A szilárdságtan alapkísérletei II. Kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak csavarása

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A szilárdságtan alapkísérletei II. Kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak csavarása"

Átírás

1 4. FEJEZET szilárdságtan alapkísérletei II. Kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak csavarása 4.. Vékonyfalú körgyűrű keresztmetszetű rúd csavarása 4... kísérlet leírása és eredményei. Tekintsük a 4.. ábrán vázolt l hosszúságú és b falvastagságú vékonyfalú csövet. cső külső és belső palástjának rendre R o +b/ illetve R o b/ a sugara, az R o Å sugarú belső hengerfelület pedig a cső úgynevezett középfelülete. mint azt az ábra is szemlélteti a cső z 0 koordinátájú keresztmetszetét a M c e z, a z l koordinátájú keresztmetszetét pedig az M c e z csavarónyomaték terheli. z M c csavarónyomaték nagyságát úgy választjuk meg, ÉÆ hogy ÇÈ Ç a cső alakváltozása lineárisan rugalmas. Bár az ábra nem tüntet fel támaszokat, a cső z 0 keresztmetszete, feltevés szerint, helyben marad. ÌÍ Ï ÎËÎÈ Æ ÊËÊÈ ÐÑÌÍ 4.. ábra. cső középfelületén gondolatban egységnyi oldalélű négyzetes hálót készítünk, oly módon, hogy a hálót egyrészről a z tengelyre merőleges síkok metszik ki az R o sugarú hengerfelületből, másrészt pedig a hengerfelület z tengellyel párhuzamos alkotói adják. z ábra nem tünteti fel a teljes hálót, csupán egy kis részét szemlélteti. P sarokpontú négyzetet folytonos és szaggatott vonallal rajzoltuk meg. Megjegyezzük, hogy a próbatest geometriai viszonyai miatt HKR alkalmazása kívánatos mind a kísérleti megfigyelések rögzítése, mind pedig a feszültségek egyensúlyi követelmények alapján történő számítása során. megfigyelések alapján a terhelések hatása az alábbiakban összegezhető:. z egyes keresztmetszetek merev lapként fordulnak el a z tengely körül és az elfordulás során megmaradnak a saját síkjukban. Következésképp nem változik sem a cső vastagsága, sem a középfelület R o sugara, sem pedig a cső hossza a deformáció során. Ez azt jelenti, hogy l l, b b és R o R o. Bár az ábrán nincs megrajzolva a cső külső és belső átmérője, ezeket a mennyiségeket itt és a továbbiakban rendre D és d jelöli. Nyilvánvaló, hogy ezek az értékek is változatlanok maradnak, azaz D D és d d. 87

2 . z egyes keresztmetszetek Φ szögelfordulása egyenesen arányos a keresztmetszet z koordinátájával: Φ ϑz, (4.) ahol a ϑ állandó az u.n. fajlagos elcsavarodási szög. Mivel alapfeltevés, hogy kicsik az elmozdulások és alakváltozások, kicsinek vehetjük az egyes keresztmetszetek z tengely körüli elfordulását is. Ez esetben a P pont mozgását adó P és P közötti ΦR o ív jó közelítéssel a P ponthoz tartozó r PP elmozdulásvektor hossza. Bár az erős nagyítással rajzolt 4.. ÖeØ ábra nem tünteti fel magát az u r PP elmozdulásvektort nyilvánvaló az ábráról, hogy az e ϕ irányú vektornak vehető. (4.) képletet is figyelembevéve u ΦR o e ϕ ϑze z R o e R ϑze }{{} } {{ } z R o (4.) e ÓÔ Ó e z e R R o az elmozdulásvektor az R o ÚÛ sugarú kör pontjaiban. ÓÔ ÕÞeÙ Ó ÓÔ Ò Ü ÞÒ ÜÕ ÝÔÝ ÞÔ Ý Ü ÜÜ ÝÔ Ü Ò Ü ÞÔ 4.. ábra. Vékonyfalú cső esetén eltekinthetünk a fajlagos nyúlások és a fajlagos szögváltozások valamint a normál és nyírófeszültségek cső vastagsága menti megváltozásától. Ez azt jelenti, hogy ezek a mennyiségek függetlennek vehetők az R sugártól. Visszaidézve a.. Mintapélda (.0) képletét [ ε R ] γ Rϕ γ Rz α R α ϕ α z γ ϕr ε ϕ γ ϕz (4.3) γ zr γ zϕ ε z az alakváltozási tenzor mátrixa HKR-ben. z alábbiakban meghatározzuk a kísérleti megfigyelések alapján az alakváltozási tenzor mátrixában álló fajlagos nyúlásokat és szögtorzulásokat. Láttuk, hogy nem változik az egyes keresztmetszetek távolsága az alakváltozás során. Mivel a keresztmetszetek merev lapként fordulnak el e ϕ irányban sincs hosszváltozás. Következőleg: Nem változik a cső falvastagsága sem. Ez azt jelenti, hogy ε z ε ϕ 0. (4.4) ε R 0. (4.5) 4.. ábra érzékelhetően szemlélteti, hogy a P pontban az R és ϕ anyagi vonalak (a sugár és a PB ív, vagy ami ugyanaz az e R és e ϕ egységvektorok) közötti π/ nagyságú szög változatlan, azaz derékszög marad az R és ϕ anyagi vonalak deformált helyzetében is, hiszen a P pontban derékszög a sugár és a P B ív által bezárt szög. Ugyanerről az ábráról állapítható meg az is, hogy az R és z anyagi vonalak (a sugár és a PC egyenesszakasz) közötti π/ nagyságú szög a deformált helyzetben derékszög marad, hiszen az utóbbi szög a P pontbeli sugár és a középfelületen fekvő P C csavarvonalszakasz által bezárt szög. Következésképp zérus értékűek a vonatkozó fajlagos szögváltozások: γ Rϕ γ Rz 0. (4.6)

3 z egyetlen nem zérus fajlagos szögváltozás a z és ϕ anyagi vonalak (a PB és PC ívek) közötti π/ szög csökkenése χ radiánnal. 4.. ábra és a (4.) összefüggés szerint PP χz R o Φ R o ϑz, következésképp γ ϕz χ R o ϑ. (4.7) (4.4)-(4.7) fajlagos nyúlásokkal és szögváltozásokkal az alakváltozási tenzor mátrixát adó (4.3) képletből az γ ϕz, γ ϕz γ χ R o ϑ (4.8) 0 γ zϕ 0 eredmény következik. Eszerint az alakváltozási tenzor mátrix mátrixa állandó. feszültségek meghatározása során a feszültségi tenzor [ ] T ρr ρ ϕ ρ z σ R τ Rϕ τ Rz τ ϕr σ ϕ τ ϕz (4.9) τ zr τ zϕ σ z mátrixában álló σ R, σ ϕ és σ z normálfeszültségeket, valamint a τ ϕr τ Rϕ, τ zr τ Rz és τ zϕ τ ϕz nyírófeszültségeket keressük. Mivel állandó az alakváltozási tenzor mátrixa, állandónak kell lennie a feszültségi tenzor mátrixának is. keresett σ R, σ ϕ,...,τ ϕz feszültségkoordináták meghatározása során vegyük figyelembe, hogy a cső külső palástján ébredő ρ n ρ R feszültségvektor meg kell, hogy egyezzen az ott működő felületi terhelés f sűrűségvektorával, ami azonban zérus hiszen terheletlen a cső palástja. Következésképp T e R ρ R σ R e R + τ ϕr e ϕ + τ zr e z 0. (4.0) Ha még azt is figyelembe vesszük, hogy a fentiek szerint állandónak vehetők a σ R, τ ϕr és τ zr feszültségkoordináták, akkor a (4.0) egyenletből a σ R 0, τ ϕr 0, τ zr 0 (4.) eredményt kapjuk. További összefüggések adódnak abból a feltételből, hogy a vékonyfalú cső bármely pozitív keresztmetszetére igaz, hogy a ρ z τ ϕz e ϕ +σ z e z feszültségek itt is emlékeztetünk arra a lentiekben kihasználás ra kerülő körülményre, hogy a τ ϕz és σ z állandó egyenértékűek a keresztmetszet igénybevételeivel, azaz N 0 és M c 0. z egyenértékűséggel kapcsolatos első, vagyis a (.89) összefüggésből N e z F S e z ρ z d e z (τ ϕz e ϕ + σ z e z ) d σ z d σ z 0, ahonnan σ z 0 (4.) a z irányú normálfeszültség. mi a belső erőrendszer nyomatékát illeti vegyük figyelembe, hogy vékonyfalú cső esetén jó közelítéssel fennállnak az R R o, d bds br o dϕ összefüggések. Ha ezeket is felhasználjuk, akkor az egyenértékűséggel kapcsolatos második, azaz a (.90) összefüggésből az π M c e z M S e z R ρ z d e z R o τ ϕz e R e ϕ d R o τ ϕz br o dϕ R o τ ϕz πbr } {{ } 0 } {{ } o e z k eredmény következik, ahonnan azonnal megkapjuk a keresett τ ϕz nyírófeszültséget: τ ϕz M c R o k, k πbr o. (4.3)

4 äåèéèî ïìéí ð ß ç èé êë èé êë äå áâáã èé æâæã à 4.3. ábra. σ ϕ normálfeszültség számításához a z tengelyen átmenő és n normálisú sík segítségével kettévágjuk gondolatban a vékonyfalú csövet és az így kapott egyik félcső ezt a 4.3. ábra szemlélteti egyensúlyából indulunk ki. keresett normálfeszültséget az n irányban felírt vetületi egyenletből számítjuk. számítás során az alábbiakat vegyük figyelembe:. félcső felületének átmetszéssel kapott n normálisú téglalapjain ρ n σ n n + τ nz e z a feszültségvektor és σ n σ ϕ. Megjegyezzük, hogy az ábra csak a vetületi egyenletben szerepet játszó σ n σ ϕ feszültségkoordináta megoszlását tünteti fel.. félcső palástja terheletlen. 3. z 0 és z l véglapokon ébredő és az azonos R és ϕ koordinátájú pontokhoz tartozó τ ϕz nyírófeszültségek vektoriális összege az ábra egy ilyen pontpárt tüntet fel zérus. fentiek alapján felírt [ palástterhelés eredőjének Fn lbσ ϕ + n irányú összetevője vetületi egyenletből } {{ } 0 ] [ τϕz nyírófeszültségek eredőjének + n irányú összetevője } {{ } 0 ] 0 σ ϕ 0. (4.4) (4.), (4.), (4.3) és (4.4) képletek felhasználásával T τ ϕz ; τ ϕz τ M c (4.5) 0 τ zϕ 0 R o k a feszültségi tenzor mátrixa. z utóbbi képlet alapján azt a feszültségi állapotot, amikor csak egy nyírófeszültség és duális párja különbözik zérustól tiszta nyírásnak nevezzük Csavaródiagramm. Hooke törvény nyírófeszültségekre. húzókísérlet kapcsán megrajzolt N N (λ) diagramnak a vékonyfalú cső csavarása kapcsán az M c M c (Φ l ) diagram a párja 4.4. ábra. z M c (Φ l ) függvény alakja egyrészt a vékonyfalú cső anyagától, másrészt a cső geometriai méreteitől függ. vékonyfalú cső anyagára jellemző diagramhoz úgy jutunk hasonlóan a húzókísérlet esetéhez hogy, fajlagos, azaz a vékonyfalú cső méreteitől független mennyiségeket mérünk fel az egyes koordinátatengelyekre. Ez azt jelenti, hogy a vízszintes tengely mentén a Φ l γ γ ϕz χ R o R o ϑ l fajlagos szögváltozást, a függőleges tengely mentén pedig a τ τ ϕz M c R o k

5 ò M ñó ô õ ö 4.4. ábra ábra. nyírófeszültséget ábrázoljuk. vékonyfalú cső anyagára jellemző τ τ(γ) görbét csavaródiagramnak nevezzük 4.5. ábra. csavaródiagram jellemző tulajdonságai ugyanazok, mint amelyekkel a 3.4., 3.5. és 3.6. szakítódiagramok kapcsán a 3... szakaszban megismerkedtünk ù ú û Ezeket ehelyütt nem ismételjük meg. z ideális testek csavaródiagramjai a 3.7. ábrán vázolt szakítódiagramok alapján rajzolhatók meg ábra a későbbiek kedvéért öf a lineárisan rugalmas-ideálisan képlékeny test csavaródiagramját mutatja. diagramon τ F a folyáshatár és γ F a folyáshatárhoz tartozó fajlagos szögváltozás. lineárisan rugalmas viselkedés tartományában fennáll a F τ Gγ (4.6) øöf 4.6. ábra. egyenlet, ahol G a lineáris szakasz meredeksége vagy más elnevezéssel nyírási rugalmassági modulus. Ez a mennyiség anyagjellemző. Kiolvasható a képletből az is, hogy a G feszültségdimenziójú mennyiség. Később formálisan igazolni fogjuk, hogy a méréssel kapott G, valamint az (3.9) képletből az E és ν-vel kifejezett G ugyanaz a mennyiség. (4.6) egyenletet a csúsztatófeszültségekkel kapcsolatos egyszerű Hook törvénynek nevezzük. z elnevezés arra utal, hogy a fenti egyenlet mindig fennáll a lineáris viselkedés tartományában függetlenül attól, hogy milyen igénybevétel vagy terhelés hozza létre a tiszta nyírást. (4.6) képlet felhasználásával vetve egybe az alakváltozási és feszültségi tenzor mátrixait adó (4.8) és (4.4) összefüggéseket írhatjuk, hogy vagy γ ϕz γ zϕ 0 G τ ϕz 0 τ zϕ 0 G T, (4.7) ami a csúsztatófeszültségekkel kapcsolatos Hook törvény tenzoriális alakja feszültségi állapot szemléltetése. Részleges Mohr-féle kördiagram. Tegyük fel, hogy ismeretesek a feszültségi tenzor főirányai ábra baloldala a főtengelyek KR-ében és a harmadik főirány felől nézve szemlélteti az elemi kockán a feszültségi állapotot. Ezen az ábrarészleten jelenik meg először a gondolatmenet kifejtésében később szerepet kapó x n és y m tengelypár is. Legyenek az és jelű főtengelyek által kifeszített fősíkban fekvő n és m irányok merőlegesek egymásra. zt is feltételezzük, hogy a pozitív m féltengely az óramutató járásával ellentétes irányban forgatható be a pozitív n féltengelybe, azaz m n e 3 ; m n ábra középső részlete az n és m egyeneseket, a vonatkozó m és n egységvektorokat, a főirányokat adó e n és e n egységvektorokat, továbbá az e és n közötti ϕ szöget szemlélteti.

6 y ü m þ ý x n eü ÿþ þ ÿ þ ÿþ eý ÿ þ n m 4.7. ábra. Tekintsük az n normálisú lapon ébredő ρ n σ n n + τ mn m feszültségvektort 4.7. ábra jobboldali ábrarészlet. továbbiakban arra a kérdésre keressük a választ, hogy mi a σ n és τ mn feszültségkoordináták által meghatározott pontok mértani helye a σ n, τ mn síkon. Nyilvánvaló, hogy mind σ n mind pedig τ mn az n és m irányokat meghatározó ϕ szög mint paraméter függvénye. számításokat a főtengelyek KR-ében végezzük. mint azt már láttuk lásd a feszültségi tenzor (.88) alatti előállítását ebben a KR-ben a feszültségi tenzor mátrixa. középső ábrarészlet alapján Következésképp T σ σ σ 3 n cosϕe + sin ϕe és m sin ϕe cosϕe. ρ n T n σ σ σ 3 cosϕ sin ϕ 0 σ cosϕ σ sin ϕ 0 a feszültségvektor mátrixa, amivel σ n n T ρ n [ cosϕ sin ϕ 0 ] σ cosϕ σ sin ϕ σ cos ϕ + σ sin ϕ 0 a keresett normálfeszültség és τ mn m T ρ n [ sin ϕ cosϕ 0 ] σ cosϕ σ sinϕ 0 (σ σ )cosϕ sin ϕ (4.8a) (4.8b) a keresett nyírófeszültség. trigonometriából jól ismert cos ϕ + cosϕ, sin ϕ cosϕ és sin ϕcosϕ sin ϕ (4.9) képletek helyettesítésével a (4.8a,b) képletekből némi rendezéssel a σ n σ + σ σ σ τ mn σ σ cos ϕ, sin ϕ (4.0a) (4.0b) egyenleteket kapjuk. Ez a két egyenlet kör paraméteres egyenlete a σ n, τ mn síkon. kör közepe a σ n tengelyen van, a kör középpontjának (σ + σ )/ az abcisszája, a kör sugara pedig R (σ σ ) /. z Ismeretes, hogy az x u R cos ϕ; y R sin ϕ egyenletkettős olyan kör paraméteres egyenlete, amelynek középpontja az x tengelyen van, u a középpont abcisszája és R a kör sugara. kör közepéből a körön levő x abcisszájú és y ordinátájú pontba rajzolt sugár ϕ szöget zár be a pozitív x tengellyel. szöget óramutató járásával ellentétesen kell felmérni.

7 adott n normálishoz tartozó N[σ n, τ mn ] körpontot pedig úgy kapjuk meg, hogy olyan sugarat rajzolunk a kör közepéből kiindulva, amely ϕ szöget zár be az abcissza tengellyel. Kiküszöbölhető a ϕ paraméter, ha a jobb és baloldalak négyzetre emelése után összeadjuk a két egyenletet: ( σ n σ ) ( ) + σ + τmn σ σ (4.) z így kapott egyenlet ugyancsak kör egyenlete. "!# $%! &'"!( $% ) 4.8. ábra. fentiek alapján megszerkeszthető a kör, ha ismeretesek a σ és σ főfeszültségek. Első lépésben megrajzoljuk az N [σ, 0] és N [σ, 0] pontokat. Második lépésben megszerkesztjük az N és N pontokat összekötő egyenesszakasz felezési pontját. Ez lesz a kör középpontja. Mivel mind az N, mind pedig az N rajta van a körön mostmár megrajzolható maga a kör is. z N[σ n, τ mn ] körpont pedig az abcisszatengellyel ϕ szöget alkotó körsugár berajzolásával adódik. Egy további lehetőséget kapunk az N szerkesztésére, ha az N ponton keresztül az e főiránnyal az N ponton keresztül pedig az e főiránnyal húzunk párhuzamos egyenest szaggatott vonalak majd Q n -el jelölve metszésüket, a Q n ponton át az n normálissal párhuzamosan egy további egyenest húzunk. Mivel ez az egyenes / ϕ szöget zár be az abcisszatengellyel a kerületi és középponti szögek tétele értelmében az N pontban metszi a kört. Q n pontot normálisok pólusának szokás nevezni. bemutatott e e0 szerkesztés csak akkor alkalmazható, ha ismeretesek a σ és σ főfeszültségek. szerkesztés szabályainak általánosítása e+ / kedvéért azt a kérdést vizsgáljuk a továbbiakban, hogy miként kell eljárni, ha nem ismerjük előre a σ és σ e- e0 34 e+, főfeszültségek értékét. felvetett kérdés megoldásában lépésről lépésre haladunk előre. e. n 5 e. m *n *m m 4.9. ábra.,- Tegyük fel előszörre, hogy n e x és m e y. Ez esetben σ n σ x, és (4.0b) szerint τ mn τ yx > 0, a vonatkozó körpontot pedig az X[σ x, τ yx ] pont adja a viszonyokat a 4.9. ábra baloldali része, és a 4.0. ábra szemlélteti. z X pontba mutató körsugár nyilvánvalóan ϕ szöget zár be az abcisszatengellyel.

8 Tegyük fel másodszorra, hogy n e y és m e x. Ez esetben σ n σ y, τ mn τ xy a vonatkozó körpontot pedig az Y [σ y, τ xy CD ] pont adja ezeket a viszonyokat a 4.9. ábra jobboldali része és a 4.0. ábra szemlélteti. Mivel ekkor az n irány ϕ + π/ nagyságú szöget zár be az e főiránnyal az Y pontba mutató körsugár ϕ + π szöget zár be az abcisszatengellyel. Következésképp az X és Y pontok ugyanazon a körátmérőn fekszenek. Ez egyben azt is jelenti, hogy azonnal megszerkeszthető a kör, ha ismerjük az X és Y pontok helyét a σ n és τ mn :? :; síkon ábra szemlélteti az 6RU9:VF>VW X és Y pontokat valamint magát a megrajzolt kört is. z ábra baloldalán ismét látható a feszültségi állapotot szemléltető, és a 4.7. ábra baloldali részén már korábban ábrázolt, de a további magyarázat kedvéért az 76 B>;? E9 óramutató járásával egyező X P RT XYX \\ H:;I:?JK7 L MN :?F>;? Z y ]^ ^ >;? H:; :?JK7 [ n :G nx m m ^] ] O 6 QN RS 4.0. ábra. irányban elforgatott elemi kocka. forgatás úgy történt, hogy a vízszintes tengely legyen az x tengely. Figyeljük azt is meg, hogy az elforgatott elemi kocka mellett halványan megrajzoltuk az xyz KR-beli elemi kockát is, amelyen halványan feltüntettük az ismertnek tekintett σ x, σ y és τ xy feszültségkoordinátákat. Mivel az első esetben az m irány ellentétes az y iránnyal és τ mn pozitív volt τ xy negatív a feladat viszonyai között. z ugyanezen ábrarészleten berajzolt n irány ψ szöget zár be az x és a ϕ + ψ szöget az jelű főtengellyel. z n irányra merőleges m irány lefelé és kissé jobbra mutat. Következőleg az N [σ n, τ nm] körponthoz tartozó körsugár (ϕ + ψ) nagyságú szöget alkot a σ n tengellyel. Mivel az XY egyenesszakasz körátmérő az X ponton keresztül az x tengellyel, az Y ponton keresztül pedig az y tengellyel párhuzamosan szaggatott vonallal megrajzolt egyenesek, Thalész tétele értelmében a körön metszik egymást. Jelölje Q n a két egyenes metszéspontját. Vegyük észre, hogy a Q n XN és az XN szögek ugyanazon az íven nyugvó kerületi és középponti szögek. Következőleg a Q n N egyenes párhuzamos az n egyenessel. Ez megfordítva azt jelenti, hogy a Q n pont segítségével bármilyen n felületi normális és a hozzá tartozó m esetén megszerkeszthető az N [σ n, τ nm] körpont, oly módon, hogy párhuzamost húzunk a Q n körponton keresztül az n egyenessel.és meghatározzuk a párhuzamos és a kör újabb metszéspontját. Utóbbi tulajdonsága miatt a Q n pont most is a normálisok pólusa nevet viseli. Q n pont szerepével kapcsolatos gondolatmenet alapján nyilvánvaló, hogy a Q n N egyenes főiránnyal párhuzamos egyenes, a jelen esetben az jelű főiránnyal, a Q n N egyenes főiránnyal párhuzamos egyenes, a jelen esetben az jelű főiránnyal, a Q n N X szög a vízszintes és főirány, a jelen esetben az jelű főirány, közötti szög. z BX derékszögű háromszög segítségével kiszámítható a kör sugara amivel az ábra alapján R (σx σ y ) + τ xy, σ σ x + σ y + R és σ σ x + σ y a két főfeszültség. z is leolvasható az ábráról, hogy tg ϕ τ xy σ x σ y. R

9 z bemutatott gondolatmenet alapján minden olyan esetben meghatározhatók a főfeszültségek és a főirányok, ha ismeretes a feszültségi tenzor egy főiránya. szerkesztésben megjelenő mértani helyet, azaz a σ n, τ mn pontpárok által alkotott kört, a szerkesztés lehetőségét felismerő és elsőként leíró Mohr után részleges Mohr körnek szokás nevezni szerkesztés lépéseinek összegezése. z alábbiak tömören és minden szóbajöhető esetre alkalmazható sablont adnak a szerkesztésre. sablon a szakasz gondolatmenetének lényegén alapul; azon, hogy ismeretes egy főfeszültség mindegy, hogy melyik, azon, hogy a kör átmérőjét az elemi kocka más két lapján ébredő feszültségvektor σ n és τ mn koordinátái határozzák meg, függetlenül attól milyen betűvel jelöltük eredetileg ezen lapok normálisait, továbbá azon, hogy a Q n pont és a főirányok szerkesztése is független a két lap normálisának jelölésére felhasznált betűjelektől. Legyen utw a vizsgált test egy adott pontjában ismeretes a feszültségállapot. Tételezzük fel, hogy az ezen a ponton átmenő p, q és r koordinátatengelyek kartéziuszi KR-t alkotnak (a fentiekkel összhangban a vu x e cd p,q,r, valójában az x,y,z, vagy az y,z,x, vagypedig a z,x,y koordinátatengelyeket jelenti). Legyen ismert ugyanebben a pontban a feszültségi állapot: ρ r σ r e r (vagyis az r irány főirány), σ p > 0, τ pq τ qp > 0 és σ q f geah`bai ke < 0. n `ba u e uv v eu xw oq rv~e ƒ l sop_`ab em f e} u ƒ v ebejy gebz{`abi ábra. szerkesztés lépéseit az alábbiak összegezik:. Megrajzoljuk az ismert r főirány felől nézve az elemi kockát. Ügyeljünk eközben arra, hogy az r-t követő első koordinátairány, azaz a p vízszintes, a q pedig függőleges irányba mutasson az ábránkon, úgy ahogyan azt a 4.. ábra baloldali része szemlélteti.. Meghatározzuk σ n, és τ mn feszültségkoordinátákat a p és q normálisú oldallapokon. Ezt az segíti, hogy berajzoljuk a p normálisú oldallapon az n p és m q, a q normálisú lapon pedig az n q és m p koordinátairányokat. Így azonnal megállapítható a baloldali ábrarészlet elemi kockájának felhasználásával, hogy a σ n,τ mn sík P[σ p, τ qp ] és Q[σ q,τ pq ] pontjai határozzák meg a kör átmérőjét. 3. Bejelöljük a P[σ p, τ qp ] és Q[σ q,τ pq ] pontokat a σ n,τ mn koordinátasíkon, majd megrajzoljuk a PQ körátmérőt. PQ egyenesszakasz és a σ n tengely metszése adja a kör közepét. kör és a σ n tengely metszéspontjai pedig kiadják a keresett főfeszültségeket. Mivel a főfeszültségek nagyság szerint rendezettek σ σ σ 3 és a σ r 0 normálfeszültség főfeszültség a szerkesztés a jelen esetben az és 3 jelű főfeszültségeket adja ki. 4. P ponton keresztül a p normálissal, a Q ponton pedig a q normálissal húzunk párhuzamost. két egyenes a kör Q n pontjában metszi egymást. Q n N és Q n N 3 egyenesek megadják az és 3 jelű főirányokat. Ezeket az elemi kocka felülnézeti képén is érdemes berajzolni.

