Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert"

Átírás

1 Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007

2 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris transzformációk 5 6. Sajátérték, sajátvektor 8 7. Szimmetrikus mátrixok 4 8. Komplex számok 6 i

3 Előszó A lineáris algebra a kalkulus (differenciál- és integrálszámítás) mellett a matematikai alapképzés másik fontos eleme. Elengedhetetlen a lineáris programozás, rendszeranalízis, statisztika, numerikus módszerek, kombinatorika, matematikai fizika megértéséhez, hogy csak az alkalmazásokat tekintsük. Leegyszerűsítve a lineáris algebra = mátrixelmélet + lineáris egyenletrendszerek elmélete. Mint látni fogjuk, minden mátrixnak megfelel egy lineáris transzformáció és viszont. Így a lineáris transzformációk elméleteként is felfoghatjuk. A lineáris algebra legfontosabb objektuma a mátrix, ami nem más, mint egy téglalap alakú táblázat, aminek m sora és n oszlopa van. A táblázat elemeit a ij -vel jelöljük ez az i-edik sor j-edik eleme. a a... a n a a... a n A =.. = (a ij) = (a ij ) nn a n a n... a nn a standard jelölés. Esetünkben az a ij -k mindig valós számok (a ij R). A komplex eset (a ij C) nem különbözik lényegesen ettől. Általában azonban az a ij -k bármik lehetnek. Legfontosabb speciális esetek: négyzetes mátrix (m = n), oszlopmátrix, más néven oszlopvektor (n = ). ii

4 . fejezet Determináns Csak négyzetes mátrixnak van determinánsa, így feltesszük, hogy n = m. Két definíciót adunk, az első induktív, a második geometriai.. definíció. (i) n =, A = (a ). Ebben a triviális esetben (a jel pusztán jelölést jelent). det(a) A = a (ii) n = esetén az ( ) a a A = a a mátrix determinánsa: det(a) A = a a a a a a a a. (iii) n = 3 esetén az a a a 3 A = a a a 3 a 3 a 3 a 33 mátrix determinánsa: a det(a) A =a a 3 a 3 a 33 a a a 3 a 3 a 33 +a 3 a a a a a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33. Ez az első sor szerinti kifejtés, de bármely sor vagy oszlop szerint kifejthető. Tudni kell az a ij -hez tartozó aldetermináns fogalmát és a sakktábla szabályt (a -hez + jelet rendelünk és folytatjuk a sakktábla szerint az előjelet).

5 . FEJEZET. DETERMINÁNS (iv) n = 4 esetén valamelyik sor vagy oszlop szerint kifejtjük, a 3 3-as determinánst pedig már ismerjük. Tovább haladva tetszőleges n-re meghatározhatjuk deta-t.. definíció. A determináns egy sorát (vagy oszlopát) azonosíthatjuk egy (ndimenziós) vektorral (például az első sorral (a,...,a n ) vektort, melynek a i az i-edik koordinátája). Az n db sornak megfelelő n db vektor által kifeszített n-dimenziós paralellepipedon előjeles térfogata az A mátrix determinánsa.

6 . FEJEZET. DETERMINÁNS 3 Példák: n=, A=(a ), deta=a 0 a a (0,a ) szakasz előjeles hossza, n =, a két vektor (a,a ), (a,a ) (a,a ) a paralelogramma előjeles területe (a,a ) Megjegyzés : a determináns mindig egy szám (esetünkben valós): egy mátrixnak feleltet meg egy számot. Íly módon a determináns egy függvény a mátrixok halmazán. A determináns tulajdonságai (i) Ha a mátrix egy sora tiszta 0, akkor 0 a determinánsa (ha az oszlopa, akkor is). (ii) A determináns k-val szorzódik, ha egy sorát (oszlopát) k-val szorozzuk. Ezek következnek az. definícióból. (iii) Ha felcserélünk két sort (oszlopot), akkor a determináns előjelet vált. (iv) Ha a mátrix egy sora (oszlopa) egy másik sor (oszlop) valahányszorosa, akkor a determináns 0. Ezek következnek a. definícióból. Mellesleg (iii) következménye (iv) (miért?). A következő tulajdonság az egyik legfontosabb, leggyakrabban használt, ezt be is bizonyítjuk: (v) a determináns nem változik, ha egyik sorához (oszlopához) hozzáadjuk egy másik sor (oszlop) valahányszorosát. Először megmutatjuk, hogy ha két mátrix csak egy sorában (oszlopában) különbözik, akkor összegük determinánsa egyenlő a determinánsok

7 . FEJEZET. DETERMINÁNS 4 összegével: különbözzön az utolsó oszlop. Azt kell belátni, hogy: a... a,n a n +b n a... a,n a n a... a,n b n. =. +. a n... a n,n a nn +b nn a n... a n,n a nn a n... a n,n b nn Ha a baloldali determinánst kifejtjük az utolsó oszlop szerint, az állítás nyilvánvalóvá válik. Folytatva a bizonyítást, adjuk hozzá például az utolsó oszlophoz az első oszlop k-szorosát: a... a,n a n +k a a... a,n a n. =. + a n... a n,n a nn +k a n a n... a n,n a nn a... a,n a a... a,n a n k. =. = deta. a n... a n,n a n a n... a n,n a nn Mivel a k-val szorzott determináns 0 (van két egyforma oszlopa). Ez utóbbi tulajdonság egyben módszert is ad a determináns kiszámítására (lásd később a Gauss eliminációt). Segítségével kinullázhatunk bizonyos elemeket és csökkenthetjük a kiszámolandó determináns rendjét. Például: 0 3 = = 5 7 = 5 4 = 9. Itt először az első sor --szeresét hozzáadtuk a második sorhoz, majd az első sor 3-szorosát a harmadikhoz és a kapott determinánst kifejtettük az első oszlopa szerint. Érdekes (v) geometriai következménye is (lásd a. definíciót): legyen a = (a,a ),b = (a,a ) két vektor a síkon. Nyújtsuk meg a-t k- szorosára: ka = (ka,ka ). Ekkor az a és b által kifeszített paralelogramma területe egyenlő az a és a ka +b vektorok által kifeszített paralelogramma területével (deta abszolút értékével).

8 . FEJEZET. DETERMINÁNS 5 ka ka+b a b (vi) Ha A = (a ij ), A = A T = (a ji ), akkor deta = deta. Bizonyítsuk be n =,,3 esetekben. (A az A transzponáltja.)

9 . fejezet Mátrixok A mátrixok egy fontos alkalmazási területe a lineáris egyenletrendszerek elmélete. Ez (is) motiválja a következő definíciókat. a a... a n b b... b n a a... a n A =.. = (a b b... b n ij), B =.. = (b ij). a n a n... a nn b n b n... b nn 3. definíció. Két mátrix egyenlő, ha megfelelő elemeik egyenlők: A = B a ij = b ij. 4. definíció. k A = (ka ij ): minden elemet megszorzunk k-val. 5. definíció. Két mátrix összege, különbsége: A±B = (a ij ±b ij ). 6. definíció. Két mátrix szorzata csak akkor értelmezhető, ha A oszlopainak száma megegyezik B sorainak számával, legyen ez n, ekkor: A B = (a i b j +a i b j + +a in b nj ). Ez nem más, mint A i-edik sorának és B j-edik oszlopának skaláris szorzata. 6

10 . FEJEZET. MÁTRIXOK 7 7. definíció.. Nulla mátrix: a ij = 0 minden i,j-re. Jelölés: O.. Egységmátrix (n = m): a ii =,a ij = 0, ha i j. Jelölés: E vagy I. Példák:. n = m = ( ) 3 +3 ( ) = ( ) ( ) 6 6 = 3 3 ( ) ( ) 3 ( ) = ( ( ) +3 ( ) ( ) ( )+3 + ( ) ( )+ ) = ( ) A = ( ),B = 3,A B = ( ( ) ) = ( 7 ) = B A = = 5 8. ( ) 4 ( ) 5 ( ) ( ) = 3 ( ) = ( ) ( 3) = = ( ) +3 +( 5) 3 0

11 . FEJEZET. MÁTRIXOK 8 7. a a a 3 x a x +a x +a 3 x 3 A = a a a 3,x = x : Ax = a x +a x +a 3 x 3. a 3 a 3 a 33 x 3 a 3 x +a 3 x +a 33 x 3 Ebből látható, hogy az a x +a x +a 3 x 3 = b a x +a x +a 3 x 3 = b a 3 x +a 3 x +a 33 x 3 = b 3 lineáris egyenletrendszer ugyanaz, mint az Ax = b egyenlet, ahol b = b = b. b 3 ( ) ( ) Legyen A= és B=. Számítsuk ki AB és BA mátrixokat: 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AB= =, BA= = Tehát AB BA, vagyis a mátrix szorzás nem kommutatív. A [A,B] AB BA mátrixot A és B kommutátorának nevezzük. Ha [A,B]=0, akkor az A,B mátrixok kommutálnak. 9. Hatványozás: A = A A, A 3 = A A stb. Például: (A+B) =(A+B)(A+B)=A +AB+BA+B A +AB+B! Az egyenlőség csak akkor áll, ha A,B kommutál. 0. Nullosztók lehetősége. Könnyű találni két olyan mátrixot (A,B), amelyek nem nullák, de szorzatuk az. Például: ( ) ( ) 0 0 A =,B = Ezeket nullosztóknak nevezik. (A valós számok körében nincsenek nullosztók: ha a 0,b 0, akkor ab 0. Ugyanez az előbbivel ekvivalens megfogalmazásban: ab = 0 (a = 0 vagy b = 0).)

12 3. fejezet Az inverz mátrix Láttuk, hogy a mátrixokat lehet összeadni, kivonni, szorozni, számmal szorozni hasonlóan a számokhoz. Bizonyos értelemben osztani is lehet mátrixszal: Az inverzzel szorozni, hasonlóan a számokhoz: -vel osztani ugyanaz, mint /-del (a inverzével, s (/) = ) szorozni. 8. definíció. Egy A mátrix inverze az az a -gyel jelölt mátrix, amelyre A A = A A = E = I. (Csak négyzetes mátrixokra értelmezett!) Itt csak az a célunk, hogy megadjunk egy algoritmust A kiszámítására. Feltesszük, hogy deta 0, azaz A nem szinguláris, más szóval reguláris. Jelöljük A ij -vel az A = (a ij ) mátrix a ij eleméhez tartozó, megfelelő előjeles (sakktábla szabály) aldeterminánsát. A ij -t úgy kapjuk meg, hogy A-ból kihúzzuk az i-edik sort és j-edik oszlopot, a maradék (n ) (n )-es mátrixnak vesszük a determinánsát és ellátjuk a megfelelő előjellel, amelyet a sakktábla szabály szerint kapunk (s -hez +, a többi ebből következik.) 9. definíció. Az ( ) A ij mátrix transzponáltja az A mátrix adjungált mátrixa és adj A-val jelölik. A következő példánál felhasználásra kerül az alábbi Tétel. Amennyiben A reguláris (deta 0), létezik inverze, és (deta) E = A adja. A = adj A deta avagy 9

13 3. FEJEZET. AZ INVERZ MÁTRIX 0 3 Legyen A = 3. Mivel egyenlő A? Először számoljuk ki A determinánsát: ) deta = 7, tehát van inverze a mátrixnak. Számoljuk ki az ( Aij mátrixot: Tehát így A = = 6, A = 3 4 =, A 3 = = 3, A = =, A = = 5, A 3 = 3 3 = 3, A 3 = = 5, A 3 = 3 = 4, A 33 = + 3 =. 6 3 adja = T 6 5 = 5 4, 3 3 A = adja 6 5 deta = Ellenőrizze, hogy A A = A A = E (vagy ami ugyanaz, (deta) E = = A adja). Ha ismerjük A -et, akkor az Ax = b egyenletrendszer (A (n n)-es mátrix, x ismeretlen és b ismert oszlopvektorok) egyértelműen megoldható: x = A b. Ez igaz bármely nagy rendszer esetén is. Ami a fő probléma, az éppen A kiszámítás nagy n esetén. Ezért van szükség más egyenletrendszer megoldási módokra is, amik kikerülik ezt a buktatót. Egy ilyet mutatunk be a következő fejezetben.

14 4. fejezet Lineáris egyenletrendszerek Egy lineáris egyenletrendszer általános alakja a következő: a x +a x +...+a n x n = b a x +a x +...+a n x n = b.. a k x +a k x +...+a kn x n = b n ( ) Ugyanez mátrix alakban: Ax = b, ahol a a... a n x b a a... a n A =..,x = x.,b = b., a k a k... a kn ahol x a keresendő ismeretlen, b ismert. Fontos kérdés, hogy mikor van a ( ) egyenletrendszernek megoldása. A pontos választ a Cronecker Capelli illetve a Fredholm féle tételek adják. Tipikusan három eset van:. n=k. A négyzetes mátrix, az ismeretlenek száma egyenlő az egyenletek számával. ez a legfontosabb eset. Láttuk, hogy ha deta 0 (vagyis létezik A ), akkor ( )-nak létezik egyértelműen meghatározott megoldása: x = A b.. n > k. Több az ismeretlen, mint az egyenlet. Ekkor a rendszernek általában több megoldása van (akár végtelen sok is). Példa : x n n =,k = : x +5x = 3 b k

15 4. FEJEZET. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK a ( ) rendszer. Ekkor x = 3 5x. x -t tetszőlegesen választhatom (legyen x = a), x = 3 5a, tehát ( ) 3 5a x = a a megoldás. Ha azonban megköveteljük, hogy a megoldás normája (az x vektor hossza) legyen, akkor helyre áll az unicitás (egyértelműség). x =(3 5a) +a = feltételből az eddig tetszőleges a-ra egyértelműen meghatározott értéket kapunk. 3. n<k. Több az egyenlet, mint az ismeretlen a feladat túlhatározott. Itt általában nincs megoldás. Példa : n =,k = : x = 5 3x = 6. Látható, hogy egyrészt x = 5, másrészt x =, tehát nincs megoldás. A továbbiakban ismertetünk egy módszert (Gauss Jordan módszer, avagy Gauss elimináció), amely valójában minden rendszerre alkalmazható. Segítségével eldönthető, hogy van-e egyértelmű megoldás, nincs megoldás, vagy több is van. Mi itt feltesszük, hogy n=k és deta 0, tehát van egyértelmű megoldás. Szintén feltesszük, hogy ha osztunk egy számmal, akkor ez nem nulla. Ha mégis nulla, akkor a módszer egyszerűen korrigálható. Tehát: tekintsük a rendszert. Szorozzuk meg az első egyenletet a /a -gyel és adjuk hozzá a másodikhoz. Ezután szorozzuk meg az első egyenletet a 3 /a -gyel és adjuk hozzá a harmadikhoz, és így tovább..., szorozzuk meg az első egyenletet a n /a - gyel és adjuk hozzá az n-edik egyenlethez. A kapott egyenletrendszerben x csak az első egyenletben maradt. Ezen új rendszerben vegyük a második egyenletet: x együtthatójából kiindulva a megfelelő számmal megszorozzuk ezt a sort úgy, hogy ha hozzáadjuk a harmadik sorhoz, akkor abból eltűnik x. És így tovább, az n-edik sorig. Így x és x csak az első és második egyenletekben marad. A fenti kiküszöbölést addig folytatjuk, amíg az utolsó sorhoz nem érünk, ami a nmx n =b n alakú lesz. Ebből x n meghatározható (x n = = b n/a nm). Ennek ismeretében az n -edik egyenletből (, ami csak x n -et és x n -et tartalmazza) meghatározzuk x n -et. Így haladunk felfelé egészen az első sorig, melyből végül meghatározzuk x -et. Elég világos, hogy a fenti módszer ekvivalens az úgynevezett kibővített mátrixon történő manipulálással. Ez látszik az alábbi példából is:

16 4. FEJEZET. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 3 n = k = 4. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert! x + x x 3 + x 4 = 8 x + x x 3 x 4 = 3 x +x +x 3 x 4 = 0 x x x 3 +3x 4 = x A =,x = x.,b = 3 K = x n Az A együtthatómátrix mellé leírjuk b-t, ez lesz a kibővített mátrix(k): A Gauss módszer szerint a főátló alatti elemeket ki kell nullázni és az első oszloppal kell kezdeni. Bármely sor valahányszorosa hozzáadható bármely másik sorhoz (oszlopokról szó sem lehet, ne feledjük, hogy egyenletekről beszélünk!), a sorok oszthatók bármely nem nulla számmal, stb. Először hozzáadjuk az első sor (-)-szeresét a második sorhoz, majd a (-)-szeresét a harmadikhoz és a negyedikhez: 8 K = K Most a második sor segítségével kinullázzuk a második oszlop két elemét: a második sort hozzáadjuk a harmadikhoz, a második (-)-szeresét a negyedikhez:

17 4. FEJEZET. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK K = K = K Végül megszoroztuk K mátrix harmadik sorát /3-dal és hozzáadtuk a negyedikhez. (Eloszthattuk volna 3-mal a harmadik sort, -vel a negyediket, stb.) K 3 utolsó sora azt jelenti, hogy 4x 4 =6, tehát x 4 =4. A harmadik sor: 3x 3 6x 4 =, tehát x 3 =. A második sor: x +x 3 3x 4 = 3, tehát x =. Végül az első sor: x +x x 3 +x 4 = 8, tehát x = 3. Visszaemlékezve a determináns tulajdonságaira észrevehető, hogy mi a kibővített mátrixon, ezen belül az A együtthatómátrixon olyan operációkat hajtottunk végre, melyek nem változtatják meg a determináns értékét(, ha egyszerűsítettük volna valamelyik sort az elimináció során, ez már nem igaz!!!), így deta = detk 3 = ( ) 3 4 =. A Gauss módszer tehát alkalmas a determináns kiszámítására is. Térjünk vissza a ( ) általános egyenletrendszerhez: Ax = b. 0. definíció. Tekintsük az A mátrix összes lehetséges módon kiválasztható négyzetes részmátrixát, akár A-t magát is. Kiválasztjuk a legnagyobbat, amelynek nem nulla a determinánsa. Ennek mérete (r) az A mátrix rangja: rang A := r. Jelöljük B-vel az A mátrix kibővített mátrixát. Tétel (Kronecker Capelli).. Ha rang B > rang A, akkor a ( ) rendszernek nincs megoldása,. Ha rang B = rang A, akkor a ( ) rendszernek van megoldása. Egy Fredholm-típusú tétel: Tétel. A ( ) rendszernek akkor és csak akkor van megoldása, ha b merőleges z-re ((b,z)=0 skaláris szorzat), ahol z a homogén A z = 0 egyenletrendszer (bármely) megoldása (A A transzponáltja). Maga a megoldás x = x 0 +u alakú, ahol x 0 a ( ) rendszer egy partikuláris megoldása, u pedig az Au = 0 homogén rendszeré.

18 5. fejezet Lineáris transzformációk A transzformáció egy megfeleltetés (függvény, operátor, stb.) két halmaz között: Ax = y, x U,y V, x-input, y-output. Gyakran a halmazok lineáris vektorterek, melyek rendelkeznek bázissal. Itt mi a síkot (R ), kétdimenziós euklideszi tér a standard e = (,0),e = = (0,) bázissal, x = (x,x ) vesszük illusztrációként ugyanis itt lehet látni a legfontosabb transzformációkat.. definíció. A lineáris, ha. A(λx) = λax,. A(x+y) = Ax+Ay, ahol λ egy számtest eleme (esetünkben valós, esetleg komplex). Világos, hogy a sík esetében minden lineáris transzformáció a következő alakú Ax = y: a x +a x = y a x +a x = y tehát minden lineáris transzformációnak egyértelműen megfelel egy A mátrix: ( ) a a A =. a a Ha A mátrix, akkor tulajdonságaiból következik, hogy A(λx) = λax és A(x+y) = Ax+Ay, vagyis A lineáris transzformációként fogható fel. Azaz: lineáris transzformációk elmélete = mátrixelmélet. 5

19 5. FEJEZET. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 6 Fontos megjegyzés : Az eltolás (shift) Ax =x+x 0 NEM lineáris transzformáció: Ay = y+x 0,A(x+y) = x+y+x 0 x+y+x 0, ha x 0 0. A lineáris + shift transzformációt affinnak is nevezik. Például a számítógépes grafika a háromdimenziós tér (R 3 ) affin transzformációival dolgozik, melyek adekvát elmélete a projektív geometria. Lássunk négy alaptranszformációt:. példa. (nyújtás illetve zsugorítás). Ax = y,y = k x, y = k x, tehát } ( ) k x +0 x = y k 0 A = a megfelelő mátrix. 0 x + k x = y 0 k. példa. (tükrözés, itt az x-tengelyre). } x + 0 x = y A = 0 x +( ) x = y ( ) 0 0 a megfelelő mátrix. 3. példa. (α szöggel való elforgatás). Világos, hogy Tehát y = r(cos(α+β)) = r(cos α cos β sin α sin β) = cosαx sin α x y = r(sin(α+β)) = r(cos α sin β +cos β sin α) = sin α x +cos α x ( ) cos α sin α A = sin α cos α a forgató mátrix. Például α = 90 esetén A = átvisz pozitív forgatással a rá merőlegesbe. 4. példa. (projekció az y = x egyenesre). x + x = y x + x = y A = ( ) 0 0 ( ) minden vektort Tetszőleges halmazokat transzformálhatunk segítségükkel: ebben minden pont képét kell megkeresni, gyakorlatban elég a jellemző pontokét.. feladat. Az S négyzet csúcspontja (,), (3,), (3,), (,). Mibe viszi át S-t az a ( lineáris ) transzformáció (S = AS =?), amelynek mátrix reprezentációja A =? 0

20 5. FEJEZET. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 7 Transzformációk szorzata: x A y B z : y = Ax, z = By, tehát z = BAx megfelel a mátrixok szorzatának. Egy determinánsra vonatkozó Tétel. det(ab) = deta detb. ( ) a a Bizonyítás. dinemziós esetben: A =, B = a a ( b b b b det(ab) = a b +a b a b +a b a b +a b a b +a b = a b a b +a b a b + +a b a b +a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b = b b (a a a a ) b b (a a a a ) = ). = deta detb. Tétel. Legyen S egy halmaz, területe T. S = AS, S T = deta T. területe T. Ekkor. feladat. Mibe viszi át az előző feladat lineáris transzformációja az egység sugarú kört? Mekkora a kapott halmaz (ellipszis) területe?

21 6. fejezet Sajátérték, sajátvektor A lineáris transzformáció: A : U V, U,V vektorterek. Legyen λ egy szám (valós vagy komplex) és legyen x U, x 0. Ha Ax = λx, vagy E egységmátrixszal, ami ugyanaz a sajátérték probléma egyenlete: (A λe)x = 0, (S.P.) akkor λ-t sajátértéknek (karakterisztikus értéknek), x-et a λ-hoz tartozó sajátvektornak (karakterisztikus vektornak) hívják. 5. példa. A = E : Ex = x, tehát λ= és minden x 0 sajátvektor. ( ) ( ) k 0 k λ 0 6. példa. A = nyújtás. A λe =, tehát λ 0 k 0 k λ = = k, λ = k. A sajátvektor egyenlete λ = k esetén (lsd.: (S.P.)): ( ) ( ) ( ) 0 0 x 0 =, 0 k k x 0 vagyis (k k )x = 0, tehát vagy k = k, vagy x = 0. Ha k = k, akkor a sajátvektor (a,b) tetszőleges a,b-re. Ha x = 0, akkor a sajátvektor (a,0), ahol a tetszőleges. 7. példa. Projekció az x = x egyenesre: A = ( ( λ ) ( ) x λ = x ( 0 0 ). ). Az S.P. egyenlet: Ez egy hommogén egyenlet, melynek csak akkor van nemnulla megoldása, ha det(a λe) = 0 karakterisztikus egyenlet. (K.E.) 8

22 6. FEJEZET. SAJÁTÉRTÉK, SAJÁTVEKTOR 9 Esetünkben det( ) Ha λ = 0, akkor (S.P.) alapján ( ) ( ) x = = 0 = ( λ) 4 = ( λ)λ. Tehát λ = 0, λ =. x ( ) 0, 0 azaz x + x = 0 x + x = 0 x +x = 0. Legyen x =a R =R\{0}, akkor x = a, a sajátvektor v =( a,a)=a(,). Ha λ =, akkor akkor (S.P.) alapján ( ) ( ) ( ) x 0 =, 0 azaz x = x, tehát v = (a,a) = a(,),a R = R\{0}. 8. példa. 90 ( -kal való ) elforgatás. ( Előre tudható, ) hogy nincs valós sajátvektor 0 λ (miért?)., A λe =, a karakterisztikus egyenlet λ 0 λ + + = 0. Ebből λ = i,λ = i (i = ). 3. feladat. Mutassa meg, hoy a sajátvektorok v = (+i,),v = ( i,). 9. példa. Keresendők az A mátrix sajátértékei és sajátvektorai: A = Karakterisztikus egyenlet: 8 λ 9 9 det(a λe) = det 3 λ 3 = (λ )(λ+) = λ. λ =. A sajátvektorok (v = (x,x,x 3 )) egyenlete: x x = 0, 9 9 x 3 0 x

23 6. FEJEZET. SAJÁTÉRTÉK, SAJÁTVEKTOR 0 azaz x +3x +3x 3 = 0 x + + x 3 = 0 3x 3x 4x 3 = 0 Az első és a második egyenlet összege a harmadik ( )-szerese, tehát a harmadik egyenlet elhagyható: } x +3x +3x 3 = 0 x + + x 3 = 0 Két egyenlet, három ismeretlen, egyik ismeretlen szabadon választható: legyen x = a. Ekkor x 3 = a és x = 3 a. Tehát a sajátvektor v = a(,, ) (vagy b(3,, 3)). 3. λ = x x = 0, x 3 0 azaz x +x +x 3 =0. Egy egyenlet három ismeretlen, tehát kettő szabadon választható. Legyen x =a,x 3 =b, ekkor x = a b. A sajátvektor: v=( a b,a,b). Legyen a=0: v =b(,0,). Legyen b=0: v 3 =a(,,0). Látható, hogy v és v 3 lineárisan függetlenek (nem párhuzamosak).. tétel. deta = λ λ λ 3 λ n. Bizonyítás. Definíció szerint: det(a λe) = (λ λ)(λ λ) (λ n λ). Legyen (λ = 0.. tétel. TraceA a +a +...a nn = λ +λ + λ n. Bizonyítás. Következik a Vièta-tételből ( gyökök és együtthatók közti összefüggés). 4. feladat. Bizonyítsuk be a tételt n = esetén!. definíció. Spec A = {λ,λ,...,λ n }. (A spektruma a sajátértékek halmaza.) Legyen A T az A mátrix transzponáltja (korábban A -gal is jelöltük). 3. tétel. SpecA T = SpecA.

24 6. FEJEZET. SAJÁTÉRTÉK, SAJÁTVEKTOR Bizonyítás. det(a T λe)=det(a λe) T és tudjuk, hogy detb=detb T. 4. tétel (Cayley-Hamilton). Legyen det(a λe)=±λ n +a n λ n + +a λ+ +a 0. Ekkor ±A n +a n A n + +a A+a 0 E=0, vagyis minden mátrix gyöke a saját karakterisztikus egyenletének.. következmény. ±A n = a n A n a A a 0 E, vagyis egy mátrix bármely hatványa előállítható alacsonyabb hatványainak összegeként. Bizonyítás. Az általános eset belátása bonyolult. A triviális bizonyítás: legyen λ = A. Ekkor det(a λe) = det(a A) = det(n) = 0 nyilván hibás (miért?). 5. feladat. Mutassa meg a a 4. tételt n = esetén! ( ) 6. feladat. Legyen. Mutassa meg, hogy ha λ sajátértéke A-nak, akkor λ sajátértéke A -nek és sajátértéke λ A -nek. Megfogalmazunk (és példán is bizonyítunk) egy fontos tételt a hogyan lehet egyszerűbb alakra hozni egy mátrixot témakörből. Ne feledjük, hogy egy mátrixnak mindig megfelel egy lineáris transzformáció. 5. tétel. Tegyük fel, hogy A-nak (x n-es mátrix) van pontosan n lineárisan független sajátvektora: x,x,...,x n : x i =(x i,x i,...,x in ). A sajátvektort oszlopvektorként felfogva képezzük az un. sajátvektor mátrixot x x... x n x x... x n S =.. x n x n... x nn Legyen λ λ... 0 Λ = λ nn Mivel a vektorok függetlenek, dets 0, tehát létezik S inverzmátrix. Ekkor A = SΛS, vagyis Λ = S AS. Ez utóbbi formula az A mátrix diagonalizációját jelenti. Bizonyítás. λ λ... 0 AS = [x x n ] = [λx λx n ] = [x x n ].. = SΛ λ nn

25 6. FEJEZET. SAJÁTÉRTÉK, SAJÁTVEKTOR. következmény. A k = SΛ k S. Bizonyítás. Indukcióval nyilvánvaló. Például A = SΛS SΛS = SΛ S 3. definíció. Két mátrix A és B hasonló (A B), ha létezik egy invertálható mátrix P, hogy A = PBP. 6. tétel. Ha A B, akkor A B és deta = detb. Bizonyítás. Nyilvánvaló (miért?). Megemlítünk egy tételt (bizonyítása nem nehéz): 7. tétel. Ha A-nak van n különböző sajátértéke, akkor A diagonizálható. Jó lenne, ha a következő példát mindenki önállóan végigszámolná! 0. példa. Adjuk meg az A mátrix diagonális reprezentációját: Megjegyezzük, hogy a mátrix szimmetrikus: A = A T. Ki kell számolni a sajátértékeket, sajátvektorokat, felírni az S mátrixot, és kiszámolni S -et.. A karakterisztikus egyenlet: det(a λe) = (9 λ) [( λ)(9 λ) 9] 9(9 λ) = Ebből λ = 6, λ = 9, λ 3 = 5.. A λ = 6-hoz tartozó sajátvektor: x x = 0, x 3 0 azaz = (9 λ) [ λ λ+90 ] = 0. 3x 3x + = 0 x = x x 3 = a = x = x 3x +6x 3x 3 = 0 3x +3x 3 = 0 x = x 3 v = a(,,)

26 6. FEJEZET. SAJÁTÉRTÉK, SAJÁTVEKTOR 3 7. feladat. Mutassa meg, hogy a λ=9-hez tartozó sajátvektor: v =a(,0, ) és λ = 5-höz v 3 = a(,,). Tehát az S mátrix: 0 8. feladat. Mutassa meg, hogy adj S = és dets = feladat. Adja meg az ( ) mátrix diagonális reprezentációját.

27 7. fejezet Szimmetrikus mátrixok 4. definíció. A = (a ij ) szimmetrikus mátrix, ha a ij = a ji, vagyis A = A T. Ez az egyik legfontosabb mátrixosztály, gyakran előjön az alkalmazásokban. A fő kérdés itt a következő: mi a speciális a sajátértékekben és sajátvektorokban (Ax = λx), ha A szimmetrikus? Három alaptételt mondunk ki. 8. tétel. Legyen A szimmetrikus, valós mátrix. Akkor valamennyi sajátértéke valós. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy Ax = λx. Tudjuk, hogy (lsd.: a 90 -os elforgatást) λ lehet komplex is: λ=a+ib, a,b R. λ komplex konjugáltja: λ=a ib. Hasonlóan x koordinátái is lehetnek komplexek. Tudjuk, hogy egy szorzat konjugáltja egyenlő a konjugáltak szorzatával: λx = λx. Mivel A valós, Ax = = λx. Ez utóbbit x T A = x T λ alakba is írhatjuk. Szorozzuk meg skalárisan az első (Ax=λx) egyenletet x-tal, a másodikat x T A=x T λ x-szel: x T Ax=x T λx és x T Ax=x T λx, tehát λ(x T,x)=λ(x T,x), vagyis (λ λ)(x T,x)=(λ λ) x =0. Tehát λ = λ, vagyis λ valós. A sajátvektorok, mivel a valós (A λe)x = 0 egyenlet megoldásai, maguk is valósak. Fontos, hogy merőlegesek is egymásra: 9. tétel. Ha egy valós, szimmetrikus mátrix sajátvektorai különböző sajátértékekhez tartoznak, akkor merőlegesek (ortogonálisak) egymásra. Bizonyítás. Legyen Ax=λ x,ay=λ y és A=A T. Szorozzuk meg skalárisan az első egyenlet y-nal, a másodikat x-szel: (λ x) T y =(Ax) T y =x T A T y =x T Ay = = x T λ y, tehát x T y = 0. Ez pontosan azt jelenti, hogy x és y merőlegesek egymásra. 4

28 7. FEJEZET. SZIMMETRIKUS MÁTRIXOK 5 Megjegyzés. Ha A-nak van például két egyforma sajátértéke (lsd.:a 9. példát), akkor mindig van a sajátértékhez tartozó két független sajátvektor. A Gram Schmidt módszerrel egy ortogonális párost készítünk belőlük (, ha A nem szimmetrikus, akkor ez nem igaz!). Tehát minden szimmetrikus (valós) mátrixnak van n egymásra kölcsönösen merőleges sajátvektora. Képezzük az S mátrixot, melynek oszlopai az adott vektorok. Tudjuk: A = SΛS. Ebből A T = (S ) T ΛS T = A, tehát SΛS = (S ) T ΛS T. Ha S oszlopai merőlegesek egymásra, akkor SS T = E, így S T = S, amivel bebizonyítottuk a következőt: 0. tétel. Minden szimmetrikus, valós mátrix előállítható az A = QΛQ T = QΛQ alakban, ahol Λ = λ i δ ij és Q oszlopai ortonormális sajátvektorok. Megjegyzés δ ij =, ha i = j és δ ij = 0, ha i j (Kronecker szimbólum), ortonormális= ortogonális + egységnyi hosszú.. példa. Térjünk vissza az előző fejezet 0. példájához. Világos, hogy a sajátvektorok az S mátrix oszlopai merőlegesek egymásra, de hosszuk nem egységnyi. Normáljuk őket: Tehát w = v v = (,,) + + = ( 3, Q = 3, w = v ( (,0, ) = v + =,0, ) ; w 3 = v 3 v 3 = ( 6, 6,, Q T = ). 6 ) ; feladat. Mutassa meg, hogy QQ T = E (vagyis, hogy Q T = Q ).

29 8. fejezet Komplex számok Legyen x, y R. A z =x+iy alakú mennyiségeket komplex számoknak hívják, ahol i =, azaz i=. x a z komplex szám valós része, y pedig a képzetes (imaginárius) része. Könnyű belátni, hogy ha z = x +iy és z = x +iy komplex számok, akkor az összegük és különbségük, szorzatuk és hányadosuk is az. Például a szorzatra: w = z z = (x +iy )(x +iy ) = (x x y y )+i(y x +x y ). z = x iy a z komplex szám konjugáltja. (Valós szám komplex konjugáltja önmaga!). feladat. Mutassuk meg, hogy (z +z ) = z +z, (z z ) = z z, z /z = = z /z. Ebből következik, hogy ha egy komplex szám gyöke egy valós együtthatójú polinomnak, akkor z szintén gyök: a komplex gyökök párosan fordulnak elő a valós együtthatójú polinomoknál. Lásd a másodfokú polinom esetén a megoldóképletet. Geometriai reprezentáció: y z i O r ϕ x r= x +y = z a z vektor hossza ϕ = arctg y x x = r cosϕ y = r sin ϕ Trigonometrikus alak: z = r(cos ϕ+i sin ϕ), r > 0,ϕ R. Nehezebb értelmezni a komplex kitevőjű hatványt: a x+iy = a x a iy, tehát elegendő az a iy -t értelmezni, amihez elég e iy -t értelmezni. Úgy szeretnénk értelmezni a hatványozást, hogy a standard deriválási szabály igaz legyen: (e it ) = deit = ie it, itt t valós. Ha z(t) = e it, akkor dz = iz vagy dz = izdt. dt dt Tehát dz és z merőlegesek egymásra (Feladat: az i-vel való szorzás 90 -kal 6

30 8. FEJEZET. KOMPLEX SZÁMOK 7 való elforgatást jelent). Ha dt-vel növeljük t-t, a z vektor dϕ-vel elfordul. Mivel tg dϕ dϕ kis dϕ-re, dϕ dz = izdt =dt, tehát t ϕ. z(0)=e 0 = a z z vízszintes egységvektor. Ezért z=e iϕ egy olyan komplex szám, melyet az (,0) egységvektorból, annak ϕ szögű elforgatásával kapunk. Mivel e iϕ = z = x+iy az algebrai alakból, ezért: e iϕ = cos ϕ+i sinϕ Euler formulát kapjuk. A z =re iϕ alakot a z szám hatványkitevős, avagy exponenciális alakjának hívjuk. Megjegyzés. Legyen ϕ = π az Euler formulában: e iπ = cos π +isin π =, tehát e iπ +=0. Ez az egyenlőség tartalmazza a matematika öt legfontosabb számát: 0,, π, e, i.

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Lineáris Algebra GEMAN 203-B A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Szakdolgozat Készítette: Borostyán Dóra Matematika BSc matematikai elemző Témavezető:

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség 5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Mátrixaritmetika. Tartalom: Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám

Részletesebben

Lineáris algebra bevezető

Lineáris algebra bevezető Lineáris algebra bevezető 1 Egyismeretlenes egyenletek bemelegítés Az ilyen egyenletek rendezés után ax = b alakba írhatók Ha a 0, akkor a(z egyértelmű megoldás x = b/a Ha a = 0, akkor b 0 esetben nincs

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255 TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...

Részletesebben

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat Bemutatjuk a NAT 01 és a hozzá kapcsolódó új kerettantervek alapján készült MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat 9 10 1 MATEMATIKA A KÖTETEKBEN FELLELHETŐ DIDAKTIKAI ESZKÖZTÁR A SOROZAT KÖTETEI A KÖVETKEZŐ KERETTANTERVEK

Részletesebben

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes

Részletesebben

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert) GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok lásd EA-ban is; iskolából ismert I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet,

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék III 1. Aritmetika 1 1.1. Elemi számolási szabályok............................... 1 1.1.1. Számok..................................... 1 1.1.1.1. Természetes, egész és racionális számok.............. 1

Részletesebben

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára Párosítások 2012. november 19. Előadó: Hajnal Péter 1. Alapfogalmak Emlékeztető. Legyen G egy gráf, E(G) a G élhalmaza, V (G) gráfunk csúcshalmaza.

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

Differenciálegyenletek a hétköznapokban

Differenciálegyenletek a hétköznapokban Differenciálegyenletek a hétköznapokban BSc Szakdolgozat Írta: Gondos Réka Matematika BSc, alkalmazott matematikus szakirány Témavezető: Besenyei Ádám adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai

Részletesebben

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

Color profile: Generic CMYK printer profile Composite 150 lpi at 45 degrees

Color profile: Generic CMYK printer profile Composite 150 lpi at 45 degrees Color profile: Generic CMYK printer profile Composite 150 lpi at 45 degrees Matematikai Lapo / Borító 2013. december 13. 19:28:39 13-1-borito 2014/5/20 11:55 page 0 #1 MATEMATIKAI LAPOK A Bolyai János

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

Matematikai programozás gyakorlatok

Matematikai programozás gyakorlatok VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?

Részletesebben

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam Készült az EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet alapján. Érvényesség kezdete: 2013.09.01. Utoljára indítható:.. Dunaújváros,

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 9. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 6. Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (9. gyakorlat Bázistranszformáció és alkalmazásai (folytatás Tartalom Bázistranszformáció

Részletesebben

Ismerkedés az Abel-csoportokkal

Ismerkedés az Abel-csoportokkal Ismerkedés az Abel-csoportokkal - Szakdolgozat - Készítette: Takács Mária (Matematika BSc, Tanári szakirány) Témavezető: Kiss Emil (Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet) Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve Matematika Készítette: a gimnázium reál szakmai munkaközössége 2015. Tartalom Emelt szintű matematika képzés... 3 Matematika alapóraszámú képzés... 47 Matematika

Részletesebben

Az indukció. Azáltal, hogy ezt az összefüggést felírtuk, ezúttal nem bizonyítottuk, ez csak sejtés!

Az indukció. Azáltal, hogy ezt az összefüggést felírtuk, ezúttal nem bizonyítottuk, ez csak sejtés! Az indukció A logikában indukciónak nevezzük azt a következtetési módot, amelyek segítségével valamely osztályon belül az egyes esetekb l az általánosra következtetünk. Például: 0,, 804, 76, 48 mind oszthatóak

Részletesebben

Juhász Tibor. Lineáris algebra

Juhász Tibor. Lineáris algebra Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék

Részletesebben

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére

Részletesebben

Témakörök az osztályozó vizsgához. Matematika

Témakörök az osztályozó vizsgához. Matematika Témakörök az osztályozó vizsgához Idegenforgalmi és Informatikus osztályok (9.A/9.B) 1. A halmazok, számhalmazok, ponthalmazok 2. Függvények 3. A számelmélet elemei. Hatványozás. 0 és negatív kitevőjű

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni

Részletesebben

Egyetemi matematika az iskolában

Egyetemi matematika az iskolában Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja

Részletesebben

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I. Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

Klasszikus alkalmazások

Klasszikus alkalmazások Klasszikus alkalmazások Termelésoptimalizálás Hozzárendelési probléma: folytonos eset Arbitrázsárazás p. Termelésoptimalizálás A gazdasági élet és a logisztika területén gyakran találkozunk lineáris optimalizálási

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9.Ny osztály Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Algebra és számelmélet Alapműveletek az egész és törtszámok körében Műveleti sorrend,

Részletesebben

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra) MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS

Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS OPERÁCIÓKUTATÁS No.2. Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Budapest 2005 Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Javított kiadás OPERÁCIÓKUTATÁS No.2 Megjelenik az FKFP 0231 Program támogatásával a Budapesti Közgazdaságtudományi

Részletesebben

MATEMATIKA A és B variáció

MATEMATIKA A és B variáció MATEMATIKA A és B variáció A Híd 2. programban olyan fiatalok vesznek részt, akik legalább elégséges érdemjegyet kaptak matematikából a hatodik évfolyam végén. Ezzel együtt az adatok azt mutatják, hogy

Részletesebben

1. Lineáris leképezések

1. Lineáris leképezések Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2

Részletesebben

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 2.NEHEZÍTETT VÁLTOZAT 2.a) Paramétert nem tartalmazó eset

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 2.NEHEZÍTETT VÁLTOZAT 2.a) Paramétert nem tartalmazó eset ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 2.NEHEZÍTETT VÁLTOZAT 2.a) Paramétert nem tartalmazó eset A bázistranszformáció nehezített változatában a bázison kívül elhelyezkedő vektorokból amennyit csak lehetséges

Részletesebben

Szimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot:

Szimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot: Szimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot: z = 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 5 4x 1 + x 2 + 2x 3 11 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 8 x 1, x 2, x 3 0 = maximum, feltéve, hogy

Részletesebben

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az

Részletesebben

Differenciaegyenletek

Differenciaegyenletek Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 1 / 24 3.1 Differenciaegyenlet fogalma, egzisztencia- és unicitástétel

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Alfa tanár úr 5 tanulót vizsgáztatott matematikából. Az elért pontszámokat véletlen sorrendben írta

Részletesebben

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Készítette: Dr. Ábrahám István A játékelmélet a 2. század közepén alakult ki. (Neumann J., O. Morgenstern). Gyakran

Részletesebben

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás 12. évfolyam Osztályozó vizsga 2013. augusztus Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás Ismerje a számsorozat

Részletesebben

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét!

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! 5. gyakorlat Lineáris leképezések Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! f : IR IR, f(x) 5x Mit rendel hozzá ez a függvény két szám összegéhez? x, x IR, f(x +

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

8. előadás EGYÉNI KERESLET

8. előadás EGYÉNI KERESLET 8. előadás EGYÉNI KERESLET Kertesi Gábor Varian 6. fejezete, enyhe változtatásokkal 8. Bevezető megjegyzések Az elmúlt héten az optimális egyéni döntést elemeztük grafikus és algebrai eszközökkel: a preferenciatérkép

Részletesebben

Brückler Zita Flóra. Lineáris rendszerek integrálása

Brückler Zita Flóra. Lineáris rendszerek integrálása Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Brückler Zita Flóra Lineáris rendszerek integrálása BSc szakdolgozat Témavezető: Dr. Kovács Sándor Numerikus Analízis Tanszék Budapest, 2012 Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. egyetemi jegyzet mobidiák

Részletesebben

Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK

Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Z UNIVERSITAS-GYŐR Kht. Győr, 25 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR TÁVKÖZLÉSI TANSZÉK Egyetemi jegyzet Írta:

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben