I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám,

Átírás

1 Dobos Sándor, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Dobos Sándor; dátum: 005. november 1. feladat A 70-nek 80%-a mely számnak a 70%-a? I. rész. feladat Egy szabályos nyolcszögnek hány átlója van? () () 3. feladat Tekintsük a következő két halmazt: H={1,, 3, 8, 9} és G={3k-1 0<k<5, k egész}. a) Hány eleme van a két halmaz uniójának? b) Mennyi a két halmaz metszetében levő elemek átlaga? (4 pont) 4. feladat Tekintsük a következő függvényt: f ( x) x 100. Melyik a legkisebb egész szám, melyre a függvény helyettesítési értéke negatív? () 5. feladat Két dobókockával dobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy a dobások átlaga egész szám? Válaszát indokolja! () 6. feladat Adjon meg olyan pozitív egész n számot, amelyre az alábbi három állítás közül kettő igaz, egy pedig hamis: (1.) n osztható 6-tal. (.) n nem osztható -vel. (3.) n jegyeinek összege 1. () 7. feladat Határozzuk meg a 8. feladat Mennyi 3 cosx 4 sin x egyenlet megoldásait, ha 0 x. log 3 4 pontos értéke? (4 pont) () 9. feladat Egy szabályos sokszöget két egymást nem metsző átlója egy háromszögre, egy négyszögre és egy ötszögre vágja szét. Hány oldalú volt az eredeti sokszög? () 10. feladat Adja meg a 17 pozitív többszörösei közül a legkisebbet, melyben a jegyek összege 9. (4 pont) 1

2 Dobos Sándor, 005. november II./A rész 11. feladat A Megamozi új vetítőtermében minden sorban ugyanannyi szék van, összesen 364 darab. A mozi igazgatóságának legutóbbi ülésén felszólalt a gazdasági igazgató és javasolta, hogy minden sort toldjanak meg a szélein egy-egy székkel, és kicsit szűkebb lábhelyet kialakítva még három sorral bővítsék a nézőteret. Így 480 néző nézheti meg egyszerre a jobbnál jobb filmeket. Hány sor van most a teremben és soronként hány szék? (1) 1. feladat Az ABC háromszögben AB=6, BC=8, CA=10. A háromszöglap mindazon P pontjait pirosra festettük, amelyekre PA PB és PA PC. a) Milyen alakzatot alkotnak a pirosra festett pontok? b) Az ABC háromszög területének hány százaléka lett piros? c) Az A-tól legtávolabb levő piros pont milyen messze van B-től? (1) 13. feladat Oldja meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán: x 3 a). b) 7 x x 5 0. x 1 II./B rész A feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania. (1) 14. feladat Kázmér kockacukrot kapott. Szeretne 56 kockából kirakni egy téglatestet a) Hányféle lehet a Kázmér által épített téglatest? (Egybevágó téglatestek csak egyszer számítanak, függetlenül attól, hogy melyik lapjukkal fekszenek az asztalon.) b) Legfeljebb mekkora felszínű lehet a téglatest? c) Az építhető téglatestek közül melyiknek a legrövidebb a testátlója? (17 pont) 15. feladat Adott az e egyenes, egyenlete: x+y=3 és a P(7;4) pont. a) Határozzuk meg a P pont merőleges vetületét az e egyenesre! b) P körül elforgatjuk az e egyenest 90 -kal és 90 - kal. Írjuk fel az elforgatott egyenesek egyenleteit. c) Írjuk fel a P középpontú körök közül annak az egyenletét, melyből az e egyenes éppen a kör kerületének 5%-át vágja le. (17 pont) 16. feladat Egy sakk körmérkőzésen hatan vettek részt Aladár, Balambér, Csongor, Dezső, Elemér és Frigyes. Az első napon a következő mérkőzéseket rendezték meg (a mérkőző feleket nevük kezdőbetűje jelöli): A-C, C-E, B-F, A-E, B-D, B-E. a) A versenynap végén leültethetők-e a versenyzők egy padra úgy, hogy bármely két szomszédos ember mérkőzése már lezajlott? b) Az első nap estéjén néhányan együtt biliárdoztak, köztük még egyetlen sakkmérkőzés sem volt. Legfeljebb hányan lehettek? c) Hány mérkőzés volt a többi napokon, ha mindenki mindenkivel egyszer játszott? (17 pont)

3 Dobos Sándor, 005. november Dobos Sándor 005. novemberi feladatsorának megoldásai és pontozási útmutatója 1. feladat Az ismeretlen szám legyen x x 0. 7, tehát x=80.. feladat Az átlók száma feladat H G {1,,3,5,8,9,11}, tehát az unió elemszáma 7. A két halmaz metszetében a és a 8 van benne, ezek átlaga 5. Összesen: Összesen: Összesen: 4 pont 4. feladat A függvény zérushelyei a -10 és a 10, grafikonja felfelé nyitott parabola. Ezért a zérushelyek között negatív. A legkisebb egész, amelyre a függvény értéke negatív a (-9). Összesen: 5. feladat A dobások átlaga akkor lesz egész, ha másodszor ugyanolyan paritású számot gurítunk, mint először. Tehát a válasz 0.5. Összesen: 6. feladat Az (1.) és a (.) egyszerre nem lehet igaz, tehát a (3.) biztosan igaz. Minden szám megfelelő, amelyben a jegyek összege 1, például: 48, vagy 39. Összesen: 7. feladat A bal oldal legalább, a jobb oldal legfeljebb. Akkor van csak megoldás, ha mindkét oldal egyenlő. Az egyetlen megoldás, ha x. Összesen: 4 pont 8. feladat log 3 4 log 3 log 9 9. A pontos érték feladat Az eredeti sokszög nyolcszög volt. Összesen: Összesen: 10. feladat Ha a jegyek összege 9. akkor a szám osztható 9-cel. A 17 és a 9 legkisebb közös többese éppen 153. Összesen: 4 pont 3

4 Dobos Sándor, 005. november II./A rész 11. feladat Jelölje a sorok számát x, a sorban levő székek számát y. xy=364 (x+3)(y+)=480 Az egyik egyenletből kifejezi az egyik ismeretlent. Behelyettesíti a másik egyenletbe és megoldja. Megadja az x=13, y=8 választ és ellenőrzi. Összesen: 1 Megjegyzés Az xy = 364 összefüggésből x-re annyi eset van ahány pozitív osztója van a 364 = 7 13 számnak. Ez tehát 3 =1 eset. Ezek szisztematikus végignézése révén is megoldható a feladat, teljes megoldásért jár a maximális pontszám. 1. feladat A háromszög oldalai pitagoraszi számhármast alkotnak, ezért a háromszög derékszögű. A a) A PA PB feltétel azt jelenti, hogy az AB szakaszfelező merőlegese határolta, A t tartalmazó félsík F pontjairól van szó. Ennek és a háromszöglapnak a közös részét az ábra mutatja. B C A jelölt részre a másik feltétel is teljesül, így a piros pontok a BC-vel párhuzamos középvonal által a háromszögből levágott 3, 4, 5 oldalú háromszöget alkotják. b) A piros pontok a háromszög területének negyedét alkotják, ez 5%. c) Az A-tól legtávolabbi piros pont az AC oldal F felezőpontja. Ez B-től éppen 5 egység távolságra van, hiszen ez a pont a B-t tartalmazó AC-re rajzolható Thalesz kör középpontja. Összesen: feladat x 3 x 3 x 5 x a) 0, azaz 0, 0. x 1 x 1 x 1 x 1 A tört értéke akkor negatív, ha számlálója és nevezője ellenkező előjelű. A számláló pozitív, ha x<5, negatív, ha x>5, míg a nevező pozitív, ha x>1, negatív, ha x<1. A megoldás x<1, vagy 5<x. b) A szorzat tényezőinek előjelét vizsgáljuk külön-külön: 4

5 Dobos Sándor, 005. november 7- x pozitív, ha -7<x<7, különben negatív. x+5 pozitív, ha x>-5, különben negatív. Az egyenlőtlenség megoldása: x<-7, vagy -5<x<7. Összesen: 1 II./B rész A feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania. 14. feladat a) Az éleket jelölje x, y, z. Ekkor xyz= Legyen x y z. Most már könnyű felsorolni az (x, y, z) eseteket: (1, 1, 56); (1,, 8); (1, 4, 14); (1, 7, 8); (,, 14); (, 4, 7). 4 pont b) A felszín számítása a következő kifejezés segítségével történik: (xy+yz+zx). A fenti hat esetben a legnagyobb értéket akkor kapjuk, ha x=1, y=1 és z=56. A felszín legfeljebb 6 egységnyi lehet. c) A testátló az élek segítségével kifejezve: x y z. A legrövidebb testátlót a felsorolt esetek közül akkor kapjuk, ha az élek: x=, y=4, z=7. Összesen: 17 pont 15. feladat a) Írjuk fel a P-n áthaladó e-re merőleges egyenes egyenletét: x-y=-1. Kiszámoljuk a két egyenes metszéspontját, ez lesz a keresett merőleges vetület. Az egyenletrendszer megoldása az (1;1) pont, nevezzük ezt Q-nak. b) A keresett egyenesek párhuzamosak az e-re merőleges egyenessel, ezért általános egyenletük x-y=m. Az e egyenes egyik pontjának, pld Q-nak a P körüli 90 -os elforgatottjai: Q (8, -3) és Q (6, 11). A megfelelő m paraméterek értékei(q és Q illeszkedjék az egyenesekre): 14 és -16, az egyenesek x-y=14 és x-y=-16. b) A keresett körből e olyan húrt metsz ki, amelyhez kilencven fokos középponti szög tartozik. 5

6 Dobos Sándor, 005. november Ezek szerint a keresett kör sugara a QP szakasz hosszának szerese. QP A keresett kör egyenlete: x 7 y 4 45, azaz x 14 x y 8y 5 0. Összesen: 17 pont 16. feladat a) Mivel F és D csak egy mérkőzést játszottak, ezért nekik mindenképpen a pad két szélén kell ülniük. Viszont mindkettő mellé csak B ülhet, ezért a kívánt ültetés nem oldható meg. b) Az A, C, E emberek között minden mérkőzés megtörtént, ezért közülük legfeljebb egy ember biliárdozhatott. A másik három ember közül legfeljebb kettőt választhatunk úgy, hogy ők még egymással nem játszottak: ezek F és D. Összesen tehát legfeljebb hárman biliárdozhattak, FDA, FDE, vagy FDC c) Hat ember között összesen 15 mérkőzés van. Ebből hatot már lejátszottak, tehát még kilenc van hátra. Összesen: 17 pont 6