Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam"

Átírás

1 -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b

2 2

3 Tartalom 1. HALMAZOK SZÁMHALMAZOK HATVÁNYOK OSZTHATÓSÁG ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK FÜGGVÉNYEK GEOMETRIA EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK ARANY DÁNIEL MATEMATIKAI TANULÓVERSENY

4 4

5 1. HALMAZOK Halmaz alapfogalom, nem definiáljuk, úgy adjuk meg, hogy minden dologról, tárgyról egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy egy adott halmazhoz tartozik vagy sem. A dolgok, tárgyak a halmaz elemei. Jelölések: a halmazokat nagy betűkkel: A, B, H az elemeket kis betűkkel, számokkal:a, b, c,1, 2,.. a eleme az A halmaznak: a A b nem eleme az A halmaznak: b A Halmazok megadása: 1. az elemek felsorolásával: Pl.:A = {1,2,3,4} 2. az elemeket egyértelműen meghatározó utasítással, tulajdonsággal: A = {az egyjegyű prím számok} Halmazok egyenlősége: Két halmaz egyenlő, ha elemeik azonosak. {az egyjegyű prím számok} = {2,3,5,7} Üres halmaz- nincs eleme. Jele: Részhalmaz: Az A halmaz részhalmaza a B halmaznak, ha A minden eleme a B halmaznak is eleme. Jele:A B. Valódi részhalmaz: Az A halmaz valódi részhalmaza a B halmaznak, ha A részhalmaza a B- nek és nem egyenlő vele. Jele: A B. Megjegyzés: A A; A Példa: Add meg az A = {a, b, c} halmaz összes részhalmazát! Megoldás: ; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; {a, b, c} Feladatok: 1. Melyik halmaz? a. A 20 pozitív osztói. b. A szép lepkék. c. Osztályunk kitűnő tanulói. d. Magyarország nagy városai. 2. Az alábbi halmazok közül add meg azokat, amelyek közül az egyik halmaz a másik halmaz részhalmaza! A = {1; 2; 3; 4} B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7,8} C = {háromszögek halmaza} D = {szabályos háromszögek halmaza} E = {trapézok halmaza} F = {paralelogrammák halmaza} 5

6 3. Sorold fel az A={1,2,3,4,5} halmaz összes olyan részhalmazát, amelynek csak prímszámok az elemei! Hány részhalmaza van az A halmaznak? 4. Töltsd ki a következő táblázatot: Halmaz Összes részhalmaz Részhalmazok száma {a} {a, b} {a, b, c} {a, b, c, d} Milyen összefüggést találsz a halmaz elemeinek a száma között és az összes részhalmazok száma között? 5. Adott a H = { 3; 1 ; 0; 1; 3 ; 2; 3; 4} halmaz. Írjuk fel H halmaz következő 2 2 részhalmazait: A = {2 nél kisebb számok} = B = {0 nál nem nagyobb számok} = C = {1 nél nem kisebb számok} = Műveletek halmazokkal Unió: Két halmaz uniója alatt értjük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek legalább az egyik halmaznak elemei. A B A B Metszet: Két halmaz metszete alatt értjük a közös elemek halmazát. A A B B Különbség: Az A és B halmazok különbsége az A olyan elemeinek a halmaza, amelyek nincsenek a B halmazban. A A B B 6

7 Kiegészítő halmaz: Egy A halmaz kiegészítő halmaza az alaphalmaz azon elemeinek a halmaza, amelyek az A halmaznak nem elemei. A A Halmazok elemszáma Az A halmaz elemeink a számát jelöljük a következő képen: A. Például: A={egyjegyű prímszámok}, A = 4. Feladatok: 1. Satírozd be a Venn-diagramon az alatta megadott halmazokat: A B A B A B A B 2. Add meg a Venn-diagramon besatírozott részt halmazművelettel: A B A B 3. Legyen A = {2,4,5,7,8}, B = {1,2,3,6,7,9} és C =. Határozd meg a következő halmazokat: A B; A B; A B; A C; A C. 4. Legyenek az A halmaz elemei 16 pozitív osztói, a B halmaz elemei 24 pozitív osztói, a C halmaz elemei 18 pozitív osztói! Határozd meg a következő halmazokat: A B; A C; B C; A (B C); A C. 5. Ha A B = {1,2,3,4,5,6}, A B = {2,4,6}, A B = {1,3}, add meg az A és B halmazokat. 6. Legyen az alaphalmaz E = {6,7,10,13,14,16,25,26,40,50,75} és A = {x E x osztható 2 vel}, B = {x E x osztható 4 gyel}, C = {x E x osztható 5 tel}. Ábrázold Venn-diagrammal a halmazokat! 7. Adj meg két olyan halmazt, amelyek a. metszete b. különbsége az alábbi halmaz: { 1,0,1} 7

8 8. Add meg és ábrázold Venn-diagrammal az alábbi halmazokat: A = {20 nál kisebb, 6 tal osztható pozitív egész számok}, B = {15 nél kisebb, 3 mal osztható pozitív egész számok} C = {3n n = 1,2,3} a. Melyik igaz a következő állítások közül? A B, C B. b. Határozd meg: A B, B C, A B C, C A. 9. Legyen A={1,2,3,6,7}, B={2,5,7,9,10}, U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Ábrázold Venndiagramon az A, B, U halmazokat. Határozd meg az alábbi halmazokat! A B, A B, A B, A, 10. Határozd meg az A és B halmazokat, ha tudjuk, hogy A B = {2,3,4,5,6,7,10} A B = {2,3} A B = {4,10}. B A 11. Az A halmaznak 7 eleme van, a B halmaznak pedig 9. Legfeljebb hány eleme lehet az A B, A B és A B halmazoknak? 12. Az osztály fele egy kiránduláson evett fagylaltot. 9-en vaníliásat, 11-en csokist, 8- an citromost rendeltek. Vaníliást és csokist 5-en, vaníliást és citromost 3-an, csokist és citromost 4-en kértek. Mindháromból 2-en kértek. Hány fős az osztály? 2. SZÁMHALMAZOK Természetes számok halmaza:n={0,1,2,3,4,5 } Műveletek: összeadás, szorzás. Bármely két természetes szám összege, szorzata természetes szám. Két természetes szám különbsége és hányadosa nem mindig természetes szám. Adj példát! Egész számok halmaza:z={ -3,-2,-1,0,1,2,3 } Műveletek: összeadás, szorzás, kivonás. Bármely két egész szám összege, szorzata, különbsége egész szám. Két egész szám hányadosa nem mindig egész szám. Adj példát! Racionális számoknak nevezzük azokat a számokat, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként. Racionális számok halmaza:q={ p p, q Z, q 0} q Műveletek: összeadás, szorzás, kivonás, osztás. Bármely két racionális szám összege, szorzata, különbsége, hányadosa racionális szám. 8

9 Ábrázold Venn-diagramm segítségével a számhalmazok közötti kapcsolatot! Tizedes tört: Végtelen tizedes törtek szakaszos (racionális számok) nem szakaszos 0, (irracionális számok) tiszta 0, vegyes 0, Valós számoknak nevezzük a racionális és az irracionális számokat, tehát a végtelen tizedes törteket. A valós számok halmaza: R = Q {irracionális számok} A valós számokat a számegyenesen ábrázoljuk. A számegyenes minden pontja egy-egy valós számnak felel meg, és fordítva. Intervallum: két adott valós szám közé eső összes szám halmaza. Feladatok: [a, b] = {x R a x b} [a, b[ = {x R a x < b} ]a, b] = {x R a < x b} ]a, b[ = {x R a < x < b} 1. Melyik igaz a következő állítások közül? Válaszodat indokold! a. Minden természetes szám egész szám. b. Minden egész szám természetes szám. c. Minden egész szám racionális szám. d. Van olyan racionális szám, amelyik nem egész szám. e. Minden valós szám racionális szám. 9

10 2. Ábrázold számegyenesen a következő intervallumokat! [ 1; 2]; ]1; 4]; [ 2; 5[; ]1; [; ] ; 3] 3. Milyen értéket adj x-nek, hogy x 2 kifejezés 3 a. természetes szám, b. egész szám, c. negatív szám, d. 0 legyen? 4. Melyik intervallum a következő halmazok közül? a. A = {x N 2 < x < 4} b. B = {x R x 2} c. C = {x Q 0 x < 4} 5. Melyik igaz a következő állítások közül? Válaszodat indokold! a. 3 [0; 3] b. 2 ] 2; 0[ c. 7 ] ; 0] d. 3 N e. 1,3 Z 2 f. Q 5 6. Töltsd ki a táblázatot! Halmaz jelölés Intervallum Ábrázold számegyenesen! {x R 2 < x 3} ]2,5] {x R x 2} ], 1[ 7. Adottak az A = [ 6, 1], B = ] 3,4[ intervallumok. Határozd meg az alábbi halmazokat: A B, A B, A B, B A 8. Legyen A = {x R x 2}; B = ], 3]. Ábrázold számegyenesen és add meg a következő halmazokat: A B, A B, A B, B A 9. Adott A = {xεz 2 x < 5}, B = [ 3,2], C = ]1,6], D = ], 1[, E = {xεr x 2}. a. Ábrázold számegyenesen. Használj színes ceruzát! b. Add meg a következő halmazokat: A B, B C, C D, D E, E D, A B, A D, B C D, D E, B C. 10. Legyen A = {xεr 2x 3 5}, B = {xεr 4 x 9}, C = {xεr 6x + 4 > 2x 8} Ábrázold a halmazokat a számegyenesen. Add meg az alábbi halmazokat: A B; A C; B\A; C\B 10

11 11. Végezd el a következő műveleteket: a. 44: 11 + ( ): b. 4 [3 (5 2)] c. ( ) 5 3 ( 4) d. {25 + [ ( ) + 100] 90} (6 3) e. 7: ( 9) 4 3 f. g. h. i. j. k. m : l. (1 n : ) ( ) : : o. (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) ( ) ( ) 12. Mennyi és 6 reciprokának szorzata? 5 del nagyobb? 13. Melyik az a szám, amely 7 és összegénél Ha 4 kg körte ára 600 Ft, akkor mennyibe kerül 3 kg körte? Egy üzem 87 gőzmozdonyt készített. Ez a megrendelés 3 része volt. Hány 4 mozdonyt rendeltek az üzemtől? 16. Mennyi a 14 2 nek a 4 ed része? Melyik az a szám, amelyiknek e?

12 18. Melyik nagyobb? A = ( ) ( ) vagy B = ( ) ( ) 6 3. HATVÁNYOK Pozitív egész kitevőjű hatvány: a n = 0 kitevőjű hatvány: a 0 = 1, a R, a 0 Megjegyzés: 0 0 nem értelmezett a a a a, nεn, n 0, a R n darab tényező Negatív egész kitevőjű hatvány: a n = 1 n, n N, n 0, a R {0} a hatvány alapja a n hatvány kitevő Azonosságok: Legyen a, b R {0}, m, n Z Azonos alapú hatványok szorzata: Azonos alapú hatványok hányadosa: Hatványnak hatványa: Azonos kitevőjű hatványok szorzata: Azonos kitevőjű hatványok hányadosa: a n a m = a n+m a n am = an m (a n ) m = a n m a n b n = (a b) n a n b n = (a b )n Feladatok: 1. Számítsd ki a következő hatványok értékét: 3 4 ; 2 3 ; 4 2 ; ( 5) 3 ; 3 2 ; 5 1 ; ; 10 3 ; 6 2 ; ( 2) 4 2. Negatív hatványkitevő alkalmazásával írd fel a következő számokat: 1 2 ; 1 9 ; 1 32 ; 1 64 ; 1 25 ; 1 10 ;

13 3. Végezd el a kijelölt műveleteket: ; ; ; Add meg a következő műveletek végeredményét: a ( 3) 0 b. 1 + ( 2) ( 3) 2 c d e. ( 1 2 )2 + ( 1 3 )2 f. ( 2 3 ) 1 + ( 12 8 )2 g. h i ( 2 3 ) 2 j k Végezd el a következő műveleteket: a ; ; ; a 8 a 6 b ;104 ; 4 3 x5 ; x 6 c. (5 4 ) 2 ; (2 3 ) 4 (2 1 ) 5 ; (6 3 ) 2 (6 4 ) 3 d ( 1 25 )2 ; ( 9 4 )3 ( 8 3 )3 e. (x y 3 ) 2 ; (a 2 b 3 ) 4 f. g (3 4 ) Melyik szám nagyobb? a vagy 20 10, b vagy Melyik halmaznak van több eleme? A = {x N x } vagy B = {y N y }. 8. Melyik szám nagyobb? a. a = vagy b = b. a = vagy b =

14 Számok normál alakja Pozitív szám normál alakja az a két tényezős szorzat, amelynek egyik tényezője 1 és 10 közé eső szám, másik tényezője pedig 10 egy egész kitevőjű hatványa. x = a 10 k, 1 a < 10, k Z 1. Írd fel a következő számokat normál alakban:145; ; 0,12345; 0,0023; 15,2 2. Írd át helyiértékes alakba: 4, ; 5, ; 1, Számológép használata nélkül végezd el a kijelölt műveleteket és add meg az eredményt normál alakban! a b c. d. 2, , A fény terjedési sebessége km/s. Mennyi idő alatt teszi meg a fény a Nap és a Föld közötti távolságot, ha távolságuk 149,6 millió km? 5. Mekkora a fényévtávolság? (Mekkora utat tesz meg a fény 1 év alatt?) 4. OSZTHATÓSÁG Legyenek a és b természetes számok. Az a szám osztója a b számnak, ha van olyan c természetes szám, melyre b=ac. Azt mondjuk, hogy b többszöröse a-nak. Jelölés: a b (a osztja b-t); a b ( a nem osztja b-t) Maradékos osztás tétele: Legyenek a és b természetes számok, a 0, akkor van olyan p és q természetes szám, amelyekre: b = a q + r, ahol 0 r < a. Pl: 35 = , tehát a 35-ben a 8 megvan 4-szer, a maradék pedig , mert 18 = 6 3 Megjegyzés: Minden szám osztható 1-gyel és önmagával. Ezeket a szám nem valódi osztóinak nevezzük. A többi osztó, ha van, a szám valódi osztói. 14

15 Oszthatósági szabályok:rendszerezzünk aszerint, hogy mit kell nézzünk, mikor keressük egy szám osztóit: az utolsó számjegy utolsó két számjegy utolsó három számjegy oszthatóság 2-vel, 5-tel, 10-zel oszthatóság 4-gyel, 25-tel,50-nel, 100-zal oszthatóság 8-cal, 1000-rel számjegyek összege oszthatóság 3-mal, 9-cel Pl: Vizsgáljuk meg az alábbi számokat a fenti szempontok szerint: 3642: Mivel az utolsó számjegy páros, ezért a szám osztható 2-vel. A számjegyek összege 15, ezért a szám osztható 3-mal is. Kérdés: Milyen számmal osztható még 3642? 2025: Utolsó számjegy 5, ezért a szám osztható 5-tel. Utolsó két számjegyből álló szám 25, ezért a szám osztható 25-tel. A számok összege 9, tehát a szám osztható még 9-cel is. A természetes számokat osztályozhatjuk osztóik száma szerint: 1 Természetes számok Prím számok-két osztójuk van, 1 és önmaguk Összetett számok-kettőnél több osztójuk van A számelmélet alaptétele: Bármely összetett szám egyértelműen felbontható prímszámok szorzatára. Pl: Bontsd fel prímszámok szorzatára: 234 = Tétel: Egész szám pozitív osztóinak száma: Ha x egész szám prímfelbontása: x = p 1 a 1 p 2 a 2 p 3 a 3 p k a k, akkor az x pozitív osztóinak száma (a 1 + 1)(a 2 + 1)(a 3 + 1) (a k + 1) 15

16 Legnagyobb közös osztó: Két pozitív egész szám legnagyobb közös osztója a közös osztók közül a legnagyobb. Jelölés: (a, b) Megkapjuk, ha a számokat prímtényezőkre bontjuk és a közös prímtényezőket az előforduló legkisebb hatványkitevővel összeszorozzuk. Legkisebb közös többszörös: Két pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse a közös többszörösük közül a legkisebb. Jelölés: [a, b] Megkapjuk, ha a számokat prímtényezőkre bontjuk és a közös és nem közös prímtényezőket az előforduló legnagyobb hatványkitevővel összeszorozzuk. Relatív prímszámoknak nevezzük azokat a pozitív egész számokat, amelyeknek legnagyobb közös osztójuk 1. Feladatok: 1. Ha a és b természetes számok, akkor melyik igaz a következő állítások közül? Válaszodat indokold! a. Ha a+b páros szám, akkor a és b páros. b. Ha a+b páros, akkor a vagy b páros. c. Ha a b páros, akkor a és b páros. d. Ha a b páros, akkor a vagy b páros. e. Ha egy szám osztható 3-mal, akkor osztható 9-cel is. f. Ha egy szám osztható 9-cel, akkor osztható 3-mal is. g. Bármely két prímszám különbsége páratlan szám. h. Bármely, 2-nél nagyobb prímszám összege prímszám. 2. Fogalmazz meg szabályt 12-vel; 15-tel; 18-cal; 36-tal való oszthatóságra! 3. Osztható-e 9-cel a szám? 4. Lehet-e 2-nél nagyobb két prímszám összege prímszám? 5. Igazold, hogy az abba alakú számok oszthatók 11-gyel. 6. Igazold, hogy 7 2 n n n, ahol n N. 7. Milyen számjegyet írjunk az ismeretlen számjegy helyére, ha: a. 3 23x6 b. 4 23x8 c x d x 8. Milyen számjegyek írhatók x és y helyére, ha: y5x 15 24y7x 18 67y8x 9. Bontsd fel prímtényezők szorzatára a következő számokat: 630; 2520; 501;

17 10. Határozd meg a következő számok legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét! a ; 1650; b. 396; 168; c. a 4 b 2 c 5 d; a 3 c 3 d 2 e Mennyi (36,96) [36,96] 12. Egyszerűsítsd a következő törteket: 3780 ; 7875 ; Legyen A = {7a8b 15 7a8b Add meg A B; A B, A B halmazokat! }; B = {7x8y 40 }. 7x8y 14. Add meg azokat az x egész számokat, amelyekre 6 a. Z x 5 b. Z x Egy számlán 72 kg alma ára 47 Ft. Sajnos az első és az utolsó számjegy olvashatatlan. Mennyibe került egy kg alma? 16. A Naprendszer három, a Naphoz legközelebbi bolygóinak Napkörüli forgásideje megközelítőleg 88, 225, illetve 365 földi nap. Ha egy bizonyos napon a Nap és a három bolygó egy egyenesen helyezkednének el, hány év múlva fordulna elő újra a jelenség? 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK Add meg a mellékelt ábrákon világosabb színnel jelölt síkidomok területét! Algebrai kifejezést kapunk, ha betűket, számokat kötünk össze a négy alapművelettel. A betűket ismeretlennek vagy változónak nevezzük. 17

18 Alaphalmaz az a halmaz, amelynek elemeit betűkkel helyettesítettük. Értelmezési tartomány az a legbővebb részhalmaza az alaphalmaznak, amelyen a kijelölt műveletek elvégezhetők. Osztályozzuk: egyváltozós kifejezés Pl:3a, 4x 2 a bennük szereplő betük száma szerint kétváltozós kifejezés Pl:2a-3b; x+5y több változos kifejezés Pl:xyz; 2x+4y-4z+t szerepel a kifejezésben tört, vagy sem algebrai egész típúsú kifejezésnincs benne olyan tört melynek nevezője ismeretlent tartalmaz Pl:4x+4y-1 algebrai tört kifejezés-van a nevezőben ismeretlen Pl: x 5 x+2 Egytagú kifejezés: Pl. 3x 2 y Két egytagú kifejezést egyneműnek nevezünk, ha csak együtthatójukban különböznek. Polinom (többtagú egész kifejezés) Pl. 2x 2 + 3x 1 A polinom fokszáma a legmagasabb fokú tagjának a fokszáma. Helyettesítési érték az az érték, amelyet úgy kapunk, hogy a változók helyére konkrét számokat helyettesítünk és elvégezzük a kijelölt műveleteket. Műveletek: összeadás, szorzás 18

19 Feladatok: 1. Végezd el a következő műveleteket: a. 4a+3a; 5x-4x; 7xy+11xy-4xy; 2x 2 + 4x 2 5x 2. b. 15x + 4 [5 (6x + 4) (x + 6)] c. 1 2 a3 2 3 a a3 ; 3 5 x2 5 3 x2. d. 6 {x [2x (x + 7)]}; (x + y z) (x y + z) ( x + y + z). e. 6x 2 + 4x 3 + 5x 2 2x + 4; 8x 2 4x + 9 (7x 2 2x + 6). f. 5ab + 2a 2 b 3ab 4a 2 b; 7a 2 b 3ab + 5ab 2 (2a 2 b 3ab + 6ab 2 ). g. 10ab 2 c 4abc 2 + 3a 2 bc + (5ab 2 c + 6abc 2 7a 2 bc) h x x 5 (4 3 x2 5x 3 2 ) i. 3(x + 4) 2(x 3); 4(x 2 x + 2) 5(x 2 + 4x 3). j. 4x 2 y + 5xy 2 2(x 2 y 5xy 2 ); 6(a + b c) 2(a b + c). 2. Végezd el az alábbi szorzásokat: a. 2a 2 b 3 5a 3 b 4 ; 6a 2 b 3 c 2 ( 9a 4 b 5 c 3 ); b. 4x 3 y 2 ( 7y 5 ); 4 3 x2 y x3 y a2 b a4 b 3 ; 7 8 x3 y 5 z 4 ( x2 y 4 z 2 ). c. a(a b); 2a(3a + 2b); 5x 2 (x 4); 2x(x 2 4x + 3). d. 4x(x 3 2x 2 + x 4); 1 2 x2 ( 4 3 x 6 5 ); 3ab2 (a b). e. (a 2b) (2a + b); (2a 3b) (3a + 2b); (5xy 2 1) (x + y). f. (5a 4b) (2a + 5b); (3x 2 x + 1) (2x 2 + x 5). g. (6x y 2 ) (4x 2 + y). h. 3x 2 (x + 2) (x 2 + 2) (x + 1) (x 2 + 1) (x + 2) + 3(x + 4) (x 2) i. 2(x 2) (x + 1) 3(x + 3) (x 4); j. 3(x 2 2) (x + 3) 4(x 2 3) (x + 2). Nevezetes szorzatok Két tag összegének és különbségének szorzata: (a + b) (a b) = a 2 b 2 Feladatok: Tanuld meg: Két tag összegének és különbségének szorzata egyenlő a két tag négyzetének különbségével. 3. Végezd el a kijelölt műveleteket: a. (x + 1) (x 1), (x + 2) (x 2); (x + 3) (x 3); b. (2x 1) (2x + 1); (3x + 2) (3x 2); (4x + 3) (4x 3). c. (2x y) (2x + y); (2x + 3y) (2x 3y); (3x + 4y) (3x 4y). 19

20 d. (5a 4b) (5a + 4b); (6a + 4b) (6a 4b); (7a + 8b) (7a 8b). e. ( x) (1 2 x); (2x 2 3 y) (2x y); (2 5 x y) (2 5 x 3 7 y). f. (x 2 2) (x 2 + 2); (2x 2 3y 3 ) (2x 2 + 3y 3 ); (2x 2 y 3x 4 ) (2x 2 y + 3x 4 ) 4. Írd fel két tényezős szorzat alakban: a. x 2 1; x 2 4; x 2 9; x 2 16; x 2 25; x b. 4a 2 9; a 2 16b 2 ; 36a 2 81b 2 ; 4 9 a b2. Két tag összegének négyzete: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Tanuld meg: Két tag összegének négyzete egy háromtagú összeg, amelynek tagjai: az első tag négyzete a két tag szorzatának kétszerese a második tag négyzete. Két tag különbségének négyzete: Feladatok: (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 5. Végezd el a kijelölt műveleteket: a. (x + 1) 2 ; (x + 2) 2 ; (x 3) 2 ; (x 4) 2 ; (x y) 2. b. (2x + 6) 2 ; (3x 2y) 2 ; (4a + 3b) 2 ; (5x 4y) 2. c. ( 1 x + 2 2)2 ; ( 4 x y)2 ; ( 2 x y)2 ; ( 5 x 3 y) d. (x 2 + 2) 2 ; (x 2 y 3 ) 2 ; (2x 2 + 3y 2 ) 2 ; (4xy 3 3x 2 y 5 ) 2. e. ( 1 3 x 5 2 y2 ) 2 ; ( 9 4 x3 y x2 y 3 ) Melyik kéttagú kifejezés négyzete? a. a 2 + 2ab + b 2 ; x 2 2x + 1; x 2 + 2xy + y 2 ; p 2 6p + 9. b. x 2 10x + 25, x 2 8xy + 16y 2 ; 4x 2 + 4x + 1; c. 36m m 2 n + n Egészítsd ki a hiányzó részeket: a. x = ( ) 2 ; x y 2 = ( ) 2. b. a = ( ) 2 ; 9a = ( ) 2. c. 4x y 2 = ( ) 2

21 d. a 2 4ab + = ( ) 2 8. Végezd el a kijelölt műveleteket: a. (x + 7) 2 (2x 3) 2 + (3x + 2) (3x 2) b. (3x 2y) 2 + (2x + 3y) 2 (4x y) (4x + y) c. (6a 5) 2 (3a 2) (3a + 5) d. (2x + 4) 2 + (5x 3) 2 (7x + 2) (7x 2). 9. Számold ki ügyesen (számológép használata nélkül)! 19 21; ; 47 53; Melyik szám nagyobb: vagy ? 11. Az ábrán látható telek területe 33 cm 2. Mekkora a kerülete? Két szám összegének (különbségének) a köbe: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 Feladatok: 1. Egy kocka alakú edénybe 64 cm 3 víz fér. Mennyi az edény oldala? Mennyivel több víz fér az edénybe, ha az edény minden oldalát x cm-rel megnöveljük?(a különbséget add meg polinom formájában.) 2. Két szám összege 10, szorzatuk 24. Mennyi a két szám köbének az összege? Polinomok szorzattá alakítása Szorzattá alakítás kiemeléssel: akkor alkalmazzuk, ha a tagokban van közös tényező. 3xy + 4x = x(3y + 4) 20x xy = 2x 10x + 2x 7y = 2x(10x + 7y) Szorzattá alakítás a tagok csoportosításával és kiemeléssel: ax + by + ay + bx = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b) 21

22 Szorzattá alakítás a nevezetes szorzatok alkalmazásával: két tag összegének négyzete 9x 2 + 6x + 1 4y 2 = (9x 2 + 6x + 1) 4y 2 = (3x + 1) 2 4y 2 = (3x + 1 2y)(3x y) két négyzet különbsége Alakítsuk teljes négyzetté: x 2 + 6x + 8 = (x x ) = (x + 3) = (x + 3) 2 1 Algebrai tört. Értelmezési tartomány. Műveletek. Algebrai törtnek nevezzük két polinom hányadosát. Algebrai tört értelmezési tartománya az a legbővebb részhalmaza a valós számok halmazának, amelyen a kijelölt műveletek elvégezhetők. Mivel 0-val nem lehet osztani, ezért kikötést teszünk a nevező miatt: nevező nem lehet Hol vannak értelmezve a következő kifejezések? x 3 ; x 3 ; 2x+3 ; 5x 5 ; y+6 ; 3. 2 x+2 3x 4 4x+2 y x 2 +1 Egyszerűsítés: csak tényezőket szabad egyszerűsíteni, ezért először tényezőre bontjuk a számlálót és a nevezőt is a törtkifejezés értelmezési tartománya egyszerűsítés után sem változik 13. Egyszerűsítsd a következő törteket: a. b. c. d. 120 ; 33 ; 154 ; x 4 x 3; x 6 x 4; 15x 7 ; 10x8 y 3. 5x 3 5x 4 y 2 x 2 +3x x x 2 4 ; x+2 ; 5x 4 6x 3 ; x 2 x 2 9 x+3 ; 8x 7 y 8 5x 5 y 9 x 5 y 6. x+5 x 2 25 ; x 7 x 2 49 ; 2x+6 4x Szorzás: törtet törttel úgy szorzunk, hogy a számlálót szorozzuk a számlálóval, nevezőt a nevezővel ha lehet, akkor egyszerűsítsünk 22

23 Példa: x + 3 x 2 3 x + 2 = 3x + 9 x 2 4 Osztás: Példa: törtet törttel úgy osztunk, hogy az osztandót szorozzuk az osztó reciprokával ha lehet, akkor egyszerűsítsünk 3x + 3y (x + y)2 : 2x 2y x 2 y 2 = 3(x + y) (x y)(x + y) 2(x y) (x + y) 2 = 3 2 Összeadás, kivonás: Algebrai törtek összevonásánál ugyan úgy járunk el, mint a racionális törtek összevonásánál. ha a nevezők megegyeznek, akkor összeadjuk a számlálókat. ha a nevezők különböznek, akkor szorzattá alakítjuk a nevezőket megkeressük a közös nevezőt (a nevezők legkisebb közös többszöröse) bővítjük a törteket és elvégezzük az összevonásokat ha lehet, egyszerűsítsünk 1 x x 1 2 x x 1 = 2(x 1) + (x + 1)(x 1)2 2x(x + 1) = 2(x + 1)(x 1) 23

24 6. FÜGGVÉNYEK Derékszögű koordináta-rendszer: -két egymásra merőleges számegyenes segítségével meghatározzuk bármely pont helyzetét a síkon. Jelölés: P(x;y) Az (x;y) rendezett számpárt a pont koordinátáinak nevezzük. Feladatok: 1. Ábrázold a koordináta-rendszerben a következő pontokat: A(1;-4), B(-3,-4), C(2;5), D(0;4), E(3;0). 2. Add meg az ábrán lévő pontok koordinátáit! 3. Add meg az összes olyan pontot a koordináta-rendszerben, amelyeknek: a. első koordinátája 0; b. második koordinátája 0; c. első koordinátája 4; d. második koordinátája 0. e. a második koordináta 2-vel kisebb, mint az első. f. az első koordináta fele a második koordinátának. 4. Rajzold meg a koordináta-rendszerben azoknak a pontoknak a halmazát, amelyekre: a. 1<x<2 b. -2<y<1 c. -1<x<2 és 0 y 2 d. x [1; 2]és y ] ; 1] Függvény fogalma, megadása, grafikon Def: Legyen A és B két nem üres halmaz. Függvénynek nevezünk egy megfeleltetést, amely az A halmaz minden eleméhez egyértelműen hozzárendeli a B halmaz egy elemét. 24

25 Jelölés: f: A B, x f(x). A a függvény értelmezési tartománya, jelöljük még: D f B a függvény képhalmaza. A függvényképek halmaza a képhalmaz részhalmaza, és értékkészletnek nevezzük, jele: R f x a változó, f(x) = y a függvény képe x-ben, vagy a függvény értéke x-ben. Függvény megadása: diagrammal; értéktáblázattal; szabállyal, képlettel. Függvény grafikonja alatt értjük az (x;f(x)) rendezett elempárok halmazát, ahol x D f. Ha D f és R f részhalmazai a valós számok halmazának, akkor a függvény grafikonja ábrázolható a koordináta rendszerben, az így kapott ponthalmaz a függvény képe (grafikonja). Feladatok: 5. Melyik függvény a következő hozzárendelések közül? A függvények esetén add meg az értelmezési tartományt és az értékkészletet! Melyik függvény kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés? a. Az iskola minden osztályához hozzárendeljük az osztályfőnököt. b. Az iskola tanáraihoz hozzárendeljük azokat az osztályokat, amelyekben tanítanak. c. Osztályod minden tanulójához hozzárendeljük a szeme színét. d. Minden magyar állampolgárhoz hozzárendeljük a személyigazolványuk számát. e. Minden könyvhöz hozzárendeljük a szerzőjüket. f. Minden egész számhoz hozzárendeljük a szám négyzetét. g. Minden természetes számhoz hozzárendeljük az osztóit. h. Minden egész számhoz hozzárendeljük az egész osztóinak számát. i. A számegyenes minden pontjához hozzárendeljük a pont koordinátáját. 6. Egy héten keresztül minden reggel 7 órakor megmértük a teraszon a hőmérsékletet. Az eredményeket az alábbi táblázatba írtuk. hétfő kedd szerda csütörtök péntek szombat vasárnap Függvényt határoz meg? Ha igen, akkor ábrázold a függvényt! 25

26 7. Az alábbi ábrák közül melyik függvény? Válaszodat indokold! 1. ÁBRA 2. ÁBRA 3. ÁBRA 8. Felhasználva a függvényhez rendelt diagramokat, határozzuk meg az összes olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya A={1;2} halmaz, értékkészlete pedig B={0;4}. 9. Adott f: N N, f(n) legyen 3 n szám utolsó számjegye. a. Számítsd ki f(0); f(1); ; f(7) értékeket. b. Igazold, hogy f(n + 4) = f(n), bármely n természetes szám estén. c. Ábrázold grafikusan a függvényt! Lineáris függvény, meredekség, zérushely Legyen f: R R, f(x) = a, ahol a egy állandó valós szám. Az f függvényt állandó függvénynek nevezzük. Példa: f(x) = 2, x R. A függvény grafikonja az x tengellyel párhuzamos egyenes. Az f: R R, f(x) = ax + b, a 0, a, b R, függvényt elsőfokú függvénynek nevezzük. Példa: f(x) = 2x, x R. Ábrázoljuk a fűggvényt! Készítsünk értéktáblázatot: x f(x)

27 A táblázatba csak néhány értéket tüntettünk fel. Az 1. ábrán a számítógép segítségével sűrítettük a pontokat. Arra következtettünk, hogy a függvény grafikonja egy egyenes. Megjegyzés: Mivel az elsőfokú függvények grafikonja egyenes, és az egyenest egyértelműen 2. ÁBRA 1. ÁBRA meghatározza két különböző pontja, ezért elegendő az ilyen függvények ábrázolásánál két pontot felvenni a táblázatban. Legyen f(x) = ax + b, a 0 függvény. Meredekség: Az a számot a függvény meredekségének nevezzük, azt mutatja meg, hogy ha x-et 1-gyel növeljük, akkor a függvény érték változása a. Jelölik még m-mel (3. ábra). A b az egyenes és az y tengely metszéspontjának második koordinátája. Vagyis f(0) = b (4. ábra). Tengelymetszeteknek nevezzük a függvény grafikonjának a tengelyekkel való metszéspontjait. 3. ÁBRA Az x tengelyen lévő metszéspontot zérushelynek nevezzük, mert azt az x értéket jelenti, ahol a függvény értéke 0. Tehát, zérushelynek nevezzük az értelmezési tartomány azon értékeit, ahol a függvényérték 0. Meghatározása: megoldjuk az f(x) = 0 egyenletet. Lineáris függvényeknek nevezzük azokat, amelyeknek grafikonja egyenes, tehát az állandó és az elsőfokú függvényeket. 4. ÁBRA 27

28 Feladatok: 10. Ábrázold a következő függvényeket: a. f 1 : {0,1,2,3} { 3, 2, 1,0}, f 1 (x) = x, b. f 2 : ] ; 0] [0; [, f 2 (x) = x, c. f 3 : R R, f 3 (x) = x, d. f 4 : [0; 5] [ 5; 0], f 4 (x) = x, e. f 5 : [0; 3] {5}, f 5 (x) = Adott f(x) = 1 2 x + 7. a. Mennyi a függvény értéke -4-ben?(Mit rendel a függvény -4-hez?) b. Hol veszi fel a függvény a 14 értéket? (Mihez rendeli a függvény a 14-et?) c. Illeszkedik-e a függvény képére az A(2;6) pont? d. Add meg a következő pontok hiányzó koordinátáit, ha tudjuk, hogy a pontok illeszkednek a függvény, grafikonjára! B( ;5), C(-1; ), D(0; ), E(,0). 12. Ábrázold a következő függvényeket: a. f 1 (x) = 3x 4, x R; b. f 2 (x) = 3 x + 1, x R, 4 c. f 3 (x) = 5x + 2, x R, d. f 4 (x) = 2 x + 1, x R, 3 e. f 5 (x) = x + 3, x N, f. f 6 (x) = 3x + 2, x Z, g. f 7 (x) = 1 x 2, x [ 3; 3], 3 h. f 8 (x) = 2x + 3, x [ 4; 1]. 13. Ábrázold a következő függvényeket. Minden esetben add meg a függvény értékkészletét, zérushelyét (számolással), metszetét az y tengellyel. a. f 1 (x) = 2x 4, x Z, x 3, x [ 5,10[, c. f 3 (x) = 3 b. f 2 (x) = x + 1, x [ 2; 3], 5 2 d. f 4 (x) = 2x + 4, x [ 2; 1]. 14. Ábrázold ugyanabban a koordináta rendszerben a következő függvényeket. Milyen kapcsolatot találsz a függvények grafikonjai között? a. f(x) = 1 x, 2 g(x) = 1 x + 1, 2 h(x) = 1 x 2. 2 b. f(x) = x, g(x) = 3x, h(x) = 1 x, 2 c. f(x) = x + 2, g(x) = x 2, h(x) = 2(x + 2). 28

29 Abszolútérték-függvény. Szélsőérték. Egy szám abszolút értéke egyenlő a szám nullától való távolságával. Vagyis, egy pozitív szám abszolút értéke önmaga, a 0 abszolút értéke önnmaga, egy negatív szám abszolút értéke pedig a szám ellentetjével egyenlő. Ezt a következőképpen fogalmazhatjuk meg: x, ha x 0 x = { x, ha x < 0 Abszolútérték-függvény: x, ha x 0 f: R R, f(x) = { x, ha x < 0. A függvény legkisebb értékét a függvény minimumának nevezzük. Az értelmezési tartomány azon elemét, amelyben a függvény felveszi a minimumát, minimumhelynek nevezzük. A függvény legnagyobb értékét a függvény maximumának nevezzük. Az értelmezési tartomány azon elemét, amelyben a függvény felveszi a maximumát, maximumhelynek nevezzük. Feladatok: 15. Jelöld meg a számegyenesen azokat a számokat, amelyeknek abszolút értéke a. 2, b. kisebb 2-nél; c. nem nagyobb 2-nél; d. nagyobb 1-nél; e. 1 és 3 között van. 16. Ábrázold közös koordináta rendszerben, a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Milyen kapcsolat van a függvények grafikonjai között?(hasonlítsd össze mindegyiket az f1 grafikonjával!) f 1 (x) = x, f 2 (x) = x 2, f 3 (x) = x + 3, f 4 (x) = x + 2, f 5 (x) = 2 x, f 6 (x) = x. 17. Ábrázold a következő függvényeket. Add meg a függvények értékkészletét! f(x) = 1 2 x + 2 4, x [ 4; 3], g(x) = x 4 + 3, x [ 2; 8], 29

30 h(x) = x + 2 3, i(x) = x Megjegyzés: Függvény transzformáció: az az eljárás, amely során egy függvény grafikonját egy másik függvény grafikonjából rajzolunk meg, geometriai transzformációk segítségével (eltolás, nyújtás, összenyomás, tükrözés). 1. Eltolás az y tengely mentén: g( x ) = f( x ) + c A g függvény grafikonját megkapjuk, ha az f függvény grafikonját az y tengely mentén önmagával párhuzamosan eltoljuk c egységgel, ha c > 0 akkor pozitív irányba, ha pedig c < 0, akkor negatív irányba. Az értelmezési tartomány nem változik. A mellékelt ábrán c = Eltolás az x tengely mentén: g( x ) = f( x - a ) A g függvény képét úgy kapjuk meg, hogy f grafikonját az x tengely mentén a-val eltoljuk, ha a>0, akkor pozitív irányba, ha pedig a < 0, akkor negatív irányba. Az eltolás után az értékkészlet változatlan marad, de az értelmezési tartomány megváltozhat. A mellékelt ábrán a= Tükrözés az x tengelyre: g( x ) = - f( x ) A g függvény grafikonját úgy kapjuk, hogy tükrözzük az f képét az x tengelyre. Az értelmezési tartomány és a zérushelyek nem változnak. 30

31 4. Tükrözés az y tengelyre: g( x ) = f( - x ) A g függvény grafikonját úgy kapjuk, hogy tükrözzük az f képét az y tengelyre. A tükrözés az értelmezési tartományt megváltoztathatja, de az értékkészletet nem. 5. Nyújtás (zsugorítás) az y tengellyel párhuzamosan: g( x ) = c f( x ) A g függvény képét megkapjuk, ha az f grafikonját y tengely irányában c- szeresére megnyújtjuk, ha c>1, illetve összenyomjuk, ha 0 < c < 1. A transzformáció az értelmezési tartományt nem változtatja meg, de a függvényértékek c- szeresére változnak. A zérushelyeket nem változtatja meg. A mellékelt ábrán c=1/2. 6. Nyújtás (zsugorítás) az x tengellyel párhuzamosan: g( x ) = f( ax ) A g(x) = f(ax) függvény grafikonját az f függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy az f képét az x tengely irányában 1/a- szeresére megnyújtjuk, ha 0 < a < 1, illetve összenyomjuk, ha a > 1. A transzformáció az értékkészletet nem változtatja meg. Az eredeti görbe és az y tengely metszéspontja helyben marad. A mellékelt ábrán a = A g függvény grafikonja az f grafikonjából úgy állítható elő, hogy ott ahol az f értéke pozitív, azt a görbe darabot változatlanul hagyjuk, azt a részt pedig ahol az f értéke negatív, azt tükrözzük az x tengelyre. 31

32 8. f grafikonjából g úgy állítható elő, hogy az x 0 értékekhez tartozó részt tükrözzük az y tengelyre, az x<0 értékekhez tartozó görberészt elhagyjuk. Feladatok: 18. Ábrázold és jellemezd a következő, a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! f(x) = x + 1 2, i(x) = x , g(x) = 3 x 2 + 1, j(x) = 3 x h(x) = x + 4, 19. Melyik függvény grafikonját látod az alábbi ábrákon? 1. ÁBRA 2. ÁBRA 3. ÁBRA 4. ÁBRA 32

33 5. ÁBRA 6. ÁBRA f: R R, f(x) = x 2. A függvény grafikonja: parabola Másodfokú függvény. Függvények monotonitása: Def: Egy függvényt szigorúan monoton növekvőnek nevezünk egy halmazon, ha a változók növekedéséből következik a függvényértékek növekedése. Egy függvényt szigorúan monoton csökkenőnek nevezünk egy halmazon, ha a változók növekedéséből következik a függvényértékek csökkenése. 1. SZIGORÚAN MONOTON NÖVEKVŐ 2. SZIGORÚAN MONOTON CSÖKKENŐ 33

34 Feladatok: 20. Add meg: D f, R f, szélsőértékek, menete, zérushelyek. 21. Adott az f(x) = (x + 1) 2 2 függvény. a. Hol veszi fel a függvény a 2 értéket? b. Mennyi a függvény értéke 3-ban? 22. Ábrázold és jellemezd a következő, a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Zérushelyeknek csak a száma érdekel, vagyis mennyi van! a. f(x) = x 2 + 1, g(x) = x 2 2, h(x) = 2x 2. b. f(x) = x 2, g(x) = x 2 + 1, h(x) = 3x 2. c. f(x) = (x + 2) 2, g(x) = (x 1) 2, h(x) = 2(x + 3) 2. d. f(x) = (x + 2) 2 1, g(x) = (x 3) 2 + 1, h(x) = 3(x 1) 2 4. e. f(x) = 1 2 (x + 5)2 +4, g(x) = 2(x + 3) Ábrázold és jellemezd (értékkészlet, szélsőérték, menete szempontjából) a következő függvényeket: a. f(x) = 2(x 4) 2 3, x [2; 5], b. g(x) = (x + 2) 2 + 3, x [ 3; 0], c. h(x) = 1 2 (x + 1)2 2, x [ 5; 3], d. i(x) = x 2 2, x R. 24. Melyik függvény grafikonját látod az alábbi ábrákon? 1. ÁBRA 2. ÁBRA 3. ÁBRA 34

35 Tört függvény f: R {0} R, f(x) = 1 x A függvény grafikonja a hiperbola. Feladat: Jellemezd a tanult szempontok szerint a függvényt!milyen más tulajdonság fedezhető fel a grafikon alapján? (Hasonlítsd össze az abszolútérték függvény grafikonjával és ellemezd szimmetria szempontjából.) Def. Egy halmazt szimmetrikusnak nevezünk, ha elemei szimmetrikusak az origora nézve. Def.: Egy függvényt páros függvénynek nevezünk, ha: a. a Df értelmezési tartomány szimmetrikus halmaz b. f(-x)=f(x), minden x Df esetén Def.: Egy függvényt páratlan függvénynek nevezünk, ha: a. a Df értelmezési tartomány szimmetrikus halmaz b. f(-x)= -f(x), minden x Df esetén Megjegyzés: A páros függvények grafikonja szimmetrikus az y tengelyre nézve, a páratlan függvények grafikonja pedig szimmetrikus az origora nézve. Feladat: Adj pédát páros és páratlan függvényekre! Egyenes és fordított arányosság Feladat: Egy kg alma ára 145Ft. Töltsd ki az alábbi táblázat üres mezőit! Memnnyiség (kg) 1 1, Ár Ha x-szel jelőljük az alma mennyiségét, akkor az f(x)=145x függvény fejezi ki az x kg alma árát. A függvény értéke és x hányadosa állandó. Az ilyen mennyiségeket egyenesen arányos mennyiségeknek nevezzük (ha az egyik mennyiség nő, akkor a másik ugyanannyiszeresére nő). 35

36 Feladat: Próbáld megfogalmazni az egyenesen arányos mennyiségek fogalmát! Melyik függvény fejezi ki az egyenesen arányos mennyiségeket? Adj példát egyenesen arányos mennyiségekre! Feladat: 2000 Ft-ból süteményt vásárolunk. Az epreskocka darabja 100 Ft, a krémes darabja 250 Ft, a kakaós csiga ára 50 Ft. Ha csak egyfajta süteményt veszünk, akkor mennyit vehetünk minden fajtából? Milyen összefüggés van az egységár és a darab szám között? Töltsd ki a táblázatot! Egységár=x 250 Ft 100 Ft 50 Ft Darab szám=2000/x Feladat: Próbáld megfogalmazni a fordítottan arányos mennyiségek fogalmát! Melyik függvény fejezi ki a fordítottan arányos mennyiségeket? Adj példát fordítottan arányos mennyiségekre! Gyakorlatok: 1. Rövidtávon a gepárd sebessége 120 km/h, a tigrisé 56 km/h az oroszláné pedig 48 km/h. a. Mennyi utat tesz meg egy gepárd 1 perc alatt? b. Mennyivel tesz meg több utat 5 perc alatt a tigris, mint az oroszlán 2. Ha a benzin ára 380 Ft literenként a Mol kutaknál, akkor a. mennyit fizetünk 56,4 l benzinért? b. mennyi benzint kapunk Ft-ért, Ft-ért? c. a Shell kutaknál a benzin literenkénti ára 386 Ft. Mennyi benzint veszünk Ftért? 3. Aprajafalva farmján 20 kis kéktehénnek 28 napra elegendő takarmánya van. Hány napig elegendő ez a takarmány, ha 15 tehenet tartanak a farmon? 4. Példa: Egy jármű 50 km/h egyenletes sebességgel halad. Mennyi utat tesz meg 1 2,3 4, 2, 4 óra alatt? Ábrázoljuk a koordináta rendszerben az idő és az út között fennálló függvénykapcsolatot! 36

37 7. GEOMETRIA Alapfogalmak: pont egyenes sík illeszkedés Jelölés: A, B, C, d, a, e, S, S1, A d, B d AB=d Tapasztalat alapján igaznak fogadjuk el a következő állításokat (axiómák): Az egyenes pontok halmaza. Két különböző pontra egyetlen egyenes illeszkedik. Egy egyenesre és egy rá nem illeszkedő pontra egyetlen sík fektethető. Két metsző egyenesre egyetlen sík fektethető. Mesélő ábrák AB félegyenes Egy adott pontra egyetlen egyenes illeszkedik, amelyik párhuzamos az adott egyenessel. SZÖGEK 37

38 Csúcsszögek:nagyságuk egyenlő Párhuzamos szárú szögek: száraik párhuzamosak 38

39 Tétel: A párhuzamos szárú szögek nagysága egyenlő, ha mindkettő hegyes vagy tompaszög, és kiegészítőszögek, ha az egyik hegyesszög a másik pedig tompaszög. Merőleges szárú szögek: száraik páronként merőlegesek. Tétel: A merőleges szárú szögek nagysága egyenlő, ha mindkettő hegyes vagy tompaszög, és kiegészítő szögek, ha egyik tompaszög, a másik pedig hegyesszög. Feladatok: 1. Egy egyenes 5 különböző pontja hány részre osztja az egyenest? Hány szakaszt határoznak meg? 2. A 42 cm hosszú AB szakaszt a C pont A-tól kezdve 2:5 arányban, a D pont pedig 3:4 arányban osztja. Számítsd ki a C és D pont távolságát. 3. Az AB szakasz 30 cm hosszú, a BC szakasz hossza 2 dm. Mekkora az AB és az AC szakaszok felezőpontjainak távolsága? Gondold át, hogy hány eset lehetséges! Készíts ábrát! 4. Micimackó, Vuk és Csibész otthona egy egyenes út mentén található. Micimackó 1,4 km-re lakik Vuktól, Csibész és Vuk 600 m-re lakik egymástól. Milyen távolságra lehet Csibész és Micimackó? 5. Az AB és BC szakaszok közös része a CB szakasz. Mekkora az AD szakasz, ha AB = 10 cm, CD = 12 cm és CB = 4 cm? 6. Adott 4 kollineáris pont A,B,C,D. Add meg a 4 pont sorrendjét, ha AB=3, AD=4, AC=5 és BD=CD=1! 7. Egy egyenesen adott egy O pont és 4 szakasz, úgy hogy OA = OB = 5 cm, AD=BC=3 cm. Add meg a CD szakasz hosszát! 8. Az ábrán az α = Mekkora a többi jelölt szög? Indokold meg minden esetben állításodat! Van-e az ábrán az adott szögekkel egyenlő szög? Ha igen, melyik és miért? 9. Az α = Mekkora a szög potszöge? 10. Az α és β szögek mellékszögek. Mekkorák a szögek, ha α szög 24 -kal nagyobb, mint β? 11. Egy szög háromszor akkora, mint a mellékszöge. Mekkora a szög? 12. Mekkora szöget zár be az óra két mutatója a. 3 órakor; b. 7 órakor; c. fél nyolckor. 39

40 13. Négy szög együtt egyenesszöget alkot, továbbá mindegyik szög az előzőnél 10 -kal nagyobb. Számítsd ki a szögek nagyságát. 14. Rajzolj két merőleges szárú szöget, úgy hogy mindkettő legyen tompaszögű! Mit tudsz mondani a két szög nagyságáról? 15. Két merőleges szárú szög közül az egyik 45 -os, a másik tompaszög. Mekkora a tompaszög? Készíts ábrát! 16. Öt szög együtt teljesszöget alkot (360 -os szög). Mindegyik szög az előzőnél 15 -kal nagyobb. Számítsuk ki a legkisebb szög nagyságát! PONTHALMAZOK SZAKASZ FELEZŐ MERŐLEGESE SZÖGFELEZŐ Tétel: A szakasz felező merőlegesének minden pontja egyenlő távolságra van a szakasz két végpontjától, és fordítva, ha egy pont egyenlő távolságra van egy szakasz két végpontjától, akkor rajta van a szakasz felező merőlegesén. Tétel: Egy szög szögfelezőjének pontjai egyenlő távolságra vannak a szög száraitól, és fordítva, ha egy pont egyenlő távolságra van a szög száraitól, akkor rajta van a szögfelezőn. FELADATOK Add meg egy d egyenestől 2 cm távolságra lévő pontok halmazát. 2. Add meg egy d egyenestől legfeljebb 2 cm távolságra lévő pontok halmazát. 3. Add meg egy d egyenestől legalább 2 cm távolságra lévő pontok halmazát.

41 4. Adott három pont a síkon. Add meg a három ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmazát. Van-e olyan eset, amikor üres halmazt kapsz? 5. Adott két egyenes, a és b. Add meg a két egyenestől 2 cm távolságra lévő pontok halmazát. 6. Adott két egymásra merőleges egyenes. Add meg a két egyenestől legfeljebb 2 cm távolságra lévő pontok halmazát. 7. Adott két metsző egyenes. Add meg a két egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmazát. 8. Add meg egy háromszög minden oldalegyenesétől egyenlő távolságra levő pontok halmazát. HÁROMSZÖGEK Három nem egy egyenesre illeszkedő pont háromszöget határoz meg. Osztályozás: oldalak szerint 1. ÁLTALÁNOS HÁROMSZÖG: AZ OLDALAK NEM EGYENLŐK szögek szerint 2. EGYENLŐ SZÁRÚ HÁROMSZÖG: VAN KÉT EGYENLŐ OLDALUK 3. SZABÁLYOS VAGY EGYENLŐ OLDALÚ HÁROMSZÖG: MINDEN OLDAL EGYENLŐ 1. HEGYESSZÖGŰ HÁROMSZÖG: MINDEN SZÖG HEGYESSZÖG 2. DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG: VAN DERÉKSZÖGE 3. TOMPASZÖGŰ HÁROMSZÖG: VAN TOMPASZÖGE Tétel: A háromszög belső szögeinek összege

42 A háromszög külső szögeinek nevezzük a belső szögek mellékszögeit. Tétel: A külső szög egyenlő a nem mellette levő két belső szög összegével. Tétel: A háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak. Következmény: Az egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei egyenlők. Következmény: A szabályos háromszög minden belső szöge 60. Tétel megfordítása: Egy háromszögben egyenlő szögekkel szemben egyenlő oldalak vannak. Tétel: Bármely háromszögben a hosszabb oldallal szemben nagyobb szög fekszik, és fordítva. Tétel: Háromszög egyenlőtlenség: A háromszög bármely két oldal hosszának összege nagyobb a harmadik oldalnál. Következmény: A háromszög bármely oldala nagyobb a másik két oldal különbségének abszolút értékénél. Háromszögek szerkeszthetősége: Ha a,b,c pozitív számokra teljesülnek az alábbi egyenlőtlenségek a + b > c, b + c > a, a + c > b, akkor az a,b,c hosszúságú szakaszokkal háromszög szerkeszthető. A HÁROMSZÖG NEVEZETES VONALAI 42

43 Tétel: A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást, ezt a pontot a háromszög magasságpontjának nevezzük. Tétel: A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög súlypontja. A súlypont mindegyik súlyvonalat 1:2 arányban oszt két részre, a hosszabbik rész másik végpontja a háromszög csúcsa. Tétel: A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög köré írt kör középpontja. Tétel: A háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszögbe írt kör középpontja. TERÜLET, KERÜLET A háromszög területe egyenlő az oldal és a hozzá tartozó magasság szorzatának felével. A háromszög kerülete a három oldal hosszának összege. A háromszög területét még kiszámíthatjuk, ha adott mind a három oldal hossza, a Héron képlettel: T = s(s a)(s b)(s c), ahol s = a+b+c. 2 43

44 Feladatok: 1. Adott egy olyan egyenlőszárú háromszög, amelynek két 62 -os szöge van. A szára vagy az alapja a hosszabb? 2. Mekkorák a derékszögű háromszög szögei, ha egyik külső szöge 120? 3. Egy háromszögben két szög aránya 2:5. Ha a harmadik szög 80, mekkorák a háromszög szögei? 4. Mekkora a háromszög külső szögeinek összege? Állításodat indokold! 5. Egy egyenlő szárú háromszög egyik belső szöge a külső szögek összegének tizedrésze. Mekkorák a háromszög szögei? 6. Egy háromszög szögeinek aránya 1:2:6. Mekkorák a háromszög szögei? 7. Egy háromszög oldalainak aránya 2:3:5. Mekkorák az oldalak hossza, ha a kerülete 46 cm? 8. Egy háromszög egyik szöge fele a másiknak, és ennek 3 4 része a harmadik szög. Mekkorák a háromszög szögei? 9. Az alábbi ábrán vannak-e egyenlő szögek? Ha igen, miért? 10. Van-e olyan háromszög, amelyben a magasságpont a háromszög egyik csúcsa? Válaszodat indokold! 11. Rajzolj egy olyan háromszöget, amelynek a magasságpontja a háromszögen kívül van! 12. Egyenlő szárú háromszög egyik csúcsához tartozó magassága a másik szárral 12 -kal kisebb szöget alkot, mint az alapon levő szög. Mekkorák a háromszög szögei? 13. Egy háromszög oldalaira teljesül, hogy a<b<c. A háromszög két szöge 92 és 36. Melyik oldal fekszik a harmadik szöggel szemben? 14. Egy egyenlő szárú háromszög két oldala: a. 3 cm, 7 cm b. 4 m, 80 dm Mekkora lehet a harmadik oldal? Melyik nagyobb szög: az alapon fekvő vagy a szár szög? 15. Melyik igaz az alábbi állítások közül? Válaszodat indokold! a. A háromszögbe írt kör középpontja a súlypont. b. Van olyan háromszög, amely esetén a beírt kör középpontja rajta van egyik magasságon. c. A szabályos háromszögben a magasságpont, a beírt kör, a körülírt kör középpontja, a súlypont egybeesik. d. Ha két háromszög területe egyenlő, akkor a két háromszög egybevágó. e. Ha két háromszög egybevágó, akkor területük egyenlő. 16. Egy háromszög egyik oldala 1,8 m, a másik 0,7 m. Hány méter a harmadik oldal, ha mérőszáma egész szám? 17. Egy mezőn egyenesen sétálva megteszünk 27 m-t, majd elfordulunk valamerre, és tovább gyalogolunk 52 m-t, végül egy újabb irányváltoztatás után visszatérünk a kiindulás pontjába. Legalább mennyit kell még gyalogolnunk, ha tudjuk, hogy a távolság méterben mérve egész szám? 18. Igazold, hogy bármely háromszögben az a oldal és a b oldalhoz tartozó magasság által bezárt szög egyenlő a b oldal és az a oldalhoz tartozó magasság által bezárt szöggel.(keress jellegzetes szögpárt.) 44

45 19. Egy háromszög két oldala 6 cm és 9 cm. Mekkora a 6 cm-es oldalhoz tartozó magasság, ha 9 cm-eshez 4 cm- es magasság tartozik? 20. Igazold, hogy a háromszög súlyvonala a háromszöget két olyan háromszögre bontja, amelyeknek területe egyenlő! 21. Mekkora az ABC háromszög területe, ha F és D felezési pontok, G és E negyedelő pontok? Az AGE háromszög területe 3 cm Egy háromszög oldalai 4 cm, 7 cm és 9 cm hosszúak. Mekkora a területe? Ki tudod számítani a beírható kör sugarát? (kösd össze a beírható kör középpontját a csúcsokkal, így a háromszöget felbontottad 3 kisebb háromszögre.) Fogalmazd meg általánosan az eredményt! PITAGORASZ TÉTELE ÉS MEGFORDÍTÁSA Pitagorasz tételének megfordítása: Ha egy háromszögben két oldal négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. Feladatok: Matematika Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény III.: 1330, 1331, 1333, 1334, 1335, 1339,1338, 1353, 1355, NÉGYSZÖGEK 45

46 Trapéz: olyan négyszög, amelynek van párhuzamos oldalpárja. Tulajdonság: A trapéz ugyanazon a száron fekvő szögei kiegészítő szögek. Húrtrapéz: van szimmetria tengelye (az alapokra merőleges egyenes). A húrtrapéz szárai egyenlők. A húrtrapéz alapon fekvő szögei egyenlők. Sajátos trapézok Paralelogramma: olyan trapéz, amelyben a szemközti oldalak párhuzamosak. Tétel:Paralelogramma tulajdonságai: szemközti oldalai egyenlők; szemközti szögei egyenlők; egymás melletti szögek kiegészítő szögek; átlók felezik egymást. Fordított tétel: Ha egy négyszögben valamelyik az alábbi tulajdonságokból teljesül, a szemközti oldalak párhúzamosak; a szemközti szögek egyenlők; egymás melletti szögek kiegészítő szögek; szemközti oldalak egyenlők, két szemközti oldal egyenlő és párhúzamos; átlók felezik egymást akkor a négyszög paralelogramma. 46

47 Téglalap: Olyan paralelogramma, amelynek van egy derékszöge. Tehát a téglalap rendelkezik a paralelogramma minden tulajdonságával. Sorold fel őket! Plusz tulajdonság: A téglalap átlói egyenlők. Rombusz: A rombusz olyan paralelogramma, amelynek két szomszédos oldala egyenlő. A rombusz rendelkezik a paralelogramma minden tulajdonságával. Sorold fel őket! Plusz tulajdonság: A rombusz átlói merőlegesek egymásra és felezik a szögeket. Négyzet: olyan téglalap,amelynek szomszédos oldalai egyenlők. olyan rombusz amelynek van egy derékszöge. A négyzet rendelkezik a téglalap és a rombusz tulajdonságaival. Sorold fel őket! Deltoid A deltoid olyan négyszög, amelynek két-két szomszédos oldala egyenlő. 47

48 A négyszögek osztályozása: TERÜLETEK Feladatok: 1. Melyik állítás igaz és miért? a. Minden paralelogramma trapéz. b. Van olyan trapéz, ami deltoid. c. Minden deltoid paralelogramma. d. Ha egy négyszög szemközti szögei egyenlők, akkor a négyszög paralelogramma. e. Van olyan rombusz, amelynek egyik átlója egyenlő az oldal hosszával. 48

49 2. Egy trapéz szemközti szögei 68 és 105. Mekkora a másik két szög? 3. Egy trapéz két szöge 72 és 118. Mekkora a másik két szög? 4. Egy derékszögű trapéz derékszögű szára 8 cm. Ha egyik alapja 18 cm és egyik szöge 45, mekkora a trapéz másik két oldala? 5. Egy paralelogramma egyik szöge a mellette lévő szög háromötöde. Mekkorák a paralelogramma szögei? 6. Egy rombusz egyik átlója az oldallal 24 -os szöget zár be. Mekkorák a rombusz szögei? 7. Hány fokosak a paralelogramma belső szögei, ha egyik belső szöge egyenlő egy másik belső szög kétharmadával? 8. Mekkora egy négyzet oldala, ha területe egyenlő a 16 cm és 9 cm oldalú téglalap területével? 9. Egy téglalap alakú kert kerülete 50 m. oldalainak aránya 2:3. Mekkora a kert területe? 10. Egy paralelogramma két oldala 5 cm és 8 cm, a rövidebb oldalhoz tartozó magassága 6 cm. Mekkora a másik magasság? 11. A mellékelt ábrán egy vasúti töltés keresztmetszete látható. Mekkora a területe, ha az adatok méterben adottak? 12. Egy 60 cm és egy 80 cm hosszú pálcika segítségével (átlók) deltoid alakú sárkányt készítünk. Mekkora lesz a sárkány területe? 13. Egy négyzet oldalát 5 cm el megnöveljük, így területe 625 cm 2. Mekkora volt az eredeti négyzet oldala? 14. Egy trapéz magassága 5,4 cm, alapjainak arány 3:5. Mekkorák az alapok, ha a területe 81 cm 2? SOKSZÖGEK. SZABÁLYOS SOKSZÖGEK 49

50 Az n-oldalú konvex sokszög átlóinak száma: n(n 3) Az n-oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege:(n 2)180. Szabályos sokszögek azok, amelyeknek oldalai és szögei egyenlők. Feladatok: 1. Hány átló húzható egy konvex sokszög egy csúcsából? Igazold az átlók számára vonatkozó képletet! 2. Igazold a konvex sokszög belső szögeinek összegére vonatkozó képletet! 3. Hány átlója van egy konvex hatszögnek, nyolcszögnek, tizenkétszögnek? Mennyi ezeknek a sokszögeknek a belső szögeinek összege? 4. Hány átlója van annak a konvex sokszögnek, melynek belső szögeink összege 1440? 5. Mekkorák a konvex hatszög szögei, ha azok úgy aránylanak egymáshoz, mint 1:2:3:5:6:7? 6. Mekkora a szabályos ötszög, hatszög, nyolcszög, tízszög belső szöge? 7. Egy szabályos sokszög egyik szöge 160.Hány oldalú a sokszög? 2. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformációk azok a függvények, amelyeknek értelmezési tartományuk és értékkészletük ponthalmaz. Minden geometriai transzformáció esetén a következő tulajdonságokat nézzük: fixpont létezése (olyan pont, amelynek képe önmaga) invariáns alakzatok (olyan alakzatok, amelyeknek pontjai nem fix pontok, de az alakzat képe önmaga) egyenestartó (egyenes képe egyenes) távolságtartó (szakasz és képének hossza megegyezik) szögtartó (szög és képének nagysága ugyanaz) Def: Egy alakzatot szimmetrikusnak nevezünk, ha van olyan geometriai transzformáció, amelynél az alakzat képe önmaga. Def: A távolságtartó transzformációkat egybevágósági transzformációknak nevezzük. Def: Két alakzatot egybevágónk nevezünk, ha van olyan egybevágósági transzformáció, amelyik az egyiket a másikba viszi. Tengelyes tükrözés: az a geometriai transzformáció, amely a sík egy t egyenesének minden pontjához önmagát rendeli, hozzárendeli a P pontot, úgy hogy a PP szakaszt a t egyenes merőlegesen felezze. 50

51 Középpontos tükrözés: (a fenti definíció mintájával és a mellékelt ábra alapján próbáld meg te megfogalmazni, hogy mit nevezünk középpontos tükrözésnek). Thalész tétel Thalész tétel: Ha egy kör átmérőjének végpontjait összekötjük a kör kerületének bármely más pontjával, akkor a keletkezett háromszög derékszögű. Thalész tételének megfordítása: Derékszögű háromszög körülírt körének középpontja az átfogó felezőpontja. Feladatok: 1. Mekkora a mellékelt ábrákon látható négyszögek területe és kerülete? 2. Szerkessz egy adott körhöz egy külső pontból érintőket! A külső pont és az érintési pontok által meghatározott szakaszokat érintőszakaszoknak nevezzük. Mit tudsz mondani ezek hosszáról? Állításodat indokold! A szerkesztést végezd a GeoGebra programmal! Matematika Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény III.: 531, 532, 536, 541, Paralelogramma, háromszög és trapéz középvonala Def: A paralelogramma két szemközti oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a paralelogramma középvonalának nevezzük. Tétel: A paralelogramma középvonala párhuzamos és egyenlő a két nem felezett oldallal. 51

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. FÉLÉV A kiadvány KHF/4356-14/2008. engedélyszámon 2008.11.25. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat

Bolyai János Matematikai Társulat Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 007/008-as tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak

Részletesebben

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat Bemutatjuk a NAT 01 és a hozzá kapcsolódó új kerettantervek alapján készült MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat 9 10 1 MATEMATIKA A KÖTETEKBEN FELLELHETŐ DIDAKTIKAI ESZKÖZTÁR A SOROZAT KÖTETEI A KÖVETKEZŐ KERETTANTERVEK

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam Készült az EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet alapján. Érvényesség kezdete: 2013.09.01. Utoljára indítható:.. Dunaújváros,

Részletesebben

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

COMENIUS ANGOL-MAGYAR KÉT TANÍTÁSI NYELVŰ ÁLTALÁNOS ISKOLA MATEMATIKA TANMENET

COMENIUS ANGOL-MAGYAR KÉT TANÍTÁSI NYELVŰ ÁLTALÁNOS ISKOLA MATEMATIKA TANMENET COMENIUS ANGOL-MAGYAR KÉT TANÍTÁSI NYELVŰ ÁLTALÁNOS ISKOLA MATEMATIKA TANMENET 5. osztály 2015/2016. tanév Készítette: Tóth Mária 1 Tananyagbeosztás Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Témakörök:

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ............................................................ 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!............................. 9 Mit tanultunk a számokról?............................................

Részletesebben

Matematika POKLICNA MATURA

Matematika POKLICNA MATURA Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin

Részletesebben

Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz

Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz MATEMATIKA 6. Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz Témák 1. Játékos feladatok Egyszerű, matematikailag is értelmezhető hétköznapi szituációk megfogalmazása szóban és írásban.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam BEVEZETŐ Ez a helyi tanterv a kerettanterv Emelet matematika A változata alapján készült. Az emelt oktatás során olyan tanulóknak kívánunk magasabb szintű ismerteket nyújtani, akik matematikából átlag

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.

Részletesebben

Tanmenetjavaslat 5. osztály

Tanmenetjavaslat 5. osztály Tanmenetjavaslat 5. osztály 1. A természetes számok A tanmenetjavaslatokban dőlt betűvel szedtük a tananyag legjellemzőbb részét (amelyet a naplóba írunk). Kisebb betűvel jelezzük a folyamatos ismétléssel

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

MATEMATIKA A és B variáció

MATEMATIKA A és B variáció MATEMATIKA A és B variáció A Híd 2. programban olyan fiatalok vesznek részt, akik legalább elégséges érdemjegyet kaptak matematikából a hatodik évfolyam végén. Ezzel együtt az adatok azt mutatják, hogy

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra A Kiadó javaslata alapján összeállította: Látta:...... Harmath Lajos munkaközösség vezető tanár Jóváhagyta:... igazgató

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz Fejlesztőfeladatok MATEMATIKA 4. szint 2015 Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

Részletesebben

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás 12. évfolyam Osztályozó vizsga 2013. augusztus Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás Ismerje a számsorozat

Részletesebben

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve! (9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről

Részletesebben

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február Helyi tanterv Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február 1 A TANTERV SZERKEZETE Bevezető Célok és feladatok Fejlesztési célok és kompetenciák Helyes

Részletesebben

MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM

MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM SZERZŐK: Veppert Károlyné, Ádám Imréné, Heibl Sándorné, Rimainé Sz. Julianna, Kelemen Ildikó, Antalfiné Kutyifa Zsuzsanna, Grószné Havasi Rózsa 1 1-2. ÉVFOLYAM Gondolkodási, megismerési

Részletesebben

Matematika tanmenet/4. osztály

Matematika tanmenet/4. osztály Comenius Angol-Magyar Két Tanítási Nyelvű Iskola 2015/2016. tanév Matematika tanmenet/4. osztály Tanító: Fürné Kiss Zsuzsanna és Varga Mariann Tankönyv: C. Neményi Eszter Wéber Anikó: Matematika 4. (Nemzeti

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben

3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben 3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben 1. 1. Alapfogalmak 2. Nevezetes sík- és térbeli alakzatok, definícióik 3. Thalész-tétel 4. Gyakorlati alkalmazás Pont: alapfogalom, nem definiáljuk Egyenes:

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné tankönyv 5 Mozaik Kiadó Szeged, 2013 A TERMÉSZETES SZÁMOK 13. A szorzat változásai Az iskolai könyvtáros 10

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Alfa tanár úr 5 tanulót vizsgáztatott matematikából. Az elért pontszámokat véletlen sorrendben írta

Részletesebben

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 2016 Fazekas, Berzsenyi Budapest Berzsenyi Dániel Gimnázium Fazekas Mihály Gimnázium Budapest 2. javított kiadás 2016. március 1115. Technikai el készítés, tördelés:

Részletesebben

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára Feladatok MATEMATIKÁBÓL a. évfolyam számára I.. Egy 35 fős osztályból mindenki részvett valamelyik iskolai kiránduláson. 5-en Debrecenbe utaztak, 8-an pedig Pécsre. Hányan utaztak mindkét városba?. Állapítsa

Részletesebben

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Egy szám ellentettje megegyezik a szám ( 1) szeresével. Számfogalmak kialakítása:

Részletesebben

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra) MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,

Részletesebben

MATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények

MATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények MATEMATIKA 9 10. évfolyam 1066 MATEMATIKA 9 10. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata, hogy megalapozza a tanulók korszerű, alkalmazásra képes matematikai műveltségét,

Részletesebben

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Ha egy rögzített egyenes körül egy tetszőleges görbét forgatunk, akkor a görbe úgynevezett forgásfelületet ír le; a rögzített egyenes, amely körül a görbe forog,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja

Részletesebben

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A:= { a csoport tanulói b) B:= { Magyarország városai ma c) C:=

Részletesebben

10. évfolyam, negyedik epochafüzet

10. évfolyam, negyedik epochafüzet 10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1

Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1 2. fejezet Halmazelmélet D 2.1 Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenl nek, ha elemeik ugyanazok. A halmazt, melynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Jele:. D 2.2 Az A halmazt a B halmaz

Részletesebben

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal.................................. 3.. Egyenes vektoriális egyenlete..............................

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V. Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,

Részletesebben

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I.

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I. NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM aipari Mérnöki Kar Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet Dr Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I Sopron 9 javított kiadás TARTALOMJEGYZÉK I Bevezetés a mőszaki mechanika

Részletesebben

MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK

MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.

Részletesebben

10. évfolyam, ötödikepochafüzet

10. évfolyam, ötödikepochafüzet 10. évfolyam, ötödikepochafüzet (Hasonlóság, trigonometria) Tulajdonos: ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Geometriai transzformációk... 3 I.1. A geometriai transzformációk ismétlése... 3 I.2. A vektorok ismétlése...

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 2. forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 2. forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 010/011-es tanév. forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Egy sportversenyen

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. a nyelvi előkészítő osztály számára

Kőszegi Irén MATEMATIKA. a nyelvi előkészítő osztály számára Kőszegi Irén MATEMATIKA a nyelvi előkészítő osztály számára 2014 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a 4 egyjegyű pozitív osztóinak halmazát! A keresett halmaz: {1 4 6 8}. ) Hányszorosára nő egy cm sugarú kör területe, ha a sugarát háromszorosára

Részletesebben

Matematikai programozás gyakorlatok

Matematikai programozás gyakorlatok VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................

Részletesebben

Számhalmazok. n n. a valós számok halmaza, ahol : nem írható fel két egész szám hányadosaként az irracionális számok halmaza.

Számhalmazok. n n. a valós számok halmaza, ahol : nem írható fel két egész szám hányadosaként az irracionális számok halmaza. Matematika Számok, műveletek A természetes számok halmaza: Számhalmazok Ha m és n természetes szám, akkor az m természetes számok halmazán. Példa: 6+x=2. n egyenlet nem feltétlenül oldható meg a Az egész

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Kompetencia alapú matematika oktatás Oláhné Téglási Ilona

Kompetencia alapú matematika oktatás Oláhné Téglási Ilona Kompetencia alapú matematika oktatás Oláhné Téglási Ilona Ítéletalkotás, döntés képességének fejlesztése Rezner-Szabó Zsuzsanna Matematikatanár, MA Eszterházy Károly Főiskola 1. feladat Építs piramist!

Részletesebben

Halmazelmélet. Halmazok megadása

Halmazelmélet. Halmazok megadása Halmazok megadása Halmazelmélet 145. Amikor a halmazt körülírással vagy valamilyen tulajdonságával adjuk meg, bármilyen elemrôl egyértelmûen el kell tudnunk dönteni, hogy beletartozik a halmazba vagy sem.

Részletesebben

Matematika 9. nyelvi előkészítő évfolyam. 1 óra/hét (37 óra) Kiselőadások tartása, interjúk készítése (matematikatörténeti

Matematika 9. nyelvi előkészítő évfolyam. 1 óra/hét (37 óra) Kiselőadások tartása, interjúk készítése (matematikatörténeti Matematika 9. nyelvi előkészítő évfolyam Témakörök Gondolkodási és megismerési módszerek Számtan, algebra Összefüggések, függvények, sorozatok Geometria, mérés Statisztika, valószínűség Év végi összefoglaló

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes

Részletesebben

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger. feladat Állítsunk merőlegeseket egy húrnégyszög csúcsaiból a csúcsokon át nem menő átlókra. Bizonyítsuk be, hogy a merőlegesek talppontjai

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

VI.7. RÁCSODÁLKOZÁS. A feladatsor jellemzői

VI.7. RÁCSODÁLKOZÁS. A feladatsor jellemzői VI.7. RÁSOÁLKOZÁS Tárgy, téma feladatsor jellemzői háromszögek, négyszögek területe rácssokszögek segítségével. Előzmények él terület fogalma. már ismert terület fogalom (főképp a háromszög és a négyszögek

Részletesebben

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt S T A T I K A Ez az anyag az "Alapítvány a Magyar Felsôoktatásért és Kutatásért" és a "Gépészmérnök Képzésért Alapítvány" támogatásával készült a Mûszaki Mechanikai Tanszéken kísérleti jelleggel, hogy

Részletesebben

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak)

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Erre a dokumentumra az Edemmester Gamer Blog kiadványokra vonatkozó szabályai érvényesek. 1. feladat: Határozd meg az a, b és

Részletesebben

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád Dr. Katz Sándor: Lehet vagy nem? Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád A kreativitás fejlesztésének legközvetlenebb módja a konstrukciós feladatok megoldása.

Részletesebben