Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34"

Átírás

1 Valószín½uségszámítás és matematikai statisztika Mihálykóné Orbán Éva Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34

2 Valószín½uségi változók számérték½u jellemz½oi 1 várható érték 2 szórásnégyzet/szórás 3 módusz 4 medián 5 kovariancia, korrelációs együttható MOE (PE MIK) MMAM143VB 2 / 34

3 A várható érték de níciója De níció Legyen ξ diszkrét eloszlású valószín½uségi változó, ξ : ξ várható értékén az E (ξ) = x i p i i=1 x1 x 2 x 3.. p 1 p 2 p 3.. összeget értjük, amennyiben a jx i j p i végtelen sor konvergens. i=1 MOE (PE MIK) MMAM143VB 3 / 34

4 A várható érték de níciója ξ : x1 x 2 x 3, E (ξ) = x p 1 p 2 p 3 i p i i=1 Megjegyzés Véges sok lehetséges érték esetén a várható érték egy véges tagszámú összeg, amelynek végessége automatikusan biztosított. jx i j p i végessége miatt x i p i = E (ξ) véges. i=1 i=1 E (ξ) helyett M(ξ) jelölés is használatos. MOE (PE MIK) MMAM143VB 4 / 34

5 A várható érték de níciója De níció Legyen ξ folytonos eloszlású valószín½uségi változó f s½ur½uségfüggvénnyel. ξ várható értékén az Z E (ξ) = x f (x)dx improprius integrált értjük, amennyiben a integrál konvergens. Z jxj f (x)dx improprius Megjegyzés Z jxj f (x) dx végessége miatt E (ξ) is véges. MOE (PE MIK) MMAM143VB 5 / 34

6 A várható érték tulajdonságai i) Legyenek ξ, η v.v.-k, a, b, c 2 R 1 Ha ξ és η azonos eloszlásúak, akkor a várható értékük is megegyezik. 2 Ha 0 ξ, akkor 0 E (ξ) 3 E (ξ + η) = E (ξ) + E (η) 4 E (c ξ) = c E (ξ) Következmények: 5 Ha ξ = c 1 valószín½uséggel, akkor E (ξ) = c 6 E (a ξ + b) = a E (ξ) + b 7 Ha a ξ b, akkor a E (ξ) b 8 Ha ξ η, akkor E (ξ) E (η) MOE (PE MIK) MMAM143VB 6 / 34

7 A várható érték tulajdonságai ii) 9 Ha ξ 1, ξ 2,..., ξ n azonos eloszlású valószín½uségi változók, E (ξ 1 ) =... E (ξ n ) = m, akkor E! n ξ i = n m, i=1 10 továbbá 0 E n i=1 n ξ i 1 C A = m. 11 Ha ξ és η v.v.-k függetlenek, akkor E (ξ η) = E (ξ) E (η). MOE (PE MIK) MMAM143VB 7 / 34

8 A várható érték tulajdonságai iii) x1 x 12 Ha ξ diszkrét eloszlású valószín½uségi változó, ξ : 2 x 3, p 1 p 2 p 3 g : R! R függvény, amire g(ξ) értelmes, akkor E (g(ξ)) = g(x i ) p i i=1 feltéve, hogy i=1 jg(x i )j p i konvergens. Speciálisan, g(x) = x 2 esetén E (ξ 2 ) = xi 2 p i i=1 MOE (PE MIK) MMAM143VB 8 / 34

9 A várható érték tulajdonságai iv) 13 Ha ξ folytonos eloszlású valószín½uségi változó f s½ur½uségfüggvénnyel, g : R! R függvény, amire g(ξ) értelmes, akkor E (g(ξ)) = Z g(x) f (x)dx R feltéve, hogy Speciálisan, g(x) = x 2 esetén jg(x)j f (x)dx integrál konvergens. E (ξ 2 ) = Z x 2 f (x)dx MOE (PE MIK) MMAM143VB 9 / 34

10 A várható érték tulajdonságai v) Állítás Ha E (ξ 2 ) létezik, akkor E (ξ) is létezik. Bizonyítás (folytonos eloszlású v.v. esetén) E (ξ) = R xf (x)dx, lézetéséhez kell: R jxj f (x)dx végessége R jxj f (x)dx = R 1 jxj f (x)dx + R 1 1 jxj f (x)dx + R 1 jxj f (x)dx R 1 x 2 f (x)dx + R 11 f (x)dx + R 1 x 2 f (x)dx 1 + R x 2 f (x)dx = 1 + E (ξ 2 ) Állítás Ha E (ξ 2 ) létezik, akkor E ((ξ c) 2 ) akkor minimális, ha c = E (ξ). Bizonyítás E ((ξ c) 2 ) = E (ξ 2 ) 2cE (ξ) + c 2, ez c másodfokú függvénye, akkor minimális, ha 2E (ξ) = 2c, azaz c=e (ξ). MOE (PE MIK) MMAM143VB 10 / 34

11 A szórásnégyzet, szórás de níciója ξ valószín½uségi változó. De níció ξ szórásnégyzetén a D 2 (ξ) = E (ξ E (ξ)) 2 számot értjük, amennyiben ez a várható érték létezik, tehát véges. De níció ξ szórásán a D(ξ) = p r D 2 (ξ) = E (ξ E (ξ)) 2 számot értjük. Megjegyzés (ξ E (ξ)) 2 nemnegatív, ezért a várható értéke is az, vagyis a gyökvonás elvégezhet½o. MOE (PE MIK) MMAM143VB 11 / 34

12 A szórásnégyzet, szórás tulajdonságai i) 1 Ha két valószín½uségi változó eloszlása megegyezik, akkor a szórásnégyzetük és szórásuk is megegyezik. q 2 D 2 (ξ) = E (ξ 2 ) (E (ξ)) 2, D(ξ) = E (ξ 2 ) (E (ξ)) 2 E (ξ 2 ) számolási módját megadtuk a várható érték tulajdonságai között. 3 Ha ξ = c 1 valószín½uséggel, akkor D 2 (ξ) = 0 = D(ξ). 4 Ha D 2 (ξ) = 0 = D(ξ), akkor P(ξ = c) = 1. 5 D 2 (a ξ + b) = a 2 D 2 (ξ), D(a ξ + b) = jaj D(ξ) MOE (PE MIK) MMAM143VB 12 / 34

13 A szórásnégyzet, szórás tulajdonságai ii) 6 Ha ξ és η függetlenek, akkor Figyelem! D 2 (ξ + η) = D 2 (ξ) + D 2 (η). D(ξ + η)6=d(ξ) + D(η)! 7 Ha ξ 1, ξ 2,..., ξ n független, azonos eloszlású valószín½uségi változók, közös szórásnégyzetük D 2 (ξ 1 ) =... = D 2 (ξ n ) = σ 2 akkor D 2 n i=1 ξ i = n D 2 (ξ 1 ) = n σ 2, továbbá D n i=1 ξ i = p n D(ξ 1 ) = p n σ MOE (PE MIK) MMAM143VB 13 / 34

14 A szórásnégyzet, szórás tulajdonságai iii) 8 Ha ξ 1, ξ 2,..., ξ n független azonos eloszlású valószín½uségi változók, D(ξ 1 ) =... = D(ξ n ) = σ, akkor D 2 n i=1 ξ i n = σ2 n, továbbá D n i=1 ξ i n = p σ n MOE (PE MIK) MMAM143VB 14 / 34

15 Módusz De níció Legyen ξ diszkrét eloszlású valószín½uségi változó. ξ móduszán azt a lehetséges értékét értjük, amihez tartozó valószín½uség maximális a lehetséges értékekhez tartozó valószín½uségek között, azaz x1 x ξ : 2 x 3 jelöléssel ξ módusza x p 1 p 2 p 3 i, ha p i p j minden j = 1, 2,... esetén. Megjegyzés ξ módusza nem feltétlenül egyértelm½u (többes módusz, multimodális eloszlás). Megjegyzés Egy valószín½uségi változó felveszi a móduszát. MOE (PE MIK) MMAM143VB 15 / 34

16 Módusz De níció Legyen ξ folytonos eloszlású valószín½uségi változó f s½ur½uségfüggvénnyel. ξ móduszán f lokális maximumhelyeit értjük. Megjegyzés ξ módusza nem feltétlenül egyértelm½u (multimodális eloszlás). MOE (PE MIK) MMAM143VB 16 / 34

17 Módusz példa f (x) = 1 7 e x + x 3 e x ha x 0 0 különben módusz: 0, y x MOE (PE MIK) MMAM143VB 17 / 34

18 Medián i) De níció Legyen ξ v.v. ξ mediánján azt az x értéket értjük, amire P(ξ x) 0.5, és P(ξ x) 0.5 Állítás A folytonos eloszlású ξ mediánja az x érték, ha F (x) = 0.5. Bizonyítás P(ξ x) = P(ξ < x) = F (x) 0.5, P(ξ x) = 1 F (x) 0.5, 0.5 F (x) ) F (x) = 0.5. MOE (PE MIK) MMAM143VB 18 / 34

19 Medián példa ( F (x) = x 2 1 x 2 +1 ha 1 x 0 különben medián: 1.73 F(x) x F (x) = x 2 1 x = 0.5, x 2 = 3, x = p 3 = 1.73 MOE (PE MIK) MMAM143VB 19 / 34

20 Medián ii) Állítás Ha ξ diszkrét eloszlású és F (x) 6= 0.5, akkor ξ mediánja az az x érték, amelynél F átugorja a 0.5 szintet. Bizonyítás P(ξ x) 0.5 ) F (x) 0.5, P(ξ x) = F (x) + P(ξ = x) = lim F (u) 0.5 u!x + MOE (PE MIK) MMAM143VB 20 / 34

21 Medián példa 8 0 ha x 2 >< 1/3 ha 2 < x 1 F (x) = 2/3 ha 1 < x 5 >: 1 ha 5 < x ξ : /3 1/3 1/3 medián: 1 F(x) x MOE (PE MIK) MMAM143VB 21 / 34

22 Medián Állítás Ha ξ eloszlásfüggvénye F (x) = 0.5 a < x b esetén, akkor ξ mediánja az (a, b] intervallum minden pontja. Hagyományosan a + b -t szokták 2 alkalmazni a statisztikai számolásokhoz. MOE (PE MIK) MMAM143VB 22 / 34

23 Medián 8 < 0 ha x 2 F (x) = 1/2 ha 2 < x 5 : 1 ha 5 < x ξ : medián: 1/2 1/2 2 = 1.5 F(x) x MOE (PE MIK) MMAM143VB 23 / 34

24 Kovariancia Legyen ξ, η v.v (egydimenziósak) E (ξ), E (η) léteznek De níció ξ és η kovarianciáján a cov(ξ, η) = E ((ξ E (ξ)) (η E (η))) várható értéket értjük, ha létezik. Megjegyzés cov(ξ, η) = cov(η, ξ) Megjegyzés cov(ξ, ξ) = E ((ξ E (ξ)) (ξ E (ξ))) =D 2 (ξ) MOE (PE MIK) MMAM143VB 24 / 34

25 Kovariancia tulajdonságai 1 cov(ξ, η) = cov(ξ E (ξ), η E (η)) 2 cov(cξ + a, dη + b) = cdcov(ξ, η) 3 cov(cξ + a, cξ + a) = c 2 D 2 (ξ) 4 Ha ξ = const, akkor cov(ξ, η) = 0. 5 cov(ξ, η) = E (ξ η) E (ξ) E (η)) mivel cov(ξ, η) = E ((ξ E (ξ)) (η E (η))) = E (ξ η ξ E (η) E (ξ) η) + E (ξ)e (η)) 6 Ha E(ξ) = 0, akkor cov(ξ, η) = E (ξ η) 7 Ha ξ és η függetlenek, akkor cov(ξ, η) = 0. MOE (PE MIK) MMAM143VB 25 / 34

26 Feltétel a kovariancia létezésére Állítás Ha E (ξ 2 ) és E (η 2 ) létezik, akkor cov(ξ, η) is létezik és jcov(ξ, η)j D(ξ) D(η).Egyenl½oség akkor és csak akkor áll fenn, ha ξ = aη + b vagy η = cξ + d. Bizonyítás ξ = q ξ E (ξ), η = η E (η),belátjuk, hogy je (ξ η )j E (ξ 2 ) E (η 2 ) Tekintsük az 0 E ((ξ λη ) 2 ) = E (ξ 2 ) 2λE (ξ η ) + λ 2 E (η 2 ) Ha E (η 2 ) > 0, akkor ez λ másodfokú függvénye, nemnegativitás miatt diszkrimináns nem lehet pozitív. q E (ξ 2 ) E (η 2 ). 4(E (ξ η )) 2 4E (ξ 2 ) E (η 2 ) 0! je (ξ η )j egyenl½oség akkor áll fenn, ha a diszkrimináns 0, azaz E ((ξ λη ) 2 ) = 0, azaz ξ λη = 0 (1 valószín½uséggel) Ha E (η 2 ) = 0, akkor η 2 = 0, azaz η = E (η) azaz η = 0 ξ + E (ξ) MOE (PE MIK) MMAM143VB 26 / 34

27 Kovariancia tulajdonságai iii) Állítás Ha ξ, η amikre cov (ξ, η) =0 ; ξés η függetlenek. Bizonyítás Példát mutatunk, amikor cov (ξ, η) =0, de ξés η NEM függetlenek. Legyen ξ s½ur½uségfüggvénye f(x)=0.5 ha -1 x 1,egyébként 0, η = ξ 2. Ekkor ξ és η nem függetlenek, mert P(ξ < 0.5, η < 0.25) = P([ 0.5, 0.5)) = 0.5 6=P(ξ < 0.5) P(η < 0.25) = cov(ξ, η) = E (ξη) E (ξ)e (η). E (ξη) = E (ξ 3 ) = R 11 x dx = 0. E (ξ) = 0, E (ξ)e (η) = 0, cov(ξ, η) = 0. Állítás D 2 (ξ + η) = D 2 (ξ) + D 2 (η) + 2cov(ξ, η) MOE (PE MIK) MMAM143VB 27 / 34

28 Állítás MOE (PE MIK) MMAM143VB 28 / 34 Korrelációs együttható De níció ξ, η v.v (egydimenziósak) D(ξ), D(η) véges, D(ξ) 6= 0, D(η) 6= 0.ξ, η korrelációs együtthatóján a r(ξ, η) = hányadost értjük. Megjegyzés cov (ξ,η) D (ξ)d (η) Ha D(ξ) = 0, akkor ξ = E (ξ) 1 valószín½uséggel, cov(ξ, η) = 0, r(ξ, η) = 0 megállapodás szerint. Állítás jr(ξ, η)j 1, egyenl½oség pontosan akkor, ha lineáris kapcsolat áll fenn a kett½o v.v között. Állítás Ha ξ, η függetlenek, akkor r(ξ, η) = 0.

29 Feladat 1 Elgurítunk egy szabályos kockát. Legyen ξ a gurítás értéke. Adja meg ξ várható értékét és szórását! 2 Kétszer elgurítunk egy szabályos kockát.legyen ξ a két gurítás összege. Adja meg ξ várható értékét és szórását! 3 Tízszer elgurítunk egy szabályos kockát.legyen ξ a tíz gurítás összege. Adja meg ξ várható értékét és szórását! MOE (PE MIK) MMAM143VB 29 / 34

30 Feladat 4 Egységnyi id½o alatt egy gépre érkez½o vírusos le-ok száma olyan ξ valószín½uségi változó, amelynek lehetséges értékei 0,1 2, valamint várható értéke 2 3, szórása p Adja meg ξ eloszlását! 2 Ha az egyes id½oegységek alatt érkez½o le-ok száma független val. változók, akkor adja meg 2 id½oegység alatt összesen érkez½o vírusos le-ok számának eloszlását! 3 Ha az egyes id½oegységek alatt érkez½o le-ok száma független val. változók,akkor adja meg 15 id½oegység alatt összesen érkez½o vírusos le-ok számának várható értékét és szórását! 4 Hány id½oegység alatt érkez½o vírusos le-ok számának várható értéke 40? 5 Hány id½oegység alatt érkez½o vírusos le-ok számának szórása 20? MOE (PE MIK) MMAM143VB 30 / 34

31 Feladat 5 c ha 1 x 10 Legyen ξ s½ur½uségfüggvénye f(x)= 0 különben 1 Számolja ki 1 ξ várható értékét és szórását! 2 Számolja ki sin ξ várható értékét és szórását! 3 Számolja ki exp ξ várható értékét és szórását! 4 Számolja ki lnξ várható értékét! MOE (PE MIK) MMAM143VB 31 / 34

32 Feladatok Diszkrét-folytonos kapcsolat 6 Egy gép javítási ideje olyan valószín½uségi változó, amelynek 3 s½ur½uségfüggvénye f(x)= 32 x(4 x) ha 0 x 4 0 különben 1 Mennyi a gép javíási idejének várható értéke és szórása? 2 Mennyi a valószín½usége, hogy a javítási id½o 1 óra és 2 óra közé esik? 3 Ha minden megkezdett órát teljesen ki zettetnek, akkor mennyi a valószín½usége, hogy legalább 3 órát ki kell zetni? 4 Ha minden megkezdett órát teljesen ki zettetnek, akkor mennyi a ki zettetett órák számának vártható értéke és szórása? 5 Hogyan járunk jobban, ha folytonos alapon számláztatunk Ft-os rezsióradíjjal vagy teljes óra alapon 9000 Ft rezsióradíjjal? MOE (PE MIK) MMAM143VB 32 / 34

33 Feladatok 3 7 Egy ξ v.v s½ur½uségfüggvénye f(x)= 32 x(4 x) ha 0 x 4 0 különben 1 Számolja ki 1 ξ+1 várható értékét! 2 Számolja ki exp(-ξ ) várható értékét! 3 Számolja ki ln(ξ + 10 ) várható értékét! MOE (PE MIK) MMAM143VB 33 / 34

34 Feladatok 8 1 ha 0 x 1 Legyen ξ s½ur½uségfüggvénye f(x)= 0 különben Határozza meg cov(ξ, η) és r(ξ, η) értékét! 9 exp( Legyen ξ s½ur½uségfüggvénye f(x)= Határozza meg cov(ξ, η) értékét! 1 x x) ha 0 x 0 különben ha e x e2 10 Legyen ξ s½ur½uségfüggvénye f(x)= 0 különben Határozza meg cov(ξ, η) és r(ξ, η) értékét!., η = ξ 2., η = ξ 2, η = ξ 2 MOE (PE MIK) MMAM143VB 34 / 34

Tómács Tibor. Matematikai statisztika

Tómács Tibor. Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Matematikai statisztika Eger, 01 Szerző: Dr. Tómács Tibor főiskolai docens Eszterházy Károly

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

10. Valószínűségszámítás

10. Valószínűségszámítás . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás

Részletesebben

Define Measure Analyze Improve Control. F(x), M(ξ),

Define Measure Analyze Improve Control. F(x), M(ξ), 5.5.5. Six Sigma Minőségmenedzsment Statisztikai folyamatszabályozási (SPC) rendszer Erdei János Egy fegyelmezett és erősen mennyiségi szemléletű folyamatfejlesztési megközelítés, amely a gyártási, szolgáltatási

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Építőkari Matematika A3 1. Ha E(X = 1 és D 2 (X = 5, határozzuk meg (a E[(2 + X 2 ], (b D 2 (4 + 3X értékét. 2. Legyenek X 1, X 2,... független azonos eloszlású

Részletesebben

Funkcionálanalízis. Általánosított függvények Disztribúciók. 12-13. el adás. 2012. május 9.-16. Lineáris funkcionál

Funkcionálanalízis. Általánosított függvények Disztribúciók. 12-13. el adás. 2012. május 9.-16. Lineáris funkcionál Funkcionálanalízis 12-13. el adás 212. május 9.-16. Általánosított függvények Disztribúciók Lineáris funkcionál Legyen C () az függvénytér, amely a végtelen sokszor dierenciálható, kompakt tartójú függvényeket

Részletesebben

11. Matematikai statisztika

11. Matematikai statisztika 11. Matematikai statisztika 11.1. Alapfogalmak A statisztikai minta valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kisérlet eredménye. Ez véges sok, azonos eloszlású valószínűségi változó

Részletesebben

Statisztikai alapismeretek (folytatás)

Statisztikai alapismeretek (folytatás) Statisztikai alapismeretek (folytatás) 3. elıadás (5-6. lecke) Az alapsokaság fıbb jellemzıi () 5. lecke Folytonos változó megoszlásának jellemzése A sokasági átlag és szórás Átlag és szórás tulajdonságai

Részletesebben

5. Egyszerre feldobunk egy-egy szabályos hat-, nyolc-, és tizenkét oldalú dobókockát.

5. Egyszerre feldobunk egy-egy szabályos hat-, nyolc-, és tizenkét oldalú dobókockát. 1. feladatsor 1. (a) Igazolja, hogy tetszőleges A, B, C eseményekre fennáll, hogy (A B) (A C) = A (B + C)! (b) Sorolja fel a valószínűség-számítás axiómáit! (a) c=? (4) (b) D(ξ)=? (0.4714) { c x 5 (c)

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTELE

FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTELE FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTELE 1. Egy alkalmassági vizsgálat adatai szerint a vizsgált személyeken 0,05 valószínűséggel mozgásszervi és 0,03 valószínűséggel érzékszervi

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I Készült a TÁMOP-412-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

1. A MÉRNÖKI TERVEZÉS ELMÉLETE

1. A MÉRNÖKI TERVEZÉS ELMÉLETE MA_1 1. A MÉRNÖKI TERVEZÉS ELMÉLETE Minden mérnöki tervezéshez elméleti ismeretek szükségesek, amelyek nemcsak műszaki részletismereteket ölelnek fel, hanem tágabb körű tudást is tartalmazniuk kell. A

Részletesebben

MINİSÉGSZABÁLYOZÁS. Dr. Drégelyi-Kiss Ágota e-mail: dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu http://uni-obuda.hu/users/dregelyia

MINİSÉGSZABÁLYOZÁS. Dr. Drégelyi-Kiss Ágota e-mail: dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu http://uni-obuda.hu/users/dregelyia MINİSÉGSZABÁLYOZÁS A GÉPIPARBAN Dr. Drégelyi-Kiss Ágota e-mail: dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu http://uni-obuda.hu/users/dregelyia ISO 9000:2008 A STATISZTIKAI MÓDSZEREK HASZNÁLATÁRÓL A statisztikai módszerek

Részletesebben

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Matematikai alapszöveg: Bálint Péter, BME Differenciálegyenletek Tanszék Konzultáció, kiegészítések gépészmérnöki szempontok

Részletesebben

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és Valószínűségszámítás és statisztika feladatok 1 Kombinatorika 2011/12. tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény,

Részletesebben

KVANTITATÍV MÓDSZEREK

KVANTITATÍV MÓDSZEREK KVANTITATÍV MÓDSZEREK Dr. Kövesi János Tóth Zsuzsanna Eszter 6 Tartalomjegyzék Kvantitatív módszerek. Valószínűségszámítási tételek. eltételes valószínűség. Események függetlensége.... 3.. eltételes valószínűség...

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

Bemenet modellezése II.

Bemenet modellezése II. Bemenet modellezése II. Vidács Attila 2005. november 3. Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 1 Kiszolgálási id k modellezése Feladat: Egy bemeneti modell felállítása egy egy kiszolgálós sorbanállási

Részletesebben

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos

Részletesebben

ÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ

ÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ Szolnoki Főiskola Üzleti Fakultás, 5000 Szolnok, Tiszaligeti sétány ÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ A 4/1996. (I. 18.) Korm. rendelet a közgazdasági felsőoktatás alapképzési szakjainak képesítési

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten ANALÍZIS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Nevezetes halmazok

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. *************** JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS II. Folytonosság, differenciálhatóság *************** Pécs, 1996 Lektorok: DR. SZÉKELYHIDI LÁSZLÓ egyetemi tanár, a mat. tud. doktora DR. SZILI LÁSZLÓ

Részletesebben

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Kockázati folyamatok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2012. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok 2012. szi félév 1 / 48 Bevezetés A kurzus céljai

Részletesebben

SZAKDOLGOZAT. Takács László

SZAKDOLGOZAT. Takács László SZAKDOLGOZAT Takács László 2012 SZEGEDI TUDOMÁNYEGYETEM Természettudományi és Informatikai Kar Geometria Tanszék Matematika Bsc_LAK SZAKDOLGOZAT Kísérlettervezés latin négyzetek felhasználásával Készítette:

Részletesebben

Nevezetes függvények

Nevezetes függvények Nevezetes függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt

Részletesebben

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Ferenczi Dóra Sorbanállási problémák BSc Szakdolgozat Témavezet : Arató Miklós egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Budapest,

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat 1. Egy borfajta alkoholtartalmának meghatározására méréseket végzünk. Az egyes mérések eredményei egymástól független valószínûségi változók, melyek normális eloszlásúak,

Részletesebben

ő ő ő ő ű Ó ő ő ű ű ő ő Ó ő ő ő ő ő ő ű ő ő ű ű ő ő ű Ó ő ő ő Ó ő ű ő ő ő ű ű ű ő ő ő ő ő ő ő Ó ő ő ő ű ő ő ő ő ő ű ő ő Ó ő ő ű ő ő ő ő ő ő ő ű ű ő ő ő ű ű ő ű ő ő Ó Ó ő Ó Ó ő Ó ű ő ő ő ő ő ű ő ű ű ű ű

Részletesebben

Sztochasztikus rákos folyamatok

Sztochasztikus rákos folyamatok Sztochasztikus rákos folyamatok A rákos sejtek szaporodásáról egyre többet tudunk, de nem eleget. A kóros betegségben szenvedők sejtjei szüntelenül harcban állnak egymással, mint azok az azonos fajhoz

Részletesebben

GAZDASÁGI STATISZTIKA

GAZDASÁGI STATISZTIKA GAZDASÁGI STATISZTIKA Dr. Kun István GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 1 TÉMAKÖRÖK A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI STATISZTIKAI SOROK STATISZTIKAI TÁBLÁK ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK

Részletesebben

II. A következtetési statisztika alapfogalmai

II. A következtetési statisztika alapfogalmai II. A következtetési statisztika alapfogalmai Tartalom Statisztikai következtetések A véletlen minta fogalma Pontbecslés és hibája Intervallumbecslés A hipotézisvizsgálat alapfogalmai A legegyszerűbb statisztikai

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 113 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

Matematikai alapok. Dr. Iványi Péter

Matematikai alapok. Dr. Iványi Péter Matematikai alapok Dr. Iványi Péter Számok A leggyakrabban használt adat típus Egész számok Valós számok Bináris számábrázolás Kettes számrendszer Bitek: 0 és 1 Byte: 8 bit 128 64 32 16 8 4 2 1 1 1 1 1

Részletesebben

Statisztika, próbák Mérési hiba

Statisztika, próbák Mérési hiba Statisztika, próbák Mérési hiba ÁTLAG SZÓRÁS KICSI, NAGY MIN, MAX LIN.ILL LOG.ILL MEREDEKSÉG METSZ T.PROBA TREND NÖV Statisztikai függvények Statisztikailag fontos értékek Számtani átlag: ŷ= i y i /n Medián:

Részletesebben

Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort.

Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort. VEKTOROK VEKTOROK FOGALMA Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon, hogy az egyik pont a kezdőpont, a másik pont a végpont, akkor irányított szakaszt kapunk. Egy irányított szakasz

Részletesebben

Fourier-analízis alkalmazása a digitális holográfiában

Fourier-analízis alkalmazása a digitális holográfiában Fourier-analízis alkalmazása a digitális holográfiában Diplomamunka Tóth Erzsébet Rita alkalmazott matematikus, matematika tanár szakos hallgató Témavezetők: Dr. Orzó László Róbert, tudományos főmunkatárs

Részletesebben

Feladatok megoldással

Feladatok megoldással Fladatok mgoldással. sztmbr 6.. Halmazrdszrk. Igazoljuk! A \ B A r (A r B) (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) Mgoldás. A r (A r B) A \ A \ B A \ A [ B A \ A [ (A \ B) A \ B (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) (A

Részletesebben

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba?

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? Matematikai statisztika példák Matematikai statisztika példák Normális eloszlás 1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? 2. Majmok ébredését

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Matematika példatár 4.

Matematika példatár 4. Matematika példatár 4 Integrálszámítás szabályai és Csabina, Zoltánné Created by XMLmind XSL-FO Converter Matematika példatár 4: Integrálszámítás szabályai és Csabina, Zoltánné Lektor: Vígné dr Lencsés,

Részletesebben

7. A Poisson folyamat

7. A Poisson folyamat 7. A Poisson folyamat 1. Egy boltba független exponenciális időközönként érkeznek vevők, óránként átlagosan tíz. Legyen N(t), t 0 a vevőket számláló folyamat. a. Igaz-e, hogy N(t) Poisson-folyamat? Mi

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Játékelmélet és pénzügyek

Játékelmélet és pénzügyek Játékelmélet és pénzügyek Czigány Gábor 2013. május 30. Eötvös Lóránd Tudományegyetem - Budapesti Corvinus Egyetem Biztosítási és pénzügyi matematika mesterszak Témavezet : Dr. Csóka Péter Tartalomjegyzék

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 6. MA3-6 modul. A statisztika alapfogalmai

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 6. MA3-6 modul. A statisztika alapfogalmai Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 6. MA3-6 modul A statisztika alapfogalmai SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999.

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 2. forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 2. forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 010/011-es tanév. forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Egy sportversenyen

Részletesebben

e s gyakorlati alkalmaza sai

e s gyakorlati alkalmaza sai Sze lso e rte k-sza mı ta s e s gyakorlati alkalmaza sai Szakdolgozat ı rta: Pallagi Dia na Matematika BSc szak, elemzo szakira ny Te mavezeto : Svantnerne Sebestye n Gabriella Tana rsege d Alkalmazott

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK?

Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK? Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK? A BGF KKFK Nemzetközi gazdálkodás és Kereskedelem és marketing szakjain a hallgatók tanrendjében statisztikai és matematikai

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)

Részletesebben

Tantárgyi útmutató. Gazdasági matematika II.

Tantárgyi útmutató. Gazdasági matematika II. Módszertani Intézeti Tanszék Tantárgyi útmutató Gazdasági matematika II. Nappali Tagozat 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa: Gazdasági matematika

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Diplomamunka Írta: Deák Barbara Matematikus szak Témavezető: Arató Miklós, egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,

Részletesebben

E B D C C DD E E g e 112 D 0 e B A B B A e D B25 B B K H K Fejhallgató Antenna A B P C D E 123 456 789 *0# Kijelzés g B A P D C E 0 9* # # g B B 52 Y t ] [ N O S T \ T H H G ? > < p B E E D 0 e B D

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 7. MA3-7 modul. Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 7. MA3-7 modul. Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 7. MA3-7 modul Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

Felvételi vizsga Mesterképzés, gazdaságinformatikus szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar

Felvételi vizsga Mesterképzés, gazdaságinformatikus szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar GI MEGOLDÁS pont(45) : Felvételi vizsga Mesterképzés, gazdaságinformatikus szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar 2015. június 3. MEGOLDÁSOK A dolgozat minden lapjára, a kerettel jelölt részre írja

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

Oktatási segédlet. Acél- és alumínium-szerkezetek hegesztett kapcsolatainak méretezése fáradásra. Dr. Jármai Károly.

Oktatási segédlet. Acél- és alumínium-szerkezetek hegesztett kapcsolatainak méretezése fáradásra. Dr. Jármai Károly. Oktatási segédlet Acél- és alumínium-szerkezetek hegesztett kapcsolatainak méretezése fáradásra a Létesítmények acélszerkezetei tárgy hallgatóinak Dr. Jármai Károly Miskolci Egyetem 013 1 Acél- és alumínium-szerkezetek

Részletesebben

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5 1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor. Miskolci Egyetem, 2002.

Készítette: Fegyverneki Sándor. Miskolci Egyetem, 2002. INFORMÁCIÓELMÉLET Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2002. i TARTALOMJEGYZÉK. Bevezetés 2. Az információmennyiség 6 3. Az I-divergencia 3 3. Információ és bizonytalanság

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

1/8. Iskolai jelentés. 10.évfolyam matematika

1/8. Iskolai jelentés. 10.évfolyam matematika 1/8 2008 Iskolai jelentés 10.évfolyam matematika 2/8 Matematikai kompetenciaterület A fejlesztés célja A kidolgozásra kerülő programcsomagok az alább felsorolt készségek, képességek közül a számlálás,

Részletesebben

6. előadás PREFERENCIÁK (2), HASZNOSSÁG

6. előadás PREFERENCIÁK (2), HASZNOSSÁG 6. előadás PREFERENCIÁK (), HASZNOSSÁG Kertesi Gábor Varian 3. fejezetének 50-55. oldalai és 4. fejezete alapján PREFERENCIÁK FEJEZET FOLYTATÁSA 6. A helyettesítési határarány Dolgozzunk mostantól fogva

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

1. hét. 1. Teljesülnek-e az alábbi egyenl½oségek? (a) A n B = B n A. (b) A \ B \ A \ B = A \ B \ A \ B. 2. Fejezzük ki

1. hét. 1. Teljesülnek-e az alábbi egyenl½oségek? (a) A n B = B n A. (b) A \ B \ A \ B = A \ B \ A \ B. 2. Fejezzük ki . hét. Teljesülnek-e az alábbi egyenl½oségek? (a) A n B = B n A (b) A \ B \ A \ B = A \ B \. Fejezzük ki (a) A \ B -t a n és [ m½uveletével! A \ B (b) A [ B -t a \ m½uveletével és az A; B halmazra vonatkozó

Részletesebben

Statisztikai módszerek gyakorlat - paraméteres próbák

Statisztikai módszerek gyakorlat - paraméteres próbák Statisztikai módszerek gyakorlat - paraméteres próbák A tanult paraméteres próbák: PRÓBA NEVE Egymintás U próba Kétmintás U próba Egymintás T próba Welch próba (Kétmintás T próba) F próba Grubbs próba

Részletesebben

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka

Részletesebben

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes

Részletesebben

1. (Sugár Szarvas fgy., 186. o. S13. feladat) Egy antikvárium könyvaukcióján árverésre került. = x = 6, y = 12. s y y = 1.8s x.

1. (Sugár Szarvas fgy., 186. o. S13. feladat) Egy antikvárium könyvaukcióján árverésre került. = x = 6, y = 12. s y y = 1.8s x. . Sugár Szarvas fgy., 86. o. S3. feladat Egy antikvárium könyvaukcióján árverésre került 9 könyv licitálási adatai alapján vizsgáljuk a könyvek kikiáltási és ún. leütési ára ezerft közötti sztochasztikus

Részletesebben

Megoldások. 2001. augusztus 8.

Megoldások. 2001. augusztus 8. Megoldások 2001. augusztus 8. 1 1. El zetes tudnivalók a különböz matematikai logikai nyelvekr l 1.1. (a) Igen (b) Igen (c) Nem, mert nem kijelent mondat. (d) Nem fejez ki önmagában állítást. "Ádám azt

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Brückler Zita Flóra. Lineáris rendszerek integrálása

Brückler Zita Flóra. Lineáris rendszerek integrálása Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Brückler Zita Flóra Lineáris rendszerek integrálása BSc szakdolgozat Témavezető: Dr. Kovács Sándor Numerikus Analízis Tanszék Budapest, 2012 Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

KÉPZÉSI PROGRAM TURIZMUS-VENDÉGLÁTÁS ALAPKÉPZÉSI SZAK

KÉPZÉSI PROGRAM TURIZMUS-VENDÉGLÁTÁS ALAPKÉPZÉSI SZAK KÉPZÉSI PROGRAM TURIZMUS-VENDÉGLÁTÁS ALAPKÉPZÉSI SZAK SZOLNOKI FŐISKOLA SZOLNOK SZOLNOKI FŐISKOLA SZOLNOK TANTERV érvényes a 2013/2014. tanévtől felmenő rendszerben TURIZMUS-VENDÉGLÁTÁS ALAPKÉPZÉSI SZAK

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

Mérés és adatgyűjtés

Mérés és adatgyűjtés Mérés és adatgyűjtés 5. óra Mingesz Róbert Szegedi Tudományegyetem 2012. március 10. MA - 5. óra Verzió: 2.1 Utolsó frissítés: 2012. március 12. 1/47 Tartalom I 1 Elektromos mennyiségek mérése 2 A/D konverterek

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

Statisztikai módszerek

Statisztikai módszerek Statisztikai módszerek A hibaelemzı módszereknél azt néztük, vannak-e kiugró, kritikus hibák, amelyek a szabályozás kivételei. Ezekkel foglalkozni kell; minıségavító szabályozásra van szükség. A statisztikai

Részletesebben

Diplomamunka. Miskolci Egyetem. Leghosszabb szériák vizsgálata. Készítette: Selling István Mérnök Informatikus MSc jelölt

Diplomamunka. Miskolci Egyetem. Leghosszabb szériák vizsgálata. Készítette: Selling István Mérnök Informatikus MSc jelölt Diplomamunka Miskolci Egyetem Leghosszabb szériák vizsgálata Készítette: Selling István Mérnök Informatikus MSc jelölt Témavezető: Dr. Karácsony Zsolt egyetemi docens Miskolc, 2013 Miskolci Egyetem Gépészmérnöki

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 2.

Matematikai statisztikai elemzések 2. Matematikai statisztikai elemzések 2. Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek. A szórás és szóródás Prof. Dr. Závoti, József Matematikai statisztikai elemzések 2.: Helyzetmutatók, átlagok, Prof. Dr. Závoti,

Részletesebben