MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

Átírás

1 MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz az x 0 feltételt kielégítő (9 pont) ( x ; y) számpárok halmaza pont * Ekvivalens átalakításokat végezve: y + y = 6 x, + 8y = 8 x 8y + = 0 + y = 9 x pont Az y 8y + = 0 egyenlet megoldása a és a 6 pont A második egyenletbe helyettesítéssel kapjuk, hogy az egyenletrendszer és a ; 6 rendezett számpárok lehetnek pont Ezek elemei az alaphalmaznak, és az alaphalmazon ekvivalens átalakításokat végeztünk, ezért a kapott számpárok kielégítik az eredeti egyenletrendszert pont * megoldásai az ( ; ) Összesen: 9 pont *: A megjelölt, összesen pontot megkaphatja a vizsgázó abban az esetben is, ha nem vizsgál alaphalmazt, de a megoldások helyességét például behelyettesítéssel ellenőrzi

2 oldal x + x + Legyen f : x a, x R Mutassa meg, hogy ha a k valós számhoz tartozó függvényértékhez hozzáad ( k +) -et, akkor a ( k +) -hez rendelt függvényértéket kapja! (0 pont) k + k + f ( k) = ; pont ( k + ) + ( k + ) + f ( k + ) = ; pont k + k + k + k + f ( k) + k + = + k + = ; pont k + k + + k + + k + k + f ( k + ) = = pont Tehát f ( k) + k + valóban megegyezik ( k +) f -gyel pont Megjegyzés Az állítás belátható így is: Összesen: 0 pont k + k + f ( k) + k + = + k + pont Közös nevezőre hozás után: k + k + + k + = ( k + ) + ( k + ) + = f ( k + ) 6 pont A nagykereskedő raktára és a kiskereskedő üzlete közti szállítás során a banán tömege %-kal csökken A kiskereskedő ennek tudatában kiszámolta, hogy ha üzletében 8 Ft-ért árusítja a banán kilóját, és eladja a teljes mennyiséget, akkor %-os haszonra tesz szert a) Mennyiért adja a banán kilóját a nagykereskedő? b) A szállítás napján a kiskereskedő a banánnak csak a 7%-át tudta eladni, a maradék másnapra megbarnult Legalább mennyi legyen a barna banán kedvezményes ára, hogy a kiskereskedő, eladva a teljes mennyiséget, ne fizessen rá az üzletre? ( pont) A nagykereskedő m kg banánt adott el a kiskereskedőnek ( m > 0 ) a) Legyen kg banán nagykereskedelmi ára x Ft Ekkor, a tömeg megváltozását figyelembe véve:, x m = 0,98 8 m, amiből x = 6 A nagykereskedő 6 forintért adja a banán kilóját a kiskereskedőnek pont

3 oldal b) Legyen kg barna banán kedvezményes ára y Ft Ha a kiskereskedő nem fizet rá az üzletre, akkor ( 0, ,7 y) m 0,98m 6 pont 6 0,98 0,7 8 Ebből y, azaz forintra kerekítve y 0,98 0,7 A kiskereskedőnek legalább Ft-ot kell kapnia kg eladott barna banánért, hogy ne legyen vesztesége pont Szöveg alapján történő ellenőrzés pont Összesen: pont P A koordináta-rendszerben adott a P pont, valamint az e és f metsző egyenesek A P pontot az e egyenesre tükrözve a P ( ;) pontot, a P pontot az f egyenesre tükrözve a P ( ; ) pontot kapjuk Határozza meg az e és f egyenesek metszéspontjának koordinátáit, ha tudjuk, hogy ez a pont rajta van az y = x egyenletű egyenesen! megoldás f y F P K e P y = x x Elvileg is helyes ábra A tükrözés miatt az e egyenes a PP szakasz, ( pont) pont az f egyenes a PP szakasz felezőmerőlegese pont Mivel a feladat szövege szerint ezek metsző egyenesek, ezért a P, P, P pontok egy háromszög csúcsai, e és f metszéspontja pedig a PP P háromszög körülírt körének K középpontja A P P szakasz felezőmerőlegese tehát átmegy K-n A K pont rajta van az y = x egyenletű egyenesen is, ezért ennek az egyenesnek és a P P szakasz felezőmerőlegesének K közös pontja pont A P a P P szakasz felezőpontja F ( 0 ; ), az ( ; ) FP pedig normálvektora P felezőmerőlegesének, ennek egyenlete tehát: x + y = pont A K pont koordinátái kielégítik az y = x x + y = egyenletrendszert

4 oldal Mivel ennek egyetlen megoldása a ;, ezért az e és f egyenesek keresett metszéspontja a megoldás Jelölje az e és f egyenesek metszéspontját K K ; pont pont Összesen: pont Mivel K rajta van az y = x egyenletű egyenesen, ezért koordinátái írhatók így is: K k ; k pont Az egyenesre vonatkozó tükrözés tulajdonságai miatt KP = KP és KP = KP, vagyis KP = KP pont A távolságok egyenlősége helyett azok négyzetének egyenlőségét felírva: ( ) + k 6 = ( k + ) k + k pont A kijelölt négyzetre emeléseket elvégezve: 6 k 8k k + 8k + 6 = k + 8k k + k + 6 pont Innen 6 = k + 6, amelyből k = pont A K pont első koordinátája tehát, második koordinátája pedig =, azaz K ; pont Összesen: pont + Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget az \ { } R alaphalmazon! log0, x + log0, x 6 > 0 lg x Egy tört értéke pontosan akkor pozitív, ha számlálója és nevezője azonos előjelű A számláló előjelének vizsgálata: ( pont) pont A log0, x + log0, x 6 = 0 segédegyenletből: log 0, x = vagy log 0, x = pont

5 oldal log0, x + log0, x 6 < 0 pontosan akkor, ha < log0, x < pont A 0, alapú logaritmusfüggvény szigorúan monoton csökkenő, pont * tehát a számláló pontosan akkor negatív, ha 0, < x < 0,, azaz < x < 8 pont log0, x + log0, x 6 > 0 pontosan akkor, ha log 0, x < vagy < log 0, x pont A 0, alapú logaritmusfüggvény szigorúan monoton csökkenő, tehát a számláló pontosan akkor pozitív, ha x > 8 vagy 0 < x < pont A nevező előjelének vizsgálata: A tízes alapú logaritmusfüggvény szigorúan monoton növekvő, ezért pont * a nevező pontosan akkor negatív, ha 0 < x < igaz, pont és pontosan akkor pozitív, ha x > teljesül pont Tehát: - a számláló is és a nevező is negatív, ha < x < 8 és 0 < x <, azaz ha < x < igaz; pont - a számláló is és a nevező is pozitív, ha igaz, hogy x > 8 vagy 0 < x <, és még az is igaz, hogy x > Ebből x > 8 következik pont Az egyenlőtlenség megoldáshalmaza tehát: ; ] 8 ; + [ pont Összesen: pont *: - A különböző (0,, 0, esetleg ) alapú logaritmusfüggvények monotonitásának helyes megállapításáért az első alkalommal - pont (összesen ) adható - Ha a vizsgázó közös alapra hozza a kitűzött feladatban szereplő logaritmusokat, akkor ezért pontot kap, a választott logaritmusfüggvény monotonitásának helyes megállapításáért szintén pontot - Ha a vizsgázó más alapú logaritmusra tér át, de az áttérés után továbbra is különböző alapú logaritmusokkal dolgozik, akkor az áttérésért nem kap pontot Megjegyzés: Ha a vizsgázó előjelvizsgálat nélkül beszoroz lg x -szel, akkor csak a log0, x + log0, x 6 > 0 egyenlőtlenség hibátlan megoldásáért kaphat pontot, azaz legfeljebb pontot szerezhet

6 6 oldal B 6 Négyoldalú gúla alaplapja a 8 cm oldalú ABCD négyzet, a gúla oldaléleinek hossza: EA = EB = 8cm, EC = ED =0,cm Számítsa ki a gúla térfogatát és felszínét! ( pont) 8 m 8 E F x E 8 A 8 x 0, C 0, G D A feladatot értelmező ábra Használjuk az ábra jelöléseit! A gúla szimmetrikus az alaplap FG középvonala és E csúcsa által meghatározott síkra, ezért az E csúcsnak az alapsíkra eső merőleges vetülete ( E ) illeszkedik FG egyenesére EF a 8 cm oldalú ABE szabályos pont pont háromszög magassága, ezért hossza cm EG az egyenlő szárú CED háromszög alapjához tartozó magassága, hossza: EG = 0, = 9, 6 cm pont A gúla EE magassága az EFG háromszög FG oldalához tartozó magasságával egyenlő Az EE F, illetve EE G derékszögű háromszögből Pitagorasz-tétellel: pont m ( ) x =, illetve m 9,6 ( 8 x) = E két egyenletből következik, hogy 8 x = 8,6 + 6x x, így x =, (x > 0 egyben az ábra helyességét is igazolja) Ezt (például) az első egyenletbe helyettesítve: m = 6, 6 Mivel m > 0, ezért m 6, 8 cm pont * A gúla alapterülete 6 cm, magassága 6,8 cm, 6 6,8 így térfogata körülbelül, 9 cm pont 6 8 9,6 Az oldallapok területe: t ABE = 7,7cm, t CDE = = 8, cm ; pont az ADE egyenlő szárú háromszög DE alapjához tartozó magasságának hossza 8, 0, 6,08 6,08cm, tehát t ADE = t BCE =,6cm pont A gúla felszíne közelítőleg: 6 + 7,7+ 8, +,6 = 9,cm pont Összesen: pont

7 7 oldal *: Ez a három pont jár akkor is, ha a vizsgázó bármely más úton (pl az EFG háromszög területe segítségével) helyesen határozza meg a gúla magasságát Megjegyzés: A feladatban szereplő háromszögek területét Heron-képlettel is meghatározhatjuk 7 Adott a d differenciájú ( a n ) számtani sorozat A sorozathoz található olyan p és q valós szám, hogy minden -nél nagyobb n természetes szám esetén a pa qa Határozza meg p és q lehetséges értékeit, ha ( ) a n a) nem állandó sorozat; n+ = n + n b) olyan állandó sorozat, amelyben a 0 ; c) olyan állandó sorozat, amelyben a = 0 ( pont) Minden -nél nagyobb n természetes szám esetén: a n ( a d ) + d = pa + q, pont n n rendezés után: ( p q ) an = ( q + )d + () pont a) d 0 pont Ha p + q 0, akkor () szerint minden -nél nagyobb n természetes szám esetén Mivel ( q + ) d p + q ( q + ) d a n = teljesül pont p + q állandó, ezért a n is állandó, s így a számtani sorozatban d = 0 Ez azonban most nem lehetséges pont p igaz és így () szerint ( + ) d = 0 Tehát + q = 0 q Mivel d 0, ezért q + = 0, vagyis q = pont Ezt p + q = 0 -ba helyettesítve p = adódik Tehát, ha a számtani sorozat nem állandó, akkor p = és q = pont an + an+ Ellenőrzés: a n+ = an an ekvivalens an = -vel Számtani sorozat esetén ez valóban minden -nél nagyobb n természetes szám esetén igaz b) Az ( ) n a állandó sorozat, azaz d = 0 Mivel a 0, ezért az ()-ből p + q = 0, azaz q = p következik (hiszen minden n-re a n = a ) pont a pa qa helyett ekkor a = pa + ( p) a írható, ami nyilvánvalóan n+ = n + n

8 8 oldal igaz, ezért a p + q = 0 összefüggést kielégítő bármely (p ; q) rendezett számpár lehetséges c) Ha d = a = 0, akkor a megadott összefüggés: 0 = p 0 + q 0, tehát p és q értéke tetszőleges lehet pont pont Összesen: pont 8 Az ABC háromszög köré írt kör C pontban húzott érintője az AB oldal egyenesét a P pontban metszi A PA szakasz hossza 6, a PC szakaszé 0, az APC szög szinusza Határozza meg a háromszög köré írt kör sugarát! Ha sin α =, akkor eset: B cos α = vagy cos α =, ekkor α hegyesszög ( pont) cosα = pont Az ACP háromszögre felírva a koszinusztételt: AC = = Ebből AC = pont Mivel + 6 = 0 igaz, ezért a Pitagorasz-tétel megfordítása miatt a PAC háromszög és vele együtt a BAC háromszög is derékszögű, és a derékszög az A csúcsánál van BC tehát az ABC háromszög körülírt körének átmérője A PC érintő merőleges a BC átmérőre, így a BCP háromszögből: BC = 0 tgα = 0 = Az ABC háromszög körülírt körének sugara tehát 7, eset: A C 6 0 α cosα =, ekkor α tompaszög P pont pont C 0 B 9 A 6 α P

9 9 oldal Koszinusztétellel: AC = = 68, ebből AC = 7 pont sin PAC < ) 0 A szinusztétel szerint az APC háromszögben =, ebből sinα 7 0 sin PAC < ) = = pont 7 7 A szelőtételből: PA PB = PC, ezért PB = pont A BPC háromszögből koszinusztétellel: BC = = 8, amiből BC = 7 pont Mivel BAC < ) = 80 PAC < ), ezért sin BAC < ) = sin PAC < ) =, pont 7 így az ABC háromszög körülírt körének sugara: BC r = = = = sin BAC < ) Az ABC háromszög körülírt körének sugara tehát 6 60,8 pont 6 Összesen: pont Megjegyzés: A eset tárgyalása koszinusztételek alkalmazása nélkül is lehetséges, például az alábbi módon C 0 B 9 A 6 α 80 α P D Húzzuk meg az APC háromszög AP oldalához tartozó magasságát, ennek talppontját jelölje D A CDP derékszögű háromszög P csúcsánál fekvő hegyesszöge az α-val jelölt APC szög mellékszöge, ezért ennek koszinusza, szinusza pedig pont A CDP háromszögből: PD = 0 = 6, CD = 0 = pont

10 0 oldal Az ADC háromszögből: AC = + = 68 = 7 pont A szelőtételből: PA PB = PC, ezért PB =, pont így a BDC háromszögből BC = + = 8 = 7, pont CD és sin ABC < ) = = pont BC 7 AC r = = = = sin ABC < ) Az ABC háromszög körülírt körének sugara tehát 6 60,8 pont 6