86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009"

Átírás

1 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek mérhetők és négyzetesen integrálhatók [,]-n, azaz f dm <. Mint azt már korábban láttuk, a skaláris szorzat definíciója ezen a téren f,g f g dm. A továbbiakban ebben a fejezetben a ebesgue-integrálokat is egyszerűen ftgt dt-vel jelöljük. Tekintsük a [,] intervallumon definiált t e ikt komplex értékű függvények rendszerét: S def { e ikt : k, ±1, ±,... Megmutatjuk, hogy S ortogonális rendszer [,], C-ben Állítás. Az 5.1 képlettel definiált S függvényrendszer ortogonális rendszer az [,], C Hilbert-térben. Bizonyítás: egyen k l, és tekintsük következő skaláris szorzatokat: } 5.1 e ikt,e ilt 1 ik l e ikt e ilt dt [e ik lt] t t e ikt e ilt dt e ik lt dt 1 [ ] e ik l 1 ik l. Tehát S egy ortogonális rendszert alkot [,], C-ben. Számítsuk ki S elemeinek normáit: e ikt e ikt,e ikt ha k Z. Ezért definiáljuk az e ikt e ikt dt 1/ S C def e ikt e ikt dt 1/ { } 1 e ikt : k, ±1, ±,... dt 1/, függvényrendszert. Ez már ortonormált rendszer lesz [,], C-ben, sőt belátható, hogy maximális is: 5.. Tétel. Az 5.3 képlettel definiált S C halmazrendszer maximális ortonormált rendszer az [,], C Hilbert-térben. Alkalmazható tehát az S C függvényrendszerre a 4.9. Tétel, azaz például az [,], C tér elemeit az S C rendszerre vonatkozó Fourier-sorba fejthetjük, és a Fourier-sor konvergál az normában az adott függvényhez. A 4.9. Tétel jelölését használva: f k Z f, 1 e ikt 1 e ikt.

2 5. Fourier-elmélet 87 Ennek megfelelően az f [,], C komplex trigonometrikus Fourier-során az ft k végtelen sort értjük, ahol a c k Fourier-együtthatók képlete c k 1 1 f, e ikt 1 c k e ikt 5.4 Azt mondjuk, hogy a t [,] pontban az f Fourier-sora konvergens, ha az s n t n k n c k e ikt, n 1,,..., fte ikt dt. 5.5 szimmetrikus részletösszegek sorozata konvergens, n esetén. Azt mondjuk, hogy az f függvény Fourier-sora normában vagy négyzetintegrálban konvergál az f függvényhez, ha f s n ft s n t dt, ha n. Világos az eddigiek alapján, hogy a négyzetintegrálban való konvergenciából nem következik a pontonkénti konvergencia. A definícióból, a skaláris szorzat linearitásából és a konvergens sorok tulajdonságaiból rögtön következik, hogy a Fourier-sor számítása lineáris művelet az alábbi értelemben: 5.3. Állítás. egyen f 1,f [,], C, α C. Ekkor 1. az f 1 + f függvény Fourier-sora az f 1 és f függvények Fourier-sorainak összege,. az αf 1 függvény Fourier-sora az f 1 függvény Fourier-sorának α-szorosa. Az S C halmazrendszer maximalitásából és a 4.9. Tételből rögtön következik az alábbi eredmény Tétel. egyen S C az 5.3 képlettel definiált halmazrendszer. Ekkor a következő állítások teljesülnek. 1. Ha valamely f [,], C függvényre c k 1 fte ikt dt, k, ±1, ±,... azaz az f függvény Fourier-együtthatói nullák, más szóval az f merőleges az S C halmazra f S C, akkor ft, m.m. t [,]-re.. Az f függvény Fourier-sora négyzetesen konvergál az f függvényhez, azaz n ft c k e ikt dt, ha n. 3. Teljesül a Parseval-azonosság, azaz k n 1 f 1 ft dt k c k lim n n k n c k.

3 88 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 Bizonyítás nélkül tekintsük az alábbi fontos eredményt Tétel Riesz Fisher-tétel. Tetszőleges olyan γ k C, k, ±1, ±,..., konstansokhoz, amelyekre γ k < k teljesül, létezik olyan f [,], C függvény, hogy γ k 1 fte ikt dt c k azaz γ,γ ±1,γ ±,... az f függvény Fourier-együtthatói, és négyzetintegrálban konvergál f-hez. k γ k e ikt A Riesz Fisher-tételt alkalmazva kapjuk, hogy ha egy f [,], C függvényhez hozzárendeljük a Fourier-együtthatóinak c k k Z két irányban végtelen sorozatát, akkor egy lineáris izomorfiát kapunk a [,], C és a négyzetesen összegezhető két irányban végtelen sorozatok Banach-tere között. Ha ebben a térben egy c k k Z sorozat normáját a c k k c k 1/ képlettel értelmezzük, akkor a fenti lineáris izomorfia izometria is lesz a Parseval-formula miatt Megjegyzés. Ha f és g két szerint periodikus függvény, akkor ftgt dt ftgt dt, ezért az S C függvényrendszer az [,π], C Hilbert-téren is maximális ortonormált, továbbá az S C -re vonatkozó Fourier-sor az [,π], C Hilbert-téren is 5.4 alakú lesz, ahol a c k Fourier-együtthatókat a c k 1 fte ikt dt képlettel számoljuk ki Megjegyzés. Az előbbi meggondolást általánosíthatjuk. Ha f és g két szerint periodikus függvény, akkor az ft f t b a és gt g t b a összetett függvények b a szerint periodikus függvények lesznek, és b a ft gt dt b a f t t g dt b a b a b a b b a a b a fxgx dx b a fxgx dx, speciálisan, f [a,b],c b a f [,],C.

4 5. Fourier-elmélet 89 Ezért az S C halmaz elemeit a b a együtthatóval megszorozva és új változót bevezetve tekintsük az [a,b] intervallomon értelmezett t 1 ik b a e b a t függvényekből álló { } def 1 ik S [a,b] e b a t : k, ±1, ±,... b a függvényrendszert. Ez maximális ortonormált rendszer lesz az [a,b], C Hilbert-téren. Egy f [a,b], C függvény Fourier-során ezért az ik f c k e b a t k végtelen sort értjük, ahol a c k Fourier-együtthatók képlete c k 1 b a b a ik fte b a t dt, k, ±1, ±,.... Az 5.4. Tétel értelemszerűen kiterjeszthető [a,b], C-re. 5.. Valós trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,π], R Hilbert-teret. egyen S def {1,cos x,sin x,cos x,sin x,cos 3x,sin 3x,...,cos kx,sin kx,...} a [,π]-n értelmezett függvények halmaza. Megmutatjuk, hogy az S halmaz ortogonális rendszer [,π], R-ben Állítás. Az S függvényhalmaz ortogonális rendszer az [,π], R Hilbert-térben. Bizonyítás: Az állítás direkt módon is könnyen belátható, de most mi az S ortogonalitását az előző szakaszban bevezetett S függvényhalmaz ortogonalitását felhasználva indokoljuk. egyen k N. A cos kx eikx + e ikx és sin kx eikx e ikx i Euler-képletek értelmében sinkx és cos kx lineáris kombinációja az e ikx és e ikx függvényeknek. Ez persze fordítva is teljesül, az e ikx és e ikx függvények is felírhatók sinkx és cos kx lineáris kombinációjaként. Ezért a Állítás szerint, ha egy függvény ortogonális az e ikx és e ikx függvényekre, akkor ortogonális a sin kx és cos kx függvényekre is. Ezért az 5.6. Megjegyzést alkalmazva kapjuk, sinkx és cos kx is ortogonális bármely e ilx függvényre, ahol l k. De ekkor a fentiekből következik, hogy sinkx és cos kx ortogonális bármely sin lx és cos lx függvényre, valamint a konstans 1 függvényre is. Most már csak azt kell belátni, hogy sinkx és cos kx egymásra is ortogonális. Az 5.1. Állítás és 5. alapján kapjuk e ikx + e ikx cos kx,sin kx, eikx e ikx i 1 e ikx,e ikx e ikx,e ikx + e ikx,e ikx e ikx,e ikx 4ī 1 + 4ī Ezzel a bizonyítás teljes..

5 9 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 Számítsuk ki S elemeinek normáját. egyen k. Ekkor e ikx + e ikx cos kx, eikx + e ikx 1/ 1 e ikx,e ikx + e ikx,e ikx + e ikx,e ikx + e ikx,e ikx 1 1/ Hasolóan kapjuk, hogy π. e ikx e ikx sin kx, eikx e ikx 1/ π, i i valamint a konstans 1 függvény normája Kaptuk tehát a következő eredményt: 1/ 1 1dx. 1/ 5.9. Állítás. Az S R def { 1, cos x, sin x, cosx } sin x cos kx sin kx,,...,,... π π π π π π 5.6 függvényrendszer ortonormált rendszer az [,π], R Hilbert-térben. A 4.9. Tétel szerint az [,π], R tér elemeit az S R rendszerre vonatkozó Fourier-sorba fejthetjük, és a Fourier-sor konvergál az normában az adott függvényhez. A 4.9. Tétel jelölését használva: fx 1 1 fx, + cos kx cos kx fx, + π π sin kx sin kx fx,. π π Ennek megfelelően az f [,π], R valós trigonometrikus Fourier-során az fx a + a k cos kx + b k sinkx 5.7 végtelen sort értjük, ahol az a,a 1,...,b 1,b,... Fourier-együtthatók képlete a k 1 π b k 1 π fxcos kxdx k,1,...,n, fxsin kxdx k 1,,...,n A 4.9. Tételből rögtön következik az 5.4. Tétel valós Fourier-sorokra vonatkozó alakja Tétel. egyen S R az 5.6 képlettel definiált halmazrendszer. Ekkor

6 5. Fourier-elmélet Ha valamely f [,π], R függvényre és a k 1 π b k 1 π ftcos kxdx, k,1,... ftsin kxdx, k 1,,..., azaz az f függvény összes Fourier-együtthatója nulla, más szóval az f merőleges az S R halmazra, akkor fx, m.m. x [,π]-re.. Az f függvény Fourier-sora négyzetintegrálban konvergál az f függvényhez, azaz fx a n a k cos kx + b k sinkx dx, n. 3. Parseval-azonosság: a + a k + b k 1 π f xdx. A Riesz Fisher-tétel valós Fourier-sorokra vonatkozó alakja: Tétel Riesz-Fischer tétel. Tetszőlegesen előírt a,a k,b k k 1 valós számokhoz, amelyekre a + a k + b k <, van olyan f [,π], R függvény, hogy a,a 1,...,a k,...,b 1,...,b k,... az f függvénynek az S R rendszerre vonatkozó Fourier-együtthatói. Az 5.7. Megjegyzésnek megfelelően egy tetszőleges [,] halmazon értelmezett valós függvénynek értelmezhetjük a Fourier-sorát Megjegyzés. Tekintsük a [,] intervallumon értelmezett { πx πx x x def 1 cos S R, sin, cos, sin,,,..., cos kπx, } kπx sin,... függvényrendszert. Ez maximális ortonormált rendszer lesz az [,], R Hilbert-térben. Egy f [,], R függvény Fourier-során az fx a + a k cos kπx + b k sin kπx végtelen sort értjük, ahol az a k,b k Fourier-együtthatók képlete a k 1 b k 1 f xcos kπx f xsin kπx dx, k,1,..., dx, k 1,, Most megmutatjuk, hogy valós függvényekre a komplex trigonometrikus Fourier-sor egybeesik a valós trigonometrikus Fourier-sorral.

7 9 MAM11M előadásjegyzet, 8/ Állítás. egyen f [,π], R. Ekkor f-nek az S C és az S R rendszerekre vonatkozó Fourier-sora megegyezik. Bizonyítás: egyen f [,π], R valós függvény, és legyenek a c k,a k és b k konstansok az 5.5, 5.8 és 5.9 képletekkel definiálva. Ekkor az f komplex Fourier-sora fx k c k e ikx c + c k e ikx + Másrészt az Euler-azonosság alapján és így c k 1 fue iku du 1 1 k c k e ikx c + c k e ikx + c k e ikx. fucos kudu i 1 fusin kudu c k 1 fue iku du 1 fucos kudu + i 1 fusin kudu c k, Ezt felhasználva fx k c k e ikx c k e ikx c k e ikx, k 1,,.... c k e ikx c + c k e ikx + c k e ikx c + Re c k e ikx. Ugyanakkor [ Re c k e ikx 1 π Re 1 π fucos kudu π a k cos kx + b k sin kx, fucos kudu i 1 1 cos kx + π fusin kudu fusin kudu ] cos kx + isin kx sinkx továbbá Ezért fx k c a 1 fxdx. c k e ikx a + a k cos kx + b k sin kx. Azt mondjuk, hogy az f függvény Fourier-sora tiszta szinuszos sor, ha csak szinuszos tagokat tartalmaz, azaz a k minden k,1,,...-re. Ha pedig f Fourier-sora csak koszinuszos tagokat tartalmaz, azaz b k minden k 1,,...-re, akkor azt mondjuk, hogy a Fourier-sor tiszta koszinuszos sor Állítás. egyen f [,], R. 1. Ha f páratlan függvény, akkor a Fourier-sora tiszta szinuszos sor.. Ha f páros függvény, akkor a Fourier-sora tiszta koszinuszos sor.

8 5. Fourier-elmélet 93 Bizonyítás: 1. Tegyük fel, hogy f páratlan. Ekkor az fxcos kπx a k 1. Ha f páros, akkor az fxsin kπx b k 1 fxcos kπx dx, k,1,,.... függvény lesz páratlan, ezért függvény is páratlan, ezért fxsin kπx dx, k 1,, Példa. Tekintsük a szerint periodikus f : R R függvényt, amelyre f x x, ha π x < π. Fejtsük f-et Fourier-sorba! Vegyük észre, hogy f páratlan függvény, így csak a szinuszos tagok együtthatóit kell kiszámolni: Parciális integrálással kapjuk xsin kxdx [ x [ x b k 1 π ] cos kx π k cos kx k xsin kxdx. + 1 cos kxdx k [ ] sin kx π ] π + 1 k k cos kπ + cos kπ + 1 k k k sin kπ 1 k sin kπ k cos kπ. Tehát és így b k k cos kπ k 1k, k 1,,..., sin x sin 3x sin 4x fx sin x Példa. Tekintsük most a szerint periodikus f : R R függvényt, amelyre f x x, ha x <. Az előző példához hasonló módon végigszámítható, hogy b k 1 xsin kπx dx kπ 1k, k 1,,..., így fx π sin πx x sin + sin 3πx 3 sin 4πx 4 +.

9 94 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 Ezt az eredményt megkaphatjuk úgy is, hogy definiáljuk a gt f π t, t R függvényt. Ekkor g szerint periodikus és gt πt, ha t [,π, így az előző példából is megkapható a sorfejtés Példa. egyen f : R R olyan α szerint periodikus függvény, amelyre fx sin x, α < x < α, ahol α olyan valós szám, amelyre α > és α kπ, k 1,,.... Mivel f páratlan függvény, a Fourier-sora csak szinuszos tagokat tartalmaz, amelyek együtthatói b k b k α és b k α 1 α 1 α α α α α sinxsin kπx α dx kπ kπ cos α 1 x cos α + 1 xdx [ 1 sin kπ α 1 x α kπ α 1 sin kπ α + 1 x kπ α sinkπ α sin kπ + α α kπ α 1 kπ α α 1 α sinkπ cos α cos kπ sinα kπ α 1 1 k sin α 1 kπ α 1k sin α α 1k sin α kπ α + 1 kπ α kπ α 1 kπ α kπ α + 1 kπ 1 k sin α α kπ. Tehát az f függvény Fourier-sora: fx sin α ] xα x α 1 k k α sin kx. kπ sin kπ cos α + cos kπ sin α kπ α + 1 Vizsgáljuk azt az esetet, amikor α π. Ekkor k 1-re a Hospital-szabályt alkalmazva kapjuk egyébként pedig lim b sin α cos α 1α lim α π α π α π lim 1, α π α lim b kα, k,3,.... α π Tehát a Fourier-sor együtthatói tartanak a periodikus sin x függvény Fourier-sorának együtthatóihoz.

10 5. Fourier-elmélet Valós Fourier-sorok pontonkénti konvergenciája Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : R R valós függvény szakaszonként folytonosan differenciálható, ha bármely korlátos [a, b] intervallumon véges sok szakadási pontja van, bármely x szakadási pontjában léteznek az fx + lim x x + fx, fx lim x x fx egyoldali függvényhatárértékek és az f fx fx + x + lim, f fx fx x lim x x + x x x x x x egyoldali deriváltak, továbbá bármely két szakadási pontja közötti nyílt intervallumon folytonosan differenciálható. Bizonyítás nélkül tekintsük a következő eredményt, amely a Fourier-sorok pontonkénti konvergenciájára vonatkozik Tétel. egyen f : R R szakaszonként folytonosan differenciálható szerint periodikus függvény. Ekkor bármely x R pontban az f függvény S R, rendszerre vonatkozó 5.1 Fouriersora konvergál az fx+ + fx határértékhez. Speciálisan, ha f folytonos az x pontban, akkor a Fourier-sora x-ben konvergál az fx függvényértékhez. Ha egy f [,π], R függvény Fourier-sorának pontonkénti konvergenciáját vizsgáljuk, akkor először periodikusan kiterjesztjük f-et R-re, és a kiterjesztett függvényre alkalmazzuk a tételt. Megjegyezzük, hogy a periodikus kiterjesztés csak akkor lehetséges, ha f fπ. Egyébként vagy az f vagy az fπ függvényértéket használjuk a periodikus kiterjesztéshez, azaz a kiterjeszett függvény egy pontben nem egyezik meg az eredeti függvénnyel. Viszont a két függvény Fourier-együtthatói, és így a Fourier-sora is megegyezik. 5.. Példa. Tekintsük újra az Példában kiszámított Fourier-sort. Az előbbi tételt alkalmazva kapjuk, hogy a Fourier-sor pontonként konvergens, és sin x sinx { sin 3x sin 4x x, < x < π, , x és x π. A Fourier-sor n-edik részletösszegét jelölje f n x def sin x sin 3x sin 4x sin x nsin nx n A következő ábrán az f,f 4 és f 6 közelítő összegek grafikonja látható. Ebből is érzékelhető a Fourier-sor konvergenciája..

11 96 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 3 1 f f 4 f Az f x, f 4 x és f 6 x részletösszegek grafikonja. A Fourier-sorok egyik legfontosabb alkalmazási területe a parciális differenciálegyenletek elméletében található, ahol bizonyos feladatokat a megoldások Fourier-sorba fejtésével oldunk meg. Az egyik kulcs kérdés a módszer alkalmazásánál, mikor lehet differenciálni a Fouriersort, ill. a végtelen összeg deriváltját tagonkénti differenciálással kiszámolni. Erre ad választ a következő tétel, amit szintén bizonyítás nélkül közlünk Tétel. egyen f : [, π] R folytonos, szakaszonként folytonosan differenciálható, továbbá f fπ. Ekkor az f függvény Fourier-sora abszolút és egyenletesen konvergál a [,π] intervallumon az f függvényhez, azaz fx a + a k cos kx + b k sin kx, ahol a k,b k az 5.8 és 5.9 képletekkel definiált Fourier-együtthatók. Továbbá, f Fourier-sorát f Fourier-sorának tagonkénti differenciálásával megkaphatjuk, azaz f x ka k sin kx + kb k cos kx. Minden olyan x pontban, ahol f x létezik, az előző reláció egyenlőséggel helyettesíthető. Az és 5.1. Tételeket nyilvánvaló módon terjeszthetjük ki arra az esetre, amikor az f függvény a [,] szimmetrikus intervallumon definiált Tiszta koszinuszos és szinuszos Fourier-sorok Ebben a szakaszban azzal a kérdéssel foglalkozunk, hogyan lehet Fourier-sorba fejteni egy [,] alakú intervallumon definiált függvényt. Egy természetes ötlet erre az, hogy kiterjesztjük a függvényt a [, ] intervallumra, és a kiterjesztett függvénynek számítjuk ki a Fourier-sorát. Ekkor az Tételben megadott feltételek teljesülése esetében a Fourier-sor konvergál a kiterjeszett függvényhez, ill. [, ]-re leszűkítve a Fourier-sor értelmezési tartományát, az eredeti függvényhez. Két speciális esetet vizsgálunk: páros ill. páratlan függvényként terjesztjük ki a függvényt. Tekintsük először a páros kiterjesztés esetét. egyen f : [, ] R adott, és legyen { f x, x [, fx fx, x [,].

12 5. Fourier-elmélet 97 Ekkor f Fourier-sora az Állítás szerint tiszta koszinuszos sor, így a Fourier-sorában minden b k. Az a k Fourier-együtthatókat az a k 1 fxcos kπx dx 1 fxcos kπx dx + fxcos kπx dx kπx képlettel számíthatjuk ki. Mivel fxcos két páros függvény szorzata, ezért maga is páros függvény, így a fenti két integrál megegyezik, tehát a k fxcos kπx dx, k,1,, Most tekintsük azt az esetet, hogy páratlan módon terjesztjük ki f-et a [, ] intervallumra, azaz legyen { f x, x [,], fx, x, fx, x [,]. Ekkor f páratlan periodikus függvény, ezért a Fourier-sora tiszta szinuszos sor lesz, azaz minden a k. A b k együtthatókat az előző esethez hasonló levezetéssel kapjuk: b k 1 1 fxsin kπx dx fxsin kπx dx + fxsin kπx fxsin kπx dx dx, k 1,, Az előző levezetésből rögtön következik az alábbi eredmény. Ha a kiterjeszett függvény páros, akkor annak Fourier-sora tiszta koszinuszos sor lesz, 5.. Állítás. Az és az S cos def {1, cos x, cos x, cos 3x,...} S sin def {sin x, sinx, sin 3x,...} rendszerek egyaránt teljes ortogonális rendszert alkotnak a [, π] intervallumon Példa. Számítsuk ki a [,π] intervallumra megszorított sin x függvény tiszta koszinuszos sorát, azaz az S cos függvényrendszerre vonatkozó Fourier-sorát! Az 5.11 képletet és trigonometrikus azonosságokat alkalmazva kapjuk k 1-re, hogy a k π 1 π 1 π 1 π [ sin xcos kxdx sin1 + kx + sin1 kxdx cos1 + kx 1 + k 11+k k 1k + 1 π 1k + 1 π cos1 kx 1 k ] π 11 k 1 1 k k k 1 k.

13 98 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 k 1-re kapjuk a 1 π sin xcos xdx 1 π sin xdx 1 π [ cos x Az Tétel szerint a Fourier-sor minden pontban konvergál a függvényhez, tehát kapjuk, hogy sin x 1 + cos x + cos 4x + cos 6x +, x [,π]. π Megjegyezzük, hogy a sin x függvény tiszta szinuszos Fourier-sora természetesen önmaga azaz b 1 1 és b k minden k > 1-re. ] π Példa. Számítsuk ki az f : [, 5] R, fx 1 függvény tiszta szinuszos Fourier-sorát! Az 5.1 képlet szerint b k [ ] 5 sin kπx 5 5 dx kπx 5 cos 5 1 cos kπ 5 kπ kπ kπ 1 1k, k 1,,..., 5 ezért 1 4 π sin πx πx sin πx sin πx sin 7 5 +, x,5. x és x 5-re a Fourier-sor összege. Ha x 5/-et helyettesítünk be az előző egyenletbe, akkor kapjuk a π ú.n., Euler-összefüggést. Jelölje f n a Fourier-sor n-edik részletösszegét, azaz f n x n b k sin kπx 5. A bal oldali ábrán az f 5 x, f 17 x és f 41 x részletösszegek grafikonjai, a jobb oldalin pedig az f 81 x részletösszeg grafikonjának kinagyított része látható. 1. f 5 f 17 f Az ábra azt igazolja, hogy a részletösszegek n növekedésével egyre jobban közelítik a konstans 1 függvény grafikonját. Viszont ez a határérték nem egyenletes, az intervallum két végpontjához közel a Fourier-sor részletösszegeinek maximuma kb körüli értéket vesz fel. Numerikusan ellenőrizhetjük, hogy ez a maximum n növelésével nem változik, csak azt a részletösszeg függvény egyre közelebb veszi fel az intervallum végpontjához. Hasonló viselkedés figyelhető meg nem folytonos függvények véges Fourier-féle közelítő összegeinél. Ezt a jelenséget Gibbs-jelenségnek hívjuk. Az f függvény tiszta koszinuszos Fourier-sora 1, azaz a, a k b k minden k 1,,...-ra.

14 5. Fourier-elmélet Fourier-transzformált és Fourier-integrál egyen f : R C szakaszonként folytonosan differenciálható függvény, amely nem szükségszerűen periodikus. egyen > állandó, g : R C olyan periodikus függvény, amelyre g x fx, < x <. Írjuk fel g komplex Fourier-sorát. A g függvény Fourier-együtthatói és ezért g x n c n 1 g te in π t dt, 1 g te in π t dt e in π x, x R. Mivel g x fx ha < x <, így az Tétel szerint egyen fx+ + fx n 1 fte in π t dt e in π x, λ n nπ. def Ekkor λ n λ n+1 λ n π. Ezzel a jelöléssel az előbbi egyenlet az fx+ + fx n alakban írható fel. Ez minden -re teljesül, ezért Definiáljuk az fx+ + fx lim n 1 fte iλnt dt e iλnx λ n, 1 fte iλnt dt F : R C, Fλ 1 x,. x, e iλnx λ n, x R fte iλt dt 5.14 függvényt, amelyet az f függvény Fourier-transzformáltjának vagy komplex Fourier-integráljának nevezünk. Ezzel a jelöléssel kapjuk az 5.13 egyenletből, formálisan először a zárójelen belül elvégezve a határátmenetet, hogy fx+ + fx lim n 1 Fλ n e iλnx λ n, x R. A jobb oldali összeg egy improprius integrál Riemann-féle közelítő összege, ahol a {λ n : n Z} osztópontokat használjuk a számegyenes felosztásához, így kapjuk, hogy fx+ + fx 1 Fλe iλx dλ, x R Az 5.14 és 5.15 képletet együtt a Fourier-féle inverziós formuláknak nevezzük. Hangsúlyozni kell, hogy a fenti levezetés csak formális számolás volt. A képletek precízen is levezethetők a következő feltétel mellett: ft dt <.

15 1 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 Azon f : R C ebesgue-mérhető függvények lineáris terét, amelyek abszolút értéke az egész számegyenesen végesen ebesgue-integrálható, azaz amelyekre a fenti egyenlőtlenség teljesül, 1 R, C-vel jelöljük. Ezzel a jelöléssel a következőképpen foglalhatjuk össze az eredményünket Tétel. egyen f 1 R, C szakaszonkén folytonosan differenciálható függvény. Ekkor érvényes az ún. Fourier-féle integrálformula: 1 Fλe iλx dλ 1 fte iλt dt e iλx dλ fx + fx+, x R. Vizsgáljuk meg most azt az esetet, amikor az f valós függvény, azaz f : R R. Ekkor a Fourier-féle integrálformulán a következő átalakításokat végezzük: fte iλt dt e iλx dλ fte iλx t dt fte iλx t dt dλ dλ + 1 fte iλx t dt dλ. Használva az u λ du dλ helyettesítést az első integrálban, kapjuk, hogy fte iλt dt e iλx dλ fte iux t dt ft du + 1 e iλx t + e iλx t dt Mivel e iλx t + e iλx t cos λx t, f valós függvény, ezért fx+ + fx 1 π fte iλx t dt dλ dλ. ftcos λx tdt dλ. Ez a valós Fourier-féle integrálformula. A jobb oldalon álló integrálban a cos függvényt kifejtve kapjuk a következő állítást Következmény. egyen f 1 R, R szakaszonkén folytonosan differenciálható függvény. Ekkor Aλcos λx + Bλsin λx dλ fx+ + fx, x R, 5.16 ahol Aλ 1 ftcos λt dt és Bλ 1 π π ftsin λt dt Az 5.16 egyenlet bal oldalán álló integrált valós Fourier-integrálnak nevezzük.

16 5. Fourier-elmélet Példa. Írjuk fel az függvény Fourier-integrálját! Az 5.17 képletek szerint f : R R, fx Aλ 1 ftcos λt dt π 1 3cos λt dt + π [ 1 ] sin λt [ π λ { 3, x [,], 5, x,4],, x < vagy x > cos λt dt sin λt λ 3sin λ + 5sin 4λ. πλ Megjegyezzük, hogy Aλ folytonosan kiterjeszthető λ -ra is, hiszen létezik a 3sin λ 5sin 4λ 6 + lim Aλ lim + 14 λ λ πλ πλ π π határérték. Bλ hasonlóan számítható: Bλ 1 π [ 1 3 π 3sin λt dt + cos λt λ ] 4 [ + 5 ] 4 5sin λt dt cos λt λ 8 3cos λ 5cos 4λ. πλ Megmutatható, hogy lim λ Bλ. Az 5.6. Következmény szerint 3sin λ + 5sin 4λ cos λx + πλ 8 3cos λ 5cos 4λ πλ ] 4 sin λx dλ, x <, 3/, x, 3, x,, 1, x, 5, x,4, 5/, x 4,, x > 4. Az f függvény Fourier-transzformáltjára használjuk az Ffλ Fλ jelölést is. következő tételben összefoglaljuk a Fourier-transzformált néhány fontosabb tulajdonságát. A 5.8. Tétel. egyen f,g 1 R, C és α,β C. Ekkor 1. Fαf + βg αff + βfg.. Ha f differenciálható és f 1 R, C, akkor Ff λ iλffλ. 3. Ff g Ff Fg, ahol f gx az f és g konvolúciója. ftgx tdt

17 1 MAM11M előadásjegyzet, 8/ Alkalmazások Parciális differenciálegyenletek A Fourier-sorok egyik legfontosabb alkalmazási területe bizonyos speciális parciális differenciálegyenletek egyik megoldásánál jelentkezik. Tekintsük az egydimenziós hővezetés egyenletét. Tekintünk egy hosszú rudat, amelyről feltesszük, hogy vékony, azaz a hőmérsékletét azonosnak tekinthetjük egy hosszára merőleges keresztmetszetén. Jelölje x a rúd egyik végpontjától mért távolságot a rúdon. Ekkor x, és az x pozícióban vett keresztmetszet hőmérsékletét a t időpontban ut, x jelöli. Megmutatható, hogy az u kétvéltozós függvény az alábbi másodrendű lineáris, ú.n. parabolikus parciális differenciálegyenletet teljesíti: u t t,x u a xt,x, t, x, 5.18 ahol a > konstans. Ezt az egyenletet egydimenziós hővezetési egyenletnek hívjuk. Ahhoz, hogy egyértelmű megoldást várhassunk, további feltételeket kell megadnunk. Most azt az esetet vizsgáljuk, amikor a rúd két végpontján konstans hőmérsékletet tartunk fenn, azaz az alábbi, ú.n. peremfeltételek teljesülnek a megfigyelés során: ut,, t, 5.19 ut,, t. 5. Feltesszük továbbá azt is, hogy ismerjük a kezdeti hőmérséklet elosztást: Fourier ötlete az volt, hogy keressünk u,t fx, x. 5.1 ut,x ϕtψx alakú megoldásait az 5.18 egyenletnek. Ekkor az egyenletbe behelyettesítve kapjuk amiből Ez csak úgy teljesülhet minden t és x-re, ha ϕ tψx aϕtψ x, ϕ t aϕt ψ x ψx. ϕ t aϕt ψ x ψx µ, ahol µ egy konstans. De ekkor két közönséges differenciálegyenletet kapunk: ϕ t aµϕt, t, ψ x µψx, x. Könnyen végigszámolhatjuk, hogy az első egyenlet általános megoldása A második egyenlet karakterisztikus egyenlete: ϕt ce aµt, t. 5. r µ.

18 5. Fourier-elmélet 13 Három esetet különböztetünk meg: 1. µ >. Ekkor a karakterisztikus egyenlet gyökei r 1 µ és r µ, és a lineáris közönséges differenciálegyenletek elméletéből ismert, hogy ekkor az egyenlet általános megoldása ψx c 1 e µx + c e µx. Az 5.19 és 5. peremfeltételekből kapjuk, hogy a ψ függvényre a ψ ψ 5.3 feltételek teljesülnek. Ezeket a feltételeket használva a fenti ψ függvényre, kapjuk, hogy c 1 + c, c 1 e µ + c e µ. Ennek megoldása csak a c 1 c. Mivel mi nem azonosan megoldást keresünk, ebben az esetben ilyen megoldás nem létezik.. µ. Ekkor ψx c 1 + c x alakú. De ekkor az 5.3 feltételeket felhasználva c 1, c 1 + c, amiből szintén csak c 1 c következik, azaz a ψx függvény. 3. µ <. Ekkor ψx c 1 cos µx + c sin µx alakú, ahogy azt a közönséges differenciálegyenletek elméletében kapjuk. Most az 5.3 feltételeket felhasználva c 1, c 1 cos µ + c sin µ, adódik. De ekkor c 1, és ha nem azonosan megoldást keresünk, akkor a második egyenletből sin µ kövezkezik, amiből µ kπ, azaz µ kπ, k 1,,.... Ebben az esetben tehát nem azonosan megoldást is kapunk, amelyre tehát az 5. képletet felhasználva ut,x ce a kπ t sin kπx Könnyen ellenőrizhető, hogy ilyen alakú függvények véges összege, azaz ut,x n b k e a kπ t sin kπx is teljesíti az 5.18 egyenletet és az peremfeltételeket is. Ekkor u,x azaz akkor teljesül a kezdeti feltétel is, ha fx n n b k sin kπx, b k sin kπx

19 14 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 alakú. Ez alapján természetes ötlet az, hogy ha f olyan tetszőleges folytonos függvény, amelyre f f teljesül, akkor vegyük f tiszta szinuszos Fourier-sorát: fx b k sin kπx, ahol az 5.19 tétel szerint a Fourier-sor minden x [,]-re konvergál és elő is állítja az fx függvényértéket, és az így kapott b k együtthatókkal definiáljuk az ut,x b k e a kπ t sin kπx végtelen sort. Megmutatható, hogy az u függvény jól definiált, és a végtelen sor differenciálható t és x szerint is, és a deriválás művelete és a végtelen szumma felcserélhető. Ekkor könnyen megmutatható, hogy u is teljesíti az 5.18 egyenletet, és a perem- illetve a kezdeti feltételeket is. Mintavételi tétel Tegyük fel, hogy f : R C függvény Fourier-transzformáltja a [, ] intervallumon kívül azonosan nulla, azaz Fλ, λ > Tétel Mintavételi tétel. Tegyük fel, hogy f 1 R, C függvény folytonos és szakaszonként folytonosan differenciálható, amelyre 5.4 teljesül. Ekkor f-et meghatározzák a pontokban felvett értékei: fx n nπ f, ± π, ±,... sinx nπ x nπ, x nπ, n Z. Bizonyítás: A Fourier-féle inverziós formulát és az 5.4 feltételt alkalmazva fx 1 Fλe iλx dλ 1 Fλe iλx dλ, x R. 5.5 Az Fλ függvény a, intervallumon felírható Fourier-sora összegeként: Fλ n c n e i nπλ, λ,, ahol c n 1 nπλ i Fλe dλ. Az 5.5 összefüggést alkalmazva kapjuk, hogy nπ c n f.

20 5. Fourier-elmélet 15 Ezt visszahelyettesítve F Fourier-sorába kapjuk Fλ Ezért az 5.5 formula szerint x nπ -re n n nπ f e i nπλ f nπ nπλ i e. fx 1 1 f n 1 f n n f nπ n nπ f e i nπλ e iλ nπ +x dλ nπ e ix nπ e ix nπ ix nπ nπ sinx nπ. x nπ e iλx dλ

2. Fourier-elmélet Komplex trigonometrikus Fourier-sorok. 18 VEMIMAM244A előadásjegyzet, 2010/2011

2. Fourier-elmélet Komplex trigonometrikus Fourier-sorok. 18 VEMIMAM244A előadásjegyzet, 2010/2011 8 VEMIMAM44A előadásjegyzet, /. Fourier-elmélet.. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [, ], C Hilbert-teret, ahol a skaláris szorzat definíciója f, g ftgt dt. Tekintsük a [, ] intervallumon

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. *************** JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS II. Folytonosság, differenciálhatóság *************** Pécs, 1996 Lektorok: DR. SZÉKELYHIDI LÁSZLÓ egyetemi tanár, a mat. tud. doktora DR. SZILI LÁSZLÓ

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Funkcionálanalízis az alkalmazott matematikában

Funkcionálanalízis az alkalmazott matematikában EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Simon Péter Funkcionálanalízis az alkalmazott matematikában egyetemi jegyzet A jegyzet az ELTE IK 2010. évi Jegyzettámogatási pályázat támogatásával készült

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

e s gyakorlati alkalmaza sai

e s gyakorlati alkalmaza sai Sze lso e rte k-sza mı ta s e s gyakorlati alkalmaza sai Szakdolgozat ı rta: Pallagi Dia na Matematika BSc szak, elemzo szakira ny Te mavezeto : Svantnerne Sebestye n Gabriella Tana rsege d Alkalmazott

Részletesebben

Fourier-transzformáció

Fourier-transzformáció EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Simon Péter Fourier-transzformáció Ez a tanulmány az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával készült (a támogatás száma:

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

Fourier-analízis alkalmazása a digitális holográfiában

Fourier-analízis alkalmazása a digitális holográfiában Fourier-analízis alkalmazása a digitális holográfiában Diplomamunka Tóth Erzsébet Rita alkalmazott matematikus, matematika tanár szakos hallgató Témavezetők: Dr. Orzó László Róbert, tudományos főmunkatárs

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Diplomamunka Írta: Deák Barbara Matematikus szak Témavezető: Arató Miklós, egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

A kvantummechanika általános formalizmusa

A kvantummechanika általános formalizmusa A kvantummechanika általános formalizmusa October 4, 2006 Jelen fejezetünk célja bevezetni egy általános matematikai formalizmust amelynek segítségével a végtelen dimenziós vektorterek elegánsan tárgyalhatók.

Részletesebben

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Kockázati folyamatok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2012. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok 2012. szi félév 1 / 48 Bevezetés A kurzus céljai

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Gáspár Csaba. Analízis

Gáspár Csaba. Analízis Gáspár Csaba Analízis Készült a HEFOP 3.3.-P.-004-09-00/.0 pályázat támogatásával Szerzők: Lektor: Gáspár Csaba Szili László, egyetemi docens c Gáspár Csaba, 006. Tartalomjegyzék. Bevezetés 5. Alapvető

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

Differenciálegyenletek a hétköznapokban

Differenciálegyenletek a hétköznapokban Differenciálegyenletek a hétköznapokban BSc Szakdolgozat Írta: Gondos Réka Matematika BSc, alkalmazott matematikus szakirány Témavezető: Besenyei Ádám adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0

Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0 Analízis A differenciálszámítás középértéktételei: 1) Rolle-tétel: Ha f folytonos a korlátos és zárt [a;b] intervallumon, f diffható [a;b]-n és f(a) = f(b), akkor van egy a < c < b belső pont, ahol f'(c)

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

Matematika POKLICNA MATURA

Matematika POKLICNA MATURA Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

Differenciaegyenletek

Differenciaegyenletek Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 1 / 24 3.1 Differenciaegyenlet fogalma, egzisztencia- és unicitástétel

Részletesebben

DIFFERENCIAEGYENLETEK

DIFFERENCIAEGYENLETEK DIFFERENCIAEGYENLETEK A gazdaság változómennyiségeit (jövedelem, fogyasztás, beruházás,...) általában bizonyos időszakonként (naponta, hetente, havonta, évente) figyeljük meg. Ha ezeket a megfigyeléseket

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

2. Interpolációs görbetervezés

2. Interpolációs görbetervezés 2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,

Részletesebben

Fizikai alapismeretek

Fizikai alapismeretek Fizikai alapismeretek jegyzet Írták: Farkas Henrik és Wittmann Marian BME Vegyészmérnöki Kar J6-947 (1990) Műegyetemi Kiadó 60947 (1993) A jegyzet BME nívódíjat kapott 1994-ben. Az internetes változatot

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat 1. Egy borfajta alkoholtartalmának meghatározására méréseket végzünk. Az egyes mérések eredményei egymástól független valószínûségi változók, melyek normális eloszlásúak,

Részletesebben

Funkcionálanalízis. Általánosított függvények Disztribúciók. 12-13. el adás. 2012. május 9.-16. Lineáris funkcionál

Funkcionálanalízis. Általánosított függvények Disztribúciók. 12-13. el adás. 2012. május 9.-16. Lineáris funkcionál Funkcionálanalízis 12-13. el adás 212. május 9.-16. Általánosított függvények Disztribúciók Lineáris funkcionál Legyen C () az függvénytér, amely a végtelen sokszor dierenciálható, kompakt tartójú függvényeket

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. FELADATOK A RELÁCIÓK, GRÁFOK TÉMAKÖRHÖZ 1. rész A feladatsorban használt jelölések: R = {r R r < 0}, R + = {r R r>0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. 4.1. Feladat. Adja meg az α = {(x, y) x +

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Egzisztenciatételek a differenciálegyenletek elméletéből

Egzisztenciatételek a differenciálegyenletek elméletéből Egzisztenciatételek a differenciálegyenletek elméletéből Bodó Ágnes Matematika BSc Szakdolgozat Témavezető: Besenyei Ádám adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Budapest, 2012. Tartalomjegyzék

Részletesebben

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert) GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok lásd EA-ban is; iskolából ismert I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet,

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten ANALÍZIS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Nevezetes halmazok

Részletesebben

Tómács Tibor. Matematikai statisztika

Tómács Tibor. Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Matematikai statisztika Eger, 01 Szerző: Dr. Tómács Tibor főiskolai docens Eszterházy Károly

Részletesebben

Matematika példatár 4.

Matematika példatár 4. Matematika példatár 4 Integrálszámítás szabályai és Csabina, Zoltánné Created by XMLmind XSL-FO Converter Matematika példatár 4: Integrálszámítás szabályai és Csabina, Zoltánné Lektor: Vígné dr Lencsés,

Részletesebben

Differenciál egyenletek

Differenciál egyenletek Galik Zsófia menedzser hallgató Differenciál egyenletek osztályzása Differenciál egyenletek A differenciálegyenletek olyan egyenletek a matematikában (közelebbről a matematikai analízisben), melyekben

Részletesebben

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Ferenczi Dóra Sorbanállási problémák BSc Szakdolgozat Témavezet : Arató Miklós egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Budapest,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT ) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék III 1. Aritmetika 1 1.1. Elemi számolási szabályok............................... 1 1.1.1. Számok..................................... 1 1.1.1.1. Természetes, egész és racionális számok.............. 1

Részletesebben

1. Vizsgálat az időtartományban. 1.1. Határozza meg az ábrán vázolt diszkrét idejű hálózat állapotváltozós leírásának normál alakját!

1. Vizsgálat az időtartományban. 1.1. Határozza meg az ábrán vázolt diszkrét idejű hálózat állapotváltozós leírásának normál alakját! . Vizsgálat az időtartományban.. Határozza meg az ábrán vázolt diszkrét idejű hálózat állapotváltozós leírásának normál alakját! x x x xy x [ k ] x b( c eg x x gf u [ k ] x ( bd beh x x fh [ k ] bx( c

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. egyetemi jegyzet mobidiák

Részletesebben

Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz

Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz Vas Gabriella 204. február A feladatgy jtemény a TÁMOP-4.2.4.A/2-/-202-000 azonosító számú Nemzeti Kiválóság Program Hazai hallgatói, illetve

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Egyetemi matematika az iskolában

Egyetemi matematika az iskolában Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen

Részletesebben

1. Lineáris leképezések

1. Lineáris leképezések Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben

Bevezetés 3. Vizsga tételsor 5. 1 Komplex számok 6. 2 Lineáris algebra 10. 2.2Vektorterek 11

Bevezetés 3. Vizsga tételsor 5. 1 Komplex számok 6. 2 Lineáris algebra 10. 2.2Vektorterek 11 Bevezetés a számításelméletbe 1. A BME I. éves mérnök-informatikus hallgatói számára segédlet a 2007. őszi előadáshoz Összeállította: Fleiner Tamás Utolsó frissítés: 2010. január 13. Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Brückler Zita Flóra. Lineáris rendszerek integrálása

Brückler Zita Flóra. Lineáris rendszerek integrálása Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Brückler Zita Flóra Lineáris rendszerek integrálása BSc szakdolgozat Témavezető: Dr. Kovács Sándor Numerikus Analízis Tanszék Budapest, 2012 Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

Oktatási segédlet. Acél- és alumínium-szerkezetek hegesztett kapcsolatainak méretezése fáradásra. Dr. Jármai Károly.

Oktatási segédlet. Acél- és alumínium-szerkezetek hegesztett kapcsolatainak méretezése fáradásra. Dr. Jármai Károly. Oktatási segédlet Acél- és alumínium-szerkezetek hegesztett kapcsolatainak méretezése fáradásra a Létesítmények acélszerkezetei tárgy hallgatóinak Dr. Jármai Károly Miskolci Egyetem 013 1 Acél- és alumínium-szerkezetek

Részletesebben

Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus

Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus Síktopológiák a Sorgenfrey-egyenes ötletével Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus 1. Bevezetés A Sorgenfrey-egyenes

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Építőkari Matematika A3 1. Ha E(X = 1 és D 2 (X = 5, határozzuk meg (a E[(2 + X 2 ], (b D 2 (4 + 3X értékét. 2. Legyenek X 1, X 2,... független azonos eloszlású

Részletesebben

Mikrohullámok vizsgálata. x o

Mikrohullámok vizsgálata. x o Mikrohullámok vizsgálata Elméleti alapok: Hullámjelenségen valamilyen rezgésállapot (zavar) térbeli tovaterjedését értjük. A hullám c terjedési sebességét a hullámhossz és a T rezgésido, illetve az f frekvencia

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34

Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34 Valószín½uségszámítás és matematikai statisztika Mihálykóné Orbán Éva Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34 Valószín½uségi változók számérték½u jellemz½oi 1 várható érték 2 szórásnégyzet/szórás

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

A műszaki rezgéstan alapjai

A műszaki rezgéstan alapjai A műszaki rezgéstan alapjai Dr. Csernák Gábor - Dr. Stépán Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanikai Tanszék 2012 Előszó Ez a jegyzet elsősorban gépészmérnök hallgatóknak

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I Készült a TÁMOP-412-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

Számhalmazok. n n. a valós számok halmaza, ahol : nem írható fel két egész szám hányadosaként az irracionális számok halmaza.

Számhalmazok. n n. a valós számok halmaza, ahol : nem írható fel két egész szám hányadosaként az irracionális számok halmaza. Matematika Számok, műveletek A természetes számok halmaza: Számhalmazok Ha m és n természetes szám, akkor az m természetes számok halmazán. Példa: 6+x=2. n egyenlet nem feltétlenül oldható meg a Az egész

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 113 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka

Részletesebben

Juhász Tibor. Lineáris algebra

Juhász Tibor. Lineáris algebra Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak

Részletesebben

Ismerkedés az Abel-csoportokkal

Ismerkedés az Abel-csoportokkal Ismerkedés az Abel-csoportokkal - Szakdolgozat - Készítette: Takács Mária (Matematika BSc, Tanári szakirány) Témavezető: Kiss Emil (Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet) Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Matematikai alapszöveg: Bálint Péter, BME Differenciálegyenletek Tanszék Konzultáció, kiegészítések gépészmérnöki szempontok

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK

Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Z UNIVERSITAS-GYŐR Kht. Győr, 25 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR TÁVKÖZLÉSI TANSZÉK Egyetemi jegyzet Írta:

Részletesebben