A Y Z ZX YZ A

Részletesebben

Lemez- és gerendaalapok méretezése

Lemez- és gerendaalapok méretezése Lemez- és gerendaalapok méretezése Az alapmerevség hatása az alap hajlékony merev a talpfeszültség egyenletes széleken nagyobb a süllyedés teknıszerő egyenletes Terhelés hatása hajlékony alapok esetén

Részletesebben

Tartószerkezet-rekonstrukciós Szakmérnöki Képzés

Tartószerkezet-rekonstrukciós Szakmérnöki Képzés 1_5. Bevezetés Végeselem-módszer Végeselem-módszer 1. A geometriai tartomány (szerkezet) felosztása (véges)elemekre.. Lokális koordináta-rendszer felvétele, kapcsolat a lokális és globális koordinátarendszerek

Részletesebben

Frissítve: 2015.04.29. Feszültség- és alakváltozási állapot. 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort!

Frissítve: 2015.04.29. Feszültség- és alakváltozási állapot. 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort! 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort! 1 / 20 2. példa: Rajzoljuk fel az adott feszültségtenzorhoz tartozó kockát! 2 / 20 3. példa: Feszültségvektor számítása. Egy alkatrész egy

Részletesebben

Bevezetés a görbe vonalú geometriába

Bevezetés a görbe vonalú geometriába Bevezetés a görbe vonalú geometriába Metrikus tenzor, Christoffel-szimbólum, kovariáns derivált, párhuzamos eltolás, geodetikus Pr hle Zsóa A klasszikus térelmélet elemei (szeminárium) 2012. október 1.

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

KÉPLÉKENYALAKÍTÁS ELMÉLET

KÉPLÉKENYALAKÍTÁS ELMÉLET KÉPLÉKENYALAKÍTÁS ELMÉLET KOHÓMÉRNÖK MESTERKÉPZÉS KÉPLÉKENYALAKÍTÁSI SZAKIRÁNY TANTÁRGYI KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ MISKOLCI EGYETEM MŰSZAKI ANYAGTUDOMÁNYI KAR ANYAGTUDOMÁNYI INTÉZET Miskolc, 2008. 1. TANTÁRGYLEÍRÁS

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek

{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek 1. MAEMAIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és

Részletesebben

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1.(a) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 A deformálható testek mozgása (1) A Helmholtz-féle kinematikai alaptétel: A deformálható test elegendően

Részletesebben

Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával

Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 212. október 16. Frissítve: 215. január

Részletesebben

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra

Részletesebben

Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása

Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása Készítette: Dr. Kossa Attila kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék. február 6. Határozzuk meg az alábbi ábrán látható derékszögű háromszög

Részletesebben

A szilárdságtan alapkísérletei II. Kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak csavarása

A szilárdságtan alapkísérletei II. Kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak csavarása 4. FEJEZET szilárdságtan alapkísérletei II. Kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak csavarása 4.. Vékonyfalú körgyűrű keresztmetszetű rúd csavarása 4... kísérlet leírása és eredményei. Tekintsük a 4.. ábrán

Részletesebben

Fémtechnológiák Fémek képlékeny alakítása 1. Mechanikai alapfogalmak, anyagszerkezeti változások

Fémtechnológiák Fémek képlékeny alakítása 1. Mechanikai alapfogalmak, anyagszerkezeti változások Miskolci Egyetem Műszaki Anyagtudományi Kar Anyagtudományi Intézet Fémtechnológiák Fémek képlékeny alakítása 1. Mechanikai alapfogalmak, anyagszerkezeti változások Dr.Krállics György krallics@eik.bme.hu

Részletesebben

mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati

mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati ϕ t + j ϕ = 0 mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati sűrűsége j ϕ - a ϕ-hez tartozó áramsűrűség j ϕ = vϕ + j rev + j irr vϕ - advekció j rev - egyéb reverzibilis áram

Részletesebben

A talajok összenyomódásának vizsgálata

A talajok összenyomódásának vizsgálata A talajok összenyomódásának vizsgálata Amit már tudni kellene Összenyomódás Konszolidáció Normálisan konszolidált talaj Túlkonszolidált talaj Túlkonszolidáltsági arányszám,ocr Konszolidáció az az időben

Részletesebben

Statikailag határozatlan tartó vizsgálata

Statikailag határozatlan tartó vizsgálata Statikailag határozatlan tartó vizsgálata Készítette: Hénap Gábor henapg@mm.bme.hu E E P MT A y F D E E d B MT p C x a b c Adatok: a = m, p = 1 N, b = 3 m, F = 5 N, c = 4 m, d = 5 mm. m A kés bbikekben

Részletesebben

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1) . Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol

Részletesebben

a térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus.

a térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus. 2. Gyakorlat 25A-0 Tekintsünk egy l0 cm sugarú üreges fémgömböt, amelyen +0 µc töltés van. Legyen a gömb középpontja a koordinátarendszer origójában. A gömb belsejében az x = 5 cm pontban legyen egy 3

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Virtuális elmozdulások tétele

Virtuális elmozdulások tétele 6. Előadás A virtuális elmozdulás-rendszer fogalma A virtuális munka fogalma A virtuális elmozdulások tétele Alkalmazás statikailag határozott tartók vizsgálatára 1./ A virtuális elmozdulásrendszer fogalma

Részletesebben

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13. 2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T

Részletesebben

1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?

1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér? Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál

Részletesebben

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =, Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2

Részletesebben

A mikroskálájú modellek turbulencia peremfeltételeiről

A mikroskálájú modellek turbulencia peremfeltételeiről A mikroskálájú modellek turbulencia peremfeltételeiről Adjunktus Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Áramlástan Tanszék 27..23. 27..23. / 7 Általános célú CFD megoldók alkalmazása

Részletesebben

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26.

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26. Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre

Részletesebben

Skalár: egyetlen számadattal (+ mértékegység) jellemezhető mennyiség. Azonos dimenziójú skalár mennyiségek - mértékegység-konverzió után -

Skalár: egyetlen számadattal (+ mértékegység) jellemezhető mennyiség. Azonos dimenziójú skalár mennyiségek - mértékegység-konverzió után - 1 ALAPFOGALMAK Vektoranalízis 1. Alapfogalmak Skalár: egyetlen számadattal (+ mértékegység) jellemezhető mennyiség. Azonos dimenziójú skalár mennyiségek - mértékegység-konverzió után - összehasonlíthatóak

Részletesebben

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből

Részletesebben

Rugalmasságtan és FEM, 2005/2006. II. félév, I. ZÁRTHELYI, A

Rugalmasságtan és FEM, 2005/2006. II. félév, I. ZÁRTHELYI, A Rugalmasságtan és FEM, 5/6. II. félév, I. ZÁRTHELYI, A 6. április., 7 5 8 Név: NEP T UN kod :. feladat Adott az elmozdulásmez½o: u = ( ax z i + bxz k) ; a = [mm ] ; b = [mm ].a., Írja fel az alakváltozási

Részletesebben

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x

Részletesebben

Diszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. (

Diszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. ( FELADATOK A LEKÉPEZÉSEK, PERMUTÁCIÓK TÉMAKÖRHÖZ Diszkrét Matematika 4. LEKÉPEZÉSEK Értelmezési tartomány és értékkészlet meghatározása : Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából ( zöld könyv ): XIII.

Részletesebben

2. E L Ő A D Á S D R. H U S I G É Z A

2. E L Ő A D Á S D R. H U S I G É Z A Mechatronika alapjai 2. E L Ő A D Á S D R. H U S I G É Z A elmozdulás erő nyomaték elmozdulás erő nyomaték Mechanizmusok Mechanizmus: általánosságban: A gép mechanikus elven működő részei Definíció: A

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső

Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. Kényszerek Geometriai vagy

Részletesebben

3. előadás Stabilitás

3. előadás Stabilitás Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása

Részletesebben

MECHANIKA II. Szilárdságtan

MECHANIKA II. Szilárdságtan MECHANIKA II. Szilárdságtan Legeza, László dr. Mónika, Bakosné Diószegi Tibor dr., Goda MECHANIKA II. Szilárdságtan

Részletesebben

ANALÍZIS II. Példatár

ANALÍZIS II. Példatár ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

u u IR n n = 2 3 t 0 <t T

u u IR n n = 2 3 t 0 <t T IR n n =2 3 u() u u u u IR n n = 2 3 ξ A 0 A 0 0 0 < T F IR n F A 0 A 0 A 0 A 0 F :IR n IR n A = F A 0 A 0 A 0 0 0 A F A 0 A F (, y) =0 a = T>0 b A 0 T 1 2 A IR n A A A F A 0 A 0 ξ A 0 = F (ξ) ε>0 δ ε

Részletesebben

A Hamilton-Jacobi-egyenlet

A Hamilton-Jacobi-egyenlet A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P

Részletesebben

differenciálegyenletek

differenciálegyenletek Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y

Részletesebben

1. ábra. 24B-19 feladat

1. ábra. 24B-19 feladat . gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Pere Balázs okleveles középiskolai fizika tanár. Doktori iskola vezető: az MTA rendes tagja

Miskolci Egyetem. Pere Balázs okleveles középiskolai fizika tanár. Doktori iskola vezető: az MTA rendes tagja Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR Csatolt termo-mechanikai kopási folyamatok vizsgálata hp-verziós végeselem-módszerrel Ph.D. értekezés Készítette: Pere Balázs okleveles középiskolai fizika tanár Sályi

Részletesebben

Szilárdságtani alapfogalmak

Szilárdságtani alapfogalmak 2. FEJEZET Szilárdságtani alapfogalmak 2.1. Mi a szilárdságtan 2.1.1. műszaki mechanika tudományának egy részterületét nevezzük szilárdságtannak. Maga a mechanika az anyagi világban lejátszódó folyamatok

Részletesebben

Anyagtudomány: hagyományos szerkezeti anyagok és polimerek

Anyagtudomány: hagyományos szerkezeti anyagok és polimerek Anyagtudomány: hagyományos szerkezeti anyagok és polimerek Fémek szerkezete és tulajdonságai Fizikai Kémia és Anyagtudományi Tanszék BME Műanyag- és Gumiipari Laboratórium H ép. I. emelet Vázlat Bevezetés

Részletesebben

Mechanika. I. előadás február 25. Mechanika I. előadás február / 31

Mechanika. I. előadás február 25. Mechanika I. előadás február / 31 Mechanika I. előadás 2019. február 25. Mechanika I. előadás 2019. február 25. 1 / 31 Elérhetőségek, információk Tantárgy: Mechanika (GEMET266-ZD-B) Előadó: Dr. Lengyel Ákos József Elérhetőségek: Iroda:

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Pere Balázs okleveles középiskolai fizika tanár. Sályi István Gépészeti Tudományok Doktori Iskola,

Miskolci Egyetem. Pere Balázs okleveles középiskolai fizika tanár. Sályi István Gépészeti Tudományok Doktori Iskola, Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR Csatolt termo-mechanikai kopási folyamatok vizsgálata hp-verziós végeselem módszerrel Ph.D. értekezés Készítette: Pere Balázs okleveles középiskolai fizika tanár Sályi

Részletesebben

MŰSZAKI FIZIKA. Földtudományi mérnöki MSc mesterszak. 2018/19 I. félév TANTÁRGYI KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ

MŰSZAKI FIZIKA. Földtudományi mérnöki MSc mesterszak. 2018/19 I. félév TANTÁRGYI KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ MŰSZAKI FIZIKA Földtudományi mérnöki MSc mesterszak 2018/19 I. félév TANTÁRGYI KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ Miskolci Egyetem Műszaki Földtudományi Kar Geofizikai és Térinformatikai Intézet A tantárgy adatlapja

Részletesebben

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek 10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem. Alkalmazott Mechanika Tanszék

Széchenyi István Egyetem. Alkalmazott Mechanika Tanszék Széchnyi István Egytm Alkalmazott Mchanika Tanszék Végslm analízis Elmélti kérdésk gytmi mstrképzésbn (MSc) résztvv járm mérnöki, mchatronikai mérnök és logisztikai mérnök szakos hallgatók számára 0. októbr

Részletesebben

A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra

A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra . Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI DOLGOZAT. Magas nyomású ipari tartály feszültségi analízise az ADINA végeselemes programrendszerrel

TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI DOLGOZAT. Magas nyomású ipari tartály feszültségi analízise az ADINA végeselemes programrendszerrel MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI DOLGOZAT Magas nyomású ipari tartály feszültségi analízise az ADINA végeselemes programrendszerrel Bodó Lajos I. éves MSc. gépészmérnök

Részletesebben

Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János

Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents

Részletesebben

A szilárdságtan alapkísérletei I. Egyenes rúd húzása, zömök rúd nyomása

A szilárdságtan alapkísérletei I. Egyenes rúd húzása, zömök rúd nyomása 3. FEJEZET A szilárdságtan alapkísérletei I. Egyenes rúd húzása, zömök rúd nyomása 3.1. Az alapkísérletek célja Hétköznapi megfigyelés, hogy ugyanazon szilárd test alakváltozásainak mértéke függ a testet

Részletesebben

Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével

Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 213. október 8. Javítva: 213.1.13. Határozzuk

Részletesebben

Példa keresztmetszet másodrendű nyomatékainak számítására

Példa keresztmetszet másodrendű nyomatékainak számítására Példa keresztmetszet másodrendű nyomatékainak számítására Készítette: Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2011. február 22. Tekintsük az alábbi keresztmetszetet. 1. ábra. A vizsgált

Részletesebben

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK SZILÁRDSÁGTNBÓL KÉZIRT 003 006 Tartalomjegyzék 1. fejezet tenzorszámítás elemei 1 1.1. Bevezető megjegyzések 1 1.. Függvények 1 1.3. másodrendű tenzor fogalmának geometriai

Részletesebben

V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I

V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I Előadásvázlat a Multidiszciplináris Műszaki Tudományi Doktori Iskola hallgatói számára

Részletesebben

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel. . Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +

Részletesebben

1. feladatsor Komplex számok

1. feladatsor Komplex számok . feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4

Részletesebben

Földstatikai feladatok megoldási módszerei

Földstatikai feladatok megoldási módszerei Földstatikai feladatok megoldási módszerei A véges elemes analízis (Finite Element Method) alapjai Folytonos közeg (kontinuum) mechanikai állapotának leírása Egy pont mechanikai állapotjellemzıi és egyenletek

Részletesebben

Az optika tudományterületei

Az optika tudományterületei Az optika tudományterületei Optika FIZIKA BSc, III/1. 1. / 17 Erdei Gábor Elektromágneses spektrum http://infothread.org/science/physics/electromagnetic%20spectrum.jpg Optika FIZIKA BSc, III/1. 2. / 17

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,

Részletesebben

Szilárdságtan-1 munkaközi jegyzet ver. 1.0.

Szilárdságtan-1 munkaközi jegyzet ver. 1.0. 1 Szilárdságtan-1 munkaközi jegyzet ver. 1.0. Dr. Domokos Gábor előadásjegyzetei alapján összeállította Dr. Sipos ndrás Árpád. z ábrákat tajzolta: Domokos Réka és Kapsza Enikő. BME Szilárdságtani és Tartószerkezeti

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

A Föld alakja TRANSZFORMÁCIÓ. Magyarországon még használatban lévő vetületi rendszerek. Miért kell transzformálni? Főbb transzformációs lehetőségek

A Föld alakja TRANSZFORMÁCIÓ. Magyarországon még használatban lévő vetületi rendszerek. Miért kell transzformálni? Főbb transzformációs lehetőségek TRANSZFORMÁCIÓ A Föld alakja -A föld alakja: geoid (az a felület, amelyen a nehézségi gyorsulás értéke állandó) szabálytalan alak, kezelése nehéz -A geoidot ellipszoiddal közelítjük -A földfelszíni pontokat

Részletesebben

Bevezetés az elméleti zikába

Bevezetés az elméleti zikába Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Merev test mozgása Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 011 TARTALOMJEGYZÉK 0.1. Alapfogalmak,jelölések............................

Részletesebben

A= a keresztmetszeti felület cm 2 ɣ = biztonsági tényező

A= a keresztmetszeti felület cm 2 ɣ = biztonsági tényező Statika méretezés Húzás nyomás: Amennyiben a keresztmetszetre húzó-, vagy nyomóerő hat, akkor normálfeszültség (húzó-, vagy nyomó feszültség) keletkezik. Jele: σ. A feszültség: = ɣ Fajlagos alakváltozás:

Részletesebben

Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor

Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor . Hármas Integrál. Bevezetés és definíciók A bevezetés első részében egy feladaton keresztül jutunk el a hármasintegrál definíciójához. Feladat: Legyen R korlátos test, és a testnek legyen az f(x, y, z

Részletesebben

Előszó.. Bevezetés. 1. A fizikai megismerés alapjai Tér is idő. Hosszúság- és időmérés.

Előszó.. Bevezetés. 1. A fizikai megismerés alapjai Tér is idő. Hosszúság- és időmérés. SZABÓ JÁNOS: Fizika (Mechanika, hőtan) I. TARTALOMJEGYZÉK Előszó.. Bevezetés. 1. A fizikai megismerés alapjai... 2. Tér is idő. Hosszúság- és időmérés. MECHANIKA I. Az anyagi pont mechanikája 1. Az anyagi

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

Lagrange és Hamilton mechanika

Lagrange és Hamilton mechanika Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?

Részletesebben

Kizárólag oktatási célra használható fel!

Kizárólag oktatási célra használható fel! DEBRECENI EGYETEM, MŰSZAKI KAR, ÉPÍTŐMÉRNÖKI TANSZÉK Acélszerkezetek II III. Előadás Vékonyfalú keresztmetszetek nyírófeszültségei - Nyírófolyam - Nyírási középpont - Shear lag hatás - Csavarás Összeállította:

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem

Széchenyi István Egyetem polár 3D gömbi Széchenyi István Egyetem Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Legyenek [a, b], [c, d] R véges intervallumok, és jelölje T az [a, b] [c, d] = {(x, y) R : a x b, c y d } téglalapot. Legyen

Részletesebben

9. előadás. Térbeli koordinátageometria

9. előadás. Térbeli koordinátageometria 9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy

Részletesebben

DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév)

DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév) DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév) Dinamika Pontszám 1. A mechanikai mozgás fogalma (1) 2. Az anyagi pont pályája (1) 3. A mozgástörvény

Részletesebben

2) A koordinátázott síkban adva van egy E ellipszis, melyet az x2

2) A koordinátázott síkban adva van egy E ellipszis, melyet az x2 1. feladatsor (Kúpszeletekre vonatkozó feladatok) Ha egy feladatban síkbeli koordinátákat alkalmazunk, akkor azok egy derékszög koordinátarendszerre vonatkoznak, melynek kezd pontja O és ortonormált alapvektorai

Részletesebben

1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek 7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen n N, I R intervallum és A: I M n n (R), B: I R n folytonos függvények, és tekintsük az { y (x) = A(x)y(x) + B(x) y(ξ) = η kezdeti érték problémát,

Részletesebben

Vasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet

Vasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet Vasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet 2. előadás A rugalmas lemezelmélet alapfeltevései A lemez anyaga homogén, izotróp, lineárisan rugalmas (Hooke törvény); A terheletlen állapotban

Részletesebben

Felületi feszültség: cseppfolyós-gáz határfelületen a vonzerő kiegyensúlyozatlan: rugalmas hártyaként viselkedik.

Felületi feszültség: cseppfolyós-gáz határfelületen a vonzerő kiegyensúlyozatlan: rugalmas hártyaként viselkedik. Felületi feszültség: cseppfolyós-gáz határfelületen a vonzerő kiegyensúlyozatlan: rugalmas hártyaként viselkedik. Mérése: L huzalkeret folyadékhártya mozgatható huzal F F = L σ két oldala van a hártyának

Részletesebben

Fafizika 9. elıad NYME, FMK,

Fafizika 9. elıad NYME, FMK, Fafizika 9. elıad adás A faanyag rugalmasságának jellemzése Prof. Dr. Molnár r SándorS NYME, FMK, Faanyagtudományi nyi Intézet A fának,, mint ortotróp (ortogonálisan anizotróp) anyagnak a rugalmassági

Részletesebben

Példa: Csúsztatófeszültség-eloszlás számítása I-szelvényben

Példa: Csúsztatófeszültség-eloszlás számítása I-szelvényben Példa: Csúsztatófeszültség-eloszlás számítása I-szelvényben Készítette: Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2011. március 14. Határozzuk meg a nyírásból adódó csúsztatófeszültség

Részletesebben

Lineáris algebra mérnököknek

Lineáris algebra mérnököknek B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok 2019-09-10 MGFEA Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

"Flat" rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások

Flat rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások "Flat" rendszerek definíciók, példák, alkalmazások Hangos Katalin, Szederkényi Gábor szeder@scl.sztaki.hu, hangos@scl.sztaki.hu 2006. október 18. flatness - p. 1/26 FLAT RENDSZEREK: Elméleti alapok 2006.

Részletesebben