10 5. Kiszámítjuk az ábra alapján az R, σ, σ 3 és ϕ értékeket. Ez a számítás az ábráról leolvasható (σp σ q és R σ σ p + σ q ) + τ pq, (4.) + R, σ σ p + σ q R (4.3) tg ϕ τ pq. (4.4) σ p σ q képletek segítségével végezhető el. 6. Ha adott egy felületelem n normálisa és a hozzátartozó m irány, akkor az N [σ n,τ mn ] pontot a Q n ponton át az n -vel párhuzamosan húzott egyenes és a kör metszése adja. Megjegyezzük, hogy a zsúfoltság elkerülése érdekében nem tünteti fel az utolsó lépést a 4.. ábra. Visszautalunk ehelyett a 4.0. ábrára és megjegyezzük, hogy a feszültségi tenzor segítségével pontosabban határozható meg a σ n és τ mn számítással, mint szerkesztéssel. szerkesztést és a szerkesztésen alapuló (4.), (4.3) és (4.4) képleteket elsősorban a főfeszültségek és főirányok meghatározására érdemes használni szerkesztés két alkalmazása. Összefüggés a rugalmassági állandók között. Két egyszerű példa esetén mutatjuk be a szerkesztés alkalmazását. 4.. ábra nyomásra igénybevett zömök rudat szemléltet. Šžœ ž középső Š ábrarészlet a negatív x tengely felől nézve mutatja az elemi kockán a feszültségi állapotot, valamint a szerkesztéshez szükséges segédvonalakat. 4.. és a 4.. ábra egybevetése alapján a z és ˆ Š Œ Ž Š y koordinátatengelyek felelnek meg a p és q š Ž Š œ žžœ Ÿ ž Š Š 4.. ábra. koordinátatengelyeknek. Mivel ρ y 0 és ρ z σ z e z (σ z < 0) az Y [0,0] és Z[σ z,0] pontok meghatározzák a kör átmérőjét. Következőleg R σ z / a kör sugara. Q n pontot a Z ponton át a z tengellyel illetve az Y ponton át az Y tengellyel húzott párhuzamosok metszése adja. jelen esetben egybeesik a Q n pont az Y ponttal. z n normálisú lapon ébredő σ n és τ mn feszültségeket a Q n ponton keresztül az n-el húzott párhuzamos és a kör N metszéspontja adja. Mivel a ZNQ n és az NQ n háromszögek egyaránt derékszögű háromszögek leolvasható az ábráról, hogy σ n σ z cos ϕ és τ mn σ z cos ϕ sin ϕ. z ábrán feltüntetett n normálisú felületelemen bejelöltük a σ n és τ mn feszültségkoordinátákat. Megjegyezzük a fentiek kiegészítéseként, hogy a 3.3. Mintapélda közölt megoldása valójában a részleges Mohr kör alkalmazása húzott rúd esetén. második példa célja a főfeszültségek és a főirányok meghatározása a vékonyfalú rúd csavarási feladata esetén. feladat megoldása érdekében megrajzolt 4.3. ábra mindent szemléltet: a csavart vékonyfalú csövet, a szerkesztés alapjául szolgáló elemi kockát valamint magát a szerkesztést is. cső középfelületén megrajzolt és egymással párhuzamos folytonos és szagatott

11 ¹ ¼½ ª«² «ÀÁ º»¼ ½ ³µ à ¼ ³ Ä ³ Á «ÅÆ Á  ¾ «ÇÉ ØÙÚÛÜÛÝÜÞßÛà áùúûüûýüþßûà á ÓÖ á ÒÓÕÊËÊÌ ÓÔ Ø ½ 3 ÍÎ 3 «± ÑËÑÌ ÏÐÍÎ È 4.3. ábra. vonalak annak a x normálisú négyzetnek a kontúrját adják, amelyben a szerkesztést alapját adó elemi kocka metszi a középfelületet. z elemi kocka homloklapja feszültségmentes, a z normálisú lapon ρ z τ yz e y ; τ yz < 0, az y normálisú lapon pedig ρ y τ zy e z a feszültségvektor. Mivel az elemi kocka z és y normálisú lapjain is zérus a σ n normálfeszültség a Mohr kör átmérőjét adó Z[0, τ yz ]; τ yz > 0 és Y [0,τ zy ] pontpár a τ mn tengelyen van és az origó a kör közepe. Következőleg τ yz a kör sugara. z x R irány nyilvánvalóan főirány, a σ x σ R 0 feszültség pedig főfeszültség: körről leolvasott adatokat is felhasználva σ τ yz τ ϕz, σ σ x σ R 0 és σ 3 τ yz τ ϕz (4.5) a három nagyság szerint rendezett főfeszültség értéke. Maga a Q n pont ugyanúgy szerkeszthető mint az előző feladatban. jelen esetben azonban a Z ponttal esik egybe. σ n tengellyel 45 o szöget bezáró Q n N és 45 o szöget bezáró Q n N 3 egyenes az jelű és 3 jelű főirányokat adja. vékonyfalú cső ábráján bejelöltük a főtengelyek KR-ét kifeszítő n, n e y e R és n 3 egységvektorokat. kapott eredmények szerint a csak két főfeszültség különbözik zérustól. Ez azt jelenti hogy kéttengelyű a vékonyfalú cső feszültségi állapota. Érdemes arra is felfigyelni, hogy pozitív csavarónyomaték esetén a középfelület egy adott pontjáról indulva ki az jelű főirányok 45 o - os menetemelkedésű jobbmenetű csavarvonal érintői, maga a csavarvonal pedig megnyúlik. jelű főirányok ugyancsak 45 o -os menetemelkedésű de balmenetű csavarvonal érintői, maga a csavarvonal pedig megrövidül. rideg, törékeny anyagú csövek az anyag sajátosságai miatt az jelű főirányra merőleges felületen törnek a csavarókísérlet során. lágy, jól alakítható fémek ezzel szemben a z tengelyre merőleges keresztmetszeti síkokban törnek el, vagyis elnyíródnak.

12 ã R â R + â äz ã- äz R ábra ábra a vékonyfalú csőben kialakuló kéttengelyű feszültségi állapotot szemlélteti a főtengelyek, azaz az e, e e R és e 3 egységvektorok által kifeszített lokális KR-ben. z is leolvasható az ábráról, hogy ez a feszültségi állapot valójában két egytengelyű feszültségi állapot szuperpozíciója. Következésképp T T + T 3 a feszültségi tenzor mátrixa, ahol T σ , T σ és T σ σ 3 z egytengelyű feszültségi állapottal kapcsolatos (3.8) Hooke törvény alapján, tekintettel az ε σ /E és ε 3 σ 3 /E összefüggésekre is + ν E T ν E σ E és 3 + ν E T 3 ν E σ 3E a vonatkozó alakváltozási tenzorok. z utóbbi két egyenlet összegét képezve az vagy ami ugyanaz az + } {{ 3 + ν } E (T + T 3 ) ν } {{ } E (σ + σ 3 ) E, } {{ } 0 T + ν E T (4.6) eredmény adódik. Ez a pusztán logikai úton kapott egyenlet a csavarással kapcsolatos anyagegyenlet tenzoriális alakja és mint ilyen független kell, hogy legyen a választott KR-től. Ugyanakkor pedig meg kell egyeznie a kísérleti eredmények alapján felírt (4.7) anyagegyenlettel. (4.7) és (4.6) egyenletek egybevetése szerint csak akkor lehetséges egyezés, ha E G( + ν). (4.7) Másként fogalmazva a húzókisérlet és a vékonyfalú cső csavarási kísérlete kapcsán bevezetett három anyagjellemző az E, ν és a G közül bármelyik kifejezhető a másik kettővel. mondottak egyben azt is jelentik, hogy homogén izotróp test esetén kettő a független anyagállandók száma a lineárisan rugalmas viselkedés tartományában. Megjegyezzük, hogy a csavarókísérlet eredményei szerint a mérési pontosság megszabta hibán belüli a G-re vonatkozó mérési eredmények egyezése a húzókisérlet mérési eredményeként kapott E és ν-vel számított G-vel csavart vékonyfalú cső alakváltozási energiája. Tegyük fel, hogy a 4.. ábrán vázolt csőről van szó, amelyre Φ l a jobboldali végkeresztmetszet szögelfordulása a helytállónak vett baloldali végkeresztmetszethez képest. csőben felhalmozódó alakváltozási energia, amint erre a.4.. szakaszban rámutattunk, megegyezik a külső erők munkájával. Mivel a baloldali véglap nem fordul el a külső erőrendszert alkotó M c csavarónyomatékok közül csak a jobboldali

13 véglapon működő végez munkát. Ez a munka a szakasz gondolatmenetének figyelembevételével a (3.3) képlet baloldalának mintájára az U W K M cφ l (4.8) alakban írható fel N -nek M c, míg λ -nek Φ l felel meg. 4.. ábra alapján, tekintettel a (4.7), (4.6) és (4.3) képletekre Φ l l R o χ l R o τ ϕz G M cl Ro k G M cl I p G, I p Ro k (4.9) a véglap szögelfordulása, ahol az I p a vékony körgyűrű un. poláris másodrendű nyomatéka. Megjegyezzük, hogy az utóbbi mennyiséggel a alakot ölti a nyírófeszültség számításának (4.3) alatti formulája. véglap Φ l szögelfordulásának helyettesítésével τ ϕz M c R o k M c I p R o (4.30) U W K M cφ l Mc l Ro k G Mc l I p G (4.3) a teljes alakváltozási energia. z alakváltozási energiasűrűség számításához tovább alakítjuk a fenti képletet. Eszerint U Mc l Ro k G M c M c l R o } {{ k R } o k G }{{} k } {{ } ahol a V a vékonyfalú cső térfogata. Következésképp τ ϕz γ ϕzτ ϕz/g V u U V τ ϕzγ ϕz (4.3) a fajlagos alakváltozási energia értéke. Vegyük észre, hogy ez a képlet a tiszta nyírás során felhalmozódott alakváltozási energiasűrűséget adja függetlenül attól, hogy mi hozza létre a tiszta nyírást. 4.. Kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak csavarása 4... Elmozdulási és alakváltozási állapot. Számos olyan mérnöki alkalmazás van, amelyben csavarásra igénybevett kör-, vagy körgyűrű keresztmetszetű rudak kapnak vagy mozgásközvetítő, vagypedig teljesítményközvetítő szerepet. z előző szakaszban sikerült tisztázni a nyírófeszültségekkel kapcsolatos Hook törvényt és ezzel összefüggésben a vékonyfalú körgyűrű keresztmetszetű rúd mechanikai állapotát. Mivel a gondolatmenet alapvető feltevése volt a rúd vékonyfalú volta, a kapott megoldások is csak akkor alkalmazhatók, ha teljesül ez a feltevés. jelen 4.. szakasz célja, hogy általánosabb viszonyok között vizsgálja a csavarási feladatot. rúd vagy tömör, vagy körgyűrű keresztmetszetű. z utóbbi esetben azonban nincs korlátozó feltevés a rúd falvastagságára nézve. gondolatmenet kifejtése során a tömör körkeresztmetszetű prizmatikus rudat tekintünk majd. Látni fogjuk azonban, hogy ez a feltevés nem lényegi, és az eredményül kapott összefüggések értelemszerűen vonatkoznak körgyűrű keresztmetszetű prizmatikus rudakra is. viszonyokat a 4.5. ábra szemlélteti. Bár az ábra nem tüntet fel támaszokat feltételezzük ugyanúgy, mint azt a vékonyfalú cső esetén tettük, hogy az l hosszúságú és d átmérőjű rúd z 0 keresztmetszete helyben marad. rudat terhelő M c csavarónyomaték értékét pedig az korlátozza, hogy csak rugalmas alakváltozást engedünk meg. z ábra a megfigyelések ismertetése és értelmezése érdekében feltünteti a rúd R sugarú belső felületét is. lkalmazkodva a rúd geometriájához a HKR-t részesítjük előnybe, adott esetben azonban az xyz kartéziuszi KR-ben is írunk fel egyenleteket.

14 ëì ò å ïæ çè ç éêéè ñ í î ð ëì æ 4.5. ábra. rúd elmozdulásállapotát illető megfigyeléseink, a lényeget tekintve, megegyeznek a vékonyfalú cső csavarási feladata kapcsán végzett megfigyeléseinkkel. Ezek szerint. z egyes keresztmetszetek merev lapként fordulnak el a z tengely körül és megmaradnak saját síkjukban az elfordulás során.. keresztmetszetek Φ szögelfordulása egyenesen arányos a keresztmetszet z koordinátájával. Ez azt jelenti, hogy most is fennáll vékonyfalú cső csavarása kapcsán már felírt (4.) egyenlet: Következőleg Φ ϑz, ahol ϑ a fajlagos elcsavarodási szög. z elmozdulásmező meghatározása fentiek alapján a (4.) képletre vezető gondolatmenet megismétlését igényli. Csak annyi a különbség, hogy a tömör rúd R sugarú belső hengerfelülete veszi át a vékonyfalú cső R o sugarú középfelületének szerepét. Vegyük észre, hogy most változó az R sugár, míg a vékonyfalú cső esetén állandó volt az R-nek megfelelő R o. Mivel kicsik az elmozdulások és alakváltozások a P pont mozgását adó PP közötti ΦR ϑzr χz (4.33) ív jó közelítéssel a P ponthoz tartozó r PP elmozdulásvektor hossza. Ha visszaidézzük a 4.. ábrát, de az előzőeknek megfelelően R-et gondolunk R o helyébe, akkor nyilvánvaló az ábráról, hogy e ϕ irányú vektornak vehető az u r PP elmozdulásvektor. most is érvényes (4.) képletet figyelembevéve u ΦRe ϕ ϑzr e ϕ ϑze z Re R ϑze }{{} }{{} z R (4.34) e z e R R a tömör cső elmozdulásmezeje. (4.34) egyenlet jelentőségét az adja, hogy segítségével deriválásokkal állítható elő az U derivált tenzor. (.4) és (.99) képletek felhasználásával ( U u (ϑzre ϕ ) R e R + R ϕ e ϕ + ) z e z } {{ } HKR-ben további lépések során vegyük figyelembe, hogy az e ϕ a ϕ polárszög függvénye. (.98a) képletek szerint de ϕ dϕ e R. z utóbbi összefüggés kihasználásával azaz [ ] U u ϑzre ϕ R } {{ } ϑze ϕ [ e R + ] ϑzre ϕ R ϕ } {{ } ϑzre R [ e ϕ + U ϑze ϕ e R + ( ϑze R ) e } {{ } } {{ } ϕ + ϑre ϕ e z } {{ } u R u ϕ u z ] ϑzre ϕ e z z } {{ } ϑre ϕ

15 a derivált tenzor. kapott eredmény alapján U u R u ϕ u z 0 ϑz 0 ϑz 0 ϑr (4.35) a derivált tenzor mátrixa, a (.36) valamint a (4.3) képletek alapján pedig ( U + U T ) [ ε R ] γ Rϕ γ Rz α R α ϕ α z γ ϕr ε ϕ γ ϕz ϑr 0 0 γ (4.36) zr γ ϑr zϕ ε z 0 0 az alakváltozási tenzor mátrixa. Ez az eredmény azt jelenti, hogy ε R ε ϕ ε z γ ϕr γ Rϕ γ zr γ Rz 0, míg az alakváltozási tenzor egyedüli nem zérus eleme a γ ϕz γ zϕ fajlagos szögváltozás az R lineáris függvénye γ ϕz γ Rϑ. (4.37) Később látni fogjuk, hogy a ϑ fajlagos elcsavarodási szöget egyértelműen meghatározza az M c csavarónyomaték értéke. Diádikus alakban ó e eõ ô e α ϕ e ϕ + α z e z ϑre R e ϕ + ϑre ϕ e z az alakváltozási tenzor ábra baloldala az Rϕz HKR-ben megrajzolt elemi triéderen szemlélteti az alakváltozási ô tenzort. ó ô ó ó ô R ô ó z 4.6. ábra Feszültségi és energetikai állapot. Mivel a (4.36) alakváltozási tenzor tiszta nyíráshoz tartozó alakváltozási állapot ír le a feszültségi tenzor mátrixa a (4.7) Hook törvényből számítható [ ] T ρr ρ ϕ ρ z Kiolvasható a fenti egyenletből, hogy σ R τ Rϕ τ Rz τ ϕr σ ϕ τ ϕz τ zr τ zϕ σ z G σ R σ ϕ σ z τ ϕr τ Rϕ τ zr τ Rz GϑR 0 GϑR 0. (4.38) feszültségi tenzor egyedüli nem zérus eleme a τ ϕz τ zϕ nyírófeszültség az R lineáris függvénye τ ϕz τ GRϑ. (4.39) 4.6. ábra jobboldala az Rϕz HKR-ben megrajzolt elemi kockán szemlélteti a feszültségi tenzort. 4.7.(a) ábra a tömör rúd egy keresztmetszetében a súlyponthoz kötött ξη KR-ben

16 ø ùú yÿ þüý ùú þ a x üý y û b x y ö þ üý y û c x ö y x x 4.7. ábra. (a ξ tengely egybeesik az R tengellyel, következőleg az η irány a ξ tengely minden pontjában párhuzamos a ϕ iránnyal) szemlélteti a ξ tengely keresztmetszetre eső pontjaiban ébredő τ ξz τ ϕz feszültségeket. z (a) ábrarészlet, a későbbiek kedvéért, feltünteti a d felületelemen ébredő ρ z d τ ϕz e ϕ } {{ } d GRϑe ϕ d (4.40) τ z elemi erőt. Mivel a ρ z τ ϕz e ϕ feszültségeloszlás egyenértékű kell, hogy legyen a keresztmetszet M c csavaróigénybevételével a nyírófeszültségek ugyanolyan módon most az óramutató járásával ellentétesen forgatják a keresztmetszetet a súlyponton átmenő z tengely körül, mint az M c csavarónyomaték. 4.7.(b) ábrarészlet ugyancsak tömör keresztmetszetre, de nem magán a keresztmetszeten, hanem külön megrajzolt KR-ekben, szemlélteti a nyírófeszültségek eloszlását az x és y tengelyek mentén. 4.7.(c) ábra körgyűrűalakú keresztmetszetre teszi ugyanezt. Mivel a rúd bármely keresztmetszetében a keresztmetszeten ébredő ρ z τ z τ ϕz e ϕ GRϑe ϕ nyírófeszültségek egyenértékűek a keresztmetszet M c csavaróigénybevételével (a) zérus kell, hogy legyen az F S feszültségi eredő, (b) a feszültségi eredő erőpárra nézve pedig fenn kell állnia az M S M c e z egyenletnek. z (a) esetben a (.89) és a (4.40) összefüggések és a 4.7.(a) ábra alapján írható, hogy F S ρ z d GRϑ e ϕ d Gϑe z Re R d Gϑe }{{} }{{} z Rd Gϑe z S S. e z e R R } {{ } S S Itt S S a keresztmetszet saját súlypontjára vett statikai nyomatéka, ez pedig nyilvánvalóan zérus, azaz S S 0. Következőleg valóban zérus az F S feszültségi eredő. z (b) esetben a (.90) és a (4.40) összefüggések valamint a 4.7.(a) ábra alapján M S R ρ z d Re R GRϑe ϕ d Gϑ R e R e ϕ d e z Gϑ R d M c e z. } {{ } e z (4.4) Tekintettel az utóbbi képletre a I p R d (4.4) összefüggés értelmezi kör-, illetve körgyűrű alakú keresztmetszetre az I p poláris másodrendű nyomatékot. poláris másodrendű nyomaték értelmezésének felhasználásával a (4.4) egyenletből

17 az M c GϑI p, vagy ami ugyanaz a ϑ M c I p G (4.43) eredmény következik. z utóbbi összefüggés szerint a ϑ fajlagos elcsavarodási szög egyenesen arányos az M c csavarónyomatékkal, és fordítottan arányos az I p poláris másodrendű nyomatékkal, valamint a G nyírási rugalmassági modulussal. fajlagos elcsavarodási szög fenti képletével a (4.37) egyenletből γ ϕz M c I p G R (4.44) a fajlagos szögtorzulás, a (4.39) egyenletből pedig τ ϕz Gγ ϕz M c I p R (4.45) a nyírófeszültség értéke. Ha az M c csavarónyomatékot előjelhelyesen helyettesítjük, akkor a fenti képletek előjelhelyes eredményt adnak az Rϕz HKR-ben a γ ϕz szögtorzulásra és a τ ϕz nyírófeszültségre nézve. z is kiolvasható a (4.45) összefüggésből, hogy a τ ϕz nyírófeszültség abszolutértéke a keresztmetszet kerületén éri el a τ max τ ϕz max M c D I p M c (4.46) K p maximumot, ahol / K p / I p (4.47) R max az úgynevezett poláris keresztmetszeti tényező. y a y b x x 4.8. ábra. Legyen d a körkeresztmetszetű rúd átmérője. Legyenek továbbá d és D a körgyűrűkeresztmetszetű rúd belső és külső átmérői. Szimmetriaokokból d RπdR a felületelem. Körkeresztmetszetű rúdra a (4.4) és a (4.47) képletek, valamint a 4.8.(a) ábra alapján d/ [ R I p R d π R 3 4] d/ dr π, azaz I p d4 π és K p d3 π (4.48) 3 6 a poláris másodrendű nyomaték, valamint a poláris keresztmetszeti tényező. Ugyanilyen gondolatmenettel kapjuk a 4.8.(b) ábra alapján, hogy D/ [ ] R I p π R 3 4 D/ dr π, 4 ahonnan ( D 4 d 4) ( π D 4 d 4) π I p és K p 3 6D a poláris másodrendű nyomaték illetve a poláris keresztmetszeti tényező. d/ d/ (4.49)

18 (4.33) összefüggésből z l-re megkapjuk a rúd jobboldali véglapjának a rúd baloldali véglapjához viszonyított szögelfordulását: Φ l ϑl Innen, a fajlagos szögelfordulás (4.33) alatti értékének helyettesítésével Φ l M cl I p G (4.50) a két véglap egymáshoz viszonyított relatív elfordulása. z l hosszúságú rúdszakaszban felhalmozódott alakváltozási energia kétféleképpen is számítható. Vehetjük egyrészről a rúdszakaszra ható külső erők munkáját, hiszen az a rugalmas alakváltozás tartományában mindig megegyezik a felhalmozódott alakváltozási energiával. Másrészről számíthatjuk a fajlagos alakváltozási energia rúdszakasz térfogatára vonatkozó integrálját. z első esetben a vékonyfalú cső alakváltozási energiájával kapcsolatos és a (4.3) képletre vezető gondolatmenettel azonnal írhatjuk, hogy U W K M cφ l Mc l I p G. (4.5) második esetre nézve a fejezet végén bemutatott 4.4. Mintapélda mutatja be a fentivel azonos eredményre vezető számítást. Érdemes azt is megfigyelni, hogy fennáll a U M cl M c I p G Φ l. (4.5) egyenlet Ez az összefüggés a húzott, illetve nyomott rudakkal kapcsolatos (3.5) képlet analogonja. z összefüggés szerint a rúd véglapjának Φ l szögelfordulása az alakváltozási energia rúd véglapján működő nyomaték szerinti parciális deriváltja Ellenőrzés, méretezés. jelen szakasz csavarásra igénybevett kör és körgyűrűkeresztmetszetű rudak ellenőrzésével illetve méretezésével foglalkozik. Jelölje a tönkremenetelt okozó és pozitív előjelűnek tekintett nyírófeszültséget τ jell. Ez a mennyiség a rúd anyagától függően vagy a τ F folyáshatárral, vagypedig a τ B nyírószilárdsággal vehető egyenlőnek. z első választás szívós anyagok (lágy fémek, alacsony széntartalmú acélok) esetén célszerű a jelentős maradó alakváltozások elkerülése érdekében. Rideg anyagok esetén általában nem előzi meg jelentős alakváltozás a törést. Itt tehát a második választás a szokásos. megengedett nyírófeszültséget a τ meg τ jell n (4.53) összefüggés értelmezi, ahol az n a szakaszból már ismert előírt biztonsági tényező. Ellenőrzés esetén a keresztmetszeten fellépő nyírófeszültség (4.46) képlettel értelmezett maximumát számítjuk ki először és ezt hasonlítjuk össze a megengedett nyírófeszültséggel. Megfelel a csavarásra igénybevett kör-, vagy körgyűrűkeresztmetszetű rúd, ha fennáll a τ max M c K p τ meg τ jell n (4.54) egyenlőtlenség. Méretezés esetén adott az M c csavarónyomaték, valamint a rúd anyaga és első lépésben keressük azt a minimálisan szükséges K p sz keresztmetszeti tényezőt, amelyhez előírt n biztonsági tényező tartozik. keresztmetszeti tényező K p sz alsó korlátja a (4.54) egyenlőtlenségből következik: K p K p sz M c τ meg. (4.55) K p sz alsó korlát ismeretében esetleg más szempontokat is figyelembe véve megválasztható(k) a keresztmetszet átmérője, illetve átmérői.

19 M M 4.3. Változó keresztmetszetű rúd KM Szakaszonként állandó keresztmetszet ábra a szakaszonként állandó keresztmetszetű D rudat, a rúd terheléseit B C D ezek z tengely irányú nyomatékok, amelyek a rúd B és C keresztmetszetein illetve a rúd D M véglapján működnek, valamint a rúd K 3 D, M K D és K D jelű részeit, továbbá a felsorolt rúdrészeken működő külső és belső erőket, végül pedig a csavarónyomatéki ábrát szemlélteti. Feltételezzük, hogy az, és 3 jelű rúd- M KD M M KM szakaszokon belül mindenütt állandóak a prizmatikus kör-; és körgyűrűkeresztmetszetű rudak csavarási feladatával kapcsolatos képletek- D MM M ben szereplő és a rúdra jellemző mennyiségek, továbbá a csavarónyomaték értéke is, azaz I pi, G i, l i és M ci. Leolvasható az ábráról mivel az M Cz < 0 az is, hogy D M c M Bz + M Cz + M Dz, M c M Cz + M Dz, M c3 M Dz. Ha eltekintünk a hirtelen keresztmetszetváltozások feszültségi és alakváltozási állapotra gyakorolt hatásától, ez ugyanis csak lokális zavarást okoz, akkor az összes eddigi 4.9. ábra. eredményt, M M M M azaz a (4.45), (4.50) és (4.5) képleteket egyaránt érvényesnek tekinthetjük az egyes szakaszokon belül. Következőleg τ ϕzi M ci I pi R (4.56) a nyírófeszültség képlete az i-ik szakaszra nézve (i,, 3). rúd D keresztmetszetének elfordulása az keresztmetszethez képest pedig úgy kapható meg, hogy összegezzük az egyes rúdszakaszok jobboldali végének a tekintett rúdszakasz kezdetéhez viszonyított Φ i szögelfordulásait: 3 M ci l i Φ D Φ l Φ + Φ + Φ 3. (4.57) I pi G i rúdban felhalmozódott teljes alakváltozási energia ugyanilyen módon az egyes rúdszakaszokban felhalmozódott alakváltozási energia összegeként adódik: Mivel U U + U + U 3 i 3 Mci l i. (4.58) I pi G i i M ci M Dz ; i,,3 a (4.58) képletből a (4.5) egyenlet általánosítását jelentő összefüggés következik. U M Dz 3 M ci l i M ci I pi G i M Dz i 3 M ci l i Φ D Φ l I pi G i i z z

20 szakaszonként állandó keresztmetszetű rúd esetén azon alapul az ellenőrzés illetve méretezés, hogy minden egyes rúdszakaszra nézve fenn kell állnia a τ max i M ci K pi τ meg i (4.59) relációnak, ahol τ max i a megengedett nyírófeszültség a rúd i-ik szakaszán. M dz B z MM l M(z)állandó 4.0. ábra. pedig I p (z)g(z)-t írunk. Következésképp: z l Folytonosan változó keresztmetszet. Ha folytonosan de csak igen kismértékben változik a kör-, illetve körgyűrű keresztmetszet területe a 4.0. ábra ezt az esetet szemlélteti, akkor jó közelítéssel fennáll, hogy τ ϕz M c(z) I p (z) R (4.60) a nyírófeszültség, a többi feszültségkoordináta pedig elhanyagolhatóan kicsiny. rúd véglapjának szögelfordulását a dz hosszúságú elemi rúdszakasz két véglapja dφ relatív szögelfordulásának integrálja adja. Maga a dφ relatív szögelfordulás a (4.50) képlettel számítható, ha az M c helyére M c (z)-t magán az ábrán állandó az M c (z), l helyére dz-t és az I p G szorzat helyére Φ M c (z) 0 I p (z)g(z) dz. } {{ } (4.6) dφ Hasonló megfontolással kapjuk (4.5)-ból, hogy U l 0 M c (z) I p (z)g(z) dz (4.6) a rúdban felhalmozott alakváltozási energia. mi pedig a fenti képletek érvényességét illeti érdemes ismételten hangsúlyozni, hogy azok csak akkor alkalmazhatók ha igen kismértékben változik az keresztmetszet a z függvényében Statikailag határozatlan feladatok Csavarásra igénybevett kör-, és körgyűrűkeresztmetszetű rudak esetén úgy vesszük, hogy a nyomatékvektorok a rúd tengelyvonala mentén működnek, azaz egy egyensúlyi egyenlet áll rendelkezésre az ismeretlen támasztónyomaték(ok) meghatározására. Ha a rúd valamelyik végét befogjuk, akkor csak egy ismeretlen támasztónyomatékkal kell számolnunk, azaz a feladat statikailag határozott. Ha azonban a rúd mindkét vége befogott akkor két támasztónyomatékot kell meghatározni. Ez egyben azt is jelenti, hogy statikailag határozatlan a feladat, hiszen egy egyensúlyi egyenlet áll rendelkezésre a két ismeretlen meghatározására. Következésképp további egyenletre van szükség a feladat határozottá tételéhez. Ezt a pótlólagos egyenletet abból a feltételből kapjuk, hogy a második támasz révén valójában meggátoljuk, hogy a rúd befogott végei egymáshoz képest elforduljanak. Mindez jól követhetően jelenik meg a 4.. ábrán vázolt D rúd esetén. rúd két vége befogott. terhelést a tengelyvonal B pontjában működő M Bz < 0 nyomaték jelenti. z ábra feltünteti a támaszairól levett rudat és a reá ható M Bz terhelést, továbbá az ismeretlen M z, M Dz támasztónyomatékokat, a rúd K, K K és K D részeit K és K az B, illetve BD szakaszokon belül található rúdkeresztmetszetek, valamint a rajtuk működő külső és belső erőket, és végül az M c (z) csavarónyomatéki ábrát. Mivel a rúd egyensúlyban van fenn kell állnia a M z + M Bz + M Cz 0 (4.63)

21 !" $"!" $" #" %& $"!" $" #" + + #" 4.. ábra. nyomatéki egyenletnek. rúd D keresztmetszetének zérus az keresztmetszethez viszonyított szögelfordulása. Visszaidézve a (4.57) képletet írhatjuk tehát, hogy Φ D I p G Φ l I p G M c l + M c l 0, ahol az K illetve K D jelű rúdszakaszok egyensúlya alapján M c M z és M c M Dz. Következésképp M Dz l M z. (4.64) l z utóbbi formula (4.63)-ba történő helyettesítésével M z -t, majd az M z -re vonatkozó eredményt (4.64)- be írva M Dz -t kapjuk M z l M Bz, M Dz l M Bz. (4.65) l + l l + l + Ezzel megoldottuk a feladatot. ) 4.5. Vékonyfalú, zárt szelvényű prizmatikus rudak szabad csavarása vizsgálat tárgyát képező rúd állandó keresztmetszetű, zárt szelvényű és vékonyfalú. 4.. ábra példaként szemlélteti egy '( * ilyen téglalapkeresztmetszetű rúd egyik, terhelt végét. rúd szemléltetett vége peremezett. Nyilvánvaló az ábráról, hogy a peremen kifejtett F, F erőpár csavarásra veszi F igénybe a rudat. vonatkozó csavarónyomatékot M c jelöli. csavart rúd hossztengelye, összhangban az eddigiekkel, egybeesik a KR z tengelyével. rúd keresztmetszetei pedig az xy koordinátasíkkal párhuzamos síkokban fekszenek. -F Ha nem kör-, vagy körgyűrű keresztmetszetű rudat csavarunk, akkor a megfigyelések szerint a rúd keresztmetszeteit alkotó anyagi pontok a rúd palástjának alkotói irányában, azaz a z irányban is elmozdulnak. Ez azt jelenti hogy nem marad síkfelület a terhelés hatására alakváltozott keresztmetszet. Egy 4.. ábra. adott keresztmetszet pontjainak z irányú elmozdulását a keresztmetszet öblösödésének vagy vetemedésének nevezzük.

22 Mivel az erőpárt alkotó e0 erők a a rúd peremének síkjában működnek nincs gátolva a rúd keresztmetszeteinek z irányú elmozdulása. Ezzel összefüggésben szabad csavarásról beszélünk ha nincs meggátolva a keresztmetszetek pontjainak a rúd hossztengelye menti elmozdulása. Ha, ezzel szemben valamilyen módon, pl. a támaszok révén, meg van gátolva a rúd keresztmetszeteinek z irányú mozgása, akkor gátolt R / P3 L5 csavarásról beszélünk. továbbiakban feltételezzük, hogy a feladat szabad csavarási feladat. n y e y s e0ds n, P4, b,, -., b(s) x x z S s n/ b/ / -./dz 4.3. ábra ábra baloldali része egy vékonyfalú prizmatikus rúd keresztmetszetét szemlélteti. rúdszelvény úgy épül fel, hogy a szelvény középvonalára, ezt vékony vonallal rajzoltuk meg, merőlegesen mindkét irányban felmérjük a b vastagság felét. Maga a vastagság a szelvény L k középvonala mentén mért s ívkoordináta függvénye: b b (s). keresztmetszet középvonalának minden egyes pontjában értelmezhető egy jobbsodratú ξηζ (ξsζ) lokális KR. ξ tengely a középvonal érintője, melynek pozitív iránya egybeesik az s ívkoordináta pozitív irányával; az utóbbi irányban haladva a középvonalon balkéz felől esik a középvonal által határolt síkbeli tartomány. z η tengely a középvonal külső normálisa, a ζ tengely pedig párhuzamos a z tengellyel. középvonal pontjainak R o R o (s) a helyvektora. Legyen n a középvonal külső normális egységvektora. Nyilvánvaló az eddigiek alapján, hogy e ξ n, e η dr o(s) és e ζ e ξ e η. ds z alábbiakban megkíséreljük tisztázni a rúd feszültségi állapotát. Ehhez a kérdéshez kapcsolódóan az alábbi feltevésekkel élünk:. b(s) falvastagság csak lassan és kis mértékben változik az s függvényében.. Mivel szabad csavarási feladatról van szó csak nyírófeszültség ébred a keresztmetszeten. Következésképp ρ z τ z. 3. kialakuló feszültségállapot független a z koordinátától. 4. nyírófeszültségnek nincs ξ irányú összetevője és állandó a falvastagság mentén. Ezért mindig megadható a τ z τ ηz (s)e η (s) (4.66) alakban. z utóbbi feltevés azon alapul, hogy csak érintőirányú feszültség ébredhet a keresztmetszet peremén, továbbá, hogy kicsi és csak mérsékelten változik b(s) falvastagság ábra jobboldali része egy a csőből kimetszett hasábot szemléltet. hasáb két z tengellyel párhuzamos és az ábrán halványszürke színben megrajzolt határfelületét úgy kapjuk meg, hogy a baloldali ábrarészlet n és n jelű egyenesszakaszain áthaladó a két egyenesszakasz mindegyike merőleges a cső középvonalára és a z tengellyel párhuzamos síkokat veszünk metszősíknak. hasáb z tengelyre merőleges határfelületei a cső két egymástól dz távolságra fekvő keresztmetszetének részei. hasábot szemléltető ábra, összhangban a nyírófeszültségek dualitásával, feltünteti a hasábon működő feszültségeket is. Mivel a hasáb egyensúlyban van zérus a z irányú erők összege: b τ zη dz + b τ zη dz 0. Ebből az egyenletből, figyelembe azt a körülményt, hogy az n és n bárhol lehet a középvonalon, a τ ηz (s)b(s) állandó Q (4.67)

23 összefüggés következik. cső b(s) falvastagságának és a falvastagság menti τ ηz (s)nyírófeszültségnek Q szorzatát nyírófolyamnak szokás nevezni. (4.67) képlet szerint állandó a Q nyírófolyam a vékonyfalú, zárt keresztmetszetű cső szabad csavarási feladata esetén. nyírófolyam állandóságából következik az a természetes követelmény, hogy zérus értékű a keresztmetszeten ébredő belső erőrendszer, azaz a τ z nyírófeszültségek eredője Valóban, a (3.3), (4.66) és (4.67) képletek alapján egyszerű átalakításokkal adódik, hogy F S ρ z d τ z }{{} d b(s) ds e η (s)τ ηz (s)b(s) ds Q L k } {{ } Q e η (s)ds L k } {{ } dr o P Q dr o Q R o P 0. P P nyírófeszültség és a csavarónyomaték közötti kapcsolatot abból a feltételből kapjuk meg, hogy megegyezik a τ z nyírófeszültségeloszlás nyomatéka az S pontra a terhelésből adódó M c e z csavarónyomatékkal. számítások során vegyük figyelembe az alábbiakat:. τ z b(s) elemi eredő mindig a keresztmetszet középvonalán működik.. Mivel az R o (s) és dr o vektorok vektoriális szorzata merőleges a két vektorra, a szorzat értéke pedig a két vektor által kifeszített parallelogramma területe fennáll az R o (s) e η (s)ds R o (s) dr o d o e z összefüggés, ahol d o a R o (s) és dr o e η (s)ds vektorok által kifeszített halványszürke háromszög területe. (3.3), (4.66) és (4.67) összefüggések, valamint a fentiek alapján írható, hogy M S M c e z R ρ z d R o (s) τ z b(s)ds R o (s) e η (s)τ ηz (s)b(s) ds L k } {{ } Q Q d o e z τ ηz (s)b(s) o e z, o ahol az o a keresztmetszet középvonala által határolt terület. z utóbbi képlet bekeretezett részeinek egyenlősége alapján τ ηz (s) M c b(s) o (4.68) a nyírófeszültség értéke. Vegyük észre, hogy a vékonyfalú cső csavarási feladata kapcsán levezetett (4.3) összefüggés a fenti képlet speciális esete. Valóban elemi lépésekkel, a (4.3) képlet helyettesítésével azt kapjuk a (4.3) összefüggésből, hogy τ ϕz M c R o k M c R o πbr o M c broπ M c τ ηz. b o }{{} o Legyen l a vizsgálat tárgyát képező cső hossza. Jelölje továbbá Φ l a cső végkeresztmetszetének a cső kezdeti keresztmetszetéhez viszonyított elfordulását az M c csavarónyomaték hatására. Tekintettel a (4.3) és (4.68) összefüggésekre u τ ηz M c G 4Gb (s) o (4.69) a fajlagos alakváltozási energia értéke. csőben felhalmozódó teljes alakváltozási energia a fajlagos alakváltozási energia integrálja a cső térfogatán: U u dv Mc V V 4Gb (s) }{{} dv M c o 4G o b (s) }{{} d dz Mc l l ddz b(s)ds }{{} G 4 o l z L k ds b(s) I c 4 o ds b(s) L k (4.70)

A szilárdságtan alapkísérletei I. Egyenes rúd húzása, zömök rúd nyomása

A szilárdságtan alapkísérletei I. Egyenes rúd húzása, zömök rúd nyomása 3. FEJEZET A szilárdságtan alapkísérletei I. Egyenes rúd húzása, zömök rúd nyomása 3.1. Az alapkísérletek célja Hétköznapi megfigyelés, hogy ugyanazon szilárd test alakváltozásainak mértéke függ a testet

Részletesebben

ÅÌ ¹ ÄÌ ÐÑ Ð Ø Þ Ì Ò Þ ÃÙØ Ø ÓÔÓÖØ Ì ÓÖØÙ ÓÑ ÒÝÓ ÑÙÒ Ø Ö Î Ñ Ö Ø ØÙ Ó Ú ÒØÙÑØ Ö ÐÑ Ð Ø Ò ÅÌ Ó ØÓÖ ÖØ Þ ÒÝ ØÚ ¾¼¼ º ÖÙ Ö ¾ Ã Þ Ò ØÒÝ ÐÚ Ò Ø ÀÓÖÚ ÞØÓ ØÓØØ Þ È ÐÐ Ä Þ ØÓÒ Þ Ò Ø ØÑÓÒ Ó Ñ Ò ÞÓ Ò Ò Ð Ð Þ ÑÙÒ

Részletesebben

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat)

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) SILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) Szilárdságtan Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A

Részletesebben

A.11. Nyomott rudak. A.11.1. Bevezetés

A.11. Nyomott rudak. A.11.1. Bevezetés A.. Nyomott rudak A... Bevezetés A nyomott szerkezeti elem fogalmat általában olyan szerkezeti elemek jelölésére használjuk, amelyekre csak tengelyirányú nyomóerő hat. Ez lehet speciális terhelésű oszlop,

Részletesebben

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése:

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése: Szabó László Szilárdságtan A követelménymodul megnevezése: Kőolaj- és vegyipari géprendszer üzemeltetője és vegyipari technikus feladatok A követelménymodul száma: 047-06 A tartalomelem azonosító száma

Részletesebben

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A VETÜLETEK ALAP- ÉS KÉPFELÜLETE Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A geodézia, a térinformatika és a térképészet a görbült földfelületen elhelyezkedő geometriai alakzatokat

Részletesebben

Ö ú Ö ü ű ú Á ĺ ú ű ú Í ń ü ĺ ü ĺ ĺ ĺ ú ü ü ü Ę ĺ ú ü ű ú ł ü ú ü ű ú ě ĺ ü ű ü ť ĺ ĺ Á ť ű ü ú Ö ü ű ú ĺ Ô Í ÔÔÔ ĺ Ö ĺ ü ü ą Ę ű Í ű Íý ű ĺ Í ú ĺ ű ú ű ú ű ü ú Ö ü ł ĺĺ ĺ ú Ö ű Í ú Ö ü ĺ ú Ö ĺ ú ű ü ű

Részletesebben

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

Feszített vasbeton gerendatartó tervezése költségoptimumra

Feszített vasbeton gerendatartó tervezése költségoptimumra newton Dr. Szalai Kálmán "Vasbetonelmélet" c. tárgya keretében elhangzott előadások alapján k 1000 km k m meter m Ft 1 1 1000 Feszített vasbeton gerendatartó tervezése költségoptimumra deg A következőkben

Részletesebben

ó ö Ć žłä Ł ő Ĺ í ó ő ó ű ö ő ö ö ó Ĺ ó ö Ĺ ó ö ő ö í ü ö ö í Ĺ Ĺ ö í í í ó Ĺ ő Ĺ ó Ĺ ö ő ó Ĺ ó ő ő í ö ó ó í Ĺ ő Ĺ úö ó ó ő Ĺ ö ó ó ü ő ő í ő Ĺ Ĺ í ó ő Ĺ ő Í ę Đ ď Đ ŕ ü ő ő í ő í ł ő ő ö ó ó ö ő ő ű

Részletesebben

ő Ĺ ó ő ő ő ő ź ź ő Ő É ő Ĺ ź ő ő źů ó ó ź ü ö ó ő ú ú ő ő ö ó ź ú ó ö źú ö ö ü ź ő ö ö ú ü ö ö ü ö ö ö ő ó ü źů ú ź ý Ąź ö ü ó đ ź ő ó ü ó ő ź ű ü ő ó ó ó ő ó ó ź ü ü ó Ö ź ő ú ú ő ó ő ó ó ő ź ö ő ő ó

Részletesebben

ő ü ó Ö ő ź ü ő ő ő Á ł ü ó ü Á ő Ĺ í ó ó ń ű ő ő í ő ő ó í ó ó ó ö ü ö ó ö ü í ő í ő ű ź ó í ő ű ö ő ź ó í ź ó ó ó ö ó í ő ó ö ó í ő ö ö ź Á ó í ó ó Á ő ü ü ő ú ź ź ö ő ü ü ő í ź ü ő ź í ü ý ü ó Ö ź ö

Részletesebben

ő ő ź ü ő ő ü ő ö í ő ő Á ő í ź ő í ö ü í ő ü ő í Ü ö ö ö ú ő í ö ű ö ő ő í ő ź Ĺ ź ä ź ő ź í ź í ő Ĺ ű ö í ő ö ź í ő Í ź ű ź ź ź í ź ő ö ź ź ő ź í ü ö ő í ź ű ý ő ö í ö ö í í ő í ö ö ź ö ü ź Í ú í ő ý

Részletesebben

ú ľ ľ ú ő ľ ú ő ü ü ö ľ í ľ Á í ź Ü í ź ő Í Á Í ľ ö Í ö ö ö í ü í ö ü í ł ö ú ű ö ö ő ö ö ő í ö ö ľ í íü ľ ö ő ľ ő ź ö í í ćí ü ő Í í ö í í ľ ľ í ö ö Íő ő í Ę ćí ő ö ú í ľ ő ö ľ ö ő ő ö ľ ľ í ú Ö ć őł

Részletesebben

ą Ö Ú ó ő É ą Ĺ Ą Ň Í ô ű ű Á ú ö ú ú ö ú ú ű úá ó ä Ö ű ö ú ü Ö úá Í ź úá úá Í ó ö ą ö ó ó óż Í ó ó ö ó ó ó Ö ó ö Ö ó ó ť ó ő Ö ó ó ę Ö ó ó Ó Ľ Í ŕ ű ö Ü ö ź Ý ó Ö ö ź Ö ö Í ö ô ő ó ó Ą Í ó Í ő Í ó ę

Részletesebben

ő ľ ľ ó ľ ü Ĺ ľ Ĺ ő ľ ő ó ť ö ľ ľ Üľ ľ ó í ó ő ő ő ö Í ó ó í ľ ľ ľ ü ú ö ü ę ü ľ ú ľü ű ö ó ľ ő üľę ó ő ľ ú ű ú ó ő ú őđő ö ú í ü ú ő ö ó ö ö đő ö í ő ő ć ľ ő ľ ő ó í ű ź í ź ü ö ó ó ó ź ő ö ó ó ľ ű ö

Részletesebben

ő ü ó ő ő Ü ź ő ü ü ü í ő ő ńź ó í ő ü Í ü ú ő ő ü ó ő ę ź Ö ő ü ź ź ó ź ő ó ó ź ę ü Ü ő í ö Ĺ ő ő ö ü ö ę Ĺ ź ü Ĺ đí ö ö ő Ĺ ö í ü ó ö Ĺ ź ő ź ő ö ő í ő í ź ź ó í ó ę Ü í ź í ö ü ő ő ę ö Ĺ ę ź ö ü Ĺ ö

Részletesebben

í ó Á ú ő í ü ü ö ő í ü í ő í ő ö ö ö Ü ö Á ó ú ü ö ÍÍ ó Ö ľ ľ Ü ô É ó ľ ó ľ ó ô ö ü ű ÍÖ ó ťéŕ ŕ Í ł ő ľ Í ľ ô ź í łź ź ź ą ő í ó ó ö ź ľ Ą ą Ż ó ł ľ ľö ő ŕ ľ ľ ľ ł ľ ä ř ť ť ł ľ ń ł ľ ľ ľ ľĺ ł ł ł ľ

Részletesebben

Ĺ ó ó í ľ í ľ í őí í í ľ ü ź ő í í ť ö ü Ü í ź ő ö ö ľü ő ľ ľ ö Ĺĺ í ő í źą ľ ö ý ľ í ľ ĺ ó ľ ő đ ĺ őíľ đí í í ű í í ĺ í őíľ ť ó ź í í ľ ľ ő ő ö őíľ ú í ďí őíľ Í í í Ł í í ü ö ő ę ő ö ő ó ľ í őí ö ő ĺ

Részletesebben

ľ Ĺ íľ ü łí łż ü ł É ü ú ü ź ü ź í ü í ü ľ ü í ľ í ü ď ý ú ľ ľ í ü ű ý ľĺ ú í ü í ź í ü ú í ű ú í ü í ú í ü ś í ľ ü í ü ľ ű ľ ľ í ď ü ź ź ľ ű ľ ű í í ľ ź í í ľĺ í ű Á ľ í ľ í Ä ľ í ź ľ ľü ü í í ľ ľ í ź

Részletesebben

ú Ą ő ú ą ę ł ą ł ą ą ú ő ü ú ü ř ű ú ö ł ú ú ú ö ú ú ő Í ő ú Í ć ö ú ű ű ü ő ő ö ű ú ú ú ú ú ő ý Á Ó ć ő ú Ę ú ö ę ő Í Í ö ę ö ú ú ö ő ú ú ő ć ú ő Í ő Í ő ć ú ö Í ü úö ü ő ú Í ú ö ć ő ć ć ü ö ö ę ú Í

Részletesebben

ő ü ó ő ő ő ľ ü ź ľ łť ü ľ ľ Ą ĺ Á ľ Í ű ľ ő ĺ ľ ľ í ő ľ ő í ó ó ó ö ü ĺ ö ĺ í ó ö ü í ó ő ľ ĺ ĺ ĺ ő ź ű ź ľ ó í ő ü ĺí ö ő ź ź ó í ź ó ľ ó ľ ó ö ó í ő ó ö ľ ó í ő ö ö ö Á ó í ĺ ő ő źů ź ĺ ü Ĺ ó ö ź ľő

Részletesebben

ľ ł ő ő ľ ő Ĺ ő ł ú í í ü ľ ů đ ő í Ĺ É Í ľ É Á ľ ľé É É Íľ Ü ľá É Í ľ É Í É Ü É ł ł Á ą ľ ü ł ľ É Á ł Á Á ÉľÉ ľ É Á ľ ń ő ľ Ĺ ő ő ä źú ľ ő ü ľ Í ľ ľ ź ő Ĺ ő Í ź ö í É ü Ĺ ö ö ő źůü ö ő ú ö ö í ľü É í

Részletesebben

ő Ĺ ő ő ő ö ü ú Ü ő ő ő ö ő ü ö ö ü ö ń ú ü ű ö ö ő ű ü ő ő ý ő Á ü ő ö ú Ĺ ú ö ö ö ő ő ü Í ő ő ö ő ő ő ö ű ő ú ö ý ú ź ü ú ö ö ő ö ą ő ú ü ź ő ő ö ö ő ő ö ö ö ö ö ö ü ő ö ő ö ú ú ő Í ő Ö ź ź ő ő ő ö ö

Részletesebben

ú ł ŻŻ ő ú ő ú ó ó ó ź Í Ż Ż ö ö ő Á ő ő ó ü ó ó ő ú ú ó ó ó ó ö Ĺ ö ó ó ö Ĺ ő ú ó ó ő Ĺ Í Ĺ ő ö Í ő ó ó ť ó ó Ĺ ő ö ő ő Ĺ ę Ĺ ő ő ű ő Ĺ ő ó ó ú Ż ö Ĺ ö ő ő ú Í ú ő ę ő ą łł ó ő ú ź ú ó ó ó ó ó ú ő ú ő

Részletesebben

ú Ö ĺ ú ú ĺ ü ĺ Í ĺ ű ĺ ł ĺ ö Í úö í ź ö ź ź ö đ Ĺ ö ź ű űí ź íł í ź ü ö ú í íł ź í ĺł Í ú í í í ú í í ü ú ö ú Ĺ Í ł í ź Ĺ ł ĺ ĺ ú ö íí ź í ź Ę ź ź Ĺ ź í ź Ĺ Ő íł í ö ú í ú í Ĺ ĺź ö ö ź ĺ đö ú ö ö ú í

Részletesebben

ô ő ü ó ő ü Ĺ É ľ ĺĺ ú ü ľ ĺ ľ ő ľ ő í ľ ú ľ í ľ ő ő ő í ő ü ľ ö Íö ü í ó ő ö í í ó ő ĺ ü ü ľ ö ö Ĺ ľ ż ö ú í ó ö ó ó ö í ĺ ü ľ ő ó ľ Í ľ ę ó ö í ľ ó í ó ő ö ő ú í ő ľ ó í É ő ü ó Á ü ö ő ó ó ö ĺľ ľ ź

Részletesebben

ĄĄ ő ó ź ő ü ő ő ő ő í ó ő ó Ő ő ú ü ó Í ó ő ó ó ő ő ő í ó ü ó ó ö í íź ő ó í ó ü ń ő ó ő ü ź ź ő ú ő í ó í ö ó ó Í ö ő ő ő ü ű ó ő í ó ő ő ź ő ó ö ü ó ű ő í ü ó ö í ő ú ő ü ö ö ü ű ö ó í ó í ó ö ö ó ó

Részletesebben

ü Ö ę ę ó Í ö ą ö ü ę ę ö ę ę ę ę Ö É Ĺ ó ö Ü ę ę ź ó ö Ó ó ó ó Íł ö ó ö ó ó Ú ö ö ö ö ę ę ę ę ę ę ö ť ö ę ü ó ü ö ę ü ę ö ó ö ó ę ó ó Ż ö ó ó ó ó ę ę ę ó ö Ĺ ę Ĺ ę ę ę ó ó ó ó ö Í ö ö ó ó ó ť ö ę ö ó

Részletesebben

ú ú Ż ę ęĺ ą ł ő ú Ö ő ü ü ö ó ö ź ő ö ő ó ó ö Á ó ó í ö í ö ó ó ő í ö ü ö ö ü ö ö ú ő Ĺ ö ó í ö ú í ü ö ü ö ó ó ő Ą ö ő í ó ó ü ó ő Ź ö í Í ő í í ö ű ö őł ü í ö ö ő ó ő ő ó ö ö ö ö ő ü ö í í ű ó ó í í

Részletesebben

Ö ü ú Ö ő ü ĺ ó ĺ ö ő ü ő ü ę ę ö ĺ ź í ó Ĺ ĺ ő ü í ó ó ó ó Ó ő ĺ ő ó ó ö ó őłę ĺ ü ő ú í ú ó ü ö ö ő ü ő í ü ü ö ó ę ő ö ę í ő ę Ę ü ő í ő ö í ĺ ú ő ü ú ő ö ĺ ő Ó Ö ł ő üĺ ó ą Á ó ó ó ó ó ą ó ę ü ó í

Részletesebben

ó ľ ü Ť ľ ü ü ú ľ ľ ó ľ ľ ö ľ ľó ü í ű É ĺľ É ĺ É É É ĺ ĺ ł É Í ó ľ Á ĺé ĺ Á É Ü É ĺ É Á ĺ Ł ĺ ľ É ĺ Á ł Ú ĺ ľ ľ ľ Í ź ü ý ü ľ ĺ ľ ĺ ö ö ľ ü ó Ö ü ű ö ö ü ö ö ľ ľ í ó ó ó ü ó ö ľ ĺ ź ź Í öľ ö ó ó ľ ó Ú

Részletesebben

ľ Á ľ Áľ É Ü üĺ ĺí ĺ É Á í Á ű ł Ü ż Ý ĺ Ü ĺ ł ĺ í Á É É ĺ ĺĺ Ő É Á É ĺé É ÍľÉ Ü Í ą Á ĺ ĺ Á É Ü ĺ É Ü ľá ą Áĺ Á É ĺ Í Éĺ Ü ĺ É É Ü Ü ľ ą ĺ É ĺ ĺ Ü ĺ ĺ ł ĺĺľľ Éĺĺ É ĺ Ü Ü Á ĺ Í Ü ą Á ą ĺ ą ĺ Á Á ľá Ü ľá

Részletesebben

Ą Ü ĺ Á ĺ Á ĺáĺé é ó ĺĺ ýĺ é ő ý ö é ó ý ö ĺ ö ö ü é é ö é é ź ó é é ź ý ö ö é é í é é ó ő ö é é ö é ö é ő é ő ö ö é ó ó ö é ú í é í é ő ű ö é é é é ö Ĺ í ź é ĺ é ź ű ő é é é ö ö ó í í é ö é ú í ő źú ý

Részletesebben

ú ľ ľ ú Ż ŻŻ Í Ó ú Ö ľ ő ü ú óľ ö ő ü ĺ í ĺż Á ü ĺ ľ ü ľ ĺ ó ö ö őĺ ó ő ő ó ö ö ő ľ ú Ö ő ü ű ö ő ő ó ö ó í ĺő ő Ü ĺ Ü í öĺ ĺĺ ľ ľó ó ó ú ö ľ ó í ľ ť ő ľ ü ő ó ń ó ó í ő ľ í ó ü ő ű ő ú ź ü ĺź ĺ ĺź ő ľ

Részletesebben

ľ ľ ľ ü ó ľ ľ śśľ ľ ů ĺ ľ ĺ í ź ü ĺľ ľ ť ĺ ĺ Í ü É Íľ É ľé ľó ĺá Á ľłľá Ü ľ ł É Í ľ Ü ĺ É ľĺá ą ł ł É Ü É ĺ É ł Á ł ľ ľ ľé ź źú ü ľ ü ľó ó ó ĺ ľ ü ü ľü ü ö ó ö ö ę üö ź ľ Í ö ó ľ ú ö ĺ í ö ľ í ľ ľ ľ í

Részletesebben

Ĺ ö ö Ą ű ö ü ő ő Ü ö ü ű Ĺ ú ő ő Ü ö ö ő ú đ ü ŕ ü ö ö ú ö ű ö ő ź ľ É ő ű ö ö ú ú É ľ ú ö ö đ ő ő ľ ö ö ő ö ű ü ö ö ő ú ú ű ö ő ö ýű ö ú ö ö ü ä Ą ő ű ö ő ő ő ő ř ť Ĺ ő ű ö ö ź ő ú ű ő ö ő ö ő ő Ĺ ö

Részletesebben

ę ĺ ł ď ő Í Ý ö ľ Í É Ú ą É Á Á ĺ ĺĺľ í Á Á ł ĺ ĺĺ ĺ ĺ ľ Ú Á É Á ĺ ł ó Ó Á ĺ ĺłáľ Á ÍĺÉ Á Á Ą ĺ ĺľé ł É Á É Á É É ĺ ĺ ł ľĺ ó ó Á É É ĺľ Éľ ĺ ĺ ń Á É É łú ÁĺÉ Ą É ĺ Á ł É ó Á É Á ł í É Á ĺ É Ü Á Á É í í

Részletesebben

ľ Ąš ĺ í ú Ö ĺ őł ü ĺ ľ ĺ ĺ ó ĺ ť ľ ł ő ćł ľő Ä ľ ĺ ľ ľ ö ľ ő ő ę ę íľ ó ő ó ő ő ő ü í ő ľ Ó ő ó ť ľ ó ő ő ü ü ő ú ťę ę ó ő ö ő ő ö ö ő ü ő ő ő Á í ü ö ő ü ó ó ü ó ő ö ę í ő ü ő ő ö í ő Ö ő ĺ ú ő ö í ő

Részletesebben

ó ľ ľ ü ľ ü ü ľ ľ ľ ó ľ ľ íĺ ü ľ ĺĺ ć ĺ ľ ö ľ ĺ ű ľ ĺ ĺ ľ ľ í ü ĺí ö É Íľ É É É É É Í ľ Ü É ó É Ü É É ľ Á ąĺ ł ľľ Ą ĺ É ľĺĺ ł ł Á Ű ĺ ŕ Ú ľ ü ĺ ź ź ü ý źů ĺ źú ĺ ü ű ö ź ó ó ó ź ö ó ü ó ľ íľ Ę ű ü ĺ ó

Részletesebben

í ö ľ Á ł Í Á ř řľ Ĺ ľ ö ú Í Á Á Á Á Á Á ł ĺ đ Í ö Í í í í í í í Í ú Í ö Ö ľ ö ú Í ę í í É í É Ĺ ö ö ö ö Ę í ľ É Ĺ ö ú ę í ľ ľ ĺ ĺ ú ĺ Í ĺ ö Ę ö ú í í ĺ ĺ ĺ Í í ą ĺ ú í ö í Í ĺ ö ö í í ú í ú í ú í đ Í

Részletesebben

TENZORSZÁMÍTÁS INDEXES JELÖLÉSMÓDBAN

TENZORSZÁMÍTÁS INDEXES JELÖLÉSMÓDBAN Kozák Imre Szeidl György TENZORSZÁMÍTÁS INDEXES JELÖLÉSMÓDBAN Második, bővített kiadás MISKOLC 2013 Kozák Imre Szeidl György TENZORSZÁMÍTÁS INDEXES JELÖLÉSMÓDBAN Második, bővített kiadás MISKOLC 2013

Részletesebben

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. Csavarvonal, csavarfelületek. Összeállította: Dr. Geiger János. Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. Csavarvonal, csavarfelületek. Összeállította: Dr. Geiger János. Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA Csavarvonal, csavarfelületek Összeállította: Dr. Geiger János Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM 2014 TARTALOM 1. A munkafüzet célja, területei, elsajátítható kompetenciák...

Részletesebben

Csavarkötés mérése ), (5) μ m a menetes kapcsolat súrlódási tényezője, β a menet élszöge. 1. Elméleti alapok

Csavarkötés mérése ), (5) μ m a menetes kapcsolat súrlódási tényezője, β a menet élszöge. 1. Elméleti alapok GEGE-AGG labormérések Csavarkötés mérése. Elméleti alapok Csavarkötéseknél az összekapcsolt alkatrészek terhelés alatti elmozdulásának megakadályozása céljából előfeszítést kell alkalmazni, amelynek nagyságát

Részletesebben

ELŐFESZÍTETT VASBETON TARTÓ TERVEZÉSE AZ EUROCODE SZERINT

ELŐFESZÍTETT VASBETON TARTÓ TERVEZÉSE AZ EUROCODE SZERINT BUDAPEST MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építőmérnöki Kar Hidak és Szerkezetek Tanszéke ELŐFESZÍTETT VASBETON TARTÓ TERVEZÉSE AZ EUROCODE SZERINT Segédlet v1.14 Összeállította: Koris Kálmán Budapest,

Részletesebben

ł Ą ł ľ ö ú ľ ö ö ú ö Á ń ö ć Á Á ö ö É ö É É É Ö Ö ö ö Á Ö Ö Ő É É Ó É É É É É É ľ ö Á Ö É Ú Á Ú É Ü Á Ú Ö É Á ľł Á Ě ń łéľ ľ ü ä ř ä ł đ ŹŹ š äł đ ź ä Ą Ü ú ľ ö ö ô ü ö ú ý ąđ ą ź ńńŕ Ú ü ćń ö ú ď ż

Részletesebben

ő ľ ó ľ ľ ľ ą ł í ő ó ľ Ĺ ó łľł í ć ź ó í ó í ó ę ó Í ľď ö ú ó ő ő ę ę É ó í ó ľ ő ľ ö ö üí ö í Ť ąŕ Ł ź ľ ő ľť Ĺ ő í ó í ó í ó ź ý ó ö í ü ó ą ő ľ ó ľ Ô ľ ľü ę ľ í ů ź ó í ó ő ź ő ó í ő ő ľ üí ü ľ í ó

Részletesebben

ę ľ Ł ľ ľ ľ ä žř ä ü ä ú ľ ü ń Á Á Ö Ö É Ü Ö Ö É É É É Ö Ö Á É Ö É É É Ó Ö Ö É É É É É É Á Ö É Ú Á Ú Ö É Ö Á Ú Ö É ľ Á Á ľ ľ ď Ę ä ľ ľ É Éľ Ł ä Ń ŕ ż ü Ú ř Ę ÉÝ Ż ľ Ü Ö Ú É Ü ô ą ť ô ú ú ô ô ÖŻÖ ń ľ ä

Részletesebben

í ő ö đ ő ü Ü ő í í ö í ľľ Ü ö ö í í ő í É í ö ő Ĺ É í ü í í ő ú ő ő ö ő ő ő í í ü ő ő ő ú ő ő ő ő ü ő í ő ő ő ü ő ú ű Ü ö í ő ö ő Ĺ ű ö Ĺ í Ü ö ö ő í í ő ö ö ő ż í ő í ö í ű í Ü Ü Ü ü ő í Ü Ü ő Ü í í

Részletesebben

ú ő ü ö ú ő ź ź ő ő ö ö ö ź ö ö ú ő ő ú ö ö ő ö ö ö ö őö ö ö ť Đ Đ ö ö ú ź ź ű ö őö ú ő ö ö őö ö őö ú ú ö őö ú őö őö ú ę ú ő ö ö ű ö ű ö ö ö ő ź ű ő ź ę ź őö ú őö őö ú ú ö ü ő ú ú ź ź ő ő ź ü ź ő ź ö ú

Részletesebben

ACÉLÍVES (TH) ÜREGBIZTOSÍTÁS

ACÉLÍVES (TH) ÜREGBIZTOSÍTÁS Miskolci Egyetem Bányászati és Geotechnikai Intézet Bányászati és Geotechnikai Intézeti Tanszék ACÉLÍVES (TH) ÜREGBIZTOSÍTÁS Oktatási segédlet Szerző: Dr. Somosvári Zsolt DSc professzor emeritus Szerkesztette:

Részletesebben

ő ľü ľ ľ ľ ő ü ľ Ü Ü Ő ľ ü ľ ö ľü íľ ő ő ő í ü ö Í ü É ľ Í ö ľ ú ő ő ü ö ü ź ź ü Ü ź ő ü í ö ü ő ő ö ľ ö ü ö í í í ľ Á ő ľ ý ľ ľú ź í ź í ľ í Ü Ü ź í ü ö ü ő ő ö ü ö ü ö źú ö ü ö ľ ü ý ő ő ű ö í ü ö í

Részletesebben

ő ó ő Ĺ ü ő ő ó ö ü ü ü Ő ő ő ó ó ő ę ü ö ö ü ü ő ó Ö ź ź ú Ę ä ö ó ő ő ü ő ű ó ő ź ő ó ö ö ű ő ó ö ź Ĺ ú ó ü ű ö ó Í ó ü ü ő ö ő ó ő ó ő ü ü ő ű ö Ĺ ő Ĺ ö ú ú ő ó ö ó ö ő ö ü ő ó Ĺ ó ő ő ö ő Á ő ź ő ö

Részletesebben

ó ő ü ő ő ő ü ő ó ő ó ó ę ó É Í É É Í Ĺ í É É É Á ę Ö É É É É Á Í ó ü ü Í äý ź ő ń ő ü ź ü ó ź ő ú ó í ő ő ý ő ď ó ö ó ö ö ó ő ü ü ü ö ő ö ö ő ź í ö ö ő í ü ő ę ü ő ő ó ó ó ó í ü É ó ő ó ź ő ö ö ő ó đü

Részletesebben

í Ó Ó Ó í í Ĺ ť ł ł ď ł ł ő Ó ö Ó ł ą Ĺ łí ł ő ő É Éą Ü Ü ď Ü Ü í í Ü í íü Ĺ Í Ü Ą Ó Ą í Ĺ Đ Đ ł ä Ą Ú ł Ą í Ĺ í í Ô Ą ä í É ő Ó ŕ Ĺ ő Ó í ô ô Í ä Ó íť Ó Ó ô É ł É Ż ő ŕ Ü ö Ü Ü É ą Ó Ě ą Ĺ í É Ü ö ú í

Részletesebben

ü ő ĺ ő ú ĺ Í Ó Ż ú ő ü ő ĺ ĺ ĺ Đ ő ĺł íĺ ú ł í í ü ő ĺ ĺ ő ő Í ő ĺ ł ő ő óó ő ő ü ő ő ő Í ő ő ó ó ő ő ó ú ü ö ő í ú ő ő ú ú ź ö ő ő ó ő ó Á ź í ő ü ĺ ó í ö ó ö ő ő ú ű ő ö ö ú ö Ö ĺ ő ź ź ő ó ĺ ú ú ő

Részletesebben

ĺ ł ę ł łĺ ĺ ĺ ú ő ö ľő ľó ű ó É Ü Á ő ľ ľ ő ľ ú ő ľ í ľ ő ö ĺ ó ő ĺ ő ĺő ú őľ ő ő ü ö ő ó ó ö ć ź ľ ű ť ö ő ű ö ú ú í ö ö ő ĺí ö łí Í í ó ĺő ó ő í ľő ő üľ ľő ó í ö ľő ĺ ó í ó ľ ö ĺ ő ĺ ĺí ő ő ü ö ĺĺ ń

Részletesebben

ú ő ü Ü ő ú ú ő ü Ü ĺ ĺ Í ő ő ą ĺ ú ĺí í í ĺ ĺ ő ĺ ő ő ĺ ö Í őí ó ů ł ĺů ő ő ĺ ĺ ő ő ö ő ź ő ő ő ü ĺĺ í ő ő ĺ ő ő ő ö ő ĺí ĺ ő ĺő ő Í ĺ ő ő ö ĺ ĺí ő ő ź í ĺ ó ő ő ź ő ő í ĺ ő ő ĺ í ú ź ź ĺí ő ö ö ó ő í

Részletesebben

ő ü ó ľ ő ü ľ ü ľ ü ĺ ĺ ľ ü ľ ą Ť ľ ľ ő ő ľ ú í ľ ĺ ö ű ľő ľ ľ ľ í ľ ő í ó ő ľ ľ ö ü í ő ö ĺ ľ ĺ ľ ľ ľ ő ő ő ó ú ú ó ó ó ő ő ő ű ő ü ľ ó ő ő ö ő í ľ ľ ő ő ú í ő źů ü ľ ľ ó ó ő ü ó ľ ö ľ ę źů ľ ĺ ő ó í

Részletesebben

ő ü ó ő ü Í ő ő É ü í ő ő ó ę ő í ü ĺ í ź ő ö ö Í ĺ ź ź ź ź ĺ í źĺ í ö ö í Ą í ú őđ ö ő ö ö ö ö ő í Ĺ ő ú ĺ ó ó ď ő í ő ź í ú ó ó í í ó ó ź đ ź í í ú ő ď ź ó í ő ö ú ł ű ó ő í ĺ ĺ ż Ż í í ź đ ő ź ő ő ő

Részletesebben

ó ľ ľ ő ü ő ő ő ü ő ú ľí ő Í í ü ĺĺ ö ő í ö ó É Í É ó ľ Á Ü Ü É Í ľ Á ł źż ĺ É Ü É ĺ ľ ľ ł ł É ľ ľ ü ĺ ĺ í ź ź ĺ ď ő ü ő ő ü í ľ ó ö ó ľ ź í ő ő ő ó ĺ ő ő ĺ ü ő í ö ő ö ő ö ö ü ľ ő ö í ę ó ő źúź ź ŕ ö

Részletesebben

Tevékenység: Gyűjtse ki és tanulja meg a kötőcsavarok szilárdsági tulajdonságainak jelölési módját!

Tevékenység: Gyűjtse ki és tanulja meg a kötőcsavarok szilárdsági tulajdonságainak jelölési módját! Csavarkötés egy külső ( orsó ) és egy belső ( anya ) csavarmenet kapcsolódását jelenti. A következő képek a motor forgattyúsházában a főcsapágycsavarokat és a hajtókarcsavarokat mutatják. 1. Kötőcsavarok

Részletesebben

ŕ ü ó ü ő ľ ľ ő ĺ ľ Ł ľ ľ ä ů ú Í ľ ó ľ ľ ľ ľ ö ľä í ú ő ľ ő ł äľ í řä Ą ľ í í óĺ ő í ő í ý ď ůú ĺ ĺ ĺ í ó í í ź ő řääĺ ľ ü ő ő ü ź í ĺ ó ř ĺ ä ł ĺ ĺ ää ö ä ŕ ö ä ä Ť ť äľ ří ľä ľ ĺ Ä í ő ü Ť ľĺľ ĺ ű ĺ

Részletesebben

ĺ ľ É ĺ ö ľ ę ľ ĺ É Č ľ ł ĺ Ö Ö ö ö Ö Ü ĺ ľé ö ĺ ľ ö Í Ó Ó Ę Ú ľ ö ľ ö ĺ ł Í ĺ ĺĺ Ą ľ ĺĺłĺ Ą ö ĺ Ĺ Ü Íö Ü ĺ ö ł ö ű ö Ü ö Ü ö ń ĺ ö Ó Ą ą Í ń ö ö ű ö Ü ł Ö Ö ö Í ÓÜ Í Í Ö ĺ ń Í ĺ ł Ó Ü ö ö Ü ö Ú ĺ ö ű

Részletesebben

Példa az elhangzó beszéd IPA szerinti fonetikus lejegyzésére

Példa az elhangzó beszéd IPA szerinti fonetikus lejegyzésére Fonetikus írás Az emberi nyelv tagolt hangnyelv. Ez azt jelenti, hogy a beszédünk hangfolyamát szünetek szakítják meg, jelenti továbbá, hogy a beszéd folyamatában eltérő hangzású diszkrét egységek ismerhetők

Részletesebben

ő Ĺ ę ü ľ ő ü ő ő ĺ ü ü Í ľő ĺľ ő ő ľ ĺ ő í ĺ ľ ü ő đ ü ö ő ľ ľ ő ź ź ö ö ľľ ö ű őđ đ ĺ ü ľ ĺ ĺ őđ đ ę ĺ ő í ü íľ đ ľ ú ő ľ ü í ö ű ő í ľ ü źĺ ę í ü ę í í ű ő ő ő í ď ő í ę í í ű ö ź ź ľ í í í ę ü ę ľ

Részletesebben

Á ĺó Á Á Ü ő í Ü Á í ĺ ő ü ó ó í Ü ĺ í ű ö ő ü ó í ő í Ü í ő í í í ő í Ű ö ó ü ů ó ő ź í Ĺĺ ö Ĺ ü ő í ĺ üĺ ö í ĺí ü ő í ő ő ő í ĺü ĺ ó ö ő ő ő ő ő ő Íő ő ő ó ö ó í ĺ ź ő ö ĺ ó ö í ö í ó ő ü í ö ĺő ü í

Részletesebben

ą ó ľ ő ü ź ź ő ő ő ő ü ü ő ľ ľ ľ ó ľ ľ ý ü ĺ đ É Íľ ľ É ĺ É Íľ ľ Ó É Ü É É Á ý ú Á Í ĺ ą Ö É É É Ü ľ ĺ ó ü ĺ źĺ í ĺ ő ź ő ü ó ĺ ü ľ öľ ľ ľ ľ ó ź ő ź ő ô ľ ő ö ó ť ý í ó ľ ő öľ ő ő ő ö ő ó ľ ő ą ó ĺ ü

Részletesebben

ú ö ü ü ö ű í ű ö ü ű íĺ ĺ ö ö í ű ö ł ü ö ĺ ú ö ĺ ö ü ü ö ü ĺ ö íĺ ĺ ö ĺĺ ĺ ú ú ü ö ü ö ű ö ö ö ú ö ü ö íĺ ö ö ú ű ö ö ö ü ö ö í ö ö ö í ö ę í ö ö ĺí í ö ö í Í Áĺ í ĺ ĺí í ĺ í í ę đ ę ů đ í ę ů Í đ í

Részletesebben

A.15. Oldalirányban nem megtámasztott gerendák

A.15. Oldalirányban nem megtámasztott gerendák A.15. Oldalirányban nem megtámasztott gerendák A.15.1. Bevezetés Amikor egy karcsú szerkezeti elemet a nagyobb merevségű síkjában terhelünk, mindig fennáll annak lehetősége, hogy egy hajlékonyabb síkban

Részletesebben

é ü ü ź é é ó ü é é ź é é ó é ö ó í ĺ í é é é ĺ ö ó í ł é ü é é é Ĺ ó Ü é é Ü é ĺí ó đ ó ó ĺ ó Ü ó é é Ü Ü é í é é é é ť ó ď ö ü ü Ü ź ó é ó é ö é é ó ö ö é ö í ó í ĺ Í Á é ó é í ó ĺí ö ź ó ó ó ĺ é é üö

Részletesebben

ö ö ö ŕ ö Ź ű ö ú ŕ ö ö ô ű ö ú ü ú ö ű ö ô ű ö ú ů ü ô ö Ż ŕ ú ö ö ö ô ú ö ú ü ö ö ö ö ű ö ú ń ú ô ú ń ö ö ö ö ö ŕ ń ö ś ö ô ö ű ö ś ú ô ö ô ö ű ö ú ú ö ö ú Ć ś Ś ś ű ö ö ö ö ö ú ú ô ô ö ńů ö ú Ź ô ö

Részletesebben

Ł Ö ł ä 19/190 Ó É É ń ô ú Ś ú Ü Ö Ö ć ú łö ú ć Öł ü ú ú ć ú ä úä ú ú Ź ł ű Ö ú ć łö Ö łö ú łö đ ń ú Ö ś Ö ż Ö ć ź Ś Ę Ö ę ú Ť ć ć ô ż Ś Ö ł ę Ś Óż ü ć ä đ ł ä Ö Ö Ö ú ľ Ö ę ć Ú ż ü ř ń ć ú ü řő Ö ń ú

Részletesebben

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika 2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A

Részletesebben

Szilárdságtan. Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR

Szilárdságtan. Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Miskolci Egetem GÉÉMÉRNÖKI É INORMTIKI KR ilárságtan (Oktatási segélet a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc leveleős hallgatói résére) Késítette: Nánori riges, irbik ánor Miskolc, 2008. Een kéirat a Gépésmérnöki

Részletesebben

ő í ö ű ő ľ ő ö ö ź ő ĺ ó ľ ľ í ĺ ľ ĺ ľ ű ü ö ĺ ö ö ú ö ó í ľ ő ľ ĺ í ż í ü ü í í í ę ę ú ö ó ľ ö ö ľ ť ľ ź đ ĺ ü ĺí Ą ü ö đĺ ź ě ľ í ľ ĺ ó ĺ ó ó ő ő

ő í ö ű ő ľ ő ö ö ź ő ĺ ó ľ ľ í ĺ ľ ĺ ľ ű ü ö ĺ ö ö ú ö ó í ľ ő ľ ĺ í ż í ü ü í í í ę ę ú ö ó ľ ö ö ľ ť ľ ź đ ĺ ü ĺí Ą ü ö đĺ ź ě ľ í ľ ĺ ó ĺ ó ó ő ő ő ü ó ľ ü ő ó ö ä É ľ ü ľ ľ ó ľ Ę Ĺ ĺ ő ľ ĺő ó ő í ő ő ü í ĺ ľ ľ ä ő í ó ö ľ ú ĺ ó Ü ĺ ú ó í ó ľ ö ú ĺ ó ĺ ö ö ľ ó ó í ő ľ Í ę Ĺ ő í ő ľ ó ó ü ľ ö ĺ ö ö ő ą ó ö ő ĺľ ĺ ę ő ä ä í ľ ö ľ ő ő ĺ ź ö ź ź ó ő

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

ł ł Ą Ą ł Ą ł ú ľ Ö ľ ő ľ ö ő ü ő ö ő ú ö ó ľ ő ő ő ó ó ú ľ Ö ő ü ľ ľ ö ö ö ö ľő ó ó ö ö ü ő ő Ĺ ó ö ö ú ó ő ü ö Ű ö ő ü ő ó ó ö Ť ľ Ĺ ö Ĺ ó ű ľ ľ ő ö ö ű ö Ĺ ö ö ő ü ö ń ő ľ ľ ö ý ť ö ó ó ó ű ő Ĺ ü ľ

Részletesebben

ö ú ú ó í đ Ĺ ü ľ ö ő ź ľ ó í ő Ä ű ó ä ű ľ ó ő ő É Ö í ő ö ľ ó ű ľ ó ő ó ü í öľ É ü ü ö í ő ú í ó ö ó ü ő ő ö ú í ü ó ó í í ú ü ú í ó ö ő ő í ő ü ó ü

ö ú ú ó í đ Ĺ ü ľ ö ő ź ľ ó í ő Ä ű ó ä ű ľ ó ő ő É Ö í ő ö ľ ó ű ľ ó ő ó ü í öľ É ü ü ö í ő ú í ó ö ó ü ő ő ö ú í ü ó ó í í ú ü ú í ó ö ő ő í ő ü ó ü ď ä ó ľ ľ ő ü ő ő ľ ľ ő ő ü ő ú ő ľ ó ó í ó ú ő ľ ű íľ ľé ő ł ľ ö ü ľ ü ö í Ę É Í É É ľ É Í ľ Áľ É Ü É ľ Éľ ł Ł ą ą Í ľ É Ę ť ł ą í ľ ł ł Áľ ľł Ą ü ľ ľő ľ Í ź ü ľő ő ü ő ľ ő ü ö ľ ľ ľ ő ź ú ź ź ő íľ ľ

Részletesebben

Ą ĺ ĺ ő ü ú ĺ ő ďś ĺ ő ő ő ő Ü É É Ő ł Ĺ ö Ĺ ő ł ő Ü É ľ É Í Ő É ľ É ĺ Ä ĺ ą É ł łľ ł Á ľ ĺ Ł Á Ě Ĺ É É Ú ĺ ő ő ő ő Ü Ü ú ő ő ő ő ü ý ő ö ü Ü ő ő ü ú ö ö ń ú ő ö ĺ ú ő Ü ű ĺ ö ő ú ń ü ő Ü ú ö ő Ü ú ű Ü

Részletesebben

ľ ľĺ ľ ĺí Ĺ ľ ď ĺ Ô ľ ľ ä Ľ Íäľ ĺ ĺĺľ ľ ź ľ ĺĺ ú ü ď ł ĺĺ í ĺ ľ ľ ĺ ü üĺ ĺ ĺĺ ü í ĺĺ í ĺ ĺí Ö ĺ ű ö ź ź ĺ ö ľ ĺĺ ď ĺ ö ĺľ í ł ĺĺ í ł íľ ĺ í ö íľ ĺĺ ö ľ ľ Í öĺ ľ ľ ľ Ęź ď ĺĺ ĺ Í ľ Ö ľ ĺ ú í ĺ ľ ĺ ď ĺ ź

Részletesebben

í í ü ĺ é é ó ú é ü ĺ ó é é ó í éĺ í ł ö é ĺ é ü ę ź é ü ü ĺ ö ó ź ź é é Ű ó Ü ĺ ó Í é Ĺ ú źń ü é é í é ń í ĺé é í ó é é í é ó Í ĺ é é í é é ö é é Ü é é ö ü é ű é é ĺ í ó í ó é ĺ ĺí í ĺí í źąé é ĺ Ä ĺ

Részletesebben

ô ü ä ö ő ó ô ć íó ĺ ł ď ö äť Ó Í Í ü š ĽĽ ĺ ĺ ĺ ĺ Íł Ó Í ĺ ó ł ő Ó ő ő ĺ ł äĺ ľ ĺł ł É ĺ Ó ł ł Í ĺí Ĺ É š Úł í JŐZSEFVÁROS KoZÖSStcI HÁZAK Nonproirt fft. ř i!': ji i i.'y,łiifi I I...i., l'.'1 t.''-..-,t'

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

ú ľ ľ ü ľ Í Ó ú Ö ź ľ Í ó đ ľ ü ö ľ ü ü ö ö ó ü ó ó ü ü ľ ľ ź ź ćú ó ü ó ö ö ó ü ö ü ó ö ö ö ľ ó ľ ö ó ü ľ ľ ź ź ü ó ö ľ ź ź ľ ö ü ó ź ź ľ ľ ľ ó ü ú ó ü Ä ú ü ü ű Ęú ü ľ ű ú ü ü ľ ľ ľ ł ľ ľ ćľĺł ľ ó ú

Részletesebben

Előadó: Dr. Bukovics Ádám

Előadó: Dr. Bukovics Ádám SZÉCHYI ISTVÁ GYT TARTÓSZRKZTK III. lőadó: Dr. Bukovics Ádám Az ábrák forrása: 6. LŐADÁS [] Dr. émeth Görg: Tartószerkezetek III., Acélszerkezetek méretezésének alapjai [2] Halász Ottó - Platth Pál: Acélszerkezetek

Részletesebben

ó ü ü ü ĺĺ ü ü ĺ ö ö íĺ ű í ü ö Ő É Í Ő É É É É É Í ĺĺ É Ü É Ł Á ĺ É ł ĺ Á Źą Ö Á É É É Á ü źę ĺ ý ü ź ü ü ű ö ö ź ó ü ó í ź ű ó ü ęí ó ö ö Ĺĺ ĺ ó ź ö í ĺ ł ą Ąą Ą Á ą ą ĺ ó ü ó í ý ű ó ó ü ü ó ö ö ű ű

Részletesebben

ł ó ľ ő ő ľ ő Ĺ ü ő ľ í öľ ő ü ű ó í ĺ ü ĺ Íĺ ü É É ł Á Á Ü ľá É Í ľ ł ł Éľ Ü Éľ ľ ľ ł Á żá ľ ľ ľ É ľł ľ ł ł ł ł ĺá ł ł ľ ľá ľ É Á ĺĺ ľ ĺ ĺ ľĺ ľő ÉľÉ ĺ đ ľ ő Ĺ ĺ ő ľ ľ ő Í ű ź ú ö ö ĺ Í ľ ę ö ó ľ ő ľ ő

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem. Alkalmazott Mechanika Tanszék

Széchenyi István Egyetem. Alkalmazott Mechanika Tanszék Széchenyi István Egyetem Szerkezetek dinamikája Alkalmazott Mechanika Tanszék Elméleti kérdések egyetemi mesterképzésben (MSc) résztvev járm mérnöki szakos hallgatók számára 1. Merev test impulzusának

Részletesebben

Oktatási segédlet. Acél- és alumínium-szerkezetek hegesztett kapcsolatainak méretezése fáradásra. Dr. Jármai Károly.

Oktatási segédlet. Acél- és alumínium-szerkezetek hegesztett kapcsolatainak méretezése fáradásra. Dr. Jármai Károly. Oktatási segédlet Acél- és alumínium-szerkezetek hegesztett kapcsolatainak méretezése fáradásra a Létesítmények acélszerkezetei tárgy hallgatóinak Dr. Jármai Károly Miskolci Egyetem 013 1 Acél- és alumínium-szerkezetek

Részletesebben

í ľ ĺ ľ ľ íí ľ ö ľ í í ľ ľ í Ą đ í ü í í í ű ö Ł í öľ ö ö ű ö ö ö ĺĺ ö ľ í ľ ű ö ö Ĺ ö ĺ í ö ö đ ľ ľ ö ö ö ľ ľ ö ö ľ ľ ö ö í ľ ö ľ đ đ ü ü đ ľ ö í ü ĺ ľ ö ľ ö ű ö Ä ü É Ł ü Á ö üö í ł ö ę üö í ź í í ę

Részletesebben

ő ő ę ü ę í ü Í ź ő ő ö ü ę ę í ő ő ö ő í ę ü ö ö ü É ü ŕ ü ű Í ő ź ű ť ú ő ő ő ö ü ö ö í ő ő Í ź í ę ő ź ź ź í í ő ő ő ý ę ö ö ü ü ő ú ź ú ę í ő ę í í ő ę ü ü ö ź ź ü ő ü í ő í ü ü ő ü ę ü ö ć ő ő ö ű

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

A műszaki rezgéstan alapjai

A műszaki rezgéstan alapjai A műszaki rezgéstan alapjai Dr. Csernák Gábor - Dr. Stépán Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanikai Tanszék 2012 Előszó Ez a jegyzet elsősorban gépészmérnök hallgatóknak

Részletesebben

Miskolci Egyetem, Gyártástudományi Intézet, Prof. Dr. Dudás Illés

Miskolci Egyetem, Gyártástudományi Intézet, Prof. Dr. Dudás Illés 6. MENETMEGMUNKÁLÁSOK A csavarfelületek egyrészt gépelemek összekapcsolására (kötő menetek), másrészt mechanizmusokban mozgás átadásra (kinematikai menetek) szolgálnak. 6.1. Gyártási eljárások a) Öntés

Részletesebben

ü ü ü É ü ü ü ź ú ö ö ü ű ö ü ű ö ö ö ü ü ö đ ö ü ü ü ź ö ö ü ö ú ü ö ź ű ü ű ú ü ł ű ď ö ű ý ú Á ö đ ö ü ú źą đ ö ö ü ú ö ö ä ł ź Á ö ú ł ö ú đ ö ź ö ö ł Ú ł Ą Ü É É ł Ł Ł ę ř Ą łą ö Ĺ ě ü ö ź ę Ö ü ú

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben