Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Átírás

1 Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál

2

3 Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek Alterek 3 3 Lineáris függetlenség, bázis 5 4 Bázis transzformáció 34 4 Bázis ellen rzés 36 4 Mátrix rangja Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lineáris programozás 4 3 fejezet Euklideszi terek 4 3 Skaláris szorzat 4 3 Norma, távolság, szög Gram-Schmidt ortogonalizáció Alkalmazások 5 34 QR faktorizáció 5 34 Fourier sor 55 4 fejezet Lineáris transzformációk 58 4 Izomorzmus, lineáris transzformációk kompozíciója 6 3

4 TARTALOMJEGYZÉK 4 4 Lineáris transzformációk mátrixa Endomorzmus mátrix változása báziscsere esetén Alkalmazások- Geometriai transzformációk a térben 7 5 fejezet Sajátérték, sajátvektor 76 5 Diagonalizálható endomorzmusok mátrixok 8 5 Szimmetrikus mátrixok diagonalizálása Alkalmazások Mátrix hatvány, mátrix exponenciális Fibonacci sorozat 9 6 fejezet Bilineáris alakok, négyzetes alakok 94 6 Bilineáris alakok 94 6 Négyzetes kvadratikus alakok 97 6 Négyzetes alakok kanonikus alakra hozatala 99 6 Jacobi módszer 6 Gauss-Lagrange módszer 63 Sajátérték, sajátvektor módszer 3 63 Alkalmazások: kúpszeletek 5 Irodalomjegyzék 4

5 FEJEZET Vektorgeometria Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük A vektorokat vastagított bet kkel, vagy nagy bet vel jelöljük: u, v, x, i, j, k, AB, AB A a kezdeti, míg B a vektor végpontja A vektorokat három dolog jellemzi: irány, irányítás, hossz A szabadvektorokat eltolhatjuk Ha két vektor iránya, irányítása és hossza megegyezik akkor eltolással a vektorok pontosan lefedik egymást Ebben az esetben a vektorokat ekvivalensnek u v, vagy egyenl knek nevezzük u = v A vektorok halmazán értelmezzük az összeadás m veletet: u + v = w ahol w az u és v vektorok ered je A vektorok összeadása kommutatív és asszociatív: u + v = v + u, 5

6 VEKTORGEOMETRIA 6 u + v +w = u+ v + w A zéró hosszúságú vektort nullvektor nak nevezzük és vagy θ-vel jelöljük: 3 v + = v A v-vel azonos irányú és hosszúságú de ellentétes irányítású vektort v ellentett vektor nak nevezzük 4 v+ v = Az említett tulajdonságok igazak úgy a síkban mint a térben, tehát a sík R illetve a tér R 3 vektorai a vektorok összeadására nézve egy kommutatív csoportot alkot Az R -en R 3 -ben értelmezzük a vektorok valós számmal skalárral való szorzását Ha v egy nem-nulla vektor és λ R akkor λv egy λ -szor hosszabb vektor v-nél, vele azonos irányítású ha λ > és ellentétes irányítású ha λ < A vektorok különbsége is skalárral való szorzatot jelenti u v = u + v:

7 VEKTORGEOMETRIA 7 A skalárral való szorzásra nézve a következ tulajdonságok érvényesülnek: 5 λ + µ v = λ v+ µv 6 λ v + w = λ v+ λw 7 γµ v = γ µv 8 v = v Ha u, v vektorok és α, β skalárok R-b l akkor az 9 αu + βv vektort az u és v lineáris kombinációjának nevezzük Példa u + 3v, u v Ha két vektor párhuzamos kollineáris akkor az egyik felírható a másik számszorzataként u = λv A λ skalár egyértelm en meghatározott Ha a síkban az u és v vektorok nem párhuzamosak akkor bármely w vektor a síkból felbontható u és v vektorok egyértelm lineáris kombinációjaként: w = αu + βv Definíció Az u, v vektorokat lineárisan függetlenek nek nevezzük, ha az αu + βv =

8 VEKTORGEOMETRIA 8 egyenl ségb l következik, hogy α = és β = A síkban párhuzamos vektor lineárisan függ mert ha α αu + βv = u = β α v A térben 3 vektor lineárisan függ ha a három vektor egy síkban van αu + β v+ γw = u = β α v γ α w 3 Definíció Az u, v, w vektorokat lineárisan függetlenek nek nevezzük, ha az 3 αu + βv + γw = egyenl ségb l következik, hogy α = β = γ = 4 Definíció A síkbeli térbeli vektorok egy lineárisan független vektorpárját vektorhármasát bázisnak nevezzük A legismertebb az i, j, k egységvektorok hosszúk= a tengelyek mentén alkotta ún ortonormált bázis A tér bármely vektora egyértelm en bontható fel az egységvektorok segítségével: 4 v = αi + βj + γk, vagy 5 x = x i + x j + x 3 k

9 VEKTORGEOMETRIA 9 Az x, x, x 3 számokat az x vektor koordinátáinak nevezzük és az x t x = = x x x 3 jelölést használjuk x x 3 5 Példa a x = 3 = i 3j, = = i + j t t t b i =, j =, k = A sík tér minden pontjához hozzátartozik egy origó középpontú helyvektor és fordítva minden helyvektorhoz hozzárendelhet egy pont Tehát egy egyértelm megfeleltetés létezik a sík pontjai és a helyvektorok között Koordinátákra lebontva a vektorok közötti tulajdonságok: x = y x = y és x = y, ahol x, x, y, y az x = x x, illetve y = y y vektorok koordinátái; x + y = x x + x x = x +y x +y λx = λx λx A térben hasonló tulajdonságok igazak 6 Példa = = 9 9,

10 + 3 VEKTOROK NORMÁJA = 5 A vektorok koordinátáit használva az asszociativitás bizonyítása a következ R -ben u u + v +w = + + u v w u + v w u + v + w = + = u + v w u + v + w u v + w = + = u+ v + w v + w u v w Vektorok normája Egy v vektor hosszát normának nevezzük és v -vel jelöljük Az R síkban a v = v v vektor normáját a Pitagorasz tétellel számítjuk ki: v = v + v

11 VEKTOROK NORMÁJA Hasonlóan járunk el R 3 -ben v = v + v + v3, ahol v = v v v 3 R 3 7 Példa Ha v = 4 3 akkor v = = 5 A nullvektor az egyetlen vektor amelynek hossza nulla A síkban a P x, y, P x, y pontok közötti távolság egyenl a x P P = x y y vektor hosszával, vagyis 3 d P, P = P P = x x + y y A térben a P x, y, z, P x, y, z pontok közötti távolságot hasonlóan számítjuk ki: d P, P = P P = x x + y y + z z

12 VEKTOROK NORMÁJA 8 Példa A P 3, 4,, P, 6, pontok közötti távolság d P, P = P P = = 3 Mivel λv vektor λ -szor hosszabb mint v következik, hogy 4 λv = λ v A gyakorlatban gyakran észszer bb ha a v vektor helyett a vele ugyanabban az irányba mutató e v egységvektort használjuk Az e v vektort úgy kapjuk, hogy az eredeti vektort elosztjuk a hosszával: 5 e v = v v

13 VEKTOROK NORMÁJA 3 Valóban, a 4 képletb l következik, hogy e v = v v = A síkban az e v = e e v v = vektor koordinátáit kifejezhetjük mint e = e v cos α = cos α, illetve e = cos β, ahol α, β az e v v vektor hajlásszöge a tengelyekkel Tehát a síkban az e v egységvektor koordinátái: e v cos α =, míg a térben cos β cos α 6 e v = cos β, cos γ ahol α, β, γ a v vektor hajlásszöge a tengelyekkel Az e v vektort a v vektor iránycosinusának is nevezik 6 9 Példa Számítsuk ki a v =, illetve u = vektorok iránycosinusát! Bizonyítás v = tehát a 5 képletb l e v = 6 = Hasonlóan e u = = 5 4 Példa Számítsuk ki az u vektor v vektorra es vetületének hosszát és a vektort Tétel Ha u és v két vektor akkor igaz az úgy nevezett háromszög egyenl tlenség: 7 u + v u + v 3 3 3

14 VEKTOROK SKALÁRIS SZORZATA 4 Bizonyítás A tétel mértani jelentése: egy háromszögben egy oldal hossza mindig kisebb vagy egyenl a másik két oldal hosszának az összegénél Vektorok skaláris szorzata Definíció Két u, v vektor skaláris szorzat án a u v = u v cos ϕ számot értjük, ahol ϕ [, π a vektorok által bezárt szög 3 Tétel Két vektor mer leges egymásra akkor és csak akkor, ha a két vektor skaláris szorzata zéró Bizonyítás u v ϕ = π cos ϕ = u v = 4 Példa i i= i i cos =, hasonlóan j j = k k = i j= i j cos π =, j k=k i= 5 Tétel Az x = x x t x 3, y = y y t y 3 vektorok skaláris szorzata x y = x y + x y + x 3 y 3 Bizonyítás x y = x i + x j + x 3 k y i + y j + y 3 k = x y ī + x y ī j + + x 3 y 3 k = x y + x y + x 3 y 3 A skaláris szorzatot felhasználhatjuk egy vektor hosszának a kiszámítására, ugyanis: x x = x + x + x 3 = x x cos 3 x = x x

15 3 VEKTOROK VEKTORIÁLIS SZORZATA 5 6 Példa Számítsuk ki az alábbi vektorok skaláris szorzatát, hosszát és az általuk bezárt szöget: x =, y = x y = + = 3, x x = + + = 6, y y = 6 és a képletb l vagyis ϕ = π 3 cos ϕ = x = 6, y = 6, x y x y = 3 = 6 6, 7 Példa Határozzuk meg a k R paramétert úgy, hogy az x =, y = vektorok mer legesek legyenek egymásra k k Bizonyítás A mer legességi feltételb l x y = következik, hogy 4 + k =, vagyis k = ± Az ismertetett jelölésekkel bemutatunk alább egy pár ismert tételt: x y x + y = x + y Pitagorasz-tétel; x + y + x y = x + y paralelogramma azonosság; 3 x y = x + y x y koszinusztétel; 4 x = y akkor x+y x y rombusz átlói mer legesek 3 Vektorok vektoriális szorzata 8 Definíció Két vektor x,y R 3 vektoriális szorzatán jel x y azt a z = x y vektort értjük amelynek

16 3 VEKTOROK VEKTORIÁLIS SZORZATA 6 iránya mer leges az x és y vektorok síkjára 3 z x, y ; irányítása a jobb kéz szabály szerint történik; hossza 3 z = x y sin ϕ, ahol ϕ [, π az x és y vektorok hajlásszöge A z vektor irányításából következik, hogy y x = x y 9 Tétel Két vektor akkor és csak akkor párhuzamos egymással ha vektoriális szorzatuk egyenl a nullvektorral Bizonyítás Feltételezzük, hogy x, y Ekkor x y = x y = x y sin ϕ = sin ϕ = ϕ = vagyis x y

17 3 VEKTOROK VEKTORIÁLIS SZORZATA 7 A tételb l következik, hogy 33 ī ī = j j = k k =, illetve 34 ī j = k, j k = ī, k ī = j j ī = k, k j = ī, ī k = j A fenti összefüggéseket gyelembe véve kiszámíthatjuk az x = x ī + x j + x 3 k és y = y y x x x 3 = y ī + y j + y 3 k vektorok vektoriális = szorzatát: y 3 x y = x ī + x j + x 3 k y ī + y j + y 3 k = x y ī ī + x y ī j+ + + x 3 y 3 k k = x y k x y 3 j + x 3 y ī, amit determináns segítségével átírható az alábbi alakra: ī j k 35 x y = x x x 3 y y y 3 Példa Ha x =,y = akkor 3 ī j k x y = 3 = ī + 5 j + k = 5

18 3 VEKTOROK VEKTORIÁLIS SZORZATA 8 Ellen rizzük, hogy z = x y valóban mer leges az x és y vektorokra: z x = =, z y = + = Példa Igazoljuk, hogy az ABCD egy trapéz, ahol A,,, B,,, C,, 4, D,,! Igazolni kell, hogy AB CD vagy AD BC Mivel AB =, CD = észrevehet, hogy CD = AB, vagyis a 3 6 vektorok párhuzamosak Az arányos koordináták a vektoriális szorzat determináns második és harmadik sorában jelennek meg, tehát a vektoriális szorzat nulla és a vektorok párhuzamosak ī j k AB CD = 3 = 6 Az 3 képlet mértani jelentése a következ : az y sin ϕ egyenl az x, y vektorok által alkotott paralelogramma m magasságával lásd alábbi ábrát, tehát z = x y sin ϕ = x m, vagyis az x y vektor hossza egyenl a paralelogramma területével: 36 x y = T paralelogramma

19 3 VEKTOROK VEKTORIÁLIS SZORZATA 9 Példa Számítsuk ki az ABC háromszög területét és a magasságok hosszait ha a csúcsok koordinátái A,,, B,,, C,,! Az ABC háromszög területe egyenl az AB = és AC = vektorok által kifeszített paralelogramma terület felével: T ABC = AB AC ī j k AB AC = = ī + j + k = AB AC = 6, tehát az ABC háromszög területe egyenl T ABC = 6 Legyen AA az AB oldal magassága Ekkor AA = T ABC AB = 6 = 3,

20 3 VEKTOROK VEKTORIÁLIS SZORZATA Hasonlóan számítjuk ki a többi magasság hosszát

21 FEJEZET Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek Legyen K egy kommutatív test leggyakrabban R, C, Z A V, halmazon értelmezünk egy bels összeadás + és egy küls skalárral való szorzás m veletet: bels m velet +: V V V, u, v V =! u + v V ; küls m velet : K V V, λ K, v V =! λ v V Definíció A V halmazt K feletti vektortérnek nevezzük jel V, +,, K ha: V, + kommutatív csoport; α, β K, u, v V V α u + v = α u + v ; V α + β v = αv + βv; V 3 αβ v = α βv ; V 4 v = v Ha K = R akkor valósvektortérr l, ha pedig K = C akkor komplex vektortérr l beszélünk Példa R 3, +,, R valós vektortér ahol + illetve m veleteket komponensenként végezzük x y x + y x αx x + y = x + y, α x = αx x 3 y 3 x 3 + y 3 x 3 αx 3

22 VEKTORTEREK Pl = 8, 3 = 3 66 Általánosan R n, +,, R vektortér Hasonlóan C n, +,, C 3 Példa M,3 R, +,, R ; M,3 R a 3-as mátrixok halmaza valós vektorteret alkot az ismert m veletekre nézve mátrixok összeadása, skalárral való szorzása: a c e b a b d + c d f e f = a + a b + b a c + c d + d, α c e + e f + f e b d f = Általánosan M m,n R, +,, R, M m,n C, +,, C vektorterek 4 Példa P, +,, R; P a legfeljebb másodfokú polinomok halmaza vektorteret alkot az ismert m veletekre nézve polinomok összeadása, skalárral való szorzása: ax + bx + c + a X + b X + c = a + a X + b + b X + c + c, α ax + bx + c = αax + αbx + αc Általánosan P n, +,, R vektortér 5 Példa F, +,, R; F = {f : R R} a valós függvények halmaza valós vektorteret alkot az ismert m veletekre nézve függvények összeadása, skalárral való szorzása: f + g x = f x + g x, αf x = αf x 6 Tétel α, β K, u, v V = i v = V, α V = V ; αa αc αe αb αd αf

23 ii α v = V = α = vagy v = V ; ALTEREK 3 iii α v = α v = α v, α β v = αv βv, α u v = αu αv Bizonyítás i v = + v = v + v V = v ii Ha α = akkor α v = V Ha α akkor létezik α ; beszorozva az egyenletet következik, hogy α α v = α V vagyis v = v = V Alterek Legyen V, +,, K egy vektortér és U részhalmaza V -nek: U V, U 7 Definíció Az U altere résztere a V vektortérnek, ha vektortér ugyanazon K test felett az örökölt m veletekre nézve Jelölése U K V 8 Példa { V } illetve V triviális alterei V -nek: { V } K V, V K V a a 9 Példa Ha U = b R 3 c = = b R R c R 3 az ismert m veletekre nézve Tétel U pontosan akkor altere V -nek, ha: i u, v U = u + v U zárt a vektorok összeadására; ii α K, v U szorzására = α v U zárt a vektorok skalárral való Következmény Ha U K V akkor: i vɛu = v U; ii α, α,, α n K, v, v,, v n U = α v +α v ++α n v n U

24 ALTEREK 4 a a Példa Az U = b R 3 c = = b c a a R 3 = V zárt a vektorok összeadására: b, b U a a a + a b + b = b + b U és zárt a skalárral való szorzásra: a a αa α R, b U α b = αb U, tehát U résztere V -nek U R V 3 Példa Ha V = R és U = {x, y R x + y } R akkor U R V mert, U de, / U 4 Definíció Az α v +α v ++α n v n összeget a v, v,, v n U vektorok α, α,, α n K együtthatókkal képzett lineáris kombinációjának nevezzük A lineáris kombinációk halmazát jel lin U vagy v,, v n az U halmaz burkának nevezzük: lin U = {α v + α v + + α n v n v, v,, v n U, α, α,, α n K } Az el bbi folyomány ii pontja szerint: U K V = lin U K V Két altér metszete is altér viszont az egyesítésük nem Ugyanakkor létezik egy legsz kebb altér ami tartalmazza mindkét alteret 5 Tétel Legyen U, U a V, +,, K vektortér két altere: U K V, U K V Akkor a U + U = {u + u u U, u U }

25 3 LINEÁRIS FÜGGETLENSÉG, BÁZIS 5 halmaz altér, mégpedig az U, U altereket tartalmazó legsz kebb altér Az el bbi állítás általánosítható U, U,, U n tetsz leges altérre U +U ++U n = {u + u + + u n u U, u U,, u n U n } 6 Definíció Azt mondjuk hogy V a U, U,, U n alterek direkt összege jel V = U U U n, ha v V pontosan egyféleképp írható fel v = u + u + + u n, u i U i, i =, n 7 Tétel Egy V vektortér akkor és csak akkor írható két altér U, U direkt összegére V = U U, ha i U + U = V, és ii U U = { V } 8 Példa A M n R, +,, R vektortér felírható mint a szimmetrikus S = {A M n R A t = A} és antiszimmetrikus A = {A M n R A t = A} mátrixok halmazával alkotott alterek direkt összege Bizonyítás Igazoljuk, hogy S és A valóban M n R alterei Ha A, B S, vagyis A t = A, B t = B akkor A + B t = A t +B t = A+B tehát A+B A Ha α R és A M n R akkor αa t = αa t = αa tehát αa A ahonnan A R M n R Hasonlóan S R M n R A M n = A S felbontást az el bbi tétel segítségével igazoljuk Bármilyen A mátrix felírható a következ mátrixok összegeként A = A+A t + A At, és igazolható, hogy A + At A és A At S: A + A t t = A t +A = A+A t és A A t t = A t A = A A t 3 Lineáris függetlenség, bázis A V, +,, K vektortérben legyen {v, v,, v n }, v i vektorrendszer V egy

26 3 LINEÁRIS FÜGGETLENSÉG, BÁZIS 6 9 Definíció A {v, v,, v n } vektorrendszert lineárisan függetlennek nevezzük ha: α v + α v + + α n v n = V α = α = = α n = Ha a rendszer nem lineárisan független akkor lineárisan összefügg nek nevezzük Példa R, +,, R vektortérben i v =, v = vektorokból álló rendszer lineárisan független mert; α v + α v = V α + α = V α α α + α α + α = + = V = α α α + α α + α =, tehát egy homogén lineáris egyenletrendszerhez jutottunk aminek a determinánsa det A = 3, következik, hogy az egyenletrendszernek egyetlen megoldása van - a triviális- α = α = 3 6 ii u =, u = vektorokból álló rendszer lineárisan függ Úgyszintén lineárisan függ a {w, w, w 3 } vektorrendszer ahol 3 w =, w =, w 3 = 3 Példa A P, +,, R vektortérben a {, X, X } vektorrendszer lioneárisan független mert α + α X + α 3 X = α = α = α 3 =

27 3 LINEÁRIS FÜGGETLENSÉG, BÁZIS 7 Példa A F, +,, R valós függvények vektorterében a { cos x, sin x, } függvények lineárisan összefügg k mert az α cos x + α sin x + α 3 = egyenl ség nem csak α = α = α 3 = -ra teljesül, hanem α =, α =, α 3 = Ha a {f, f,, f n } vektorrendszer függvényei n -szer folytonosan deriválhatóak, f i C n, i =,, n, akkor a rendszer lineáris függ ségét a f x f x f n x f x f x f n x 3 W x = f n x f n x f n n x Wronski-féle determináns segítségével tárgyaljuk, ugyanis a α f + α f + + α n f n = egyenl ség igaz kell legyen a triviálistól α i =, i =, n eltér értékekre is Az egyenl séget deriválva következik, hogy α f + α f + + α n f n = α f n + α f n + + α n f n n = vagyis a 3 f x f x f n x f x f x f n x f n x f n x f n n x α α α n =

28 3 LINEÁRIS FÜGGETLENSÉG, BÁZIS 8 homogén lineáris egyenletrendszernek a triviálistól eltér megoldása kell legyen, tehát a determinánsa egyenl nullával 3 Tétel i Ha {f, f,, f n } rendszer lineárisan összefügg akkor W x = ii Ha W x akkor a {f, f,, f n } vektorrendszer lineárisan független Bizonyítás ii A α f +α f + +α n f n = -ból deriválással a 3 homogén lineáris egyenletrendszerhez jutunk és ha a determinánsa nem nulla W x, akkor az egyenletrendszernek egyetlen megoldása van, a triviális α = α = = α n =, vagyis a függvények lineárisan függetlenek 4 Példa Az {, cos x, sin x} vektorrendszer lineárisan független cos x sin x mert W x = sin x cos x = sin x + cos x = cos x sin x Hasonlóan az {, cos x, sin x, cos x, sin x,, cos nx, sin nx} vektorrendszer lineárisan független Az el bbi példa esetében nem használhatjuk a tételt ugyanis W x = cos x sin x cos x sin x cos x sin x =, de a tétel nem rendelkezik cos x cos x mi történik ha a Wronski-féle determináns nulla

29 3 LINEÁRIS FÜGGETLENSÉG, BÁZIS 9 5 Tétel Ha {v, v,, v n } vektorrendszer lineárisan függ az egyik vektor felírható a többi függvényében: v k úh n v k = α i v i i = i k 6 Példa A Példa ii alpontjánál szerepl vektorok esetében: u = u, w 3 = w + w 7 Állítás i A { v, v,, v n } vektorrendszer lineárisan függ ii A {v, v, v,, v n } vektorrendszer lineárisan függ iii Ha {v, v,, v n } vektorrendszer lineárisan független = {v,, v n } vektorrendszer is lineárisan független iv Ha {v, v,, v n } vektorrendszer lineárisan függ = {v, v,, v n, w} vektorrendszer is lineárisan függ w V 8 Definíció A {v, v,, v n }, v i V vektorrendszert generátorrendszernek nevezzük, ha w V el állítható a v i, i =,, n vektorok lineáris kombinációjaként 9 Példa A {v, v, v 3 } 3 v =, v =, v 3 = 3 generátorrendszere R, +,, R vektortérnek A w = vektor felírható 4 5 R w = v + 3v v 3, vagy w = v + v v 3

30 3 LINEÁRIS FÜGGETLENSÉG, BÁZIS 3 Különös jelent ségük van az olyan generátorrendszereknek amelyek segítségével egy tetsz leges vektor egyértelm en állítható el Ezek az úgynevezett bázisok 3 Definíció Egy V, +,, K vektortér {v, v,, v n }, v i V vektorrendszerét bázisnak nevezzük, ha lineárisan független és generátorrendszer 3 Példa A v =, v = vektorok bázist alkotnak R, +,, R vektortérben Egy vektortérnek több bázisa is lehet; ezek közül különösen fontosak az úgynevezett kanonikus bázisok 3 Példa i A R 3, +,, R vektortérben {e, e, e 3 } kanonikus bázis e =, e =, e 3 = ii Az M R, +,, R vektortérben {E, E, E 3, E 4 } kanonikus bázis E =, E =, E 3 =, E 4 = iii A P, +,, R legfeljebb másodfokú polinomok vektorterében {, X, X } kanonikus bázis Úgyszintén bázis a {, X a, X a } vektorrendszer iv Az F, +,, R valós függvények vektorterében a {, cos x, sin x, cos x, sin x rendszer bázist alkot 33 Tétel Ha B = {v, v,, v n } bázisa a V, +,, K vektortérnek akkor minden w V vektor egyértelm en írható fel a B bázis vektoraival w V,!α,, α n K úh w = α v + + α n v n

31 3 LINEÁRIS FÜGGETLENSÉG, BÁZIS 3 Bizonyítás Mivel {v, v,, v n } generátor rendszer a lineáris kombinációjuk el állítja a w vektort w = α v + + α n v n Az egyértelm ség bizonyításához feltételezzük, hogy létezik egy másik felírása a w vektornak: w = β v + + β n v n Kivonva egymásból az egyenleteket kapjuk, hogy = α β v + + α n β n v n, vagyis, a v,, v n vektorok lineáris függetlenségét gyelembe véve következik, hogy α i β i =, i =, n 34 Definíció Ha egy w vektor felírható a B bázisban mint w = α v + + α n v n, akkor az α,, α n skalárokat a w vektor koordinátáinak nevezzük a B bázisban Jelölés: [w] B = α α α n t 35 Tétel Ha {v, v,, v n } lineárisan független rendszer és {u, u,, u m } generátorrendszere a V, +,, K vektortérnek, akkor n m Bizonyítás Feltételezzük, hogy n > m Mivel {u, u,, u m } generátorrendszer a segítségükkel el állíthatók az v,, v n vektorok: 33 v = k u + k u + + k m u m v n = k n u + k n u + + k mn u m A {v, v,, v n } vektorok lineárisan függetlenek tehát α v + + α n v n = α = = α n =, majd behelyettesítve a 33 képleteket és u i szerint rendezve kapjuk, hogy: α k + + α n k n u + + α k m + + α n k mn u m =

32 3 LINEÁRIS FÜGGETLENSÉG, BÁZIS 3 Ha a fenti képletben az u i vektorok együtthatói mind nullák nem szükségszer hiszen u i vektorok nem lineárian függetlenek akkor az állítás igaz és a következ m-soros, n -oszlopos m < n homogén lineáris egyenletrendszerhez jutunk: α k + + α n k n = α k m + + α n k mn = Következik, hogy a lineáris egyenletrendszer határozatlan tehát a triviálistól α = = α n = más megoldása is van, ami ellentmond a v i vektorok lineáris függetlenségének Az el bbi tétel következményeként állítható, hogy: 36 Tétel A V, +,, K vektortérnek minden bázisának ugyanannyi vektora van 37 Definíció Egy vektortér dimenzióján a bázisban lév elemek számát értjük, jelölése: dim V 38 Példa A 3 Példában a vektorterek dimenziója rendre dim R 3 = 3, dim M = 4, dim P = 3, dim F = A nullvektorból álló vektortér dimenziója zéró: dim { V } = a 39 Példa Legyen V = R 3 valós vektortér és U = b R 3 c = = c a b Mint láttuk U résztere V -nek: U R V, tehát vektortér Az U dimenziójaegyenl a bázisában lév vektorok számával, ugyanakkor a bármilyen w = b U vektor felbontható generálható mint

33 3 LINEÁRIS FÜGGETLENSÉG, BÁZIS 33 w = a + b, és igazolható, hogy, lineárisan független vektorok: α + α = α = α =, tehát bázist alkotnak az U térben Következik, hogy dim U = Az eddigi eredményekb az alábbi vektorrendszerek közötti összefüggések igazolhatók: 4 Állítás Ha egy V vektortér dimenziója n dim V = n és: i ha a {v, v,, v n } rendszer bázis tehát lineárisan független akkor a rendszerb l vektorokat kihagyva lineárisan független rendszert kapunk lásd Allítás 7 iii; ii ha a {v, v,, v n } rendszer bázis tehát generátor rendszer akkor a rendszerhez vektorokat hozzáadva generátor rendszert kapunk; iii ha az adott térben dim V = n n vektor v, v,, v n lineárisan független, akkor a {v, v,, v n } rendszer bázis 4 Példa Az M térben dim M = 4 és a A =, A =, A =, A =, vektorok lineárisan függetlenek tehát {A, A, A 3, A 4 } bázist alkot Az {A, A 3, A 4 } vektorrendszer lineárisan független, míg a {A, A, A 3, A 4, B} generátor rendszer B M 4 Tétel dim U U = dim U + dim U

34 4 BÁZIS TRANSZFORMÁCIÓ 34 4 Bázis transzformáció Ha V, +,, K vektortér dimenziója n = dim V és B = {e, e,, e n }, illetve B = {e, e,, e n} két bázisa akkor: 4 e = t e + t e + + t n e n e = t e + t e + + t n e n e e n = e e n T e n = t n e + t n e + + t nn e n 43 Definíció A t ij n i,j= = T M n K mátrixot áttérési vagy transzformációs mátrixnak nevezzük a B bázisból a B bázisba 44 Tétel Ha [x] B = x, x,, x n t, illetve [x] B = x, x,, x n t egy x V vektor koordinátái oszlop mátrix a B, illetve B bázisban, akkor 4 [x] B = T [x] B ahol T az áttérési mátrix Bizonyítás x = x e + + x n e n = e e n x = e e n [x] B x = x e ++x ne n = e e n x x n = e e n [x] B = e e n T [x] B x n e e n [x] B = e e n T [x] B [x] B = T [x] B

35 4 BÁZIS TRANSZFORMÁCIÓ 35 Mivel T áttérési mátrix két bázis között következik, hogy az oszlopai lineárisan függetlenek, tehát a T mátrix reguláris dett és létezik az inverze Beszorozva a 4 képletet balról T -el kapjuk, hogy: 43 [x] B = T [x] B 45 Példa R, +,, R vektortérben B = {e, e }, e =, e =, illetve B = {e, e }, e =, e = 3, és x = 4 e = e e, e = e + 3e = T = 3 x = e + 4e, x = e + e vagyis [x] B =, [x] 4 B = Ellen rzésképpen: [x] B = T [x] B Az alábbi eljárás segítségével egy V, +,, K vektortér B = {e, e,, e n } bázisvektorait egyesével kicserélve új bázist kapunk 46 Tétel [Kicserélési tétel] Legyen B = {e, e,, e n } egy V, +,, K, vektortér bázisa és [x] B = x, x,, x n t egy x V vektor koordinátái a B bázisban, vagyis x = x e ++x i e i ++x n e n Akkor: i x i B = {e, e,, e i, x, e i+,, e n } vektorrendszer bázist alkot ii Ha y, y,, y n t = [y] B és y, y,, y n t = [y] B egy y V vektor koordinátái a B és B bázisokban, akkor { y i yj x = i, j = i, j i x i y j x j y i x i Táblázat alakban a tétel a következ képpen alakítható:

36 Bázis x 4 BÁZIS TRANSZFORMÁCIÓ 36 y e x y e i x i y i e j x j y j e n x n y n Bázis x e x y x i y x y i x i y i x i e j x iy j x j y i x i e n x i y n x ny i x i Bizonyítás i Feltételezzük, hogy x i és igazoljuk, hogy {e,, x,, e 3 } lineárisan független α e + + α i x + + α n e n = α e + + α i x e + + x i e i + + x 3 e α n e n = α + α i x e + + α i x i e i + + α n + α i x n e n = Mivel e,, e n lineárisan függetlenek α + α i x =,, α i x i =, α n + α i x n = A feltételezés szerint x i tehát α i =, következik, hogy α = = α n = ii Egyfel l y = y e + + y i e i + + y n e n y = y e + + y i x + + y ne n = y e + + y i x e + + x i e i + + x n e n + + y ne n = y + y i x e + + y i x i e i + + y n + y i x n e n, és mivel a felírás egyértelm y = y + yi x,,y i = yi x i,, y n = yn + yi x n vagy kifejezve yj = A lemma alkalmazásai: bázis ellen rzés, lineáris egyenletrendszerek megoldása, mátrix inverzének, illetve rangjának a kiszámítása 4 Bázis ellen rzés

37 4 BÁZIS TRANSZFORMÁCIÓ Példa Igazoljuk, hogy v =, v = vektorok bázist alkotnak a R vektortérben Fejezzük ki a w = 3 vektort ebben a bázisban Az R térben a kanonikus bázisból indulunk ki B k = {e, e } ahol e = ás e = Ebben a bázisban a v, v vektorok felírása a következ v = e + e, v = v + v, w = 3e amit a táblázat oszlopaiba írunk Bázis v v w e 3 e Bázis v v w v 3 e 3 3 Bázis v v w v v Az utolsó táblázatból következik, hogy {v, v } vektorrendszer bázis és ebben a bázisban w = v + v 4 Mátrix rangja A B = {v, v,, v n } vektorrendszerb l maximálisan kiválasztható r lineárisan független vektorok számát a vektrorendszer rangjának nevezzük Egymásmellé helyezve a v i R m oszlopvektorokat egy A = v v v n M mn mátrixot kapunk aminek a rangja rang A értelmezés szerint azonos az r vektorrendszer rangjával A mátrix rangjára a következ állítások igazak: r min {m, n}, ranga t = ranga A kicserélési tételb l következik tehát, hogy a mátrix rangja egyenl a maximálisan kiválasztható f elemek számával

38 4 BÁZIS TRANSZFORMÁCIÓ Példa A = v, v, v 3, v 4 -vel jelölve az A mátrix oszlopvektorait a következ báziscserét eszközöljük a B = {e, e, e 3 } kanonikus bázissal: Bázis v v v 3 v 4 e e 4 e Bázis v v v 3 v 4 v e e Bázis v v v 3 v 4 v v e 3 A táblázatokból kit nik, hogy csak kétszer választható f elem tehát rang A = A f elemek kiválasztásából következik, hogy v és v lineárisan függetlenek és az utolsó két oszlopból v 3 = v, illetve v 4 = v + v 43 Lineáris egyenletrendszerek megoldása 49 Példa Oldjuk meg az alábbi határozott lineáris egyenletrendszert! { x + y = 3 x + y = Az egyenletrendszert felírhatjuk mint 3 x + y =, vagyis x v + y v = w,

39 4 BÁZIS TRANSZFORMÁCIÓ 39 3 ahol v =, v =, w = és a feladat visszavezet dik a w vektor el állítására a v, v vektorok lineáris kombinációjaként Az el bbi példában ennek a feladatnak{ a megoldása: v + v = x = w tehát azonosíthatjuk a megoldást: y = 5 Példa Oldjuk meg az alábbi határozatlan lineáris egyenletrendszert! { 3x x 4x 3 = x + 3x + x 3 = Az egyenletrendszert felírhatjuk mint 3 4 x + x + x 3 =, 3 vagyis x v + x v + x 3 v 3 = w, 3 4 ahol v =, v =, v 3 =, w = és a 3 feladat visszavezet dik a w vektor el állítására a v, v, v 3 vektorok lineáris kombinációjaként Bázis v v v 3 w e 3 4 e 3 Bázis v v v 3 w e 7 5 v 3 Bázis v v v 3 w v v 6

40 4 BÁZIS TRANSZFORMÁCIÓ 4 Az utolsó táblázatból következik, hogy {v, v 3 } bázis, v = v 7v 3 és { 7x + x 3 = 5 x x = 6, ahonnan x = t jelöléssel kapjuk a x = 6+t, x = t, x 3 = 5+7t, t R határozatlan megoldást 5 Példa Oldjuk meg a Z 5, +,, Z 5 vektortérben az alábbi egyenletrendszert: { ˆx + ˆ3x = ˆ3 ˆ3x + x = ˆ4 44 Lineáris programozás Egy asztalos m helyben két terméket gyártanak széket és asztalt és két alapanyagot használnak: PAL lemezt és deszkát Egy szék el állításához m PAL lemezt és m deszkát használnak, míg egy asztal el állításához 5m, illetve 5m - t PAL lemezb l 8,míg deszkából 8 m van raktáron Határozzuk meg az optimális gyártást ha egy széket 4 egységért, míg egy asztalt 5 egységért lehet értékesíteni! szék asztal raktár x + 3 PAL lemez 5 y x + deszka 5 8 y 8 x, y f = x + 3y max bevétel 4 5 x + 3y 4 x + y 6 x, y f = 4x + 35y max 5 Példa Ahhoz hogy egy gyógykezelés hatásos legyen egy betegnek 3 féle hatóanyagból h, h, h 3, naponta legalább,, 6

41 4 BÁZIS TRANSZFORMÁCIÓ 4 µg -ot kell beszednie A hatóanyagokat gyógyszerben A és B - ben találhatók; az A -ban, 3, µg van a h, h, h 3 hatóanyagokból, míg a B gyógyszerben 6, 7, 6 µg ugyanazokból a hatóanyagokból Ha az A, illetve B gyógyszer egységára 5, illetve 8 akkor adjuk meg a gyógyszerek optimálás adagolását! 38, 3 megoldás A B h 6 h 3 7 h3 6 6 f 5 8 P x + 6x 3x + 7x x + 6x 6 x, x f = 5x + 8x min D y + 3y + y 3 5 6y + 7y + 6y 3 8 y, y, y 3 g = y + y + 6y 3 max

42 3 FEJEZET Euklideszi terek 3 Skaláris szorzat Legyen V, +,, R egy valós vektortér 3 Definíció Az, : V V R leképezést valós skaláris szorzatnak nevezzük, ha u, v, w V vektorokra teljesülnek az alábbi feltételeket: Ssz nemnegatív SSz szimmetrikus SSz3 additív SSz4 homogén u, u, u, u = u = V ; u, v = v, u ; u + v, w = u, w + v, w ; ku, v = k u, v Egy V vektorteret amelyen egy skaláris szorzat van értelmezve euklideszi térnek nevezünk Jelölése V,, 3 Példa Az R n térben a, : R n R n R n 3 u, v = u v + u v + + u n v n = u i v i = u t v, i= 4

43 u = u u n, v = v v n 3 SKALÁRIS SZORZAT 43 R n leképezés teljesíti a skaláris szorzat négy feltételét Ezt nevezzük euklideszi vagy standard skaláris szorzatnak Az u =,, 3 és az v =,, vektorok euklideszi skaláris szorzata u, v = = Általánosabb skaláris szorzatot kapunk ha a 3 képletben a tagokat súlyozzuk w i R +, i =, n súlyokkal: 3 u, v = w u v + w u v + + w n u n v n 33 Példa Az M mn R mátrixok terében értelmezhet a következ skaláris szorzat: 33 m n A, B = a b + a b + + a mn b mn = a ij b ij = T r A T B, ahol A = a ij m,n i,j= M mn R, B = b ij m,n i,j= M mn R A =, B = = A, B = = 6 i= j= 34 Példa A legfeljebb n-ed fokú polinomok P n terében értelmezhet a következ skaláris szorzat: n 34 P, Q = a b + a b + + a n b n = a i b i, ahol P = a +a X ++a n X n P n, Q = b +b X ++b n X n P n P = 3X +4X, Q = +3X = P, Q = = 7 i=

44 3 NORMA, TÁVOLSÁG, SZÖG Példa A C [a, b] folytonos függvények terében értelmezhet a következ skaláris szorzat: 35 f, g = ahol f, g C [a, b] ˆ b a f x g x dx f, g : [ π, π] R, f x = sin x, g x = cos x = f, g = π f x g x dx = π sin x dx = cos x π π π 4 π = 36 Tétel Ha, : V V R egy skaláris szorzat és u, v, z V, k R, akkor: u, V = V, u = ; u, v + w = u, v + u, w ; 3 u, kv = k u, v ; 4 u v, w = u, w v, w ; 5 u, v w = u, w v, w Bizonyítás u, V = V, u szimmetria v, u = v, u = v, u v, u = = v, u + v, u = = v v, u = = V, u = u, v + w = v + w, u = v, u + w, u = u, v + u, w, stb 3 Norma, távolság, szög 37 Definíció A V,, euklideszi térben egy v V vektor normáján az alábbi értéket értjük: 3 v = v, v Egy egység hosszúságú vektort u = egységvektornak nevezünk 38 Definíció Két vektor közötti távolság metrika: 3 d u, v = u v

45 3 NORMA, TÁVOLSÁG, SZÖG Példa v =,, 3 t = v = = 4, A = = A = = 3 P = 3x + 5x = 3 4 P = = 38 u =,, 5 t = d u, v = u v = 3,, t = = 3 3 Tétel A norma tulajdonságai: N N N3 u és u = u = V ; ku = k u ; u + v u + v 3 Definíció Egy V vektorteret normált vektortérnek nevezünk, ha értelmezve van rajta egy norma : V R mely rendelkezik az N, N, N3 tulajdonságokkal A fenti tétel értelmezésként is használható Egy tetsz leges u vektorból úgy kapunk egy vele azonos irányú, egységvektort ha elosztjuk u-t a normájával: 33 e = u u Valóban e = u u = u u = u = u 3 3 Példa u = = e = u 4 u = 3 = Tétel A távolság metrika tulajdonságai: D d u, v és d u, v = u = v;

46 D D3 3 NORMA, TÁVOLSÁG, SZÖG 46 d u, v = d v, u ; d u, v d u, w + d w, v 34 Definíció Egy H halmazt metrikus térnek nevezünk ha értelmezve van rajta egy d : H H R távolság metrika mely rendelkezik a D, D, D3 tulajdonságokkal 35 Példa A skaláris szorzat, illetve norma tulajdonságait felhasználva: számítsuk ki: u + v, 3u 4v = u, 3u 4v + v, 3u 4v = u, 3u + u, 4v + v, 3u + v, 4v = 3 u, u 4 u, v + 6 v, u 8 v, v = igazoljuk a paralelogramma egyenl séget: x + y + x y = x + y 36 Tétel Cauchy-Schwarz 34 u, v u v = 3 u + u, v 8 v ; Bizonyítás Ha u = V akkor igaz az egyenl ség Feltételezzük, hogy u V és legyen t R, tu + v, tu + v = t u, u + t u, v + v, v = at + bt + c ahol a = u, u, b = u, v, c = v, v Mivel a másodfokú függvény nemnegatív = a diszkriminánsa = b 4ac vagyis 4 u, v 4 u, u v, v u, v u, u v, v

47 A tételb l következik, hogy: 3 NORMA, TÁVOLSÁG, SZÖG 47 u, v u v 37 Definíció Ha u, v V egy V euklideszi tér vektorai, akkor a közbezárt szögükön azt a ϕ [, π] szöget értjük, amelyre 35 cos ϕ = u, v u v 38 Példa u=,, 3, v =,, = u, v = 6, u = 4, v = 3 = cos ϕ = Ha a bezárt szög ϕ = π, akkor a vektorokat ortogonálisnak nevezzük jel u v Ebben az esetben cos ϕ = 39 Tétel Egy V,, euklideszi térben az u és v vektorokat ortogonálisak ha 36 u, v = Az {e, e,, e n } vektorrendszert ortogonálisnak nevezünk ha e i e j, i j 3 Példa u = 3,,,, v =,, 5, = u, v = euklideszi skaláris szorzat= u v 3 A =, B = = A, B = = A B 4 6 P = X + 3X, Q = 4 + 5X X = P, Q = = P Q 3 Példa Ha e =, e =, e 3 = akkor {e, e, e 3 } ortogonális vektorrendszer R 3 vektortérben A P vektortérben az {, X, X } egy ortogonális vektorrendszer bázis

48 3 NORMA, TÁVOLSÁG, SZÖG 48 3 Példa A folytonos függvények esetében néhány fontosabb ortogonális rendszer: Fourier={, cos x, sin x, cos x, sin x, } a C [ π, π] vektortérben, Legéndre= {, x, 3x, 5x3 3x, 8 35x4 3x + 3, } a C [, ]-ben, Csebisev={, x, x, 4x 3 3x, 8x 4 8x +, } a C [, ]-ben, stb 33 Példa Pitagorasz tétel x y x + y = x + y A mer legességi feltételb l következik, hogy x, y =, tehát x + y = x + y, x + y = x, y + x, y + y, y = x + y 34 Tétel Ha a {e,, e n } vektorrendszer ortogonális e i V, i =, n, akkor lineárisan független Bizonyítás Ha α e + α e + + α n e n = akkor ki kell mutatni, hogy α = α = = De e i -re =, e i = α e + α e + + α n e n, e i = = α e, e i + α e, e i + + α i e i, e i + + α n e n, e i = α i e i, e i, és mivel e i, e i > e i V következik, hogy α i =, i =, n 35 Definíció Egy vektorrendszert ortonormáltnak nevezünk ha a vektorok ortogonálisak és egység hosszúságúak: {, i = j 37 {q,, q n } ortonormált q i, q j = δ ij =, i j 36 Definíció Egy 38 Q = q q q n mátrixot ortogonálisnak nevezünk ha oszlopai ortonormált vektorok

49 37 Példa 33 GRAM-SCHMIDT ORTOGONALIZÁCIÓ 49 P = permutációs mátrix cos θ sin θ R θ = θ-szög forgatás sin θ cos θ / / 4/5 3/5 3 Q = / /, Q = 3/5 4/5 4 P =, A = Adhemar 38 Tétel Ha Q ortogonális akkor Q T Q = I n 39 Következmény Ha Q M n R ortogonális akkor: a det Q T det Q = = det Q = ± b Q = Q T 33 Gram-Schmidt ortogonalizáció 33 Tétel Minden valós euklideszi térben létezik egy ortonormált bázis Bizonyítás Legyen B = {e,, e n } egy bázis az n dimenziós V vektortérben Els lépésben egy B = {e,, e n} ortogonális bázist hozunk létre, majd normálási eljárással létrehozzuk a B =

50 33 GRAM-SCHMIDT ORTOGONALIZÁCIÓ 5 {q, q,, q n } ortonormált bázist e = e e = e + αe e 3 = e 3 + βe + γe ahol α t úgy határozzuk meg, hogy e e, vagyis e, e = e + αe, e = e, e + α e, e = = α = e, e e, e = e, e e A β és γ-t a e 3 e, illetve e 3 e mer legességi feltételekb l határozzuk meg e 3, e = e 3 + βe + γe, e = e 3, e + β e, e } {{ +γ e }, e = = = γ = e 3, e e, e = e 3, e e Hasonlóan e 3, e = e 3 + βe + γe, e = e 3, e + β e, e + γ e, e } {{ = = β = e 3,e } e = β = e 3, e e, e = e 3, e e Az e 4,, e n vektorokat hasonlóan számítjuk ki A normáláshoz a 33 eljárást alkalmazzuk, vagyis: q = e e, q = e e,, q n = e n e n

51 33 GRAM-SCHMIDT ORTOGONALIZÁCIÓ 5 A Gram-Schmidt eljárásból következik, hogy q k mer leges az {e,, e k }, k vektorok által alkotott hipersíkra q line, q 3 line, e,, q k line,, e k vagy sajátos esetként 333 q e, q k e,, q k e k 33 Példa Ha B = {v, v, v 3 } ahol v = 3, v =, akkor B = {v, v, v 3} ortogonális bázis ahol v =, v 3 = q = 3, q =, v 3 =, v = B = {q, q, q 3 } ortonormált bázis, ahol, q 3 = 3 3 = 33 Példa A B = {f, f, f 3 } = {, X, X } bázisra alkalmazva a Gram-Schmidt ortogonalizálási módszert a V = C [, ] térben a következ bázist kapjuk: B = {f, f, f 3} = {, X, X 3} Ha a függvényeket f = f = f 3 = eljárással normalizáljuk akkor a Legéndre-féle ortogonális függvényeket kapjuk lásd a 3 példát

52 34 ALKALMAZÁSOK 5 34 Alkalmazások 333 Tétel Ha a V euklideszi vektortérben {q,, q n } egy ortonormált bázis, akkor u V vektor kifejezhet az alábbi alakban: 34 u = u, q q + u, q q + + u, q n q n Bizonyítás Mivel {q,, q n } bázis következik, hogy u felírható u = α q + α q + + α n q n Kimutatjuk, hogy α i = u, q i, i =, n Minden q i -re u, q i = α q + α q + + α n q n, q i = = α q, q i + α q, q i + + α i q i, q i + + α n q n, q i = = α i q i, q i = α i A 34 képlet segítségével egyszer södik egy vektor felírása egy adott bázisban 4/5 334 Példa Ha B = {q, q, q 3 } ahol q =, q = 3/5 3/5, q 3 = és u = akkor 4/5 u, q = 7/5, u, q =, u, q 3 = /5, tehát u = 7 5 q + q + 5 q 3 34 QR faktorizáció Legyen A M mn R egy mátrix melynek oszlopai A = u u u n lineárisan függetlenek és legyen {q, q,, q n }

53 34 ALKALMAZÁSOK 53 az A oszlopvektorainak egy ortonormált rendszere, illetve Q = q q q n az oszlopvektorok által alkotott ortogonális mátrix A 333 tételb l következik, hogy u = u, q q + u, q q + + u, q n q n u = u, q q + u, q q + + u, q n q n u n = u n, q q + u n, q q + + u n, q n q n vagy mátrix alakban: u, q u, q u n, q u u u u n = q q q n, q u, q u n, q u, q n u, q n u n, q n Ha R-el jelöljük a u, q u, q u n, q u R =, q u, q u n, q u, q n u, q n u n, q n mátrixot azt kapjuk, hogy A felbontható mint: A = QR Figyelembe véve az 333 összefüggéseket következik, hogy az R mátrix átló alatti tagok nullák: u, q u, q u n, q u 34 R =, q u n, q, u n, q n

54 vagyis R egy fels -háromszög mátrix 34 ALKALMAZÁSOK Tétel Ha A M mn R egy mátrix melynek oszlopai lineárisan függetlenek, akkor az A mátrix felírható 343 A = QR mátrix szorzatként, ahol Q M mn R egy ortogonális mátrix és R M nn R egy fels -háromszög mátrix 336 Példa A = / 3 / 6 Q = / 3 / 6 / / 3 / 6 / = QR, R = 3/ 3 / 3 / 3 / 6 / 6 / A QR faktorizációs módszerrel Ax = b egyenletrendszert ahonnan a QRx = b Rx = Q t b, Q = Q t fels -háromszög egyenletrendszert kapjuk amit visszahelyettesítési módszerrel megoldunk 337 Példa x x + x 3 = x + x + x 3 = 5 x + x + 3x 3 = 4

55 Az A = 34 ALKALMAZÁSOK 55 mátrix A = QR felbontása 3 / 3 / 6 / A = / 3 / 3/ 3 / 3 6 / 3 / 6 / 6/ 6 5/ 6 5/, ahonnan az Rx = Q t b egyenletrendszer 3 3 x + 3 x 3 = x x 3 = 6 5 x 3 = 5 megoldását visszahelyettesítéssel oldjuk meg: x 3 =, x =, x = 3 34 Fourier sor A V = C [ π, π] folytonos függvények vektorterében a {, cos x, sin x, cos x, sin x,, cos nx, sin nx, } függvények ortogonálisak ˆ π π ˆ π π ˆ π ha m n A normájuk π cos nx sin mx dx = cos nx cos mx dx = sin nx sin mx dx = = ˆ π π dx = π cos nx = sin mx = π tehát { } π, π cos x, π sin x, π cos x, π sin x,, π cos nx, π sin nx, ortonormált bázis Bármilyen f C [ π, π] függvény felírható ebben

56 a bázisban 34 ALKALMAZÁSOK 56 fx = c π + c π cos x + c π sin x + c 3 π cos x + c 4 π sin x + + c n π cos nx + c n π sin nx ahol az együtthatókat a 34 képletb l számítjuk ki: c = f, = ˆ π fx dx π π c k = π f, cos kx = ˆ π π π π fx cos kx dx c k = f, sin kx = ˆ π fx sin kx dx π π π Behelyettesítve a következ felirást kapjuk 344 fx = a + a cos x + b sin x + a cos x + b sin x + ahol a n cos nx + b n sin nx = a + a k cos kx + b k sin kx k a = π a k = π b k = π ˆ π π ˆ π π ˆ π π fx dx fx cos kx dx fx sin kx dx A 344 az f függvény sorfejtése a 345 Fourier együtthatókkal 338 Példa f x = x, x [ π, π] Mivel x cos kx páratlan függvény ezért a k = π x cos kx dx = π π, k Ugyanakkor x sin kx páros függvény tehát b k = π x π π

57 sin kx dx = π π k+ π k következ : π x sin kx dx = π = k+ k 34 ALKALMAZÁSOK 57 π x cos kx k π + k Tehát az f függvény Fourier sorfejtése a cos kx dx = f x = sin x sin x + 3 sin 3x sin 4x + sin 5x 5 Az alábbi ábrán az f az egy, két, stb tagú f, f,, f közelítése látható

58 4 FEJEZET Lineáris transzformációk Legyen V, +,, K és W, +,, K vektorterek 4 Definíció Az f : V W leképezést lineáris transzformációnak vagy homomorzmusnak nevezzük, ha x, y V, α K-ra az f additív összegz azaz homogén azaz f x + y = f x + f y ; f αx = αf x A lineáris transzformációk halmazát Hom V, W = {f : V W f = lin vel jelöljük Ha V = W akkor f-et endomorzmusnak nevezzük és a halmazát End V -val jelöljük Az f additivitása és homogenitása az alábbi egyenl séggel ekvivalens: x, y V, α, β K f αx + βy = αf x + βf y, 4 Példa f : R R, f x = x + x, x = x x R g : R 3 R, g x = x x x x 3, x = D : C [a, b] C [a, b] R, D f = f 3 I : C [a, b] C [a, b], I f = b f x dx a 58 x x x 3 R 3

59 x = 4 LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK Példa Geometriai transzformációk a síkban f i : R R, x x : identikus transzformáció: f x = x = tükrözés az els tengelyre f x = vetítés az els tengelyre f 3 x = tükrözés az els -szögfelez re f 4 x = x x x lépték váltás k > -paraméter skálázás, k > nagyítás, kx k, kicsinyítés s k x = kx = kx x forgatás θ-szög cos θ x sin θ R θ x = x sin θ + x cos θ x x x x 44 Tétel Ha f : V W lineáris transzformáció, akkor: f V = W ; f x = f x ; 3 L K V f L K W ; 4 {x,, x n } összefügg vektorrendszer {f x,, f x n } is összefügg vektorrendszer Bizonyítás f V = f v = fv = W, f x = f x = f x 3 x, x L x +x L f x + x = f x +f x W ; x L αx L f αx = αf x W

60 4 LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 6 45 Definíció Az alábbi halmazokat az f : V W lineáris transzformáció magterének, illetve képterének nevezzük: 46 ker f = {x V f x = W } = f { W }, 47 Imf = {y W x V : y = f x} 46 Példa f : R 3 R, f x = x x R 3 lineáris transzformáció x x x x 3, x = ker f = Imf = x 3 { x, x, x 3 t R 3 f x, x, x 3 = { u R x, x, x 3 R 3 : v f : R R, f x = x, x = { második tengelyre ker f = x { } x x R =els tengely { y Imf = y R x R : x tengely 3 D } x = x x R, x } u x x = = R v x x 3 x x x R vetítés a R f x = } = } y y = x =második 47 Tétel Ha f : V W lineáris transzformáció akkor

61 4 IZOMORFIZMUS, LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK KOMPOZÍCIÓJA 6 ker f K V ; Imf K W dim ker f + dim Imf = dim V Bizonyítás Ha x, y ker f akkor fx =, fy = és az additivitásból fx + y = fx + fy =, tehát x + y ker f x ker f akkor fx = és a homogenitásból fαx = αfx =, következik, hogy αx ker f, α R A magtér dimenzióját dim ker f az f lineáris transzformáció nullitásának, míg a képtér dimenzióját dim Imf az f rangjának nevezzük 4 Izomorzmus, lineáris transzformációk kompozíciója 48 Tétel Ha f : V W lineáris transzformáció akkor: f injektív ker f = { V } ; f szürjektív Imf = W Bizonyítás A 44Tétel pontjából f V = W, tehát V ker f Feltételezve, hogy létezik még más eleme is ker f -nek: x V ker f, mivel f injektív f x f V = W tehát x / ker f Legyen x, y V, x y x y V f x y W különben ker f egy nem-nulla vektort tartalmazna f x fy W, tehát {x y f x f y}, vagyis f injektív 49 Definíció Ha az f : V W lineáris transzformáció bijektív leképezés akkor izomorzmusnak nevezzük Ebben az esetben azt mondjuk, hogy V izomorf W térrel és V = W-el jelöljük görögül izo=azonos, morph=alak Ha f bijektív és V = W akkor f-et automorzmusnak nevezzük és a halmazát Aut V -val jelöljük

62 4 IZOMORFIZMUS, LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK KOMPOZÍCIÓJA 6 4 Példa f : R 3 R 3, f x = x, x = x x R 3 nem injektív mert ker f =????? α x 3 α R R 3 x 3 4 Tétel Ha V, +,, K vektortér dimenziója n = dim V, akkor V = K n Bizonyítás Ha B = {e, e,, e n } a V vektortér egy bázisa akkor v V egyértelm en írható fel a bázisvektorok lineáris kombinációjaként: Az f : V K n, f v = v = α e + α e + α n e n α leképezés bijektív, tehát V = K n α n 4 Példa f : M R R 4, f A = a a a ahol A = a a a a bijektív leképezés, tehát M R = R 4 a 43 Definíció Az f : U V, f : V W függvények kompozícióján a leképezést értjük f f : U W, f f x = f f x, x U,

63 4 LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK MÁTRIXA Tétel Ha f : U V, f : V W lineáris transzformációk akkor a kompozíciójuk f f is lineáris transzformáció Bizonyítás Additivitás: f f x + y = f f x + y = f f x + f y = f f x+f f y = f f x+f f y Homogénitás: f f αx = f f αx = f αf x = αf f x = α f f x 45 Definíció Ha f : U V bijektív akkor az inverze f : V U, f f = id V, f f = id U 46 Példa Az R θ : R R x cos θ x sin θ, R θ x = x sin θ + x cos θ théta szög forgatás inverze a θ szög forgatás: R θ = R θ 47 Tétel Ha f : U V, f : V W lineáris transzformációk bijektívek akkor a f f : U W kompozíciójuk is bijektív és f f = f f 4 Lineáris transzformációk mátrixa 48 Példa Az f : R 3 R x + x 3, f x = transzformációt x x + 3x 3 x a következ képpen lehet megadni: f x = x, x 3 R 3 vagyis 4 f x = A x, ahol A = Tetsz leges x R 3 vektor esetében a 3 4 képlet ekvivalens az alábbi egyenl séggel 4 [f x] BR = A [x] B R 3, x 3

64 4 LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK MÁTRIXA 64 ahol [x], illetve [f x] BR 3 B R az x, illetve f x vektorok koordinátái a B R 3, B R kanonikus bázisokban Az A mátrixot az f lineáris transzformáció- kanonikus bázisoknak megfelel - mátrixának nevezzük Általánosabban, ha V, +,, K és W, +,, K vektorterek, dim V = n, dim W = m, B V = {v,, v n }, B W = {w,, w m } bázisok az adott terekben és f : V W lineáris transzformáció, akkor f v = a w + a w + + a m w m f v = a w + a w + + a m w m f v n = a n w + a n w + + a mn w m 43 a a a n a f v f v f v n = w w w m a a n a m a m a mn 49 Definíció Az A = a ij m, n i=,j= M m,n K mátrixot az f lineáris transzformációhoz hozzárendelt mátrixának nevezzük a B V, B W bázispárban Jelölés: A = A B V,B W f = [f] BV,B W 4 Tétel Minden f : V W dim V = n, dim W = m lineáris transzformációhoz egyértelm en rendelhet hozzá egy mátrix: Hom V, W = M m,n K A 4 képlet általánosításaként felírhatjuk, hogy: 44 [f x] BW = [f] BV,B W [x] BV,

65 4 LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK MÁTRIXA 65 ami lehet séget ad arra, hogy függvény lineáris transzformáció kiértékelés helyett mátrix szorzatot használjunk 4 Példa f : R 3 R, f x = x + x 3 x x + 3x 3, B R 3 = {e, e, e 3 }, B R = {e, e } kanonikus bázisok= f e = = e + e, f e = = e e, f e 3 = 3 = e + 3e, = [f] R 3,R = Egy x = 3 vektor képét a kanonikus bázispárban függvény kiértékeléssel: f x = = = e +6e, vagy a 44 képletnek megfelel en mátrix szorzattal 5 számíthatjuk ki: = B V = {v, v, v 3 }, B W = {w, w } bázisok ahol v =, v =, v 3 =, w =, w = = f v = 3 = 4 w 3 + 5w 3, f v = = 5 w 3 + w 3, f v 3 = = w + w = [f] BV,B W =

66 4 LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK MÁTRIXA 66 Az x = = v + v + v 3 [x] BV = vektor 3 képének a koordinátáit a B V, B W bázispárban függvény kiértékeléssel: f x = = = 7w 3 + w 3, vagy a 44 képletnek megfelel en mátrix szorzattal számíthatjuk ki: 5 3 = Példa R θ : R R x cos θ x sin θ, R θ x =, x = x sin θ + x cos θ x cos θ sin θ, B R = {e, e } kanonikus bázis = [R θ ] x R,R = sin θ cos θ Egy P 3, pont koordinátáit az R θ transzformáció követ en pl θ = π -re függvény kiértékeléssel számíthatjuk ki: R 3 4 θ = 3 cos π sin π sin π + cos = π 5, vagy a 44 mátrix szorzattal: 4 4 cos π sin π = sin π cos π 5, tehát a P pont θ = π szög forgatása a P pontot eredményezi, 5 43 Példa A D : P 3 P, D a + a X + a X + a 3 X 3 = a + a X + 3a 3 X deriválási transzformáció mátrixa a B P3 = {, X, X, X 3 }, B P = {, X, X } kanonikus bázisokban a következ : [D] BP3,B P = 3 Egy P = 5 + 4X + 3X X 3 P 3

67 4 LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK MÁTRIXA 67 t polinom koordinátái a kanonikus bázisban [P ] BP3 = A P polinom D transzformáltjának a koordinátáit a 44 képlettel számítható ki: 3 = 6, vagyis D P = X 6X ami leellen rizhet klasszikus deriválással 44 Példa f : P [X] R P, f P =, B P P = {, X, X }, B R = {e, e } kanonikus bázisok= [f] P,R = 45 Tétel Ha az f : U V, illetve g : V W lineáris transzformációk, akkor a g f : U W lineáris transzformációhoz hozzárendelt mátrix egyenl a g, illetve f transzformációkhoz hozzárendelt mátrixok szorzatával: 45 [g f] BU,B W = [g] BV,B W [f] BU,B V 46 Példa Ha f, g : R R, f=els -felez szerinti tükrözés x x f x = = x x és g=vetítés az Oy tengelyre x x g x = = x x ahol x =, akkor x x x g f x = g f x = g = = x A B kanonikus bázisokban hozzárendelt mátrixot a 45 képletb l is kiszámíthatjuk: [g] B,B [f] B,B = = x x

68 43 ENDOMORFIZMUS MÁTRIX VÁLTOZÁSA BÁZISCSERE ESETÉN Endomorzmus mátrix változása báziscsere esetén Legyen V, +,, K egy n dimenziós vektortér, f : V V egy endomorzmus, x V egy vektor V -b l és y V ennek képe az f lineáris transzformáción keresztül: 43 y = f x Az f-hez tartozó mátrix függ a kiválasztott bázisoktól Legyen B = {v,, v n }, B = {v,, v n} a V vektortér két bázisa x x y Jelöljük [x] B =, [x] B =, illetve [y] B =, [y] B = y y n x n -vel az x és y vektorok koordinátáit a B, illetve B bázisokban, és A = [f] B,B, D = [f] B,B -vel a lineáris transzformáció mátrixait a két bázisnak megfelel en Akkor a 43-b l következik, hogy 43 [y] B = [f] B,B [x] B vagy [y] B = A [x] B, illetve 433 [y] B = [f] B,B [x] B vagy [y] B = D [x] B T = t ij n i,j=-vel jelölve a két bázisnak megfelel áttérési mátrixot, felírhatjuk, hogy: x n [x] B = T [x] B, [y] B = T [y] B Felhasználva a 43 és 433 képleteket következik, hogy: y n A [x] B = T [y] B = AT [x] B = T D [x] B vagyis AT = T D,

69 43 ENDOMORFIZMUS MÁTRIX VÁLTOZÁSA BÁZISCSERE ESETÉN 69 ahonnan D = T AT 47 Tétel Az f End V -hez tartozó mátrixa B B báziscsere esetén a következ képpen alakul: 434 [f] B,B = T [f] B,B T, ahol T a B, B bázisoknak megfelel áttérési mátrix Az eljárás az alábbi diagramon szemléltethet ahol [x] B T [x] B A=[f] B,B [f x]b T D=[f] B,B [f x] B [f x] B = A [x] B [x] B = T [x] B [f x] B = D [x] B = T [f x] B Az utolsó egyenl ségb l következik, hogy vagyis DT [x] B = T A [x] B DT = T A D = T AT 48 Példa f : R R x + 3x, f x =, B = {e, e } x + x kanonikus bázis, B = {e, e } ahol e =, e = Akkor A = 3 és T =, T 3 3 = = [f] B,B = 3 3

70 43 ENDOMORFIZMUS MÁTRIX VÁLTOZÁSA BÁZISCSERE ESETÉN 7 T AT = 4 8 Ellen rzés: f e 3 = 5 6 = e e, f e = = 8 3 e e Definíció Az A, B M n K mátrixokat hasonlóknak nevezzük jel A B, ha A Tétel 47 átfogalmazva: T M n K úh B = T AT 43 Tétel Ha a V, +,, K vektortérben, B, B bázisok és f : V V endomorzmus, akkor [f] B,B [f] B,B, vagyis, egy adott endomorzmus mátrixai hasonlóak A hasonló mátrixok tanulmányozása azért indokolt, mert ezen mátrixok determinánsa, rangja, nyoma, karakterisztikus polinomja megegyezik 43 Tétel Ha A és B mátrixok hasonlóak A B, akkor: deta = detb; ranga = rangb; 3 T r A = T r B ; 4 P A λ = P B λ lásd a 55 tételt Bizonyítás A mátrixok hasonlóak tehát T M n K úh B = T AT det B = det T AT = det T det A det T = = det T det T det A = det T T det A = = det I n det A = det A

71 43 ENDOMORFIZMUS MÁTRIX VÁLTOZÁSA BÁZISCSERE ESETÉN 7 Egy mátrix rangja egyenl a megfelel lineáris transzformáció képterének a dimenziójával Mivel A B ezért A és B ugyanannak a lineáris transzformációnak a mátrixa különböz bázisban tehát a képtér dimenziója, illetve rangja megegyezik 3 Figyelembe véve, hogy M M m,n, N M nm -re T r MN = T r NM, következik, hogy T r B = T r T AT = T r AT T = T r AT T = T r A Adott endomorzmus esetében: f End V, olyan B bázist keresünk amelyre a [f] B,B -vel ekvivalens [f] B,B mátrix minél egyszer bb alakú, például átló-, háromszög-, Jordan-alakú stb Adott endomorzmus esetében: f End V, olyan B bázist keresünk amelyre a [f] B -vel ekvivalens [f] B mátrix minél egyszer bb alakú, például átló-, háromszög-, Jordan-alakú stb 43 Példa f : R R x + 3x, f x =, B = {e, e } x + x kanonikus bázis, B = {e, e } ahol e = 3, e = Akkor [f]b = 3 3 A = és T =, ahonnan T 5 5 = és = [f] B = T AT = egy átlós mátrix Ellen rzésképpen: 4 det [f] B = det [f] B = 4, rang[f] B = rang[f] B =, T r [f] B = T r [f] B = 3 Az endomorzmus esetében ismertetett eredmények általánosíthatók tetsz leges lineáris transzformáció esetére

72 44 ALKALMAZÁSOK- GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK A TÉRBEN Definíció Az A, B M m,n K mátrixokat ekvivalensnek nevezzük jel A B, ha P M n K, Q M m K úh B = QAP 434 Tétel Ha V, +,, K és W, +,, K vektorterek, B V, B V bázisok V -ben, B W, B W bázisok W -ben és f : V W lineáris transzformáció, akkor [f] BV,B W [f] B V,B W Egy adott homomorzmus mátrixai ekvivalensek 44 Alkalmazások- Geometriai transzformációk a térben x f i : R 3 R 3, x = y z Vetítés az alapsíkokra: x x pr xy x = y, pr xz x =, pr yz x = y z z A transzformációk mátrixai a B kanonikus bázispárban: [pr xy x] B,B =, [pr xz x] B,B =, [pr yz x] B,B =

73 44 ALKALMAZÁSOK- GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK A TÉRBEN Példa Az A 3 pont x = vektor vetületeit 3 a három alapsíkra mátrix szorzattal számítjuk ki: A = =, A = 3 3 A 3 = = 3 3 = 3, Tükrözés az alapsíkokra: x x f x = y, f x = y z z, f 3 x = x y z 3 Forgatás A térben a forgatást a jobbkéz-szabály szerint történik, vagyis a nagy ujj az x forgatási tengely irányát míg a többi ujj a forgatási irányt mutatja

74 44 ALKALMAZÁSOK- GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK A TÉRBEN 74 - forgatás az Ox tengely körül: x R θ,ox x = y cos θ z sin θ y sin θ + z cos θ, [R θ,ox x] B,B = cos θ sin θ sin θ cos θ - forgatás az Oy tengely körül: x cos θ + z sin θ R θ,oy x = y x sin θ + z cos θ - forgatás az Oz tengely körül: x cos θ y sin θ R θ,oz x = x sin θ + y cos θ z a - forgatás az u = b c, [R θ,oy x] B,B =, [R θ,oz x] B,B = egységvektor körül cos θ sin θ sin θ cos θ cos θ sin θ sin θ cos θ

75 44 ALKALMAZÁSOK- GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK A TÉRBEN 75 [R θ,u x] B,B = a cos θ + cos θ ab cos θ c sin θ ac cos θ + b sin θ ab cos θ + c sin θ b cos θ + cos θ bc cos θ a sin θ ac cos θ b sin θ bc cos θ + a sin θ c cos θ + cos θ A forgatást az el bbi három alap-forgatás kombinációjaként lehet meghatározni

76 5 FEJEZET Sajátérték, sajátvektor Legyen V, +,, R egy valós vektortér, dim V = n, B V = {v,, v n } egy bázisa és f : V V lineáris transzformáció f End V Jelöljük A = [f] BV,B V M n,n R a lineáris transzformáció mátrixát az adott bázisban 5 Definíció Az x V, x V vektort a lineáris transzformáció ill a hozzárendelt mátrix sajátvektorának nevezzük, ha λ R sajátérték úh 5 f x = λx ie Ax = λx 5 Példa V, +,, R vektortérben f : R R, f x = x +x x +x = f End R és A = A = 3, tehát sajátvektor, λ = 3 sajátérték A sajátvektor mértani jelentése: az X sajátvektora az f transzformációnak ha a képe f-en keresztül ugyancsak az X tartóegyenesén marad A 5 denícióból következik, hogy: 5 Ax = λx Ax = λi n x AX λi n X = V A λi n X = V 76

77 5 SAJÁTÉRTÉK, SAJÁTVEKTOR 77 A 5 karakterisztikus egyenletrendszer mátrix alakja: a λ a a n x a 53 a λ a n x = a n a n a nn λ Ennek az egyenletrendszernek akkor van a triviálistól különböz megoldása, ha a karakterisztikus determinánsa nulla: 54 det A λi n = 53 Definíció A P f λ = P A λ = det A λi n n-ed fokú polinomot karakterisztikus polinomnak nevezzük Tehát a sajátértékek a P A λ karakterisztikus polinom gyökei λ 54 Példa A =, P A λ = det = λ λ = λ =, λ = 3 55 Tétel A P A λ karakterisztikus polinom nem függ a kiválasztott bázistól Bizonyítás Legyen A = [f] B,B és A = [f] B,B az f endomorzmus két mátrixa a B, illetve B bázispárokban Az A = T AT karakterisztikus polinomja: P A λ = det A λi n = det T AT λi n = 56 Tétel = det T AT λt T = det T A λi n T = = det T det T det A λi n = det A λi n = P A λ 55 P A λ = n λ n S λ n + S λ n + n S n, x n

78 5 SAJÁTÉRTÉK, SAJÁTVEKTOR 78 ahol S i a f átlón elhelyezked i i minorok összege: S = a + a + + a nn = T ra, a a S = a a + a a 3 a 3 a a n,n a n,n a n,n a nn S n = a a a n a a a n a n a n a nn = det A Bizonyítás A bizonyítás n = 3-ra végezzük a λ a a 3 P A λ = det A λi 3 = a a λ a 3 = a 3 a 3 a 33 λ a λ a λ a 33 λ + a a 3 a 3 + a 3 a a 3 a 3 a 3 a λ a a a 33 λ a 3 a 3 a λ = = 3 λ 3 λ a + a + a 33 + det A A 55 képletb l a Viéte összefüggések szerint: 56 λ + λ + + λ n = T r A és 57 λ λ λ n = det A A 57-ból következik, hogy det A = j index úh λ j =, vagyis A invertálható ha sajátértékei különböznek nullától

79 5 SAJÁTÉRTÉK, SAJÁTVEKTOR Definíció A sajátértékek halmazát a transzformáció spektrumának nevezzük, jelölése σ f vagy σ A Ha λ többszörös r-szeres gyöke a P A λ karakterisztikus polinomnak, akkor r-et a λ sajátérték algebrai multiplicitásának nevezzük, jelölése m alg λ = r 58 Tétel Minden λ sajátértéknek több sajátvektor felel meg Minden x sajátvektornak csak egy λ sajátérték felel meg Bizonyítás Ha x a λ-hoz rendelt sajátérték, akkor kx, k R is sajátértéke mert: A kx = kax = kλx = λ kx Feltétezzük, hogy x sajátvektorhoz két: λ és λ sajátérték felel meg: Ax = λx, Ax = λ x λx = λ x λ λ x = V λ λ = vagyis λ = λ 59 Definíció A V λ = {x V : Ax = λx} halmazt a λ-hoz tartozó sajátvektorok halmazának nevezzük 5 Példa Az el bbi példában λ = sajátértéknek feleltessünk x meg egy x x = sajátvektort = x x x x +x = x = x x = = x V λ = = x { } α α R 5 Tétel A V λ halmaz a nullvektorral kiegészítve részteret alkot V -ben: V λ K V

80 5 DIAGONALIZÁLHATÓ ENDOMORFIZMUSOK MÁTRIXOK 8 Bizonyítás Ha x, y V λ akkor A x + y = Ax + Ay = λx + λy = λ x + y vagyis x + y V λ Hasonlóan ha α K, akkor αx V λ 5 Definíció A V λ vektortér dimenzióját a λ sajátérték geometriai multiplicitásának nevezzük, jelölése m geom λ = dim V λ 53 Példa A = akkor λ =, X = x, { } V λ = = α és λ = 3, Y = y, V λ = 3 = { } β, tehát m geom λ = =, és m geom λ = 3 = A = akkor λ = λ =, X = x + x, V λ = = α + β α, β R és λ 3 = 4, Y = y, V λ = 4 = γ γ R, tehát m geom λ = =, és m geom λ = 4 = 5 Diagonalizálható endomorzmusok mátrixok 54 Definíció Az f End V endomorzmusról, illetve ennek A mátrixáról azt mondjuk, hogy diagonalizálható, ha B V = {v, v,, v n } bázisa V -nek, amelyben a [f] BV,B V = D lineáris transzformáció mátrixa

81 5 DIAGONALIZÁLHATÓ ENDOMORFIZMUSOK MÁTRIXOK 8 diagonális alakú, D = diag λ, λ,, λ n = λ λ λ n B V Ha T-vel jelöljük az áttérési mátrixot a B k kanonikus bázisból a bázisba, akkor az el bbi deníció ekvivalens az alábbival: A diagonalízálható T reguláris úh T AT = D = diag λ, λ,, λ n Az alábbi tételben igazoljuk hogy, ha A-nak n lineárisan független sajátvektora van, akkor ezek alkotják a keresett B V bázist 55 Tétel Az f End V, dimv = n, endomorzmus diagonalizálható akkor és csak akkor ha az A mátrixnak n lineárisan független sajátvektora van Bizonyítás A diagonalizálható T reguláris mátrix det T úgy, hogy T AT = diag = D A továbbiakban igazoljuk, hogy a T mátrix oszlopai pontosan a sajátvektorokból áll, és mivel T reguláris következik, hogy a sajátvektorok lineárisan függetlenek t t t n λ t AT = T D = t t n λ t n t n t nn λ n λ t λ t λ n t n λ = t λ t λ n t n = λ t λ t λ n t n λ t n λ t n λ n t nn

82 5 DIAGONALIZÁLHATÓ ENDOMORFIZMUSOK MÁTRIXOK 8 ahol t i a T mátrix i-edik oszlopa Tehát A t t t n = λ t λ t λ n t n ahonnan At = λ t, At = λ t,, At n = λ n t n, vagyis λ i sajátértéke és t i, i =, n sajátvektora az A mátrixnak 56 Tétel Különböz párosával sajátértékekhez λ, λ,, λ n, λ i λ j, i j tartozó sajátvektorok X, X,, X n lineárisan függetlenek Bizonyítás Feltételezzük, hogy X,, X n sajátvektorok lineárisan függ ek Ezekb l kiemeljük a maximális számú lineárisan független vektorokat, például az els r-et r < n: X,, X r Akkor X r+ felírható mint 5 X r+ = α X + + α r X r amit A-val beszorozva és felhasználva, hogy AX i = λ i X i következik, hogy 5 α λ X + + α r λ r X r λ r+ X r+ = Kivonva a 5-ból a 5 képletet amit el z leg λ r+ -el szoroztunk kapjuk, hogy α λ λ r+ X + + α r λ r λ r+ X r = Mivel X,, X r lineárisan függetlenek α λ λ r+ = = α r λ r λ r+ = és mivel λ i λ j α = = α r = vagyis 5-ben X r+ = v hamis A tételb l következik, hogy ha a sajátértékek mind különböznek, akkor az n dimenziós V vektortérben az {X,, X n } lineárisan független vektorok egy bázist alkotnak, bázis amelyben az endomorzmus mátrixa diagonális

83 5 DIAGONALIZÁLHATÓ ENDOMORFIZMUSOK MÁTRIXOK Következmény Ha az A mátrix λ,, λ n sajátértékei párosával különböznek egymástól λ i λ j, akkor az A diagonalizálható 58 Példa A = λ 3 = 3 tehát A diagonalizálható és D = sajátértékei: λ =, λ =, 3 A diagonalizáláshoz nem szükséges, hogy a sajátértékek mind különbözzenek 59 Tétel Az f End V endomorzmus A mátrix diagonalizálható ha: a P A λ karakterisztikus polinomnak n gyöke van K-ban: λ, λ,, λ n ; m alg λ i = m geom λ i, i =, n 5 Példa A = 3, P A λ = λ 3 9λ + 5λ 7, λ, =, λ 3 = 7 m alg λ =, m alg λ 3 = X = α + β, X = γ m geom λ =, m geom λ 3 = 3

84 5 SZIMMETRIKUS MÁTRIXOK DIAGONALIZÁLÁSA 84 A D = 7 v =, v = Igazoljuk, hogy: A keresett bázis: B V, v 3 = 3 = {v, v, v 3 }, ahol A = nem diagonalizálható; 3 5 a b A = nem diagonalizálható; a a b 3 A = diagonalizálható ha a d + 4bc c d 3 4 A = 4 3, A = 4 6 4, A = 3 8 3, A = 7 5 λ = λ =, λ 3 = Szimmetrikus mátrixok diagonalizálása Különleges tulajdonságaiknak köszönhet en, a szimmetrikus mátrixok diagonalizálása sajátos 5 Definíció Az A M n R mátrixot szimmetrikusnak nevezzük ha szimmetrikus a f átlóra nézve, vagyis 5 A = A T

85 5 SZIMMETRIKUS MÁTRIXOK DIAGONALIZÁLÁSA 85 5 Példa A = szimmetrikus mátrix Mivel az ortogonális mátrixok inverze megegyezik a transzponáltjukkal Q = Q T, felmerül a kérdés milyen feltételek mellett diagonalizálható egy A mátrix egy ortogonális mátrixszal vagyis T AT = diag = D és T ortogonális Ha egy ilyen T = Q mátrix létezik akkor A = QDQ = QDQ t és tehát A szimmetrikus A t = QDQ t t = Q t t D t Q t = QDQ t = A 53 Tétel Ha az A M n R mátrix szimmetrikus: A = A T, akkor a sajátértékei valósak és különböz sajátértékekhez tartozó sajátvektor-halmazok ortogonálisak: λ i λ j V λ i V λ j Bizonyítás Legyen X i V λ i és X j V λ j két különböz λ i λ j sajátértékhez tartozó sajátvektor Figyelembe véve, hogy két, u és v, oszlopvektor skaláris szorzata felírható mint következik, hogy u, v = v T u, AX i, X j = X T j AX i = A T X j T Xi = X i, A T X j = Xi, AX j Innen, az AX i = λ i X i, AX j = λ j X j egyenl ségeket felhasználva kapjuk, hogy: λ i X i, X j = X i, λ j X j, vagyis λ i λ j X i, X j = X i, X j = X i X j

86 5 SZIMMETRIKUS MÁTRIXOK DIAGONALIZÁLÁSA 86 Tehát az A mátrixot ortogonalizáló Q mátrix oszlopai vagy eleve ortogonálisak ha különböz sajátértékhez tartoznak, vagy ortogonális alakra hozhatók például Gram-Schmidt eljárással 5 A = QDQ t ahol Q ortogonális mátrix, D pedig diagonális mátrix amelynek átlóján sajátértékek vannak 54 Példa A =, λ = X = x és λ = 3 Y = y Mivel λ λ, ami számítással is igazolható Tehát az A mátrix { } a B =, ortogonális bázisban diagonális alakú: A D = T AT = ahol T = 3 az áttérési mátrix a kanonikus bázisból a B bázisba Normálással, a B bázis helyett használhatunk } egy ortonormált bázist: B = {, mátrixhoz vezet: Q = A = 8, 4 4 4, amely egy ortogonális áttérési,,

87 5 SZIMMETRIKUS MÁTRIXOK DIAGONALIZÁLÁSA 87 3 A =,,, A = 3,,, 3 7 Az 5 képletben a Q mátrixot ortogonális vektorokra felbontva az A mátrix úgy nevezett spektrális felbontását kapjuk: λ q t λ A = q q q n q t = λ n qn t = λ q λ q λq n q t q t q t n 53 A = λ q q t + λ q q t + + λ q n qn t 55 Példa A =, λ = X = 3 Y = Q = A = vagyis A = 3 +3 és λ = + =

88 53 ALKALMAZÁSOK Alkalmazások 53 Mátrix hatvány, mátrix exponenciális Ha egy A mátrix diagonalizálható: A = T DT akkor a k-ik hatványát a következ képpen számítjuk ki A k = T DT T DT T DT = T D k T, tehát 53 A k = T λ k λ k T A = 56 Példa Számítsuk ki A ha A = 7 5 Mátrix exponenciális, A = 3, 57 Definíció Egy A mátrix exponenciális alakján az alábbi kifejezést értjük: e ta = I + t! A + t! A + t3 3! A3 + Ehhez hasonló mátrixok a lineáris dierenciál egyenletrendszer kapcsán merül fel ugyanis a ẋ t = Ax t x = x dierenciál egyenletrendszer megoldása x t = e ta x

89 53 ALKALMAZÁSOK 89 Az e A kiszámításához használjuk az A = T DT felbontást, tehát e A = e T DT = I +! T DT +! T D T + = = T I +! D + e λ! D + T = T e λ T Hasonlóan 53 e ta = T e λ t e λ t T 3 58 Példa A =, e A =? 4 3 A = tehát e A = = e e e e e e = e + e e e ẋ t = x t 59 Példa Oldjuk meg a ẋ t = x t + 3x t, t x = [, ], dierenciál egyenletrendszert! x = 3

90 53 ALKALMAZÁSOK 9 A dierenciál egyenletrendszer átírható ẋ t = A x t, x = x, x = alakra ahol A = Az A mátrix x 3 3 felbontása A =, ahonnan e ta = e t e t e t e t e t + e t = e t e t e t + e t és a ddierenciál egyenletrendszer megoldása: x t = e ta e t e t e t + e t e t + e t x = =, t [, ], e t e t e t + e t 3 e t + 4e t ami deriválással ellenörízhet 53 Fibonacci sorozat 53 Definíció Fibonacci sorozatnak nevezzük a ϕ n+ = ϕ n + ϕ n, rekurzív képlettel megadott sorozatot ahol ϕ =, ϕ = 53 Példa ϕ = ϕ + ϕ =, ϕ 3 = ϕ + ϕ =, tehát a Fibonacci sorozat els tagjai:,,,, 3, 5, 8, 3,, 53 Tétel A Fibonacci sorozat általános tagja ϕ n = n n

91 53 ALKALMAZÁSOK 9 Bizonyítás A ϕ, ϕ, ϕ, sorozat két egymásutáni tag: a, b segítségével a következ tagot az alábbi módon állítjuk el : n lépés a b a + b n lépés a b a + b Ennek érdekében értelmezzük az F : R R a b F = b a + b endomorzmust, amelynek mátrixa a kanonikus bázisban: [F ] Bk = A = Az F transzformációnak a segítségével a Fibonacci számokat a következ képpen hozzuk létre: ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ n ϕ n F =, F =,, F = ϕ ϕ ϕ ϕ 3 ϕ n ϕ n+ A transzformáció kompozícióját használva a tagok kiszámítása visszavezethet az els két tagra ϕ ϕ ϕ ϕ 3 = F = F ϕ ϕ ϕ ϕ = F F ϕ ϕ = F ϕ ϕ = = F n ϕ n ϕ n+ = F ϕ n ϕ n = F F ϕ n ϕ n ϕ ϕ

92 53 ALKALMAZÁSOK 9 ϕ A = R vektor felírásához az A szimmetrikus ϕ mátrix sajátvektoraiból alkotott ortogonális bázist használjuk A karakterisztikus egyenletb l λ P λ A = det A λi = = λ λ = λ kiszámítjuk a sajátértékeket: λ, = ± 5 majd az AX = λ X, illetve AY = λ Y egyenletekb l kiszámítjuk az X, Y ortogonális sajátvektorokat és a hozzátartozó sajátvektorok λ = + 5 X = +, λ 5 = 5 Y = 5 { } A B = +, 5 ortogonális bázisban a vektor 5 felírása a következ = α β 5 ahol α = 5, β = 5 Tehát az F additivitását és homogénitását felhasználva következik, hogy F n = F n αx + βy = αf n X + βf n Y = = αa n X + βa n Y = αλ n X + βλ n Y = = + n n 5

93 53 ALKALMAZÁSOK 93 Tehát ahonnan ϕ n ϕ n+ = 5 ϕ n = 5 + n n+ + n 5 n 5 5 n 5 n+, 533 Gyakorlat f =, f =, f n+ = f n + f n f =, f =, f n+ = f n + f n 3 L =, L =, L n+ = L n + L n Lucas -féle számok

94 6 FEJEZET Bilineáris alakok, négyzetes alakok 6 Bilineáris alakok Legyen V, +,, K egy n dimenziós vektortér 6 Definíció A β : V V K leképezést bilineáris alaknak nevezzük, ha lineáris mindkét változójára nézve: 6 β x + x, y = β x, y + β x, y, β αx, y = αβ x, y ; β x, y + y = β x, y + β x, y, β x, αy = αβ x, y A bilineáris alakok halmazát β V, K = {β : V V K β bilineáris}- val jelöljük 6 Példa β : R 3 R 3 R, β x, y = x y + x y + x 3 y 3, x = x, x, x 3 t, y = y, y, y 3 t R 3 63 Tétel A β V, K halmaz vektoteret alkot Bizonyítás Ha β, β β V, K és α K akkor β + β x, y = β x, y + β x, y, α β x, y = α β x, y A lineáris transzformációkhoz hasonlóan, a bilineáris alakokat is mátrixokkal azonosítjuk Az n dimenziós V vektortérben legyen B = {e, e,, e n } egy bázis és x,, x n t, y,, y n t az x illetve y vektorok koordinátái 94

95 6 BILINEÁRIS ALAKOK 95 az adott bázisban Akkor a β : V V K bilineáris alak felírható: β x, y = β x e + + x n e n, y = β x e, y + + β x n e n, y = = x β e, y + + x n β e, y = = x β e, y e + + y n e n + + x n β e, y e + + y n e n = = x β e, e y + x β e, e y + + x n β e n, e n y n = a a a n y a = x x n a a n, y n a n a n a nn ahol a ij = β e i, e j 64 Tétel A β : V V K bilineáris alak felírható az alábbi alakban: a a a n 6 β x, y = x t a a a y, a n a n a nn ahol x = x,, x n t V, y = y,, y n t V 65 Definíció Az a ij i,j=,n = A = [β] B mátrixot a β bilineáris alak mátrixának nevezzük a B bázisban 66 Példa Ha β : R R R, β x, y = x y + x y, x = x, x t, y = y, y t R y, akkor β x, y = x x y vagyis a B kanonikus bázisban [β] B =, míg a B = {e, e },

96 e = 3 3, e = 6 BILINEÁRIS ALAKOK 96 β e bázisban [β] B =, e β e, e = β e, e β e, e 67 Tétel A bilineáris alakok halmaza izomorf az n n-es mátrixok halmazával: 63 β V, K = M n K, vagyis egy adott bázisban minden bilineáris alakhoz egyértelm en rendelhet hozzá egy n n-es mátrix 68 Definíció A β bilineáris alakot szimmetrikusnak nevezzük ha β x, y = β y, x, és antiszimmetrikusnak ha β x, y = β y, x, x, y V V 69 Tétel A β bilineáris alak szimmetrikus A = [β] B szimmetrikus A = A t A következ kben vizsgáljuk hogyan módosul a bilineáris alak mátrixa báziscsere esetén Legyen B = {e, e,, e n } és B = {e, e,, e n} két bázisa a V vektortérnek és T az áttérési mátrix a B és B bázisok között 6 Tétel Ha [β] B és [β] B -vel jelöljük a β : V V K bilineáris alak mátrixait a B illetve B bázisokban akkor: 64 [β] B = T t [β] B T 6 Példa Az el bbi példában [β] B = = T t 3 [β] B T = = [β] 3 B, T =

97 6 NÉGYZETES KVADRATIKUS ALAKOK 97 Kiemelt fontosságúak az olyan bázisok amelyben a bilineáris alak mátrixa diagonális [β] B = diag λ,, λ n Ebben az esetben a bilineáris alakot kanonikus alakúnak nevezzük és β k -val jelöljük: 65 β k x, y = x x n λ y = λ x y ++λ n x n y n λ n y n 6 Definíció Az u, v V vektorokat ortogonálisnak nevezzük a β -ra nézve ha β u, v = A {v,, v n } vektorrendszer ortogonális ha β v i, v j =, i j 63 Példa Ha β : R R R, β x, y = x y + x y, x = x, x t, y = y, y t R, akkor v =, v = ortogonálisak β-ra nézve mert β v, v = 6 Négyzetes kvadratikus alakok Legyen β : V V K egy szimmetrikus bilineáris alak ahol V egy n dimenziós vektortér 64 Definíció A q : V K, q x = β x, x, x V leképezést a β-hoz tartozó négyzetes alaknak nevezzük 65 Példa Ha β : R R R, β x, y = x y + x y + y x y = x x y x q x = β x, x = x x = x + 4x x x

98 6 NÉGYZETES KVADRATIKUS ALAKOK Tétel A q : V K négyzetes alak felírható az alábbi alakban: 6 n q x = a x +a x ++a nn x n+a x x ++a n,n x n x n = vagy mátrix alakban: 6 a a a n a a a n q x = x x n ahol x = x x n a n a n a nn x x n i= n a ij x i x j, j= = x t Ax = x, Ax, V és A egy szimmetrikus mátrix a ij = a ji, i, j A q alakját kanonikusnak nevezzük ha a mátrixa diagonális q x = x t Dx, D = diag λ λ n : 63 q x = x x n λ x = λ x ++λ n x n A továbbiakban olyan λ n x n 64 x = T y, lineáris transzformációkat keresünk amelyre a négyzetes alak kanonikus formát ölt x t Ax = T y t A T y = y t T t AT y = y t Dy,

99 6 NÉGYZETES KVADRATIKUS ALAKOK 99 ugyanis ekkor a 63 képletb l következtethetünk a q el jelére, például q x > ha λ,, λ n >, illetve q x < ha λ,, λ n < 67 Definíció Egy q : V R valós négyzetes alak a pozitív denit PD ha q x >, x ; b negatív denit ND ha q x <, x ; c pozitív szemidenit PSzD ha q x, x; d negatív szemidenit NSzD ha q x, x; e indenit I ha q x nem el jeltartó 68 Példa q : R 3 R, q x = x + x + x 3 PD, q x = x 3x x 3 ND, q x = x + x 3 PSz, q x = x 4x 3 NSz, q x = x x I 69 Példa Ha a q : R R, q x = x + x + x x 3 négyzetes alakban a x = y 3 y, x = 3 y, vagyis x = 3 lineáris transzformációt használjuk akkor a q négyzetes alak a következ kanonikus alakba írható: q y = y + 3 y Ha pedig a x = y y, x = y, vagyis x = y, lineáris transzformációt használjuk akkor a q a következ kanonikus alakba írható: q y = y + 3 y Habár különböz transzformációk különböz kanonikus alakot eredményeznek, a négyzetes alak el jele signaturája nem módosul 6 Tétel Sylvester tehetetlenségi tétele Egy négyzetes forma kanonikus alakja, transzformációtól függetlenül, mindig ugyanannyi pozitív, negatív és nulla tagot tartalmaz 6 Négyzetes alakok kanonikus alakra hozatala y,

100 6 NÉGYZETES KVADRATIKUS ALAKOK 6 Jacobi módszer Legyen q : R n R egy négyzetes alak q x = x x n A x, ahol A = a a n, a ij = x n a ji Jelöljük 65 =, = a, = a a a a a n a nn,, n = det A 6 Tétel Jacobi-Sylvester Ha i, i =, n, akkor létezik egy x = T y transzformáció amely következtében q kanonikus alakja: 66 q y = y + y + + n y n n A T = T o T o Tn o transzformációt az e i = kanonikus vektorok segítségével állítjuk el : t T o = c e 67 T o = c e + c e T o 3 = c 3 e + c 3 e + c 33 e 3

101 6 NÉGYZETES KVADRATIKUS ALAKOK ahol c = a a a a c =, c = = a a 3 a a 3 a a 3 a a 3 a 3 a 33 a 3 a 33 c 3 =, c 3 = c 33 = 3 3 a a a a a 3 a 3 = Következmény Ha i >, i =, n, vagyis >, >, 3 >, q PD Ha i i >, i =, n, vagyis <, >, 3 <, q ND 63 Példa Legyen q : R R, q x = x + x + x x x q x = x x, x = = >, = = 3 >, tehát q x > 3 pozitív denit Az x = T y ahol T = 3 transzformáció következtében a négyzetes alak átalakul q y = y t T t AT y = y t Dy ahol D =, tehát q y = y + 3 y A T 3

102 T = 6 NÉGYZETES KVADRATIKUS ALAKOK transzformációt a 67 képlettel határozzuk meg: T o = e =, T o 3 = e + e = Legyen q : R 3 R, q x = 3x + 3x + 4x 3 4x x x x 3, 3 x q x = x x x 3 3 x 4 x 3 3 = 3 = 3 >, = 3 = 5 >, 3 = 3 3 = 7 >, tehát q pozitív denit Az x = 4 T y ahol T = q kanonikus alakja: q y = 3 y y + 5 transzformáció következt ben a 7 y 3 6 Gauss-Lagrange módszer Legyen q : R n R, q x = i,j a ijx i x j egy négyzetes alak i Feltételezzük, hogy a ii Legyen a, akkor q x = a x + x + = a }{{} a x + a wx + w w + = =w = a x + w w + a a } {{ } =q

103 6 NÉGYZETES KVADRATIKUS ALAKOK 3 ahol q nem függ x -t l stb Az eljárást q -el folytatjuk míg egy változó marad y = x + x y = x x ii Ha a ii =, i akkor változócserét alkalmazunk: y 3 = x 3 és ezzel y együtthatója, majd folytatjuk az i lépéssel 64 Példa q x = 5x + 6x + 4x 3 4x x 4x x 3 = 5x + x x x 3 +6x + 4x 3 = } {{ } =w = 5 x + x 5w + w w + 6x + 4x 3 = 5 5 5x + w w 5 + 6x + 4x 3 = = 5 5x x x 3 x x 3 + 6x + 4x 5 3 } {{ } =q q = 5 x x 3 + 6x + 4x 3 = 6 5 x x x x 3 = 6 = 5 x 6 + x w + w w = Tehát q = 5 y y y 3 ahol y = 5x x x 3 6 y = x 5 4x 5 3 y 3 = x 3 63 Sajátérték, sajátvektor módszer Mivel q x = x t Ax négyzetes alak A M n R mátrixa szimmetrikus, ezért a sajátértékei valósak és az A mátrix diagonalizálható egy Q ortogonális mátrixxal: Q t AQ = D = diag λ, λ,, λ n,

104 6 NÉGYZETES KVADRATIKUS ALAKOK 4 ahol λ i az A sajátértékei Az 68 x = Qy változócserét eszközölve következik, hogy x t Ax = Qy t A Qy = y t Q t AQy = y t Dy = λ λ = y y y n λ n = λ y + λ y + + λ n yn vagyis 69 q y = λ y + λ y + + λ n yn y y y n = 65 Tétel i q x > λ i >, i =, n; ii q x < λ i <, i =, n; iii q x λ i, i =, n; iv q x λ i, i =, n; v q indenit k, l indexek úh λ k λ l < 66 Példa q x = x + 4x x + 4x A = 5 5 4, λ = 5 5 X =, λ = 5 Y = = Q = Q t y AQ = = D q y = y y D = 5 y 5y PSz Az x és y változók közötti kapcsolatot a 68 transzformációból kapjuk x = Qy = y

105 63 ALKALMAZÁSOK: KÚPSZELETEK 5 vagyis { x = 5 y + 5 y x = 5 y + 5 y Mivel Q ortogonális következik, hogy Q = Q t, tehát y = Q t x, ahonnan kifejezhet az y változó: { y = 5 x 5 x y = 5 x + 5 x 63 Alkalmazások: kúpszeletek Egy kúp metszete egy síkkal lehet: ellipszis kör, hiperbola, parabola Ezeket nemelfajult kúpszeleteknek nevezzük Az alábbi ábrákon láthatóak az említett görbék és a kanonikus egyenletük