A szilárdságtan alapkísérletei II. Kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak csavarása

Átírás

1 4. FEJEZET szilárdságtan alapkísérletei II. Kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak csavarása 4.. Vékonyfalú körgyűrű keresztmetszetű rúd csavarása 4... kísérlet leírása és eredményei. Tekintsük a 4.. ábrán vázolt l hosszúságú és b falvastagságú vékonyfalú csövet. cső külső és belső palástjának rendre R o +b/ illetve R o b/ a sugara, az R o Å sugarú belső hengerfelület pedig a cső úgynevezett középfelülete. mint azt az ábra is szemlélteti a cső z 0 koordinátájú keresztmetszetét a M c e z, a z l koordinátájú keresztmetszetét pedig az M c e z csavarónyomaték terheli. z M c csavarónyomaték nagyságát úgy választjuk meg, ÉÆ hogy ÇÈ Ç a cső alakváltozása lineárisan rugalmas. Bár az ábra nem tüntet fel támaszokat, a cső z 0 keresztmetszete, feltevés szerint, helyben marad. ÌÍ Ï ÎËÎÈ Æ ÊËÊÈ ÐÑÌÍ 4.. ábra. cső középfelületén gondolatban egységnyi oldalélű négyzetes hálót készítünk, oly módon, hogy a hálót egyrészről a z tengelyre merőleges síkok metszik ki az R o sugarú hengerfelületből, másrészt pedig a hengerfelület z tengellyel párhuzamos alkotói adják. z ábra nem tünteti fel a teljes hálót, csupán egy kis részét szemlélteti. P sarokpontú négyzetet folytonos és szaggatott vonallal rajzoltuk meg. Megjegyezzük, hogy a próbatest geometriai viszonyai miatt HKR alkalmazása kívánatos mind a kísérleti megfigyelések rögzítése, mind pedig a feszültségek egyensúlyi követelmények alapján történő számítása során. megfigyelések alapján a terhelések hatása az alábbiakban összegezhető:. z egyes keresztmetszetek merev lapként fordulnak el a z tengely körül és az elfordulás során megmaradnak a saját síkjukban. Következésképp nem változik sem a cső vastagsága, sem a középfelület R o sugara, sem pedig a cső hossza a deformáció során. Ez azt jelenti, hogy l l, b b és R o R o. Bár az ábrán nincs megrajzolva a cső külső és belső átmérője, ezeket a mennyiségeket itt és a továbbiakban rendre D és d jelöli. Nyilvánvaló, hogy ezek az értékek is változatlanok maradnak, azaz D D és d d. 87

2 . z egyes keresztmetszetek Φ szögelfordulása egyenesen arányos a keresztmetszet z koordinátájával: Φ ϑz, (4.) ahol a ϑ állandó az u.n. fajlagos elcsavarodási szög. Mivel alapfeltevés, hogy kicsik az elmozdulások és alakváltozások, kicsinek vehetjük az egyes keresztmetszetek z tengely körüli elfordulását is. Ez esetben a P pont mozgását adó P és P közötti ΦR o ív jó közelítéssel a P ponthoz tartozó r PP elmozdulásvektor hossza. Bár az erős nagyítással rajzolt 4.. ÖeØ ábra nem tünteti fel magát az u r PP elmozdulásvektort nyilvánvaló az ábráról, hogy az e ϕ irányú vektornak vehető. (4.) képletet is figyelembevéve u ΦR o e ϕ ϑze z R o e R ϑze }{{} } {{ } z R o (4.) e ÓÔ Ó e z e R R o az elmozdulásvektor az R o ÚÛ sugarú kör pontjaiban. ÓÔ ÕÞeÙ Ó ÓÔ Ò Ü ÞÒ ÜÕ ÝÔÝ ÞÔ Ý Ü ÜÜ ÝÔ Ü Ò Ü ÞÔ 4.. ábra. Vékonyfalú cső esetén eltekinthetünk a fajlagos nyúlások és a fajlagos szögváltozások valamint a normál és nyírófeszültségek cső vastagsága menti megváltozásától. Ez azt jelenti, hogy ezek a mennyiségek függetlennek vehetők az R sugártól. Visszaidézve a.. Mintapélda (.0) képletét [ ε R ] γ Rϕ γ Rz α R α ϕ α z γ ϕr ε ϕ γ ϕz (4.3) γ zr γ zϕ ε z az alakváltozási tenzor mátrixa HKR-ben. z alábbiakban meghatározzuk a kísérleti megfigyelések alapján az alakváltozási tenzor mátrixában álló fajlagos nyúlásokat és szögtorzulásokat. Láttuk, hogy nem változik az egyes keresztmetszetek távolsága az alakváltozás során. Mivel a keresztmetszetek merev lapként fordulnak el e ϕ irányban sincs hosszváltozás. Következőleg: Nem változik a cső falvastagsága sem. Ez azt jelenti, hogy ε z ε ϕ 0. (4.4) ε R 0. (4.5) 4.. ábra érzékelhetően szemlélteti, hogy a P pontban az R és ϕ anyagi vonalak (a sugár és a PB ív, vagy ami ugyanaz az e R és e ϕ egységvektorok) közötti π/ nagyságú szög változatlan, azaz derékszög marad az R és ϕ anyagi vonalak deformált helyzetében is, hiszen a P pontban derékszög a sugár és a P B ív által bezárt szög. Ugyanerről az ábráról állapítható meg az is, hogy az R és z anyagi vonalak (a sugár és a PC egyenesszakasz) közötti π/ nagyságú szög a deformált helyzetben derékszög marad, hiszen az utóbbi szög a P pontbeli sugár és a középfelületen fekvő P C csavarvonalszakasz által bezárt szög. Következésképp zérus értékűek a vonatkozó fajlagos szögváltozások: γ Rϕ γ Rz 0. (4.6)

3 z egyetlen nem zérus fajlagos szögváltozás a z és ϕ anyagi vonalak (a PB és PC ívek) közötti π/ szög csökkenése χ radiánnal. 4.. ábra és a (4.) összefüggés szerint PP χz R o Φ R o ϑz, következésképp γ ϕz χ R o ϑ. (4.7) (4.4)-(4.7) fajlagos nyúlásokkal és szögváltozásokkal az alakváltozási tenzor mátrixát adó (4.3) képletből az γ ϕz, γ ϕz γ χ R o ϑ (4.8) 0 γ zϕ 0 eredmény következik. Eszerint az alakváltozási tenzor mátrix mátrixa állandó. feszültségek meghatározása során a feszültségi tenzor [ ] T ρr ρ ϕ ρ z σ R τ Rϕ τ Rz τ ϕr σ ϕ τ ϕz (4.9) τ zr τ zϕ σ z mátrixában álló σ R, σ ϕ és σ z normálfeszültségeket, valamint a τ ϕr τ Rϕ, τ zr τ Rz és τ zϕ τ ϕz nyírófeszültségeket keressük. Mivel állandó az alakváltozási tenzor mátrixa, állandónak kell lennie a feszültségi tenzor mátrixának is. keresett σ R, σ ϕ,...,τ ϕz feszültségkoordináták meghatározása során vegyük figyelembe, hogy a cső külső palástján ébredő ρ n ρ R feszültségvektor meg kell, hogy egyezzen az ott működő felületi terhelés f sűrűségvektorával, ami azonban zérus hiszen terheletlen a cső palástja. Következésképp T e R ρ R σ R e R + τ ϕr e ϕ + τ zr e z 0. (4.0) Ha még azt is figyelembe vesszük, hogy a fentiek szerint állandónak vehetők a σ R, τ ϕr és τ zr feszültségkoordináták, akkor a (4.0) egyenletből a σ R 0, τ ϕr 0, τ zr 0 (4.) eredményt kapjuk. További összefüggések adódnak abból a feltételből, hogy a vékonyfalú cső bármely pozitív keresztmetszetére igaz, hogy a ρ z τ ϕz e ϕ +σ z e z feszültségek itt is emlékeztetünk arra a lentiekben kihasználás ra kerülő körülményre, hogy a τ ϕz és σ z állandó egyenértékűek a keresztmetszet igénybevételeivel, azaz N 0 és M c 0. z egyenértékűséggel kapcsolatos első, vagyis a (.89) összefüggésből N e z F S e z ρ z d e z (τ ϕz e ϕ + σ z e z ) d σ z d σ z 0, ahonnan σ z 0 (4.) a z irányú normálfeszültség. mi a belső erőrendszer nyomatékát illeti vegyük figyelembe, hogy vékonyfalú cső esetén jó közelítéssel fennállnak az R R o, d bds br o dϕ összefüggések. Ha ezeket is felhasználjuk, akkor az egyenértékűséggel kapcsolatos második, azaz a (.90) összefüggésből az π M c e z M S e z R ρ z d e z R o τ ϕz e R e ϕ d R o τ ϕz br o dϕ R o τ ϕz πbr } {{ } 0 } {{ } o e z k eredmény következik, ahonnan azonnal megkapjuk a keresett τ ϕz nyírófeszültséget: τ ϕz M c R o k, k πbr o. (4.3)

4 äåèéèî ïìéí ð ß ç èé êë èé êë äå áâáã èé æâæã à 4.3. ábra. σ ϕ normálfeszültség számításához a z tengelyen átmenő és n normálisú sík segítségével kettévágjuk gondolatban a vékonyfalú csövet és az így kapott egyik félcső ezt a 4.3. ábra szemlélteti egyensúlyából indulunk ki. keresett normálfeszültséget az n irányban felírt vetületi egyenletből számítjuk. számítás során az alábbiakat vegyük figyelembe:. félcső felületének átmetszéssel kapott n normálisú téglalapjain ρ n σ n n + τ nz e z a feszültségvektor és σ n σ ϕ. Megjegyezzük, hogy az ábra csak a vetületi egyenletben szerepet játszó σ n σ ϕ feszültségkoordináta megoszlását tünteti fel.. félcső palástja terheletlen. 3. z 0 és z l véglapokon ébredő és az azonos R és ϕ koordinátájú pontokhoz tartozó τ ϕz nyírófeszültségek vektoriális összege az ábra egy ilyen pontpárt tüntet fel zérus. fentiek alapján felírt [ palástterhelés eredőjének Fn lbσ ϕ + n irányú összetevője vetületi egyenletből } {{ } 0 ] [ τϕz nyírófeszültségek eredőjének + n irányú összetevője } {{ } 0 ] 0 σ ϕ 0. (4.4) (4.), (4.), (4.3) és (4.4) képletek felhasználásával T τ ϕz ; τ ϕz τ M c (4.5) 0 τ zϕ 0 R o k a feszültségi tenzor mátrixa. z utóbbi képlet alapján azt a feszültségi állapotot, amikor csak egy nyírófeszültség és duális párja különbözik zérustól tiszta nyírásnak nevezzük Csavaródiagramm. Hooke törvény nyírófeszültségekre. húzókísérlet kapcsán megrajzolt N N (λ) diagramnak a vékonyfalú cső csavarása kapcsán az M c M c (Φ l ) diagram a párja 4.4. ábra. z M c (Φ l ) függvény alakja egyrészt a vékonyfalú cső anyagától, másrészt a cső geometriai méreteitől függ. vékonyfalú cső anyagára jellemző diagramhoz úgy jutunk hasonlóan a húzókísérlet esetéhez hogy, fajlagos, azaz a vékonyfalú cső méreteitől független mennyiségeket mérünk fel az egyes koordinátatengelyekre. Ez azt jelenti, hogy a vízszintes tengely mentén a Φ l γ γ ϕz χ R o R o ϑ l fajlagos szögváltozást, a függőleges tengely mentén pedig a τ τ ϕz M c R o k

5 ò M ñó ô õ ö 4.4. ábra ábra. nyírófeszültséget ábrázoljuk. vékonyfalú cső anyagára jellemző τ τ(γ) görbét csavaródiagramnak nevezzük 4.5. ábra. csavaródiagram jellemző tulajdonságai ugyanazok, mint amelyekkel a 3.4., 3.5. és 3.6. szakítódiagramok kapcsán a 3... szakaszban megismerkedtünk ù ú û Ezeket ehelyütt nem ismételjük meg. z ideális testek csavaródiagramjai a 3.7. ábrán vázolt szakítódiagramok alapján rajzolhatók meg ábra a későbbiek kedvéért öf a lineárisan rugalmas-ideálisan képlékeny test csavaródiagramját mutatja. diagramon τ F a folyáshatár és γ F a folyáshatárhoz tartozó fajlagos szögváltozás. lineárisan rugalmas viselkedés tartományában fennáll a F τ Gγ (4.6) øöf 4.6. ábra. egyenlet, ahol G a lineáris szakasz meredeksége vagy más elnevezéssel nyírási rugalmassági modulus. Ez a mennyiség anyagjellemző. Kiolvasható a képletből az is, hogy a G feszültségdimenziójú mennyiség. Később formálisan igazolni fogjuk, hogy a méréssel kapott G, valamint az (3.9) képletből az E és ν-vel kifejezett G ugyanaz a mennyiség. (4.6) egyenletet a csúsztatófeszültségekkel kapcsolatos egyszerű Hook törvénynek nevezzük. z elnevezés arra utal, hogy a fenti egyenlet mindig fennáll a lineáris viselkedés tartományában függetlenül attól, hogy milyen igénybevétel vagy terhelés hozza létre a tiszta nyírást. (4.6) képlet felhasználásával vetve egybe az alakváltozási és feszültségi tenzor mátrixait adó (4.8) és (4.4) összefüggéseket írhatjuk, hogy vagy γ ϕz γ zϕ 0 G τ ϕz 0 τ zϕ 0 G T, (4.7) ami a csúsztatófeszültségekkel kapcsolatos Hook törvény tenzoriális alakja feszültségi állapot szemléltetése. Részleges Mohr-féle kördiagram. Tegyük fel, hogy ismeretesek a feszültségi tenzor főirányai ábra baloldala a főtengelyek KR-ében és a harmadik főirány felől nézve szemlélteti az elemi kockán a feszültségi állapotot. Ezen az ábrarészleten jelenik meg először a gondolatmenet kifejtésében később szerepet kapó x n és y m tengelypár is. Legyenek az és jelű főtengelyek által kifeszített fősíkban fekvő n és m irányok merőlegesek egymásra. zt is feltételezzük, hogy a pozitív m féltengely az óramutató járásával ellentétes irányban forgatható be a pozitív n féltengelybe, azaz m n e 3 ; m n ábra középső részlete az n és m egyeneseket, a vonatkozó m és n egységvektorokat, a főirányokat adó e n és e n egységvektorokat, továbbá az e és n közötti ϕ szöget szemlélteti.

6 y ü m þ ý x n eü ÿþ þ ÿ þ ÿþ eý ÿ þ n m 4.7. ábra. Tekintsük az n normálisú lapon ébredő ρ n σ n n + τ mn m feszültségvektort 4.7. ábra jobboldali ábrarészlet. továbbiakban arra a kérdésre keressük a választ, hogy mi a σ n és τ mn feszültségkoordináták által meghatározott pontok mértani helye a σ n, τ mn síkon. Nyilvánvaló, hogy mind σ n mind pedig τ mn az n és m irányokat meghatározó ϕ szög mint paraméter függvénye. számításokat a főtengelyek KR-ében végezzük. mint azt már láttuk lásd a feszültségi tenzor (.88) alatti előállítását ebben a KR-ben a feszültségi tenzor mátrixa. középső ábrarészlet alapján Következésképp T σ σ σ 3 n cosϕe + sin ϕe és m sin ϕe cosϕe. ρ n T n σ σ σ 3 cosϕ sin ϕ 0 σ cosϕ σ sin ϕ 0 a feszültségvektor mátrixa, amivel σ n n T ρ n [ cosϕ sin ϕ 0 ] σ cosϕ σ sin ϕ σ cos ϕ + σ sin ϕ 0 a keresett normálfeszültség és τ mn m T ρ n [ sin ϕ cosϕ 0 ] σ cosϕ σ sinϕ 0 (σ σ )cosϕ sin ϕ (4.8a) (4.8b) a keresett nyírófeszültség. trigonometriából jól ismert cos ϕ + cosϕ, sin ϕ cosϕ és sin ϕcosϕ sin ϕ (4.9) képletek helyettesítésével a (4.8a,b) képletekből némi rendezéssel a σ n σ + σ σ σ τ mn σ σ cos ϕ, sin ϕ (4.0a) (4.0b) egyenleteket kapjuk. Ez a két egyenlet kör paraméteres egyenlete a σ n, τ mn síkon. kör közepe a σ n tengelyen van, a kör középpontjának (σ + σ )/ az abcisszája, a kör sugara pedig R (σ σ ) /. z Ismeretes, hogy az x u R cos ϕ; y R sin ϕ egyenletkettős olyan kör paraméteres egyenlete, amelynek középpontja az x tengelyen van, u a középpont abcisszája és R a kör sugara. kör közepéből a körön levő x abcisszájú és y ordinátájú pontba rajzolt sugár ϕ szöget zár be a pozitív x tengellyel. szöget óramutató járásával ellentétesen kell felmérni.

7 adott n normálishoz tartozó N[σ n, τ mn ] körpontot pedig úgy kapjuk meg, hogy olyan sugarat rajzolunk a kör közepéből kiindulva, amely ϕ szöget zár be az abcissza tengellyel. Kiküszöbölhető a ϕ paraméter, ha a jobb és baloldalak négyzetre emelése után összeadjuk a két egyenletet: ( σ n σ ) ( ) + σ + τmn σ σ (4.) z így kapott egyenlet ugyancsak kör egyenlete. "!# $%! &'"!( $% ) 4.8. ábra. fentiek alapján megszerkeszthető a kör, ha ismeretesek a σ és σ főfeszültségek. Első lépésben megrajzoljuk az N [σ, 0] és N [σ, 0] pontokat. Második lépésben megszerkesztjük az N és N pontokat összekötő egyenesszakasz felezési pontját. Ez lesz a kör középpontja. Mivel mind az N, mind pedig az N rajta van a körön mostmár megrajzolható maga a kör is. z N[σ n, τ mn ] körpont pedig az abcisszatengellyel ϕ szöget alkotó körsugár berajzolásával adódik. Egy további lehetőséget kapunk az N szerkesztésére, ha az N ponton keresztül az e főiránnyal az N ponton keresztül pedig az e főiránnyal húzunk párhuzamos egyenest szaggatott vonalak majd Q n -el jelölve metszésüket, a Q n ponton át az n normálissal párhuzamosan egy további egyenest húzunk. Mivel ez az egyenes / ϕ szöget zár be az abcisszatengellyel a kerületi és középponti szögek tétele értelmében az N pontban metszi a kört. Q n pontot normálisok pólusának szokás nevezni. bemutatott e e0 szerkesztés csak akkor alkalmazható, ha ismeretesek a σ és σ főfeszültségek. szerkesztés szabályainak általánosítása e+ / kedvéért azt a kérdést vizsgáljuk a továbbiakban, hogy miként kell eljárni, ha nem ismerjük előre a σ és σ e- e0 34 e+, főfeszültségek értékét. felvetett kérdés megoldásában lépésről lépésre haladunk előre. e. n 5 e. m *n *m m 4.9. ábra.,- Tegyük fel előszörre, hogy n e x és m e y. Ez esetben σ n σ x, és (4.0b) szerint τ mn τ yx > 0, a vonatkozó körpontot pedig az X[σ x, τ yx ] pont adja a viszonyokat a 4.9. ábra baloldali része, és a 4.0. ábra szemlélteti. z X pontba mutató körsugár nyilvánvalóan ϕ szöget zár be az abcisszatengellyel.

8 Tegyük fel másodszorra, hogy n e y és m e x. Ez esetben σ n σ y, τ mn τ xy a vonatkozó körpontot pedig az Y [σ y, τ xy CD ] pont adja ezeket a viszonyokat a 4.9. ábra jobboldali része és a 4.0. ábra szemlélteti. Mivel ekkor az n irány ϕ + π/ nagyságú szöget zár be az e főiránnyal az Y pontba mutató körsugár ϕ + π szöget zár be az abcisszatengellyel. Következésképp az X és Y pontok ugyanazon a körátmérőn fekszenek. Ez egyben azt is jelenti, hogy azonnal megszerkeszthető a kör, ha ismerjük az X és Y pontok helyét a σ n és τ mn :? :; síkon ábra szemlélteti az 6RU9:VF>VW X és Y pontokat valamint magát a megrajzolt kört is. z ábra baloldalán ismét látható a feszültségi állapotot szemléltető, és a 4.7. ábra baloldali részén már korábban ábrázolt, de a további magyarázat kedvéért az 76 89:;<>?@ B>;? E9 óramutató járásával egyező X P RT XYX \\ H:;I:?JK7 L MN :?F>;? Z y ]^ ^ >;? H:; :?JK7 [ n :G nx m m ^] ] O 6 QN RS 4.0. ábra. irányban elforgatott elemi kocka. forgatás úgy történt, hogy a vízszintes tengely legyen az x tengely. Figyeljük azt is meg, hogy az elforgatott elemi kocka mellett halványan megrajzoltuk az xyz KR-beli elemi kockát is, amelyen halványan feltüntettük az ismertnek tekintett σ x, σ y és τ xy feszültségkoordinátákat. Mivel az első esetben az m irány ellentétes az y iránnyal és τ mn pozitív volt τ xy negatív a feladat viszonyai között. z ugyanezen ábrarészleten berajzolt n irány ψ szöget zár be az x és a ϕ + ψ szöget az jelű főtengellyel. z n irányra merőleges m irány lefelé és kissé jobbra mutat. Következőleg az N [σ n, τ nm] körponthoz tartozó körsugár (ϕ + ψ) nagyságú szöget alkot a σ n tengellyel. Mivel az XY egyenesszakasz körátmérő az X ponton keresztül az x tengellyel, az Y ponton keresztül pedig az y tengellyel párhuzamosan szaggatott vonallal megrajzolt egyenesek, Thalész tétele értelmében a körön metszik egymást. Jelölje Q n a két egyenes metszéspontját. Vegyük észre, hogy a Q n XN és az XN szögek ugyanazon az íven nyugvó kerületi és középponti szögek. Következőleg a Q n N egyenes párhuzamos az n egyenessel. Ez megfordítva azt jelenti, hogy a Q n pont segítségével bármilyen n felületi normális és a hozzá tartozó m esetén megszerkeszthető az N [σ n, τ nm] körpont, oly módon, hogy párhuzamost húzunk a Q n körponton keresztül az n egyenessel.és meghatározzuk a párhuzamos és a kör újabb metszéspontját. Utóbbi tulajdonsága miatt a Q n pont most is a normálisok pólusa nevet viseli. Q n pont szerepével kapcsolatos gondolatmenet alapján nyilvánvaló, hogy a Q n N egyenes főiránnyal párhuzamos egyenes, a jelen esetben az jelű főiránnyal, a Q n N egyenes főiránnyal párhuzamos egyenes, a jelen esetben az jelű főiránnyal, a Q n N X szög a vízszintes és főirány, a jelen esetben az jelű főirány, közötti szög. z BX derékszögű háromszög segítségével kiszámítható a kör sugara amivel az ábra alapján R (σx σ y ) + τ xy, σ σ x + σ y + R és σ σ x + σ y a két főfeszültség. z is leolvasható az ábráról, hogy tg ϕ τ xy σ x σ y. R

9 z bemutatott gondolatmenet alapján minden olyan esetben meghatározhatók a főfeszültségek és a főirányok, ha ismeretes a feszültségi tenzor egy főiránya. szerkesztésben megjelenő mértani helyet, azaz a σ n, τ mn pontpárok által alkotott kört, a szerkesztés lehetőségét felismerő és elsőként leíró Mohr után részleges Mohr körnek szokás nevezni szerkesztés lépéseinek összegezése. z alábbiak tömören és minden szóbajöhető esetre alkalmazható sablont adnak a szerkesztésre. sablon a szakasz gondolatmenetének lényegén alapul; azon, hogy ismeretes egy főfeszültség mindegy, hogy melyik, azon, hogy a kör átmérőjét az elemi kocka más két lapján ébredő feszültségvektor σ n és τ mn koordinátái határozzák meg, függetlenül attól milyen betűvel jelöltük eredetileg ezen lapok normálisait, továbbá azon, hogy a Q n pont és a főirányok szerkesztése is független a két lap normálisának jelölésére felhasznált betűjelektől. Legyen utw a vizsgált test egy adott pontjában ismeretes a feszültségállapot. Tételezzük fel, hogy az ezen a ponton átmenő p, q és r koordinátatengelyek kartéziuszi KR-t alkotnak (a fentiekkel összhangban a vu x e cd p,q,r, valójában az x,y,z, vagy az y,z,x, vagypedig a z,x,y koordinátatengelyeket jelenti). Legyen ismert ugyanebben a pontban a feszültségi állapot: ρ r σ r e r (vagyis az r irány főirány), σ p > 0, τ pq τ qp > 0 és σ q f geah`bai ke < 0. n `ba u e uv v eu xw oq rv~e ƒ l sop_`ab em f e} u ƒ v ebejy gebz{`abi ábra. szerkesztés lépéseit az alábbiak összegezik:. Megrajzoljuk az ismert r főirány felől nézve az elemi kockát. Ügyeljünk eközben arra, hogy az r-t követő első koordinátairány, azaz a p vízszintes, a q pedig függőleges irányba mutasson az ábránkon, úgy ahogyan azt a 4.. ábra baloldali része szemlélteti.. Meghatározzuk σ n, és τ mn feszültségkoordinátákat a p és q normálisú oldallapokon. Ezt az segíti, hogy berajzoljuk a p normálisú oldallapon az n p és m q, a q normálisú lapon pedig az n q és m p koordinátairányokat. Így azonnal megállapítható a baloldali ábrarészlet elemi kockájának felhasználásával, hogy a σ n,τ mn sík P[σ p, τ qp ] és Q[σ q,τ pq ] pontjai határozzák meg a kör átmérőjét. 3. Bejelöljük a P[σ p, τ qp ] és Q[σ q,τ pq ] pontokat a σ n,τ mn koordinátasíkon, majd megrajzoljuk a PQ körátmérőt. PQ egyenesszakasz és a σ n tengely metszése adja a kör közepét. kör és a σ n tengely metszéspontjai pedig kiadják a keresett főfeszültségeket. Mivel a főfeszültségek nagyság szerint rendezettek σ σ σ 3 és a σ r 0 normálfeszültség főfeszültség a szerkesztés a jelen esetben az és 3 jelű főfeszültségeket adja ki. 4. P ponton keresztül a p normálissal, a Q ponton pedig a q normálissal húzunk párhuzamost. két egyenes a kör Q n pontjában metszi egymást. Q n N és Q n N 3 egyenesek megadják az és 3 jelű főirányokat. Ezeket az elemi kocka felülnézeti képén is érdemes berajzolni.

10 5. Kiszámítjuk az ábra alapján az R, σ, σ 3 és ϕ értékeket. Ez a számítás az ábráról leolvasható (σp σ q és R σ σ p + σ q ) + τ pq, (4.) + R, σ σ p + σ q R (4.3) tg ϕ τ pq. (4.4) σ p σ q képletek segítségével végezhető el. 6. Ha adott egy felületelem n normálisa és a hozzátartozó m irány, akkor az N [σ n,τ mn ] pontot a Q n ponton át az n -vel párhuzamosan húzott egyenes és a kör metszése adja. Megjegyezzük, hogy a zsúfoltság elkerülése érdekében nem tünteti fel az utolsó lépést a 4.. ábra. Visszautalunk ehelyett a 4.0. ábrára és megjegyezzük, hogy a feszültségi tenzor segítségével pontosabban határozható meg a σ n és τ mn számítással, mint szerkesztéssel. szerkesztést és a szerkesztésen alapuló (4.), (4.3) és (4.4) képleteket elsősorban a főfeszültségek és főirányok meghatározására érdemes használni szerkesztés két alkalmazása. Összefüggés a rugalmassági állandók között. Két egyszerű példa esetén mutatjuk be a szerkesztés alkalmazását. 4.. ábra nyomásra igénybevett zömök rudat szemléltet. Šžœ ž középső Š ábrarészlet a negatív x tengely felől nézve mutatja az elemi kockán a feszültségi állapotot, valamint a szerkesztéshez szükséges segédvonalakat. 4.. és a 4.. ábra egybevetése alapján a z és ˆ Š Œ Ž Š y koordinátatengelyek felelnek meg a p és q š Ž Š œ žžœ Ÿ ž Š Š 4.. ábra. koordinátatengelyeknek. Mivel ρ y 0 és ρ z σ z e z (σ z < 0) az Y [0,0] és Z[σ z,0] pontok meghatározzák a kör átmérőjét. Következőleg R σ z / a kör sugara. Q n pontot a Z ponton át a z tengellyel illetve az Y ponton át az Y tengellyel húzott párhuzamosok metszése adja. jelen esetben egybeesik a Q n pont az Y ponttal. z n normálisú lapon ébredő σ n és τ mn feszültségeket a Q n ponton keresztül az n-el húzott párhuzamos és a kör N metszéspontja adja. Mivel a ZNQ n és az NQ n háromszögek egyaránt derékszögű háromszögek leolvasható az ábráról, hogy σ n σ z cos ϕ és τ mn σ z cos ϕ sin ϕ. z ábrán feltüntetett n normálisú felületelemen bejelöltük a σ n és τ mn feszültségkoordinátákat. Megjegyezzük a fentiek kiegészítéseként, hogy a 3.3. Mintapélda közölt megoldása valójában a részleges Mohr kör alkalmazása húzott rúd esetén. második példa célja a főfeszültségek és a főirányok meghatározása a vékonyfalú rúd csavarási feladata esetén. feladat megoldása érdekében megrajzolt 4.3. ábra mindent szemléltet: a csavart vékonyfalú csövet, a szerkesztés alapjául szolgáló elemi kockát valamint magát a szerkesztést is. cső középfelületén megrajzolt és egymással párhuzamos folytonos és szagatott

11 ¹ ¼½ ª«² «ÀÁ º»¼ ½ ³µ à ¼ ³ Ä ³ Á «ÅÆ Á  ¾ «ÇÉ ØÙÚÛÜÛÝÜÞßÛà áùúûüûýüþßûà á ÓÖ á ÒÓÕÊËÊÌ ÓÔ Ø ½ 3 ÍÎ 3 «± ÑËÑÌ ÏÐÍÎ È 4.3. ábra. vonalak annak a x normálisú négyzetnek a kontúrját adják, amelyben a szerkesztést alapját adó elemi kocka metszi a középfelületet. z elemi kocka homloklapja feszültségmentes, a z normálisú lapon ρ z τ yz e y ; τ yz < 0, az y normálisú lapon pedig ρ y τ zy e z a feszültségvektor. Mivel az elemi kocka z és y normálisú lapjain is zérus a σ n normálfeszültség a Mohr kör átmérőjét adó Z[0, τ yz ]; τ yz > 0 és Y [0,τ zy ] pontpár a τ mn tengelyen van és az origó a kör közepe. Következőleg τ yz a kör sugara. z x R irány nyilvánvalóan főirány, a σ x σ R 0 feszültség pedig főfeszültség: körről leolvasott adatokat is felhasználva σ τ yz τ ϕz, σ σ x σ R 0 és σ 3 τ yz τ ϕz (4.5) a három nagyság szerint rendezett főfeszültség értéke. Maga a Q n pont ugyanúgy szerkeszthető mint az előző feladatban. jelen esetben azonban a Z ponttal esik egybe. σ n tengellyel 45 o szöget bezáró Q n N és 45 o szöget bezáró Q n N 3 egyenes az jelű és 3 jelű főirányokat adja. vékonyfalú cső ábráján bejelöltük a főtengelyek KR-ét kifeszítő n, n e y e R és n 3 egységvektorokat. kapott eredmények szerint a csak két főfeszültség különbözik zérustól. Ez azt jelenti hogy kéttengelyű a vékonyfalú cső feszültségi állapota. Érdemes arra is felfigyelni, hogy pozitív csavarónyomaték esetén a középfelület egy adott pontjáról indulva ki az jelű főirányok 45 o - os menetemelkedésű jobbmenetű csavarvonal érintői, maga a csavarvonal pedig megnyúlik. jelű főirányok ugyancsak 45 o -os menetemelkedésű de balmenetű csavarvonal érintői, maga a csavarvonal pedig megrövidül. rideg, törékeny anyagú csövek az anyag sajátosságai miatt az jelű főirányra merőleges felületen törnek a csavarókísérlet során. lágy, jól alakítható fémek ezzel szemben a z tengelyre merőleges keresztmetszeti síkokban törnek el, vagyis elnyíródnak.

12 ã R â R + â äz ã- äz R ábra ábra a vékonyfalú csőben kialakuló kéttengelyű feszültségi állapotot szemlélteti a főtengelyek, azaz az e, e e R és e 3 egységvektorok által kifeszített lokális KR-ben. z is leolvasható az ábráról, hogy ez a feszültségi állapot valójában két egytengelyű feszültségi állapot szuperpozíciója. Következésképp T T + T 3 a feszültségi tenzor mátrixa, ahol T σ , T σ és T σ σ 3 z egytengelyű feszültségi állapottal kapcsolatos (3.8) Hooke törvény alapján, tekintettel az ε σ /E és ε 3 σ 3 /E összefüggésekre is + ν E T ν E σ E és 3 + ν E T 3 ν E σ 3E a vonatkozó alakváltozási tenzorok. z utóbbi két egyenlet összegét képezve az vagy ami ugyanaz az + } {{ 3 + ν } E (T + T 3 ) ν } {{ } E (σ + σ 3 ) E, } {{ } 0 T + ν E T (4.6) eredmény adódik. Ez a pusztán logikai úton kapott egyenlet a csavarással kapcsolatos anyagegyenlet tenzoriális alakja és mint ilyen független kell, hogy legyen a választott KR-től. Ugyanakkor pedig meg kell egyeznie a kísérleti eredmények alapján felírt (4.7) anyagegyenlettel. (4.7) és (4.6) egyenletek egybevetése szerint csak akkor lehetséges egyezés, ha E G( + ν). (4.7) Másként fogalmazva a húzókisérlet és a vékonyfalú cső csavarási kísérlete kapcsán bevezetett három anyagjellemző az E, ν és a G közül bármelyik kifejezhető a másik kettővel. mondottak egyben azt is jelentik, hogy homogén izotróp test esetén kettő a független anyagállandók száma a lineárisan rugalmas viselkedés tartományában. Megjegyezzük, hogy a csavarókísérlet eredményei szerint a mérési pontosság megszabta hibán belüli a G-re vonatkozó mérési eredmények egyezése a húzókisérlet mérési eredményeként kapott E és ν-vel számított G-vel csavart vékonyfalú cső alakváltozási energiája. Tegyük fel, hogy a 4.. ábrán vázolt csőről van szó, amelyre Φ l a jobboldali végkeresztmetszet szögelfordulása a helytállónak vett baloldali végkeresztmetszethez képest. csőben felhalmozódó alakváltozási energia, amint erre a.4.. szakaszban rámutattunk, megegyezik a külső erők munkájával. Mivel a baloldali véglap nem fordul el a külső erőrendszert alkotó M c csavarónyomatékok közül csak a jobboldali

13 véglapon működő végez munkát. Ez a munka a szakasz gondolatmenetének figyelembevételével a (3.3) képlet baloldalának mintájára az U W K M cφ l (4.8) alakban írható fel N -nek M c, míg λ -nek Φ l felel meg. 4.. ábra alapján, tekintettel a (4.7), (4.6) és (4.3) képletekre Φ l l R o χ l R o τ ϕz G M cl Ro k G M cl I p G, I p Ro k (4.9) a véglap szögelfordulása, ahol az I p a vékony körgyűrű un. poláris másodrendű nyomatéka. Megjegyezzük, hogy az utóbbi mennyiséggel a alakot ölti a nyírófeszültség számításának (4.3) alatti formulája. véglap Φ l szögelfordulásának helyettesítésével τ ϕz M c R o k M c I p R o (4.30) U W K M cφ l Mc l Ro k G Mc l I p G (4.3) a teljes alakváltozási energia. z alakváltozási energiasűrűség számításához tovább alakítjuk a fenti képletet. Eszerint U Mc l Ro k G M c M c l R o } {{ k R } o k G }{{} k } {{ } ahol a V a vékonyfalú cső térfogata. Következésképp τ ϕz γ ϕzτ ϕz/g V u U V τ ϕzγ ϕz (4.3) a fajlagos alakváltozási energia értéke. Vegyük észre, hogy ez a képlet a tiszta nyírás során felhalmozódott alakváltozási energiasűrűséget adja függetlenül attól, hogy mi hozza létre a tiszta nyírást. 4.. Kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak csavarása 4... Elmozdulási és alakváltozási állapot. Számos olyan mérnöki alkalmazás van, amelyben csavarásra igénybevett kör-, vagy körgyűrű keresztmetszetű rudak kapnak vagy mozgásközvetítő, vagypedig teljesítményközvetítő szerepet. z előző szakaszban sikerült tisztázni a nyírófeszültségekkel kapcsolatos Hook törvényt és ezzel összefüggésben a vékonyfalú körgyűrű keresztmetszetű rúd mechanikai állapotát. Mivel a gondolatmenet alapvető feltevése volt a rúd vékonyfalú volta, a kapott megoldások is csak akkor alkalmazhatók, ha teljesül ez a feltevés. jelen 4.. szakasz célja, hogy általánosabb viszonyok között vizsgálja a csavarási feladatot. rúd vagy tömör, vagy körgyűrű keresztmetszetű. z utóbbi esetben azonban nincs korlátozó feltevés a rúd falvastagságára nézve. gondolatmenet kifejtése során a tömör körkeresztmetszetű prizmatikus rudat tekintünk majd. Látni fogjuk azonban, hogy ez a feltevés nem lényegi, és az eredményül kapott összefüggések értelemszerűen vonatkoznak körgyűrű keresztmetszetű prizmatikus rudakra is. viszonyokat a 4.5. ábra szemlélteti. Bár az ábra nem tüntet fel támaszokat feltételezzük ugyanúgy, mint azt a vékonyfalú cső esetén tettük, hogy az l hosszúságú és d átmérőjű rúd z 0 keresztmetszete helyben marad. rudat terhelő M c csavarónyomaték értékét pedig az korlátozza, hogy csak rugalmas alakváltozást engedünk meg. z ábra a megfigyelések ismertetése és értelmezése érdekében feltünteti a rúd R sugarú belső felületét is. lkalmazkodva a rúd geometriájához a HKR-t részesítjük előnybe, adott esetben azonban az xyz kartéziuszi KR-ben is írunk fel egyenleteket.

14 ëì ò å ïæ çè ç éêéè ñ í î ð ëì æ 4.5. ábra. rúd elmozdulásállapotát illető megfigyeléseink, a lényeget tekintve, megegyeznek a vékonyfalú cső csavarási feladata kapcsán végzett megfigyeléseinkkel. Ezek szerint. z egyes keresztmetszetek merev lapként fordulnak el a z tengely körül és megmaradnak saját síkjukban az elfordulás során.. keresztmetszetek Φ szögelfordulása egyenesen arányos a keresztmetszet z koordinátájával. Ez azt jelenti, hogy most is fennáll vékonyfalú cső csavarása kapcsán már felírt (4.) egyenlet: Következőleg Φ ϑz, ahol ϑ a fajlagos elcsavarodási szög. z elmozdulásmező meghatározása fentiek alapján a (4.) képletre vezető gondolatmenet megismétlését igényli. Csak annyi a különbség, hogy a tömör rúd R sugarú belső hengerfelülete veszi át a vékonyfalú cső R o sugarú középfelületének szerepét. Vegyük észre, hogy most változó az R sugár, míg a vékonyfalú cső esetén állandó volt az R-nek megfelelő R o. Mivel kicsik az elmozdulások és alakváltozások a P pont mozgását adó PP közötti ΦR ϑzr χz (4.33) ív jó közelítéssel a P ponthoz tartozó r PP elmozdulásvektor hossza. Ha visszaidézzük a 4.. ábrát, de az előzőeknek megfelelően R-et gondolunk R o helyébe, akkor nyilvánvaló az ábráról, hogy e ϕ irányú vektornak vehető az u r PP elmozdulásvektor. most is érvényes (4.) képletet figyelembevéve u ΦRe ϕ ϑzr e ϕ ϑze z Re R ϑze }{{} }{{} z R (4.34) e z e R R a tömör cső elmozdulásmezeje. (4.34) egyenlet jelentőségét az adja, hogy segítségével deriválásokkal állítható elő az U derivált tenzor. (.4) és (.99) képletek felhasználásával ( U u (ϑzre ϕ ) R e R + R ϕ e ϕ + ) z e z } {{ } HKR-ben további lépések során vegyük figyelembe, hogy az e ϕ a ϕ polárszög függvénye. (.98a) képletek szerint de ϕ dϕ e R. z utóbbi összefüggés kihasználásával azaz [ ] U u ϑzre ϕ R } {{ } ϑze ϕ [ e R + ] ϑzre ϕ R ϕ } {{ } ϑzre R [ e ϕ + U ϑze ϕ e R + ( ϑze R ) e } {{ } } {{ } ϕ + ϑre ϕ e z } {{ } u R u ϕ u z ] ϑzre ϕ e z z } {{ } ϑre ϕ

15 a derivált tenzor. kapott eredmény alapján U u R u ϕ u z 0 ϑz 0 ϑz 0 ϑr (4.35) a derivált tenzor mátrixa, a (.36) valamint a (4.3) képletek alapján pedig ( U + U T ) [ ε R ] γ Rϕ γ Rz α R α ϕ α z γ ϕr ε ϕ γ ϕz ϑr 0 0 γ (4.36) zr γ ϑr zϕ ε z 0 0 az alakváltozási tenzor mátrixa. Ez az eredmény azt jelenti, hogy ε R ε ϕ ε z γ ϕr γ Rϕ γ zr γ Rz 0, míg az alakváltozási tenzor egyedüli nem zérus eleme a γ ϕz γ zϕ fajlagos szögváltozás az R lineáris függvénye γ ϕz γ Rϑ. (4.37) Később látni fogjuk, hogy a ϑ fajlagos elcsavarodási szöget egyértelműen meghatározza az M c csavarónyomaték értéke. Diádikus alakban ó e eõ ô e α ϕ e ϕ + α z e z ϑre R e ϕ + ϑre ϕ e z az alakváltozási tenzor ábra baloldala az Rϕz HKR-ben megrajzolt elemi triéderen szemlélteti az alakváltozási ô tenzort. ó ô ó ó ô R ô ó z 4.6. ábra Feszültségi és energetikai állapot. Mivel a (4.36) alakváltozási tenzor tiszta nyíráshoz tartozó alakváltozási állapot ír le a feszültségi tenzor mátrixa a (4.7) Hook törvényből számítható [ ] T ρr ρ ϕ ρ z Kiolvasható a fenti egyenletből, hogy σ R τ Rϕ τ Rz τ ϕr σ ϕ τ ϕz τ zr τ zϕ σ z G σ R σ ϕ σ z τ ϕr τ Rϕ τ zr τ Rz GϑR 0 GϑR 0. (4.38) feszültségi tenzor egyedüli nem zérus eleme a τ ϕz τ zϕ nyírófeszültség az R lineáris függvénye τ ϕz τ GRϑ. (4.39) 4.6. ábra jobboldala az Rϕz HKR-ben megrajzolt elemi kockán szemlélteti a feszültségi tenzort. 4.7.(a) ábra a tömör rúd egy keresztmetszetében a súlyponthoz kötött ξη KR-ben

16 ø ùú yÿ þüý ùú þ a x üý y û b x y ö þ üý y û c x ö y x x 4.7. ábra. (a ξ tengely egybeesik az R tengellyel, következőleg az η irány a ξ tengely minden pontjában párhuzamos a ϕ iránnyal) szemlélteti a ξ tengely keresztmetszetre eső pontjaiban ébredő τ ξz τ ϕz feszültségeket. z (a) ábrarészlet, a későbbiek kedvéért, feltünteti a d felületelemen ébredő ρ z d τ ϕz e ϕ } {{ } d GRϑe ϕ d (4.40) τ z elemi erőt. Mivel a ρ z τ ϕz e ϕ feszültségeloszlás egyenértékű kell, hogy legyen a keresztmetszet M c csavaróigénybevételével a nyírófeszültségek ugyanolyan módon most az óramutató járásával ellentétesen forgatják a keresztmetszetet a súlyponton átmenő z tengely körül, mint az M c csavarónyomaték. 4.7.(b) ábrarészlet ugyancsak tömör keresztmetszetre, de nem magán a keresztmetszeten, hanem külön megrajzolt KR-ekben, szemlélteti a nyírófeszültségek eloszlását az x és y tengelyek mentén. 4.7.(c) ábra körgyűrűalakú keresztmetszetre teszi ugyanezt. Mivel a rúd bármely keresztmetszetében a keresztmetszeten ébredő ρ z τ z τ ϕz e ϕ GRϑe ϕ nyírófeszültségek egyenértékűek a keresztmetszet M c csavaróigénybevételével (a) zérus kell, hogy legyen az F S feszültségi eredő, (b) a feszültségi eredő erőpárra nézve pedig fenn kell állnia az M S M c e z egyenletnek. z (a) esetben a (.89) és a (4.40) összefüggések és a 4.7.(a) ábra alapján írható, hogy F S ρ z d GRϑ e ϕ d Gϑe z Re R d Gϑe }{{} }{{} z Rd Gϑe z S S. e z e R R } {{ } S S Itt S S a keresztmetszet saját súlypontjára vett statikai nyomatéka, ez pedig nyilvánvalóan zérus, azaz S S 0. Következőleg valóban zérus az F S feszültségi eredő. z (b) esetben a (.90) és a (4.40) összefüggések valamint a 4.7.(a) ábra alapján M S R ρ z d Re R GRϑe ϕ d Gϑ R e R e ϕ d e z Gϑ R d M c e z. } {{ } e z (4.4) Tekintettel az utóbbi képletre a I p R d (4.4) összefüggés értelmezi kör-, illetve körgyűrű alakú keresztmetszetre az I p poláris másodrendű nyomatékot. poláris másodrendű nyomaték értelmezésének felhasználásával a (4.4) egyenletből

17 az M c GϑI p, vagy ami ugyanaz a ϑ M c I p G (4.43) eredmény következik. z utóbbi összefüggés szerint a ϑ fajlagos elcsavarodási szög egyenesen arányos az M c csavarónyomatékkal, és fordítottan arányos az I p poláris másodrendű nyomatékkal, valamint a G nyírási rugalmassági modulussal. fajlagos elcsavarodási szög fenti képletével a (4.37) egyenletből γ ϕz M c I p G R (4.44) a fajlagos szögtorzulás, a (4.39) egyenletből pedig τ ϕz Gγ ϕz M c I p R (4.45) a nyírófeszültség értéke. Ha az M c csavarónyomatékot előjelhelyesen helyettesítjük, akkor a fenti képletek előjelhelyes eredményt adnak az Rϕz HKR-ben a γ ϕz szögtorzulásra és a τ ϕz nyírófeszültségre nézve. z is kiolvasható a (4.45) összefüggésből, hogy a τ ϕz nyírófeszültség abszolutértéke a keresztmetszet kerületén éri el a τ max τ ϕz max M c D I p M c (4.46) K p maximumot, ahol / K p / I p (4.47) R max az úgynevezett poláris keresztmetszeti tényező. y a y b x x 4.8. ábra. Legyen d a körkeresztmetszetű rúd átmérője. Legyenek továbbá d és D a körgyűrűkeresztmetszetű rúd belső és külső átmérői. Szimmetriaokokból d RπdR a felületelem. Körkeresztmetszetű rúdra a (4.4) és a (4.47) képletek, valamint a 4.8.(a) ábra alapján d/ [ R I p R d π R 3 4] d/ dr π, azaz I p d4 π és K p d3 π (4.48) 3 6 a poláris másodrendű nyomaték, valamint a poláris keresztmetszeti tényező. Ugyanilyen gondolatmenettel kapjuk a 4.8.(b) ábra alapján, hogy D/ [ ] R I p π R 3 4 D/ dr π, 4 ahonnan ( D 4 d 4) ( π D 4 d 4) π I p és K p 3 6D a poláris másodrendű nyomaték illetve a poláris keresztmetszeti tényező. d/ d/ (4.49)

18 (4.33) összefüggésből z l-re megkapjuk a rúd jobboldali véglapjának a rúd baloldali véglapjához viszonyított szögelfordulását: Φ l ϑl Innen, a fajlagos szögelfordulás (4.33) alatti értékének helyettesítésével Φ l M cl I p G (4.50) a két véglap egymáshoz viszonyított relatív elfordulása. z l hosszúságú rúdszakaszban felhalmozódott alakváltozási energia kétféleképpen is számítható. Vehetjük egyrészről a rúdszakaszra ható külső erők munkáját, hiszen az a rugalmas alakváltozás tartományában mindig megegyezik a felhalmozódott alakváltozási energiával. Másrészről számíthatjuk a fajlagos alakváltozási energia rúdszakasz térfogatára vonatkozó integrálját. z első esetben a vékonyfalú cső alakváltozási energiájával kapcsolatos és a (4.3) képletre vezető gondolatmenettel azonnal írhatjuk, hogy U W K M cφ l Mc l I p G. (4.5) második esetre nézve a fejezet végén bemutatott 4.4. Mintapélda mutatja be a fentivel azonos eredményre vezető számítást. Érdemes azt is megfigyelni, hogy fennáll a U M cl M c I p G Φ l. (4.5) egyenlet Ez az összefüggés a húzott, illetve nyomott rudakkal kapcsolatos (3.5) képlet analogonja. z összefüggés szerint a rúd véglapjának Φ l szögelfordulása az alakváltozási energia rúd véglapján működő nyomaték szerinti parciális deriváltja Ellenőrzés, méretezés. jelen szakasz csavarásra igénybevett kör és körgyűrűkeresztmetszetű rudak ellenőrzésével illetve méretezésével foglalkozik. Jelölje a tönkremenetelt okozó és pozitív előjelűnek tekintett nyírófeszültséget τ jell. Ez a mennyiség a rúd anyagától függően vagy a τ F folyáshatárral, vagypedig a τ B nyírószilárdsággal vehető egyenlőnek. z első választás szívós anyagok (lágy fémek, alacsony széntartalmú acélok) esetén célszerű a jelentős maradó alakváltozások elkerülése érdekében. Rideg anyagok esetén általában nem előzi meg jelentős alakváltozás a törést. Itt tehát a második választás a szokásos. megengedett nyírófeszültséget a τ meg τ jell n (4.53) összefüggés értelmezi, ahol az n a szakaszból már ismert előírt biztonsági tényező. Ellenőrzés esetén a keresztmetszeten fellépő nyírófeszültség (4.46) képlettel értelmezett maximumát számítjuk ki először és ezt hasonlítjuk össze a megengedett nyírófeszültséggel. Megfelel a csavarásra igénybevett kör-, vagy körgyűrűkeresztmetszetű rúd, ha fennáll a τ max M c K p τ meg τ jell n (4.54) egyenlőtlenség. Méretezés esetén adott az M c csavarónyomaték, valamint a rúd anyaga és első lépésben keressük azt a minimálisan szükséges K p sz keresztmetszeti tényezőt, amelyhez előírt n biztonsági tényező tartozik. keresztmetszeti tényező K p sz alsó korlátja a (4.54) egyenlőtlenségből következik: K p K p sz M c τ meg. (4.55) K p sz alsó korlát ismeretében esetleg más szempontokat is figyelembe véve megválasztható(k) a keresztmetszet átmérője, illetve átmérői.

19 M M 4.3. Változó keresztmetszetű rúd KM Szakaszonként állandó keresztmetszet ábra a szakaszonként állandó keresztmetszetű D rudat, a rúd terheléseit B C D ezek z tengely irányú nyomatékok, amelyek a rúd B és C keresztmetszetein illetve a rúd D M véglapján működnek, valamint a rúd K 3 D, M K D és K D jelű részeit, továbbá a felsorolt rúdrészeken működő külső és belső erőket, végül pedig a csavarónyomatéki ábrát szemlélteti. Feltételezzük, hogy az, és 3 jelű rúd- M KD M M KM szakaszokon belül mindenütt állandóak a prizmatikus kör-; és körgyűrűkeresztmetszetű rudak csavarási feladatával kapcsolatos képletek- D MM M ben szereplő és a rúdra jellemző mennyiségek, továbbá a csavarónyomaték értéke is, azaz I pi, G i, l i és M ci. Leolvasható az ábráról mivel az M Cz < 0 az is, hogy D M c M Bz + M Cz + M Dz, M c M Cz + M Dz, M c3 M Dz. Ha eltekintünk a hirtelen keresztmetszetváltozások feszültségi és alakváltozási állapotra gyakorolt hatásától, ez ugyanis csak lokális zavarást okoz, akkor az összes eddigi 4.9. ábra. eredményt, M M M M azaz a (4.45), (4.50) és (4.5) képleteket egyaránt érvényesnek tekinthetjük az egyes szakaszokon belül. Következőleg τ ϕzi M ci I pi R (4.56) a nyírófeszültség képlete az i-ik szakaszra nézve (i,, 3). rúd D keresztmetszetének elfordulása az keresztmetszethez képest pedig úgy kapható meg, hogy összegezzük az egyes rúdszakaszok jobboldali végének a tekintett rúdszakasz kezdetéhez viszonyított Φ i szögelfordulásait: 3 M ci l i Φ D Φ l Φ + Φ + Φ 3. (4.57) I pi G i rúdban felhalmozódott teljes alakváltozási energia ugyanilyen módon az egyes rúdszakaszokban felhalmozódott alakváltozási energia összegeként adódik: Mivel U U + U + U 3 i 3 Mci l i. (4.58) I pi G i i M ci M Dz ; i,,3 a (4.58) képletből a (4.5) egyenlet általánosítását jelentő összefüggés következik. U M Dz 3 M ci l i M ci I pi G i M Dz i 3 M ci l i Φ D Φ l I pi G i i z z

20 szakaszonként állandó keresztmetszetű rúd esetén azon alapul az ellenőrzés illetve méretezés, hogy minden egyes rúdszakaszra nézve fenn kell állnia a τ max i M ci K pi τ meg i (4.59) relációnak, ahol τ max i a megengedett nyírófeszültség a rúd i-ik szakaszán. M dz B z MM l M(z)állandó 4.0. ábra. pedig I p (z)g(z)-t írunk. Következésképp: z l Folytonosan változó keresztmetszet. Ha folytonosan de csak igen kismértékben változik a kör-, illetve körgyűrű keresztmetszet területe a 4.0. ábra ezt az esetet szemlélteti, akkor jó közelítéssel fennáll, hogy τ ϕz M c(z) I p (z) R (4.60) a nyírófeszültség, a többi feszültségkoordináta pedig elhanyagolhatóan kicsiny. rúd véglapjának szögelfordulását a dz hosszúságú elemi rúdszakasz két véglapja dφ relatív szögelfordulásának integrálja adja. Maga a dφ relatív szögelfordulás a (4.50) képlettel számítható, ha az M c helyére M c (z)-t magán az ábrán állandó az M c (z), l helyére dz-t és az I p G szorzat helyére Φ M c (z) 0 I p (z)g(z) dz. } {{ } (4.6) dφ Hasonló megfontolással kapjuk (4.5)-ból, hogy U l 0 M c (z) I p (z)g(z) dz (4.6) a rúdban felhalmozott alakváltozási energia. mi pedig a fenti képletek érvényességét illeti érdemes ismételten hangsúlyozni, hogy azok csak akkor alkalmazhatók ha igen kismértékben változik az keresztmetszet a z függvényében Statikailag határozatlan feladatok Csavarásra igénybevett kör-, és körgyűrűkeresztmetszetű rudak esetén úgy vesszük, hogy a nyomatékvektorok a rúd tengelyvonala mentén működnek, azaz egy egyensúlyi egyenlet áll rendelkezésre az ismeretlen támasztónyomaték(ok) meghatározására. Ha a rúd valamelyik végét befogjuk, akkor csak egy ismeretlen támasztónyomatékkal kell számolnunk, azaz a feladat statikailag határozott. Ha azonban a rúd mindkét vége befogott akkor két támasztónyomatékot kell meghatározni. Ez egyben azt is jelenti, hogy statikailag határozatlan a feladat, hiszen egy egyensúlyi egyenlet áll rendelkezésre a két ismeretlen meghatározására. Következésképp további egyenletre van szükség a feladat határozottá tételéhez. Ezt a pótlólagos egyenletet abból a feltételből kapjuk, hogy a második támasz révén valójában meggátoljuk, hogy a rúd befogott végei egymáshoz képest elforduljanak. Mindez jól követhetően jelenik meg a 4.. ábrán vázolt D rúd esetén. rúd két vége befogott. terhelést a tengelyvonal B pontjában működő M Bz < 0 nyomaték jelenti. z ábra feltünteti a támaszairól levett rudat és a reá ható M Bz terhelést, továbbá az ismeretlen M z, M Dz támasztónyomatékokat, a rúd K, K K és K D részeit K és K az B, illetve BD szakaszokon belül található rúdkeresztmetszetek, valamint a rajtuk működő külső és belső erőket, és végül az M c (z) csavarónyomatéki ábrát. Mivel a rúd egyensúlyban van fenn kell állnia a M z + M Bz + M Cz 0 (4.63)

21 !" $"!" $" #" %& $"!" $" #" + + #" 4.. ábra. nyomatéki egyenletnek. rúd D keresztmetszetének zérus az keresztmetszethez viszonyított szögelfordulása. Visszaidézve a (4.57) képletet írhatjuk tehát, hogy Φ D I p G Φ l I p G M c l + M c l 0, ahol az K illetve K D jelű rúdszakaszok egyensúlya alapján M c M z és M c M Dz. Következésképp M Dz l M z. (4.64) l z utóbbi formula (4.63)-ba történő helyettesítésével M z -t, majd az M z -re vonatkozó eredményt (4.64)- be írva M Dz -t kapjuk M z l M Bz, M Dz l M Bz. (4.65) l + l l + l + Ezzel megoldottuk a feladatot. ) 4.5. Vékonyfalú, zárt szelvényű prizmatikus rudak szabad csavarása vizsgálat tárgyát képező rúd állandó keresztmetszetű, zárt szelvényű és vékonyfalú. 4.. ábra példaként szemlélteti egy '( * ilyen téglalapkeresztmetszetű rúd egyik, terhelt végét. rúd szemléltetett vége peremezett. Nyilvánvaló az ábráról, hogy a peremen kifejtett F, F erőpár csavarásra veszi F igénybe a rudat. vonatkozó csavarónyomatékot M c jelöli. csavart rúd hossztengelye, összhangban az eddigiekkel, egybeesik a KR z tengelyével. rúd keresztmetszetei pedig az xy koordinátasíkkal párhuzamos síkokban fekszenek. -F Ha nem kör-, vagy körgyűrű keresztmetszetű rudat csavarunk, akkor a megfigyelések szerint a rúd keresztmetszeteit alkotó anyagi pontok a rúd palástjának alkotói irányában, azaz a z irányban is elmozdulnak. Ez azt jelenti hogy nem marad síkfelület a terhelés hatására alakváltozott keresztmetszet. Egy 4.. ábra. adott keresztmetszet pontjainak z irányú elmozdulását a keresztmetszet öblösödésének vagy vetemedésének nevezzük.

22 Mivel az erőpárt alkotó e0 erők a a rúd peremének síkjában működnek nincs gátolva a rúd keresztmetszeteinek z irányú elmozdulása. Ezzel összefüggésben szabad csavarásról beszélünk ha nincs meggátolva a keresztmetszetek pontjainak a rúd hossztengelye menti elmozdulása. Ha, ezzel szemben valamilyen módon, pl. a támaszok révén, meg van gátolva a rúd keresztmetszeteinek z irányú mozgása, akkor gátolt R / P3 L5 csavarásról beszélünk. továbbiakban feltételezzük, hogy a feladat szabad csavarási feladat. n y e y s e0ds n, P4, b,, -., b(s) x x z S s n/ b/ / -./dz 4.3. ábra ábra baloldali része egy vékonyfalú prizmatikus rúd keresztmetszetét szemlélteti. rúdszelvény úgy épül fel, hogy a szelvény középvonalára, ezt vékony vonallal rajzoltuk meg, merőlegesen mindkét irányban felmérjük a b vastagság felét. Maga a vastagság a szelvény L k középvonala mentén mért s ívkoordináta függvénye: b b (s). keresztmetszet középvonalának minden egyes pontjában értelmezhető egy jobbsodratú ξηζ (ξsζ) lokális KR. ξ tengely a középvonal érintője, melynek pozitív iránya egybeesik az s ívkoordináta pozitív irányával; az utóbbi irányban haladva a középvonalon balkéz felől esik a középvonal által határolt síkbeli tartomány. z η tengely a középvonal külső normálisa, a ζ tengely pedig párhuzamos a z tengellyel. középvonal pontjainak R o R o (s) a helyvektora. Legyen n a középvonal külső normális egységvektora. Nyilvánvaló az eddigiek alapján, hogy e ξ n, e η dr o(s) és e ζ e ξ e η. ds z alábbiakban megkíséreljük tisztázni a rúd feszültségi állapotát. Ehhez a kérdéshez kapcsolódóan az alábbi feltevésekkel élünk:. b(s) falvastagság csak lassan és kis mértékben változik az s függvényében.. Mivel szabad csavarási feladatról van szó csak nyírófeszültség ébred a keresztmetszeten. Következésképp ρ z τ z. 3. kialakuló feszültségállapot független a z koordinátától. 4. nyírófeszültségnek nincs ξ irányú összetevője és állandó a falvastagság mentén. Ezért mindig megadható a τ z τ ηz (s)e η (s) (4.66) alakban. z utóbbi feltevés azon alapul, hogy csak érintőirányú feszültség ébredhet a keresztmetszet peremén, továbbá, hogy kicsi és csak mérsékelten változik b(s) falvastagság ábra jobboldali része egy a csőből kimetszett hasábot szemléltet. hasáb két z tengellyel párhuzamos és az ábrán halványszürke színben megrajzolt határfelületét úgy kapjuk meg, hogy a baloldali ábrarészlet n és n jelű egyenesszakaszain áthaladó a két egyenesszakasz mindegyike merőleges a cső középvonalára és a z tengellyel párhuzamos síkokat veszünk metszősíknak. hasáb z tengelyre merőleges határfelületei a cső két egymástól dz távolságra fekvő keresztmetszetének részei. hasábot szemléltető ábra, összhangban a nyírófeszültségek dualitásával, feltünteti a hasábon működő feszültségeket is. Mivel a hasáb egyensúlyban van zérus a z irányú erők összege: b τ zη dz + b τ zη dz 0. Ebből az egyenletből, figyelembe azt a körülményt, hogy az n és n bárhol lehet a középvonalon, a τ ηz (s)b(s) állandó Q (4.67)

23 összefüggés következik. cső b(s) falvastagságának és a falvastagság menti τ ηz (s)nyírófeszültségnek Q szorzatát nyírófolyamnak szokás nevezni. (4.67) képlet szerint állandó a Q nyírófolyam a vékonyfalú, zárt keresztmetszetű cső szabad csavarási feladata esetén. nyírófolyam állandóságából következik az a természetes követelmény, hogy zérus értékű a keresztmetszeten ébredő belső erőrendszer, azaz a τ z nyírófeszültségek eredője Valóban, a (3.3), (4.66) és (4.67) képletek alapján egyszerű átalakításokkal adódik, hogy F S ρ z d τ z }{{} d b(s) ds e η (s)τ ηz (s)b(s) ds Q L k } {{ } Q e η (s)ds L k } {{ } dr o P Q dr o Q R o P 0. P P nyírófeszültség és a csavarónyomaték közötti kapcsolatot abból a feltételből kapjuk meg, hogy megegyezik a τ z nyírófeszültségeloszlás nyomatéka az S pontra a terhelésből adódó M c e z csavarónyomatékkal. számítások során vegyük figyelembe az alábbiakat:. τ z b(s) elemi eredő mindig a keresztmetszet középvonalán működik.. Mivel az R o (s) és dr o vektorok vektoriális szorzata merőleges a két vektorra, a szorzat értéke pedig a két vektor által kifeszített parallelogramma területe fennáll az R o (s) e η (s)ds R o (s) dr o d o e z összefüggés, ahol d o a R o (s) és dr o e η (s)ds vektorok által kifeszített halványszürke háromszög területe. (3.3), (4.66) és (4.67) összefüggések, valamint a fentiek alapján írható, hogy M S M c e z R ρ z d R o (s) τ z b(s)ds R o (s) e η (s)τ ηz (s)b(s) ds L k } {{ } Q Q d o e z τ ηz (s)b(s) o e z, o ahol az o a keresztmetszet középvonala által határolt terület. z utóbbi képlet bekeretezett részeinek egyenlősége alapján τ ηz (s) M c b(s) o (4.68) a nyírófeszültség értéke. Vegyük észre, hogy a vékonyfalú cső csavarási feladata kapcsán levezetett (4.3) összefüggés a fenti képlet speciális esete. Valóban elemi lépésekkel, a (4.3) képlet helyettesítésével azt kapjuk a (4.3) összefüggésből, hogy τ ϕz M c R o k M c R o πbr o M c broπ M c τ ηz. b o }{{} o Legyen l a vizsgálat tárgyát képező cső hossza. Jelölje továbbá Φ l a cső végkeresztmetszetének a cső kezdeti keresztmetszetéhez viszonyított elfordulását az M c csavarónyomaték hatására. Tekintettel a (4.3) és (4.68) összefüggésekre u τ ηz M c G 4Gb (s) o (4.69) a fajlagos alakváltozási energia értéke. csőben felhalmozódó teljes alakváltozási energia a fajlagos alakváltozási energia integrálja a cső térfogatán: U u dv Mc V V 4Gb (s) }{{} dv M c o 4G o b (s) }{{} d dz Mc l l ddz b(s)ds }{{} G 4 o l z L k ds b(s) I c 4 o ds b(s) L k (4.70)