FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTELE
|
|
- Krisztina Orsós
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTELE 1. Egy alkalmassági vizsgálat adatai szerint a vizsgált személyeken 0,05 valószínűséggel mozgásszervi és 0,03 valószínűséggel érzékszervi rendellenesség figyelhető meg. Az együttes előfordulás valószínűsége 0,01. a) Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy találomra kiválasztott személyen egyik rendellenesség sem figyelhető meg? b) Mekkora lenne az együttes előfordulás valószínűsége, ha a két rendellenesség előfordulása független lenne? c) Mekkora valószínűséggel találunk érzékszervi rendellenességet a mozgásszervi rendelleneséggel rendelkező egyéneknél és fordítva: mekkora a mozgásszervi rendellenesség valószínűsége feltéve, hogy az egyén rendelkezik érzékszervi rendellenességgel?. Az I. kontingenciatáblázat a tüdőrák és a dohányzás, mint rizikófaktor kapcsolatát leíró vizsgálat adatait tartalmazza. Tekintsük az események (közelítő) valószínűségeinek megfelelő relatív gyakoriságokat. a) Fejezzük ki ennek megfelelően esetszámokkal a P(C S) és P(C S ) feltételes valószínűségeket, illetve a P(C S) hányadosként definiált relatív kockázatot. b) Mennyi lenne a relatív P(C S) kockázat, ha a tüdőrák a dohányzástól függetlenül alakulna ki? c) Milyen esetben lenne a relatív kockázat kisebb egynél? S S C C I. kontingenciatáblázat S: dohányos C: tüdőrákos A A B B 9 10 II. kontingenciatáblázat A: a vizsgált személy A vércsoportú B: a vizsgált személy férfi 3. A II. kontingenciatáblázat hiányos. Egészítsük ki úgy, hogy a relatív gyakoriságok a vércsoport és a nem függetlenségét tükrözzék!. A III. kontingenciatáblázat egy új gyógyszer bevezetésével kapcsolatos vizsgálatok eredményeit tartalmazza. A betegek egy része az új gyógyszert kapta, másik része placebót. a) Mi a valószínűsége (a relatív gyakoriságokkal a valószínűségeket egyenlőnek tekintve), hogy valaki meggyógyul, ha gyógyszert illetve ha placebót kap? b) Mekkora a gyógyulás valószínűsége az egész betegmintában? c) Egy véletlenszerűen kiválasztott gyógyult beteg milyen valószínűséggel volt a placebóval illetve az új gyógyszerrel kezelt csoportban? K K G 7 31 G 58 9 III. kontingenciatáblázat K: új gyógyszert kapott K: placebót kapott G: gyógyult F 1 F F 3 F össz H M 3 IV. táblázat össz: a csoport összlétszáma H: gyógyultak száma M: mellékhatás jelentkezett 1
2 5. Készíts egy kontingenciatáblázatot, ami a kezelés hatástalanságát tükrözi! 100 emberből 80-at egy új gyógyszerrel, 0-at placebóval kezeltek, mindkét csoportban 30% gyógyult. 6. Az előbbihez hasonló vizsgálatban csopotra osztották a betegeket: régi gyógyszert (F 1 ), új gyógyszert (F ), placebót (F 3 ), illetve semmit sem (F ) kaptak. A kísérlet célja a kezelés hatásosságának (H) és egy lehetséges mellékhatás (M) veszélyének a vizsgálata. (Hasonló jellegű, kezeletlen kontrollt is figyelembe vevő hosszútávú vizsgálatot végeznek az USA-ban az idős nők csontritkulás elleni hormonkezelése és a mellrák, mint lehetséges mellékhatás összefüggéseinek vizsgálatára. Az itt felhasznált adatok fiktívek.).a IV. táblázat adatai alapján becsüljük meg a következő valószínűségeket: P(H F 1), P(H F ), P(H F 3), P(H F ), P(F 1 H), P(F H), P(F M), P(F M)! Abból, hogy P(F1 H) < P(F H) következik-e, hogy az új gyógyszer jobb mint a régi? Az új gyógyszer használata tényleg növeli a káros mellékhatásként feltételezett jelenség (pl. mellrák) kialakulásának esélyét? 7. A feniltiokarbamid keserű ízének érzékelését a T, t betűkkel jelzett allélpár határozza meg: a TT és Tt genotípusú egyének a vegyület keserű ízét érzik, a tt genotípusúak nem. Egy nem ízérző egyén szülei ízérzők, testvérének felesége pedig nem ízérző. a) Mekkora a valószínűsége annak, hogy a testvér illetve annak gyermeke ízérző? b) Az először említett egyén egy másik tesvérének férje ízérző. Ennek a férjnek a szüleiről nem tudunk semmit, de tudjuk, hogy a populációban 19% TT, 50% Tt és 31 % tt. Ennek a másik testvérnek és férjének gyermeke milyen valószínűséggel lesz ízérző? 8. A vérzékenység X kromoszómához kötött recesszív betegség. X + és X v legyen a vad és a mutáns típusú allélt hordozó X kromoszómák jele. Vérzékenyek tehát az X v X v és X v Y genotípusú egyének. Egy családban a feleség anyai nagyapja vérzékeny volt, más senki. a)milyen valószínűséggel lesz ennek az asszonynak az első gyermeke vérzékeny? Ha tudjuk, hogy ennek az asszonynak az első gyermeke vérzékeny fiú, milyen valószínűséggel lesz a második gyermek vérzékeny? b)egy másik családban a feleség apai nagyapja vérzékeny, más nem. Válaszoljunk ugyanarra a két kérdésre, figyelembe véve, hogy X v gyakorisága a populációban 0, Recesszív autószómás betegségben szenvednek az I. pedigrén sötéttel jelölt egyének. a) 7. és 8. egyének tervezett gyermeke(10.) milyen valószínűséggel lesz beteg illetve hordozó? b) Mi a valószínűsége, hogy a. egyén hordozó annak ismeretében, hogy egyrészt a populációban a káros allél gyakorisága 0,053, másrészt született két egészséges gyermeke (mint a pedigrén jelöltük).változik-e ez a valószínűség, ha születik még egy egészséges fenotípusú gyermeke (amely a pedigrén nincs feltüntetve)? (Hardy-Weinberg egyensúlyt feltételezünk.) 1 3 AB 0 AA A0 AB A? ? 5 6? AB 7 B AB? B I. pedigré II. pedigré III. pedigré
3 10. a) Milyen valószínűséggel lesz a II. pedigrén látható 6. egyén AA illetve A0 vércsoportú? b) Hogyan változik meg ez a valószínűség, ha a 6. egyénnek születik még két AB-s gyermeke (akik a pedigrén nincsenek feltüntetve), illetve, ha összesen 10 AB-s gyermeke lesz? c) És mit mondhatunk, ha ezek után a házaspár tizenegyedik gyermeke B vércsoportú lesz? (A feladat megoldása során gondoljuk meg, hogy mit is jelent az, hogy változik a 6. egyén AA vércsoportba tartozásának valószínűsége, miközben több gyermeke születik - végül is az egyén és vércsoportja változatlan marad?) 11. Milyen lehet a III. pedigrén található. egyén vércsoportja és milyen valószínűségekkel? 1. Az anya kék szemű (ez a recesszív jelleg), az apa barna. Milyen valószínűséggel tarthatjuk az apát homozigótának a szemszínre nézve, ha a) 1 barna szemű gyermekük születik, illetve b) ha 3 barna szemű gyermekük születik? A populációban a domináns, barna szemszínt okozó allél gyakorisága 0, Az orvosi diagnosztikában használatos két feltételes valószínűséggel definiált fogalom:szenzitivitásnak nevezik annak a valószínűségét, hogy pozitív vizsgálati anyag esetén az eredmény is pozitív (tbc-s mintára tényleg tbc-t jelez); a specificitás annak a valószínűsége, hogy az adott vizsgálat negatív minta esetén negatív eredményt ad (az egészséges mintára egészségest jelez). Tüdőszűrés alkalmával a betegek 90%-ánál a vizsgálat kimutatja a betegséget. Egészséges embernél - hamisan - 1% gyakorisággal beteget jelez. a) Mennyi a szenzitivitás és a specificitás? b) A szűrésre kerülők között a tbc gyakorisága 5/ Mennyi a valószínűsége annak, hogy valakit véletlenszerűen kiválasztva betegséget állapítunk meg és az illető valóban beteg? Mi a valószínűsége, hogy a vizsgált személy valóban tbc-s, ha betegséget állapítottak meg? 1. A tüdőrák gyakorisága az 50 éven felüli korosztályban egy felmérés szerint: a nem-dohányzók közt 5%, a passzív dohányosok között 17% és az aktív dohányosok között 8%. A városban az aktív, a passzív és a nem-dohányzók aránya 1/3, 1/3 és 1/3; B városban az intenzív propagandának köszönhetően 0,05, 0,05 és 0,9. a) Mekkora a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott egyén tüdőrákos A ill. B városban? b) Mekkora a valószínűsége, hogy egy tüdőrákos egyén az aktív, a passzív ill. a nem-dohányzók csoportjába tartozik A ill. B városban? 15. Mi a valószínűsége, hogy az emberi sejt meiózisa során az egyik haploid utódsejtbe csak anyai eredetű kromoszómák kerülnek, ill. hogy 7 anyai és 16 apai? Megoldások: 1. a) 0,93 b) 0,0015 c )0,, 1/3.. a) ((1350/66)/(7/68))=,96. b) 1. c) ha a nem dohányosok kapnának nagy eséllyel tüdőrákot vagy pl. ha S jelentése: tiszta levegőjű helyen lakik. 3. 3,6-nek adódna, de egy konkrét vizsgálatnál egész számnak kell lennie, 3 vagy, sok ilyen vizsgálat átlagában 3,6.. a) 0,93 ill. 0,39. b) 0,88 c) 0,0 ill. 0, A táblázatba a következő esetszám kerül:, 56, 6, ,71, 0,63, 0,3, 0,09, 0,097, 0,86, 0,73, 0,06. Nem, az új gyógyszer rosszabb ( P H F ) ( 1 és P H F ) viszonya számít). Az adatok alapján nem valószínű, hogy az új gyógyszer növeli ( a mellékhatás kockázatát, hiszen a placebós csoportban nagyobb a mellékhatás gyakorisága. (Természetesen több adatra és statisztikai próbára van szükség a pontos válaszhoz.) 3
4 7. a) 0,75 ill. 0,5 b) Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy nem ízérző, vagyis mindkét szülőtől t allélt kap! 1/ a valószínűsége, hogy anyjától t allélt kap, hiszen anyai nagyszülei mindketten Tt genotípusúak és e négy nagyszülői allél közül mindegyiket egyforma valószínűséggel kaphatta az anyja által. Az apja 50/69 valószínűséggel Tt (és 19/69 valószínűséggel TT), tehát a gyerek 1/ * 50/69 * 1/ = 0,18 valószínűséggel tt. 8. a) A feleség anyja biztosan X v X +, mert apjától örökölte a mutáns allélt, de maga nem beteg, a feleség apja pedig X + Y (egészséges). A feleség tehát 1/ valószínűséggel hordozó, vagyis 1/ a valószínűsége, hogy mutáns allélt örökít. Ha fia születik, 1/ valószínűséggel lesz vérzékeny, ha lánya, 1/ valószínűséggel lesz hordozó (a lánygyerek nem lehet vérzékeny mert a férj egészséges). Ha tudjuk, hogy az asszonynak már született vérzékeny fia, akkor az asszony biztosan X v X +, tehát további fiai 1/ valószínűséggel lesznek vérzékenyek, további lányai 1/ valószínűséggel hordozók.b) Az apai nagyapja nem örökíthette a feleségre a mutáns allélt, azért a feleség csak 0,001 valószínűséggel hordozó, (hiszen anyjától kapott allélje ismeretlen, apjától pedig vad típusú allélt örökölt). Első fia tehát 0,0005 valószínűséggel lesz vérzékeny. Viszont ha már van vérzékeny gyermeke, akkor ugyanúgy mint az a) pontnál a feleség biztosan X v X +, stb. 9. a) 7. egyén szülei hordozók, tehát ő /3 valószínűséggel hordozó (Aa), 1/3 valószínűséggel AA, 8. egyén biztosan Aa. A teljes val. tétele alapján 10. egyén aa genotípusú (beteg) 1/ * /3 + 0 * 1/3 = 1/6 valószínűséggel és hordozó 1/ * /3 + 1/ * 1/3 = 1/ valószínűséggel. b) A. egyén lehet AA illetve Aa; ezen események a priori valószínűségeit az allélgyakoriság alapján számítjuk. Genotípusgyakoriságok a populációban: AA: 0,897, Aa: 0,100; annak a valószínűsége, hogy egy egészséges fenotípusú egyén AA: P(F 1 ) = 0,897/(0,897+0,100) = 0,900, ill. Aa P(F ) = 0,100 valószínűséggel. Tudjuk még. egyénről, hogy gyermekeinek kétszer adott A allélt (E esemény); ez P(E F 1 ) = 1 valószínűséggel következik be ha a. egyén AA, és P(E F ) = 1/ valószínűségű ha ő Aa. Így Bayes tétele alapján annak a valószínűsége, hogy a. egyén hordozó: P(F E) = 1/ * 0,1 / (1 * 0,9 + 1/ * 0,1) = 1/37. Ha még egy egészséges gyermeke van P(E F ) = 1/8-ra változik, tehát P(F E) = 1/8 * 0,1 / (1 * 0,9 + 1/8 * 0,1) = 1/ Az 5. egyén B0 genotípusú, tehát 7. az A allélt csak 6.-tól kaphatta. a) Az előző feladathoz hasonlóan: szülei alapján 6. AA genotípusú P(F 1 ) = 1/ valószínűséggel illetve A0 P(F ) = 1/ valószínűséggel. E = gyermekének egyszer A allélt ad, P(E F 1 ) = 1, és P(E F ) = 1/. P(F 1 E) = 1* 1/ / (1 * 1/ + 1/ * 1/) = /3 valószínűségű, hogy 6. egyed AA, P(F E)=.1/3. b) P(F 1 E) = 8/9 ill. 10/105. c) Csak úgy lehet, ha 6. egyén 0-s allélt adott, tehát ő biztosan A0. A 6. egyén genotípusára vonatkozó valószínűségeket a következőképpen kell érteni: ha nagyon sok olyan családot megvizsgálnánk mint a II. pedigrén látható, akkor /3 részükben a 6. egyénnek megfelelő személy AA vércsoportú lenne, 1/3 részükben pedig A0. Ha sok olyan családot megvizsgálnánk ami a b) pontban van leírva, (tehát 3 ill. 10 AB-s gyerekük van) akkor csak 1/9 ill. 1/10 részükben találnánk azt, hogy a 6. egyénnek megfelelő személy A Mivel a. egyén csak A0 lehet,. egyén szülei alapján 1/-1/ valószínűséggel lehet AA (F 1 ), A0 (F ), AB (F 3 ), B0 (F ). Tudjuk, hogy gyermekének A allélt adott (E), ennek feltételes valószínűségei: P(E F 1 ) = 1, P(E F ) = 1/, P(E F 3 ) = 1/, P(E F ) = 0. Bayes tételével: P(F 1 E) = 1* 1/ / (1 * 1/ + 1/ * 1/ + 1/ * 1/ + 0 * 1/) = 1/, P(F E) = 1/, P(F 3 E) = 1/, P(F E) = 0. 1.a) Bayes tételével: P(F 1 E) = 1* 0,3 / (1 * 0,3 + 1/ * 0,57) = 0,6. b) 0, a) 0,9 és 0,99. b) Legyen F 1 : egy vizsgált szemály tbc-s, F : egészséges; E 1 : a vizsgálat eredménye pozitív, E : negatív. P(E 1 F 1 ) = P(E 1 F 1 )*P(F 1 ) = 0,0005; P(F 1 E 1 ) = 0,9*0,0005 / (0,9*0, ,01*0,9995) = 0,03, tehát a pozítív eredményt kézhez kapó vizsgált személyeknek csak,3%-a beteg. 1. a) teljes val. tételével 1/3*0,05 + 1/3*0,17 + 1/3*0,8 = 0,167 ill. 0,0675 b) A városban:0,56, 0,3 és 0,1; B városban 0,1, 0,1 és 0,67.
5 DISZKRÉT ELOSZLÁSOK I. BINOMIÁLIS ELOSZLÁS. Egy kísérlet egyszeri végrehajtásakor az A esemény bekövetkezésének valószínűsége q. Ha a kísérletet egymás után n-szer függetlenül elvégezzük, mi a valószínűsége, hogy A éppen k-szor következik be? Urnamodell: visszatevéses mintavétel. n k n k P( ζ = k) = pk = q ( 1 q), E( ζ ) = nq, V ( ζ ) = nq(1 q) k 1. Homozigóta gömbölyű és szögletes borsót kereszteztünk, az F nemzedéket képviselő borsókat egy urnába helyezzük. Véletlenszerűen 6 borsót kihúzunk, mindig visszatéve a kihúzott szemet az újabb húzás előtt. Mi a valószínűsége, hogy éppen gömbölyű lesz köztük? Minden egyes sorrend valószínűsége: Hányféle sorrend lehetséges? Tehát annak a valószínűsége, hogy 6 kihúzott borsó között éppen kerek: Mi a valószínűsége annak, hogy 0 gömbölyű lesz; annak, hogy 1 gömbölyű,,...ill. 6? Mennyi a gömbölyűek számának várható értéke és varianciája? = p0 p = 1 p = p p p p = 0, 13 = 0, 97 = 0, 356 = 0, A férj apja és a feleség anyja ugyanabban a recesszív autószómás betegségben szenved, ők maguk és más nem érintett a családban. 6 gyermeket szeretnének. Mi a valószínűsége, hogy egy sem lesz beteg, hogy legfeljebb beteg lesz, hogy legalább 3 egészséges lesz, ill. hogy legalább egészséges lesz? Mennyi a betegek számának várható értéke és varianciája? II. POISSON ELOSZLÁS. Tudjuk, hogy a pillanatszerű A esemény egységnyi időtartam alatt átlagosan λ-szor fordul elő (egy pontszerű objektum egységnyi területen átlagosan λ-szor fordul elő). Mi a valószínűsége, hogy egy konkrét esetben éppen k- szor következik be? (A Poisson eloszlást akkor használhatjuk, ha az esemény 5
6 pillanatszerű, tehát az egységnyi időtartam alatt az átlagnál sokkal többször is bekövetkezhet, persze kis valószínűséggel; azonkívül egymástól függetlenek a bekövetkezések. ) k λ λ P ( ζ = k) = pk = e E( ζ) = λ, V ( ζ) = λ. k! 3. Az előző feladatban említett betegség gyakorisága a népességben 5/ Mi a valószínűsége, hogy egy 5000 lélekszámú faluban több mint 3 beteg lakik? Mennyi a betegek számának várható értéke és varianciája?. Salvadore Luria és Max Delbrück 193-ban végezték el híres kísérletüket, melyben igazolták, hogy az E. coli-ban kialakuló T1 fág elleni rezisztencia nem fiziológiai változás hanem mutáció eredménye és a mutációs rátát is meghatározták. Ez utóbbi kiszámításakor T1 szenzitív baktériumokat szaporítottak *10 7 db/kémcső sűrűségig, majd a baktériumot tartalmazó szuszpenziót T1 fággal kevert táptalajon növesztve megszámlálták a kinövő rezisztens (mutáns) baktériumtelepeket. A problámát az jelenti, hogy ha találunk pl. 156 rezisztens kolóniát, nem tudhatjuk, hogy ezek hány mutációs esemény eredményeként keletkeztek, lehet hogy csak egy mutáció történt, de azóta 7-8 sejtosztódási ciklus során elszaporodtak a mutáns utódai. Mivel a mutációk átlagos száma kémcsövenként jóval kisebb mint az elvileg lehetséges (*10 7 ) és az egyes mutációk egymástól függetlenül történnek joggal mondhatjuk a mutációk (de nem a mutáns baktériumok!) kémcsövenkénti számát Poisson eloszlásúnak. (Binomiálissal is számolhatunk, csak kissé fáradtságos...). Luria és Delbrück 0 kémcsövet vizsgáltak meg és ezek közül 11-ben nem történt mutáció (nem nőtt ki rezisztens telep), 9 kémcső tartalma változó számú rezisztens telepet eredményezett, de mint fent említettük, a telepek számából nem következtethetünk a mutációs események számára. Szerencsére azonban a mutánst nem tartalmazó kémcsövek aránya már elegendő a Poisson eloszlás átlagának meghatározásához, abból pedig könnyen kiszámítható a sejtosztódásonkénti mutációs ráta. Hogyan? III. HIPERGEOMETRIKUS ELOSZLÁS. Urnamodell: visszatevés nélküli mintavétel. Egy urnában összesen m db golyó van: ebből s piros és m-s fehér. Mi a annak a valószínűsége, hogy n db-ot kihúzva visszatevés nélkül, éppen k db lesz piros? összesen m golyó: s piros m-s fehér Az összesen s pirosból ennyiféleképpen lehet éppen k-t húzni Az összesen m-s pirosból ennyiféleképpen lehet éppen n-k-t húzni k piros kihúzunk n-et: n-k fehér s s s n 1 E( ζ ) = n, V ( ζ ) = n 1 1 m m m m 1 P(ζ = k) = p k s m s k n k = m n kedvező esetek száma (éppen k db pirosat húztunk) összes lehetséges húzások sz borsószem van egy urnában: 9 gömbölyű és 3 szögletes. Véletlenszerűen 6-ot húzok visszatevés nélkül. a)mi a valószínűsége, hogy mind gömbölyű, hogy legfeljebb szögletes, hogy legalább 3 illetve legalább gömbölyű? Mennyi a gömbölyűek számának várható értéke és varianciája? b) Hogyan változnak ezek az eredmények, ha 60 borsó van az urnában: 5 gömbölyű és 15 szögletes (szintén 6-ot húzunk)? 6
7 VEGYES FELADATOK. 6. A 0 éves anyák között kb. 1/100 a Down-kóros gyermek szülésének esélye. 100 ilyen gyermek között mekkora valószínűséggel találunk több mint Down-kórost? Oldjuk meg binomiális eloszlást használva és Poisson közelítéssel is. 7. A spórák eloszlása a talajban véletlenszerű (Poisson eloszlású). A minták 1/3 részében egyáltalán nem találtak spórát. Mennyi a spórák átlagos száma mintánként, és mekkora valószínűséggel találunk egy mintában legalább spórát? 8. Egy bizonyos betegség a szokásos gyógykezeléssel az esetek egynegyed részében gyógyul. Új kezelést szeretnének bevezetni, amelyet előzőleg 10 betegen próbálnak ki. Ha közülük legalább 7 meggyógyul, akkor az új kezelést bevezetik, ha legfeljebb 3 gyógyul meg, akkor nem. Ha, 5 vagy 6 beteg gyógyul meg, akkor a kezelést további vizsgálatnak vetik alá. Mi a három eset valószínűsége, ha az új kezelés hatásossága megegyezik a régiével? 9. Egy Rh- nő 3 gyermeket szeretne. Férje Rh+, akinek anyja Rh-. Mi a valószínűsége, hogy a 3 közül legfeljebb 1 lesz Rh+? 10. Tbc szűrővizsgálaton 100 ember kap pozitív eredményről szóló papírt, de a vizsgálat specificitása kicsi, ezért közülük valójában csak 5-en betegek. 10-en mennek vissza, hogy megismételtessék a vizsgálatot egy nagy specificitású módszerrel. Mi a valószínűsége, hogy a 10 közül egyiknél sem jelez tbc-t a nagy specificitású vizsgálat? 11. Egy szűrővizsgálatra 0-an várakoznak, közülük 3-an valóban rákosok. Nyolcan mennek be először; mi a valószínűsége, hogy közülük a) legfeljebb 1 rákos, b) legalább 1 rákos? 1. Egy kórházba naponta átlagosan,5 embert hoznak be infarktussal, ezek száma Poisson eloszlású. Mekkora a valószínűsége, hogy 3-nál több érkezik egy nap? 13. Egy kutyafajtánál bizonyos anyagcsere-rendellenesség megjelenésének valószínűsége 0,1. Mi a valószínűsége, hogy 10 kölyök közül legfeljebb egynél lép fel a rendellenesség? Milyen közelítéseket alkalmazhatunk? 1. A Poisson eloszlással kapcsolatban tudománytörténeti jelentőségűek a következő adatok. Az 1800-as évek végén 00 megfigyelést végeztek a lórúgástól elhunytak hadtestenkénti számáról. 109 esetben nem halt meg senki lórúgástól, 65 esetben egy, esetben, 3 esetben 3 és egy esetben katona halt meg hadtestenként és évenként lórúgástól. Számítsuk ki a halálesetek átlagos számát/év/hadtest és vessük össze az ehhez tartozó Poisson eloszlás értékeit a konkrét adatokkal! 15. Egy növény magjainak száma Poisson eloszlású a talajban, átlag = 3/ / m. Mekkora az esély, hogy m -en egyet sem találunk? MEGOLDÁSOK: 1. p 0 =,*10 -, p 1 =,39*10-3, p =,*10 -, p 3 = 0,13, E =,5, V = 1,15.. A beteg gyermekek száma binomiális eloszlású, q = 0,75, n = 6, tehát eloszlása megegyezik az 1. feladatbeli eloszlással. P(egy sem beteg) = p 6 = 0,178, P(legfeljebb beteg) = P(legalább egészséges) = p +p 5 + p 6 = 0,831, P(legalább 3 egészséges) = p 3 +p +p 5 + p 6 = 0,963, E = 1,5, V = 1, Poisson eloszlást használunk, λ = E = V =,5, P(ζ > 3) = 1-P(ζ 3) = 1-p 0 - p 1 -p -p 3 = 1-0,08-0,05-0,57-0,1 = 0,.. p 0 =11/0 = e -λ λ = 0,6/*10 7 sejtosztódás, tehát µ = 3*10-8 /sejtosztódás. 5. a) P(mind gömbölyű) = p 6 = 0,091, P(legfeljebb szögletes) = P(legalább gömbölyű) = p +p 5 + p 6 = 0,09+0,09+0,091 = 0,909, P(legalább 3 gömbölyű) = p 3 +p +p 5 + p 6 = 1 (3-nál kevesebb gömbölyűt nem lehetséges húzni). E =,5, V = 0,61. b) P(mind gömbölyű) = p 6 = 0,163, P(legfeljebb szögletes) = P(legalább gömbölyű) = p +p 5 + p 6 = 7
8 0,31+0,366+0,163= 0,81, P(legalább 3 gömbölyű) = p 3 +p +p 5 + p 6 = 0,19 + 0,31+0,366+0,163 = 0,970, 6. P(ζ > ) = 1-P(ζ ) = 1-p 0 - p 1 -p - p 3 -p. Poisson: λ = 1, P(ζ > ) =1-0,368-0,368-0,18-0,061-0,015 = 0,00, E = V = 1. Binomiális: p=0,01, P(ζ > ) = 1-0,366-0,370-0,185-0,061-0,015 = 0,003. E = 1, V = 0, λ = 1,1 P(legalább spóra) = 1- p 0 - p 1 = 1-1/3-0,366 = 0, Binomiális eloszlás, n = 10, q = 0,5; p 7 +p 8 +p 9 + p 610 = 0,0035, p 0 +p 1 +p + p 3 = 0,7759, p +p 5 + p 6 = 0, Binomiális n = 3, q = 0,5; p 0 +p 1 = 1/8+3/8 = 0, Hipergeometrikus, m = 100, s = 5, n = 10; p 0 = 0, Hipergeometrikus, m = 0, s = 3, n = 10; a) p 0 +p 1 = 0, ,63 = 0,656 b) 1- p 0 = 0, p 0 +p 1 +p + p 3 = 1-0,08 + 0,05 + 0,57 + 0,1 = 0,. 13. Binomiális n = 10, q = 0,1; p 0 +p 1 = 0,39 + 0,387 = 0,736. Poisson λ = 1; p 0 +p 1 = 0,368+0,368 = 0, λ = 0,61 haláleset/év/hadtest. x 0 = 108,7 x 1 = 66,3 x = 0, x 3 =,1 x =0,6 lenne az olyan hadtestek száma melyben 0,1,,3 ill. lórúgásos haláleset történt, ha a a lórúgások száma pontosan Poisson eloszlású lenne. Ezek az elméleti értékek jól egyeznek az adatokkal. 15. Átszámítjuk az átlagos magszámot m -re (ezt vesszük egységnyinek), ekkor λ = 3, p 0 = e -3 = 0,05. (Másképpen, ha 1 m -t vesszük egységnyinek, p 0 = (e -3/ ) = 0,05. - ez a megoldás csak p 0 keresése esetén alkalmazható, különben hibás eredméynt ad.) A következő ábrákon az figyelhető meg, hogy az egyes diszkrét eloszlások milyen körülmények között hasonlítanak egymásra. Hipergeometrikus m=1, s=9, n= Binom n=6, q= Hipergeometrikus m=60, s=5, n=
9 Binom n=10, q=5 Poisson λ = a val. vált. legnagyobb lehetséges értéke végtelenig tart igazából, vagyis a val. változó akármilyen nagy értékeket is felvehet, de nagyon kis valószínûséggel Binom n=100, q= Poisson λ = a val. vált. legnagyobb lehetséges értéke végtelenig tart igazából, vagyis a val. változó elvben akármilyen nagy értékeket is felvehet, de nagyon kis valószínûséggel Binom n=100, q=0.01 Poisson λ = a val. vált. legnagyobb lehetséges értéke 100, de itt csak 10-ig ábrázoltuk végtelenig tart igazából, vagyis a val. változó elvben akármilyen nagy értékeket is felvehet, de nagyon kis valószínûséggel Binom n=10, q= a val. vált. legnagyobb lehetséges értéke 10 9
10 FOLYTONOS ELOSZLÁSOK I. NORMÁLIS ELOSZLÁS: A természetben gyakran fordul elő, ha egy jelenséget (méretet) sok egyszerű alternatíva dönt el (sok kis hatású gén, sokféle környezeti hatás), illetve ha csak pontatlanul, zajosan tudunk mérni. Tipikusan ilyenek az ún. poligénes vagy kvantitatív jellegek: testméretek, tejtermelés, terméshozam. Ezeket kisgén határozza meg + ill. - allélekkel. Genetikai egyensúlyban a + allélek száma binomiális eloszlású, de a mért értékek normális eloszlásúak, mert a környezeti variancia illetve a mérési hiba miatt folytonossá válik az eloszlás. A normális eloszlás sűrűségfüggvénye: f ( x) ( x m) 1 σ = e, M(ξ) = m, V(ξ) = σ. πσ Bármilyen normális eloszlás levezethetõ a 0 várható értékû és 1 szórású standard normális eloszlásból. Az eloszlásfüggvény: x m F ( x) = Φ σ Illetve igaz, hogy Φ ( x) = 1 Φ( x) 1. Egy tehén napi tejhozama normális eloszlású valószínűségi változó, m =,1 liter, σ = 1,5 liter. a) Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy egy adott napon a tejhozam nagyobb mint 5 liter, b) a tejhozam 0 és 1 liter közé esik, c) átlagosnál kisebb tejhozam esetén 0 és 1 liter közé esik. (Ld. ábra.). Egy másik tehén szeszélyesebb: ugyanúgy m =.1 liter, de σ = 3 liter. Válaszoljunk ugyanazokra a kérdésekre! (Ld. ábra.) 3. Milyen valószínűséggel esik m+σ és m-σ közé a tejtermelés az 1. ill. feladatbeli tehénnél? 5 norm. elo. sûr.fv. m=.1, σ = standard normális eloszlás sûr. fv. m = 0, σ = x 1 =0 x =1 (x 1 -m)/σ = -1, (x -m)/σ = -0, norm. elo. sûr.fv. m=.1, σ =3 Áttérés standard normális eloszlásra: F(x 1 ), annak a valószínûsége, hogy egy tetszõleges norm. elo.-ú val. vált értéke kisebb mint x 1, egyenlõ azzal, hogy a st. norm elo.-ú val. vált. értéke kisebb mint (x 1 -m)/σ, ez pedig Φ((x 1 -m)/σ)
11 . Egy populációban a testsúlyt m = 60,38 kg, σ = 5,7 kg paraméterű normális eloszlású val. vált.-nak tekintjük. Az egyéneket testsúly szerint osztályba szeretnénk sorolni, úgy, hogy várhatóan minden osztályba egyenlő számú egyén kerüljön. Jelöljük ki az osztályközöket (osztópontokat)! 5. Egy szántóföldön a búza termésátlaga 60 q/hektár, a szórás 15 q/hektár. Mi a valószínűsége, hogy egy adott évben a) a termés meghaladja a 38 q/hektárt? b) 80 és 90 q/hektár közé esik? 6. Egy nagy mikroorganizmus-tenyészetben a két sejtosztódás közötti nyugalmi fázis időtartama normális eloszlású, órákban mérve m = 160, σ = 0. Mi annak a valószínűsége, hogy egy egyedből álló randomizáltan kiválasztott mintában egyetlen egyed nyugalmi fázisa sem lesz kisebb 180 óránál? norm. elo. sûr.fv. m=68, =5.7 σ norm. elo. sûr.fv. m=60, =15 σ II. LOGNORMÁLIS ELOSZLÁSÚ egy ξ val. vált., ha lnξ normális eloszlású m és σ paraméterekkel. Ekkor M(ξ) = e m+ σ m+ σ σ, V(ξ) =e ( e 1). 7. Bizonyos sejtpopulációban a sejtmag átmérője lognormális eloszlású, átlaga 8 mikrométer, szórása 1,1 mikrokéter. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a sejtmagátmérő 7 és 9 mikrométer közé esik? III. EXPONENCIÁLIS ELOSZLÁS gyakran lép fel várakozási időtartamokkal, objektumok életidejével kapcsolatban. Pontosabban ha egy adott esemény többször bekövetkezik és az egyes bekövetkezések egymástól függetlenek, akkor a bekövetkezések között eltelt idő exponenciális eloszlású. (Időegység alatt a bekövetkezések száma ekkor Poisson eloszlású - a függetlenség a kritérium). Észre kell azonban venni, hogy sokszor egyes események ismételt bekövetkezései nem függetlenek, ekkor nem exponenciális eloszlású a várakozási idő. Örökifjú objektumok élettartama is exponenciális eloszlású, az ilyen élőlény azonban ritka, ugyanis ez azt jelentené, hogy a jövőbeni kilátások függetlenek a pillanatnyi kortól (nem öregszik); jó közelítéssel ilyenek a korallpolipok, ld. a köv. feladatot. λx 1 e,ha x (0, ) exp elo. val. vált. elo. fv-e: F( x) = 0, ha x (,0] λx λe, ha x (0, ) sűr. fv.-e: f ( x) =, M(ξ) = 1/λ, V(ξ) = 1/λ 0, ha x (,0]. 8. Egy korallfaj polipjainak élettartama exponenciális eloszlású, átlagos életidejük 3,0 év. a) Az egyedek hány százaléka éri meg a 3 évet? b) Az egyedek hány százaléka éri meg a évet? c) A két éves egyedek hány százaléka éri meg a évet? d) 0 éves egyedekből kiindulva várhatóan hány év múlva következik be az, hogy éppen a fele van életben? 11
12 9. Egy forrásért való küzdelemben az állatok sok fajnál harc nélkül, de pózolva várakoznak, hátha a másik hamarabb megunja. A várakozási idő exponenciális eloszlású átlagát a forrás értéke szabja meg. Egy csontért átlagosan 10 percig várakoznak a kutyák, a)mi a valószínűsége, hogy egy adott kutya ennél tovább vicsorog a csont mellett? b) mekkora egy másik csont értéke, melynél ugyanakkora valószínűséggel éppen 50 percig várakoznak a kutyák? c) mi a valószínűsége, hogy az első csontért a várakozási idő 5 és 8 perc közé esik? exp.elo. sûr.fv. λ = exp.elo. sûr.fv. λ = 1/3 MEGOLDÁSOK: 1. a) P(ξ>5) = 1-P(ξ<5) = 1-F(5) = 1 - Φ((5-.1)/1.5) = 1 - Φ(1,93) = 0,07. b) P(0<ξ<1) = F(1) - F(0) = Φ((1-.1)/1.5) - Φ((0-.1)/1.5) = Φ(-0,73) - Φ(-1,) = 1 - Φ(0,73) - (1 - Φ(1,)) = 0,15. c) P(0<ξ<1 ξ<,1) = P(0<ξ<1)/P(ξ<,1) = 0,15/0,5 = 0,30.. Az 1. feladathoz hasonlóan: a)0,167, b) 0,115 c) 0,30. (extrapolálástól függően) 3. mindkét esetben P(m-σ <ξ< m+σ) = F(m+σ) - F(m-σ) = Φ( m+σ -m)/σ) - Φ( m-σ -m)/σ) = Φ( 1) - Φ( -1) = Φ( 1) - 1 = 0,683.. Legyen a három osztópont x 1, x és x 3. Nyilván x = m. Φ(( x 3-60,38)/5,7)) = 0,75. Innen (x 3-60,38)/5,7 = 0,675 tehát x 3 = 6,3. Φ(( x 1-60,38)/5,7)) = 0,5, mivel csak 0,5-nél nagyobb Φ(x) értékeket találunk a táblázatban: Φ(( 60,38- x 1 )/5,7)) = 1-0,5, innen x 1 = 56,53. x 1 -et egyszerűen az eloszlás szimmetrikus volta alapján is kiszámíthatjuk: x 1 = m - (x 3 - m). 5. a) ) P(ξ>38) = 1-P(ξ<38) = 1-F(38) = 1 - Φ((38-60)/15) = Φ(1,7) = 0,99 b) P(80<ξ<90) = F(90) - F(80) = Φ((90-60)/15) - Φ((80-60)/15) = Φ() - Φ(1,33) = 0,977-0,908 = 0, P(ξ>180) = (1 - Φ(( )/0)) = (1- Φ(1)) = 0,1587 = 0, e m+ σ m+ σ σ = 8 és e ( e 1) = 1.1, innen a lognormális eloszláshoz tartozó normál eloszlás paraméterei: m =,070 és σ = 0,137. P(7<ξ<9) = P(ln7<lnξ<ln9), mivel lnξ normális eloszlású P(1,96<lnξ<,197), = Φ((,197-,070)/0,137) - Φ((1,96-,070)/0,137) = 0,6. 8. a) λ = 1/3, P(ξ>3) = 1- F(3) = 1- (1-e -3*1/3 ) = e -1 = 0,37. b) P(ξ>) = 1- F() = 1- (1-e -*1/3 ) = 0,6. c) P(ξ> ξ>) = P(ξ> és ξ> ) / P(ξ>) = 0,6/0,513 = 0,513 = P(ξ>), éppen ez jelenti az örökifjúságot. 1 λ 1 d)f( t ) e t t 1 1 / 3 1 / = 1 =, P( fele _ él) = / =, e ahol t 1/ a keresett év; innen t 1/ = - ln(1/) / λ =,08 év. 9. ) λ = 0,1, a) P(ξ>10) = 1- F(10) = 1- (1-e -10*0,1 ) = e -1 = 0,37. b) e -1 = P(ξ>50) = 1- F(50) = 1- (1-e -50*λ ), λ = 1/50, a forrás értéke ekkor 50, vagyis átlagosan 50 percig várakoznak. c) P(5<ξ<8) = F(8) -F(5) = 1-e -8/10 - (1-e -5/10 ) = 0,16. 1
10. Valószínűségszámítás
. Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás
RészletesebbenPopulációgenetika. 2. Egy populáció egyedeinek a 90%-a AA, 10%-a aa genotípusú. Mekkorák az allélgyakoriságok?
Populációgenetika 1. Egy populáció egyedeinek genotípus szerinti megoszlása a következő: 10 AA, 50 Aa, 30 aa. Mekkorák az allélgyakoriságok? Követi-e a Hardy-Weinberg eloszlást a populáció? p = D+H/ alapján
RészletesebbenStatisztikai alapismeretek (folytatás)
Statisztikai alapismeretek (folytatás) 3. elıadás (5-6. lecke) Az alapsokaság fıbb jellemzıi () 5. lecke Folytonos változó megoszlásának jellemzése A sokasági átlag és szórás Átlag és szórás tulajdonságai
RészletesebbenKVANTITATÍV MÓDSZEREK
KVANTITATÍV MÓDSZEREK Dr. Kövesi János Tóth Zsuzsanna Eszter 6 Tartalomjegyzék Kvantitatív módszerek. Valószínűségszámítási tételek. eltételes valószínűség. Események függetlensége.... 3.. eltételes valószínűség...
RészletesebbenKomputer statisztika gyakorlatok
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 6. heti eladshoz
Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Építőkari Matematika A3 1. Ha E(X = 1 és D 2 (X = 5, határozzuk meg (a E[(2 + X 2 ], (b D 2 (4 + 3X értékét. 2. Legyenek X 1, X 2,... független azonos eloszlású
RészletesebbenCsődvalószínűségek becslése a biztosításban
Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Diplomamunka Írta: Deák Barbara Matematikus szak Témavezető: Arató Miklós, egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,
RészletesebbenA populációgenetika alaptörvénye
1 of 5 5/16/2009 2:58 PM A Hardy Weinberg-egyensúly A populációgenetika alaptörvénye A felfedezőiről elnevezett Hardy Weinberg egyensúlyi állapot az ideális populáció-ban fordul elő, egy olyan populációban,
RészletesebbenVariancia-analízis (folytatás)
Variancia-analízis (folytatás) 6. elıadás (11-12. lecke) Szórás-stabilizáló transzformációk (folyt.), t-próbák 11. lecke További variancia-stabilizáló transzformációk Egy-mintás t-próba Szórás-kiegyenlítı
RészletesebbenStatisztika, próbák Mérési hiba
Statisztika, próbák Mérési hiba ÁTLAG SZÓRÁS KICSI, NAGY MIN, MAX LIN.ILL LOG.ILL MEREDEKSÉG METSZ T.PROBA TREND NÖV Statisztikai függvények Statisztikailag fontos értékek Számtani átlag: ŷ= i y i /n Medián:
Részletesebben5. Egyszerre feldobunk egy-egy szabályos hat-, nyolc-, és tizenkét oldalú dobókockát.
1. feladatsor 1. (a) Igazolja, hogy tetszőleges A, B, C eseményekre fennáll, hogy (A B) (A C) = A (B + C)! (b) Sorolja fel a valószínűség-számítás axiómáit! (a) c=? (4) (b) D(ξ)=? (0.4714) { c x 5 (c)
RészletesebbenValószínűségszámítás
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................
Részletesebben1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba?
Matematikai statisztika példák Matematikai statisztika példák Normális eloszlás 1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? 2. Majmok ébredését
RészletesebbenMatematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34
Valószín½uségszámítás és matematikai statisztika Mihálykóné Orbán Éva Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34 Valószín½uségi változók számérték½u jellemz½oi 1 várható érték 2 szórásnégyzet/szórás
RészletesebbenMITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ
MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0
RészletesebbenTómács Tibor. Matematikai statisztika
Tómács Tibor Matematikai statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Matematikai statisztika Eger, 01 Szerző: Dr. Tómács Tibor főiskolai docens Eszterházy Károly
RészletesebbenElsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek
Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint
RészletesebbenSztochasztikus folyamatok 1. házi feladat
Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat 1. Egy borfajta alkoholtartalmának meghatározására méréseket végzünk. Az egyes mérések eredményei egymástól független valószínûségi változók, melyek normális eloszlásúak,
RészletesebbenLineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer
Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény
Részletesebben4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002.
M Ű S Z A K I B I Z O N S Á G I F Ő F E L Ü G Y E L E 4. sz. Füzet A hibafa számszerű kiértékelése 00. Sem a Műszaki Biztonsági Főfelügyelet, sem annak nevében, képviseletében vagy részéről eljáró személy
RészletesebbenStatisztikai módszerek
Statisztikai módszerek A hibaelemzı módszereknél azt néztük, vannak-e kiugró, kritikus hibák, amelyek a szabályozás kivételei. Ezekkel foglalkozni kell; minıségavító szabályozásra van szükség. A statisztikai
RészletesebbenFélévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz
Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,
RészletesebbenÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ
Szolnoki Főiskola Üzleti Fakultás, 5000 Szolnok, Tiszaligeti sétány ÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ A 4/1996. (I. 18.) Korm. rendelet a közgazdasági felsőoktatás alapképzési szakjainak képesítési
RészletesebbenBemenet modellezése II.
Bemenet modellezése II. Vidács Attila 2005. november 3. Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 1 Kiszolgálási id k modellezése Feladat: Egy bemeneti modell felállítása egy egy kiszolgálós sorbanállási
RészletesebbenA 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.
Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.
Részletesebbenmatematikai statisztika 2006. október 24.
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................
RészletesebbenValószínűség-számítás II.
Valószínűség-számítás II. Geometriai valószínűség: Ha egy valószínűségi kísérletben az események valamilyen geometriai alakzat részhalmazainak felelnek meg úgy, hogy az egyes események valószínűsége az
RészletesebbenSzéchenyi István Egyetem, 2005
Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását
RészletesebbenKOLLÉGISTÁK A FELSŐOKTATÁSBAN
KUTATÁS KÖZBEN Gábor Kálmán KOLLÉGISTÁK A FELSŐOKTATÁSBAN HIGHER EDUCATION STUDENTS IN DORMITORIES No. 272 ESEARCH RESEARCH A Felsőoktatási Kutatóintézet a magyar oktatásügy átfogó problémáinak tudományos
RészletesebbenFELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK
3. osztály Az első oldalon 1-gyel kezdve egyesével beszámozták egy könyv összes oldalát. Hány oldalas ez a könyv, ha ehhez 55 számjegyet használtak fel? Az első 9 oldalhoz 9 számjegyet használtak, a további
Részletesebben1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és
Valószínűségszámítás és statisztika feladatok 1 Kombinatorika 2011/12. tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény,
RészletesebbenReiczigel Jenő, 2006 1
Reiczigel Jenő, 2006 1 Egytényezős (egyszempontos) varianciaelemzés k független minta (k kezelés vagy k csoport), a célváltozó minden csoportban normális eloszlású, a szórások azonosak, az átlagok vagy
RészletesebbenSzent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály
SZENT ISTVÁN RÓMAI KATOLIKUS ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS ÓVODA 5094 Tiszajenő, Széchenyi út 28. Tel.: 56/434-501 OM azonosító: 201 669 Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály 1. Hányféleképpen lehet
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 4. hétre
Feladatok és megoldások a. hétre Építőkari Matematika A3. Pisti nem tanult semmit a vizsgára, ahol 0 darab eldöntendő kérdésre kell válaszolnia. Az anyagból valami kicsi dereng, ezért kicsit több, mint
RészletesebbenT 038407 1. Zárójelentés
T 038407 1 Zárójelentés OTKA támogatással 1996-ban indítottuk az MTA Pszichológiai Intézetében a Budapesti Családvizsgálatot (BCsV), amelynek fő célja a szülő-gyermek kapcsolat és a gyermekek érzelmi-szociális
RészletesebbenAzonosító jel: FÖLDRAJZ EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2009. május 14. 14:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 14. FÖLDRAJZ EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 14. 14:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM
RészletesebbenTARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69
TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ............................................................ 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!............................. 9 Mit tanultunk a számokról?............................................
RészletesebbenDÖNTÉSI MODELL KIALAKÍTÁSA KÖZBESZERZÉSI ELJÁRÁS SORÁN ELŐSZÓ
Dr. Gyarmati József mk. őrnagy ZMNE BJKMK Katonai Logisztikai Minőségügyi és Közlekedésmérnöki Tanszék DÖNTÉSI MODELL KIALAKÍTÁSA KÖZBESZERZÉSI ELJÁRÁS SORÁN Absztrakt A cikk egy olyan algoritmust mutat
RészletesebbenMINİSÉGSZABÁLYOZÁS. Dr. Drégelyi-Kiss Ágota e-mail: dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu http://uni-obuda.hu/users/dregelyia
MINİSÉGSZABÁLYOZÁS A GÉPIPARBAN Dr. Drégelyi-Kiss Ágota e-mail: dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu http://uni-obuda.hu/users/dregelyia ISO 9000:2008 A STATISZTIKAI MÓDSZEREK HASZNÁLATÁRÓL A statisztikai módszerek
RészletesebbenTárgyszavak: statisztika; jövedelmezőség; jövőbeni kilátások; fejlődő országok; ellátás; vezetékrendszer élettartama.
A MÛANYAGOK FELHASZNÁLÁSA PE-HD csövek a vízellátásban Tárgyszavak: statisztika; jövedelmezőség; jövőbeni kilátások; fejlődő országok; ellátás; vezetékrendszer élettartama. Európában ma már a csövek többségét
RészletesebbenMiskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.
Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés
RészletesebbenEGÉSZTESTSZÁMLÁLÁS. Mérésleírás Nukleáris környezetvédelem gyakorlat környezetmérnök hallgatók számára
EGÉSZTESTSZÁMLÁLÁS Mérésleírás Nukleáris környezetvédelem gyakorlat környezetmérnök hallgatók számára Zagyvai Péter - Osváth Szabolcs Bódizs Dénes BME NTI, 2008 1. Bevezetés Az izotópok stabilak vagy radioaktívak
RészletesebbenKövetkezõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk
1 1 Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk Jelfeldolgozás 1 Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 2 Bevezetés 5 Kérdések, feladatok 6 Fourier sorok, Fourier transzformáció 7 Jelek
RészletesebbenNagy Ildikó: Családok pénzkezelési szokásai a kilencvenes években
Nagy Ildikó: Családok pénzkezelési szokásai a kilencvenes években Bevezető A nyolcvanas évek elején egyik megjelent tanulmányában J. Pahl az angol családok pénzkezelési szokásairól írt. A szerző hipotézise
RészletesebbenKonfokális mikroszkópia elméleti bevezetõ
Konfokális mikroszkópia elméleti bevezetõ A konfokális mikroszkóp fluoreszcensen jelölt minták vizsgálatára alkalmas. Jobb felbontású képeket ad, mint a hagyományos fluoreszcens mikroszkópok, és képes
RészletesebbenLeggyakrabban használt adatbányászási technikák. Vezetői információs rendszerek
Leggyakrabban használt adatbányászási technikák ADATBÁNYÁSZÁS II. 1. A társításelemzés társítási szabályok (asszociációs szabályok) feltárását jelenti. Azt vizsgájuk, hogy az adatbázis elemei között létezik-e
RészletesebbenMatematikai és matematikai statisztikai alapismeretek
Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok
RészletesebbenBiostatisztika e-book Dr. Dinya Elek
TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok
RészletesebbenElméleti összefoglalók dr. Kovács Péter
Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter 1. Adatállományok létrehozása, kezelése... 2 2. Leíró statisztikai eljárások... 3 3. Várható értékek (átlagok) vizsgálatára irányuló próbák... 5 4. Eloszlások vizsgálata...
RészletesebbenADATBÁZISKEZELÉS ADATBÁZIS
ADATBÁZISKEZELÉS 1 ADATBÁZIS Az adatbázis adott (meghatározott) témakörre vagy célra vonatkozó adatok gyűjteménye. - Pl. A megrendelések nyomon követése kereskedelemben. Könyvek nyilvántartása egy könyvtárban.
RészletesebbenKockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet
Kockázati folyamatok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2012. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok 2012. szi félév 1 / 48 Bevezetés A kurzus céljai
RészletesebbenSZTOCHASZTIKUS MÓDSZEREK
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR BUDAPESTI CORVINUS EGYETEM KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR SZTOCHASZTIKUS MÓDSZEREK A NEM-ÉLETBIZTOSÍTÁSOK TARTALÉKOLÁSÁBAN MSc szakdolgozat Írta: Orbán Barbara
RészletesebbenEgy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort.
VEKTOROK VEKTOROK FOGALMA Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon, hogy az egyik pont a kezdőpont, a másik pont a végpont, akkor irányított szakaszt kapunk. Egy irányított szakasz
RészletesebbenScharle Ágota: Családi napközi hálózat működtetésének költség-haszon elemzése
Scharle Ágota: Családi napközi hálózat működtetésének költség-haszon elemzése Ez a fejezet a hálózatban működő családi napközik átlagos hozamára és költségére ad becslést, illetve felvázol egy lehetséges
RészletesebbenA TESZTÜZEMEK FŐBB ÁGAZATAINAK KÖLTSÉG- ÉS JÖVEDELEMHELYZETE 2002-BEN
Agrárgazdasági Kutató és Informatikai Intézet A TESZTÜZEMEK FŐBB ÁGAZATAINAK KÖLTSÉG- ÉS JÖVEDELEMHELYZETE 2002-BEN A K I I Budapest 2003 Agrárgazdasági Tanulmányok 2003. 6. szám Kiadja: az Agrárgazdasági
Részletesebben4. modul Poliéderek felszíne, térfogata
Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott
RészletesebbenOrszágos kompetenciamérés. Országos jelentés
Országos kompetenciamérés 2009 Országos jelentés Országos jelentés TARTALOMJEGYZÉK JOGSZABÁLYI HÁTTÉR... 7 A 2009. ÉVI ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS SZÁMOKBAN... 8 A FELMÉRÉSRŐL... 9 EREDMÉNYEK... 11 AJÁNLÁS...
RészletesebbenIlleszkedésvizsgálat χ 2 -próbával
Illeszkedésvizsgálat χ -próbával Szalay Krisztina 1. feladat (tiszta illeszkedésvizsgálat) Négy pénzérmét 0-szor feldobunk. A kapott gyakoriságok: fejek száma 0 1 3 4 Összes gyakoriság 5 35 67 41 1 0 Elfogadható-e
RészletesebbenA Sósmocsár és környezetének környezetföldtani vizsgálata. Pethes Katalin Környezettudomány szak- 2010 Témavezető: Szurkos Gábor MÁFI
A Sósmocsár és környezetének környezetföldtani vizsgálata Pethes Katalin Környezettudomány szak- 2010 Témavezető: Szurkos Gábor MÁFI Bevezetés A szakdolgozat témája:soroksár és Pesterzsébet határán elhelyezkedő
RészletesebbenSugárzási alapismeretek
Sugárzási alapismeretek Energia 10 20 J Évi bejövő sugárzásmennyiség 54 385 1976-os kínai földrengés 5006 Föld széntartalékának energiája 1952 Föld olajtartalékának energiája 179 Föld gáztartalékának energiája
RészletesebbenAlapfogalmak áttekintése. Pszichológiai statisztika, 1. alkalom
Alapfogalmak áttekintése Pszichológiai statisztika, 1. alkalom Hipotézisek Milyen a jó null hipotézis?? H0: Léteznek kitőnı tanuló diszlexiások.? H1: Nem léteznek. Sokkal inkább: H0: Nincs diszlexiás kitőnı
RészletesebbenTermészetfölötti erő. A DON-szint csökkenthető, a jó termés elérhető!
Természetfölötti erő A DON-szint csökkenthető, a jó termés elérhető! A DON-szint csökkenthető, a jó termés elérhető! DON-minimalizálás A kalászfuzáriózis A kalászfuzáriózis hazánkban az őszi búza gyakori
RészletesebbenValószínűségszámítás és statisztika. István Fazekas
Valószínűségszámítás és statisztika István Fazekas Tartalomjegyzék 1. fejezet. A valószínűségszámítás alapfogalmai 5 1.1. A valószínűség 5 1.2. Halmazalgebrák és σ-algebrák 11 1.3. A feltételes valószínűség
Részletesebben11. Matematikai statisztika
11. Matematikai statisztika 11.1. Alapfogalmak A statisztikai minta valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kisérlet eredménye. Ez véges sok, azonos eloszlású valószínűségi változó
RészletesebbenSzeminárium-Rekurziók
1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az
RészletesebbenCsicsman József-Sipos Szabó Eszter csicsman@calculus.hu, siposeszti@gmail.com. Matematikai alapok az adatbányászati szoftverek első megismeréséhez
Csicsman József-Sipos Szabó Eszter csicsman@calculus.hu, siposeszti@gmail.com Matematikai alapok az adatbányászati szoftverek első megismeréséhez 1.1 A statisztikai sokaság A statisztika a valóság számszerű
RészletesebbenVargha András PSZICHOLÓGIAI STATISZTIKA DIÓHÉJBAN 1. X.1. táblázat: Egy iskolai bizonyítvány. Magyar irodalom. Biológia Földrajz
Megjelent: Vargha A. (7). Pszichológiai statisztika dióhéjban. In: Czigler I. és Oláh A. (szerk.), Találkozás a pszichológiával. Osiris Kiadó, Budapest, 7-46. Mi az, hogy statisztika? Vargha András PSZICHOLÓGIAI
RészletesebbenFelszín- és térfogatszámítás (emelt szint)
Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) (ESZÉV 2004.minta III./7) Egy négyoldalú gúla alaplapja rombusz. A gúla csúcsa a rombusz középpontja felett van, attól 82 cm távolságra. A rombusz oldalának hossza
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT
) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat
RészletesebbenAnalízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
RészletesebbenKecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék. Johanyák Zsolt Csaba
Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék Johanyák Zsolt Csaba 003 Tartalomjegyzék. Bevezetés.... A megbízhatóság fogalmai..... A termék idıtıl függı képességei...... Használhatóság /Üzemkészség/
RészletesebbenKÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 17. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 17. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 120 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fizika
RészletesebbenValószín ségelmélet házi feladatok
Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott
RészletesebbenEMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA
É RETTSÉGI VIZSGA 2015. október 22. FIZIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. október 22. 14:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA
Részletesebben1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik
1991. évi verseny, 1. nap 1. Számold össze, hány pozitív osztója van 16 200-nak! 2. Bontsd fel a 60-at két szám összegére úgy, hogy az egyik szám hetede egyenlő legyen a másik szám nyolcadával! 3. Van
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot
RészletesebbenII. A következtetési statisztika alapfogalmai
II. A következtetési statisztika alapfogalmai Tartalom Statisztikai következtetések A véletlen minta fogalma Pontbecslés és hibája Intervallumbecslés A hipotézisvizsgálat alapfogalmai A legegyszerűbb statisztikai
RészletesebbenElméleti tribológia és méréstechnika Összefüggések felület- és kenőanyag-minőség, súrlódás és kopás között
ÜZEMFENNTARTÁSI TEVÉKENYSÉGEK 3.03 Elméleti tribológia és méréstechnika Összefüggések felület- és kenőanyag-minőség, súrlódás és kopás között Tárgyszavak: tribológia; kenés; kenőanyag; mérés; kenőolaj.
RészletesebbenSGS-48 FORGALOMTECHNIKAI SEGÉDLET
SWARCO TRAFFIC HUNGARIA KFT. Vilati, Signelit együtt. SGS-48 FORGALOMTECHNIKAI SEGÉDLET V 2.0 SWARCO First in Traffic Solution. Tartalomjegyzék 1. Bevezető...1 2. Jelzésképek...1 3. A berendezés működési
RészletesebbenSZAKDOLGOZAT. Takács László
SZAKDOLGOZAT Takács László 2012 SZEGEDI TUDOMÁNYEGYETEM Természettudományi és Informatikai Kar Geometria Tanszék Matematika Bsc_LAK SZAKDOLGOZAT Kísérlettervezés latin négyzetek felhasználásával Készítette:
RészletesebbenFizika 1i gyakorlat példáinak kidolgozása 2012. tavaszi félév
Fizika 1i gyakorlat példáinak kidolgozása 2012. tavaszi félév Köszönetnyilvánítás: Az órai példák kidolgozásáért, és az otthoni példákkal kapcsolatos kérdések készséges megválaszolásáért köszönet illeti
RészletesebbenDefine Measure Analyze Improve Control. F(x), M(ξ),
5.5.5. Six Sigma Minőségmenedzsment Statisztikai folyamatszabályozási (SPC) rendszer Erdei János Egy fegyelmezett és erősen mennyiségi szemléletű folyamatfejlesztési megközelítés, amely a gyártási, szolgáltatási
RészletesebbenFeszített vasbeton gerendatartó tervezése költségoptimumra
newton Dr. Szalai Kálmán "Vasbetonelmélet" c. tárgya keretében elhangzott előadások alapján k 1000 km k m meter m Ft 1 1 1000 Feszített vasbeton gerendatartó tervezése költségoptimumra deg A következőkben
RészletesebbenLegénytoll a láthatáron II.
DIÓSI PÁL Legénytoll a láthatáron II. A fiatalok helyzetérõl, problémáiról Feladatunkat szûkösen értelmeznénk, ha megkerülnénk annak vizsgálatát, hogy a megkérdezettek milyennek látják generációjuk körülményeit.
RészletesebbenHipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)
Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat
RészletesebbenBiztosítási ügynökök teljesítményének modellezése
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapest Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Szakdolgozat Írta: Balogh Teréz Biztosítási és
RészletesebbenBevezető Mi a statisztika? Mérés Feldolgozás Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés Feladatok. Statisztika I.
Statisztika I. 1. előadás: A statisztika alapfogalmai Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Óbudai Egyetem A kurzusról A kurzus célja
RészletesebbenTARTALOM AZ INFORMATIKA FOGALMA... 3 1. A fogalom kialakítása... 3 2. Az informatika tárgyköre és fogalma... 3 3. Az informatika kapcsolata egyéb
TARTALOM AZ INFORMATIKA FOGALMA... 3 1. A fogalom kialakítása... 3 2. Az informatika tárgyköre és fogalma... 3 3. Az informatika kapcsolata egyéb tudományterületekkel... 4 4. Az informatika ágai... 5 AZ
RészletesebbenLineáris Algebra gyakorlatok
A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk
RészletesebbenMunkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit
Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.
RészletesebbenINFO DIAG DIAGNOSZTIKAI ESZKÖZÖK FILIALES / DR CENTRES DE FORMATION CE - SUCC AGENTS
CITROËN INFO DIAG DIAGNOSZTIKAI ESZKÖZÖK LEXIA PROXIA CD 20 AC / QCAV / MTD FILIALES / DR CENTRES DE FORMATION CE - SUCC AGENTS N 37 26/02/01 TÁRGY : LEXIA és PROXIA CD 20-szal. MEGÁLLAPÍTÁS : Citroen
Részletesebben44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29.
44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Országos döntő, 1. nap - 015. május 9. ÖTÖDIK OSZTÁLY - ok 1. Egy háromjegyű szám középső számjegyét elhagyva egy kétjegyű számot kaptunk. A két szám összege
RészletesebbenA gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:
. Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,
Részletesebben(de progit ne hagyd ki ) www.jatektan.hu/jatektan/ 2013/009/Folds.html )
Hajtogatósdikhoz mindenféle Arányosság (lineáris és négyzetes), mintakövető építkezés, logikai feladványok próbálgatással, ráérzéssel, gondolkodással, stb. (8 év felettieknek sorban, amíg el nem vesztik
Részletesebbenb) Adjunk meg 1-1 olyan ellenálláspárt, amely párhuzamos ill. soros kapcsolásnál minden szempontból helyettesíti az eredeti kapcsolást!
2006/I/I.1. * Ideális gázzal 31,4 J hőt közlünk. A gáz állandó, 1,4 10 4 Pa nyomáson tágul 0,3 liter térfogatról 0,8 liter térfogatúra. a) Mennyi munkát végzett a gáz? b) Mekkora a gáz belső energiájának
RészletesebbenKészítette: Fegyverneki Sándor. Miskolci Egyetem, 2002.
INFORMÁCIÓELMÉLET Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2002. i TARTALOMJEGYZÉK. Bevezetés 2. Az információmennyiség 6 3. Az I-divergencia 3 3. Információ és bizonytalanság
RészletesebbenFeladatgyűjtemény a Topologikus Szigetelők 1. c. tárgyhoz.
Asbóth János, Oroszlány László, Pályi András Feladatgyűjtemény a Topologikus Szigetelők 1. c. tárgyhoz. A kutatás a TÁMOP 4.2.4.A/1-11-1-2012-0001 azonosító számú Nemzeti Kiválóság Program Hazai hallgatói,
RészletesebbenSE Bővített fokozatú sugárvédelmi tanfolyam, 2005 márc. 21-24 IONIZÁLÓ SUGÁRZÁSOK DOZIMETRIÁJA. (Dr. Kanyár Béla, SE Sugárvédelmi Szolgálat)
SE Bővített fokozatú sugárvédelmi tanfolyam, 2005 márc. 21-24 IONIZÁLÓ SUGÁRZÁSOK DOZIMETRIÁJA (Dr. Kanyár Béla, SE Sugárvédelmi Szolgálat) A sugárzások a károsító hatásuk mértékének megítélése szempontjából
RészletesebbenEMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 17. FIZIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 17. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fizika
RészletesebbenÁtrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30.
Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. 1. Határozzuk meg, hány egybevágósága van egy négyzetnek! Melyek azonos jellegűek ezek között? Ez egy általános bevezető feladat tud
Részletesebben