MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat"

Átírás

1 Bemutatjuk a NAT 01 és a hozzá kapcsolódó új kerettantervek alapján készült MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat

2 MATEMATIKA A KÖTETEKBEN FELLELHETŐ DIDAKTIKAI ESZKÖZTÁR A SOROZAT KÖTETEI A KÖVETKEZŐ KERETTANTERVEK ALAPJÁN KÉSZÜLNEK 4-osztályos gimnáziumi alap (304) szakközépiskolai alap (603) KIEGÉSZÍTŐ TANANYAG LT SZINT áhangolásként minden lecke igyelemfelkelt fotóval illusztrált, hétköznapi problémával indul I HALMAZOK 4 MŰVELETEK RACIONÁLIS SZÁMOKKAL Egy játék győztese két jutalom közül választhat: a) 5000 euró 5 részének 3 4 részét vagy b) 1000 euró 5 részének 10 százalékát 4 Segítsünk neki a választásban! A SOROZAT KONCEPCIÓJA j szemlélet és tananyag-feldolgozású kiadványainkban azt szeretnénk megmutatni, hogy a matematika ezer szállal szövi át a természettudományokat és ezáltal a mindennapjainkat E kötetekben a hétköznapi jelenségek úgy kerülnek középpontba, hogy a hozzájuk kapcsolható matematikai tartalom nemcsak szigorú logikai rendben kifejtett tudományos magyarázatként, hanem lehetség szerint a gyakorlati alkalmazásokon keresztül is megmutatkozik Elssorban a matematika iránt kevésbé érdekld, átlagos képesség diákok számára készültek a kötetek, melyek mellé a kiadó 9 évfolyamra ingyenes digitális kiegészít anyagot kínál A kiegészítés használatával a tankönyv magasabb óraszám mellett a tantárgy iránt érdekld diákok számára is megfelel 11 osztálytól kezdden a tankönyvcsalád a tanítási gyakorlatnak megfelelen kettéválik, és alternatívát kínál a középszinten, illetve az emelt szinten érettségizk számára Emelt szint, 11-1 évfolyamos könyvünk az t a tudáshoz tankönyvcsalád Matematika 11-1 emelt szint tankönyvének (M- 350) átdolgozása EGYÉB FONTOS INFORMÁCIÓK A 9-es tankönyv M-737 kiadói kóddal elérhet a tankönyvjegyzéken Folytatása, a 10-es (M-739) tankönyv teljes terjedelmében elkészült Az t a tudáshoz sorozatba tartozó 10-es (M-65), a 11-es (M-67), a 1-es (M-69) és a 11-1-es emelt szint (M-350) tankönyveink változatlan formában elérhetek a tankönyvjegyzéken A KÖTETEK ELKÉSZÍTÉSÉNEK FONTOSABB ALAPELVEI 1 Elssorban a matematika iránt nem érdekld tanulókat készíti fel a középszint érettségire A tudományos ismeretek hétköznapi jelenségekbl és a gyakorlati alkalmazásokból kiindulva jelennek meg 3 A komplex gondolkodást a többi tantárgyhoz való kapcsolódás segítségével fejleszti 4 A mindennapokban jól alkalmazható gyakorlati ismereteket tartalmaz 5 Fokozatosan nehezed feladatok teszik lehetvé a differenciált foglalkoztatást DIGITÁLIS TANANYAGOK A tankönyvcsaládhoz digitális tananyagot fejlesztünk Ezekben a hagyományos tanári kézikönyv elemein túl olyan animációkat, videókat és interaktív feladatokat kínálunk, amelyekkel akár a teljes tanítási órát is ki lehet tölteni 3 4 A jelentésteremtéshez fokozatosan nehezed, kidolgozott példákon keresztül vezet az út 3 A deiníciókat és tételeket jól megkülönböztethet módon jelöljük 4 A többi tantárgyhoz való kapcsolódást érdekességeken, életrajzi momentumokon és Járj utána! feladatokon keresztül mutatjuk be 55 A leckék végén található feladatok nehézségi szintjét is megadjuk A feladatokat általában rejtvények, fejtörk vagy találós kérdések zárják Gyôr Pécs Budapest Székesfehérvár r Szeged Miskolc Nyíregyháza Debrecen lvassuk ki az alábbi jelöléseket! a) B Budapest; Debrecen; yr; Miskolc; Nyíregyháza; Pécs; Szeged; Székesfehérvár, b) C hélium; neon; argon; kripton; xenon; radon, c) D 3; 6; 9; 1; ; 99 a) B Budapest, Debrecen, yr, Miskolc, Nyíregyháza, Pécs, Szeged, Székesfehérvár a B halmaz a Budapest, Debrecen, yr, Miskolc, Nyíregyháza, Pécs, Szeged, Székesfehérvár városok halmaza 1 Végezzük el a kijelölt mveleteket! a) : ; b) ; c) : Találós kérdés: Egy tört számlálója kisebb, mint a nevezje Egyenl lehet-e egy olyan törttel, melynek a nevezje kisebb a számlálójánál? FORMAI JELLEMZŐK B5-ös méret oldal Szöveg és kép szerves egységben Puhatáblás és tartós, keménytáblás kivitelek 3

3 MATEMATIKA 9 - TARTALOM MATEMATIKA 9 - TARTALOM I HALMAZOK 14 Két tag összegének, illetve különbségének a négyzete Ugyanazon két tag összegének és különbségének a szorzata 6 16 Két tag összegének, illetve különbségének a köbe Polinomok szorzattá alakítása kiemeléssel Szorzattá alakítás azonosságok használatával Szorzattá alakítás teljes négyzetté kiegészítéssel 70 0 Algebrai törtek egyszersítése, helyettesítési értékének kiszámítása 7 IV GEOMETRIA 5 Az egyenlet fogalma Egyenletek megoldása graikus úton 1 54 Az egyenletek megoldása algebrai úton I 5 55 Az egyenletek megoldása algebrai úton II Egyenltlenségek, egyenltlenségrendszerek Abszolút értéket tartalmazó egyenletek Szöveges feladatok I 4 59 Szöveges feladatok II Elsfokú egyenletrendszerek Egyenletrendszerrel megoldható feladatok 60 1 A halmazokkal kapcsolatos fogalmak, jelölések 8 A halmaz elemszáma 1 3 Számhalmazok 15 4 Mveletek racionális számokkal 0 5 A részhalmaz fogalma, jelölések, elnevezések 4 6 Mveletek halmazok között 8 7 Ponthalmazok 33 8 Logikai szita, egyszer összeszámlálások 35 1 Algebrai törtek szorzása, osztása, összevonása 74 szthatóság 77 3 szthatósági szabályok, prímszám, összetett szám, a számelmélet alaptétele 80 4 Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös 84 5 Számrendszerek 88 III FÜGGVÉNYEK 35 Térelemek kölcsönös helyzete, szöge Sokszögek I (Konvex, konkáv sokszögek, átlók száma) Sokszögek II (Sokszögek szögei) Térelemek távolsága Speciális sokszögek A kör és részei A háromszög köré írható kör 16 4 A háromszögbe írható kör A Pitagorasz-tétel I 168 VI STATISZTIKA II ALGEBRA, SZÁMELMÉLET 44 A Pitagorasz-tétel II eometriai transzformációk (bevezetés) 180 K E I L R Á T B D A 46 eometriai transzformációkkal kapcsolatos szerkesztések eometriai transzformációkkal kapcsolatos bizonyítások Adatok megadása, szemléltetése Középértékek 7 48 Thalész tétele Körív hossza, körcikk területe, ívmérték Vektorok, mveletek vektorokkal Síkidomok egybevágósága 14 6 A függvény fogalma, jelölések, elnevezések 90 7 A koordináta-rendszer I 95 V EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 8 Valós függvények szemléltetése 99 9 Lineáris függvények, egyenes arányosság A másodfokú függvény Bets kifejezések a matematikában Pozitív egész kitevj hatvány Egész kitevj hatványok 49 1 Számok normálalakja 5 31 A négyzetgyök fogalma, négyzetgyökfüggvény Az abszolútérték-függvény Fordított arányosság, lineáris törtfüggvény A koordináta-rendszer II Algebrai egész kifejezések (polinomok)

4 II ALGEBRA, SZÁMELMÉLET Kidolgozott példák 17 Kiemelés POLINOMOK SZORZATTÁ ALAKÍTÁSA KIEMELÉSSEL =0-3 3 Válasszuk ki az ábrán látható számok közül azokat, amelyeknél a x 4x kifejezés helyettesítési értéke 0! A polinomok helyettesítési értékének deiníciója alapján olyan alaphalmazbeli számokat keresünk, melyeket az x helyébe helyettesítve a kifejezés értéke nulla lesz, azaz x 4x 0 Az ilyen számokat a polinom gyökeinek nevezzük A magasabb fokú polinomok gyökeinek keresésében az egyik leghasznosabb módszer a szorzattá alakítás, mert egy szorzat pontosan akkor nulla, ha valamelyik tényezje nulla Tanultuk, hogy a szorzás disztributív az összeadásra nézve, azaz ca bca cb Ha az egyenlség jobb oldalából indulunk ki, akkor a ca cb ca b összefüggés azt fejezi ki, hogy a c-t kiemeltük azokból a tagokból, amelyekben szorzótényezként szerepelt, és ezzel a ca cb kifejezést szorzattá alakítottuk magyarázatok Ez alapján alakítsuk szorzattá a x 4x polinomot! A kifejezés mindkét tagjában szerepel x Alakítsuk át a polinomot úgy, hogy a tagokban megjelenjen szorzótényezőként a x! Ezzel kaptunk egy háromtényezős szorzatot x 4x x x x x x x x 0 Mindkét tag együtthatója páros Emeljük ki a x-et! ráhangoló probléma A feladat szerint azt keressük, hogy ez a szorzat mikor lesz nulla PÉLDA Alakítsuk szorzattá kéttagú kifejezések kiemelésével a következket! a) ax ybx y; b) xz yrz y; c) ay 1by1; d) 3xy 33y; e) xy 131 y a) ax ybx yx yab; b) xz yrz yz yxr; c) ay 1by1y1ab; d) 3xy 33y3xy3y3y33x; e) xy 131 yxy13y1y1x3 Ha az elz feladat a) részében szerepl ax ybx y kifejezésben felbontjuk a zárójeleket, akkor az ax ay bx by kifejezéshez jutunk Ha ebben egymás mellé tesszük az x-et tartalmazó tagokat és az y-t tartalmazó tagokat, akkor a kifejezést az következ módon is szorzattá alakíthatjuk: ax ybx yax ay bx by ax bx ay by xa b ya ba bx y 3 PÉLDA Alakítsuk szorzattá csoportosítással és kiemeléssel! a) ax az bx bz; b) 4ax 3bx 4ay 3by; c) 1ab 18ac b 3c ; 3 d) 10x 1dc14xd 15xc; e) a 3a 3a 9 a) ax az bx bz ax zbx zx za b; b) 4ax 3bx 4ay 3by x4a 3b y4a 3b4a 3bx y; c) 1ab 18ac b 3c 6ab 3c 1b 3c b 3c 6a 1; d) 10x 1dc 14xd 15xc 10x 14xd 1dc 15xc x5x 7d 3c 7d 5x x5x7d3c5x7d5x7dx3c ; 3 e) a 3a 3a9a a33a3a3a 3 Használjuk fel, hogy egy szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezje 0, így x 0, vagy x 0, azaz x! Tehát az egyenlet gyökei a 0, illetve a Akkor lesz a kifejezés értéke 0, ha x 0 vagy x Feladatok Alakítsuk szorzattá kiemeléssel az alábbi polinomokat! 4 a) 15ax 0ay; b) 8x y 1x y; c) 5x y 15xy 10xy a) 15ax 0ay 5a 3x 5a 4 y 5a3x 4 y b) 8x 4 y1x y4x yx 4x y34x yx 3; c) 5x y 15xy 10xy 5xy 5x 5xy 3 5xy y 5xy5x 3 y A nehézségi szintet a színes vonalak száma jelzi 1 3 Alakítsuk szorzattá az alábbi kifejezéseket! a) 3ax 9a; b) 14a 3 1a ; c) 18x 6 4x ; d) ab a b ; e) 5ab 15ab 35ab Alakítsuk szorzattá az alábbi kifejezéseket a kéttagú kifejezések kiemelésével! ; b) ; c) c c y a) x y a x y b x y a x y b 4 ; d) 1 y z y 1 ; e) 3 ca c 3 4; f) y x 3c x y b Alakítsuk szorzattá csoportosítással és kiemeléssel az alábbi kifejezéseket! a) 4ax 4bx 3ay 3by; b) x xa4x 4a; c) 1a 0bc8ab 15ac; 3 d) 4xa 1xy 5yb 10ab; e) y y y y 4 66 megoldandó feladatok

5 I HALMAZOK 5 A RÉSZHALMAZ FOGALMA, JELÖLÉSEK, ELNEVEZÉSEK Mi a közös az alábbiakban? a) Egy futballcsapat csatársora b) Egy állatkert csimpánzai c) Egy zenekar vonós szekciója Természetesen teljesül az is, hogy az A minden eleme eleme a B-nek is, azaz A B, és az is, hogy a B minden eleme eleme az A-nak is, azaz A B Be lehet bizonyítani az alábbi tételt A TÉTEL: Ha A és B tetszleges halmazokra teljesül, hogy A B, akkor A B és B A Igaz a megfordítása is TÉTEL: Ha A és B tetszleges halmazokra teljesül, hogy A B és B A, akkor A B Az elzek alapján bevezetjük a valódi részhalmaz fogalmát a) A csatársor minden futballistája tagja a csapatnak b) Az összes csimpánz az állatkert állata c) A vonós szekció minden zenésze a zenekar muzsikusa A számhalmazokról tanultak alapján nyilvánvaló, hogy a természetes számok halmazának bármely eleme az egész számok halmazának is eleme, de az egész számok halmazának nem minden eleme van benne a természetes számok halmazában Ez alapján egy olyan kép alakulhat ki bennünk, hogy a természetes számok halmaza része az egész számok halmazának Ennek kapcsán bevezetünk egy új fogalmat, a részhalmaz fogalmát DEFINÍCIÓ: Adott az A és a B halmaz Ha az A halmaz minden eleme a B halmaznak is eleme, akkor az A halmazt a B halmaz részhalmazának nevezzük Jelölés: A B (Kiolvasás: A halmaz részhalmaza B halmaznak) Jelölésekkel: Ha minden x A esetén x B, akkor A B DEFINÍCIÓ: Az A halmaz a B halmaz valódi részhalmaza, ha az A részhalmaza B-nek, de nem egyenl vele Jelölés: A B (Kiolvasás: A halmaz valódi részhalmaza B halmaznak) A deiníció jelekkel: Ha AB de ABakkor AB Ebbl a deinícióból következik, hogy bármely halmaz önmagának nem valódi részhalmaza Ez alapján: A részhalmaz deiníciójából következik, hogy bármely halmaz részhalmaza önmagának A A, valamint az üres halmaz bármely halmaznak részhalmaza A Mivel a természetes számok halmazának minden eleme beletartozik az egész számok halmazába, és az egész számok halmazának minden eleme beletartozik a racionális számok halmazába is, ezért a részhalmaz deiníciója alapján a természetes számok halmaza részhalmaza a racionális számok halmazának is Ez az összefüggés a részhalmazfogalom egy fontos tulajdonsága, amit általánosan az alábbi módon fogalmazhatunk meg jelölésekkel TÉTEL: Legyen az A, B, C halmaz olyan, hogy A B és B C, ekkor A C Az új jelölés segítségével a számhalmazok között a következ kapcsolatot írhatjuk fel: Ezt szemléltethetjük halmazábrák, úgynevezett Venn-diagramok segítségével A halmazokat egy-egy kör, ellipszis, téglalap vagy valamilyen síkbeli ponthalmaz szimbolizálja, és ezek segítségével jelenítjük meg a halmazok közötti kapcsolatot Legyen az A k 4k 10 és k és B 10 x x 0; ; 4; 6; 8! Adjuk meg a két halmaz elemeit! Ábrázoljuk mindkét halmazt Venn-diagramon! Milyen kapcsolat áll fenn az A és B halmaz között? Az A ugyanazok az elemei, azaz A B 10; 1; 14; 16; 18 és B 10; 1; 14; 16; 18 ; tehát a két halmaznak Az állítás bizonyítható PÉLDA Legyen az A a három testô r! Határozzuk meg az A halmaz összes részhalmazát! Elször adjuk meg a halmaz elemeit: A AthosAt ; PorthosPo ; AramisAr Ha olyan problémát oldunk meg, akár a hétköznapi életben is, ahol fel kell sorolnunk adott tulajdonsággal rendelkez objektumokat, célszer olyan módszert követni, amely alapján könnyen tudjuk ellenrizni, hogy kihagytunk-e valamit a felsorolásból vagy sem Most célszer az elemszámok alapján számba venni a részhalmazokat A korábbiak alapján az üres halmaz részhalmaza A-nak A Az egyelem részhalmazok: At, Po, Ar Kételem részhalmazok: At ; Po, At ; Ar, Po ; Ar Háromelem részhalmazból csak egy van, az A halmaz Így az A halmaz összes részhalmazának a száma:

6 I HALMAZOK 3 PÉLDA Legyen B a négy testô r! Határozzuk meg a B halmaz öszszes részhalmazát! Keressünk kapcsolatot egy halmaz elemszáma és részhalmazainak a száma között! A B halmaz: B AthosAt ; PorthosPo ; AramisAr ; D'Artagnan D Az nyilvánvaló, hogy A B, ezért a korábbiak alapján A öszszes részhalmaza részhalmaza B-nek is Ez eddig 8 részhalmaz, melyeket az elz feladatban már felsoroltunk Vegyük észre, hogy ezek és csak ezek a részhalmazok nem tartalmazzák D-t! Most határozzuk meg azon részhalmazokat, amelyeknek eleme D! Kövessük az elz feladatbeli logikát! Egyelem halmaz: D Kételem halmaz: D; At, D; Po, D; Ar, amelyeket megkaphatunk az elz feladatbeli egyelem részhalmazokból, ha mindegyiket kételemvé egészítjük ki D hozzávételével Háromelem halmazok: At; Po; D, At; Ar; D, Ar; Po; D, amelyeket az elzhöz hasonló módon kapunk a példabeli kételem részhalmazokból Négyelem halmaz: At; Po; Ar; D, amelyet az A halmazból kapunk D hozzávételével Ez újabb 8 részhalmaz, tehát a B halmaznak összesen 88 16részhalmaza van B azon részhalmazai, melyek nem tartalmazzák D-t At D ÉRDEKESSÉG A három testőr című regény Alexandre Dumas ( ) francia író romantikus kalandregénye, amely a XVII század elején, XIII Lajos uralkodása idején játszódik A három testőr: Athos, Porthos és Aramis, akikhez negyedikként csatlakozik D Artagnan A későbbiekben őt is testőrré avatják B azon részhalmazai, melyek tartalmazzák D-t D; At Po Ar D; Po D; Ar At; Po At; Ar D; At; Po D; At; Ar Ar; Po At; Po; Ar D; Ar; Po D; At; Po; Ar Feladatok Legyen K = a negyvenötnél kisebb, húsznál nagyobb egész számok, L10x y x y1 és y1,, 3! Adjuk meg a két halmaz elemeit! Ábrázoljuk a két halmazt Venn-diagramon! Milyen kapcsolat van a két halmaz között? Az alábbi halmazok között vannak olyanok, amelyek közül az egyik részhalmaza a másiknak Írjuk fel ezeket a kapcsolatokat! a) A páros számok, B 1 pozitív többszörösei, C 0 ; b) T trapézok, D deltoidok, R rombuszok ; c) T trapézok, P paralelogrammák, Q téglalapok, N négyzetek ; d) C növények országa i, M zárvatermk törzse i, N= magyar nszirom, L nsziromfélék családja i Legyen H egyjegy û pozitív páratlan számok! Hány olyan részhalmaza van, amelynek a 3 és az 5 közül legalább az egyik eleme? Legyen A 5k k 8 és k! Fogalmazzuk meg szavakkal az A halmaz megadási utasítását! Adjuk meg az A halmaz három-, illetve kételem részhalmazait! Az alábbi intervallumok között találunk-e olyat, amely valamelyik másik itt szerepl intervallumnak a részhalmaza? Ha igen, írjuk fel azokat részhalmaz jelöléssel! a) 1; 3; b) 1; 4; c) 06, ; 3, ; d) ; 3; e) 0; 008 JÁRJ UTÁNA! Hol találkozhatunk a mindennapokban leggyakrabban magyar nőszirommal? Két halmaz elemszámának különbsége 4 Adjuk meg a részhalmazaik számának arányát! Vegyük észre, hogy a 8 is, és a 16 is ketthatvány: 8 3 és 16 4 Láttuk, hogy egy háromelem halmaznak 3, egy négyelem halmaznak 4 darab részhalmaza van Így arra gondolhatunk, hogy egy n elem halmaz részhalmazainak a száma n Tehát az új elem hozzávételével megkétszerezdött a részhalmazok száma A kétszerezdés ténye független attól, hogy hány elem halmazhoz vettük hozzá az új elemet Felhasználva ezt a tényt és azt, hogy az üres halmaznak egy részhalmaza van önmaga, be lehet bizonyítani az alábbi állítást TÉTEL: Az n elem halmaz részhalmazainak a száma n, ahol n Melyik nagyobb? Egy öt elem halmaz három elem vagy kételem részhalmazainak száma Melyik nagyobb? Egy hatelem halmaz két elem vagy három elem részhalmazainak száma ÉLETRAJZI MOMENTUMOK Georg Cantor ( ) Német matematikus, a halmazelmélet megteremtésével a matematika egyik igen termékeny ágát nyitotta meg

7 IV GEOMETRIA 4 A HÁROMSZÖGBE ÍRHATÓ KÖR Az Altrinomi vándorcirkusz járja az országot, minden héten más településen vernek sátrat Mivel a geometriához nem értenek, segítsünk nekik a sátor középpontját megkeresni! Természetesen egy konvex szög két szárától egyenl távolságra lév pontok halmaza a szögtartományban a szögfelez félegyenes Azt már tudjuk, hogy azok a pontok, amelyek két oldalegyenestl vannak egyenl távolságra, a két oldalegyenes által bezárt szög szögfelezjén helyezkednek el Így az O pontnak rajta kell lennie az szög szögfelezjén f is, és a szög szögfelezjén f is A két szögfelez metszi egymást, csak ez a pont lehet az O s ez valóban jó is, hiszen az O pont egyenl távol van a b és a c oldalegyenestl, valamint a c és az a oldalegyenestl, vagyis a háromszög mindhárom oldalegyenesétl A gondolatmenetbl az is kiderül, hogy az O ponton kívül nincs más pont, amely mindhárom oldalegyenestl egyenl távolságra lenne A cirkuszi sátor alapjának középpontját tehát úgy határozhatjuk meg a háromszög alakú telken, hogy megkeressük a háromszög valamelyik két szöge szögfelezjének a metszéspontját Milyen szöget zár be egymással két metsz egyenes két szögfelez egyenese? A probléma a következ: a sátor méreteit bizonyos keretek között tudják változtatni, de az alap minden esetben kör alakú A fellépésük helyszínén egy kicsi, háromszög alakú telek áll rendelkezésre, és úgy kell felállítaniuk a sátrat, hogy az mindhárom oldalon a telek széléig érjen! ajzoljunk, majd fogalmazzuk meg a problémát matematikai nyelven! Adott egy háromszög (ABC), és olyan kör középpontját keressük (O), amely a háromszög minden oldalát érinti Ha van ilyen kör, akkor a középpontja sugárnyi távolságra van a háromszög mindhárom oldalától, hiszen korábban megállapítottuk, hogy az érintési ponthoz tartozó sugár merleges az érintre lyan pontot keresünk tehát, amely egyenl távol van az ABC háromszög minden oldalától A halmazelméleti tanulmányaink során már láttuk, hogy két metsz egyenestl egyenl távolságra lév pontok halmaza a síkjukban a két egyenes által meghatározott szögek szögfelez egyenesei Itt is két állítást fogalmaztunk meg egyszerre: a) Ha egy pont rajta van a két egyenes által meghatározott szögek két szögfelezje közül valamelyiken, akkor a pont egyenl távolságra van a két metsz egyenestl b) Ha egy pont egyenl távolságra van két metsz egyenestl, akkor rajta van a két egyenes által meghatározott szögek valamelyik szögfelezjén (Hasonló megállapítást kerülgettünk a 40 leckében, amikor a garázsbejáró ívét próbáltuk elkészíteni) Az ábrán is szépen látszik, de néhány további rajzzal megersíthetjük a sejtésünket, hogy a két szögfelez egyenes merleges egymásra Valóban, hiszen az egyenesek által bezárt szomszédos szögek egyenesszögre egészítik ki egymást, vagyis 180, így a szögek felének összege: 90, ami éppen a szögfelezk hajlásszöge A bevezet példában találtunk egy olyan kört, amely érinti egy háromszög oldalait DEFINÍCIÓ: Az olyan kört, amely érinti a háromszög mindhárom oldalát, a háromszög beírt körének (vagy a háromszögbe írható körnek) nevezünk Foglalkoztunk még a háromszög bels szögeinek szögfelezjével is, ezeket röviden a háromszög szögfelezinek is mondjuk Vegyük észre, hogy mivel az O pont egyenl távol van az a és a b oldaltól is, ezért rajta van a C csúcsból induló szögfelezn ( )-n is! f Az eddigiek alapján kimondhatjuk a következ tételt: TÉTEL: A háromszög szögfelezi egy pontban metszik egymást, ez a pont a háromszög beírt körének középpontja Az elz példában leírtakból az is kiderül, hogy minden háromszögnek pontosan egy beírt köre van

8 IV GEOMETRIA Feladatok 43 A PITAGORASZ-TÉTEL I 1 3 Szerkesszük meg az ABC háromszög AB oldalának azt a pontját, amelyik a másik két oldalegyenestl egyenl távolságra van! Szerkesszük meg egy háromszög beírt körét! Szerkesszünk olyan félkört, amely érinti egy háromszög két oldalát, átmérje pedig a háromszög harmadik oldalára illeszkedik! Számítsuk ki, milyen hosszúak az átfogói az ábrán látható derékszögű háromszögeknek? Hány olyan kör van a síkon, amelyik egyszerre érint két párhuzamos egyenest és egy azokat metsz harmadik egyenest? Válaszunkat indokoljuk! Hány olyan kör van a síkban, amelyik egyszerre érint három, egymást három különböz pontban metsz egyenest? A válaszunkat indokoljuk! Szerkesszük meg az ABC háromszög körülírt körének azokat a pontjait, amelyek egyenl távolságra vannak az AB és a BC oldal egyenesétl! Szerkesszük meg a körülírt kör azon pontjait is, amelyek egyenl távolságra vannak az A és a C ponttól! Mit igyelhetünk meg? A Hegeds család a költözés után virágoskertet tervez Ehhez egy paralelogramma alakú földterület áll rendelkezésükre, amelynek az átlója mentén egy kis átkelutat meg akarnak hagyni Az átkel két oldalán pedig egy-egy kör alakú ágyást szeretnének, melyekbe árvácskát fognak ültetni Segítsünk nekik megtervezni az árvácskák helyét! (A lehet legnagyobb ágyást képzelték el, amely az egyes részekben elfér) Mutassuk meg, hogy egy paralelogramma szögfelezi vagy egy pontban metszik egymást, vagy metszéspontjaik téglalapot határoznak meg! Egy háromszög egyik szöge 38-os Mekkora szöget zárnak be egymással a másik két csúcsra illeszked bels szögfelez egyenesek? Egy háromszög két szögének nagysága: 74 és 4 Mekkora szöget zárnak be egymással a háromszög szögfelezi? Egy háromszög szögeit jelölje, és! Mekkora szöget zárnak be egymással a háromszög szögfelezi? A korábbi tanulmányainkból már ismert Pitagorasz-tételt alkalmazhatjuk mindkét esetben Jelöljük a befogókat a-val és b-vel, a keresett átfogót pedig c-vel! Ekkor a tétel szerint tudjuk, hogy a b c Ebbe az összefüggésbe helyettesítsük be az adatokat! 8 15 c 64 5 c 89 c Két olyan számot is találnánk, amelynek 89 a négyzete: a 17-et és a 17-et De mivel a c hoszszúságot jelöl, így csak a pozitív szám jöhet szóba: c 17 Tehát az a) kérdésre a válasz: a derékszög háromszög átfogója 17 cm hosszú Ugyanezt kell végigcsinálnunk a b) kérdésnél is, csak itt végül nem kapunk egész számot 10 6 c c 136 c 136 c A négyzetgyök segítségével könnyen tudjuk jelölni ilyenkor is a keresett számot Közelít értékét pedig számológéppel vagy függvénytáblázat segítségével meghatározhatjuk c , 66 Válasz a b) kérdésre: az átfogó hossza 136, vagyis kb 11,66 cm A következ példát egy kb 4000 évvel ezeltti babiloni agyagtáblán találták Egy gerenda 0;30 hosszú Felül 0;6-tal lecsúszott Lentrl mennyivel távolodott el? A szöveg igen szkszavú (bár még így is némiképpen ki van egészítve ahhoz képest, ami az agyagtáblán fönnmaradt) Ma valahogy így fogalmaznánk meg ugyanezt a feladatot: Egy 30 egység hosszú gerenda fels széle 6 egységnyit csúszott le a fal mellett Milyen messzire csúszott el így a gerenda alja a faltól?

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam Készült az EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet alapján. Érvényesség kezdete: 2013.09.01. Utoljára indítható:.. Dunaújváros,

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve! (9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről

Részletesebben

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes

Részletesebben

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9.Ny osztály Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Algebra és számelmélet Alapműveletek az egész és törtszámok körében Műveleti sorrend,

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve Matematika Készítette: a gimnázium reál szakmai munkaközössége 2015. Tartalom Emelt szintű matematika képzés... 3 Matematika alapóraszámú képzés... 47 Matematika

Részletesebben

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja

Részletesebben

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás 12. évfolyam Osztályozó vizsga 2013. augusztus Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás Ismerje a számsorozat

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára Feladatok MATEMATIKÁBÓL a. évfolyam számára I.. Egy 35 fős osztályból mindenki részvett valamelyik iskolai kiránduláson. 5-en Debrecenbe utaztak, 8-an pedig Pécsre. Hányan utaztak mindkét városba?. Állapítsa

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra) MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,

Részletesebben

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február Helyi tanterv Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február 1 A TANTERV SZERKEZETE Bevezető Célok és feladatok Fejlesztési célok és kompetenciák Helyes

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

Tanmenetjavaslat 5. osztály

Tanmenetjavaslat 5. osztály Tanmenetjavaslat 5. osztály 1. A természetes számok A tanmenetjavaslatokban dőlt betűvel szedtük a tananyag legjellemzőbb részét (amelyet a naplóba írunk). Kisebb betűvel jelezzük a folyamatos ismétléssel

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK

MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Matematika 8. PROGRAM. általános iskola 8. osztály nyolcosztályos gimnázium 4. osztály hatosztályos gimnázium 2. osztály. Átdolgozott kiadás

Matematika 8. PROGRAM. általános iskola 8. osztály nyolcosztályos gimnázium 4. osztály hatosztályos gimnázium 2. osztály. Átdolgozott kiadás Dr. Czeglédy István fôiskolai tanár Dr. Czeglédy Istvánné vezetôtanár Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens Novák Lászlóné tanár Dr. Sümegi Lászlóné szaktanácsadó Zankó Istvánné tanár Matematika 8. PROGRAM

Részletesebben

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0

Részletesebben

Egyetemi matematika az iskolában

Egyetemi matematika az iskolában Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont. Helyi tanterv. Matematika. készült. a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2.

Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont. Helyi tanterv. Matematika. készült. a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2. 1 Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont Helyi tanterv Matematika készült a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2. alapján 9-12. évfolyam 2 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

MATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények

MATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények MATEMATIKA 9 10. évfolyam 1066 MATEMATIKA 9 10. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata, hogy megalapozza a tanulók korszerű, alkalmazásra képes matematikai műveltségét,

Részletesebben

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az

Részletesebben

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam BEVEZETŐ Ez a helyi tanterv a kerettanterv Emelet matematika A változata alapján készült. Az emelt oktatás során olyan tanulóknak kívánunk magasabb szintű ismerteket nyújtani, akik matematikából átlag

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

Nemzeti alaptanterv 2012 MATEMATIKA

Nemzeti alaptanterv 2012 MATEMATIKA ALAPELVEK, CÉLOK Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a 4 egyjegyű pozitív osztóinak halmazát! A keresett halmaz: {1 4 6 8}. ) Hányszorosára nő egy cm sugarú kör területe, ha a sugarát háromszorosára

Részletesebben

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

MATEMATIKA. Tildy Zoltán Általános Iskola és Alapfokú Művészeti Iskola Helyi tanterv 1-4. évfolyam 2013.

MATEMATIKA. Tildy Zoltán Általános Iskola és Alapfokú Művészeti Iskola Helyi tanterv 1-4. évfolyam 2013. MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről, és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

HELYI TANTERV MATEMATIKA GIMNÁZIUMI OSZTÁLYOK

HELYI TANTERV MATEMATIKA GIMNÁZIUMI OSZTÁLYOK HELYI TANTERV MATEMATIKA GIMNÁZIUMI OSZTÁLYOK 1 MATEMATIKA (4+4+4+4) Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT ) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

5. évfolyam. Gondolkodási módszerek. Számelmélet, algebra 65. Függvények, analízis 12. Geometria 47. Statisztika, valószínűség 5

5. évfolyam. Gondolkodási módszerek. Számelmélet, algebra 65. Függvények, analízis 12. Geometria 47. Statisztika, valószínűség 5 MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet 2.2.03. Matematika az általános iskolák 5 8.

EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet 2.2.03. Matematika az általános iskolák 5 8. EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet 2.2.03 Matematika az általános iskolák 5 8. évfolyama számára Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

HELYI TANTERV MATEMATIKA (emelt szintű csoportoknak) Alapelvek, célok

HELYI TANTERV MATEMATIKA (emelt szintű csoportoknak) Alapelvek, célok HELYI TANTERV MATEMATIKA (emelt szintű csoportoknak) Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

Matematika. Padányi Katolikus Gyakorlóiskola 1

Matematika. Padányi Katolikus Gyakorlóiskola 1 Matematika Alapelvek, célok: Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.

Részletesebben

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra A Kiadó javaslata alapján összeállította: Látta:...... Harmath Lajos munkaközösség vezető tanár Jóváhagyta:... igazgató

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM

MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM SZERZŐK: Veppert Károlyné, Ádám Imréné, Heibl Sándorné, Rimainé Sz. Julianna, Kelemen Ildikó, Antalfiné Kutyifa Zsuzsanna, Grószné Havasi Rózsa 1 1-2. ÉVFOLYAM Gondolkodási, megismerési

Részletesebben

értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. Ezért a tanulóknak rendelkezniük kell azzal a képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják

értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. Ezért a tanulóknak rendelkezniük kell azzal a képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják Helyi tanterv matematika általános iskola 5-8. évf. MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,

Részletesebben

Matematika helyi tanterv,5 8. évfolyam

Matematika helyi tanterv,5 8. évfolyam Matematika helyi tanterv - bevezetés Matematika helyi tanterv,5 8. évfolyam A kerettanterv B változatának évfolyamonkénti bontása Bevezető Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Lineáris Algebra GEMAN 203-B A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

különösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése.

különösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése. MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről, és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják matematikai tudásukat, és felismerjék, hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos

képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják matematikai tudásukat, és felismerjék, hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Írta: LEITOLD ADRIEN LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Egyetemi tananyag COPYRIGHT: Dr. Leitold Adrien Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Matematika Tanszék LEKTORÁLTA: Dr. Buzáné

Részletesebben

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot 1991. évi verseny, 1. nap 1. Bizonyítsd be, hogy 1 101 + 1 102 + 1 103 +... + 1 200 < 1 2. 2. Egy bálon 42-en vettek részt. Az első lány elmondta, hogy 7 fiúval táncolt, a második lány 8-cal, a harmadik

Részletesebben

Matematika helyi tanterv 5 8. évfolyam számára Alapelvek, célok

Matematika helyi tanterv 5 8. évfolyam számára Alapelvek, célok Matematika helyi tanterv 5 8. évfolyam számára Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

Matematika. 5-8. évfolyam. tantárgy 2013.

Matematika. 5-8. évfolyam. tantárgy 2013. Matematika tantárgy 5-8. évfolyam 2013. Matematika az általános iskolák 5 8. évfolyama számára Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről

Részletesebben

különösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése.

különösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése. MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Matematika. 1-4. évfolyam. tantárgy 2013.

Matematika. 1-4. évfolyam. tantárgy 2013. Matematika tantárgy 1-4. évfolyam 2013. Célok és feladatok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről, és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási,

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 2016 Fazekas, Berzsenyi Budapest Berzsenyi Dániel Gimnázium Fazekas Mihály Gimnázium Budapest 2. javított kiadás 2016. március 1115. Technikai el készítés, tördelés:

Részletesebben

Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel!

Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel! SZAKDOLGOZAT Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel! Simon Ju lia Matematika BSc., tana ri szakira ny Te mavezeto : Besenyei A da m adjunktus Alkalmazott Analı zis e s Sza mı ta smatematikai Tansze k Eo

Részletesebben

különösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése.

különösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése. MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson amatematikáról, mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Halmazok-előadás vázlat

Halmazok-előadás vázlat Halmazok-előadás vázlat Naiv halmazelmélet:. Mi a halmaz? Mit jelent, hogy valami eleme a halmaznak? Igaz-e, hogy a halmaz elemei valamilyen kapcsolatban állnak egymással? Jelölés: a A azt jelenti, hogy

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V. Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255 TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont. Helyi tanterv. Matematika. készült. a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1-4./1.2.3.

Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont. Helyi tanterv. Matematika. készült. a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1-4./1.2.3. 1 Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont Helyi tanterv Matematika készült a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1-4./1.2.3. alapján 1-4. évfolyam 2 MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja,

Részletesebben

EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1.2.3. Matematika az általános iskolák 1 4. évfolyama számára

EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1.2.3. Matematika az általános iskolák 1 4. évfolyama számára EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1.2.3 Matematika az általános iskolák 1 4. évfolyama számára Célok és feladatok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 2 GEM2 modul Metrikus feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi

Részletesebben

Gyarmati Dezső Sport Általános Iskola MATEMATIKA HELYI TANTERV 1-4. OSZTÁLY

Gyarmati Dezső Sport Általános Iskola MATEMATIKA HELYI TANTERV 1-4. OSZTÁLY Gyarmati Dezső Sport Általános Iskola MATEMATIKA HELYI TANTERV 1-4. OSZTÁLY KÉSZÍTETTE: Bartháné Jáger Ottília, Holndonnerné Zátonyi Katalin, Krivánné Czirba Zsuzsanna, Migléczi Lászlóné MISKOLC 2015 Összesített

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben