Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28."

Átírás

1 Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre

2 KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés nélküli" arra utal, hogy a sorba rendezendő elemek különbözőek, azaz nem ismétlődnek. Egy n elemű halmaz összes permutációinak a száma: =!= Megjegyzés: Definíció szerint 0! = 1. Hányféleképpen sorakozhatnak fel egy egyenes sorban egy 26 fős osztály tanulói? Az osztálynak, mint 26 elemű halmaznak 26! permutációja van, azaz ennyiféle sorrend lehetséges. Ismétléses permutáció alatt néhány, egymástól nem feltétlenül különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Ha egy n elemű multihalmazban s különböző elem fordul elő, mégpedig az i-edik fajta elem k i -szer (és így n = k 1 + k k s ), akkor a multihalmaz összes ismétléses permutációinak a száma:!,,, =!!! Hányféleképpen lehet sorba rendezni az a, a, a, b, c, c, d, d betűket? Itt n=8 elemünk van, s=4 fajta, a betűből k 1 =3, b betűből k 2 =1, c és d betűkből k 3 =k 4 =2 darab, így a képlet alapján sorrend lehetséges. ;;; 8! P = 3! 1! 2! 2! =1680 Kombináció Az ismétlés nélküli kombinációt alkalmazzuk akkor, ha adott egy véges halmaz, melynek n darabszámú elemeiből k elemszámú halmazokat (kombinatorika nevén osztályokat) akarunk mindenféle módon képezni (és minden elem csak egyszer fordul elő). Ezt úgy hívjuk, hogy n elem k- ad osztályú ismétlés nélküli kombinációja. Az ismétlés nélküli kombináció képlete:, =!!! vagy binomiális együtthatókkal kifejezve: Az ismétléses kombinációt alkalmazzuk, amikor adott n elemekből k elemszámú multihalmazokat képzünk, ahol adva van legalább 1 multiplikált elem. Az ismétléses kombináció képlete: Variáció, = + - binominális együtthatóval kifejezve. Ismétlés nélküli valamint ismétléses variáció során egyaránt úgy járunk el, hogy osztályok szerint permutálunk. Vagyis eszerint azon túl, hogy n elem k-ad osztályú kombinációit állítjuk fel, permutálnunk is kell azokat. Az előző kombinatorikai operációkhoz hasonlóan változik a variáció aszerint, hogy ismétléses vagy ismétlés nélküli: amennyiben legalább 1 elem multiplikált, akkor ismétléses-, ellenben ismétlés nélküli variációról van szó.! Az ismétlés nélküli variáció képlete:, =! Az ismétléses variáció képlete:, = december 28. 2/16

3 BINOMIÁLIS TÉTEL A binomiális tétel egy matematikai (algebrai) tétel, mely a következő képletben foglalható össze: Részletesebben (szummajel használata nélkül): + = + = ahol n természetes szám (n N), a,b pedig valós vagy komplex számok, vagy általánosabban, egy kommutatív félgyűrű elemei; továbbá a képletben szereplő ún. binomiális együtthatók a következőképp számolhatóak ki: =! ; n! pedig az n faktoriálisát jelenti.!! Az általános tag képlete ( k+1-edig elem! ): = Számítsuk ki az E=(x 2 +) 10 kifejezés balról hetedik tagját: = 10 6 = 10 4 =210 RELÁCIÓK, GRÁFOK Bináris reláció fogalma: két halmaz elemei közötti megfeleltetést értünk amit úgynevezett gráffal szokás szemléltetni Halmazelméleti megközelítésben a relációkat, pontosabban gráfjaikat rendezett elempárokkal adjuk meg: A = { a, b, c, } /*alaphalmaz*/ R (g) = {(a,a), (a,b), (a,c), } /* ezek szerint tehát AxA részhalmazait képezik*/ Absztrakt megadási mód: R = (A, B, R (g) ), R (g) ᴄ AxA Relációk egyenlősége: Akkor és csak akkor egyenlő két reláció, ha R 1 = (A, B, R 1 (g) ) R 2 = (C, D, R 2 (g) ) = = teljesülnek! = Homogén bináris reláció: Ha A = B halmaz egybeesik, akkor homogén bináris relációról beszélünk. R = (A, A, R (g) ) jelölést R = (A, R) jelölés váltja fel december 28. 3/16

4 Relációk tulajdonságai: 1. reflexív, ha ara minden a A-ra a 2. szimmetrikus, ha arb bra a b 3. antiszimmetrikus, ha ( arb és bra) a = b (a két halmaz ugyan az) 4. tranzitív, ha (arb és brc) arc a b c Ekvivalencia reláció: Feltétele: 1. reflexív 2. szimmetrikus 3. tranzitív Részbenrendezés: Feltétele: 1. reflexív 2. antiszimmetrikus 3. tranzitív Példák: 1. xry (testvérek) E = { emberek } x, y E a. szimmetrikus 2. x osztja y-t x, y N a. reflexív b. antiszimmetrikus c. tranzitív 3. x ismeri y-t a. reflexív b. szimmetrikus c. tranzitív 4. (R, ) (== x y) a. reflexív b. antiszimmetrikus c. tranzitív 5. (C, ~) x, y C-re (x ~ y == x = y ) a. reflexív b. szimmetrikus c. tranzitív részbenrendezés ekvivalencia reláció részbenrendezés ekvivalencia reláció reláció december 28. 4/16

5 Bináris relációk szorzata: Ha R = A x B és Q = B x C két bináris reláció, akkor ezek R Q alatt az A és C halmaz közötti relációt értjük, amit a következőképpen definiálunk: R Q = A x C A R B R Q C Általában R Q Q R. A relációk szorzása asszociatív: ( A B ) C = A ( B C ) Bináris reláció inverze: ar -1 b = bra Homogén bináris reláció hatványozása: Q R 1 = R R 2 = R R R n = R R R R Relációs metszet: Ha R egy homogén bináris reláció az A halmazon (azaz R ᴄ A x A), akkor egy a A elem esetén az R[a] = { x A arx } halmazt az a elem R-re vonatkozó relációs metszetének nevezzük. Észrevehetjük, hogy arb b R[a] Ha R reflexív, akkor ara a R[a] Ha R egy ekvivalencia reláció, akkor R[a] neve az az a A egy ekvivalencia osztálya (R-re nézve) o n-szer Ez az elnevezés a következő tényből ered: Ha R = A x A egy ekvivalencia reláció, és a A-nak, akkor minden x, y R[a]-ra xry (és yrx) teljesül. Biz.: tranzitív x, y R[a] arx és ary xra, ary xry yrx Minden x R[a]-ra szimmetria R[x]=[a] FÜGGVÉNYEK (összetevés, iterált, bijektivitás, invertálás) A függvényeket olyan bináris F = A x B relációnak tekintjük, ahol minden x A-ra teljesül az F(x) = { y B xfy } relációs metszet pontosan egy elemű. 1 A F[1] = { a } F(1) = a (jelölés szerint különböztetjük meg a relációs metszettől) Két függvény (F 1 : A B és F 2 : C D) relációs értelmezésből kiindulva akkor egyenlő, ha A = C és B = D F 1 (x) = F 2 (x), minden x A-ra december 28. 5/16

6 Függvények összetevése alatt az F G relációs szorzatot értjük: F = és G = F G = G ( F ) G F = F ( G ) = x Ebből látható, hogy általában F G G F (Vegyük csak az x-et negatív számnak!) Egy A halmaz egyetén az 1 A : A A, 1 A (x) = x függvényt identikus függvénynek nevezünk. F( 1 A ) = 1 A ( F(x) ) = F(x) n-szer Függvény iteráltja: Egy F: A A függvény esetén definiálhatjuk F n : A A, F n =F F F függvényt és F 1 = F-t. Az F 1, F 2, F n függvények F függvény iteráltjai. Rekurzív képlet: F n+1 = F n F Tulajdonság: F n F m = F n+m Függvények invertálása: A függvények invertálása egyenértékű a relációk inverz-képzéséhez. Felcseréljük az értelmezési tartományát és az értékkészletét, és ugyanakkor az x és F(x) (=y) szerepét. F(x) = y = ax + b F -1 (x) = =+= Bijektív függvény: Az F: A B függvényt bijektívnek nevezünk, ha minden y B-re egy és csakis egy olyan x A létezik, ami F(x)=y-ra teljesül. (Minden y B pontnak egy őse van A-ban, tehát egyértelműen invertálható!) Tehát, csak bijektív függvény invertálható. Ez sokszor csak az értelmezési tartomány leszűkítésével lehetséges. F: R R, F(x) = x 2 F: R + R +, F(x) = x 2 PERMUTÁCIÓK Az A halmaz permutációján az φ: A A bijektív leképzéseket értjük. φ: = {(1,3), (2,1), (3,2)} Tetszőleges n pozitív egészre az {1, 2,, n} halmazt összes permutációinak halmazát S n -nek nevezzük. Nem minden leképzés permutáció! φ: = {(1,3), (2,1), (3,3)} // Nem bijektív! (nem egy-egy értelmű) december 28. 6/16

7 Két permutáció összetevése azonosan működik, mint a relációk összetevése: φ ѱ = = {(1,3), (2,2), (3,1)} Rekurzív képlet: φ n+1 = φ n φ Tulajdonság: φ n φ m = φ n+m Identikus permutáció: ε : = {(1,1), (2,2), (3,3)} // Önmagába képez le Permutációk periodicitása: φ: = {(1,3), (2,1), (3,2)} Látható, hogy φ periodicitása 3, mert ekkor válik identikus permutációvá. φ = φ 2 = φ φ = φ 2 φ = φ 3 : φ 3 φ = φ 4 : FÉLCSOPORT, CSOPORT Félcsoport: Azt az algebrai struktúrát nevezzük félcsoportnak, amelyekben a művelet nem vezet ki a alaphalmazból, tehát bináris belső művelet asszociatív ( x * y ) * z = x * ( y * z ) (N, +) (P, +) (P, ) (R\{0}, ) (P(A), ) // természetes számok (1,2,3, ) összeadása // páros egész számok összege // páros egész számok szorzata // valós számok szorzata // polinomok uniója Csoport: Azt az algebrai struktúrát nevezzük csoportnak, amelyekben a művelet asszociatív = félcsoport van semleges elem minden elemnek inverze (P, +) (R\{0}, ) // páros egész számok összege // valós számok szorzata KOMMUTATÍV CSOPORT = ,3 2,01 = 2,01 5, december 28. 7/16

8 GYŰRŰ Azt a két bináris műveletet tartalmazó algebrai struktúrát (A, +, ) nevezzük gyűrűnek, amikben teljesülnek az alábbi axiómák: (A, +) kommutatív csoport (A, ) félcsoport a ( b c ) = ( a b ) c + és disztributív a ( b + c ) = ab + ac ( b + c ) a = ba + ca Például gyűrűk: (Z, +, ), (R, +, ), (C, +, ), (R[x], +, ), (M n,n (R), +, ) (Z, +, ) 1. Tudjuk, hogy (Z, +) kommutatív csoport 2. Tudjuk, hogy (Z, ) félcsoport 3. Ismert, hogy Z-n teljesül, hogy a ( b + c ) = ab + ac és ( b +c ) a = ba + ca disztributív 4. Tehát (Z, +, ) egy gyűrű // ugyanígy bizonyítjuk (R, +, ) és (C, +, )-t is TEST Az (A, +, ) gyűrűt testnek nevezzük, ha a gyűrű axiómáin kívül a következő axiómák is teljesülnek: Létezik a gyűrűnek egységeleme A, λ a = a λ = a Minden a A\{0}-ra létezik a -1 A úgy, hogy a a -1 = a -1 a = 1 Például testek: (R, +, ), (C, +, ) // nem test, csak gyűrű: (Z, +, ) (R, +, ) 1. Tudjuk, hogy (R, +, ) egy gyűrű 2. Az 1 szám a szorzás semleges eleme Ha a R és a 0, akkor létezik = 1 létezik a-1 =, minden a R 3. Tehát (R, +, ) egy test, és mivel a és az + is kommutatív, így (R, +, ) egy kommutatív test december 28. 8/16

9 LINEÁRIS TÉR Legyen (V, +) egy kommutatív csoport elemeit nevezzük vektoroknak és (K, +, ) egy kommutatív test elemeit nevezzük skalároknak. A (V, +,K) hármast lineáris térnek nevezzük, ha értelmezett a vektoroknak és a skalárokkal való szorzása, vagyis egy K x V V külső művelet (függvény), ahol teljesül, A (V, +,K)-t vektortérnek nevezzük, ha a lineáris tér axiómáin kívül teljesülnek a következő axiómák: k ( l ) = ( k l ) k ( ) = k 1 + k 2 minden k, l K számra és ( k + l) = k + l 1, 2 V-re 1 k = 1 k = (V 3, +, R) // háromdimenziós térvektorok skalárral való szorzásra nézve 1. Tudjuk, hogy (V 3, +, R) egy kommutatív csoport, és hogy (R, +, ) egy kommutatív test 2. Nyilvánvaló az tér-axiómák teljesülése, hiszen a V 3 szolgált modellül 3. Tehát (V 3, +, R) egy lineáris tér Emlékeztető vektorokhoz: = ( x 1, x 2,, x n ) és = ( y 1, y 2,, y n ) és λ R esetén + = ( x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x n + y n ) λ = ( λ x 1, λ x 2,, λ x n ) ( M n,n (R), +, R ) // n x n-es mátrix skalárral való szorzására nézve 1. Tudjuk, hogy (M n,n (R), +) egy kommutatív csoport, és hogy (R, +, ) egy kommutatív test 2. Skalárral való szorzás: λ R,,, λ,,,, =,,,,,,,,,,,,, Tehát látható, hogy teljesülnek az axiómák, hiszen az λ-val való szorzás visszavezethető a mátrix elemeinek való szorzására: k ( l a i,j ) =( k l ) a i,j 3. Tehát ( M n,n (R), +, R ) egy lineáris tér Vektortér alterei: Legyen (V, +,K) egy lineáris tér és U ᴄ V, U Ø. Az (U, +,K) hármast a (V, +,K) tér egy alterének nevezzük, ha minden u 1, u 2 U-ra és λ 1, λ 2 K-ra teljesül, hogy λ 1 u 1 + λ 2 u 2 U. Tehát az altéren belüli művelet nem vezet ki az altérből, így maga is egy teret alkot V valódi részhalmazaként december 28. 9/16

10 POLINOMOK Polinomok osztása polinommal: Q(x) osztja P(x)-et, ha P(x) = Q(x) H(x) // H(x)osztási maradék x a P(x) P(a) = 0 x 2 x 2 4 // P(2) = = 4 4 = 0 Legyen P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a n-1 x + a n komplex együtthatós polinom. Ha n > 0 (ha nem konstans), akkor P(x)-nek pontosan n gyöke van. Gyöktényezős alak: a 0 (x-x 1 ) (x-x 2 ) (x-x n ) // csak valós gyökök esetén x 2 4 = 1 (x 2)(x + 2) Zh.: x 1 = 2 és x 2 = -2 Ha egy P(x) polinomnak van nem valós gyökei, akkor azok mindig párosával fordulnak elő. Minden (komplex együtthatós) polinom felbontható konstans, elsőfokú és negatív diszkriminánsú valós együtthatós másodfokú polinomok szorzatára. Gyöktényezős alak: a 0 (x-x 1 ) (x-x 2 ) (x-x k )p k+1 (x)p n (x) // valós és komplex gyököknél x 4 16 = 1 (x 2)(x + 2)(x 2 + 4) Zh.: x 1 = 2, x 2 = -2, x 3 = +, x 4 = MÁTRIXOK Mátrix szorzása skalárral:,,,,,, λ,,,, =,,,,,,,,,, Mátrix szorzása mátrixszal: = =32 6 //csak azonos sor és oszlopszámú mátrixokat lehet összeszorozni. Mátrix rangja: a mátrix rangja alatt azt értjük, hogy hány független sor, illetve oszlopot tudunk kiválasztani a mátrixunkban. Független az a sor, illetve oszlop, ami nem a többi sor, illetve oszlop egy lineáris kombinációja. = = +2 = = rang() = december /16

11 Mátrix inverze: - szükséges feltétel: det( - Ha -1 = -1 := E n // E n = egységmátrix = 1. Kiszámítjuk a mátrix determinánsát det(= = + = Van inverze 2. Vesszük az transzponáltját (sorokat és oszlopokat felcseréljük) T = 3. T -ből kiindulva kiszámoljuk a mátrix andjungáltját (minden elem helyére a sorának és az oszlopának törlésével visszamaradt elemek determinánsát írjuk sakktáblaszabályt betartjuk) + + * = + = Végül elosztjuk az T t det()-val. -1 = = = 5. Ellenőrzés: -1 = -1 = = VEKTOROK Skaláris szorzat: = // Merőlegesség esetén a = 0 // a értéke egy skaláris szám Derékszöget bezáró tengelyeket tartalmazó koordinátarendszerben: // Például: R 3 = = december /16

12 Vektoriális szorzat: = // Párhuzamosság esetén a x b = 0 // a x b értéke egy újabb vektor Kiszámítása determinánssal: Vegyes szorzat: abc = ( a x b ) c Kiszámítása determinánssal: Két vektor által bezárt szög: =, ahol,,és az egységvektorok. =,,= Ha tudjuk a skaláris szorzatukat: = Lineáris függetlenség: Egy vektor lineárisan független, ha nem hozható létre a tér többi lineárisan független vektorainak segítségével. =1,0,0 =0,1,0 =0,0,1 A háromdimenziós tér egységvektorai LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER Cramer-szabály: a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n = b 2 a n,1 x 1 + a n,2 x a n,n x n = b n // Csak akkor használtató a Cramer-szabály, ha det( D n,n ) 0 // Csak n x n-es determinánsra alkalmazható,,, D n,n =,,,, ;,,, Módszer lényege: Behelyettesítjük a fődeterminánsba a keresett x i -edik oszlopába a szabad tagok oszlopát, és az így létrejött determináns determinánsa adja meg az x i értékét.,,,,,, =,,, ; =,,, ; ; =,,, ;,,,,,, december /16

13 Gauss-módszer: a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n = b 2 a n,1 x 1 + a n,2 x a n,n x n = b n // Csak akkor használtató a Gauss-módszer, ha det( ) 0 // Csak n x n-es determinánsra alkalmazható,,,,,,,,,, // Ha rang( ) = rang ( B ) létezik megoldás együttható mátrix ( ) kibővített mátrix ( B ) Módszer lényege: Vesszük az B (kibővített) mátrix determinánsát. Felső háromszög determináns hozunk létre A főátló alá nullákat hozunk létre úgy, hogy az épp kinullázandó elem fölötti sor valahányszorosát hozzáadjuk a kinullázandó sorhoz úgy, hogy a kinullázandó elem nulla legyen. Tulajdonságok determinánsokra: o két sor felcserélhető, mert az egyenletek sorrendje nem befolyásolja a megoldásokat o két oszlop felcserélhető, mert a különböző fokszámú ismeretlenek sorrendje nem befolyásolja a megoldásokat, de figyelni kell arra, hogy a végeredménykor a már felcserélt oszlopok rendje szerint állnak elő a megoldások A háromszög-determináns formában alulról indulva, és az ismeretlenek behelyettesítésével az x 1, x 2,, x n előáll. Kompatibilitás kompatibilis // n = ismeretlenek száma határozott, ha rang( ) = rang ( B ) = n határozatlan, ha rang( ) = rang ( B ) < n // egy megoldás // végtelen (paraméteres) megoldás inkompatibilis, ha rang( ) rang ( B ) // nincs megoldás december /16

14 LINEÁRIS KOMBINÁCIÓ Lineáris kombináció: Ha,,, és λ 1, λ 2,, λ n K tetszőleges, akkor a λ 1 + λ λ n összeget a,,, vektorok egy lineáris kombinációjának nevezzük. Lineárisan független az a vektor, amely nem állítható össze a vektortér többi vektorainak egy lineáris kombinációjával. GENERÁTOR-RENDSZER Fogalma: Azt mondjuk, hogy a,,, (lineárisan független vektorokból álló) vektorrendszer a (V, +, K) vektortér egy generátorrendszere, ha minden V vektor előállítható úgy, mint a,,, valamely lineáris kombinációja, azaz λ 1 + λ λ n =, ahol λ 1, λ 2,, λ n K A (V 3, +, R)-ben az,, egységvektorok egy generátor-rendszert alkotnak, és segítségükkel bármely vektor felírható e vektor egy lineáris kombinációjaként. BÁZIS A {,,, } c V vektorrendszer a V lineáris tér bázisának nevezzük, ha teljesülnek az alábbi axiómák egyszerre: generátor-rendszere V-nek lineárisan független vektorrendszer (V 3, +, R)-nek {,, } bázisa 1. Láttuk, hogy generátorrendszer 2. Mivel,, nincsenek egy síkban, ezért lineárisan függetlenek = ( 1,0,0) (0,1,0) = = = 0 merőlegesek egymásra = ( 0,1,0) (0,0,1) = = = 0 merőlegesek egymásra = ( 0,0,1) (1,0,0) = = = 0 merőlegesek egymásra Mivel,, vektorok páronként merőlegesek egymásra, így egyikük sem állítható elő a másik kettő egy lineáris kombinációjával. 3. Tehát (V 3, +, R)-nek {,, } igenis bázisa LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ Legyenek (V, +, K) és (W, +, K) lineáris terek ugyanazon (K, +, ) test felett. (általában R felett) Az L: V W függvény lineáris transzformációjának nevezzük, ha minden, és λ 1, λ 2 K-ra teljesül L( λ 1 + λ 2 = λ 1 + λ 2 Tulajdonság: 1. L( + = + 2. L( λ = λ 3. L( = december /16

15 4. A lineáris transzformációk összetevése is lineáris transzformáció Legyenek (U, +, K), (V, +, K) és (W, +, K) ugyanazon (K, +, ) test felett, és L 1 : U V lineáris transzformációk L 2 : V W Legyen, és λ 1, λ 2 K tetszőleges Tekintsük L 1 L 2 : U W összetett függvényt L 1 L 2 ( λ 1 + λ 2 ) = L 2 ( L 1 ( λ 1 + λ 2 ) = = L 2 ( λ 1 ) + L 2 ( λ 2 ) = λ 1 L 2 ( L 1 ( ) ) + λ 2 L 2 ( L 1 ( ) ) = = λ 1 L 2 L 1 ( ) + λ 2 L 2 L 1 ( ) Tehát L 1 L 2 teljesíti a lineáris transzformáció axiómáit, így maga is egy lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixos alakja: (V, +, K) és (W, +, K) n, illetve m dimenziós vektorterek és L: V W egy lineáris transzformáció. V-nek legyen B 1 = {,,, } egy bázisa W-nek legyen B 2 = {,,, } egy bázisa Ekkor minden x V-re és y W igaz, hogy = x 1 + x x n és = y 1 + y y m,,,,,, =,,,,,, Tudjuk, hogy = L( ) = L( x 1 + x x n ) = = x 1 L( ) + x 2 L( ) + + x n L( ) W W W = = x 1 + x x n Most felírjuk a B 2 bázisban az L( ), L( ),, L( ) W vektorokat L( ) = a 1,1 + a 2,1 + + a m,1,,,,,, L( ) = a 1,2 + a 2,2 + + a m,2,,,,,, L( ) = a 1,n + a 2,n + + a m,n,,,,,, december /16

16 Ezt egy mátrixba írjuk: m,,,,,,,,,, n Tehát = = Az egy olyan n x m-es mátrix, aminek oszlopvektorai az,,, koordinátavektorok, azaz a B 1 bázis,,, vektorainak az L( ), L( ),, L( ) képei a B 2 bázisban felírva. T: V 3 V 3, T( = a vektor tükörképe az XY síkra. S = B 1 = B 2 = {,, } L( = =,, L( = =,, L( = - =,, // Tükörképe a Z-tengelyre = = ( x 1, x 2, x 3 ) T ( x 1, x 2, x 3 ) S = Ha L: V W egy bijektív lineáris transzformáció, é =, akkor az mátrix invertálható, és L -1 : W V inverz-transzformáció mátrixos alakja: = Inverz képzése mátrixos alakban: az mátrix inverzét képezni. Így kapjuk az inverz lineáris transzformáció mátrixos alakját. Mátrixos alak felhasználása: Igazolható, hogy a sík (R 2 ) vektorainak origó körüli -szöggel való elforgatása egy lineáris transzformáció (R 2 R 2 ). Ennek mátrixos alakja az S = {, } bázisra nézve: L(x,y) = december /16

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Lineáris Algebra GEMAN 203-B A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. egyetemi jegyzet mobidiák

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

Juhász Tibor. Lineáris algebra

Juhász Tibor. Lineáris algebra Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos

Részletesebben

Vektortér. A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet).

Vektortér. A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet). Vektortér A vektortér (lineáris tér, lineáris vektortér) két, már tanult algebrai struktúrát kapcsol össze. Def.: Legyen V nemüres halmaz, amelyben egy összeadásnak nevezett művelet van definiálva, és

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5 1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

Bevezetés 3. Vizsga tételsor 5. 1 Komplex számok 6. 2 Lineáris algebra 10. 2.2Vektorterek 11

Bevezetés 3. Vizsga tételsor 5. 1 Komplex számok 6. 2 Lineáris algebra 10. 2.2Vektorterek 11 Bevezetés a számításelméletbe 1. A BME I. éves mérnök-informatikus hallgatói számára segédlet a 2007. őszi előadáshoz Összeállította: Fleiner Tamás Utolsó frissítés: 2010. január 13. Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Horváth Árpád 2008. december 16. A segédletek egy része a matek honlapon található: http://www.roik.bmf.hu/matek Kötelező irodalom: Bagyinszki

Részletesebben

A kvantummechanika általános formalizmusa

A kvantummechanika általános formalizmusa A kvantummechanika általános formalizmusa October 4, 2006 Jelen fejezetünk célja bevezetni egy általános matematikai formalizmust amelynek segítségével a végtelen dimenziós vektorterek elegánsan tárgyalhatók.

Részletesebben

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá

Részletesebben

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét!

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! 5. gyakorlat Lineáris leképezések Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! f : IR IR, f(x) 5x Mit rendel hozzá ez a függvény két szám összegéhez? x, x IR, f(x +

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

Matematikai összefoglaló elméleti alapok érettségiz knek. Dézsi Krisztián 2011. május 20.

Matematikai összefoglaló elméleti alapok érettségiz knek. Dézsi Krisztián 2011. május 20. Matematikai összefoglaló elméleti alapok érettségiz knek Dézsi Krisztián 011. május 0. 1 Hatványok alapvet dolgok: log a b = c a a a a... } {{ } c = b ez a hatványozás inverze (FONTOS: a "b" nem lehet

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Ismert fogalmak Témák Vektortér Lineáris kombináció Lineáris függőség, függetlenség Generátorrendszer, bázis, dimenzió Lineáris leképezések Szabadvektorok vektortere

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Teszt kérdések. Az R n vektortér

Teszt kérdések. Az R n vektortér Teszt kérdések Döntse el az alábbi állításokról, hogy igazak agy hamisak! Az R tér geometriája 1. Ha két térbeli egyenesnek nincs közös pontja, akkor párhuzamosak.. Egy térbeli egyenest egyértelműen meghatározza

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

1. Lineáris leképezések

1. Lineáris leképezések Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG MÁTRIX DEFINITSÉGÉNEK FOGALMA ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG ELDÖNTÉSÉRE DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-..1.B-10//KONV-010-0001

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás 12. évfolyam Osztályozó vizsga 2013. augusztus Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás Ismerje a számsorozat

Részletesebben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Szakdolgozat Készítette: Borostyán Dóra Matematika BSc matematikai elemző Témavezető:

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

Color profile: Generic CMYK printer profile Composite 150 lpi at 45 degrees

Color profile: Generic CMYK printer profile Composite 150 lpi at 45 degrees Color profile: Generic CMYK printer profile Composite 150 lpi at 45 degrees Matematikai Lapo / Borító 2013. december 13. 19:28:39 13-1-borito 2014/5/20 11:55 page 0 #1 MATEMATIKAI LAPOK A Bolyai János

Részletesebben

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február Helyi tanterv Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február 1 A TANTERV SZERKEZETE Bevezető Célok és feladatok Fejlesztési célok és kompetenciák Helyes

Részletesebben

1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt?

1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? skombinatorika 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = 3 2 1 = 6. 3 2. Hány különböző négyjegyű számot írhatunk föl 2 db 1-es, 1 db 2-es és 1 db 3-as

Részletesebben

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra) MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,

Részletesebben

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Absztrakt algebra I. Csoportelmélet

Absztrakt algebra I. Csoportelmélet Absztrakt algebra I. Csoportelmélet Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem 2006 Bevezetés Ez az anyag tartalmazza az Algebra és számelmélet című tárgy 4. féléves részének kötelező elméleti

Részletesebben

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában

Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában Nagy V. Gábor SZTE Bolyai Intézet Eötvös Loránd Kollégium, Matematika Műhely Szeged, 2013. október 25. ELK 13 A Gyárfás Lehel-sejtés 1/21 Definíció. A G 1,...,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Differenciál egyenletek

Differenciál egyenletek Galik Zsófia menedzser hallgató Differenciál egyenletek osztályzása Differenciál egyenletek A differenciálegyenletek olyan egyenletek a matematikában (közelebbről a matematikai analízisben), melyekben

Részletesebben

Lineáris algebra bevezető

Lineáris algebra bevezető Lineáris algebra bevezető 1 Egyismeretlenes egyenletek bemelegítés Az ilyen egyenletek rendezés után ax = b alakba írhatók Ha a 0, akkor a(z egyértelmű megoldás x = b/a Ha a = 0, akkor b 0 esetben nincs

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

Gáspár Csaba. Analízis

Gáspár Csaba. Analízis Gáspár Csaba Analízis Készült a HEFOP 3.3.-P.-004-09-00/.0 pályázat támogatásával Szerzők: Lektor: Gáspár Csaba Szili László, egyetemi docens c Gáspár Csaba, 006. Tartalomjegyzék. Bevezetés 5. Alapvető

Részletesebben

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2012 13-as tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a javító

Részletesebben

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve Matematika Készítette: a gimnázium reál szakmai munkaközössége 2015. Tartalom Emelt szintű matematika képzés... 3 Matematika alapóraszámú képzés... 47 Matematika

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

II. Halmazok. Relációk. II.1. Rövid halmazelmélet. A halmaz megadása. { } { } { } { }

II. Halmazok. Relációk. II.1. Rövid halmazelmélet. A halmaz megadása. { } { } { } { } II. Halmazok. Relációk II.1. Rövid halmazelmélet A halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. A halmaz alapfogalom. Ez azt jelenti, hogy csak példákon

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Írta: LEITOLD ADRIEN LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Egyetemi tananyag COPYRIGHT: Dr. Leitold Adrien Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Matematika Tanszék LEKTORÁLTA: Dr. Buzáné

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9.Ny osztály Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Algebra és számelmélet Alapműveletek az egész és törtszámok körében Műveleti sorrend,

Részletesebben

1. Bevezetés. A számítógéptudomány ezt a problémát a feladat elvégzéséhez szükséges erőforrások (idő, tár, program,... ) mennyiségével méri.

1. Bevezetés. A számítógéptudomány ezt a problémát a feladat elvégzéséhez szükséges erőforrások (idő, tár, program,... ) mennyiségével méri. Számításelmélet Dr. Olajos Péter Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematika Tanszék e mail: matolaj@uni-miskolc.hu 2011/12/I. Készült: Péter Gács and László Lovász: Complexity of Algorithms (Lecture Notes,

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2007/2008-as tanév 2. forduló haladók I. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2007/2008-as tanév 2. forduló haladók I. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 007/008-as tanév. forduló haladók I. kategória Megoldások

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak

Részletesebben

Nemetz O.H. Tibor emlékére. 2011 május 9.

Nemetz O.H. Tibor emlékére. 2011 május 9. Adatbiztonság és valószínűségszámítás 1 / 22 Adatbiztonság és valószínűségszámítás Nemetz O.H. Tibor emlékére Csirmaz László Közép Európai Egyetem Rényi Intézet 2011 május 9. Adatbiztonság és valószínűségszámítás

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2006

A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2006 A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2006 Köszönöm Koós Gabriella végzős hallgatónak, hogy felhívta a figyelmemet az anyag előző változatában szereplő néhány

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

Nevezetes függvények

Nevezetes függvények Nevezetes függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal. PhD értekezés

Miskolci Egyetem. Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal. PhD értekezés Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal PhD értekezés Készítette: Lengyelné Szilágyi Szilvia Hatvany

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

Egyetemi matematika az iskolában

Egyetemi matematika az iskolában Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen

Részletesebben

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Mátrixaritmetika. Tartalom: Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám

Részletesebben

Hiányos másodfokú egyenletek. x 8x 0 4. A másodfokú egyenlet megoldóképlete

Hiányos másodfokú egyenletek. x 8x 0 4. A másodfokú egyenlet megoldóképlete Hiányos másodfokú egyenletek Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! 1. = 0 /:. = 8 /:. 8 0 4. 4 4 0 A másodfokú egyenlet megoldóképlete A másodfokú egyenletek általános alakja: a

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

Számhalmazok. n n. a valós számok halmaza, ahol : nem írható fel két egész szám hányadosaként az irracionális számok halmaza.

Számhalmazok. n n. a valós számok halmaza, ahol : nem írható fel két egész szám hányadosaként az irracionális számok halmaza. Matematika Számok, műveletek A természetes számok halmaza: Számhalmazok Ha m és n természetes szám, akkor az m természetes számok halmazán. Példa: 6+x=2. n egyenlet nem feltétlenül oldható meg a Az egész

Részletesebben

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat Bemutatjuk a NAT 01 és a hozzá kapcsolódó új kerettantervek alapján készült MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat 9 10 1 MATEMATIKA A KÖTETEKBEN FELLELHETŐ DIDAKTIKAI ESZKÖZTÁR A SOROZAT KÖTETEI A KÖVETKEZŐ KERETTANTERVEK

Részletesebben

Alkalmazott modul: Programozás

Alkalmazott modul: Programozás Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Alkalmazott modul: Programozás Feladatgyűjtemény Összeállította: Giachetta Roberto groberto@inf.elte.hu http://people.inf.elte.hu/groberto Frissítve: 2015.

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

2. Interpolációs görbetervezés

2. Interpolációs görbetervezés 2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,

Részletesebben

23. Kombinatorika, gráfok

23. Kombinatorika, gráfok I Elméleti összefoglaló Leszámlálási alapfeladatok 23 Kombinatorika, gráfok A kombinatorikai alapfeladatok esetek, lehetőségek összeszámlálásával foglalkoznak Általában n jelöli a rendelkezésre álló különbözőfajta

Részletesebben

Halmazok-előadás vázlat

Halmazok-előadás vázlat Halmazok-előadás vázlat Naiv halmazelmélet:. Mi a halmaz? Mit jelent, hogy valami eleme a halmaznak? Igaz-e, hogy a halmaz elemei valamilyen kapcsolatban állnak egymással? Jelölés: a A azt jelenti, hogy

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

ELEMI VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS és STATISZTIKAI MÓDSZEREK A FIZIKÁBAN

ELEMI VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS és STATISZTIKAI MÓDSZEREK A FIZIKÁBAN ELEMI VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS és STATISZTIKAI MÓDSZEREK A FIZIKÁBAN SINKOVICZ PÉTER (PhD hallgató) MTA WIGNER FIZIKAI KUTATÓKÖZPONT (2013) a TARTALOMJEGYZÉK A VALÓSÁG STATISZTIKAI LEKÉPEZÉSE 1. Alapfogalmak

Részletesebben

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség 5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben