Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál"

Átírás

1 Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál

2

3 Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek Alterek 3 3 Lineáris függetlenség, bázis 5 4 Bázis transzformáció 34 4 Bázis ellen rzés 36 4 Mátrix rangja Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lineáris programozás 4 3 fejezet Euklideszi terek 4 3 Skaláris szorzat 4 3 Norma, távolság, szög Gram-Schmidt ortogonalizáció Alkalmazások 5 34 QR faktorizáció 5 34 Fourier sor 55 4 fejezet Lineáris transzformációk 58 4 Izomorzmus, lineáris transzformációk kompozíciója 6 3

4 TARTALOMJEGYZÉK 4 4 Lineáris transzformációk mátrixa Endomorzmus mátrix változása báziscsere esetén Alkalmazások- Geometriai transzformációk a térben 7 5 fejezet Sajátérték, sajátvektor 76 5 Diagonalizálható endomorzmusok mátrixok 8 5 Szimmetrikus mátrixok diagonalizálása Alkalmazások Mátrix hatvány, mátrix exponenciális Fibonacci sorozat 9 6 fejezet Bilineáris alakok, négyzetes alakok 94 6 Bilineáris alakok 94 6 Négyzetes kvadratikus alakok 97 6 Négyzetes alakok kanonikus alakra hozatala 99 6 Jacobi módszer 6 Gauss-Lagrange módszer 63 Sajátérték, sajátvektor módszer 3 63 Alkalmazások: kúpszeletek 5 Irodalomjegyzék 4

5 FEJEZET Vektorgeometria Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük A vektorokat vastagított bet kkel, vagy nagy bet vel jelöljük: u, v, x, i, j, k, AB, AB A a kezdeti, míg B a vektor végpontja A vektorokat három dolog jellemzi: irány, irányítás, hossz A szabadvektorokat eltolhatjuk Ha két vektor iránya, irányítása és hossza megegyezik akkor eltolással a vektorok pontosan lefedik egymást Ebben az esetben a vektorokat ekvivalensnek u v, vagy egyenl knek nevezzük u = v A vektorok halmazán értelmezzük az összeadás m veletet: u + v = w ahol w az u és v vektorok ered je A vektorok összeadása kommutatív és asszociatív: u + v = v + u, 5

6 VEKTORGEOMETRIA 6 u + v +w = u+ v + w A zéró hosszúságú vektort nullvektor nak nevezzük és vagy θ-vel jelöljük: 3 v + = v A v-vel azonos irányú és hosszúságú de ellentétes irányítású vektort v ellentett vektor nak nevezzük 4 v+ v = Az említett tulajdonságok igazak úgy a síkban mint a térben, tehát a sík R illetve a tér R 3 vektorai a vektorok összeadására nézve egy kommutatív csoportot alkot Az R -en R 3 -ben értelmezzük a vektorok valós számmal skalárral való szorzását Ha v egy nem-nulla vektor és λ R akkor λv egy λ -szor hosszabb vektor v-nél, vele azonos irányítású ha λ > és ellentétes irányítású ha λ < A vektorok különbsége is skalárral való szorzatot jelenti u v = u + v:

7 VEKTORGEOMETRIA 7 A skalárral való szorzásra nézve a következ tulajdonságok érvényesülnek: 5 λ + µ v = λ v+ µv 6 λ v + w = λ v+ λw 7 γµ v = γ µv 8 v = v Ha u, v vektorok és α, β skalárok R-b l akkor az 9 αu + βv vektort az u és v lineáris kombinációjának nevezzük Példa u + 3v, u v Ha két vektor párhuzamos kollineáris akkor az egyik felírható a másik számszorzataként u = λv A λ skalár egyértelm en meghatározott Ha a síkban az u és v vektorok nem párhuzamosak akkor bármely w vektor a síkból felbontható u és v vektorok egyértelm lineáris kombinációjaként: w = αu + βv Definíció Az u, v vektorokat lineárisan függetlenek nek nevezzük, ha az αu + βv =

8 VEKTORGEOMETRIA 8 egyenl ségb l következik, hogy α = és β = A síkban párhuzamos vektor lineárisan függ mert ha α αu + βv = u = β α v A térben 3 vektor lineárisan függ ha a három vektor egy síkban van αu + β v+ γw = u = β α v γ α w 3 Definíció Az u, v, w vektorokat lineárisan függetlenek nek nevezzük, ha az 3 αu + βv + γw = egyenl ségb l következik, hogy α = β = γ = 4 Definíció A síkbeli térbeli vektorok egy lineárisan független vektorpárját vektorhármasát bázisnak nevezzük A legismertebb az i, j, k egységvektorok hosszúk= a tengelyek mentén alkotta ún ortonormált bázis A tér bármely vektora egyértelm en bontható fel az egységvektorok segítségével: 4 v = αi + βj + γk, vagy 5 x = x i + x j + x 3 k

9 VEKTORGEOMETRIA 9 Az x, x, x 3 számokat az x vektor koordinátáinak nevezzük és az x t x = = x x x 3 jelölést használjuk x x 3 5 Példa a x = 3 = i 3j, = = i + j t t t b i =, j =, k = A sík tér minden pontjához hozzátartozik egy origó középpontú helyvektor és fordítva minden helyvektorhoz hozzárendelhet egy pont Tehát egy egyértelm megfeleltetés létezik a sík pontjai és a helyvektorok között Koordinátákra lebontva a vektorok közötti tulajdonságok: x = y x = y és x = y, ahol x, x, y, y az x = x x, illetve y = y y vektorok koordinátái; x + y = x x + x x = x +y x +y λx = λx λx A térben hasonló tulajdonságok igazak 6 Példa = = 9 9,

10 + 3 VEKTOROK NORMÁJA = 5 A vektorok koordinátáit használva az asszociativitás bizonyítása a következ R -ben u u + v +w = + + u v w u + v w u + v + w = + = u + v w u + v + w u v + w = + = u+ v + w v + w u v w Vektorok normája Egy v vektor hosszát normának nevezzük és v -vel jelöljük Az R síkban a v = v v vektor normáját a Pitagorasz tétellel számítjuk ki: v = v + v

11 VEKTOROK NORMÁJA Hasonlóan járunk el R 3 -ben v = v + v + v3, ahol v = v v v 3 R 3 7 Példa Ha v = 4 3 akkor v = = 5 A nullvektor az egyetlen vektor amelynek hossza nulla A síkban a P x, y, P x, y pontok közötti távolság egyenl a x P P = x y y vektor hosszával, vagyis 3 d P, P = P P = x x + y y A térben a P x, y, z, P x, y, z pontok közötti távolságot hasonlóan számítjuk ki: d P, P = P P = x x + y y + z z

12 VEKTOROK NORMÁJA 8 Példa A P 3, 4,, P, 6, pontok közötti távolság d P, P = P P = = 3 Mivel λv vektor λ -szor hosszabb mint v következik, hogy 4 λv = λ v A gyakorlatban gyakran észszer bb ha a v vektor helyett a vele ugyanabban az irányba mutató e v egységvektort használjuk Az e v vektort úgy kapjuk, hogy az eredeti vektort elosztjuk a hosszával: 5 e v = v v

13 VEKTOROK NORMÁJA 3 Valóban, a 4 képletb l következik, hogy e v = v v = A síkban az e v = e e v v = vektor koordinátáit kifejezhetjük mint e = e v cos α = cos α, illetve e = cos β, ahol α, β az e v v vektor hajlásszöge a tengelyekkel Tehát a síkban az e v egységvektor koordinátái: e v cos α =, míg a térben cos β cos α 6 e v = cos β, cos γ ahol α, β, γ a v vektor hajlásszöge a tengelyekkel Az e v vektort a v vektor iránycosinusának is nevezik 6 9 Példa Számítsuk ki a v =, illetve u = vektorok iránycosinusát! Bizonyítás v = tehát a 5 képletb l e v = 6 = Hasonlóan e u = = 5 4 Példa Számítsuk ki az u vektor v vektorra es vetületének hosszát és a vektort Tétel Ha u és v két vektor akkor igaz az úgy nevezett háromszög egyenl tlenség: 7 u + v u + v 3 3 3

14 VEKTOROK SKALÁRIS SZORZATA 4 Bizonyítás A tétel mértani jelentése: egy háromszögben egy oldal hossza mindig kisebb vagy egyenl a másik két oldal hosszának az összegénél Vektorok skaláris szorzata Definíció Két u, v vektor skaláris szorzat án a u v = u v cos ϕ számot értjük, ahol ϕ [, π a vektorok által bezárt szög 3 Tétel Két vektor mer leges egymásra akkor és csak akkor, ha a két vektor skaláris szorzata zéró Bizonyítás u v ϕ = π cos ϕ = u v = 4 Példa i i= i i cos =, hasonlóan j j = k k = i j= i j cos π =, j k=k i= 5 Tétel Az x = x x t x 3, y = y y t y 3 vektorok skaláris szorzata x y = x y + x y + x 3 y 3 Bizonyítás x y = x i + x j + x 3 k y i + y j + y 3 k = x y ī + x y ī j + + x 3 y 3 k = x y + x y + x 3 y 3 A skaláris szorzatot felhasználhatjuk egy vektor hosszának a kiszámítására, ugyanis: x x = x + x + x 3 = x x cos 3 x = x x

15 3 VEKTOROK VEKTORIÁLIS SZORZATA 5 6 Példa Számítsuk ki az alábbi vektorok skaláris szorzatát, hosszát és az általuk bezárt szöget: x =, y = x y = + = 3, x x = + + = 6, y y = 6 és a képletb l vagyis ϕ = π 3 cos ϕ = x = 6, y = 6, x y x y = 3 = 6 6, 7 Példa Határozzuk meg a k R paramétert úgy, hogy az x =, y = vektorok mer legesek legyenek egymásra k k Bizonyítás A mer legességi feltételb l x y = következik, hogy 4 + k =, vagyis k = ± Az ismertetett jelölésekkel bemutatunk alább egy pár ismert tételt: x y x + y = x + y Pitagorasz-tétel; x + y + x y = x + y paralelogramma azonosság; 3 x y = x + y x y koszinusztétel; 4 x = y akkor x+y x y rombusz átlói mer legesek 3 Vektorok vektoriális szorzata 8 Definíció Két vektor x,y R 3 vektoriális szorzatán jel x y azt a z = x y vektort értjük amelynek

16 3 VEKTOROK VEKTORIÁLIS SZORZATA 6 iránya mer leges az x és y vektorok síkjára 3 z x, y ; irányítása a jobb kéz szabály szerint történik; hossza 3 z = x y sin ϕ, ahol ϕ [, π az x és y vektorok hajlásszöge A z vektor irányításából következik, hogy y x = x y 9 Tétel Két vektor akkor és csak akkor párhuzamos egymással ha vektoriális szorzatuk egyenl a nullvektorral Bizonyítás Feltételezzük, hogy x, y Ekkor x y = x y = x y sin ϕ = sin ϕ = ϕ = vagyis x y

17 3 VEKTOROK VEKTORIÁLIS SZORZATA 7 A tételb l következik, hogy 33 ī ī = j j = k k =, illetve 34 ī j = k, j k = ī, k ī = j j ī = k, k j = ī, ī k = j A fenti összefüggéseket gyelembe véve kiszámíthatjuk az x = x ī + x j + x 3 k és y = y y x x x 3 = y ī + y j + y 3 k vektorok vektoriális = szorzatát: y 3 x y = x ī + x j + x 3 k y ī + y j + y 3 k = x y ī ī + x y ī j+ + + x 3 y 3 k k = x y k x y 3 j + x 3 y ī, amit determináns segítségével átírható az alábbi alakra: ī j k 35 x y = x x x 3 y y y 3 Példa Ha x =,y = akkor 3 ī j k x y = 3 = ī + 5 j + k = 5

18 3 VEKTOROK VEKTORIÁLIS SZORZATA 8 Ellen rizzük, hogy z = x y valóban mer leges az x és y vektorokra: z x = =, z y = + = Példa Igazoljuk, hogy az ABCD egy trapéz, ahol A,,, B,,, C,, 4, D,,! Igazolni kell, hogy AB CD vagy AD BC Mivel AB =, CD = észrevehet, hogy CD = AB, vagyis a 3 6 vektorok párhuzamosak Az arányos koordináták a vektoriális szorzat determináns második és harmadik sorában jelennek meg, tehát a vektoriális szorzat nulla és a vektorok párhuzamosak ī j k AB CD = 3 = 6 Az 3 képlet mértani jelentése a következ : az y sin ϕ egyenl az x, y vektorok által alkotott paralelogramma m magasságával lásd alábbi ábrát, tehát z = x y sin ϕ = x m, vagyis az x y vektor hossza egyenl a paralelogramma területével: 36 x y = T paralelogramma

19 3 VEKTOROK VEKTORIÁLIS SZORZATA 9 Példa Számítsuk ki az ABC háromszög területét és a magasságok hosszait ha a csúcsok koordinátái A,,, B,,, C,,! Az ABC háromszög területe egyenl az AB = és AC = vektorok által kifeszített paralelogramma terület felével: T ABC = AB AC ī j k AB AC = = ī + j + k = AB AC = 6, tehát az ABC háromszög területe egyenl T ABC = 6 Legyen AA az AB oldal magassága Ekkor AA = T ABC AB = 6 = 3,

20 3 VEKTOROK VEKTORIÁLIS SZORZATA Hasonlóan számítjuk ki a többi magasság hosszát

21 FEJEZET Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek Legyen K egy kommutatív test leggyakrabban R, C, Z A V, halmazon értelmezünk egy bels összeadás + és egy küls skalárral való szorzás m veletet: bels m velet +: V V V, u, v V =! u + v V ; küls m velet : K V V, λ K, v V =! λ v V Definíció A V halmazt K feletti vektortérnek nevezzük jel V, +,, K ha: V, + kommutatív csoport; α, β K, u, v V V α u + v = α u + v ; V α + β v = αv + βv; V 3 αβ v = α βv ; V 4 v = v Ha K = R akkor valósvektortérr l, ha pedig K = C akkor komplex vektortérr l beszélünk Példa R 3, +,, R valós vektortér ahol + illetve m veleteket komponensenként végezzük x y x + y x αx x + y = x + y, α x = αx x 3 y 3 x 3 + y 3 x 3 αx 3

22 VEKTORTEREK Pl = 8, 3 = 3 66 Általánosan R n, +,, R vektortér Hasonlóan C n, +,, C 3 Példa M,3 R, +,, R ; M,3 R a 3-as mátrixok halmaza valós vektorteret alkot az ismert m veletekre nézve mátrixok összeadása, skalárral való szorzása: a c e b a b d + c d f e f = a + a b + b a c + c d + d, α c e + e f + f e b d f = Általánosan M m,n R, +,, R, M m,n C, +,, C vektorterek 4 Példa P, +,, R; P a legfeljebb másodfokú polinomok halmaza vektorteret alkot az ismert m veletekre nézve polinomok összeadása, skalárral való szorzása: ax + bx + c + a X + b X + c = a + a X + b + b X + c + c, α ax + bx + c = αax + αbx + αc Általánosan P n, +,, R vektortér 5 Példa F, +,, R; F = {f : R R} a valós függvények halmaza valós vektorteret alkot az ismert m veletekre nézve függvények összeadása, skalárral való szorzása: f + g x = f x + g x, αf x = αf x 6 Tétel α, β K, u, v V = i v = V, α V = V ; αa αc αe αb αd αf

23 ii α v = V = α = vagy v = V ; ALTEREK 3 iii α v = α v = α v, α β v = αv βv, α u v = αu αv Bizonyítás i v = + v = v + v V = v ii Ha α = akkor α v = V Ha α akkor létezik α ; beszorozva az egyenletet következik, hogy α α v = α V vagyis v = v = V Alterek Legyen V, +,, K egy vektortér és U részhalmaza V -nek: U V, U 7 Definíció Az U altere résztere a V vektortérnek, ha vektortér ugyanazon K test felett az örökölt m veletekre nézve Jelölése U K V 8 Példa { V } illetve V triviális alterei V -nek: { V } K V, V K V a a 9 Példa Ha U = b R 3 c = = b R R c R 3 az ismert m veletekre nézve Tétel U pontosan akkor altere V -nek, ha: i u, v U = u + v U zárt a vektorok összeadására; ii α K, v U szorzására = α v U zárt a vektorok skalárral való Következmény Ha U K V akkor: i vɛu = v U; ii α, α,, α n K, v, v,, v n U = α v +α v ++α n v n U

24 ALTEREK 4 a a Példa Az U = b R 3 c = = b c a a R 3 = V zárt a vektorok összeadására: b, b U a a a + a b + b = b + b U és zárt a skalárral való szorzásra: a a αa α R, b U α b = αb U, tehát U résztere V -nek U R V 3 Példa Ha V = R és U = {x, y R x + y } R akkor U R V mert, U de, / U 4 Definíció Az α v +α v ++α n v n összeget a v, v,, v n U vektorok α, α,, α n K együtthatókkal képzett lineáris kombinációjának nevezzük A lineáris kombinációk halmazát jel lin U vagy v,, v n az U halmaz burkának nevezzük: lin U = {α v + α v + + α n v n v, v,, v n U, α, α,, α n K } Az el bbi folyomány ii pontja szerint: U K V = lin U K V Két altér metszete is altér viszont az egyesítésük nem Ugyanakkor létezik egy legsz kebb altér ami tartalmazza mindkét alteret 5 Tétel Legyen U, U a V, +,, K vektortér két altere: U K V, U K V Akkor a U + U = {u + u u U, u U }

25 3 LINEÁRIS FÜGGETLENSÉG, BÁZIS 5 halmaz altér, mégpedig az U, U altereket tartalmazó legsz kebb altér Az el bbi állítás általánosítható U, U,, U n tetsz leges altérre U +U ++U n = {u + u + + u n u U, u U,, u n U n } 6 Definíció Azt mondjuk hogy V a U, U,, U n alterek direkt összege jel V = U U U n, ha v V pontosan egyféleképp írható fel v = u + u + + u n, u i U i, i =, n 7 Tétel Egy V vektortér akkor és csak akkor írható két altér U, U direkt összegére V = U U, ha i U + U = V, és ii U U = { V } 8 Példa A M n R, +,, R vektortér felírható mint a szimmetrikus S = {A M n R A t = A} és antiszimmetrikus A = {A M n R A t = A} mátrixok halmazával alkotott alterek direkt összege Bizonyítás Igazoljuk, hogy S és A valóban M n R alterei Ha A, B S, vagyis A t = A, B t = B akkor A + B t = A t +B t = A+B tehát A+B A Ha α R és A M n R akkor αa t = αa t = αa tehát αa A ahonnan A R M n R Hasonlóan S R M n R A M n = A S felbontást az el bbi tétel segítségével igazoljuk Bármilyen A mátrix felírható a következ mátrixok összegeként A = A+A t + A At, és igazolható, hogy A + At A és A At S: A + A t t = A t +A = A+A t és A A t t = A t A = A A t 3 Lineáris függetlenség, bázis A V, +,, K vektortérben legyen {v, v,, v n }, v i vektorrendszer V egy

26 3 LINEÁRIS FÜGGETLENSÉG, BÁZIS 6 9 Definíció A {v, v,, v n } vektorrendszert lineárisan függetlennek nevezzük ha: α v + α v + + α n v n = V α = α = = α n = Ha a rendszer nem lineárisan független akkor lineárisan összefügg nek nevezzük Példa R, +,, R vektortérben i v =, v = vektorokból álló rendszer lineárisan független mert; α v + α v = V α + α = V α α α + α α + α = + = V = α α α + α α + α =, tehát egy homogén lineáris egyenletrendszerhez jutottunk aminek a determinánsa det A = 3, következik, hogy az egyenletrendszernek egyetlen megoldása van - a triviális- α = α = 3 6 ii u =, u = vektorokból álló rendszer lineárisan függ Úgyszintén lineárisan függ a {w, w, w 3 } vektorrendszer ahol 3 w =, w =, w 3 = 3 Példa A P, +,, R vektortérben a {, X, X } vektorrendszer lioneárisan független mert α + α X + α 3 X = α = α = α 3 =

27 3 LINEÁRIS FÜGGETLENSÉG, BÁZIS 7 Példa A F, +,, R valós függvények vektorterében a { cos x, sin x, } függvények lineárisan összefügg k mert az α cos x + α sin x + α 3 = egyenl ség nem csak α = α = α 3 = -ra teljesül, hanem α =, α =, α 3 = Ha a {f, f,, f n } vektorrendszer függvényei n -szer folytonosan deriválhatóak, f i C n, i =,, n, akkor a rendszer lineáris függ ségét a f x f x f n x f x f x f n x 3 W x = f n x f n x f n n x Wronski-féle determináns segítségével tárgyaljuk, ugyanis a α f + α f + + α n f n = egyenl ség igaz kell legyen a triviálistól α i =, i =, n eltér értékekre is Az egyenl séget deriválva következik, hogy α f + α f + + α n f n = α f n + α f n + + α n f n n = vagyis a 3 f x f x f n x f x f x f n x f n x f n x f n n x α α α n =

28 3 LINEÁRIS FÜGGETLENSÉG, BÁZIS 8 homogén lineáris egyenletrendszernek a triviálistól eltér megoldása kell legyen, tehát a determinánsa egyenl nullával 3 Tétel i Ha {f, f,, f n } rendszer lineárisan összefügg akkor W x = ii Ha W x akkor a {f, f,, f n } vektorrendszer lineárisan független Bizonyítás ii A α f +α f + +α n f n = -ból deriválással a 3 homogén lineáris egyenletrendszerhez jutunk és ha a determinánsa nem nulla W x, akkor az egyenletrendszernek egyetlen megoldása van, a triviális α = α = = α n =, vagyis a függvények lineárisan függetlenek 4 Példa Az {, cos x, sin x} vektorrendszer lineárisan független cos x sin x mert W x = sin x cos x = sin x + cos x = cos x sin x Hasonlóan az {, cos x, sin x, cos x, sin x,, cos nx, sin nx} vektorrendszer lineárisan független Az el bbi példa esetében nem használhatjuk a tételt ugyanis W x = cos x sin x cos x sin x cos x sin x =, de a tétel nem rendelkezik cos x cos x mi történik ha a Wronski-féle determináns nulla

29 3 LINEÁRIS FÜGGETLENSÉG, BÁZIS 9 5 Tétel Ha {v, v,, v n } vektorrendszer lineárisan függ az egyik vektor felírható a többi függvényében: v k úh n v k = α i v i i = i k 6 Példa A Példa ii alpontjánál szerepl vektorok esetében: u = u, w 3 = w + w 7 Állítás i A { v, v,, v n } vektorrendszer lineárisan függ ii A {v, v, v,, v n } vektorrendszer lineárisan függ iii Ha {v, v,, v n } vektorrendszer lineárisan független = {v,, v n } vektorrendszer is lineárisan független iv Ha {v, v,, v n } vektorrendszer lineárisan függ = {v, v,, v n, w} vektorrendszer is lineárisan függ w V 8 Definíció A {v, v,, v n }, v i V vektorrendszert generátorrendszernek nevezzük, ha w V el állítható a v i, i =,, n vektorok lineáris kombinációjaként 9 Példa A {v, v, v 3 } 3 v =, v =, v 3 = 3 generátorrendszere R, +,, R vektortérnek A w = vektor felírható 4 5 R w = v + 3v v 3, vagy w = v + v v 3

30 3 LINEÁRIS FÜGGETLENSÉG, BÁZIS 3 Különös jelent ségük van az olyan generátorrendszereknek amelyek segítségével egy tetsz leges vektor egyértelm en állítható el Ezek az úgynevezett bázisok 3 Definíció Egy V, +,, K vektortér {v, v,, v n }, v i V vektorrendszerét bázisnak nevezzük, ha lineárisan független és generátorrendszer 3 Példa A v =, v = vektorok bázist alkotnak R, +,, R vektortérben Egy vektortérnek több bázisa is lehet; ezek közül különösen fontosak az úgynevezett kanonikus bázisok 3 Példa i A R 3, +,, R vektortérben {e, e, e 3 } kanonikus bázis e =, e =, e 3 = ii Az M R, +,, R vektortérben {E, E, E 3, E 4 } kanonikus bázis E =, E =, E 3 =, E 4 = iii A P, +,, R legfeljebb másodfokú polinomok vektorterében {, X, X } kanonikus bázis Úgyszintén bázis a {, X a, X a } vektorrendszer iv Az F, +,, R valós függvények vektorterében a {, cos x, sin x, cos x, sin x rendszer bázist alkot 33 Tétel Ha B = {v, v,, v n } bázisa a V, +,, K vektortérnek akkor minden w V vektor egyértelm en írható fel a B bázis vektoraival w V,!α,, α n K úh w = α v + + α n v n

31 3 LINEÁRIS FÜGGETLENSÉG, BÁZIS 3 Bizonyítás Mivel {v, v,, v n } generátor rendszer a lineáris kombinációjuk el állítja a w vektort w = α v + + α n v n Az egyértelm ség bizonyításához feltételezzük, hogy létezik egy másik felírása a w vektornak: w = β v + + β n v n Kivonva egymásból az egyenleteket kapjuk, hogy = α β v + + α n β n v n, vagyis, a v,, v n vektorok lineáris függetlenségét gyelembe véve következik, hogy α i β i =, i =, n 34 Definíció Ha egy w vektor felírható a B bázisban mint w = α v + + α n v n, akkor az α,, α n skalárokat a w vektor koordinátáinak nevezzük a B bázisban Jelölés: [w] B = α α α n t 35 Tétel Ha {v, v,, v n } lineárisan független rendszer és {u, u,, u m } generátorrendszere a V, +,, K vektortérnek, akkor n m Bizonyítás Feltételezzük, hogy n > m Mivel {u, u,, u m } generátorrendszer a segítségükkel el állíthatók az v,, v n vektorok: 33 v = k u + k u + + k m u m v n = k n u + k n u + + k mn u m A {v, v,, v n } vektorok lineárisan függetlenek tehát α v + + α n v n = α = = α n =, majd behelyettesítve a 33 képleteket és u i szerint rendezve kapjuk, hogy: α k + + α n k n u + + α k m + + α n k mn u m =

32 3 LINEÁRIS FÜGGETLENSÉG, BÁZIS 3 Ha a fenti képletben az u i vektorok együtthatói mind nullák nem szükségszer hiszen u i vektorok nem lineárian függetlenek akkor az állítás igaz és a következ m-soros, n -oszlopos m < n homogén lineáris egyenletrendszerhez jutunk: α k + + α n k n = α k m + + α n k mn = Következik, hogy a lineáris egyenletrendszer határozatlan tehát a triviálistól α = = α n = más megoldása is van, ami ellentmond a v i vektorok lineáris függetlenségének Az el bbi tétel következményeként állítható, hogy: 36 Tétel A V, +,, K vektortérnek minden bázisának ugyanannyi vektora van 37 Definíció Egy vektortér dimenzióján a bázisban lév elemek számát értjük, jelölése: dim V 38 Példa A 3 Példában a vektorterek dimenziója rendre dim R 3 = 3, dim M = 4, dim P = 3, dim F = A nullvektorból álló vektortér dimenziója zéró: dim { V } = a 39 Példa Legyen V = R 3 valós vektortér és U = b R 3 c = = c a b Mint láttuk U résztere V -nek: U R V, tehát vektortér Az U dimenziójaegyenl a bázisában lév vektorok számával, ugyanakkor a bármilyen w = b U vektor felbontható generálható mint

33 3 LINEÁRIS FÜGGETLENSÉG, BÁZIS 33 w = a + b, és igazolható, hogy, lineárisan független vektorok: α + α = α = α =, tehát bázist alkotnak az U térben Következik, hogy dim U = Az eddigi eredményekb az alábbi vektorrendszerek közötti összefüggések igazolhatók: 4 Állítás Ha egy V vektortér dimenziója n dim V = n és: i ha a {v, v,, v n } rendszer bázis tehát lineárisan független akkor a rendszerb l vektorokat kihagyva lineárisan független rendszert kapunk lásd Allítás 7 iii; ii ha a {v, v,, v n } rendszer bázis tehát generátor rendszer akkor a rendszerhez vektorokat hozzáadva generátor rendszert kapunk; iii ha az adott térben dim V = n n vektor v, v,, v n lineárisan független, akkor a {v, v,, v n } rendszer bázis 4 Példa Az M térben dim M = 4 és a A =, A =, A =, A =, vektorok lineárisan függetlenek tehát {A, A, A 3, A 4 } bázist alkot Az {A, A 3, A 4 } vektorrendszer lineárisan független, míg a {A, A, A 3, A 4, B} generátor rendszer B M 4 Tétel dim U U = dim U + dim U

34 4 BÁZIS TRANSZFORMÁCIÓ 34 4 Bázis transzformáció Ha V, +,, K vektortér dimenziója n = dim V és B = {e, e,, e n }, illetve B = {e, e,, e n} két bázisa akkor: 4 e = t e + t e + + t n e n e = t e + t e + + t n e n e e n = e e n T e n = t n e + t n e + + t nn e n 43 Definíció A t ij n i,j= = T M n K mátrixot áttérési vagy transzformációs mátrixnak nevezzük a B bázisból a B bázisba 44 Tétel Ha [x] B = x, x,, x n t, illetve [x] B = x, x,, x n t egy x V vektor koordinátái oszlop mátrix a B, illetve B bázisban, akkor 4 [x] B = T [x] B ahol T az áttérési mátrix Bizonyítás x = x e + + x n e n = e e n x = e e n [x] B x = x e ++x ne n = e e n x x n = e e n [x] B = e e n T [x] B x n e e n [x] B = e e n T [x] B [x] B = T [x] B

35 4 BÁZIS TRANSZFORMÁCIÓ 35 Mivel T áttérési mátrix két bázis között következik, hogy az oszlopai lineárisan függetlenek, tehát a T mátrix reguláris dett és létezik az inverze Beszorozva a 4 képletet balról T -el kapjuk, hogy: 43 [x] B = T [x] B 45 Példa R, +,, R vektortérben B = {e, e }, e =, e =, illetve B = {e, e }, e =, e = 3, és x = 4 e = e e, e = e + 3e = T = 3 x = e + 4e, x = e + e vagyis [x] B =, [x] 4 B = Ellen rzésképpen: [x] B = T [x] B Az alábbi eljárás segítségével egy V, +,, K vektortér B = {e, e,, e n } bázisvektorait egyesével kicserélve új bázist kapunk 46 Tétel [Kicserélési tétel] Legyen B = {e, e,, e n } egy V, +,, K, vektortér bázisa és [x] B = x, x,, x n t egy x V vektor koordinátái a B bázisban, vagyis x = x e ++x i e i ++x n e n Akkor: i x i B = {e, e,, e i, x, e i+,, e n } vektorrendszer bázist alkot ii Ha y, y,, y n t = [y] B és y, y,, y n t = [y] B egy y V vektor koordinátái a B és B bázisokban, akkor { y i yj x = i, j = i, j i x i y j x j y i x i Táblázat alakban a tétel a következ képpen alakítható:

36 Bázis x 4 BÁZIS TRANSZFORMÁCIÓ 36 y e x y e i x i y i e j x j y j e n x n y n Bázis x e x y x i y x y i x i y i x i e j x iy j x j y i x i e n x i y n x ny i x i Bizonyítás i Feltételezzük, hogy x i és igazoljuk, hogy {e,, x,, e 3 } lineárisan független α e + + α i x + + α n e n = α e + + α i x e + + x i e i + + x 3 e α n e n = α + α i x e + + α i x i e i + + α n + α i x n e n = Mivel e,, e n lineárisan függetlenek α + α i x =,, α i x i =, α n + α i x n = A feltételezés szerint x i tehát α i =, következik, hogy α = = α n = ii Egyfel l y = y e + + y i e i + + y n e n y = y e + + y i x + + y ne n = y e + + y i x e + + x i e i + + x n e n + + y ne n = y + y i x e + + y i x i e i + + y n + y i x n e n, és mivel a felírás egyértelm y = y + yi x,,y i = yi x i,, y n = yn + yi x n vagy kifejezve yj = A lemma alkalmazásai: bázis ellen rzés, lineáris egyenletrendszerek megoldása, mátrix inverzének, illetve rangjának a kiszámítása 4 Bázis ellen rzés

37 4 BÁZIS TRANSZFORMÁCIÓ Példa Igazoljuk, hogy v =, v = vektorok bázist alkotnak a R vektortérben Fejezzük ki a w = 3 vektort ebben a bázisban Az R térben a kanonikus bázisból indulunk ki B k = {e, e } ahol e = ás e = Ebben a bázisban a v, v vektorok felírása a következ v = e + e, v = v + v, w = 3e amit a táblázat oszlopaiba írunk Bázis v v w e 3 e Bázis v v w v 3 e 3 3 Bázis v v w v v Az utolsó táblázatból következik, hogy {v, v } vektorrendszer bázis és ebben a bázisban w = v + v 4 Mátrix rangja A B = {v, v,, v n } vektorrendszerb l maximálisan kiválasztható r lineárisan független vektorok számát a vektrorendszer rangjának nevezzük Egymásmellé helyezve a v i R m oszlopvektorokat egy A = v v v n M mn mátrixot kapunk aminek a rangja rang A értelmezés szerint azonos az r vektorrendszer rangjával A mátrix rangjára a következ állítások igazak: r min {m, n}, ranga t = ranga A kicserélési tételb l következik tehát, hogy a mátrix rangja egyenl a maximálisan kiválasztható f elemek számával

38 4 BÁZIS TRANSZFORMÁCIÓ Példa A = v, v, v 3, v 4 -vel jelölve az A mátrix oszlopvektorait a következ báziscserét eszközöljük a B = {e, e, e 3 } kanonikus bázissal: Bázis v v v 3 v 4 e e 4 e Bázis v v v 3 v 4 v e e Bázis v v v 3 v 4 v v e 3 A táblázatokból kit nik, hogy csak kétszer választható f elem tehát rang A = A f elemek kiválasztásából következik, hogy v és v lineárisan függetlenek és az utolsó két oszlopból v 3 = v, illetve v 4 = v + v 43 Lineáris egyenletrendszerek megoldása 49 Példa Oldjuk meg az alábbi határozott lineáris egyenletrendszert! { x + y = 3 x + y = Az egyenletrendszert felírhatjuk mint 3 x + y =, vagyis x v + y v = w,

39 4 BÁZIS TRANSZFORMÁCIÓ 39 3 ahol v =, v =, w = és a feladat visszavezet dik a w vektor el állítására a v, v vektorok lineáris kombinációjaként Az el bbi példában ennek a feladatnak{ a megoldása: v + v = x = w tehát azonosíthatjuk a megoldást: y = 5 Példa Oldjuk meg az alábbi határozatlan lineáris egyenletrendszert! { 3x x 4x 3 = x + 3x + x 3 = Az egyenletrendszert felírhatjuk mint 3 4 x + x + x 3 =, 3 vagyis x v + x v + x 3 v 3 = w, 3 4 ahol v =, v =, v 3 =, w = és a 3 feladat visszavezet dik a w vektor el állítására a v, v, v 3 vektorok lineáris kombinációjaként Bázis v v v 3 w e 3 4 e 3 Bázis v v v 3 w e 7 5 v 3 Bázis v v v 3 w v v 6

40 4 BÁZIS TRANSZFORMÁCIÓ 4 Az utolsó táblázatból következik, hogy {v, v 3 } bázis, v = v 7v 3 és { 7x + x 3 = 5 x x = 6, ahonnan x = t jelöléssel kapjuk a x = 6+t, x = t, x 3 = 5+7t, t R határozatlan megoldást 5 Példa Oldjuk meg a Z 5, +,, Z 5 vektortérben az alábbi egyenletrendszert: { ˆx + ˆ3x = ˆ3 ˆ3x + x = ˆ4 44 Lineáris programozás Egy asztalos m helyben két terméket gyártanak széket és asztalt és két alapanyagot használnak: PAL lemezt és deszkát Egy szék el állításához m PAL lemezt és m deszkát használnak, míg egy asztal el állításához 5m, illetve 5m - t PAL lemezb l 8,míg deszkából 8 m van raktáron Határozzuk meg az optimális gyártást ha egy széket 4 egységért, míg egy asztalt 5 egységért lehet értékesíteni! szék asztal raktár x + 3 PAL lemez 5 y x + deszka 5 8 y 8 x, y f = x + 3y max bevétel 4 5 x + 3y 4 x + y 6 x, y f = 4x + 35y max 5 Példa Ahhoz hogy egy gyógykezelés hatásos legyen egy betegnek 3 féle hatóanyagból h, h, h 3, naponta legalább,, 6

41 4 BÁZIS TRANSZFORMÁCIÓ 4 µg -ot kell beszednie A hatóanyagokat gyógyszerben A és B - ben találhatók; az A -ban, 3, µg van a h, h, h 3 hatóanyagokból, míg a B gyógyszerben 6, 7, 6 µg ugyanazokból a hatóanyagokból Ha az A, illetve B gyógyszer egységára 5, illetve 8 akkor adjuk meg a gyógyszerek optimálás adagolását! 38, 3 megoldás A B h 6 h 3 7 h3 6 6 f 5 8 P x + 6x 3x + 7x x + 6x 6 x, x f = 5x + 8x min D y + 3y + y 3 5 6y + 7y + 6y 3 8 y, y, y 3 g = y + y + 6y 3 max

42 3 FEJEZET Euklideszi terek 3 Skaláris szorzat Legyen V, +,, R egy valós vektortér 3 Definíció Az, : V V R leképezést valós skaláris szorzatnak nevezzük, ha u, v, w V vektorokra teljesülnek az alábbi feltételeket: Ssz nemnegatív SSz szimmetrikus SSz3 additív SSz4 homogén u, u, u, u = u = V ; u, v = v, u ; u + v, w = u, w + v, w ; ku, v = k u, v Egy V vektorteret amelyen egy skaláris szorzat van értelmezve euklideszi térnek nevezünk Jelölése V,, 3 Példa Az R n térben a, : R n R n R n 3 u, v = u v + u v + + u n v n = u i v i = u t v, i= 4

43 u = u u n, v = v v n 3 SKALÁRIS SZORZAT 43 R n leképezés teljesíti a skaláris szorzat négy feltételét Ezt nevezzük euklideszi vagy standard skaláris szorzatnak Az u =,, 3 és az v =,, vektorok euklideszi skaláris szorzata u, v = = Általánosabb skaláris szorzatot kapunk ha a 3 képletben a tagokat súlyozzuk w i R +, i =, n súlyokkal: 3 u, v = w u v + w u v + + w n u n v n 33 Példa Az M mn R mátrixok terében értelmezhet a következ skaláris szorzat: 33 m n A, B = a b + a b + + a mn b mn = a ij b ij = T r A T B, ahol A = a ij m,n i,j= M mn R, B = b ij m,n i,j= M mn R A =, B = = A, B = = 6 i= j= 34 Példa A legfeljebb n-ed fokú polinomok P n terében értelmezhet a következ skaláris szorzat: n 34 P, Q = a b + a b + + a n b n = a i b i, ahol P = a +a X ++a n X n P n, Q = b +b X ++b n X n P n P = 3X +4X, Q = +3X = P, Q = = 7 i=

44 3 NORMA, TÁVOLSÁG, SZÖG Példa A C [a, b] folytonos függvények terében értelmezhet a következ skaláris szorzat: 35 f, g = ahol f, g C [a, b] ˆ b a f x g x dx f, g : [ π, π] R, f x = sin x, g x = cos x = f, g = π f x g x dx = π sin x dx = cos x π π π 4 π = 36 Tétel Ha, : V V R egy skaláris szorzat és u, v, z V, k R, akkor: u, V = V, u = ; u, v + w = u, v + u, w ; 3 u, kv = k u, v ; 4 u v, w = u, w v, w ; 5 u, v w = u, w v, w Bizonyítás u, V = V, u szimmetria v, u = v, u = v, u v, u = = v, u + v, u = = v v, u = = V, u = u, v + w = v + w, u = v, u + w, u = u, v + u, w, stb 3 Norma, távolság, szög 37 Definíció A V,, euklideszi térben egy v V vektor normáján az alábbi értéket értjük: 3 v = v, v Egy egység hosszúságú vektort u = egységvektornak nevezünk 38 Definíció Két vektor közötti távolság metrika: 3 d u, v = u v

45 3 NORMA, TÁVOLSÁG, SZÖG Példa v =,, 3 t = v = = 4, A = = A = = 3 P = 3x + 5x = 3 4 P = = 38 u =,, 5 t = d u, v = u v = 3,, t = = 3 3 Tétel A norma tulajdonságai: N N N3 u és u = u = V ; ku = k u ; u + v u + v 3 Definíció Egy V vektorteret normált vektortérnek nevezünk, ha értelmezve van rajta egy norma : V R mely rendelkezik az N, N, N3 tulajdonságokkal A fenti tétel értelmezésként is használható Egy tetsz leges u vektorból úgy kapunk egy vele azonos irányú, egységvektort ha elosztjuk u-t a normájával: 33 e = u u Valóban e = u u = u u = u = u 3 3 Példa u = = e = u 4 u = 3 = Tétel A távolság metrika tulajdonságai: D d u, v és d u, v = u = v;

46 D D3 3 NORMA, TÁVOLSÁG, SZÖG 46 d u, v = d v, u ; d u, v d u, w + d w, v 34 Definíció Egy H halmazt metrikus térnek nevezünk ha értelmezve van rajta egy d : H H R távolság metrika mely rendelkezik a D, D, D3 tulajdonságokkal 35 Példa A skaláris szorzat, illetve norma tulajdonságait felhasználva: számítsuk ki: u + v, 3u 4v = u, 3u 4v + v, 3u 4v = u, 3u + u, 4v + v, 3u + v, 4v = 3 u, u 4 u, v + 6 v, u 8 v, v = igazoljuk a paralelogramma egyenl séget: x + y + x y = x + y 36 Tétel Cauchy-Schwarz 34 u, v u v = 3 u + u, v 8 v ; Bizonyítás Ha u = V akkor igaz az egyenl ség Feltételezzük, hogy u V és legyen t R, tu + v, tu + v = t u, u + t u, v + v, v = at + bt + c ahol a = u, u, b = u, v, c = v, v Mivel a másodfokú függvény nemnegatív = a diszkriminánsa = b 4ac vagyis 4 u, v 4 u, u v, v u, v u, u v, v

47 A tételb l következik, hogy: 3 NORMA, TÁVOLSÁG, SZÖG 47 u, v u v 37 Definíció Ha u, v V egy V euklideszi tér vektorai, akkor a közbezárt szögükön azt a ϕ [, π] szöget értjük, amelyre 35 cos ϕ = u, v u v 38 Példa u=,, 3, v =,, = u, v = 6, u = 4, v = 3 = cos ϕ = Ha a bezárt szög ϕ = π, akkor a vektorokat ortogonálisnak nevezzük jel u v Ebben az esetben cos ϕ = 39 Tétel Egy V,, euklideszi térben az u és v vektorokat ortogonálisak ha 36 u, v = Az {e, e,, e n } vektorrendszert ortogonálisnak nevezünk ha e i e j, i j 3 Példa u = 3,,,, v =,, 5, = u, v = euklideszi skaláris szorzat= u v 3 A =, B = = A, B = = A B 4 6 P = X + 3X, Q = 4 + 5X X = P, Q = = P Q 3 Példa Ha e =, e =, e 3 = akkor {e, e, e 3 } ortogonális vektorrendszer R 3 vektortérben A P vektortérben az {, X, X } egy ortogonális vektorrendszer bázis

48 3 NORMA, TÁVOLSÁG, SZÖG 48 3 Példa A folytonos függvények esetében néhány fontosabb ortogonális rendszer: Fourier={, cos x, sin x, cos x, sin x, } a C [ π, π] vektortérben, Legéndre= {, x, 3x, 5x3 3x, 8 35x4 3x + 3, } a C [, ]-ben, Csebisev={, x, x, 4x 3 3x, 8x 4 8x +, } a C [, ]-ben, stb 33 Példa Pitagorasz tétel x y x + y = x + y A mer legességi feltételb l következik, hogy x, y =, tehát x + y = x + y, x + y = x, y + x, y + y, y = x + y 34 Tétel Ha a {e,, e n } vektorrendszer ortogonális e i V, i =, n, akkor lineárisan független Bizonyítás Ha α e + α e + + α n e n = akkor ki kell mutatni, hogy α = α = = De e i -re =, e i = α e + α e + + α n e n, e i = = α e, e i + α e, e i + + α i e i, e i + + α n e n, e i = α i e i, e i, és mivel e i, e i > e i V következik, hogy α i =, i =, n 35 Definíció Egy vektorrendszert ortonormáltnak nevezünk ha a vektorok ortogonálisak és egység hosszúságúak: {, i = j 37 {q,, q n } ortonormált q i, q j = δ ij =, i j 36 Definíció Egy 38 Q = q q q n mátrixot ortogonálisnak nevezünk ha oszlopai ortonormált vektorok

49 37 Példa 33 GRAM-SCHMIDT ORTOGONALIZÁCIÓ 49 P = permutációs mátrix cos θ sin θ R θ = θ-szög forgatás sin θ cos θ / / 4/5 3/5 3 Q = / /, Q = 3/5 4/5 4 P =, A = Adhemar 38 Tétel Ha Q ortogonális akkor Q T Q = I n 39 Következmény Ha Q M n R ortogonális akkor: a det Q T det Q = = det Q = ± b Q = Q T 33 Gram-Schmidt ortogonalizáció 33 Tétel Minden valós euklideszi térben létezik egy ortonormált bázis Bizonyítás Legyen B = {e,, e n } egy bázis az n dimenziós V vektortérben Els lépésben egy B = {e,, e n} ortogonális bázist hozunk létre, majd normálási eljárással létrehozzuk a B =

50 33 GRAM-SCHMIDT ORTOGONALIZÁCIÓ 5 {q, q,, q n } ortonormált bázist e = e e = e + αe e 3 = e 3 + βe + γe ahol α t úgy határozzuk meg, hogy e e, vagyis e, e = e + αe, e = e, e + α e, e = = α = e, e e, e = e, e e A β és γ-t a e 3 e, illetve e 3 e mer legességi feltételekb l határozzuk meg e 3, e = e 3 + βe + γe, e = e 3, e + β e, e } {{ +γ e }, e = = = γ = e 3, e e, e = e 3, e e Hasonlóan e 3, e = e 3 + βe + γe, e = e 3, e + β e, e + γ e, e } {{ = = β = e 3,e } e = β = e 3, e e, e = e 3, e e Az e 4,, e n vektorokat hasonlóan számítjuk ki A normáláshoz a 33 eljárást alkalmazzuk, vagyis: q = e e, q = e e,, q n = e n e n

51 33 GRAM-SCHMIDT ORTOGONALIZÁCIÓ 5 A Gram-Schmidt eljárásból következik, hogy q k mer leges az {e,, e k }, k vektorok által alkotott hipersíkra q line, q 3 line, e,, q k line,, e k vagy sajátos esetként 333 q e, q k e,, q k e k 33 Példa Ha B = {v, v, v 3 } ahol v = 3, v =, akkor B = {v, v, v 3} ortogonális bázis ahol v =, v 3 = q = 3, q =, v 3 =, v = B = {q, q, q 3 } ortonormált bázis, ahol, q 3 = 3 3 = 33 Példa A B = {f, f, f 3 } = {, X, X } bázisra alkalmazva a Gram-Schmidt ortogonalizálási módszert a V = C [, ] térben a következ bázist kapjuk: B = {f, f, f 3} = {, X, X 3} Ha a függvényeket f = f = f 3 = eljárással normalizáljuk akkor a Legéndre-féle ortogonális függvényeket kapjuk lásd a 3 példát

52 34 ALKALMAZÁSOK 5 34 Alkalmazások 333 Tétel Ha a V euklideszi vektortérben {q,, q n } egy ortonormált bázis, akkor u V vektor kifejezhet az alábbi alakban: 34 u = u, q q + u, q q + + u, q n q n Bizonyítás Mivel {q,, q n } bázis következik, hogy u felírható u = α q + α q + + α n q n Kimutatjuk, hogy α i = u, q i, i =, n Minden q i -re u, q i = α q + α q + + α n q n, q i = = α q, q i + α q, q i + + α i q i, q i + + α n q n, q i = = α i q i, q i = α i A 34 képlet segítségével egyszer södik egy vektor felírása egy adott bázisban 4/5 334 Példa Ha B = {q, q, q 3 } ahol q =, q = 3/5 3/5, q 3 = és u = akkor 4/5 u, q = 7/5, u, q =, u, q 3 = /5, tehát u = 7 5 q + q + 5 q 3 34 QR faktorizáció Legyen A M mn R egy mátrix melynek oszlopai A = u u u n lineárisan függetlenek és legyen {q, q,, q n }

53 34 ALKALMAZÁSOK 53 az A oszlopvektorainak egy ortonormált rendszere, illetve Q = q q q n az oszlopvektorok által alkotott ortogonális mátrix A 333 tételb l következik, hogy u = u, q q + u, q q + + u, q n q n u = u, q q + u, q q + + u, q n q n u n = u n, q q + u n, q q + + u n, q n q n vagy mátrix alakban: u, q u, q u n, q u u u u n = q q q n, q u, q u n, q u, q n u, q n u n, q n Ha R-el jelöljük a u, q u, q u n, q u R =, q u, q u n, q u, q n u, q n u n, q n mátrixot azt kapjuk, hogy A felbontható mint: A = QR Figyelembe véve az 333 összefüggéseket következik, hogy az R mátrix átló alatti tagok nullák: u, q u, q u n, q u 34 R =, q u n, q, u n, q n

54 vagyis R egy fels -háromszög mátrix 34 ALKALMAZÁSOK Tétel Ha A M mn R egy mátrix melynek oszlopai lineárisan függetlenek, akkor az A mátrix felírható 343 A = QR mátrix szorzatként, ahol Q M mn R egy ortogonális mátrix és R M nn R egy fels -háromszög mátrix 336 Példa A = / 3 / 6 Q = / 3 / 6 / / 3 / 6 / = QR, R = 3/ 3 / 3 / 3 / 6 / 6 / A QR faktorizációs módszerrel Ax = b egyenletrendszert ahonnan a QRx = b Rx = Q t b, Q = Q t fels -háromszög egyenletrendszert kapjuk amit visszahelyettesítési módszerrel megoldunk 337 Példa x x + x 3 = x + x + x 3 = 5 x + x + 3x 3 = 4

55 Az A = 34 ALKALMAZÁSOK 55 mátrix A = QR felbontása 3 / 3 / 6 / A = / 3 / 3/ 3 / 3 6 / 3 / 6 / 6/ 6 5/ 6 5/, ahonnan az Rx = Q t b egyenletrendszer 3 3 x + 3 x 3 = x x 3 = 6 5 x 3 = 5 megoldását visszahelyettesítéssel oldjuk meg: x 3 =, x =, x = 3 34 Fourier sor A V = C [ π, π] folytonos függvények vektorterében a {, cos x, sin x, cos x, sin x,, cos nx, sin nx, } függvények ortogonálisak ˆ π π ˆ π π ˆ π ha m n A normájuk π cos nx sin mx dx = cos nx cos mx dx = sin nx sin mx dx = = ˆ π π dx = π cos nx = sin mx = π tehát { } π, π cos x, π sin x, π cos x, π sin x,, π cos nx, π sin nx, ortonormált bázis Bármilyen f C [ π, π] függvény felírható ebben

56 a bázisban 34 ALKALMAZÁSOK 56 fx = c π + c π cos x + c π sin x + c 3 π cos x + c 4 π sin x + + c n π cos nx + c n π sin nx ahol az együtthatókat a 34 képletb l számítjuk ki: c = f, = ˆ π fx dx π π c k = π f, cos kx = ˆ π π π π fx cos kx dx c k = f, sin kx = ˆ π fx sin kx dx π π π Behelyettesítve a következ felirást kapjuk 344 fx = a + a cos x + b sin x + a cos x + b sin x + ahol a n cos nx + b n sin nx = a + a k cos kx + b k sin kx k a = π a k = π b k = π ˆ π π ˆ π π ˆ π π fx dx fx cos kx dx fx sin kx dx A 344 az f függvény sorfejtése a 345 Fourier együtthatókkal 338 Példa f x = x, x [ π, π] Mivel x cos kx páratlan függvény ezért a k = π x cos kx dx = π π, k Ugyanakkor x sin kx páros függvény tehát b k = π x π π

57 sin kx dx = π π k+ π k következ : π x sin kx dx = π = k+ k 34 ALKALMAZÁSOK 57 π x cos kx k π + k Tehát az f függvény Fourier sorfejtése a cos kx dx = f x = sin x sin x + 3 sin 3x sin 4x + sin 5x 5 Az alábbi ábrán az f az egy, két, stb tagú f, f,, f közelítése látható

58 4 FEJEZET Lineáris transzformációk Legyen V, +,, K és W, +,, K vektorterek 4 Definíció Az f : V W leképezést lineáris transzformációnak vagy homomorzmusnak nevezzük, ha x, y V, α K-ra az f additív összegz azaz homogén azaz f x + y = f x + f y ; f αx = αf x A lineáris transzformációk halmazát Hom V, W = {f : V W f = lin vel jelöljük Ha V = W akkor f-et endomorzmusnak nevezzük és a halmazát End V -val jelöljük Az f additivitása és homogenitása az alábbi egyenl séggel ekvivalens: x, y V, α, β K f αx + βy = αf x + βf y, 4 Példa f : R R, f x = x + x, x = x x R g : R 3 R, g x = x x x x 3, x = D : C [a, b] C [a, b] R, D f = f 3 I : C [a, b] C [a, b], I f = b f x dx a 58 x x x 3 R 3

59 x = 4 LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK Példa Geometriai transzformációk a síkban f i : R R, x x : identikus transzformáció: f x = x = tükrözés az els tengelyre f x = vetítés az els tengelyre f 3 x = tükrözés az els -szögfelez re f 4 x = x x x lépték váltás k > -paraméter skálázás, k > nagyítás, kx k, kicsinyítés s k x = kx = kx x forgatás θ-szög cos θ x sin θ R θ x = x sin θ + x cos θ x x x x 44 Tétel Ha f : V W lineáris transzformáció, akkor: f V = W ; f x = f x ; 3 L K V f L K W ; 4 {x,, x n } összefügg vektorrendszer {f x,, f x n } is összefügg vektorrendszer Bizonyítás f V = f v = fv = W, f x = f x = f x 3 x, x L x +x L f x + x = f x +f x W ; x L αx L f αx = αf x W

60 4 LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 6 45 Definíció Az alábbi halmazokat az f : V W lineáris transzformáció magterének, illetve képterének nevezzük: 46 ker f = {x V f x = W } = f { W }, 47 Imf = {y W x V : y = f x} 46 Példa f : R 3 R, f x = x x R 3 lineáris transzformáció x x x x 3, x = ker f = Imf = x 3 { x, x, x 3 t R 3 f x, x, x 3 = { u R x, x, x 3 R 3 : v f : R R, f x = x, x = { második tengelyre ker f = x { } x x R =els tengely { y Imf = y R x R : x tengely 3 D } x = x x R, x } u x x = = R v x x 3 x x x R vetítés a R f x = } = } y y = x =második 47 Tétel Ha f : V W lineáris transzformáció akkor

61 4 IZOMORFIZMUS, LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK KOMPOZÍCIÓJA 6 ker f K V ; Imf K W dim ker f + dim Imf = dim V Bizonyítás Ha x, y ker f akkor fx =, fy = és az additivitásból fx + y = fx + fy =, tehát x + y ker f x ker f akkor fx = és a homogenitásból fαx = αfx =, következik, hogy αx ker f, α R A magtér dimenzióját dim ker f az f lineáris transzformáció nullitásának, míg a képtér dimenzióját dim Imf az f rangjának nevezzük 4 Izomorzmus, lineáris transzformációk kompozíciója 48 Tétel Ha f : V W lineáris transzformáció akkor: f injektív ker f = { V } ; f szürjektív Imf = W Bizonyítás A 44Tétel pontjából f V = W, tehát V ker f Feltételezve, hogy létezik még más eleme is ker f -nek: x V ker f, mivel f injektív f x f V = W tehát x / ker f Legyen x, y V, x y x y V f x y W különben ker f egy nem-nulla vektort tartalmazna f x fy W, tehát {x y f x f y}, vagyis f injektív 49 Definíció Ha az f : V W lineáris transzformáció bijektív leképezés akkor izomorzmusnak nevezzük Ebben az esetben azt mondjuk, hogy V izomorf W térrel és V = W-el jelöljük görögül izo=azonos, morph=alak Ha f bijektív és V = W akkor f-et automorzmusnak nevezzük és a halmazát Aut V -val jelöljük

62 4 IZOMORFIZMUS, LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK KOMPOZÍCIÓJA 6 4 Példa f : R 3 R 3, f x = x, x = x x R 3 nem injektív mert ker f =????? α x 3 α R R 3 x 3 4 Tétel Ha V, +,, K vektortér dimenziója n = dim V, akkor V = K n Bizonyítás Ha B = {e, e,, e n } a V vektortér egy bázisa akkor v V egyértelm en írható fel a bázisvektorok lineáris kombinációjaként: Az f : V K n, f v = v = α e + α e + α n e n α leképezés bijektív, tehát V = K n α n 4 Példa f : M R R 4, f A = a a a ahol A = a a a a bijektív leképezés, tehát M R = R 4 a 43 Definíció Az f : U V, f : V W függvények kompozícióján a leképezést értjük f f : U W, f f x = f f x, x U,

63 4 LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK MÁTRIXA Tétel Ha f : U V, f : V W lineáris transzformációk akkor a kompozíciójuk f f is lineáris transzformáció Bizonyítás Additivitás: f f x + y = f f x + y = f f x + f y = f f x+f f y = f f x+f f y Homogénitás: f f αx = f f αx = f αf x = αf f x = α f f x 45 Definíció Ha f : U V bijektív akkor az inverze f : V U, f f = id V, f f = id U 46 Példa Az R θ : R R x cos θ x sin θ, R θ x = x sin θ + x cos θ théta szög forgatás inverze a θ szög forgatás: R θ = R θ 47 Tétel Ha f : U V, f : V W lineáris transzformációk bijektívek akkor a f f : U W kompozíciójuk is bijektív és f f = f f 4 Lineáris transzformációk mátrixa 48 Példa Az f : R 3 R x + x 3, f x = transzformációt x x + 3x 3 x a következ képpen lehet megadni: f x = x, x 3 R 3 vagyis 4 f x = A x, ahol A = Tetsz leges x R 3 vektor esetében a 3 4 képlet ekvivalens az alábbi egyenl séggel 4 [f x] BR = A [x] B R 3, x 3

64 4 LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK MÁTRIXA 64 ahol [x], illetve [f x] BR 3 B R az x, illetve f x vektorok koordinátái a B R 3, B R kanonikus bázisokban Az A mátrixot az f lineáris transzformáció- kanonikus bázisoknak megfelel - mátrixának nevezzük Általánosabban, ha V, +,, K és W, +,, K vektorterek, dim V = n, dim W = m, B V = {v,, v n }, B W = {w,, w m } bázisok az adott terekben és f : V W lineáris transzformáció, akkor f v = a w + a w + + a m w m f v = a w + a w + + a m w m f v n = a n w + a n w + + a mn w m 43 a a a n a f v f v f v n = w w w m a a n a m a m a mn 49 Definíció Az A = a ij m, n i=,j= M m,n K mátrixot az f lineáris transzformációhoz hozzárendelt mátrixának nevezzük a B V, B W bázispárban Jelölés: A = A B V,B W f = [f] BV,B W 4 Tétel Minden f : V W dim V = n, dim W = m lineáris transzformációhoz egyértelm en rendelhet hozzá egy mátrix: Hom V, W = M m,n K A 4 képlet általánosításaként felírhatjuk, hogy: 44 [f x] BW = [f] BV,B W [x] BV,

65 4 LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK MÁTRIXA 65 ami lehet séget ad arra, hogy függvény lineáris transzformáció kiértékelés helyett mátrix szorzatot használjunk 4 Példa f : R 3 R, f x = x + x 3 x x + 3x 3, B R 3 = {e, e, e 3 }, B R = {e, e } kanonikus bázisok= f e = = e + e, f e = = e e, f e 3 = 3 = e + 3e, = [f] R 3,R = Egy x = 3 vektor képét a kanonikus bázispárban függvény kiértékeléssel: f x = = = e +6e, vagy a 44 képletnek megfelel en mátrix szorzattal 5 számíthatjuk ki: = B V = {v, v, v 3 }, B W = {w, w } bázisok ahol v =, v =, v 3 =, w =, w = = f v = 3 = 4 w 3 + 5w 3, f v = = 5 w 3 + w 3, f v 3 = = w + w = [f] BV,B W =

66 4 LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK MÁTRIXA 66 Az x = = v + v + v 3 [x] BV = vektor 3 képének a koordinátáit a B V, B W bázispárban függvény kiértékeléssel: f x = = = 7w 3 + w 3, vagy a 44 képletnek megfelel en mátrix szorzattal számíthatjuk ki: 5 3 = Példa R θ : R R x cos θ x sin θ, R θ x =, x = x sin θ + x cos θ x cos θ sin θ, B R = {e, e } kanonikus bázis = [R θ ] x R,R = sin θ cos θ Egy P 3, pont koordinátáit az R θ transzformáció követ en pl θ = π -re függvény kiértékeléssel számíthatjuk ki: R 3 4 θ = 3 cos π sin π sin π + cos = π 5, vagy a 44 mátrix szorzattal: 4 4 cos π sin π = sin π cos π 5, tehát a P pont θ = π szög forgatása a P pontot eredményezi, 5 43 Példa A D : P 3 P, D a + a X + a X + a 3 X 3 = a + a X + 3a 3 X deriválási transzformáció mátrixa a B P3 = {, X, X, X 3 }, B P = {, X, X } kanonikus bázisokban a következ : [D] BP3,B P = 3 Egy P = 5 + 4X + 3X X 3 P 3

67 4 LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK MÁTRIXA 67 t polinom koordinátái a kanonikus bázisban [P ] BP3 = A P polinom D transzformáltjának a koordinátáit a 44 képlettel számítható ki: 3 = 6, vagyis D P = X 6X ami leellen rizhet klasszikus deriválással 44 Példa f : P [X] R P, f P =, B P P = {, X, X }, B R = {e, e } kanonikus bázisok= [f] P,R = 45 Tétel Ha az f : U V, illetve g : V W lineáris transzformációk, akkor a g f : U W lineáris transzformációhoz hozzárendelt mátrix egyenl a g, illetve f transzformációkhoz hozzárendelt mátrixok szorzatával: 45 [g f] BU,B W = [g] BV,B W [f] BU,B V 46 Példa Ha f, g : R R, f=els -felez szerinti tükrözés x x f x = = x x és g=vetítés az Oy tengelyre x x g x = = x x ahol x =, akkor x x x g f x = g f x = g = = x A B kanonikus bázisokban hozzárendelt mátrixot a 45 képletb l is kiszámíthatjuk: [g] B,B [f] B,B = = x x

68 43 ENDOMORFIZMUS MÁTRIX VÁLTOZÁSA BÁZISCSERE ESETÉN Endomorzmus mátrix változása báziscsere esetén Legyen V, +,, K egy n dimenziós vektortér, f : V V egy endomorzmus, x V egy vektor V -b l és y V ennek képe az f lineáris transzformáción keresztül: 43 y = f x Az f-hez tartozó mátrix függ a kiválasztott bázisoktól Legyen B = {v,, v n }, B = {v,, v n} a V vektortér két bázisa x x y Jelöljük [x] B =, [x] B =, illetve [y] B =, [y] B = y y n x n -vel az x és y vektorok koordinátáit a B, illetve B bázisokban, és A = [f] B,B, D = [f] B,B -vel a lineáris transzformáció mátrixait a két bázisnak megfelel en Akkor a 43-b l következik, hogy 43 [y] B = [f] B,B [x] B vagy [y] B = A [x] B, illetve 433 [y] B = [f] B,B [x] B vagy [y] B = D [x] B T = t ij n i,j=-vel jelölve a két bázisnak megfelel áttérési mátrixot, felírhatjuk, hogy: x n [x] B = T [x] B, [y] B = T [y] B Felhasználva a 43 és 433 képleteket következik, hogy: y n A [x] B = T [y] B = AT [x] B = T D [x] B vagyis AT = T D,

69 43 ENDOMORFIZMUS MÁTRIX VÁLTOZÁSA BÁZISCSERE ESETÉN 69 ahonnan D = T AT 47 Tétel Az f End V -hez tartozó mátrixa B B báziscsere esetén a következ képpen alakul: 434 [f] B,B = T [f] B,B T, ahol T a B, B bázisoknak megfelel áttérési mátrix Az eljárás az alábbi diagramon szemléltethet ahol [x] B T [x] B A=[f] B,B [f x]b T D=[f] B,B [f x] B [f x] B = A [x] B [x] B = T [x] B [f x] B = D [x] B = T [f x] B Az utolsó egyenl ségb l következik, hogy vagyis DT [x] B = T A [x] B DT = T A D = T AT 48 Példa f : R R x + 3x, f x =, B = {e, e } x + x kanonikus bázis, B = {e, e } ahol e =, e = Akkor A = 3 és T =, T 3 3 = = [f] B,B = 3 3

70 43 ENDOMORFIZMUS MÁTRIX VÁLTOZÁSA BÁZISCSERE ESETÉN 7 T AT = 4 8 Ellen rzés: f e 3 = 5 6 = e e, f e = = 8 3 e e Definíció Az A, B M n K mátrixokat hasonlóknak nevezzük jel A B, ha A Tétel 47 átfogalmazva: T M n K úh B = T AT 43 Tétel Ha a V, +,, K vektortérben, B, B bázisok és f : V V endomorzmus, akkor [f] B,B [f] B,B, vagyis, egy adott endomorzmus mátrixai hasonlóak A hasonló mátrixok tanulmányozása azért indokolt, mert ezen mátrixok determinánsa, rangja, nyoma, karakterisztikus polinomja megegyezik 43 Tétel Ha A és B mátrixok hasonlóak A B, akkor: deta = detb; ranga = rangb; 3 T r A = T r B ; 4 P A λ = P B λ lásd a 55 tételt Bizonyítás A mátrixok hasonlóak tehát T M n K úh B = T AT det B = det T AT = det T det A det T = = det T det T det A = det T T det A = = det I n det A = det A

71 43 ENDOMORFIZMUS MÁTRIX VÁLTOZÁSA BÁZISCSERE ESETÉN 7 Egy mátrix rangja egyenl a megfelel lineáris transzformáció képterének a dimenziójával Mivel A B ezért A és B ugyanannak a lineáris transzformációnak a mátrixa különböz bázisban tehát a képtér dimenziója, illetve rangja megegyezik 3 Figyelembe véve, hogy M M m,n, N M nm -re T r MN = T r NM, következik, hogy T r B = T r T AT = T r AT T = T r AT T = T r A Adott endomorzmus esetében: f End V, olyan B bázist keresünk amelyre a [f] B,B -vel ekvivalens [f] B,B mátrix minél egyszer bb alakú, például átló-, háromszög-, Jordan-alakú stb Adott endomorzmus esetében: f End V, olyan B bázist keresünk amelyre a [f] B -vel ekvivalens [f] B mátrix minél egyszer bb alakú, például átló-, háromszög-, Jordan-alakú stb 43 Példa f : R R x + 3x, f x =, B = {e, e } x + x kanonikus bázis, B = {e, e } ahol e = 3, e = Akkor [f]b = 3 3 A = és T =, ahonnan T 5 5 = és = [f] B = T AT = egy átlós mátrix Ellen rzésképpen: 4 det [f] B = det [f] B = 4, rang[f] B = rang[f] B =, T r [f] B = T r [f] B = 3 Az endomorzmus esetében ismertetett eredmények általánosíthatók tetsz leges lineáris transzformáció esetére

72 44 ALKALMAZÁSOK- GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK A TÉRBEN Definíció Az A, B M m,n K mátrixokat ekvivalensnek nevezzük jel A B, ha P M n K, Q M m K úh B = QAP 434 Tétel Ha V, +,, K és W, +,, K vektorterek, B V, B V bázisok V -ben, B W, B W bázisok W -ben és f : V W lineáris transzformáció, akkor [f] BV,B W [f] B V,B W Egy adott homomorzmus mátrixai ekvivalensek 44 Alkalmazások- Geometriai transzformációk a térben x f i : R 3 R 3, x = y z Vetítés az alapsíkokra: x x pr xy x = y, pr xz x =, pr yz x = y z z A transzformációk mátrixai a B kanonikus bázispárban: [pr xy x] B,B =, [pr xz x] B,B =, [pr yz x] B,B =

73 44 ALKALMAZÁSOK- GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK A TÉRBEN Példa Az A 3 pont x = vektor vetületeit 3 a három alapsíkra mátrix szorzattal számítjuk ki: A = =, A = 3 3 A 3 = = 3 3 = 3, Tükrözés az alapsíkokra: x x f x = y, f x = y z z, f 3 x = x y z 3 Forgatás A térben a forgatást a jobbkéz-szabály szerint történik, vagyis a nagy ujj az x forgatási tengely irányát míg a többi ujj a forgatási irányt mutatja

74 44 ALKALMAZÁSOK- GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK A TÉRBEN 74 - forgatás az Ox tengely körül: x R θ,ox x = y cos θ z sin θ y sin θ + z cos θ, [R θ,ox x] B,B = cos θ sin θ sin θ cos θ - forgatás az Oy tengely körül: x cos θ + z sin θ R θ,oy x = y x sin θ + z cos θ - forgatás az Oz tengely körül: x cos θ y sin θ R θ,oz x = x sin θ + y cos θ z a - forgatás az u = b c, [R θ,oy x] B,B =, [R θ,oz x] B,B = egységvektor körül cos θ sin θ sin θ cos θ cos θ sin θ sin θ cos θ

75 44 ALKALMAZÁSOK- GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK A TÉRBEN 75 [R θ,u x] B,B = a cos θ + cos θ ab cos θ c sin θ ac cos θ + b sin θ ab cos θ + c sin θ b cos θ + cos θ bc cos θ a sin θ ac cos θ b sin θ bc cos θ + a sin θ c cos θ + cos θ A forgatást az el bbi három alap-forgatás kombinációjaként lehet meghatározni

76 5 FEJEZET Sajátérték, sajátvektor Legyen V, +,, R egy valós vektortér, dim V = n, B V = {v,, v n } egy bázisa és f : V V lineáris transzformáció f End V Jelöljük A = [f] BV,B V M n,n R a lineáris transzformáció mátrixát az adott bázisban 5 Definíció Az x V, x V vektort a lineáris transzformáció ill a hozzárendelt mátrix sajátvektorának nevezzük, ha λ R sajátérték úh 5 f x = λx ie Ax = λx 5 Példa V, +,, R vektortérben f : R R, f x = x +x x +x = f End R és A = A = 3, tehát sajátvektor, λ = 3 sajátérték A sajátvektor mértani jelentése: az X sajátvektora az f transzformációnak ha a képe f-en keresztül ugyancsak az X tartóegyenesén marad A 5 denícióból következik, hogy: 5 Ax = λx Ax = λi n x AX λi n X = V A λi n X = V 76

77 5 SAJÁTÉRTÉK, SAJÁTVEKTOR 77 A 5 karakterisztikus egyenletrendszer mátrix alakja: a λ a a n x a 53 a λ a n x = a n a n a nn λ Ennek az egyenletrendszernek akkor van a triviálistól különböz megoldása, ha a karakterisztikus determinánsa nulla: 54 det A λi n = 53 Definíció A P f λ = P A λ = det A λi n n-ed fokú polinomot karakterisztikus polinomnak nevezzük Tehát a sajátértékek a P A λ karakterisztikus polinom gyökei λ 54 Példa A =, P A λ = det = λ λ = λ =, λ = 3 55 Tétel A P A λ karakterisztikus polinom nem függ a kiválasztott bázistól Bizonyítás Legyen A = [f] B,B és A = [f] B,B az f endomorzmus két mátrixa a B, illetve B bázispárokban Az A = T AT karakterisztikus polinomja: P A λ = det A λi n = det T AT λi n = 56 Tétel = det T AT λt T = det T A λi n T = = det T det T det A λi n = det A λi n = P A λ 55 P A λ = n λ n S λ n + S λ n + n S n, x n

78 5 SAJÁTÉRTÉK, SAJÁTVEKTOR 78 ahol S i a f átlón elhelyezked i i minorok összege: S = a + a + + a nn = T ra, a a S = a a + a a 3 a 3 a a n,n a n,n a n,n a nn S n = a a a n a a a n a n a n a nn = det A Bizonyítás A bizonyítás n = 3-ra végezzük a λ a a 3 P A λ = det A λi 3 = a a λ a 3 = a 3 a 3 a 33 λ a λ a λ a 33 λ + a a 3 a 3 + a 3 a a 3 a 3 a 3 a λ a a a 33 λ a 3 a 3 a λ = = 3 λ 3 λ a + a + a 33 + det A A 55 képletb l a Viéte összefüggések szerint: 56 λ + λ + + λ n = T r A és 57 λ λ λ n = det A A 57-ból következik, hogy det A = j index úh λ j =, vagyis A invertálható ha sajátértékei különböznek nullától

79 5 SAJÁTÉRTÉK, SAJÁTVEKTOR Definíció A sajátértékek halmazát a transzformáció spektrumának nevezzük, jelölése σ f vagy σ A Ha λ többszörös r-szeres gyöke a P A λ karakterisztikus polinomnak, akkor r-et a λ sajátérték algebrai multiplicitásának nevezzük, jelölése m alg λ = r 58 Tétel Minden λ sajátértéknek több sajátvektor felel meg Minden x sajátvektornak csak egy λ sajátérték felel meg Bizonyítás Ha x a λ-hoz rendelt sajátérték, akkor kx, k R is sajátértéke mert: A kx = kax = kλx = λ kx Feltétezzük, hogy x sajátvektorhoz két: λ és λ sajátérték felel meg: Ax = λx, Ax = λ x λx = λ x λ λ x = V λ λ = vagyis λ = λ 59 Definíció A V λ = {x V : Ax = λx} halmazt a λ-hoz tartozó sajátvektorok halmazának nevezzük 5 Példa Az el bbi példában λ = sajátértéknek feleltessünk x meg egy x x = sajátvektort = x x x x +x = x = x x = = x V λ = = x { } α α R 5 Tétel A V λ halmaz a nullvektorral kiegészítve részteret alkot V -ben: V λ K V

80 5 DIAGONALIZÁLHATÓ ENDOMORFIZMUSOK MÁTRIXOK 8 Bizonyítás Ha x, y V λ akkor A x + y = Ax + Ay = λx + λy = λ x + y vagyis x + y V λ Hasonlóan ha α K, akkor αx V λ 5 Definíció A V λ vektortér dimenzióját a λ sajátérték geometriai multiplicitásának nevezzük, jelölése m geom λ = dim V λ 53 Példa A = akkor λ =, X = x, { } V λ = = α és λ = 3, Y = y, V λ = 3 = { } β, tehát m geom λ = =, és m geom λ = 3 = A = akkor λ = λ =, X = x + x, V λ = = α + β α, β R és λ 3 = 4, Y = y, V λ = 4 = γ γ R, tehát m geom λ = =, és m geom λ = 4 = 5 Diagonalizálható endomorzmusok mátrixok 54 Definíció Az f End V endomorzmusról, illetve ennek A mátrixáról azt mondjuk, hogy diagonalizálható, ha B V = {v, v,, v n } bázisa V -nek, amelyben a [f] BV,B V = D lineáris transzformáció mátrixa

81 5 DIAGONALIZÁLHATÓ ENDOMORFIZMUSOK MÁTRIXOK 8 diagonális alakú, D = diag λ, λ,, λ n = λ λ λ n B V Ha T-vel jelöljük az áttérési mátrixot a B k kanonikus bázisból a bázisba, akkor az el bbi deníció ekvivalens az alábbival: A diagonalízálható T reguláris úh T AT = D = diag λ, λ,, λ n Az alábbi tételben igazoljuk hogy, ha A-nak n lineárisan független sajátvektora van, akkor ezek alkotják a keresett B V bázist 55 Tétel Az f End V, dimv = n, endomorzmus diagonalizálható akkor és csak akkor ha az A mátrixnak n lineárisan független sajátvektora van Bizonyítás A diagonalizálható T reguláris mátrix det T úgy, hogy T AT = diag = D A továbbiakban igazoljuk, hogy a T mátrix oszlopai pontosan a sajátvektorokból áll, és mivel T reguláris következik, hogy a sajátvektorok lineárisan függetlenek t t t n λ t AT = T D = t t n λ t n t n t nn λ n λ t λ t λ n t n λ = t λ t λ n t n = λ t λ t λ n t n λ t n λ t n λ n t nn

82 5 DIAGONALIZÁLHATÓ ENDOMORFIZMUSOK MÁTRIXOK 8 ahol t i a T mátrix i-edik oszlopa Tehát A t t t n = λ t λ t λ n t n ahonnan At = λ t, At = λ t,, At n = λ n t n, vagyis λ i sajátértéke és t i, i =, n sajátvektora az A mátrixnak 56 Tétel Különböz párosával sajátértékekhez λ, λ,, λ n, λ i λ j, i j tartozó sajátvektorok X, X,, X n lineárisan függetlenek Bizonyítás Feltételezzük, hogy X,, X n sajátvektorok lineárisan függ ek Ezekb l kiemeljük a maximális számú lineárisan független vektorokat, például az els r-et r < n: X,, X r Akkor X r+ felírható mint 5 X r+ = α X + + α r X r amit A-val beszorozva és felhasználva, hogy AX i = λ i X i következik, hogy 5 α λ X + + α r λ r X r λ r+ X r+ = Kivonva a 5-ból a 5 képletet amit el z leg λ r+ -el szoroztunk kapjuk, hogy α λ λ r+ X + + α r λ r λ r+ X r = Mivel X,, X r lineárisan függetlenek α λ λ r+ = = α r λ r λ r+ = és mivel λ i λ j α = = α r = vagyis 5-ben X r+ = v hamis A tételb l következik, hogy ha a sajátértékek mind különböznek, akkor az n dimenziós V vektortérben az {X,, X n } lineárisan független vektorok egy bázist alkotnak, bázis amelyben az endomorzmus mátrixa diagonális

83 5 DIAGONALIZÁLHATÓ ENDOMORFIZMUSOK MÁTRIXOK Következmény Ha az A mátrix λ,, λ n sajátértékei párosával különböznek egymástól λ i λ j, akkor az A diagonalizálható 58 Példa A = λ 3 = 3 tehát A diagonalizálható és D = sajátértékei: λ =, λ =, 3 A diagonalizáláshoz nem szükséges, hogy a sajátértékek mind különbözzenek 59 Tétel Az f End V endomorzmus A mátrix diagonalizálható ha: a P A λ karakterisztikus polinomnak n gyöke van K-ban: λ, λ,, λ n ; m alg λ i = m geom λ i, i =, n 5 Példa A = 3, P A λ = λ 3 9λ + 5λ 7, λ, =, λ 3 = 7 m alg λ =, m alg λ 3 = X = α + β, X = γ m geom λ =, m geom λ 3 = 3

84 5 SZIMMETRIKUS MÁTRIXOK DIAGONALIZÁLÁSA 84 A D = 7 v =, v = Igazoljuk, hogy: A keresett bázis: B V, v 3 = 3 = {v, v, v 3 }, ahol A = nem diagonalizálható; 3 5 a b A = nem diagonalizálható; a a b 3 A = diagonalizálható ha a d + 4bc c d 3 4 A = 4 3, A = 4 6 4, A = 3 8 3, A = 7 5 λ = λ =, λ 3 = Szimmetrikus mátrixok diagonalizálása Különleges tulajdonságaiknak köszönhet en, a szimmetrikus mátrixok diagonalizálása sajátos 5 Definíció Az A M n R mátrixot szimmetrikusnak nevezzük ha szimmetrikus a f átlóra nézve, vagyis 5 A = A T

85 5 SZIMMETRIKUS MÁTRIXOK DIAGONALIZÁLÁSA 85 5 Példa A = szimmetrikus mátrix Mivel az ortogonális mátrixok inverze megegyezik a transzponáltjukkal Q = Q T, felmerül a kérdés milyen feltételek mellett diagonalizálható egy A mátrix egy ortogonális mátrixszal vagyis T AT = diag = D és T ortogonális Ha egy ilyen T = Q mátrix létezik akkor A = QDQ = QDQ t és tehát A szimmetrikus A t = QDQ t t = Q t t D t Q t = QDQ t = A 53 Tétel Ha az A M n R mátrix szimmetrikus: A = A T, akkor a sajátértékei valósak és különböz sajátértékekhez tartozó sajátvektor-halmazok ortogonálisak: λ i λ j V λ i V λ j Bizonyítás Legyen X i V λ i és X j V λ j két különböz λ i λ j sajátértékhez tartozó sajátvektor Figyelembe véve, hogy két, u és v, oszlopvektor skaláris szorzata felírható mint következik, hogy u, v = v T u, AX i, X j = X T j AX i = A T X j T Xi = X i, A T X j = Xi, AX j Innen, az AX i = λ i X i, AX j = λ j X j egyenl ségeket felhasználva kapjuk, hogy: λ i X i, X j = X i, λ j X j, vagyis λ i λ j X i, X j = X i, X j = X i X j

86 5 SZIMMETRIKUS MÁTRIXOK DIAGONALIZÁLÁSA 86 Tehát az A mátrixot ortogonalizáló Q mátrix oszlopai vagy eleve ortogonálisak ha különböz sajátértékhez tartoznak, vagy ortogonális alakra hozhatók például Gram-Schmidt eljárással 5 A = QDQ t ahol Q ortogonális mátrix, D pedig diagonális mátrix amelynek átlóján sajátértékek vannak 54 Példa A =, λ = X = x és λ = 3 Y = y Mivel λ λ, ami számítással is igazolható Tehát az A mátrix { } a B =, ortogonális bázisban diagonális alakú: A D = T AT = ahol T = 3 az áttérési mátrix a kanonikus bázisból a B bázisba Normálással, a B bázis helyett használhatunk } egy ortonormált bázist: B = {, mátrixhoz vezet: Q = A = 8, 4 4 4, amely egy ortogonális áttérési,,

87 5 SZIMMETRIKUS MÁTRIXOK DIAGONALIZÁLÁSA 87 3 A =,,, A = 3,,, 3 7 Az 5 képletben a Q mátrixot ortogonális vektorokra felbontva az A mátrix úgy nevezett spektrális felbontását kapjuk: λ q t λ A = q q q n q t = λ n qn t = λ q λ q λq n q t q t q t n 53 A = λ q q t + λ q q t + + λ q n qn t 55 Példa A =, λ = X = 3 Y = Q = A = vagyis A = 3 +3 és λ = + =

88 53 ALKALMAZÁSOK Alkalmazások 53 Mátrix hatvány, mátrix exponenciális Ha egy A mátrix diagonalizálható: A = T DT akkor a k-ik hatványát a következ képpen számítjuk ki A k = T DT T DT T DT = T D k T, tehát 53 A k = T λ k λ k T A = 56 Példa Számítsuk ki A ha A = 7 5 Mátrix exponenciális, A = 3, 57 Definíció Egy A mátrix exponenciális alakján az alábbi kifejezést értjük: e ta = I + t! A + t! A + t3 3! A3 + Ehhez hasonló mátrixok a lineáris dierenciál egyenletrendszer kapcsán merül fel ugyanis a ẋ t = Ax t x = x dierenciál egyenletrendszer megoldása x t = e ta x

89 53 ALKALMAZÁSOK 89 Az e A kiszámításához használjuk az A = T DT felbontást, tehát e A = e T DT = I +! T DT +! T D T + = = T I +! D + e λ! D + T = T e λ T Hasonlóan 53 e ta = T e λ t e λ t T 3 58 Példa A =, e A =? 4 3 A = tehát e A = = e e e e e e = e + e e e ẋ t = x t 59 Példa Oldjuk meg a ẋ t = x t + 3x t, t x = [, ], dierenciál egyenletrendszert! x = 3

90 53 ALKALMAZÁSOK 9 A dierenciál egyenletrendszer átírható ẋ t = A x t, x = x, x = alakra ahol A = Az A mátrix x 3 3 felbontása A =, ahonnan e ta = e t e t e t e t e t + e t = e t e t e t + e t és a ddierenciál egyenletrendszer megoldása: x t = e ta e t e t e t + e t e t + e t x = =, t [, ], e t e t e t + e t 3 e t + 4e t ami deriválással ellenörízhet 53 Fibonacci sorozat 53 Definíció Fibonacci sorozatnak nevezzük a ϕ n+ = ϕ n + ϕ n, rekurzív képlettel megadott sorozatot ahol ϕ =, ϕ = 53 Példa ϕ = ϕ + ϕ =, ϕ 3 = ϕ + ϕ =, tehát a Fibonacci sorozat els tagjai:,,,, 3, 5, 8, 3,, 53 Tétel A Fibonacci sorozat általános tagja ϕ n = n n

91 53 ALKALMAZÁSOK 9 Bizonyítás A ϕ, ϕ, ϕ, sorozat két egymásutáni tag: a, b segítségével a következ tagot az alábbi módon állítjuk el : n lépés a b a + b n lépés a b a + b Ennek érdekében értelmezzük az F : R R a b F = b a + b endomorzmust, amelynek mátrixa a kanonikus bázisban: [F ] Bk = A = Az F transzformációnak a segítségével a Fibonacci számokat a következ képpen hozzuk létre: ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ n ϕ n F =, F =,, F = ϕ ϕ ϕ ϕ 3 ϕ n ϕ n+ A transzformáció kompozícióját használva a tagok kiszámítása visszavezethet az els két tagra ϕ ϕ ϕ ϕ 3 = F = F ϕ ϕ ϕ ϕ = F F ϕ ϕ = F ϕ ϕ = = F n ϕ n ϕ n+ = F ϕ n ϕ n = F F ϕ n ϕ n ϕ ϕ

92 53 ALKALMAZÁSOK 9 ϕ A = R vektor felírásához az A szimmetrikus ϕ mátrix sajátvektoraiból alkotott ortogonális bázist használjuk A karakterisztikus egyenletb l λ P λ A = det A λi = = λ λ = λ kiszámítjuk a sajátértékeket: λ, = ± 5 majd az AX = λ X, illetve AY = λ Y egyenletekb l kiszámítjuk az X, Y ortogonális sajátvektorokat és a hozzátartozó sajátvektorok λ = + 5 X = +, λ 5 = 5 Y = 5 { } A B = +, 5 ortogonális bázisban a vektor 5 felírása a következ = α β 5 ahol α = 5, β = 5 Tehát az F additivitását és homogénitását felhasználva következik, hogy F n = F n αx + βy = αf n X + βf n Y = = αa n X + βa n Y = αλ n X + βλ n Y = = + n n 5

93 53 ALKALMAZÁSOK 93 Tehát ahonnan ϕ n ϕ n+ = 5 ϕ n = 5 + n n+ + n 5 n 5 5 n 5 n+, 533 Gyakorlat f =, f =, f n+ = f n + f n f =, f =, f n+ = f n + f n 3 L =, L =, L n+ = L n + L n Lucas -féle számok

94 6 FEJEZET Bilineáris alakok, négyzetes alakok 6 Bilineáris alakok Legyen V, +,, K egy n dimenziós vektortér 6 Definíció A β : V V K leképezést bilineáris alaknak nevezzük, ha lineáris mindkét változójára nézve: 6 β x + x, y = β x, y + β x, y, β αx, y = αβ x, y ; β x, y + y = β x, y + β x, y, β x, αy = αβ x, y A bilineáris alakok halmazát β V, K = {β : V V K β bilineáris}- val jelöljük 6 Példa β : R 3 R 3 R, β x, y = x y + x y + x 3 y 3, x = x, x, x 3 t, y = y, y, y 3 t R 3 63 Tétel A β V, K halmaz vektoteret alkot Bizonyítás Ha β, β β V, K és α K akkor β + β x, y = β x, y + β x, y, α β x, y = α β x, y A lineáris transzformációkhoz hasonlóan, a bilineáris alakokat is mátrixokkal azonosítjuk Az n dimenziós V vektortérben legyen B = {e, e,, e n } egy bázis és x,, x n t, y,, y n t az x illetve y vektorok koordinátái 94

95 6 BILINEÁRIS ALAKOK 95 az adott bázisban Akkor a β : V V K bilineáris alak felírható: β x, y = β x e + + x n e n, y = β x e, y + + β x n e n, y = = x β e, y + + x n β e, y = = x β e, y e + + y n e n + + x n β e, y e + + y n e n = = x β e, e y + x β e, e y + + x n β e n, e n y n = a a a n y a = x x n a a n, y n a n a n a nn ahol a ij = β e i, e j 64 Tétel A β : V V K bilineáris alak felírható az alábbi alakban: a a a n 6 β x, y = x t a a a y, a n a n a nn ahol x = x,, x n t V, y = y,, y n t V 65 Definíció Az a ij i,j=,n = A = [β] B mátrixot a β bilineáris alak mátrixának nevezzük a B bázisban 66 Példa Ha β : R R R, β x, y = x y + x y, x = x, x t, y = y, y t R y, akkor β x, y = x x y vagyis a B kanonikus bázisban [β] B =, míg a B = {e, e },

96 e = 3 3, e = 6 BILINEÁRIS ALAKOK 96 β e bázisban [β] B =, e β e, e = β e, e β e, e 67 Tétel A bilineáris alakok halmaza izomorf az n n-es mátrixok halmazával: 63 β V, K = M n K, vagyis egy adott bázisban minden bilineáris alakhoz egyértelm en rendelhet hozzá egy n n-es mátrix 68 Definíció A β bilineáris alakot szimmetrikusnak nevezzük ha β x, y = β y, x, és antiszimmetrikusnak ha β x, y = β y, x, x, y V V 69 Tétel A β bilineáris alak szimmetrikus A = [β] B szimmetrikus A = A t A következ kben vizsgáljuk hogyan módosul a bilineáris alak mátrixa báziscsere esetén Legyen B = {e, e,, e n } és B = {e, e,, e n} két bázisa a V vektortérnek és T az áttérési mátrix a B és B bázisok között 6 Tétel Ha [β] B és [β] B -vel jelöljük a β : V V K bilineáris alak mátrixait a B illetve B bázisokban akkor: 64 [β] B = T t [β] B T 6 Példa Az el bbi példában [β] B = = T t 3 [β] B T = = [β] 3 B, T =

97 6 NÉGYZETES KVADRATIKUS ALAKOK 97 Kiemelt fontosságúak az olyan bázisok amelyben a bilineáris alak mátrixa diagonális [β] B = diag λ,, λ n Ebben az esetben a bilineáris alakot kanonikus alakúnak nevezzük és β k -val jelöljük: 65 β k x, y = x x n λ y = λ x y ++λ n x n y n λ n y n 6 Definíció Az u, v V vektorokat ortogonálisnak nevezzük a β -ra nézve ha β u, v = A {v,, v n } vektorrendszer ortogonális ha β v i, v j =, i j 63 Példa Ha β : R R R, β x, y = x y + x y, x = x, x t, y = y, y t R, akkor v =, v = ortogonálisak β-ra nézve mert β v, v = 6 Négyzetes kvadratikus alakok Legyen β : V V K egy szimmetrikus bilineáris alak ahol V egy n dimenziós vektortér 64 Definíció A q : V K, q x = β x, x, x V leképezést a β-hoz tartozó négyzetes alaknak nevezzük 65 Példa Ha β : R R R, β x, y = x y + x y + y x y = x x y x q x = β x, x = x x = x + 4x x x

98 6 NÉGYZETES KVADRATIKUS ALAKOK Tétel A q : V K négyzetes alak felírható az alábbi alakban: 6 n q x = a x +a x ++a nn x n+a x x ++a n,n x n x n = vagy mátrix alakban: 6 a a a n a a a n q x = x x n ahol x = x x n a n a n a nn x x n i= n a ij x i x j, j= = x t Ax = x, Ax, V és A egy szimmetrikus mátrix a ij = a ji, i, j A q alakját kanonikusnak nevezzük ha a mátrixa diagonális q x = x t Dx, D = diag λ λ n : 63 q x = x x n λ x = λ x ++λ n x n A továbbiakban olyan λ n x n 64 x = T y, lineáris transzformációkat keresünk amelyre a négyzetes alak kanonikus formát ölt x t Ax = T y t A T y = y t T t AT y = y t Dy,

99 6 NÉGYZETES KVADRATIKUS ALAKOK 99 ugyanis ekkor a 63 képletb l következtethetünk a q el jelére, például q x > ha λ,, λ n >, illetve q x < ha λ,, λ n < 67 Definíció Egy q : V R valós négyzetes alak a pozitív denit PD ha q x >, x ; b negatív denit ND ha q x <, x ; c pozitív szemidenit PSzD ha q x, x; d negatív szemidenit NSzD ha q x, x; e indenit I ha q x nem el jeltartó 68 Példa q : R 3 R, q x = x + x + x 3 PD, q x = x 3x x 3 ND, q x = x + x 3 PSz, q x = x 4x 3 NSz, q x = x x I 69 Példa Ha a q : R R, q x = x + x + x x 3 négyzetes alakban a x = y 3 y, x = 3 y, vagyis x = 3 lineáris transzformációt használjuk akkor a q négyzetes alak a következ kanonikus alakba írható: q y = y + 3 y Ha pedig a x = y y, x = y, vagyis x = y, lineáris transzformációt használjuk akkor a q a következ kanonikus alakba írható: q y = y + 3 y Habár különböz transzformációk különböz kanonikus alakot eredményeznek, a négyzetes alak el jele signaturája nem módosul 6 Tétel Sylvester tehetetlenségi tétele Egy négyzetes forma kanonikus alakja, transzformációtól függetlenül, mindig ugyanannyi pozitív, negatív és nulla tagot tartalmaz 6 Négyzetes alakok kanonikus alakra hozatala y,

100 6 NÉGYZETES KVADRATIKUS ALAKOK 6 Jacobi módszer Legyen q : R n R egy négyzetes alak q x = x x n A x, ahol A = a a n, a ij = x n a ji Jelöljük 65 =, = a, = a a a a a n a nn,, n = det A 6 Tétel Jacobi-Sylvester Ha i, i =, n, akkor létezik egy x = T y transzformáció amely következtében q kanonikus alakja: 66 q y = y + y + + n y n n A T = T o T o Tn o transzformációt az e i = kanonikus vektorok segítségével állítjuk el : t T o = c e 67 T o = c e + c e T o 3 = c 3 e + c 3 e + c 33 e 3

101 6 NÉGYZETES KVADRATIKUS ALAKOK ahol c = a a a a c =, c = = a a 3 a a 3 a a 3 a a 3 a 3 a 33 a 3 a 33 c 3 =, c 3 = c 33 = 3 3 a a a a a 3 a 3 = Következmény Ha i >, i =, n, vagyis >, >, 3 >, q PD Ha i i >, i =, n, vagyis <, >, 3 <, q ND 63 Példa Legyen q : R R, q x = x + x + x x x q x = x x, x = = >, = = 3 >, tehát q x > 3 pozitív denit Az x = T y ahol T = 3 transzformáció következtében a négyzetes alak átalakul q y = y t T t AT y = y t Dy ahol D =, tehát q y = y + 3 y A T 3

102 T = 6 NÉGYZETES KVADRATIKUS ALAKOK transzformációt a 67 képlettel határozzuk meg: T o = e =, T o 3 = e + e = Legyen q : R 3 R, q x = 3x + 3x + 4x 3 4x x x x 3, 3 x q x = x x x 3 3 x 4 x 3 3 = 3 = 3 >, = 3 = 5 >, 3 = 3 3 = 7 >, tehát q pozitív denit Az x = 4 T y ahol T = q kanonikus alakja: q y = 3 y y + 5 transzformáció következt ben a 7 y 3 6 Gauss-Lagrange módszer Legyen q : R n R, q x = i,j a ijx i x j egy négyzetes alak i Feltételezzük, hogy a ii Legyen a, akkor q x = a x + x + = a }{{} a x + a wx + w w + = =w = a x + w w + a a } {{ } =q

103 6 NÉGYZETES KVADRATIKUS ALAKOK 3 ahol q nem függ x -t l stb Az eljárást q -el folytatjuk míg egy változó marad y = x + x y = x x ii Ha a ii =, i akkor változócserét alkalmazunk: y 3 = x 3 és ezzel y együtthatója, majd folytatjuk az i lépéssel 64 Példa q x = 5x + 6x + 4x 3 4x x 4x x 3 = 5x + x x x 3 +6x + 4x 3 = } {{ } =w = 5 x + x 5w + w w + 6x + 4x 3 = 5 5 5x + w w 5 + 6x + 4x 3 = = 5 5x x x 3 x x 3 + 6x + 4x 5 3 } {{ } =q q = 5 x x 3 + 6x + 4x 3 = 6 5 x x x x 3 = 6 = 5 x 6 + x w + w w = Tehát q = 5 y y y 3 ahol y = 5x x x 3 6 y = x 5 4x 5 3 y 3 = x 3 63 Sajátérték, sajátvektor módszer Mivel q x = x t Ax négyzetes alak A M n R mátrixa szimmetrikus, ezért a sajátértékei valósak és az A mátrix diagonalizálható egy Q ortogonális mátrixxal: Q t AQ = D = diag λ, λ,, λ n,

104 6 NÉGYZETES KVADRATIKUS ALAKOK 4 ahol λ i az A sajátértékei Az 68 x = Qy változócserét eszközölve következik, hogy x t Ax = Qy t A Qy = y t Q t AQy = y t Dy = λ λ = y y y n λ n = λ y + λ y + + λ n yn vagyis 69 q y = λ y + λ y + + λ n yn y y y n = 65 Tétel i q x > λ i >, i =, n; ii q x < λ i <, i =, n; iii q x λ i, i =, n; iv q x λ i, i =, n; v q indenit k, l indexek úh λ k λ l < 66 Példa q x = x + 4x x + 4x A = 5 5 4, λ = 5 5 X =, λ = 5 Y = = Q = Q t y AQ = = D q y = y y D = 5 y 5y PSz Az x és y változók közötti kapcsolatot a 68 transzformációból kapjuk x = Qy = y

105 63 ALKALMAZÁSOK: KÚPSZELETEK 5 vagyis { x = 5 y + 5 y x = 5 y + 5 y Mivel Q ortogonális következik, hogy Q = Q t, tehát y = Q t x, ahonnan kifejezhet az y változó: { y = 5 x 5 x y = 5 x + 5 x 63 Alkalmazások: kúpszeletek Egy kúp metszete egy síkkal lehet: ellipszis kör, hiperbola, parabola Ezeket nemelfajult kúpszeleteknek nevezzük Az alábbi ábrákon láthatóak az említett görbék és a kanonikus egyenletük

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség 5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

A kvantummechanika általános formalizmusa

A kvantummechanika általános formalizmusa A kvantummechanika általános formalizmusa October 4, 2006 Jelen fejezetünk célja bevezetni egy általános matematikai formalizmust amelynek segítségével a végtelen dimenziós vektorterek elegánsan tárgyalhatók.

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

1. Lineáris leképezések

1. Lineáris leképezések Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2

Részletesebben

Bevezetés 3. Vizsga tételsor 5. 1 Komplex számok 6. 2 Lineáris algebra 10. 2.2Vektorterek 11

Bevezetés 3. Vizsga tételsor 5. 1 Komplex számok 6. 2 Lineáris algebra 10. 2.2Vektorterek 11 Bevezetés a számításelméletbe 1. A BME I. éves mérnök-informatikus hallgatói számára segédlet a 2007. őszi előadáshoz Összeállította: Fleiner Tamás Utolsó frissítés: 2010. január 13. Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. egyetemi jegyzet mobidiák

Részletesebben

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. FELADATOK A RELÁCIÓK, GRÁFOK TÉMAKÖRHÖZ 1. rész A feladatsorban használt jelölések: R = {r R r < 0}, R + = {r R r>0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. 4.1. Feladat. Adja meg az α = {(x, y) x +

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Lineáris Algebra GEMAN 203-B A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Mátrixaritmetika. Tartalom: Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255 TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Ismert fogalmak Témák Vektortér Lineáris kombináció Lineáris függőség, függetlenség Generátorrendszer, bázis, dimenzió Lineáris leképezések Szabadvektorok vektortere

Részletesebben

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Szakdolgozat Készítette: Borostyán Dóra Matematika BSc matematikai elemző Témavezető:

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?

Részletesebben

Matematikai programozás gyakorlatok

Matematikai programozás gyakorlatok VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a

Részletesebben

Vektortér. A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet).

Vektortér. A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet). Vektortér A vektortér (lineáris tér, lineáris vektortér) két, már tanult algebrai struktúrát kapcsol össze. Def.: Legyen V nemüres halmaz, amelyben egy összeadásnak nevezett művelet van definiálva, és

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

Juhász Tibor. Lineáris algebra

Juhász Tibor. Lineáris algebra Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék III 1. Aritmetika 1 1.1. Elemi számolási szabályok............................... 1 1.1.1. Számok..................................... 1 1.1.1.1. Természetes, egész és racionális számok.............. 1

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

Hálók kongruenciahálója

Hálók kongruenciahálója Hálók kongruenciahálója Diplomamunka Írta: Skublics Benedek Témavezet : Pálfy Péter Pál Eötvös Loránd Tudományegyetem Matematikai Intézet 2007 Tartalomjegyzék Bevezetés 1 1. Hálók kongruenciái 3 1.1. A

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét!

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! 5. gyakorlat Lineáris leképezések Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! f : IR IR, f(x) 5x Mit rendel hozzá ez a függvény két szám összegéhez? x, x IR, f(x +

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 2016 Fazekas, Berzsenyi Budapest Berzsenyi Dániel Gimnázium Fazekas Mihály Gimnázium Budapest 2. javított kiadás 2016. március 1115. Technikai el készítés, tördelés:

Részletesebben

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal.................................. 3.. Egyenes vektoriális egyenlete..............................

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

2. Interpolációs görbetervezés

2. Interpolációs görbetervezés 2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,

Részletesebben

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára Párosítások 2012. november 19. Előadó: Hajnal Péter 1. Alapfogalmak Emlékeztető. Legyen G egy gráf, E(G) a G élhalmaza, V (G) gráfunk csúcshalmaza.

Részletesebben

Tartalom. Descartes-koordináták. Geometriai értelmezés. Pont. Egyenes. Klár Gergely tremere@elte.hu. 2010/2011. tavaszi félév

Tartalom. Descartes-koordináták. Geometriai értelmezés. Pont. Egyenes. Klár Gergely tremere@elte.hu. 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Egyenes Sík Háromszög Gömb 2010/2011. tavaszi félév Descartes-koordináták Geometriai értelmezés

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt S T A T I K A Ez az anyag az "Alapítvány a Magyar Felsôoktatásért és Kutatásért" és a "Gépészmérnök Képzésért Alapítvány" támogatásával készült a Mûszaki Mechanikai Tanszéken kísérleti jelleggel, hogy

Részletesebben

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Lineáris algebra bevezető

Lineáris algebra bevezető Lineáris algebra bevezető 1 Egyismeretlenes egyenletek bemelegítés Az ilyen egyenletek rendezés után ax = b alakba írhatók Ha a 0, akkor a(z egyértelmű megoldás x = b/a Ha a = 0, akkor b 0 esetben nincs

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

DIFFERENCIAEGYENLETEK

DIFFERENCIAEGYENLETEK DIFFERENCIAEGYENLETEK A gazdaság változómennyiségeit (jövedelem, fogyasztás, beruházás,...) általában bizonyos időszakonként (naponta, hetente, havonta, évente) figyeljük meg. Ha ezeket a megfigyeléseket

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

Funkcionálanalízis az alkalmazott matematikában

Funkcionálanalízis az alkalmazott matematikában EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Simon Péter Funkcionálanalízis az alkalmazott matematikában egyetemi jegyzet A jegyzet az ELTE IK 2010. évi Jegyzettámogatási pályázat támogatásával készült

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

Egyetemi matematika az iskolában

Egyetemi matematika az iskolában Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Klasszikus alkalmazások

Klasszikus alkalmazások Klasszikus alkalmazások Termelésoptimalizálás Hozzárendelési probléma: folytonos eset Arbitrázsárazás p. Termelésoptimalizálás A gazdasági élet és a logisztika területén gyakran találkozunk lineáris optimalizálási

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

TENZORSZÁMÍTÁS INDEXES JELÖLÉSMÓDBAN

TENZORSZÁMÍTÁS INDEXES JELÖLÉSMÓDBAN Kozák Imre Szeidl György TENZORSZÁMÍTÁS INDEXES JELÖLÉSMÓDBAN Második, bővített kiadás MISKOLC 2013 Kozák Imre Szeidl György TENZORSZÁMÍTÁS INDEXES JELÖLÉSMÓDBAN Második, bővített kiadás MISKOLC 2013

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1

Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1 2. fejezet Halmazelmélet D 2.1 Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenl nek, ha elemeik ugyanazok. A halmazt, melynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Jele:. D 2.2 Az A halmazt a B halmaz

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam Készült az EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet alapján. Érvényesség kezdete: 2013.09.01. Utoljára indítható:.. Dunaújváros,

Részletesebben

Absztrakt algebra I. Csoportelmélet

Absztrakt algebra I. Csoportelmélet Absztrakt algebra I. Csoportelmélet Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem 2006 Bevezetés Ez az anyag tartalmazza az Algebra és számelmélet című tárgy 4. féléves részének kötelező elméleti

Részletesebben

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

Elektromágneses hullámok - Hullámoptika

Elektromágneses hullámok - Hullámoptika Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (c) Elektromágneses hullámok - Hullámoptika Utolsó módosítás: 2015. január 17. 1 Az elektromágneses hullámok visszaverődési és törési törvényei (1) Kérdés: Mi történik

Részletesebben

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A =

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A = Mátrixok 25. február 23.. Feladat: Legyen A ( 3 2 B ( 3 4 Határozzuk meg A + B, A B, 2A, 3B, 2A 3B,A T és (B T T mátrixokat. A deníciók alapján ( + 3 + 3 + A + B 2 + 4 + + ( 4 2 6 2 ( ( 3 3 2 4 A B 2 4

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. *************** JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS II. Folytonosság, differenciálhatóság *************** Pécs, 1996 Lektorok: DR. SZÉKELYHIDI LÁSZLÓ egyetemi tanár, a mat. tud. doktora DR. SZILI LÁSZLÓ

Részletesebben

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I Készült a TÁMOP-412-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben