Statisztikai alapismeretek (folytatás)

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Statisztikai alapismeretek (folytatás)"

Marika Nagyné
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 Statisztikai alapismeretek (folytatás) 3. elıadás (5-6. lecke) Az alapsokaság fıbb jellemzıi () 5. lecke Folytonos változó megoszlásának jellemzése A sokasági átlag és szórás Átlag és szórás tulajdonságai alkalmazás minta-átlagokra

lecke Folytonos változó megoszlásának jellemzése A

2 Folytonos esetben az ismérv sőrőségfüggvénye egy nemnegatív p(x) vagy f(x) folytonos függvény, amely alatt a terület egységnyi. Ilyen például a jól ismert Gauss-féle haranggörbe. A sőrőségfüggvény lényege a sokaságnak az a részaránya, amely a és b érték közé esik, a sőrőségfüggvény alatti terület mérıszáma az (a, b) intervallum fölött, képletben P ( a x < b) p( x)dx Itt a P a probability (valószínőség) szóra utal. b = a

A sőrőségfüggvény lényege a sokaságnak az a részaránya, amely a és b érték közé esik, a sőrőségfüggvény

3 Az eloszlásfüggvény, F(x) az alapsokaság azon részaránya, amelybe tartozó egyedeken a szóban forgó X ismérv értéke x-nél kisebb. Más szóval, F(x) annak a valószínősége, hogy egy véletlenszerően választott egyeden X<x lesz, azaz F(x)=P(X<x). Az alapsokaság (a,b) intervallumba tartozó egyedeinek részarányát a sőrőségfüggvénnyel és az eloszlásfüggvénnyel is kifejezhetjük: P b ( a x < b) = p( x) dx = F( b) F( a) a

Más szóval, F(x) annak a valószínősége, hogy egy véletlenszerően választott egyeden X<x lesz, azaz

4 Várható érték (sokasági átlag) és szórás Az alapsokaság átlagát várható értéknek nevezzük, a továbbiakban µ-vel jelöljük, az alapsokaság szórásának jele σ. Ez az alapsokaság két legfontosabb paramétere. Képzésük a mintabeli megfelelıik értelemszerő kiterjesztésével történik: diszkrét esetben k p x k, folytonos esetben µ a sőrőségfüggvény súlypontja. = µ x ( ) σ = ( x µ ) p( ) + + k x k µ = xp( x)dx σ = ( x µ ) p( x)dx

Képzésük a mintabeli megfelelıik értelemszerő kiterjesztésével történik: diszkrét esetben k p x k,

5 Kvalitatív változó jellemzıi Kvalitatív sokasági átlagról nem beszélünk Variabilitását diverzitás mutatókkal mérhetjük. Legyenek az egyes kategóriákba sokasági relatív gyakoriságai p 1, p,..., p c, összegük 1 (100%) Simpson-Yule féle diverzitási index D S-Y =1- p k, maximális értéke 1-1/c Shannon-Weaver féle diverzitási index D S-W =- p k ln(p k ), maximális értéke ln(c), ahol c a kategóriák száma (Mindkettı akkor maximális, ha p 1 = p =...= p c )

.., p c, összegük 1 (100%) Simpson-Yule féle diverzitási index D S-Y =1- p k, maximális értéke 1-1/c

6 Ismeretek a várható értékrıl A várható értéket a továbbiakban µ szimbólum mellett E(.) vel is jelöljük, tehát µ= E(X). Két alapvetı tulajdonsága: E(a +c 1 X 1 + c X + )= a +c 1 E(X 1 ) + c E(X ) + ahol X 1, X,...X n tetszıleges véletlen változók és a, c 1, c.. tetszıleges konstansok. Speciálisan: E(a)=a; E(cX)=cE(X); E(X+Y)= E(X)+E(Y);E(X-Y)=E(X)-E(Y) A várható érték egy másik fontos tulajdonsága: E(XY)=E(X)E(Y), ha X és Y függetlenek

Két alapvetı tulajdonsága: E(a +c 1 X 1 + c X + )= a +c 1 E(X 1 ) + c E(X ) + ahol X 1, X,.

7 Ismeretek a sokasági varianciáról és szórásról Sem a szórás, sem a variancia általában nem additívak Ha viszont X 1, X,...X n függetlenek, akkor Var(a +c 1 X 1 + c X + )= c 1 Var(X 1 ) + c Var(X ) + ahol a, c 1, c.. tetszıleges konstansok. Speciálisan: Var(a)=0; Var(cX)=c Var(X), és ha X és Y függetlenek, akkor Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y); Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)

..X n függetlenek, akkor Var(a +c 1 X 1 + c X + )= c 1 Var(X 1 ) + c Var(X ) + ahol a, c

8 A sokasági átlag és variancia szabályainak néhány következménye a mintára vonatkozóan(1) Felhasználva,hogy a minta elemei X 1, X,...X n független változók (azaz egyikük felvett értéke sem befolyásolja a többi elem felvehetı értékét), igazolhatók az alábbiak A mintabeli relatív gyakoriság (f/n) - várható értéke azonos a sokasági relatív gyakorisággal (p) - varianciája pedig: Var (f/n) = p(1- p)/n

..X n független változók (azaz egyikük felvett értéke sem befolyásolja a többi elem felvehetı

9 A sokasági átlag és variancia szabályainak néhány következménye a mintára vonatkozóan() A minta átlagának ( X a mintavétel elıtt) - várható értéke azonos a sokasági átlaggal E( X )= µ - varianciája pedig: Var ( X) = σ /n - így az átlag szórása σ = σ/ n X

elıtt) - várható értéke azonos a sokasági átlaggal E( X )= µ -

10 A sokasági átlag és variancia szabályainak néhány következménye a mintára vonatkozóan (3): Két minta-átlag eltérésének várhatóértéke és szórása Tekintsünk két (idegen) sokaságot (1. és.), paramétereik µ 1 és σ 1 illetve µ és σ. Vegyünk az 1. sokaságból n 1 elemő mintát, a.-ból n elemőt, az átlagokat (a mintavétel elıtt) jelölje rendre X ill. Y. Jelölje D a két átlag eltérését, ennek várható értéke és szórása jelentıs szerepet kap a további vizsgálatokban

Vegyünk az 1. sokaságból n 1 elemő mintát, a.-ból n elemőt, az átlagokat (a mintavétel elıtt) jelölje rendre X ill.

11 Két minta-átlag eltérésének (folytatás) Megmutatható, hogy - az eltérés várható értéke µ = E( X Y ) = µ µ D 1 - és a varianciája σ 1 σ = Var( X Y) = + D n1 σ n - Speciálisan ha σ 1 = σ = σ, akkor és ha emellett n 1 = n = n, akkor 1 1 σ = + D n1 n σ σ σ = D n

σ 1 σ = Var( X Y) = + D n1 σ n - Speciálisan ha σ 1 = σ = σ,

12 KÖSZÖNÖM TÜRELMÜKET

13 6. lecke: Fontosabb sokasági eloszlások Binomiális, hipergeometrikus és Poisson eloszlás Exponenciális eloszlás Normális eloszlás, standard normális eloszlás Statisztikai (normálisokból származtatott) eloszlások

eloszlás Normális eloszlás, standard normális

14 Fontosabb sokasági eloszlások Diszkrét változók eloszlás-típusai - Binomiális eloszlás - Hipergeometrikus eloszlás - Poisson eloszlás Folytonos változók eloszlás-típusai - Egyenletes eloszlás - Exponenciális eloszlás - Normális eloszlás - Normálisból származtatott eloszlások

Folytonos változók eloszlás-típusai - Egyenletes eloszlás -

15 Binomiális eloszlás Végezzünk n kísérletet, melyek mindegyikében p=p(a) eséllyel következik be a bennünket érdeklı A esemény és q=1-p eséllyel nem következik be (ilyen pl. a visszatevéses mintavétel is véges sokaságnál) Legyen X az A bekövetkezésének száma az n kísérletbıl, X nyilván diszkrét véletlen változó, melynek lehetséges értékei 0,1,,.., n. Az X változó eloszlását n, p paraméterő binomiális eloszlásnak nevezzük. Az X=k esemény valószínőségét p k - val jelölve, kimutatható, hogy n k n k pk = P( X = k) = p q, ( k = 0,1,,..., n) k X várható értéke és varianciája: µ = np σ = npq

a visszatevéses mintavétel is véges sokaságnál) Legyen X az A bekövetkezésének száma az n kísérletbıl, X nyilván diszkrét véletlen változó, melynek

16 Hipergeometrikus eloszlás Egy N elemő sokaságban legyen valamely A tulajdonságú egyedek száma S, ezek aránya p=s/n és visszatevés nélkül válasszunk ki n egyedet. Legyen X a kiválasztottak között az A tulajdonságúak száma. X diszkrét változó, melynek lehetséges értékei 0, 1,,.,min(S,n) Az X véletlen változó eloszlását n,n,s paraméterő hipergeometrikus eloszlásnak nevezzük. Az X=k esemény valószínőségét p k -val jelölve, kimutatható, hogy pn k n k n 1 = P( X = k) = ; ( k = 0,1,, n) µ = np, σ = npq 1 N N 1 n qn p k...

X diszkrét változó, melynek lehetséges értékei 0, 1,,.

17 A Poisson eloszlás (ritka események eloszlása) a binomiális eloszlás határesete, ha n igen nagy és p pici. Ekkor az np =µ jelöléssel az X=k eset valószínősége: k µ µ pk = P( X= k) = e, ( k= 0,1,,... ) k! A Poisson eloszlású X valószínőségi változó várható értéke és szórásnégyzete egyaránt a µ paraméter. Példa: ha egy területen bizonyos növény vagy rovaregyedek véletlenszerően szóródnak, akkor az egységnyi területre esı X egyedszám Poisson eloszlású, µ az egységnyi területre esı átlagos egyedszámot jelenti

A Poisson eloszlású X valószínőségi változó várható értéke és szórásnégyzete egyaránt a µ paraméter.

18 Exponenciális eloszlás Alkatrészek élettartama, rovarok túlélési ideje a rovarirtó szer kipermetezésétıl számítva (és általában véletlen idıtartamok, távolságok) közelítıen exponenciális eloszlásúak λx sőrőségfüggvénye p x = λ e ha x 0 különben p x = eloszlásfüggvénye F(x) = 1 e -λx (x>0) ( ) ( ) 0 várható értéke 1/λ, szórása ugyanennyi Felezési idınek nevezzük azt a T értéket, amelyre F(T) = ½, azaz T = (ln )/λ 0,69/λ

sőrőségfüggvénye p x = λ e ha x 0 különben p x = eloszlásfüggvénye F(x) = 1 e -λx (x>0) ( ) ( ) 0 várható

19 Normális eloszlás A normális eloszlás a legfontosabb folytonos eloszlás 1 1 sőrőségfüggvénye ( ) ( x µ ) p x exp = σ ahol µ és σ a normális eloszlású ismérv várható értéke ill. a szórása, képe a Gauss-féle haranggörbe π A normális eloszlás-család tehát két-paraméterő, jelöljük N( µ,σ)-val. E családban a µ=0 és σ=1 paraméterő esetet standard normális eloszlásnak nevezik. A sőrőségfüggvényét p(x) helyett konvencionálisan φ(u) - val jelölik, eloszlásfüggvénye pedig F(x) helyett Φ(u). σ

a szórása, képe a Gauss-féle haranggörbe π A normális eloszlás-család tehát két-paraméterő, jelöljük N( µ,σ)-val.

20 Normális eloszlás sőrőségfüggvénye µ

21 F(x) számítása Φ(u)-ból (Normális eloszlás folyt.) A Φ(u) és a φ(u) függvény táblázatba foglalva megtalálható minden statisztika témájú könyvben (Excelbıl is kikereshetı) Tetszıleges N( µ, σ ) eloszlás eloszlásfüggvény értéke F(x) kiszámítható a standard normális eloszlásfüggvénybıl. Az átszámítás : x µ F µ, σ ( x) = Φ σ Eszerint egy N( µ,σ) eloszlású alapsokaságnak az (a,b) közbeesı egyedeinek részaránya:

22 P(a x<b) számítása Φ(u)-ból (Normális eloszlás folyt.) Az átszámítási formula szerint egy N( µ,σ) eloszlású alapsokaságnak az (a,b) közbe esı egyedeinek részaránya: ahol P ( a x < b) = F( b) F( a) = Φ( ) Φ( ) b µ a µ ub = és u a = σ σ Megjegyezzük, hogy tetszıleges eloszlású X változó standardizáltjának nevezzük az ( X µ ) σ változót. Ennek várható értéke mindig 0 és szórása 1 X = u b u a

23 Normális eloszlás(ok)ból képzett statisztikai eloszlások (1) Véletlen változók függvényei is véletlen változók. 1) Lognormális eloszlásúnak nevezzük X változót, ha logx normális eloszlású. ) n független standard normális eloszlású véletlen változó négyzetösszege n szabadságfokú chi eloszlású valószínőségi változó, tehát: χ = 1 X + X X n ahol az X i valószínőségi változók független, N(0,1) eloszlásúak. A függetlenség durván azt jelenti, hogy nincsenek kapcsolatban egymással (de erre még kitérünk).

24 Normális eloszlás(ok)ból képzett statisztikai eloszlások () 3) A t-eloszlás Legyen X standard normális eloszlású és χ [ n ] khi eloszlású változó, legyenek függetlenek. Ekkor a t[ n ] = véletlen változó eloszlását n-szabadságfokú t- eloszlásnak hívjuk (Student-eloszlás) χ X n

25 Normális eloszlás(ok)ból képzett statisztikai eloszlások (3) 3) Az F-eloszlás Két független chi eloszlású valószínőségi változó legyen χ [ m ] és χ [ n] Ekkor az χ [ m] / m F[ m, n] = χ / [ n] n hányados F-eloszlású, m,n szabadságfokokkal.

26 KÖSZÖNÖM TÜRELMÜKET

Hasonló dokumentumok

Variancia-analízis (folytatás)

Variancia-analízis (folytatás) 6. elıadás (11-12. lecke) Szórás-stabilizáló transzformációk (folyt.), t-próbák 11. lecke További variancia-stabilizáló transzformációk Egy-mintás t-próba Szórás-kiegyenlítı