Vargha András PSZICHOLÓGIAI STATISZTIKA DIÓHÉJBAN 1. X.1. táblázat: Egy iskolai bizonyítvány. Magyar irodalom. Biológia Földrajz

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Vargha András PSZICHOLÓGIAI STATISZTIKA DIÓHÉJBAN 1. X.1. táblázat: Egy iskolai bizonyítvány. Magyar irodalom. Biológia Földrajz"

Átírás

1 Megjelent: Vargha A. (7). Pszichológiai statisztika dióhéjban. In: Czigler I. és Oláh A. (szerk.), Találkozás a pszichológiával. Osiris Kiadó, Budapest, Mi az, hogy statisztika? Vargha András PSZICHOLÓGIAI STATISZTIKA DIÓHÉJBAN A Magyar értelmező kéziszótár szerint a statisztika az a tudomány, amely tömeges jelenségek, folyamatok számbeli adatainak összegyűjtésével, nyilvántartásával, elemzésével és feldolgozásával foglalkozik. Bármily meglepő azonban, a statisztika művelése nemcsak a tudósok privilégiuma, ilyesfajta tevékenységet majd minden ember végez. A X.. táblázat például Béla, egy kilencedikes középiskolás tanuló év végi bizonyítványának alapján készült. X.. táblázat: Egy iskolai bizonyítvány Tantárgy Osztályzat Magyar irodalom Jeles Magyar nyelv Jeles Angol nyelv Jeles Matematika Jeles Fizika Közepes Kémia Jó Biológia Jó Földrajz Jó Ének-zene Jeles Rajz és műalkotások elemzése Jeles Testnevelés Jeles Ha Bélától megkérdezi egy ismerőse, hogy milyen volt a bizonyítványa, Béla aligha fogja felsorolni a táblázatban összefoglalt tantárgyat és a rájuk kapott jegyeket. Sokkal valószínűbb, hogy Béla ilyesformán felel: Kaptam hét ötöst, három négyest és egy hármast. Bár Béla ennek aligha van tudatában, az általa közölt adatok statisztikai információk, melynek elnevezése statisztikai szakszavakkal: a kilencedikes év végi bizonyítvány érdemjegyeinek gyakorisági eloszlása. Kevés olyan szülő van, aki ne próbálná gyerekének bizonyítványát egyetlen számmal, a jegyek átlagával is jellemezni, mely Béla esetében most a következőképpen néz ki (két tizedesre kerekítve): átlag jegyek összege jegyek száma ,. Némi egyszerűsítéssel azt mondhatjuk, hogy ha valamilyen vizsgálattal vagy kutatással kapcsolatban rendelkezésre áll egy nagyobb adategyüttes, akkor gyakran statisztikai módszerekkel lehet ezekből az adatokból a szakmailag lényeges információt kiszűrni, az A szerző itt szeretne köszönetet mondani Czigler Balázsnak a kézirat első változatának elolvasásáért és hasznos észrevételeiért.

2 átláthatatlan adattömeget kevés számú, de tartalmas mutatóval leírni, s ezek segítségével a vizsgált jelenségről, csoportokról érvényes következtetéseket megfogalmazni. Miért van szüksége a pszichológia tudományának statisztikára? A feltett kérdést egy valódi pszichológiai vizsgálat segítségével válaszoljuk meg. Egy emlékezettel kapcsolatos vizsgálatban a résztvevő személyeknek, akik egyetemi hallgatók voltak, három betűből álló értelmetlen szót (véletlen betűsort) vetítettek ki - másodperces időtartamban. A személyeket minden szó után megkérték, hogy a náluk lévő papírra próbálják meg leírni, hogy mit láttak. Az. értelmetlen betűsor (alternáló szó) mássalhangzóval kezdődött és benne a magánhangzók és mássalhangzók szabályosan váltogatták egymást; a. értelmetlen betűsor (msh szó) csupa mássalhangzóból, a. pedig (mgh szó) csupa magánhangzóból állt (lásd X.. táblázat). X.. táblázat: Egy emlékezeti vizsgálatban vetített három értelmetlen szó. értelmetlen betűsor (alternáló szó) MUBÖZÚHÉKÜTA. értelmetlen betűsor (msh szó) LTMJKNRBZBTH. értelmetlen betűsor (mgh szó) ÖAÜEÁOÍÉUÓIÜ A vizsgálatban arra a kérdésre kerestünk választ, hogy a három szótípus különbözik-e egymástól a megjegyezhetőség tekintetében. A megjegyezhetőség egyik mértékeként minden személy esetében megnéztük, hogy a vetített szavak első hány betűjét reprodukálták, vagyis adták meg helyesen. Az ily módon definiált mennyiségeket a statisztikában változóknak nevezik. E három változóra vonatkozó adatokat a X.. táblázat tartalmazza az összes vizsgálatban résztvevő személyre vonatkozóan. X.. táblázat: Egy emlékezeti vizsgálat adatai Személy. szó (alternáló). szó (msh). szó (mgh). szó (alternáló). szó (msh). szó (mgh) Személ y A X.. táblázat adatait megszemlélve aligha bontakozik ki előttünk világos kép a megvizsgált jelenségről. Néhány elemi statisztikai művelet segítségével azonban hamarosan okosabbak leszünk. a) Ha szavanként megnézzük, hogy rendre hány személy reprodukálta helyesen a szó első,,,,, betűjét, majd ezekből egyszerű oszlopdiagramokat készítünk, akkor a X.., X.. és X.. ábrán látható eredményre jutunk.

3 Gyakoriság szó (alternáló): MUBÖZÚHÉKÜTA X.. ábra: Az. értelmetlen betűsorra vonatkozó emlékezeti teljesítmény változójának gyakorisági eloszlása a 4 fős vizsgálati mintában Gyakoriság szó (msh): LTMJKNRBZBTH X.. ábra: A. értelmetlen betűsorra vonatkozó emlékezeti teljesítmény változójának gyakorisági eloszlása a 4 fős vizsgálati mintában

4 Gyakoriság szó (mgh): ÖAÜEÁOÍÉUÓIÜ X.. ábra: A. értelmetlen betűsorra vonatkozó emlékezeti teljesítmény változójának gyakorisági eloszlása a 4 fős vizsgálati mintában Ezekről az ábrákról, amelyeket a statisztikában hisztogramoknak neveznek, már kibontakozik egy-két vizsgálattal kapcsolatos összefüggés. Az egyik ilyen például az, hogy a csupa magánhangzóból álló. szó (mgh) felidézése nehezebbnek tűnik, mint az első kettőé, amit az árul el, hogy ennél a szónál érezhetően kisebb arányban fordulnak elő a jobb felidézési teljesítményt tükröző nagyobb értékek. b) Hasonló következtetésre jutunk, ha a X.. táblázat adataiból kiszámítjuk a három szó felidézési változójának átlagát, melyeket az előforduló legkisebb és legnagyobb értékkel együtt a X.4. táblázatban foglaltunk össze. X.4. táblázat: A három szó felidézési változójának néhány alapstatisztikája Változó Átlag Minimum Maximum. alternáló betűsor felidézési mutatója 6,. mássalhangzók felidézési mutatója, 9. magánhangzók felidézési mutatója,8 6 A X.., X.. és X.. ábrán látható oszlopdiagramok, illetve a X.4. táblázatban összefoglalt statisztikai jellemzők a leíró statisztika eszköztárába tartoznak. A leíró statisztika fő feladata, hogy nagyobb adategyütteseket kevés számú, de tartalmas mutatóval, illetve ábrával lényegre szorítkozóan és hitelesen leírjon. Ennek segítségével a jelen esetben megállapíthatjuk például, hogy az ismertetett pszichológiai vizsgálatban a résztvevő 4 személy összességében hatékonyabban idézte fel a nyelvünk értelmes szavaira jobban hasonlító alternáló értelmetlen betűsort, mint a csupa mássalhangzóból, illetve csupa magánhangzóból állót, továbbá a csupa mássalhangzóból álló betűsor megjegyzése érezhetően nehezebbnek bizonyult, mint a csupa magánhangzóból állóé. Kérdés persze, hogy lehet-e egy ilyen vizsgálat adataiból messzemenő következtetéseket levonni. Ha mondjuk valamilyen varázslatos technika segítségével a szóban forgó vizsgálatot el tudnánk végezni az összes magyar egyetemi hallgatóval, akkor a. (msh) szó felidézési átlaga itt is jobb lenne, mint a. (mgh) szóé? Egyáltalán a mi 4 fős mintánk 4

5 alapján levonható valamilyen következtetés arra, hogy kb. mekkora lehet a három szó felidézési mutatójának átlaga az összes magyar egyetemi hallgató populációjában? Az ilyen és ehhez hasonló kérdések megválaszolásával a statisztikának egy másik ága, az ún. következtetési statisztika foglalkozik. Lehet-e 4 egyedről egy egész populációra megbízhatóan következtetni? Mindjárt az elején szögezzük le: statisztikai módszerekkel ez lehetséges, ha bizonyos feltételek teljesülnek. A dolog lényegét egy egyszerű pénzfeldobásos játékkal szemléltetjük. Van egy pénzérménk fej és írás oldallal, s arról szeretnénk megbizonyosodni, hogy az érme cinkelt-e, vagyis hogy szabályos véletlen dobás esetén a fej és az írás dobása egyaránt %-os esélyű-e. A probléma minden bizonnyal megoldható az érme alapos fizikai és kémiai elemzésével, a statisztika azonban egy másféle megoldást kínál, amelyet az alábbiakban részletezünk.. Dobjunk az érmével sokszor (jelöljük ezt a számot most n betűvel), egymástól függetlenül, szabályosan, tehát a véletlenre bízva, hogy hogyan esik le az érme, s számoljuk meg a fej dobások számát az n kísérlet során.. Határozzuk meg matematikai számítással, hogy azonos esélyű fej és írás dobás esetén n dobásból a matematika szabályai szerint hány fejnek kell előfordulnia igen nagy valószínűséggel. Ha ez nem is olyan pofon egyszerű, standard kombinatorikai vagy valószínűségszámítási módszerekkel könnyedén kiszámítható. Például n = esetén a,,, 9, számú fej dobás előfordulásának százalékos esélyét a X.. táblázatban foglaltuk össze. A X.. táblázatból kiolvasható, hogy szabályos pénzérme esetén olyan szélsőséges szituáció, hogy mind a dobás fej legyen, vagy hogy egyetlen fej se forduljon elő, az eseteknek csak a, +, =, százalékában fordul elő, vagyis dobásból átlagosan -szer. Ez azt jelenti, hogy a dobások kb. 99,8%-ában és 9 között lesz a fejek száma, s hasonló módon az is egyszerűen adódik, hogy szabályos érme esetén a dobások kb. 97,8%-ában a fejek száma és 8 közé esik.. Ha a kapott eredmény nagyon ellentmond annak a kiinduló feltételezésünknek, hogy az érme szabályos, akkor vessük el bátran ezt a feltételezést. Ha például dobásból a fejek száma nem esik az 9 számok közé (a szélső értékeket is beleértve), ez ellentmond az érme szabályosságának, mert szabályos érme esetén a fejek száma szinte mindig (az esetek 99,8%-ában) és 9 közé esik. Persze -ből fej szabályos érme esetén sem lehetetlen, csak annyira parányi esélyű, hogy ilyen esetben inkább arra fogunk gondolni, hogy az érmével van valami galiba. X.. táblázat: A,,, 9, számú fej dobásának százalékos esélye n = dobásból Fejek száma Százalékos esély Fejek száma Százalékos esély,% 6,% % 7,7% 4,4% 8 4,4%,7% 9 % 4,%,% 4,6%

6 Térjünk vissza most pszichológiai vizsgálatunk adataihoz. A X.4. táblázat adatainak láttán többféle gondolat is megfogalmazódhat bennünk, az egyik ilyen például az, hogy a csupa mássalhangzóból álló betűs értelmetlen jelsorozatokat (msh szavakat) könnyebb megjegyezni, mint a csupa magánhangzóból állókat (mgh szavakat). Az általunk megvizsgált 4 személyből mindössze olyan volt, aki az mgh szót teljesebben idézte fel, mint az msh szót. 6 személy esetében az msh szó felidézése volt a könnyebb, személy pedig a két szót ugyanolyan mértékben reprodukálta (vö. X.. táblázat). Ha a két szó esetében eltérő felidézési teljesítményt nyújtó személyekre szorítkozva (mintánkban + 6 = 9 ilyen van) azzal a feltételezéssel élünk, hogy a két típusú betűsor megjegyzése ugyanolyan nehézségű, akkor bármelyik személy esetében egyéb információ híján ugyanakkora az esélye, hogy az illető az msh szót idézte fel jobban, mint hogy az mgh-t. Ha ez igaz, akkor az érmés példával analóg módon megállapítható, hogy ilyen esetben a 9 személyből az esetek nagy többségében hány főnél számíthatunk arra, hogy az msh szó felidézési teljesítménye jobb lesz, mint az mgh szóé. Kiszámítható például, hogy ilyen feltételek mellett (ugyanolyan felidézési nehézségű betűsor) a 9 személyből 4 és közti számú esetben várható, hogy az msh szó felidézési teljesítménye jobb lesz, mint az mgh szóé. (Ez ugyanaz, mintha azt mondanánk, hogy szabályos érmét használva 9 véletlen dobásból az esetek kb. 99,6%-ában 4 számú fejre számíthatunk.) Minthogy a mi pszichológiai vizsgálatunkban a megfigyelt eredmény (9-ből 6 esetben msh szó fölény) erősen ellentmond az egyforma felidézési teljesítmény hipotézisének, ezt a hipotézist elvetjük és azt állapítjuk meg, hogy a két szó megjegyezhetősége eltérő nehézségű. Tekintve, hogy mintánkban az msh szóra vonatkozó felidézés volt dominánsan kedvezőbb, a különbség megállapítása után ennek fölényét jósoljuk be a populációban is. A statisztikában statisztikai próbáknak nevezik azokat a speciális eljárásokat, amelyek segítségével a fentebb részletezetthez hasonló típusú hipotézisek vizsgálatát végzik. Mennyire lehetünk biztosak abban, hogy jól döntünk, ha egy populációra vonatkozó hipotézist elfogadunk vagy elutasítunk? Abból kell kiindulnunk, hogy a megismerni kívánt populációról mindig csak részleges, korlátozott információ áll rendelkezésre: -, esetleg néhány száz vagy ezer egyén adatai. Ezek alapján száz százalékos megbízhatóságú következtetés eleve lehetetlen, így a pszichológiai statisztika olyan módszereket keres, amelyek alkalmazása esetén a hibás döntés valószínűsége bizonyos előre meghatározott, viszonylag alacsony szint alatt marad. A pszichológiai statisztikában általánosan elfogadott konszenzus alapján ez a hibaszint %, ami azt jelenti, hogy pszichológiai adatok statisztikai elemzései során olyan következtetések levonására törekszünk, amelyek megbízhatósága minimum 9%-os. Ennek szellemében a statisztikai hipotézisvizsgálatok általános gondolatmenete egy populációra vonatkozó feltételezés tesztelése során a következő.. A vizsgált pszichológiai populációból kiválasztunk véletlenszerűen egy kellően nagy (ha lehetséges, minimum - fős) mintát, s ennek egyedein egymástól függetlenül elvégezzük a szóban forgó pszichológiai kérdéssel kapcsolatos mérést, vizsgálatot vagy kísérletet.. Kiszámítunk egy alkalmas statisztikai mutatót, mely szoros kapcsolatban van a megfogalmazott hipotézissel (a fenti emlékezetéssel kapcsolatos példában ez azon személyek száma, akik esetében az msh szó felidézése jobb, mint az mgh szóé).. Matematikai módszerrel, illetve alkalmas statisztikai táblázat segítségével meghatározzuk azt az értéktartományt (az ún. megtartási tartományt), ahova ennek a statisztikai mutatónak az értéke az esetek minimum 9%-ában beleesik. 4. Ha a konkrét esetben a mutató értéke beleesik a megtartási tartományba, ezt úgy értelmezzük, hogy vizsgálati adataink nem mondanak ellent kellő mértékben a megfogalmazott hipotézisnek, ezért a hipotézist nem utasítjuk el. Ha viszont a 6

7 mutató értéke nem esik bele a megtartási tartományba, ahova az adott hipotézis esetén nagy (minimum 9%-os) valószínűséggel esnie kell, ezt úgy értelmezzük, hogy empirikus vizsgálatunk adatai erősen ellentmondanak a megfogalmazott hipotézisnek, ezért a hipotézist elutasítjuk (elvetjük). Mivel a hipotézis igaz volta esetén a statisztikai mutató értéke igen ritkán (%-osnál kisebb eséllyel) kerül kívül a megtartási tartomány határain (ilyenkor sajnos tévesen döntünk), ezért a hipotézis fenti kifejtett logikájú elutasítása esetén döntésünk megbízhatósága minimum 9%-os. Ha a statisztikai mutató értéke beleesik a megtartási tartományba, vagyis ha olyan eredményt kapunk, melynek alapján a hipotézist nem lehet 9%-os megbízhatósággal elutasítani (pl. amikor dobásból 7 fejet kapunk), akkor nem tudunk kellő bizonyossággal semmit kijelenteni. Sem azt, hogy a hipotézis igaz, sem azt, hogy hamis. Ilyenkor nem kötelezzük el magunkat sem a hipotézis mellett, sem ellene. Inkább nem mondunk semmit, sem hogy kellő alap nélkül vonjunk le a pszichológiai vizsgálatból olyan következtetést, amely esetleg nem is igaz. Ha például barátunkkal fej vagy írást játszunk és ő -ből 8-szor fejet dob, kár lenne emiatt a nyakának ugrani, hogy biztosan cinkelt pénzzel játszik (kiváltképp, ha nálunk sokkal erősebb!). Ha viszont -ből -szer dob fejet, erősen javasolt, hogy hagyjuk abba vele ezt a játékot. A statisztikai hipotézisvizsgálat menete hasonlít egy igazságos bírósági eljárásra is. Ahogy a vádlottat is csak akkor ítélik el, ha a bíró vagy az esküdtek testülete egyértelműen meggyőződött a bűnösségéről, a statisztikai hipotézis elutasításáról is csak akkor hozunk döntést, ha a hipotézis igazsága ellen megfelelő súlyosságú érv szól. A statisztikában az számít egy hipotézissel szemben megfelelő súlyosságú érvnek, ha olyan esemény következik be, amely a hipotézis igaz volta esetén igen ritkán %-nál kisebb eséllyel következik be. Nem jó az átlagnak egyedül A X.6. táblázat három bizonyítványt mutat be. A három bizonyítvány átlaga hajszálra ugyanaz, mégis jól látható különbség van közöttük. Ha muszáj lenne közülük választani, a kedves olvasó melyiket részesítené előnyben? Gondolom, a. bizonyítványt biztos elkerülné. X.6. táblázat: Három azonos átlagú bizonyítvány Tantárgy. bizonyítvány. bizonyítvány. bizonyítvány Magyar irodalom 4 Magyar nyelv Angol nyelv 4 Matematika Fizika 4 Kémia Biológia 4 Földrajz Ének-zene 4 Testnevelés átlag A X.6. táblázat három bizonyítványának adatsora statisztikai szóhasználattal a három adatminta abban tér el egymástól, hogy az adatok eltérő mértékben szóródnak saját centrumuk, az átlag körül. Az. bizonyítvány esetében minden jegy megegyezik az átlaggal, 7

8 vagyis saját átlagától távolságra van. A. bizonyítvány esetében minden jegy pontosan egységgel különbözik az átlagtól, míg a. bizonyítvány esetében az átlagtól minden jegy egységgel tér el. A statisztikai összességeknek és mintáknak az a tulajdonsága, hogy az adatok mennyire szóródnak az átlag körül, az átlag mellett talán a legfontosabb jellemzője. E szóródás nagyságát mérhetjük például úgy is, hogy kiszámítjuk az adatok átlagos abszolút eltérését az átlagtól, mely a X.6. táblázatban látható három bizonyítvány esetében rendre,, illetve egység. További példaként az,,,, minta esetében az átlag láthatóan, az ettől való átlagos abszolút eltérés (AE) pedig a következő: AE 6,. Egy ehhez hasonló mutatót kapunk, ha az átlagtól való átlagos négyzetes eltérést számítjuk ki, melyet a statisztikában varianciának hívnak. A fenti adatból álló minta esetében ennek a mutatónak az értéke: Var ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 4 4,8. Mivel a variancia négyzetes eltérések átlaga, négyzetgyökvonással kaphatunk belőle olyan mutatót, mely az adatok saját átlaguktól való eltérésének mértékéről tájékoztat. Ez a szórásnak nevezett és magyarul s-sel jelölt mutató esetünkben: s,8,67, mely kis mértékben nagyobb, mint ugyanezen minta átlagos abszolút eltérése (,). Kvantitatív adatminták két legfontosabb és leggyakrabban használt mutatója az átlag és a szórás. Ezeket többnyire együtt szokták megadni. Az átlag tájékoztat az adatok nagyságszintjéről, a szórás pedig arról, hogy az adatok mennyire szóródnak (variálnak, ingadoznak) ezen szint körül. A rend kedvéért meg kell említenünk, hogy a pszichológiai statisztikában az adatminták varianciáját (s ennek következtében a szórást is) a fentebb leírttól parányit eltérő képlettel szokták definiálni. E kis eltérés abból áll, hogy a variancia kiszámításakor a négyzetes eltérések összegét nem az adatok számával, vagyis a mintaelemszámmal osztják le, hanem ennek -gyel csökkentett értékével. Ennek megfelelően például a fenti elemű minta esetében a korrigált számítás: 4 Var, és s,,87. 4 Ennek a kis korrekciónak egyetlen előnye van: a korrigált mintavariancia a korrekció nélküli változatnál pontosabban, azaz kisebb hibával becsüli a minta által képviselt populáció varianciáját, mely a populációbeli összes adat átlagos négyzetes eltérése a populációátlagtól. Mi a nagyobb, cm vagy kg? 8

9 Első hallásra talán hajlamosak vagyunk azt mondani, hogy az cm, mert nagyobb, mint. Óvatosabb megközelítéssel esetleg azt válaszoljuk, hogy a feltett kérdésnek nincs értelme, mert az cm más dimenzióban mér, mint az kg. A válaszadást azonban nem kerülhetjük ki ilyen könnyen, ha a kérdést így pontosítjuk: egy cm testhosszal és kg testsúllyal született csecsemő melyik adata tekinthető nagyobbnak, a testhossza ( cm), vagy a testsúlya ( kg)? A testhossz és a testmagasság nagyságának megítéléséhez szükség van valamilyen viszonyítási alapra. Az átlag és a szórás ilyen mutatók. Statisztikai adatokból tudjuk, hogy Magyarországon az újszülött csecsemők testhossz átlaga kb. cm, szórása pedig kb., cm. Ez azt jelenti, hogy az cm-es születési testhossz az átlagost észrevehetően meghaladó érték. Nem lehetne valahogy ennek a mértékét is meghatározni? A, cm-es testhossz szórás azt jelzi, hogy az újszülöttek testhossza átlagosan, cm-rel különbözik az cm-es átlagtól, az cm pedig ennek megfelelően az átlagos eltérés kétszeresével. Azt látjuk tehát, hogy ha egy adat esetében kiszámítjuk, hogy az adat hány szórásnyira van az átlagtól, akkor az adat nagyságát jól kifejező értéket kapunk. Ezt az értéket, amely most az cm-es születési testhossz érték esetében z = ( )/, =, az adott cm-es érték standard értékének nevezzük. Az átlag standard értéke láthatóan mindig, az átlagnál nagyobb értékeké mindig pozitív, az átlagnál kisebb értékeké pedig mindig negatív. Tekintve, hogy jelenleg Magyarországon a születési súly átlaga kb., kg, szórása pedig kb., kg, az kg-os testsúlyhoz tartozó standard érték: z = (,)/, =,6. Mivel az cm-es testhosszhoz tartozó standard érték, az kg-os születési súlyhoz tartozó pedig,6, immár megállapíthatjuk, hogy az cm-es érték itt most kisebbnek számít, mint az kg-os. A standard érték szemléltetésére egy pszichológiai példát is bemutatunk. Az intelligenciát mérő Magyar Wechsler Intelligenciateszt (MAWI) úgy lett elkészítve, hogy az általa mért IQ mutató átlaga és szórása a magyar populációban rendre, illetve legyen. A standard értékről fentebb mondottak alapján megállapíthatjuk, hogy például egy -as IQérték standard értéke ( )/ =, a 8-é (8 )/ =,. Meg tudná mondani az olvasó, hogy a -es standard értéknek pontosan milyen IQ-érték felel meg? Hogy lehet a pszichológiában változók kapcsolatát megvizsgálni? Kapcsolatban van-e az egyén boldogsága azzal, hogy milyen anyagi körülmények között él? Függ-e a gyermek intelligenciája szüleinek intelligenciaszintjétől? Igaz-e, hogy az énerő negatív kapcsolatban van a szorongással? A pszichológiában a legtöbb kérdés változók kapcsolatának formájában fogalmazódik meg. Ezzel összefüggésben ha van két változónk, két alapvető kérdés mindig megválaszolásra vár.. Van-e valamilyen kapcsolat (összefüggés, együttjárás) a vizsgált két változó között? Ennek tisztázására függetlenségük hipotézisét szokták valamilyen statisztikai próbával tesztelni.. Milyen szoros kapcsolatban van a vizsgált két változó egymással? Ezt a kérdést leginkább akkor célszerű feltenni, ha már kiderült, hogy a két változó nem független egymástól. Változók kapcsolatának szorosságát különböző kapcsolati, asszociációs vagy korrelációs mutatók segítségével szokták mérni. Az alábbiakban megismertetjük az olvasót a pszichológiában leggyakrabban használt kapcsolati mérőszám, a korrelációs együttható fogalmával. 9

10 4, 4 Testsúly (kg),,, Testhossz (cm) X.4. ábra: újszülött csecsemő testhossza és testsúlya koordinátarendszerben ábrázolva A X.4. ábrán újszülött csecsemő testhosszát és testsúlyát mutatjuk be kétdimenziós koordinátarendszerben. Az ábrán minden egyes pont egy csecsemő két születési adatát képviseli. Például az ábra bal alsó sarkához közeli pont egy, kilóval és 4 cm-rel született csecsemőt képvisel. Ezen az ábrán szembeötlő a pontoknak egy emelkedő vonulata (trendje), mely abból fakad, hogy egy kisebb testhosszú csecsemőnek általában a testsúlya is kisebb, nagyobb testhosszúnak pedig nagyobb. Emiatt azt kell megállapítanunk, hogy az újszülött csecsemőknél a testhossz és a testsúly nem független egymástól, láthatóan pozitív kapcsolat van köztük. De hogy lehetne ezt a kapcsolatot valamilyen egyszerű mutató segítségével számformába önteni? A pozitív kapcsolatnak az a legfőbb jellegzetessége, hogy ha az átlagosnál nagyobb az egyik változó (esetünkben a testhossz) értéke, akkor többnyire az átlagosnál nagyobb lesz a másiké (esetünkben a testsúlyé) is. De az átlagnál nagyobb értékek standard értéke -nál nagyobb (lásd fentebb), így ebben az esetben a két változó standard értékének a szorzata is - nál nagyobb, vagyis pozitív szám lesz. Ha pedig az egyik változó értéke az átlagnál kisebb, akkor pozitív kapcsolat esetén rendszerint a másiké is kisebb lesz saját átlagánál, így a standard értékek negatívak lesznek, szorzatuk (két negatív szám szorzata) viszont ismét pozitív. A X.. ábra két másik változó, a Kaliforniai Személyiség Kérdőív Szorongás és Énerő skálájának kapcsolatát szemlélteti, a 8-as évek elején pszichológia szakra felvételiző személyek 8 fős mintája alapján. Az ábrán azt láthatjuk, hogy kisebb szorongás általában nagyobb énerővel, nagyobb szorongás pedig kisebb énerővel jár együtt, ami a két változó negatív kapcsolatáról árulkodik. Ilyen jellegű kapcsolatok esetén, ha az átlagosnál nagyobb az egyik változó értéke, akkor többnyire az átlagosnál kisebb lesz a másiké is, és fordítva. Így ebben az esetben a standard értékek általában ellentétes előjelűek, ami miatt a szorzatuk többnyire negatív szám lesz. A könnyebb érthetőség kedvéért a X.4. ábrán bemutatott csecsemő adatait táblázatban is összefoglaltuk, feltüntetve az adatokhoz tartozó standard értékeket, s azok szorzatát is (lásd X.7. táblázat).

11 4 4 Énerő Szorongás X.. ábra: Két negatív kapcsolatban lévő változó X.7. táblázat: újszülött csecsemő testhossza és testsúlya eredeti és standard értékkel kifejezve, valamint a standard értékek szorzata Csecsem ő Testhoss z (cm) Testsúl y (kg) Testhossz (standard érték) Testsúly (standard érték) Standard értékek szorzata.,,7,,76. 47,4 -,68 -,6,794.,8,4,8, ,,,,8.,9,7,49, , -, -,, 7.,4,7,, ,9, -,7 -,6 9.,,7 -, -,7.,4,7,,86.,,7 -,9 -,7. 47,6 -,68 -,86,87. 49,4,,, ,8,7,87, ,8 -, -,,8 6.,44,7,8,8 7.,8,7,, , -, -,8 8, ,7 -, -,7,74. 49,,,7, Átlag: 48,9,,8797 Szórás:,86,7

12 Mind a X.4. és a X.. ábra, mind a X.7. táblázat alapján meggyőződhetünk arról, hogy ha két változó pozitív kapcsolatban van, akkor standard értékük szorzata általában pozitív, ha pedig negatív kapcsolat van köztük, akkor standard értékük szorzata általában negatív. Emiatt e szorzatok teljes mintára, illetve populációra vonatkozó átlaga olyan mutató, amely egyaránt jelzi a két változó kapcsolatának irányát (pozitív vagy negatív) és szorosságát. Ezt a mutatót korrelációs együtthatónak (röviden korrelációnak) nevezzük, melynek szokásos jele r. Matematikai eszközökkel igazolható, hogy r nem lehet kisebb -nél és nem lehet nagyobb +-nél. Egy körüli r érték azt mutatja, hogy a két változó pozitív és negatív kapcsolatát jelző adatok egyensúlyban vannak, egyik sem domináns a másikkal szemben. A +-hez közeli r értékek a két változó vonatkozásában a pozitív kapcsolat erős dominanciáját, a -hez közeliek pedig a negatív kapcsolat erős dominanciáját jelzik. A X.4. ábrán szemléltetett születési testhossz és testsúly közti korreláció három tizedesre kerekítve: r =,88 (lásd X.7. táblázat), vagyis erősen pozitív, a X.. ábrán látható Énerő és Szorongás skálák közti korreláció pedig r =,749, vagyis erősen negatív. X.8. táblázat: gyermek újszülött korában és évesen mért testhossz (testmagasság) és testsúly adata között páronként kiszámított korrelációk Változó Születési testsúly Születési testhossz Testsúly éves korban Testmagasság éves korban Születési Születési Testsúly Testmagasság testsúly testhossz éves korban éves korban,788,64,6,788,8,7,64,8,66,6,7,66 Ha kettőnél több változónk van és kíváncsiak vagyunk arra, hogy milyen kapcsolatban vannak, akkor a változók között páronként kiszámított korrelációkat gyakran célszerű táblázatos formában bemutatni. Ennek neve korrelációs táblázat, vagy korrelációs mátrix. Szemléltetésképpen véletlenszerűen kiválasztott magyar gyermek születési súlya és testhossza, valamint éves kori testsúlya és testmagassága között kiszámított korrelációk táblázatát a X.8. táblázatban mutatjuk be. Ebből kiolvasható, hogy legszorosabb kapcsolatban a születéskori testsúly és testhossz, valamint a éves kori testsúly és testmagasság van. A korrelációk a többi változópár (pl. a születési testhossz és a éves kori testmagasság) esetében is pozitívak, csak nem annyira erősek. E táblázatban érdemes megfigyelni, hogy egy változónak saját magával való korrelációja mindig (azaz maximálisan pozitív). Mekkora IQ-vagyont öröklünk szüleinktől? Többféle intelligenciateszt is létezik. Ezek közül Magyarországon az egyik legismertebb a MAWI (lásd fentebb), melynek IQ-mutatója úgy van kalibrálva, hogy a felnőtt magyar emberek populációjában az átlaga és szórása rendre, illetve legyen. Akinek -nál nagyobb az IQ-ja, az úgy érezheti magát, hogy az átlagosnál okosabb, intelligensebb, s e tekintetben valamelyest kiemelkedik a többi ember közül. Aki pedig -nál kisebb IQ-jú, az úgy érezheti, hogy intelligencia tekintetében a többi emberrel szemben némi deficitje van. E

13 megfontolás alapján nevezzük IQ-vagyonnak minden felnőtt ember esetében az IQ értéket! Ez az érték pozitív az átlagosnál intelligensebb személyek csoportjában és negatív a -nál kisebb IQ-júak esetében. Vajon IQ-vagyonunkból mekkora részt tudunk gyerekeinknek átörökíteni? Például egy 4-ös IQ-jú apa gyermekei várhatóan mekkora IQ-júak lesznek? Egészen pontosan a kérdés arra vonatkozik, hogy ha a populációban vesszük az összes 4-ös IQ-jú felnőtt férfit, majd ezek gyermekeit megvizsgáljuk mondjuk 8 éves korukban a MAWI-teszttel, akkor ez utóbbiak IQ-átlaga mekkora lesz? A legtermészetesebb válasz az, hogy ha a szülő 4-ös IQjú, akkor várhatóan gyermeke IQ-ja is e szint körüli lesz. Érdekes módon ez a válasz nem igaz. A helyes válasz így néz ki.. Először is nézzük meg, hogy milyen korrelációs kapcsolat van szülők és gyermekeik IQ-ja között! Ez több empirikus vizsgálat alapján,6 körülinek tekinthető.. Határozzuk meg a szülő IQ-vagyonát! Ez egy 4-ös IQ-jú személy esetében 4 = 4.. Szorozzuk meg a szülő IQ-vagyonát az r =,6 korrelációs értékkel, ez lesz a gyermek várható IQ-öröksége :,6 4 = Végül a gyermek várható IQ-értéke: IQ gyermek = + 7 = 7. Ennek a megoldásnak az a logikája, hogy ha semmit nem tudunk arról a személyről, akinek az IQ-ját meg akarjuk becsülni, ki akarjuk találni, legkevesebbet akkor tévedünk, ha IQ-ját átlagosnak jósoljuk. Ha azonban van egy olyan információnk, (jelen esetben a szülő IQ-ja), aminek köze van a megismerni kívánt mennyiséghez, ez a várható IQ-szintet ki fogja mozdítani a -as átlagtól. De csak olyan mértékben, amilyen mértékben a két változó: szülő és gyermeke IQ-ja összefügg. A sok ismeretlen tényező (köztük a másik szülő IQ-ja, az anyagi helyzet, felnövekedés körülményei, az iskolák, barátok stb.) az átlag felé húzza a gyermek IQ-ját, mivel ezekről nincs semmilyen információnk. A szülő IQ-ja persze maga felé húzza gyermeke IQ-ját, de ennek mértékét a szülő és a gyermek IQ-ja közti korreláció szabja meg. Ez a példa rávilágít a korrelációs együttható egyik legfontosabb jelentésére: két változó jelöljük őket most az egyszerűség kedvéért X és Y betűvel korrelációja megmutatja, hogy X szélsőségessége milyen mértékben öröklődik át Y-ra és viszont. X és Y szélsőségességét standard értékük segítségével tudjuk közös skálára hozni. Ha X standard értékét Z X -szel, Y-ét Z Y -nal jelöljük, X és Y korrelációját pedig az r betűvel, akkor a fenti összefüggés formulája így néz ki: várható Z Y = r Z X és várható Z X = r Z Y. Szülő és gyermek IQ-jának kapcsolatát vizsgálva azért nem kellett a standard értékekre áttérni, mert a két változót ugyanazon a skálán mérjük (mindkettő esetében az átlag, a szórás pedig ), Ha a standard értékkel számolunk, a 4-ös IQ-érték standard értéke: Z X = (4 )/ =. Mivel r =,6, esetünkben a várható Z Y értéke:,6 =,8, vagyis a gyermek várható IQ-ja,8 szórással lesz az átlag fölött. Mivel az IQ szórása, ez,8 = 7 ponttal emeli az IQ-t az átlag fölé, vagyis a gyermek várható IQ-ja 7, ugyanúgy, mint fent. Fordítsuk meg most a kérdést! Ha a gyermek IQ-ja 7, akkor tudunk-e valamit mondani a szülő várható IQ-járól? A szülő nyilván nem a gyerekétől örökli az intelligenciáját, de a korreláció nem is ok-okozati összefüggést mér, hanem a két változó értékeinek statisztikai együttjárását. Egy briliáns agyjárású személy esetében joggal következtetünk arra, hogy szülei sem lehettek híján az intelligenciának. De milyen mértékben? Pontosan ugyanúgy, ahogy a szülő IQ-jából következtettünk a gyermekére. Ha a gyermek IQ-járól nem

14 tudunk semmit, a szülő IQ-ját sem jósolhatjuk az átlagostól bármilyen irányban eltérőnek. Bármilyen konkrét információ azonban a gyermek IQ-járól elhúzza maga felé a szülő várható IQ-ját az átlagtól. Mivel a korreláció két változó közös, szimmetrikus terméke, egy 7-es IQjú gyermek esetében a szülő várható IQ-ja a fentebb megindokolt szabály alkalmazásával: IQ szülő +,6 (7 ) = + 6, = 6, 6, vagyis egy olyan érték, amely az átlag () és a gyermek IQ-ja (7) között helyezkedik el. A szabály tehát nem az, hogy a gyermek várható IQ-ja mindig kisebb, mint édesapjáé (vagy édesanyjáé). Ez csak akkor lenne így, ha az adott apai (anyai) IQ mellett a gyermek IQ-jával kapcsolatos minden egyéb tényező csupán átlagos szintű lenne, ami nyilván valódi visszahúzó erőként hatna. A korrelációs együttható szignifikanciája Láttuk, hogy a korrelációs együttható fontos információt közöl két változó kapcsolatáról. A pszichológia tudományának egyik feladata, hogy a lelki élet bonyolult folyamatában különféle változók között igazolt összefüggésekre leljen. Ehhez nagy segítséget nyújt a korrelációs együttható. Kérdés azonban, hogy ha egy bizonyos mintában azt tapasztaljuk, hogy két változó között mutatkozik valamilyen lineáris trend, amit a korrelációs együttható -tól különböző értéke támaszt alá, akkor ez az összefüggés általánosítható-e a minta által képviselt teljes populációra? A X.8. táblázatot megszemlélve például azt láthatjuk, hogy a vizsgált fős mintában a születési súly és a éves kori testsúly között bár csekély, de mégis pozitív korreláció van (r =,64). Levonható-e ennek alapján egy olyan következtetés, hogy a teljes magyar népességben is pozitív kapcsolat van a gyermek születési súlya és éves kori testsúlya között? Erre és az ehhez hasonló kérdésekre egy speciális statisztikai próba, a korrelációs együttható szignifikancia vizsgálata segítségével adhatjuk meg a választ, melynek nagy minták esetén használható változatát az alábbiakban foglaljuk össze.. Azt szeretnénk megbízhatóan igazolni, hogy a vizsgált két változó között a populációban is pozitív korreláció van. Ezt most indirekt módon tesszük meg. Felállítjuk azt a statisztikai nullhipotézist, hogy a populációban a korreláció : r pop =. Ha ennek a feltételezésnek a populációból véletlenszerűen kiválasztott mintában kiszámított korrelációs együttható erősen ellentmond, akkor elutasítjuk a korrelálatlanságot állító hipotézist.. De mikor mond ellent egy mintabeli r korreláció az r pop = hipotézisnek? A statisztikusok bebizonyították, hogy ha r pop = és a szóban forgó véletlen minta elég nagy (mondjuk n > 4), akkor az r korrelációs együttható segítségével kiszámítható n t r r mennyiség abszolút értéke az esetek 9%-ában nem haladja meg a értéket és az esetek 99%-ában nem nagyobb, mint,7. Ha tehát kiszámítjuk az adott mintában a fenti képlettel definiált t értéket és az -nél nagyobb abszolút értékű, akkor ez minimum 9%-os bizonyossággal ellentmond az r pop = hipotézisnek, így azt elutasítjuk.. Esetünkben t,64,7.,64 Mivel ez az érték még,7-nél is nagyobb abszolút értékű, 99%-os megbízhatósággal elutasítjuk azt a nullhipotézist, hogy a populációban nincs 4

15 korreláció a születési súly és a éves kori testsúly között, továbbá az adott mintában kapott korreláció előjele alapján pozitív kapcsolatot állapítunk meg a populációban a vizsgált két változó között. A pszichológiai statisztikában ezt az eredményt röviden úgy fogalmazzuk meg, hogy az r =,64 korreláció %-os szinten szignifikáns. Ezen részletesebben azt értjük, hogy az r pop = hipotézist elutasító döntés megbízhatósága minimum 99%-os, vagyis a téves elutasítás esélye az % alatt marad. Végső szakmai konklúziónk tehát az, hogy a teljes magyar népességben is pozitív kapcsolat van a gyermek születési súlya és éves kori testsúlya között. Záró gondolatok A fentiekben éppen csak ízelítőt tudtunk adni abból, hogy milyen kérdésekkel foglalkozik a pszichológiai statisztika, milyen jellegű fogalmakkal operál és milyen gondolatmenetek jellemzők rá. Hely hiányában nem volt módunk sok fontos dologról szólni, például arról, hogy a statisztikai módszerek nemcsak az érvényes pszichológiai következtetések levonásában segíthetnek, hanem a pszichológiai modellalkotásban, a személyiségtípusok feltárásában, a különféle betegségtípusok azonosítására alkalmas skálák szerkesztésében stb. A pszichológiai statisztika iránt mélyebben érdeklődők számára ajánljuk a következő könyvet: Vargha András (), Matematikai statisztika pszichológiai, nyelvészeti és biológiai alkalmazásokkal. Budapest: Pólya Kiadó. A statisztikai elemzéseket a pszichológusok szokásosan statisztikai szoftverek segítségével végzik. Ilyen szoftver például a ROPstat, melynek DEMO változata ingyenesen letölthető a honlapról. Ennek egyszerű használatáról az olvasó maga is meggyőződhet.

A KÖRNYEZETI INNOVÁCIÓK MOZGATÓRUGÓI A HAZAI FELDOLGOZÓIPARBAN EGY VÁLLALATI FELMÉRÉS TANULSÁGAI

A KÖRNYEZETI INNOVÁCIÓK MOZGATÓRUGÓI A HAZAI FELDOLGOZÓIPARBAN EGY VÁLLALATI FELMÉRÉS TANULSÁGAI A KÖRNYEZETI INNOVÁCIÓK MOZGATÓRUGÓI A HAZAI FELDOLGOZÓIPARBAN EGY VÁLLALATI FELMÉRÉS TANULSÁGAI Széchy Anna Zilahy Gyula Bevezetés Az innováció, mint versenyképességi tényező a közelmúltban mindinkább

Részletesebben

II. A következtetési statisztika alapfogalmai

II. A következtetési statisztika alapfogalmai II. A következtetési statisztika alapfogalmai Tartalom Statisztikai következtetések A véletlen minta fogalma Pontbecslés és hibája Intervallumbecslés A hipotézisvizsgálat alapfogalmai A legegyszerűbb statisztikai

Részletesebben

KIFEJEZÉSE: A GAMMA KOEFFICIENS. Csapó Benő Szegedi Tudományegyetem, Neveléstudományi Tanszék MTA-SZTE Képességkutató Csoport

KIFEJEZÉSE: A GAMMA KOEFFICIENS. Csapó Benő Szegedi Tudományegyetem, Neveléstudományi Tanszék MTA-SZTE Képességkutató Csoport MAGYAR PEDAGÓGIA 102. évf. 3. szám 391 410. (2002) A KÉPESSÉGEK FEJLŐDÉSI ÜTEMÉNEK EGYSÉGES KIFEJEZÉSE: A GAMMA KOEFFICIENS Csapó Benő Szegedi Tudományegyetem, Neveléstudományi Tanszék MTA-SZTE Képességkutató

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 5.

Matematikai statisztikai elemzések 5. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematikai statisztikai elemzések. MSTE modul Kapcsolatvizsgálat: asszociáció vegyes kapcsolat korrelációszámítás. Varianciaanalízis

Részletesebben

STATISZTIKAI TÜKÖR 2014/126. A népesedési folyamatok társadalmi különbségei. 2014. december 15.

STATISZTIKAI TÜKÖR 2014/126. A népesedési folyamatok társadalmi különbségei. 2014. december 15. STATISZTIKAI TÜKÖR A népesedési folyamatok társadalmi különbségei 214/126 214. december 15. Tartalom Bevezető... 1 1. Társadalmi különbségek a gyermekvállalásban... 1 1.1. Iskolai végzettség szerinti különbségek

Részletesebben

A BESZERZÉSI MENEDZSER INDEX ÉS AZ IPARI TERMELÉSI VOLUMENINDEX IDŐSORAI KÖZÖTTI KAPCSOLATOK 2014/7

A BESZERZÉSI MENEDZSER INDEX ÉS AZ IPARI TERMELÉSI VOLUMENINDEX IDŐSORAI KÖZÖTTI KAPCSOLATOK 2014/7 A BESZERZÉSI MENEDZSER INDEX ÉS AZ IPARI TERMELÉSI VOLUMENINDEX IDŐSORAI KÖZÖTTI KAPCSOLATOK 2014/7 Az MKIK Gazdaság- és Vállalkozáskutató Intézet olyan nonprofit kutatóműhely, amely elsősorban alkalmazott

Részletesebben

A demográfiai folyamatok hatása a közoktatás költségvetésére

A demográfiai folyamatok hatása a közoktatás költségvetésére 12 A demográfiai folyamatok hatása a közoktatás költségvetésére [Lannert Judit] Az Oktatás és Gyermekesély Kerekasztal több olyan javaslatot is megfogalmazott, amelynek finanszírozásához forrásokra van

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

ÉLETPÁLYA- ÉPÍTÉS MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ KOMPETENCIATERÜLET B. 6. évfolyam

ÉLETPÁLYA- ÉPÍTÉS MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ KOMPETENCIATERÜLET B. 6. évfolyam ÉLETPÁLYA- ÉPÍTÉS KOMPETENCIATERÜLET B MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ 6. évfolyam A kiadvány az Educatio Kht. kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterve alapján készült. A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési

Részletesebben

KVANTITATÍV MÓDSZEREK

KVANTITATÍV MÓDSZEREK KVANTITATÍV MÓDSZEREK Dr. Kövesi János Tóth Zsuzsanna Eszter 6 Tartalomjegyzék Kvantitatív módszerek. Valószínűségszámítási tételek. eltételes valószínűség. Események függetlensége.... 3.. eltételes valószínűség...

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

GIMNÁZIUMOK REKRUTÁCIÓJA. Andor Mihály MTA Szociológiai Kutatóintézete. A szülők iskolai végzettsége

GIMNÁZIUMOK REKRUTÁCIÓJA. Andor Mihály MTA Szociológiai Kutatóintézete. A szülők iskolai végzettsége MAGYAR PEDAGÓGIA 103. évf. 3. szám 315 338. (2003) GIMNÁZIUMOK REKRUTÁCIÓJA Andor Mihály MTA Szociológiai Kutatóintézete 1990 óta nagyméretű differenciálódás ment végbe a gimnáziumi oktatásban. 1989-ben

Részletesebben

Szeminárium-Rekurziók

Szeminárium-Rekurziók 1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az

Részletesebben

Matematika III. 8. A szórás és a szóródás egyéb mérőszámai Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 8. A szórás és a szóródás egyéb mérőszámai Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 8. A szórás és a szóródás egyéb Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 8. : A szórás és a szóródás egyéb Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba?

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? Matematikai statisztika példák Matematikai statisztika példák Normális eloszlás 1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? 2. Majmok ébredését

Részletesebben

Bevezetés a statisztikai hipotézisvizsgálatba

Bevezetés a statisztikai hipotézisvizsgálatba Bevezetés a statisztikai hipotézisvizsgálatba Szakdolgozat Készítette: Pupli Márton Matematika BSc tanári szakirány Témavezető: Vancsó Ödön adjunktus Matematikatanítási és Módszertani Központ Eötvös Loránd

Részletesebben

6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE

6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE 6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE A kurzus anyagát felhasználva összeállíthatunk egy kitűnő feladatlapot, de még nem dőlhetünk nyugodtan hátra. Diákjaink teljesítményét még osztályzatokra kell átváltanunk,

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 6.

Matematikai statisztikai elemzések 6. Matematikai statisztikai elemzések 6. Regressziószámítás: kétváltozós lineáris és nemlineáris regresszió, többváltozós regresszió Prof. Dr. Závoti, József Matematikai statisztikai elemzések 6.: Regressziószámítás:

Részletesebben

Akikért a törvény szól

Akikért a törvény szól SZISZIK ERIKA KLÉR ANDREA Akikért a törvény szól Családsegítõ és gyermekjóléti szolgálatunk keretein belül olyan kutatást végeztünk Zuglóban, amelyben igyekeztünk képet kapni a kerületben veszélyeztetettként

Részletesebben

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik 1991. évi verseny, 1. nap 1. Számold össze, hány pozitív osztója van 16 200-nak! 2. Bontsd fel a 60-at két szám összegére úgy, hogy az egyik szám hetede egyenlő legyen a másik szám nyolcadával! 3. Van

Részletesebben

2. MÉRÉSELMÉLETI ISMERETEK

2. MÉRÉSELMÉLETI ISMERETEK 2. MÉRÉSELMÉLETI ISMERETEK A fejezet célja azoknak a módszereknek a bemutatása, amelyekkel adatokat gyűjthetünk annak érdekében, hogy kérdéseinkre választ kapjunk. Megvizsgáljuk azokat a feltételeket is,

Részletesebben

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak)

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Erre a dokumentumra az Edemmester Gamer Blog kiadványokra vonatkozó szabályai érvényesek. 1. feladat: Határozd meg az a, b és

Részletesebben

Jobbak a nők esélyei a közszférában?

Jobbak a nők esélyei a közszférában? Közgazdasági Szemle, LX. évf., 2013. július augusztus (814 836. o.) Lovász Anna Jobbak a nők esélyei a közszférában? A nők és férfiak bérei közötti különbség és a foglalkozási szegregáció vizsgálata a

Részletesebben

Milyen Akadémiát akarnak a fiatal doktoráltak? EGY EMPIRIKUS FELMÉRÉS TAPASZTALTAI

Milyen Akadémiát akarnak a fiatal doktoráltak? EGY EMPIRIKUS FELMÉRÉS TAPASZTALTAI FÁBRI GYÖRGY Milyen Akadémiát akarnak a fiatal doktoráltak? EGY EMPIRIKUS FELMÉRÉS TAPASZTALTAI FELSŐOKTATÁSI MŰHELY Az Akadémia tradícióit, a hozzá kapcsolódó kulturális és szellemi kapacitás értékét

Részletesebben

A MEGBÍZHATÓSÁGI ELEMZŐ MÓDSZEREK

A MEGBÍZHATÓSÁGI ELEMZŐ MÓDSZEREK 1. Elemző módszerek A MEGBÍZHATÓSÁGI ELEMZŐ MÓDSZEREK Ebben a fejezetben röviden összefoglaljuk azokat a módszereket, amelyekkel a technikai, technológiai és üzemeltetési rendszerek megbízhatósági elemzései

Részletesebben

0663 MODUL SÍKIDOMOK. Háromszögek, nevezetes vonalak. Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes

0663 MODUL SÍKIDOMOK. Háromszögek, nevezetes vonalak. Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes 0663 MODUL SÍKIDOMOK Háromszögek, nevezetes vonalak Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes Matematika A 6. évfolyam 0663. Síkidomok Háromszögek, nevezetes vonalak Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A

Részletesebben

MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM

MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM SZERZŐK: Veppert Károlyné, Ádám Imréné, Heibl Sándorné, Rimainé Sz. Julianna, Kelemen Ildikó, Antalfiné Kutyifa Zsuzsanna, Grószné Havasi Rózsa 1 1-2. ÉVFOLYAM Gondolkodási, megismerési

Részletesebben

A családi háttér és az iskolai utak eltérései

A családi háttér és az iskolai utak eltérései 13 Szanyi-F. Eleonóra A családi háttér és az iskolai utak eltérései Az alábbi cikk első része egy, e folyóiratban korábban megjelent írás (Hiányszakmát tanuló végzős szakiskolások; ÚPSz 211/6) folytatása.

Részletesebben

A Feldmann ~ Sapiro - elv igazolása

A Feldmann ~ Sapiro - elv igazolása A Feldmann ~ Sapiro - elv igazolása Bevezetés Már középiskolás koromban is érdekelt, hogy mi lehet az a borzasztó nehéz számítás, aminek csak a végeredményét közölték velünk, s amit Feldmann ~ Sapiro -

Részletesebben

AZ EGYSZÜLŐS CSALÁDDÁ VÁLÁS TÁRSADALMI MEGHATÁROZOTTSÁGA 2 BEVEZETÉS DOI: 10.18030/SOCIO.HU.2013.3.22

AZ EGYSZÜLŐS CSALÁDDÁ VÁLÁS TÁRSADALMI MEGHATÁROZOTTSÁGA 2 BEVEZETÉS DOI: 10.18030/SOCIO.HU.2013.3.22 MONOSTORI JUDIT 1 AZ EGYSZÜLŐS CSALÁDDÁ VÁLÁS TÁRSADALMI MEGHATÁROZOTTSÁGA 2 DOI: 10.18030/SOCIO.HU.2013.3.22 BEVEZETÉS Az családokról való ismereteink bizonyos dimenziók vonatkozásában igen gazdagok.

Részletesebben

Hallgatói szemmel: a HÖK. A Politológus Műhely közvélemény-kutatásának eredményei

Hallgatói szemmel: a HÖK. A Politológus Műhely közvélemény-kutatásának eredményei Hallgatói szemmel: a HÖK A Politológus Műhely közvélemény-kutatásának eredményei Tartalomjegyzék Elnöki köszöntő... 3 Bevezetés... 4 Évfolyamképviselők és megítélésük... 7 A Hallgatói Önkormányzat és a

Részletesebben

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint 131 ÉRTTSÉGI VIZSGA 013. május 16. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBLI ÉRTTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKLÉSI ÚTMUTATÓ MBRI RŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint,

Részletesebben

14-469/2/2006. elıterjesztés 1. sz. melléklete. KOMPETENCIAMÉRÉS a fıvárosban

14-469/2/2006. elıterjesztés 1. sz. melléklete. KOMPETENCIAMÉRÉS a fıvárosban KOMPETENCIAMÉRÉS a fıvárosban 2005 1 Tartalom 1. Bevezetés. 3 2. Iskolatípusok szerinti teljesítmények.... 6 2. 1 Szakiskolák 6 2. 2 Szakközépiskolák. 9 2. 3 Gimnáziumok 11 2. 4 Összehasonlítások... 12

Részletesebben

Pszichológia témájú tájékoztató vélemény. Általános tájékoztató

Pszichológia témájú tájékoztató vélemény. Általános tájékoztató Pszichológia témájú tájékoztató vélemény Megbízó cég: A tájékoztatót kapják: Megbízó Kft. Megbízó Személy Pályázó neve: Életkor: Végzettség: Megpályázott munkakör: Vizsgált Személy 34 év felsőfok Területi

Részletesebben

Matematika. 5. 8. évfolyam

Matematika. 5. 8. évfolyam Matematika 5. 8. évfolyam 5. 6. évfolyam Éves órakeret: 148 Heti óraszám: 4 Témakörök Óraszámok Gondolkodási és megismerési módszerek folyamatos Számtan, algebra 65 Összefüggések, függvények, sorozatok

Részletesebben

statisztikai menürendszere Dr. Vargha András 2007

statisztikai menürendszere Dr. Vargha András 2007 A statisztikai menürendszere Dr. Vargha András 2007 2 tartalomjegyzék 1. Alapok (egymintás elemzések Alapstatisztikák Részletesebb statisztikák számítása Gyakorisági eloszlás, hisztogram készítése Középértékekre

Részletesebben

ÍRÁSBELI KIVONÁS. 31. modul. Készítette: KONRÁD ÁGNES

ÍRÁSBELI KIVONÁS. 31. modul. Készítette: KONRÁD ÁGNES Matematika A 3. évfolyam ÍRÁSBELI KIVONÁS 31. modul Készítette: KONRÁD ÁGNES matematika A 3. ÉVFOLYAM 31. modul ÍRÁSBELI KIVONÁS MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 2.

Matematikai statisztikai elemzések 2. Matematikai statisztikai elemzések 2. Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek. A szórás és szóródás Prof. Dr. Závoti, József Matematikai statisztikai elemzések 2.: Helyzetmutatók, átlagok, Prof. Dr. Závoti,

Részletesebben

IV.4. EGYENLŐTLENSÉGEK. A feladatsor jellemzői

IV.4. EGYENLŐTLENSÉGEK. A feladatsor jellemzői IV.4. EGYENLŐTLENSÉGEK Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Egyenlőtlenségek megoldási módszerei, egyenlőtlenségekre vezető szöveges feladatok megoldása. A legalább és legfeljebb fogalma. Előzmények Egyenletek

Részletesebben

23. Kombinatorika, gráfok

23. Kombinatorika, gráfok I Elméleti összefoglaló Leszámlálási alapfeladatok 23 Kombinatorika, gráfok A kombinatorikai alapfeladatok esetek, lehetőségek összeszámlálásával foglalkoznak Általában n jelöli a rendelkezésre álló különbözőfajta

Részletesebben

Közbeszerzési referens képzés Gazdasági és pénzügyi ismeretek modul 1. alkalom. A közgazdaságtan alapfogalmai Makro- és mikroökonómiai alapfogalmak

Közbeszerzési referens képzés Gazdasági és pénzügyi ismeretek modul 1. alkalom. A közgazdaságtan alapfogalmai Makro- és mikroökonómiai alapfogalmak Közbeszerzési referens képzés Gazdasági és pénzügyi ismeretek modul 1. alkalom A közgazdaságtan alapfogalmai Makro- és mikroökonómiai alapfogalmak ALAPKÉRDÉSEK TISZTÁZÁSA I. A gazdasági törvények lényege:

Részletesebben

Analízis lépésről - lépésre

Analízis lépésről - lépésre Analízis lépésről - lépésre interaktív tananyag Dr. Stettner Eleonóra Klingné Takács Anna Analízis lépésről - lépésre: interaktív tananyag írta Dr. Stettner Eleonóra és Klingné Takács Anna Tartalom Előszó...

Részletesebben

Országos kompetenciamérés. Országos jelentés

Országos kompetenciamérés. Országos jelentés Országos kompetenciamérés 2009 Országos jelentés Országos jelentés TARTALOMJEGYZÉK JOGSZABÁLYI HÁTTÉR... 7 A 2009. ÉVI ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS SZÁMOKBAN... 8 A FELMÉRÉSRŐL... 9 EREDMÉNYEK... 11 AJÁNLÁS...

Részletesebben

Az enyhe értelmi fogyatékos fővárosi tanulók 2009/2010. tanévi kompetenciaalapú matematika- és szövegértés-mérés eredményeinek elemzése

Az enyhe értelmi fogyatékos fővárosi tanulók 2009/2010. tanévi kompetenciaalapú matematika- és szövegértés-mérés eredményeinek elemzése E L E M Z É S Az enyhe értelmi fogyatékos fővárosi tanulók 2009/2010. tanévi kompetenciaalapú matematika- és szövegértés-mérés eredményeinek elemzése 2010. szeptember Balázs Ágnes (szövegértés) és Magyar

Részletesebben

KÖNYVEK. A SZEGÉNYSÉG DINAMIKÁJÁRÓL Spéder Zsolt: A szegénység változó arcai. Tények és értelmezések. Budapest: Századvég Kiadó, 2002.

KÖNYVEK. A SZEGÉNYSÉG DINAMIKÁJÁRÓL Spéder Zsolt: A szegénység változó arcai. Tények és értelmezések. Budapest: Századvég Kiadó, 2002. Szociológiai Szemle 2005/1, 79 85. KÖNYVEK A SZEGÉNYSÉG DINAMIKÁJÁRÓL Spéder Zsolt: A szegénység változó arcai. Tények és értelmezések. Budapest: Századvég Kiadó, 2002. MONOSTORI Judit Központi Statisztikai

Részletesebben

A fogyatékossághoz vezetõ út

A fogyatékossághoz vezetõ út 07Kende-Nemenyi(1).qxd 2005.02.23. 9:37 Page 199 KENDE ANNA NEMÉNYI MÁRIA A fogyatékossághoz vezetõ út A 2003-as év elsõ felében, az iskolaérettségi vizsgálatok idõszakában kutatást végeztünk beiskolázás

Részletesebben

10. Valószínűségszámítás

10. Valószínűségszámítás . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás

Részletesebben

Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk

Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 1 1 Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk Jelfeldolgozás 1 Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 2 Bevezetés 5 Kérdések, feladatok 6 Fourier sorok, Fourier transzformáció 7 Jelek

Részletesebben

Vári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004

Vári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004 Vári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004 2005 Budapest Értékelési Központ SuliNova Kht. 2 Országos Kompetenciamérés 2004 Tartalom 1. Bevezetés...4

Részletesebben

Szakdolgozat GYIK. Mi az a vázlat?

Szakdolgozat GYIK. Mi az a vázlat? Szakdolgozat GYIK szerző: Pusztai Csaba, adjunktus, Közgazdaságtan és Jog Tanszék, EKF, Eger Mi az a vázlat? Elvárásként szerepel a GTI szempontrendszerében az, hogy az őszi félévben a szakdolgozó elkészítsen

Részletesebben

Az egyes régiók bűnügyi fertőzöttségi mutatói közötti eltérések társadalmi, gazdasági okainak szociológiai vizsgálata és elemzése, a rendvédelmi

Az egyes régiók bűnügyi fertőzöttségi mutatói közötti eltérések társadalmi, gazdasági okainak szociológiai vizsgálata és elemzése, a rendvédelmi Az egyes régiók bűnügyi fertőzöttségi mutatói közötti eltérések társadalmi, gazdasági okainak szociológiai vizsgálata és elemzése, a rendvédelmi szervek számára adódó konzekvenciák Tartalomjegyzék 1 Kutatási

Részletesebben

Iskolai teljesítmény iskolai átszervezés 2006 2009 1

Iskolai teljesítmény iskolai átszervezés 2006 2009 1 Iskolai teljesítmény i átszervezés 2006 2009 1 Az előző fejezetben láthattuk, hogy hogyan alakult a 2000-es évek első évtizedében az alapfokú i ellátás a kistelepülések esetében. Ez a fejezet azt a kérdést

Részletesebben

A MAGYAR KIEGYENLÍTŐENERGIA-PIACI ÁRKÉPZÉSI RENDSZER VIZSGÁLATA

A MAGYAR KIEGYENLÍTŐENERGIA-PIACI ÁRKÉPZÉSI RENDSZER VIZSGÁLATA Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatikai Kar Villamos Energetika Tanszék Kondor Máté András A MAGYAR KIEGYENLÍTŐENERGIA-PIACI ÁRKÉPZÉSI RENDSZER VIZSGÁLATA Tudományos

Részletesebben

AJÁNLÁSA. a központi közigazgatási szervek szoftverfejlesztéseihez kapcsolódó minőségbiztosításra és minőségirányításra vonatkozóan

AJÁNLÁSA. a központi közigazgatási szervek szoftverfejlesztéseihez kapcsolódó minőségbiztosításra és minőségirányításra vonatkozóan KORMÁNYZATI INFORMATIKAI EGYEZTETŐ TÁRCAKÖZI BIZOTTSÁG 24. SZÁMÚ AJÁNLÁSA a központi közigazgatási szervek szoftverfejlesztéseihez kapcsolódó minőségbiztosításra és minőségirányításra vonatkozóan 2005.

Részletesebben

ELEKTRONIKUS KOMMUNIKÁCIÓS CSATORNÁK HASZNÁLATA KISKUNMAJSÁN

ELEKTRONIKUS KOMMUNIKÁCIÓS CSATORNÁK HASZNÁLATA KISKUNMAJSÁN ELEKTRONIKUS KOMMUNIKÁCIÓS CSATORNÁK HASZNÁLATA KISKUNMAJSÁN VÁLLALATI ÉS LAKOSSÁGI FELMÉRÉS A KISKUNMAJSAI TELEPHELLYEL RENDELKEZŐ TÁRSAS VÁLLALKOZÁSOK, ILLETVE AZ ÖNKORMÁNYZATI HIVATALBAN ÜGYET INTÉZŐ

Részletesebben

Aktív hallgatói tanulmány a kutatási eredmény elemzése az Educatio által biztosított kötelező kérdőív kitöltése alapján

Aktív hallgatói tanulmány a kutatási eredmény elemzése az Educatio által biztosított kötelező kérdőív kitöltése alapján Aktív hallgatói tanulmány a kutatási eredmény elemzése az Educatio által biztosított kötelező kérdőív kitöltése alapján Nemzeti Közszolgálati Egyetem Diplomás Pályakövető Rendszer Szerzők: Séd Levente,

Részletesebben

A korhatár előtti nyugdíjba vonulás nemek szerinti különbségei

A korhatár előtti nyugdíjba vonulás nemek szerinti különbségei A korhatár előtti nyugdíjba vonulás nemek szerinti különbségei Monostori Judit 1. Bevezetés Az emberi életpálya egyik legfontosabb fordulópontja a nyugdíjba vonulás. A társadalom szinte minden tagja érintett

Részletesebben

Iskolakultúra 2015/10 Milyen magasak és milyen nehezek vagyunk? Van-e a kapcsolat az emberek magassága és testtömege között?

Iskolakultúra 2015/10 Milyen magasak és milyen nehezek vagyunk? Van-e a kapcsolat az emberek magassága és testtömege között? Milyen magasak és milyen nehezek vagyunk? Van-e a kapcsolat az emberek magassága és testtömege között? Napjainkban a természettudományos nevelés számos problémával küzd. Például nem megfelelő az iskolában

Részletesebben

AZ ORSZÁGOS VÁLASZTÁSI BIZOTTSÁG 2012. JANUÁR 11-ÉN MEGTARTOTT ÜLÉSÉNEK A JEGYZŐKÖNYVE

AZ ORSZÁGOS VÁLASZTÁSI BIZOTTSÁG 2012. JANUÁR 11-ÉN MEGTARTOTT ÜLÉSÉNEK A JEGYZŐKÖNYVE AZ ORSZÁGOS VÁLASZTÁSI BIZOTTSÁG 2012. JANUÁR 11-ÉN MEGTARTOTT ÜLÉSÉNEK A JEGYZŐKÖNYVE Köszöntöm az Országos Választási Bizottság ülésén megjelenteket. Megállapítom, hogy az Országos Választási Bizottság

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030

Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030 Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030 2. téma Feltételes valószínőség, függetlenség Példák feltételes valószínőségekre. Feltételes valószínőség definíciója.

Részletesebben

Bevezetés. 1. Helyzetek (változók) egyszempontos összehasonlítása

Bevezetés. 1. Helyzetek (változók) egyszempontos összehasonlítása Vargha András Kísérleti helyzetek és csoportok összehasonlítása új statisztikai módszerekkel (A T047144 sz. OTKA-pályázat összefoglaló szakmai beszámolója) Bevezetés A jelen OTKA-pályázat keretében végzett

Részletesebben

Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter

Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter 1. Adatállományok létrehozása, kezelése... 2 2. Leíró statisztikai eljárások... 3 3. Várható értékek (átlagok) vizsgálatára irányuló próbák... 5 4. Eloszlások vizsgálata...

Részletesebben

Vidékfejlesztési sajátosságok, adaptálható megoldások a svájci vidékfejlesztési gyakorlat alapján

Vidékfejlesztési sajátosságok, adaptálható megoldások a svájci vidékfejlesztési gyakorlat alapján Bevezetés Vidékfejlesztési sajátosságok, adaptálható megoldások a svájci vidékfejlesztési gyakorlat alapján Dr. Finta István A vidéki területek fejlesztésének sajátosságai (a területfejlesztéstől részben

Részletesebben

Szerzőinknek A folyóiratunkba szánt kéziratok tartalmi és formai követelményei

Szerzőinknek A folyóiratunkba szánt kéziratok tartalmi és formai követelményei Szerzőinknek A folyóiratunkba szánt kéziratok tartalmi és formai követelményei Szerzők, témák, szerkesztési elvek A Területi Statisztika szerkesztősége az eddigi szerzők megbecsülése és megtartása mellett

Részletesebben

Némedi Mária Margareta A békés világtársadalom lehetőségének és lehetetlenségének szociológiaelméleti vizsgálata

Némedi Mária Margareta A békés világtársadalom lehetőségének és lehetetlenségének szociológiaelméleti vizsgálata Némedi Mária Margareta A békés világtársadalom lehetőségének és lehetetlenségének szociológiaelméleti vizsgálata mari szerzői kiadása - Budapest 2012 ISBN 978-963-08-4652-3 Semmilyen jog nincs fönntartva!

Részletesebben

Pedagógusok a munkaerőpiacon

Pedagógusok a munkaerőpiacon 1 Györgyi Zoltán Pedagógusok a munkaerőpiacon Szabó László Tamás, vagy ahogy mindenki ismeri SZLT vagy SZLT professzor úr, régi kollégám. A sors úgy hozta, hogy bár két munkahelyünk is közös volt, közös

Részletesebben

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

FEHÉRVÁRI ANIKÓ KUDARCOK A SZAKISKOLÁKBAN TANULÓI ÖSSZETÉTEL

FEHÉRVÁRI ANIKÓ KUDARCOK A SZAKISKOLÁKBAN TANULÓI ÖSSZETÉTEL 23 FEHÉRVÁRI ANIKÓ KUDARCOK A SZAKISKOLÁKBAN A tanulmány egy 2008-as vizsgálat eredményei 1 alapján mutatja be a szakiskolai tanulók szociális összetételét, iskolai kudarcait és az azokra adott iskolai

Részletesebben

Gyorsjelentés. az informatikai eszközök iskolafejlesztő célú alkalmazásának országos helyzetéről 2011. február 28-án, elemér napján KÉSZÍTETTÉK:

Gyorsjelentés. az informatikai eszközök iskolafejlesztő célú alkalmazásának országos helyzetéről 2011. február 28-án, elemér napján KÉSZÍTETTÉK: Gyorsjelentés az informatikai eszközök iskolafejlesztő célú alkalmazásának országos helyzetéről 2011. február 28-án, elemér napján KÉSZÍTETTÉK: Hunya Márta PhD Kőrösné dr. Mikis Márta Tartsayné Németh

Részletesebben

KONCEPCIÓ a pénzbeli és természetbeni szociális és gyermekvédelmi ellátásokról szóló új rendelet megalkotásához

KONCEPCIÓ a pénzbeli és természetbeni szociális és gyermekvédelmi ellátásokról szóló új rendelet megalkotásához A 296/2006.(XI.28.) Kt. sz. melléklete KONCEPCIÓ a pénzbeli és természetbeni szociális és gyermekvédelmi ellátásokról szóló új rendelet megalkotásához A szociális területen alkalmazott két f jogszabály

Részletesebben

Mesterséges intelligencia, 7. előadás 2008. október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.)

Mesterséges intelligencia, 7. előadás 2008. október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.) Mesterséges intelligencia, 7. előadás 2008. október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.) Bizonytalanságkezelés: Az eddig vizsgáltakhoz képest teljesen más világ. A korábbi problémák nagy része logikai,

Részletesebben

Lakossági vélemények a mai és a tíz. évvel ezelôtti társadalmi-politikai. rendszerrôl. Kelet-közép-európai. összehasonlítás

Lakossági vélemények a mai és a tíz. évvel ezelôtti társadalmi-politikai. rendszerrôl. Kelet-közép-európai. összehasonlítás Közép-európai közvélemény: Lakossági vélemények a mai és a tíz évvel ezelôtti társadalmi-politikai rendszerrôl. Kelet-közép-európai összehasonlítás A Central European Opinion Research Group (CEORG) havi

Részletesebben

A kolozsvári Babe -Bolyai Tudományegyetemen folyó tanárképzésről

A kolozsvári Babe -Bolyai Tudományegyetemen folyó tanárképzésről Székely Noémi A kolozsvári Babe -Bolyai Tudományegyetemen folyó tanárképzésről Sokak véleménye, hogy a hazai tanárképzés a pedagógia képviselői részéről évtizedenként felemlegetett s ugyanakkor agyontárgyalt

Részletesebben

VI.9. KÖRÖK. A feladatsor jellemzői

VI.9. KÖRÖK. A feladatsor jellemzői VI.9. KÖRÖK Tárgy, téma A feladatsor jellemzői A kör területe, arányok változatlansága sokszorozás esetén. Előzmények Cél A kör részeinek területe egyszerű esetben, szimmetriák, a négyzet és átlójának

Részletesebben

BANYÁR JÓZSEF: DRÁGÁK-E A MAGYAR BIZTOSÍTÁSOK?

BANYÁR JÓZSEF: DRÁGÁK-E A MAGYAR BIZTOSÍTÁSOK? BANYÁR JÓZSEF: DRÁGÁK-E A MAGYAR BIZTOSÍTÁSOK? 2013. szeptember 16. Bevezetés 2 A pénzügyi termékek ára 2 Az ár más pénzügyi termékeknél 3 A hitelek ára 3 A betéti termékek ára 4 A befektetési jegyek ára

Részletesebben

Növelhető-e a csőd-előrejelző modellek előre jelző képessége az új klasszifikációs módszerek nélkül?

Növelhető-e a csőd-előrejelző modellek előre jelző képessége az új klasszifikációs módszerek nélkül? Közgazdasági Szemle, LXI. évf., 2014. május (566 585. o.) Nyitrai Tamás Növelhető-e a csőd-előrejelző modellek előre jelző képessége az új klasszifikációs módszerek nélkül? A Bázel 2. tőkeegyezmény bevezetését

Részletesebben

TÖRTSZÁMOK, MÉRÉSEK. 34. modul

TÖRTSZÁMOK, MÉRÉSEK. 34. modul Matematika A 3. évfolyam TÖRTSZÁMOK, MÉRÉSEK 34. modul Készítette: SZITÁNYI JUDIT matematika A 3. ÉVFOLYAM 34. modul TÖRTSZÁMOK, MÉRÉSEK MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Mára új helyzet alakult ki: a korábbiakhoz képest nagyságrendekkel komplexebb

Mára új helyzet alakult ki: a korábbiakhoz képest nagyságrendekkel komplexebb Iskolakultúra 2004/8 Nagy József ny. egyetemi tanár, Szegedi Tudományegyetem, Szeged Az elemi kombinatív képesség kialakulásának kritériumorientált diagnosztikus feltárása tanulmány Ha beírjuk a számítógép

Részletesebben

A SZAKÉRTŐI ÉRTÉKELÉS JELENTŐSÉGÉRŐL 1

A SZAKÉRTŐI ÉRTÉKELÉS JELENTŐSÉGÉRŐL 1 Ruzsányi Tivadar - Kindler József A SZAKÉRTŐI ÉRTÉKELÉS JELENTŐSÉGÉRŐL 1 - A tényinformációk és értékinformációk valóságismereti szerepe Rettenetes, hogy a tényektől sosem tudhatjuk meg a valóságot idézi

Részletesebben

LAKOSSÁGI MEGTAKARÍTÁSOK: TÉNYEZÕK ÉS INDIKÁTOROK AZ ELÕREJELZÉSHEZ

LAKOSSÁGI MEGTAKARÍTÁSOK: TÉNYEZÕK ÉS INDIKÁTOROK AZ ELÕREJELZÉSHEZ 2002. ELSÕ ÉVFOLYAM 3. SZÁM 81 MOSOLYGÓ ZSUZSA LAKOSSÁGI MEGTAKARÍTÁSOK: TÉNYEZÕK ÉS INDIKÁTOROK AZ ELÕREJELZÉSHEZ A közgazdasági elméletek egyik alapvetõ témája a lakossági megtakarítások vizsgálata.

Részletesebben

Érveléstechnika-logika 7. Filozófia és Tudománytörténet Tanszék 1111 Budapest, Sztoczek J. u. 2-4. fsz. 2.

Érveléstechnika-logika 7. Filozófia és Tudománytörténet Tanszék 1111 Budapest, Sztoczek J. u. 2-4. fsz. 2. Érveléstechnika-logika 7. Filozófia és Tudománytörténet Tanszék 1111 Budapest, Sztoczek J. u. 2-4. fsz. 2. Induktív érvek Az induktív érvnél a premisszákból sosem következik szükségszerűen a konklúzió.

Részletesebben

MUNKAERŐ-PIACI ESÉLYEK, MUNKAERŐ-PIACI STRATÉGIÁK 1

MUNKAERŐ-PIACI ESÉLYEK, MUNKAERŐ-PIACI STRATÉGIÁK 1 GYÖRGYI ZOLTÁN MUNKAERŐ-PIACI ESÉLYEK, MUNKAERŐ-PIACI STRATÉGIÁK 1 Bevezetés Átfogó statisztikai adatok nem csak azt jelzik, hogy a diplomával rendelkezők viszonylag könynyen el tudnak helyezkedni, s jövedelmük

Részletesebben

Zsidóellenes előítéletesség és az antiszemitizmus dinamikája a mai Magyarországon

Zsidóellenes előítéletesség és az antiszemitizmus dinamikája a mai Magyarországon Zsidóellenes előítéletesség és az antiszemitizmus dinamikája a mai Magyarországon Kovács András 1. Bevezetés A kommunista rendszer 1990-ben bekövetkezett bukása, a szabad véleménynyilvánítás jogának és

Részletesebben

6. előadás PREFERENCIÁK (2), HASZNOSSÁG

6. előadás PREFERENCIÁK (2), HASZNOSSÁG 6. előadás PREFERENCIÁK (), HASZNOSSÁG Kertesi Gábor Varian 3. fejezetének 50-55. oldalai és 4. fejezete alapján PREFERENCIÁK FEJEZET FOLYTATÁSA 6. A helyettesítési határarány Dolgozzunk mostantól fogva

Részletesebben

EGÉSZSÉGÜGYI DÖNTÉS ELŐKÉSZÍTŐ

EGÉSZSÉGÜGYI DÖNTÉS ELŐKÉSZÍTŐ EGÉSZSÉGÜGYI DÖNTÉS ELŐKÉSZÍTŐ MODELLEZÉS Brodszky Valentin, Jelics-Popa Nóra, Péntek Márta BCE Közszolgálati Tanszék A tananyag a TÁMOP-4.1.2/A/2-10/1-2010-0003 "Képzés- és tartalomfejlesztés a Budapesti

Részletesebben

Az óvodai és iskolai étkezés, napközi /tények és vélemények/

Az óvodai és iskolai étkezés, napközi /tények és vélemények/ Az óvodai és iskolai étkezés, napközi /tények és vélemények/ Budapest, 2006. június Bevezetés A Gyermekszegénység Elleni Nemzeti Program Iroda 2006. márciusában megbízást adott a Szonda Ipsos Média,- Vélemény-

Részletesebben

A tanulás affektív tényezõi. Józsa Krisztián. Fejes József Balázs

A tanulás affektív tényezõi. Józsa Krisztián. Fejes József Balázs 8. A tanulás affektív tényezõi Józsa Krisztián Szegedi Tudományegyetem Neveléstudományi Intézet Fejes József Balázs Szegedi Tudományegyetem Neveléstudományi Intézet Bloom tanulással-tanítással kapcsolatos

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Kódelméleti elemi feladatgyűjtemény Összállította: Hraskó András és Szőnyi Tamás

Kódelméleti elemi feladatgyűjtemény Összállította: Hraskó András és Szőnyi Tamás Kódelméleti elemi feladatgyűjtemény Összállította: Hraskó András és Szőnyi Tamás 1. Mérlegelés 1.1 Egy cég 10 szériában gyártott egész kg-os súlyokat. Az első szériában 1, a másodikban 2, a harmadikban

Részletesebben

Struktúraváltás az Észak-magyarországi régió kórházaiban

Struktúraváltás az Észak-magyarországi régió kórházaiban Egészségügyi kar Egészségügyi szervező szak Egészségturizmus-szervező szakirány Struktúraváltás az Észak-magyarországi régió kórházaiban Konzulens: Dr. Dózsa Csaba Morvai Ádám 2014. ...a legjobb, amit

Részletesebben

10. JAVÍTÓKULCS ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS MATEMATIKA. példaválaszokkal. s u l i N o v a K h t. É R T É K E L É S I K Ö Z P O N T É V F O L Y A M

10. JAVÍTÓKULCS ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS MATEMATIKA. példaválaszokkal. s u l i N o v a K h t. É R T É K E L É S I K Ö Z P O N T É V F O L Y A M 10. É V F O L Y A M ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS JAVÍTÓKULCS MATEMATIKA s u l i N o v a K h t. É R T É K E L É S I K Ö Z P O N T 2 0 0 6 példaválaszokkal Hány órából áll egy hét? Válasz: A feleletválasztós

Részletesebben

Regressziószámítás alkalmazása kistérségi adatokon

Regressziószámítás alkalmazása kistérségi adatokon Lengyel I. Lukovics M. (szerk.) 2008: Kérdıjelek a régiók gazdasági fejlıdésében. JATEPress, Szeged, 264-287. o. Regressziószámítás alkalmazása kistérségi adatokon Szakálné Kanó Izabella 1 A lokális térségek

Részletesebben

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar 2.3.2.2.1.2 Keresztirányú stabilitás nagy dőlésszögeknél A keresztirányú stabilitás számszerűsítésénél, amint korábban láttuk, korlátozott a metacentrikus magasságra való támaszkodás lehetősége. Csak olyankor

Részletesebben

Gyakorló feladatok Anyagmérnök hallgatók számára

Gyakorló feladatok Anyagmérnök hallgatók számára Gyakorló feladatok Anyagmérnök hallgatók számára. feladat Egy külkereskedelmi vállalat 7 ezer üvegből álló gyümölcskonzerv szállítmányt exportál. A nettó töltősúly ellenőrzése céljából egy 9 elemű véletlen

Részletesebben

Szakál Ferenc Pál A szükséges pedagógus-státuszok számításának változásai és egyéb összefüggései

Szakál Ferenc Pál A szükséges pedagógus-státuszok számításának változásai és egyéb összefüggései Szakál Ferenc Pál A szükséges pedagógus-státuszok számításának változásai és egyéb összefüggései 1. A státusz-meghatározás korábbi szabályai, módja Emlékeim szerint korábban nem volt egységesen előírt

Részletesebben

A matematika érettségirõl a reform tükrében

A matematika érettségirõl a reform tükrében Tompa XKlára A matematika érettségirõl a reform tükrében A közoktatás megújítási tervének egyik fontos eleme a 2004-re tervezett új érettségi vizsga. Az új vizsgamodell kialakításának előmunkálataiban

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 4. hétre

Feladatok és megoldások a 4. hétre Feladatok és megoldások a. hétre Építőkari Matematika A3. Pisti nem tanult semmit a vizsgára, ahol 0 darab eldöntendő kérdésre kell válaszolnia. Az anyagból valami kicsi dereng, ezért kicsit több, mint

Részletesebben

A tanítás-tanulás két sikertényezője

A tanítás-tanulás két sikertényezője A tanítás-tanulás két sikertényezője BÁCSI János SZTE Juhász Gyula Gyakorló Általános Iskolája, Alapfokú Művészetoktatási Intézménye, Napközi Otthonos Óvodája, Szeged bacsi@jgypk.u-szeged.hu Ha feltesszük

Részletesebben