Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában
|
|
- Enikő Dudás
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában Nagy V. Gábor SZTE Bolyai Intézet Eötvös Loránd Kollégium, Matematika Műhely Szeged, október 25.
2 ELK 13 A Gyárfás Lehel-sejtés 1/21 Definíció. A G 1,..., G k gráfok pakolhatók a H gráfba, ha ezen gráfok éldiszjunkt példányai megtalálhatók H-ban részgráfként.
3 ELK 13 A Gyárfás Lehel-sejtés 1/21 Definíció. A G 1,..., G k gráfok pakolhatók a H gráfba, ha ezen gráfok éldiszjunkt példányai megtalálhatók H-ban részgráfként.
4 ELK 13 A Gyárfás Lehel-sejtés 1/21 Definíció. A G 1,..., G k gráfok pakolhatók a H gráfba, ha ezen gráfok éldiszjunkt példányai megtalálhatók H-ban részgráfként.
5 ELK 13 A Gyárfás Lehel-sejtés 1/21 Definíció. A G 1,..., G k gráfok pakolhatók a H gráfba, ha ezen gráfok éldiszjunkt példányai megtalálhatók H-ban részgráfként. Sejtés (Gyárfás Lehel, 1976). Legyen T 1,..., T n 1 fák tetszőleges olyan rendszere, amelyben T i -nek i éle van. Ekkor T 1,..., T n 1 pakolható a K n teljes gráfba.
6 ELK 13 A Gyárfás Lehel-sejtés 1/21 Definíció. A G 1,..., G k gráfok pakolhatók a H gráfba, ha ezen gráfok éldiszjunkt példányai megtalálhatók H-ban részgráfként. Sejtés (Gyárfás Lehel, 1976). Legyen T 1,..., T n 1 fák tetszőleges olyan rendszere, amelyben T i -nek i éle van. Ekkor T 1,..., T n 1 pakolható a K n teljes gráfba. Ez egy nagyon nehéz sejtés.
7 ELK 13 A Gyárfás Lehel-sejtés egy speciális esete 2/21 Tétel (Gyárfás Lehel, 1976). Ha a sejtésben szereplő fák mindegyike út vagy csillag, akkor teljesül az állítás.
8 ELK 13 A Gyárfás Lehel-sejtés egy speciális esete 2/21 Tétel (Gyárfás Lehel, 1976). Ha a sejtésben szereplő fák mindegyike út vagy csillag, akkor teljesül az állítás. Bizonyítás (Zaks Liu, 1977). Dolgozzunk a szomszédsági mátrixszal!
9 ELK 13 A Gyárfás Lehel-sejtés egy speciális esete 2/21 Tétel (Gyárfás Lehel, 1976). Ha a sejtésben szereplő fák mindegyike út vagy csillag, akkor teljesül az állítás. Bizonyítás (Zaks Liu, 1977). Dolgozzunk a szomszédsági mátrixszal! v 1 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 5 v v ) v v v v v 4 v 3 )
10 ELK 13 A Gyárfás Lehel-sejtés egy speciális esete 2/21 Tétel (Gyárfás Lehel, 1976). Ha a sejtésben szereplő fák mindegyike út vagy csillag, akkor teljesül az állítás. Bizonyítás (Zaks Liu, 1977). Dolgozzunk a szomszédsági mátrixszal! v 1 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 5 v v v v v 4 1 v 5 v 4 v 3
11 ELK 13 A Gyárfás Lehel-sejtés egy speciális esete 2/21 Tétel (Gyárfás Lehel, 1976). Ha a sejtésben szereplő fák mindegyike út vagy csillag, akkor teljesül az állítás. Bizonyítás (Zaks Liu, 1977). Dolgozzunk a szomszédsági mátrixszal! v 1 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 5 v v v v v 4 1 v 5 v 4 v 3
12 ELK 13 A Gyárfás Lehel-sejtés egy speciális esete 2/21 Tétel (Gyárfás Lehel, 1976). Ha a sejtésben szereplő fák mindegyike út vagy csillag, akkor teljesül az állítás. Bizonyítás (Zaks Liu, 1977). Dolgozzunk a szomszédsági mátrixszal! v 1 v 2 v 1 v 3 v 4 v 5 v 5 v v 1 2 v 2 v 3 v 4 v 5 v 4 v 3
13 ELK 13 A Gyárfás Lehel-sejtés egy speciális esete 2/21 Tétel (Gyárfás Lehel, 1976). Ha a sejtésben szereplő fák mindegyike út vagy csillag, akkor teljesül az állítás. Bizonyítás (Zaks Liu, 1977). Dolgozzunk a szomszédsági mátrixszal! v 1 v 2 v 1 v 3 v 4 v 5 v 5 v v 1 2 v 2 v 3 v 4 v 3 Olyan út, illetve csillag parkettákat fogunk használni, amelyek könnyen áttekinthetők a szomszédsági mátrixban. v 4 v 5
14 ELK 13 Speciális utak és csillagok 3/21 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 v 3 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 4 v 5 v 6 v 7 v 9 v 4 v 5 v 6 v 7 v 6 v 4 v 7 v 3 v 8 v 2 v 9
15 ELK 13 A bizonyítás 4/21 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 T 9 : csillag T 8 : csillag T 7 : út T 6 : út T 5 : csillag T 4 : út T 3 : út T 2 : csillag T 1 : csillag
16 ELK 13 A bizonyítás 4/21 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 T 9 : csillag T 8 : csillag T 7 : út T 6 : út T 5 : csillag T 4 : út T 3 : út T 2 : csillag T 1 : csillag
17 ELK 13 A bizonyítás 4/21 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 T 9 : csillag T 8 : csillag T 7 : út T 6 : út T 5 : csillag T 4 : út T 3 : út T 2 : csillag T 1 : csillag
18 ELK 13 A bizonyítás 4/21 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 T 9 : csillag T 8 : csillag T 7 : út T 6 : út T 5 : csillag T 4 : út T 3 : út T 2 : csillag T 1 : csillag
19 ELK 13 A bizonyítás 4/21 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 T 9 : csillag T 8 : csillag T 7 : út T 6 : út T 5 : csillag T 4 : út T 3 : út T 2 : csillag T 1 : csillag
20 ELK 13 A bizonyítás 4/21 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 T 9 : csillag T 8 : csillag T 7 : út T 6 : út T 5 : csillag T 4 : út T 3 : út T 2 : csillag T 1 : csillag
21 ELK 13 A bizonyítás 4/21 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 T 9 : csillag T 8 : csillag T 7 : út T 6 : út T 5 : csillag T 4 : út T 3 : út T 2 : csillag T 1 : csillag
22 ELK 13 A bizonyítás 4/21 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 T 9 : csillag T 8 : csillag T 7 : út T 6 : út T 5 : csillag T 4 : út T 3 : út T 2 : csillag T 1 : csillag
23 ELK 13 A bizonyítás 4/21 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 T 9 : csillag T 8 : csillag T 7 : út T 6 : út T 5 : csillag T 4 : út T 3 : út T 2 : csillag T 1 : csillag
24 ELK 13 A bizonyítás 4/21 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 T 9 : csillag T 8 : csillag T 7 : út T 6 : út T 5 : csillag T 4 : út T 3 : út T 2 : csillag T 1 : csillag
25 ELK 13 A bizonyítás 4/21 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 T 9 : csillag T 8 : csillag T 7 : út T 6 : út T 5 : csillag T 4 : út T 3 : út T 2 : csillag T 1 : csillag Páratlan n esetén hasonlóan járhatunk el.
26 ELK 13 Halmazok uniói 5/21 Feladat. A H 1,..., H n+1 halmazok az {1,..., n} alaphalmaz tetszőleges nemüres részhalmazai. Igazoljuk, hogy a halmazrendszerből kiválaszthatók olyan H i1,..., H ir ; H j1,..., H js különböző halmazok (r, s 1), melyekre H i1 H ir = H j1 H js.
27 ELK 13 Halmazok uniói 5/21 Feladat. A H 1,..., H n+1 halmazok az {1,..., n} alaphalmaz tetszőleges nemüres részhalmazai. Igazoljuk, hogy a halmazrendszerből kiválaszthatók olyan H i1,..., H ir ; H j1,..., H js különböző halmazok (r, s 1), melyekre H i1 H ir = H j1 H js. Megoldás. Tekintsük a halmazok karakterisztikus vektorait: H i = {2, 3, 6} v i = (0, 1, 1, 0, 0, 1) (itt n = 6)
28 ELK 13 Halmazok uniói 5/21 Feladat. A H 1,..., H n+1 halmazok az {1,..., n} alaphalmaz tetszőleges nemüres részhalmazai. Igazoljuk, hogy a halmazrendszerből kiválaszthatók olyan H i1,..., H ir ; H j1,..., H js különböző halmazok (r, s 1), melyekre H i1 H ir = H j1 H js. Megoldás. Tekintsük a halmazok karakterisztikus vektorait: H i = {2, 3, 6} v i = (0, 1, 1, 0, 0, 1) (itt n = 6) A v 1,..., v n+1 vektorok lineárisan függők az R n vektortérben, azaz a nullvektor nemtriviális módon kikombinálható belőlük: α 1 v α n+1 v n+1 = 0
29 ELK 13 Halmazok uniói 5/21 Feladat. A H 1,..., H n+1 halmazok az {1,..., n} alaphalmaz tetszőleges nemüres részhalmazai. Igazoljuk, hogy a halmazrendszerből kiválaszthatók olyan H i1,..., H ir ; H j1,..., H js különböző halmazok (r, s 1), melyekre H i1 H ir = H j1 H js. Megoldás. Tekintsük a halmazok karakterisztikus vektorait: H i = {2, 3, 6} v i = (0, 1, 1, 0, 0, 1) (itt n = 6) A v 1,..., v n+1 vektorok lineárisan függők az R n vektortérben, azaz a nullvektor nemtriviális módon kikombinálható belőlük: α 1 v α n+1 v n+1 = 0 Vigyük át a negatív együtthatójú tagokat a jobb oldalra: β 1 v i1 + + β r v ir = γ 1 v j1 + + γ s v js (β, γ > 0)
30 ELK 13 Halmazok uniói 5/21 Feladat. A H 1,..., H n+1 halmazok az {1,..., n} alaphalmaz tetszőleges nemüres részhalmazai. Igazoljuk, hogy a halmazrendszerből kiválaszthatók olyan H i1,..., H ir ; H j1,..., H js különböző halmazok (r, s 1), melyekre H i1 H ir = H j1 H js. Megoldás. Tekintsük a halmazok karakterisztikus vektorait: H i = {2, 3, 6} v i = (0, 1, 1, 0, 0, 1) (itt n = 6) A v 1,..., v n+1 vektorok lineárisan függők az R n vektortérben, azaz a nullvektor nemtriviális módon kikombinálható belőlük: α 1 v α n+1 v n+1 = 0 Vigyük át a negatív együtthatójú tagokat a jobb oldalra: β 1 v i1 + + β r v ir = γ 1 v j1 + + γ s v js (β, γ > 0) A bal oldalon szereplő vektor pozitív komponensei által kijelölt halmaz H i1 H ir, a jobb oldalon pedig H j1 H js.
31 ELK 13 Odd/even town 6/21 Tétel (Berlekamp, 1969) Az {1,..., n} alaphalmaz m darab különböző részhalmazára teljesülnek a következők: mindegyik halmaz páratlan elemszámú; bármely két különböző halmaz metszete páros elemszámú. Ekkor m n.
32 ELK 13 Odd/even town 6/21 Tétel (Berlekamp, 1969) Az {1,..., n} alaphalmaz m darab különböző részhalmazára teljesülnek a következők: mindegyik halmaz páratlan elemszámú; bármely két különböző halmaz metszete páros elemszámú. Ekkor m n. Megjegyzés I. Az egyelemű halmazok mutatják, hogy a felső korlát elérhető. Megjegyzés II. A páros elemszám / páros metszet probléma esetén a halmazok száma akár 2 n/2 is lehet. (Ennél több nem.) Megjegyzés III. A páros elemszám / páratlan metszet probléma esetén is n a felső korlát.
33 ELK 13 Odd/even town 6/21 Tétel (Berlekamp, 1969) Az {1,..., n} alaphalmaz m darab különböző részhalmazára teljesülnek a következők: mindegyik halmaz páratlan elemszámú; bármely két különböző halmaz metszete páros elemszámú. Ekkor m n. Bizonyítás. A tételben szereplő H 1,..., H m halmazokat ismét a karakterisztikus vektoraikkal reprezentáljuk: v 1,..., v m.
34 ELK 13 Odd/even town 6/21 Tétel (Berlekamp, 1969) Az {1,..., n} alaphalmaz m darab különböző részhalmazára teljesülnek a következők: mindegyik halmaz páratlan elemszámú; bármely két különböző halmaz metszete páros elemszámú. Ekkor m n. Bizonyítás. A tételben szereplő H 1,..., H m halmazokat ismét a karakterisztikus vektoraikkal reprezentáljuk: v 1,..., v m. A metszetek elemszámai kifejezhetők skaláris szorzatként: n H i H j = v i, v j, ahol x, y = xy T = x k y k. k=1
35 ELK 13 Odd/even town 6/21 Tétel (Berlekamp, 1969) Az {1,..., n} alaphalmaz m darab különböző részhalmazára teljesülnek a következők: mindegyik halmaz páratlan elemszámú; bármely két különböző halmaz metszete páros elemszámú. Ekkor m n. Bizonyítás. A tételben szereplő H 1,..., H m halmazokat ismét a karakterisztikus vektoraikkal reprezentáljuk: v 1,..., v m. A metszetek elemszámai kifejezhetők skaláris szorzatként: n H i H j = v i, v j, ahol x, y = xy T = x k y k. k=1 Eszerint feltételeink a következő alakban is megfogalmazhatók: v i, v i páratlan (minden i-re), v i, v j páros (minden i j-re).
36 ELK 13 Odd/even town 6/21 v i, v i páratlan (minden i-re), v i, v j páros (minden i j-re).
37 ELK 13 Odd/even town 6/21 v i, v i páratlan (minden i-re), v i, v j páros (minden i j-re). Dolgozzunk a Z 2 kételemű test felett! Ekkor v i, v i = 1 (minden i-re), v i, v j = 0 (minden i j-re).
38 ELK 13 Odd/even town 6/21 v i, v i páratlan (minden i-re), v i, v j páros (minden i j-re). Dolgozzunk a Z 2 kételemű test felett! Ekkor v i, v i = 1 (minden i-re), v i, v j = 0 (minden i j-re). A {v 1,..., v m } tehát egy ortonormált rendszerre emlékeztet bennünket, és a standard bizonyítással következik ezen vektorok lineáris függetlensége a Z n 2 vektortérben is:
39 ELK 13 Odd/even town 6/21 v i, v i páratlan (minden i-re), v i, v j páros (minden i j-re). Dolgozzunk a Z 2 kételemű test felett! Ekkor v i, v i = 1 (minden i-re), v i, v j = 0 (minden i j-re). A {v 1,..., v m } tehát egy ortonormált rendszerre emlékeztet bennünket, és a standard bizonyítással következik ezen vektorok lineáris függetlensége a Z n 2 vektortérben is: α 1 v α m v m = 0
40 ELK 13 Odd/even town 6/21 v i, v i páratlan (minden i-re), v i, v j páros (minden i j-re). Dolgozzunk a Z 2 kételemű test felett! Ekkor v i, v i = 1 (minden i-re), v i, v j = 0 (minden i j-re). A {v 1,..., v m } tehát egy ortonormált rendszerre emlékeztet bennünket, és a standard bizonyítással következik ezen vektorok lineáris függetlensége a Z n 2 vektortérben is: α 1 v α m v m = 0 α j = m α i v i, v j = α 1 v α m v m, v j = 0, v j = 0 i=1 teljesül minden α j együtthatóra. Tehát valóban m n.
41 ELK 13 Gyepesedés 7/21 Feladat. Egy négyzet alakú földterület n n kisebb négyzetre van felosztva. Ha egy négyzetnek legalább két oldalszomszédja füves, akkor ez a terület is befüvesedik (de csak ekkor). Mutassuk meg, hogy ahhoz, hogy az egész terület befüvesedjen, kezdetben legalább n négyzetnek füvesnek kell lennie!
42 ELK 13 Gyepesedés 7/21 Feladat. Egy négyzet alakú földterület n n kisebb négyzetre van felosztva. Ha egy négyzetnek legalább két oldalszomszédja füves, akkor ez a terület is befüvesedik (de csak ekkor). Mutassuk meg, hogy ahhoz, hogy az egész terület befüvesedjen, kezdetben legalább n négyzetnek füvesnek kell lennie!
43 ELK 13 Gyepesedés 7/21 Feladat. Egy négyzet alakú földterület n n kisebb négyzetre van felosztva. Ha egy négyzetnek legalább két oldalszomszédja füves, akkor ez a terület is befüvesedik (de csak ekkor). Mutassuk meg, hogy ahhoz, hogy az egész terület befüvesedjen, kezdetben legalább n négyzetnek füvesnek kell lennie!
44 ELK 13 Gyepesedés 7/21 Feladat. Egy négyzet alakú földterület n n kisebb négyzetre van felosztva. Ha egy négyzetnek legalább két oldalszomszédja füves, akkor ez a terület is befüvesedik (de csak ekkor). Mutassuk meg, hogy ahhoz, hogy az egész terület befüvesedjen, kezdetben legalább n négyzetnek füvesnek kell lennie!
45 ELK 13 Gyepesedés 7/21 Feladat. Egy négyzet alakú földterület n n kisebb négyzetre van felosztva. Ha egy négyzetnek legalább két oldalszomszédja füves, akkor ez a terület is befüvesedik (de csak ekkor). Mutassuk meg, hogy ahhoz, hogy az egész terület befüvesedjen, kezdetben legalább n négyzetnek füvesnek kell lennie!
46 ELK 13 Gyepesedés 7/21 Feladat. Egy négyzet alakú földterület n n kisebb négyzetre van felosztva. Ha egy négyzetnek legalább két oldalszomszédja füves, akkor ez a terület is befüvesedik (de csak ekkor). Mutassuk meg, hogy ahhoz, hogy az egész terület befüvesedjen, kezdetben legalább n négyzetnek füvesnek kell lennie! Megjegyzés. n kezdeti füves négyzettel (pl. az egyik átló mezőit választva) megoldható a füvesítés.
47 ELK 13 Gyepesedés a Marson 8/21 Feladat. Egy négyzet alakú földterület n n kisebb négyzetre van felosztva. Ha egy négyzet egy olyan rácstéglalap csúcsa, melynek másik három csúcsa már füves, akkor ő is befüvesedik. Mutassuk meg, hogy ahhoz, hogy az egész terület befüvesedjen, kezdetben legalább 2n 1 négyzetnek füvesnek kell lennie!
48 ELK 13 Gyepesedés a Marson 8/21 Feladat. Egy négyzet alakú földterület n n kisebb négyzetre van felosztva. Ha egy négyzet egy olyan rácstéglalap csúcsa, melynek másik három csúcsa már füves, akkor ő is befüvesedik. Mutassuk meg, hogy ahhoz, hogy az egész terület befüvesedjen, kezdetben legalább 2n 1 négyzetnek füvesnek kell lennie!
49 ELK 13 Gyepesedés a Marson 8/21 Feladat. Egy négyzet alakú földterület n n kisebb négyzetre van felosztva. Ha egy négyzet egy olyan rácstéglalap csúcsa, melynek másik három csúcsa már füves, akkor ő is befüvesedik. Mutassuk meg, hogy ahhoz, hogy az egész terület befüvesedjen, kezdetben legalább 2n 1 négyzetnek füvesnek kell lennie!
50 ELK 13 Gyepesedés a Marson 8/21 Feladat. Egy négyzet alakú földterület n n kisebb négyzetre van felosztva. Ha egy négyzet egy olyan rácstéglalap csúcsa, melynek másik három csúcsa már füves, akkor ő is befüvesedik. Mutassuk meg, hogy ahhoz, hogy az egész terület befüvesedjen, kezdetben legalább 2n 1 négyzetnek füvesnek kell lennie!
51 ELK 13 Gyepesedés a Marson 8/21 Feladat. Egy négyzet alakú földterület n n kisebb négyzetre van felosztva. Ha egy négyzet egy olyan rácstéglalap csúcsa, melynek másik három csúcsa már füves, akkor ő is befüvesedik. Mutassuk meg, hogy ahhoz, hogy az egész terület befüvesedjen, kezdetben legalább 2n 1 négyzetnek füvesnek kell lennie!
52 ELK 13 Gyepesedés a Marson 8/21 Feladat. Egy négyzet alakú földterület n n kisebb négyzetre van felosztva. Ha egy négyzet egy olyan rácstéglalap csúcsa, melynek másik három csúcsa már füves, akkor ő is befüvesedik. Mutassuk meg, hogy ahhoz, hogy az egész terület befüvesedjen, kezdetben legalább 2n 1 négyzetnek füvesnek kell lennie! Megjegyzés. 2n 1 kezdeti füves négyzettel (ld. ábra) megoldható a füvesítés.
53 ELK 13 Gyepesedés a Marson 9/21 Bizonyítás (Balogh Bollobás Morris Riordan, 2012). Tekintsünk egy tetszőleges (2n 1)-dimenziós valós V vektorteret, és abban egy {e, x 2,..., x n, y 2,..., y n } bázist. Az N négyzethez rendeljük hozzá a v N := x i + y j V elemet, ahol (i, j) a négyzet sor-oszlop pozíciója, és élünk az x 1 = y 1 = e jelöléssel.
54 ELK 13 Gyepesedés a Marson 9/21 Bizonyítás (Balogh Bollobás Morris Riordan, 2012). Tekintsünk egy tetszőleges (2n 1)-dimenziós valós V vektorteret, és abban egy {e, x 2,..., x n, y 2,..., y n } bázist. Az N négyzethez rendeljük hozzá a v N := x i + y j V elemet, ahol (i, j) a négyzet sor-oszlop pozíciója, és élünk az x 1 = y 1 = e jelöléssel. Kulcsészrevétel. A füves négyzetekhez rendelt V -beli elemek által generált U altér invariáns a gyepesedési folyamat során.
55 ELK 13 Gyepesedés a Marson 9/21 Bizonyítás (Balogh Bollobás Morris Riordan, 2012). Tekintsünk egy tetszőleges (2n 1)-dimenziós valós V vektorteret, és abban egy {e, x 2,..., x n, y 2,..., y n } bázist. Az N négyzethez rendeljük hozzá a v N := x i + y j V elemet, ahol (i, j) a négyzet sor-oszlop pozíciója, és élünk az x 1 = y 1 = e jelöléssel. Kulcsészrevétel. A füves négyzetekhez rendelt V -beli elemek által generált U altér invariáns a gyepesedési folyamat során. Oka. Csak azt kell megmutatni, hogy U nem bővülhet. Nézzünk meg egy gyepesedési lépést. Tegyük fel, hogy az ABCD téglalap A csúcsa füvesedik be (és B, C, D már füvesek).
56 ELK 13 Gyepesedés a Marson 9/21 Bizonyítás (Balogh Bollobás Morris Riordan, 2012). Tekintsünk egy tetszőleges (2n 1)-dimenziós valós V vektorteret, és abban egy {e, x 2,..., x n, y 2,..., y n } bázist. Az N négyzethez rendeljük hozzá a v N := x i + y j V elemet, ahol (i, j) a négyzet sor-oszlop pozíciója, és élünk az x 1 = y 1 = e jelöléssel. Kulcsészrevétel. A füves négyzetekhez rendelt V -beli elemek által generált U altér invariáns a gyepesedési folyamat során. Oka. Csak azt kell megmutatni, hogy U nem bővülhet. Nézzünk meg egy gyepesedési lépést. Tegyük fel, hogy az ABCD téglalap A csúcsa füvesedik be (és B, C, D már füvesek). Mivel v A = v B + v D v C, ezért az új altér generátorelemei közé olyan elemet választunk be, amely előáll U-ban lévő elemek lineáris kombinációjaként. Tehát az altér valóban nem bővül.
57 ELK 13 Gyepesedés a Marson 9/21 Tekintsünk egy tetszőleges (2n 1)-dimenziós valós V vektorteret, és abban egy {e, x 2,..., x n, y 2,..., y n } bázist. Az N négyzethez rendeljük hozzá a v N := x i + y j V elemet, ahol (i, j) a négyzet sor-oszlop pozíciója, és élünk az x 1 = y 1 = e jelöléssel. Kulcsészrevétel. A füves négyzetekhez rendelt V -beli elemek által generált U altér invariáns a gyepesedési folyamat során. Oka. Csak azt kell megmutatni, hogy U nem bővülhet. Nézzünk meg egy gyepesedési lépést. Tegyük fel, hogy az ABCD téglalap A csúcsa füvesedik be (és B, C, D már füvesek). Mivel v A = v B + v D v C, ezért az új altér generátorelemei közé olyan elemet választunk be, amely előáll U-ban lévő elemek lineáris kombinációjaként. Tehát az altér valóban nem bővül. QED. 2n 1-nél kevesebb füves négyzet V -nél szűkebb U-t generál, tehát nem érhető a cél, ui. ahhoz U = V tartozik. (Miért?)
58 ELK 13 Gráfok felbontása 10/21 Definíció. A H gráf felbontható a G 1,..., G k gráfokra, ha H élhalmaza előáll a G i gráfok élhalmazainak diszjunkt uniójaként. Megjegyzés. A gráffelbontás tulajdonképpen egy minden élt felhasználó pakolás.
59 ELK 13 Gráfok felbontása 10/21 Definíció. A H gráf felbontható a G 1,..., G k gráfokra, ha H élhalmaza előáll a G i gráfok élhalmazainak diszjunkt uniójaként. Megjegyzés. A gráffelbontás tulajdonképpen egy minden élt felhasználó pakolás. Probléma. Szeretnénk a teljes gráfot minél kevesebb teljes páros gráfra felbontani.
60 ELK 13 Teljes gráfok felbontása teljes páros gráfokra 11/21 Tétel (Graham Pollak, 1971). Az n pontú teljes gráf nem bontható fel (n 1)-nél kevesebb teljes páros gráfra. Megjegyzés. K n mindig felbontható n 1 csillagra.
61 ELK 13 Teljes gráfok felbontása teljes páros gráfokra 12/21 Tétel (Graham Pollak, 1971). Az n pontú teljes gráf nem bontható fel (n 1)-nél kevesebb teljes páros gráfra. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy felbontottuk K n -et a G 1,..., G m teljes páros gráfokra. Ismét dolgozzunk szomszédsági mátrixokkal: K n A G i B i. A felbontás a mátrixok nyelvén azt jelenti, hogy A = B B m.
62 ELK 13 Teljes gráfok felbontása teljes páros gráfokra 12/21 Tétel (Graham Pollak, 1971). Az n pontú teljes gráf nem bontható fel (n 1)-nél kevesebb teljes páros gráfra. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy felbontottuk K n -et a G 1,..., G m teljes páros gráfokra. Ismét dolgozzunk szomszédsági mátrixokkal: K n A G i B i. A felbontás a mátrixok nyelvén azt jelenti, hogy ) ) ) A = B B m ) = ) ) ) )
63 ELK 13 Teljes gráfok felbontása teljes páros gráfokra 12/21 Tétel (Graham Pollak, 1971). Az n pontú teljes gráf nem bontható fel (n 1)-nél kevesebb teljes páros gráfra. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy felbontottuk K n -et a G 1,..., G m teljes páros gráfokra. Ismét dolgozzunk szomszédsági mátrixokkal: K n A G i B i. A felbontás a mátrixok nyelvén azt jelenti, hogy A = B B m. A = J I, ahol J az n n-es csupa-1 mátrix, I az egységmátrix. Nem nehéz látni, hogy a B i mátrixok pedig előállnak C i + C T i alakban, ahol mindegyik C i mátrix a nullmátrixból kapható egy almátrixának összes elemét 1-esre változtatva.
64 ELK 13 Teljes gráfok felbontása teljes páros gráfokra 12/21 Tétel (Graham Pollak, 1971). Az n pontú teljes gráf nem bontható fel (n 1)-nél kevesebb teljes páros gráfra. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy felbontottuk K n -et a G 1,..., G m teljes páros gráfokra. Ismét dolgozzunk szomszédsági mátrixokkal: K n A G i B i. A felbontás a mátrixok nyelvén azt jelenti, hogy A = B B m. A = J I, ahol J az n n-es csupa-1 mátrix, I az egységmátrix. Nem nehéz látni, hogy a B i mátrixok pedig előállnak C i + C T i alakban, ahol mindegyik C i mátrix a nullmátrixból kapható egy almátrixának összes elemét 1-esre változtatva. Kaptuk, hogy J I = (C 1 + C T 1 ) + + (C m + C T m) = S + S T, ahol S := C C m.
65 ELK 13 Teljes gráfok felbontása teljes páros gráfokra 13/21 (1) J I = S + S T (2) S = C C m, ahol rk(c i ) = 1.
66 ELK 13 Teljes gráfok felbontása teljes páros gráfokra 13/21 (1) (2) Ebből (2) alapján J I = S + S T S = C C m, ahol rk(c i ) = 1. rk(s) = rk(c C m ) rk(c 1 ) + + rk(c m ) = m. Megmutatjuk, hogy (1)-ből pedig rk(s) n 1 következik, ami a bizonyítandót adja.
67 ELK 13 Teljes gráfok felbontása teljes páros gráfokra 13/21 (1) (2) Ebből (2) alapján J I = S + S T S = C C m, ahol rk(c i ) = 1. rk(s) = rk(c C m ) rk(c 1 ) + + rk(c m ) = m. Megmutatjuk, hogy (1)-ből pedig rk(s) n 1 következik, ami a bizonyítandót adja. Indirekt tfh. rk(s) n 2. Ekkor az { Sx = 0 Jx = 0 egyenletrendszernek létezik egy nemtriviális x = (x 1,..., x n ) T megoldása.
68 ELK 13 Teljes gráfok felbontása teljes páros gráfokra 13/21 (1) (2) Ebből (2) alapján J I = S + S T S = C C m, ahol rk(c i ) = 1. rk(s) = rk(c C m ) rk(c 1 ) + + rk(c m ) = m. Megmutatjuk, hogy (1)-ből pedig rk(s) n 1 következik, ami a bizonyítandót adja. Indirekt tfh. rk(s) n 2. Ekkor az { Sx = 0 Jx = 0 egyenletrendszernek létezik egy nemtriviális x = (x 1,..., x n ) T megoldása. Erre az x-re (1) szerint fennáll, hogy x = Jx Ix = Sx + S T x = S T x x 2 = x T x = x T S T x = (Sx) T x = 0 T x = 0, ami ellentmondás (hiszen x nemtriviális).
69 ELK 13 Még egy gráffelbontási/pakolási példa 14/21 Tétel. K 10 nem bontható fel három Petersen-gráfra.
70 ELK 13 Még egy gráffelbontási/pakolási példa 14/21 Tétel. K 10 nem bontható fel három Petersen-gráfra. Bizonyítás. Indirekt tfh. létezik ilyen felbontás, és legyenek a bepakolt Petersen-gráfok szomszédsági mátrixai A, B és C, azaz J I = A + B + C.
71 ELK 13 Még egy gráffelbontási/pakolási példa 14/21 Tétel. K 10 nem bontható fel három Petersen-gráfra. Bizonyítás. Indirekt tfh. létezik ilyen felbontás, és legyenek a bepakolt Petersen-gráfok szomszédsági mátrixai A, B és C, azaz J I = A + B + C. A Petersen-gráf szomszédsági mátrixának sajátértékei (akárhogy is pakoljuk be): 3, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2.
72 ELK 13 Még egy gráffelbontási/pakolási példa 14/21 Tétel. K 10 nem bontható fel három Petersen-gráfra. Bizonyítás. Indirekt tfh. létezik ilyen felbontás, és legyenek a bepakolt Petersen-gráfok szomszédsági mátrixai A, B és C, azaz J I = A + B + C. A Petersen-gráf szomszédsági mátrixának sajátértékei (akárhogy is pakoljuk be): 3, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2. Spektráltétel. Bármely R n n -beli szimmetrikus M mátrixhoz létezik olyan Q ortogonális mátrix, amelyre Q 1 MQ diagonális. Tehát M sajátértékei valósak, és létezik olyan ortonormált bázis R n -ben, amelynek bázisvektorai sajátvektorai M-nek. Továbbá M sajátalterei merőlegesek egymásra, és dimenziójuk a hozzájuk tartozó sajátérték multiplicitásával egyezik meg. Megjegyzés. A Petersen-gráf 3-regularitása miatt a λ = 3 sajátértékhez tartozó sajátaltér mindig [(1,..., 1)].
73 ELK 13 Még egy gráffelbontási/pakolási példa 15/21 J I = A + B + C A, B, C sajátértékei: 3, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2 mindhárom mátrixnak sajátaltere az U := [(1,..., 1)] altér.
74 ELK 13 Még egy gráffelbontási/pakolási példa 15/21 J I = A + B + C A, B, C sajátértékei: 3, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2 mindhárom mátrixnak sajátaltere az U := [(1,..., 1)] altér. Tekintsük az A, B mátrixok λ = 1 sajátértékhez tartozó sajátaltereit, V A -t és V B -t. Ez két 5-dimenziós altér az U 9-dimenziós altérben (V A, V B U), tehát metszetük nemtriviális.
75 ELK 13 Még egy gráffelbontási/pakolási példa 15/21 J I = A + B + C A, B, C sajátértékei: 3, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2 mindhárom mátrixnak sajátaltere az U := [(1,..., 1)] altér. Tekintsük az A, B mátrixok λ = 1 sajátértékhez tartozó sajátaltereit, V A -t és V B -t. Ez két 5-dimenziós altér az U 9-dimenziós altérben (V A, V B U), tehát metszetük nemtriviális. Válasszunk egy v nem-nullvektort a metszetből, azaz olyan vektort, melyre Av = Bv = v. (v-re oszlopvektorként tekintünk.) Mivel v merőleges (1,..., 1)-re, ezért Jv = 0 is teljesül.
76 ELK 13 Még egy gráffelbontási/pakolási példa 15/21 J I = A + B + C A, B, C sajátértékei: 3, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2 mindhárom mátrixnak sajátaltere az U := [(1,..., 1)] altér. Tekintsük az A, B mátrixok λ = 1 sajátértékhez tartozó sajátaltereit, V A -t és V B -t. Ez két 5-dimenziós altér az U 9-dimenziós altérben (V A, V B U), tehát metszetük nemtriviális. Válasszunk egy v nem-nullvektort a metszetből, azaz olyan vektort, melyre Av = Bv = v. (v-re oszlopvektorként tekintünk.) Mivel v merőleges (1,..., 1)-re, ezért Jv = 0 is teljesül. Ezekből Cv = (J I A B)v = 0 v v v = 3v következik, ami ellentmondás, mert C-nek nem sajátértéke a 3.
77 ELK 13 A Petersen-gráf sajátértékei 16/21 A Petersen-gráf sajátértékei: 3, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, A Petersen-gráf 3-reguláris = a 3 sajátérték (az 1 s.v.).
78 ELK 13 A Petersen-gráf sajátértékei 16/21 A Petersen-gráf sajátértékei: 3, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, A Petersen-gráf 3-reguláris = a 3 sajátérték (az 1 s.v.). 2. A Petersen-gráf összefüggő = a 3 egyszeres sajátérték.
79 ELK 13 A Petersen-gráf sajátértékei 16/21 A Petersen-gráf sajátértékei: 3, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, A Petersen-gráf 3-reguláris = a 3 sajátérték (az 1 s.v.). 2. A Petersen-gráf összefüggő = a 3 egyszeres sajátérték. 3. Egy λ 3 sajátértékhez tartozó v sajátvektor merőleges 1-re.
80 ELK 13 A Petersen-gráf sajátértékei 16/21 A Petersen-gráf sajátértékei: 3, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, A Petersen-gráf 3-reguláris = a 3 sajátérték (az 1 s.v.). 2. A Petersen-gráf összefüggő = a 3 egyszeres sajátérték. 3. Egy λ 3 sajátértékhez tartozó v sajátvektor merőleges 1-re. 4. A Petersen-gráfban bármely két összekötött pontnak nincs közös szomszédja, és bármely két nem összekötött pontnak pontosan egy közös szomszédja van, emiatt A 2 + A 2I = J.
81 ELK 13 A Petersen-gráf sajátértékei 16/21 A Petersen-gráf sajátértékei: 3, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, A Petersen-gráf 3-reguláris = a 3 sajátérték (az 1 s.v.). 2. A Petersen-gráf összefüggő = a 3 egyszeres sajátérték. 3. Egy λ 3 sajátértékhez tartozó v sajátvektor merőleges 1-re. 4. A Petersen-gráfban bármely két összekötött pontnak nincs közös szomszédja, és bármely két nem összekötött pontnak pontosan egy közös szomszédja van, emiatt A 2 + A 2I = J. 5. Egy λ 3 sajátértékhez tartozó v sajátvektorra (λ 2 + λ 2)v = (A 2 + A 2I)v = Jv = 0. Tehát minden 3-tól különböző sajátérték gyöke az x 2 + x 2 polinomnak, azaz 2 vagy 1.
82 ELK 13 A Petersen-gráf sajátértékei 16/21 A Petersen-gráf sajátértékei: 3, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, A Petersen-gráf 3-reguláris = a 3 sajátérték (az 1 s.v.). 2. A Petersen-gráf összefüggő = a 3 egyszeres sajátérték. 3. Egy λ 3 sajátértékhez tartozó v sajátvektor merőleges 1-re. 4. A Petersen-gráfban bármely két összekötött pontnak nincs közös szomszédja, és bármely két nem összekötött pontnak pontosan egy közös szomszédja van, emiatt A 2 + A 2I = J. 5. Egy λ 3 sajátértékhez tartozó v sajátvektorra (λ 2 + λ 2)v = (A 2 + A 2I)v = Jv = 0. Tehát minden 3-tól különböző sajátérték gyöke az x 2 + x 2 polinomnak, azaz 2 vagy A sajátértékek összege a mátrix nyoma, vagyis esetünkben 0. Ebből kitalálhatók a multiplicitások.
83 ELK 13 Gráfok sajátértékeinek további alkalmazásai I. 17/21 Barátság-tétel (Erdős Rényi T. Sós, 1966). Ha egy G egyszerű gráfban bármely két pontnak pontosan egy közös szomszédja van, akkor van olyan csúcs, mely az összes többi csúccsal össze van kötve. Sőt, G csak egy szélmalom-gráf lehet.
84 ELK 13 Gráfok sajátértékeinek további alkalmazásai II. 18/21 Észrevétel. Ha egy d-reguláris gráfban nincs 5-nél rövidebb kör, akkor a gráfnak legalább 1 + d + d(d 1) = d csúcsa van.
85 ELK 13 Gráfok sajátértékeinek további alkalmazásai II. 18/21 Észrevétel. Ha egy d-reguláris gráfban nincs 5-nél rövidebb kör, akkor a gráfnak legalább 1 + d + d(d 1) = d csúcsa van. Hoffman Singleton-tétel (1960). Beauty is rare. Ha egy d-reguláris gráfban nincs 5-nél rövidebb kör, és a gráfnak d csúcsa van, akkor d {2, 3, 7, 57} lehet csak.
86 ELK 13 Gráfok sajátértékeinek további alkalmazásai II. 18/21 Észrevétel. Ha egy d-reguláris gráfban nincs 5-nél rövidebb kör, akkor a gráfnak legalább 1 + d + d(d 1) = d csúcsa van. Hoffman Singleton-tétel (1960). Beauty is rare. Ha egy d-reguláris gráfban nincs 5-nél rövidebb kör, és a gráfnak d csúcsa van, akkor d {2, 3, 7, 57} lehet csak. d = 2 C 5 d = 3 Petersen-gráf
87 ELK 13 Gráfok sajátértékeinek további alkalmazásai II. 18/21 Hoffman Singleton-tétel (1960). Beauty is rare. Ha egy d-reguláris gráfban nincs 5-nél rövidebb kör, és a gráfnak d csúcsa van, akkor d {2, 3, 7, 57} lehet csak. d = 7 Hoffman Singleton-gráf
88 ELK 13 Gráfok sajátértékeinek további alkalmazásai II. 18/21 Hoffman Singleton-tétel (1960). Beauty is rare. Ha egy d-reguláris gráfban nincs 5-nél rövidebb kör, és a gráfnak d csúcsa van, akkor d {2, 3, 7, 57} lehet csak. d = 7 Hoffman Singleton-gráf d = 57
89 ELK 13 Egy kombinatorikus geometriai példa 19/21 Fisher-egyenlőtlenség. Ha az {1,..., n} alaphalmaz m darab különböző részhalmazára teljesül, hogy bármely kettő metszetének elemszáma ugyanaz a µ 0 szám, akkor m n.
90 ELK 13 Egy kombinatorikus geometriai példa 19/21 Fisher-egyenlőtlenség. Ha az {1,..., n} alaphalmaz m darab különböző részhalmazára teljesül, hogy bármely kettő metszetének elemszáma ugyanaz a µ 0 szám, akkor m n. Megjegyzés. A Fisher-egyenlőtlenségre adott Bose-féle bizonyítás (1948) indította el a lineáris algebrai módszerek használatát a halmazrendszerek vizsgálatában.
91 ELK 13 Egy kombinatorikus geometriai példa 19/21 Fisher-egyenlőtlenség. Ha az {1,..., n} alaphalmaz m darab különböző részhalmazára teljesül, hogy bármely kettő metszetének elemszáma ugyanaz a µ 0 szám, akkor m n. Következmény. A sík m nem kollineáris pontja legalább m egyenest határoz meg.
92 ELK 13 Egy kombinatorikus geometriai példa 19/21 Fisher-egyenlőtlenség. Ha az {1,..., n} alaphalmaz m darab különböző részhalmazára teljesül, hogy bármely kettő metszetének elemszáma ugyanaz a µ 0 szám, akkor m n. Következmény. A sík m nem kollineáris pontja legalább m egyenest határoz meg. Bizonyítás. Legyen P 1,..., P m egy nem kollineáris ponthalmaz, és legyenek e 1,..., e n az általuk meghatározott egyenesek. Minden P i ponthoz hozzárendelünk egy H i {1,..., n} halmazt, amely a ponton átmenő e egyenesek indexeit tartalmazza.
93 ELK 13 Egy kombinatorikus geometriai példa 19/21 Fisher-egyenlőtlenség. Ha az {1,..., n} alaphalmaz m darab különböző részhalmazára teljesül, hogy bármely kettő metszetének elemszáma ugyanaz a µ 0 szám, akkor m n. Következmény. A sík m nem kollineáris pontja legalább m egyenest határoz meg. Bizonyítás. Legyen P 1,..., P m egy nem kollineáris ponthalmaz, és legyenek e 1,..., e n az általuk meghatározott egyenesek. Minden P i ponthoz hozzárendelünk egy H i {1,..., n} halmazt, amely a ponton átmenő e egyenesek indexeit tartalmazza. 1. Különböző pontokhoz különböző halmazokat rendelünk. (Mivel nem kollineárisak a pontok.)
94 ELK 13 Egy kombinatorikus geometriai példa 19/21 Fisher-egyenlőtlenség. Ha az {1,..., n} alaphalmaz m darab különböző részhalmazára teljesül, hogy bármely kettő metszetének elemszáma ugyanaz a µ 0 szám, akkor m n. Következmény. A sík m nem kollineáris pontja legalább m egyenest határoz meg. Bizonyítás. Legyen P 1,..., P m egy nem kollineáris ponthalmaz, és legyenek e 1,..., e n az általuk meghatározott egyenesek. Minden P i ponthoz hozzárendelünk egy H i {1,..., n} halmazt, amely a ponton átmenő e egyenesek indexeit tartalmazza. 1. Különböző pontokhoz különböző halmazokat rendelünk. (Mivel nem kollineárisak a pontok.) 2. H i H j = 1 tetszőleges i j esetén. (H i H j a P i P j egyenes indexét tartalmazza.)
95 ELK 13 Egy kombinatorikus geometriai példa 19/21 Fisher-egyenlőtlenség. Ha az {1,..., n} alaphalmaz m darab különböző részhalmazára teljesül, hogy bármely kettő metszetének elemszáma ugyanaz a µ 0 szám, akkor m n. Következmény. A sík m nem kollineáris pontja legalább m egyenest határoz meg. Bizonyítás. Legyen P 1,..., P m egy nem kollineáris ponthalmaz, és legyenek e 1,..., e n az általuk meghatározott egyenesek. Minden P i ponthoz hozzárendelünk egy H i {1,..., n} halmazt, amely a ponton átmenő e egyenesek indexeit tartalmazza. 1. Különböző pontokhoz különböző halmazokat rendelünk. (Mivel nem kollineárisak a pontok.) 2. H i H j = 1 tetszőleges i j esetén. (H i H j a P i P j egyenes indexét tartalmazza.) 3. Fisher-egyenlőtlenség = m n.
96 ELK 13 Ajánlott irodalom 20/21 Babai L., Frankl P.: Linear Algebra Methods in Combinatorics Babai László Frankl Péter
97 ELK 13 THE END 21/21 Köszönöm a figyelmet!
Széchenyi István Egyetem, 2005
Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását
RészletesebbenLineáris algebrai módszerek a kombinatorikában 2.
Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában 2. Nagy V. Gábor SZTE Bolyai Intézet Eötvös Loránd Kollégium, Matematika Műhely Szeged, 2015. október 22. ELK 15 Egy folklór versenyfeladat 1/10 Feladat.
RészletesebbenLineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)
Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................
RészletesebbenJANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet
RészletesebbenLineáris Algebra gyakorlatok
A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk
RészletesebbenMiskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.
Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés
RészletesebbenSztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013
UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS
RészletesebbenMATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét
MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
RészletesebbenSoukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus
Síktopológiák a Sorgenfrey-egyenes ötletével Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus 1. Bevezetés A Sorgenfrey-egyenes
RészletesebbenBevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor
Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................
Részletesebben5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség
5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =
RészletesebbenNT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat
NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin
RészletesebbenHelyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam
Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az
RészletesebbenMAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 9. OSZTÁLY
MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 9. OSZTÁLY Heti 4 óra Évi 148 óra Készítette: Ellenőrizte: Literáti Márta matematika tanár.. igazgató 1 / 5 I. Az általános iskolai ismeretek ismétlése 1. óra: Műveletek
Részletesebben2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )
Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden
RészletesebbenVektortér. A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet).
Vektortér A vektortér (lineáris tér, lineáris vektortér) két, már tanult algebrai struktúrát kapcsol össze. Def.: Legyen V nemüres halmaz, amelyben egy összeadásnak nevezett művelet van definiálva, és
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó
FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart
RészletesebbenPRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ
PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok
RészletesebbenHelyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február
Helyi tanterv Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február 1 A TANTERV SZERKEZETE Bevezető Célok és feladatok Fejlesztési célok és kompetenciák Helyes
RészletesebbenLineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Lineáris Algebra GEMAN 203-B A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b
RészletesebbenÁttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.
Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány
Részletesebben2. Interpolációs görbetervezés
2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA
RészletesebbenOnline jegyzet az Egészérték Programozás I. és II. tárgyhoz
Online jegyzet az Egészérték Programozás I. és II. tárgyhoz Király Tamás, Kis Tamás és Szeg László October 25, 2013 Egészérték programozás I. vizsgatematika 2013. tavasz 1. Az egészérték lineáris programozási
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.
Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ
MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz
RészletesebbenMATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ
MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a
Részletesebben4. előadás. Vektorok
4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához
RészletesebbenGráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára Párosítások 2012. november 19. Előadó: Hajnal Péter 1. Alapfogalmak Emlékeztető. Legyen G egy gráf, E(G) a G élhalmaza, V (G) gráfunk csúcshalmaza.
RészletesebbenMATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell
RészletesebbenMatematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)
Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését
Részletesebben1. Lineáris leképezések
Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2
RészletesebbenBUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET
BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott
RészletesebbenTanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra
Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra A Kiadó javaslata alapján összeállította: Látta:...... Harmath Lajos munkaközösség vezető tanár Jóváhagyta:... igazgató
RészletesebbenA Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve
A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve Matematika Készítette: a gimnázium reál szakmai munkaközössége 2015. Tartalom Emelt szintű matematika képzés... 3 Matematika alapóraszámú képzés... 47 Matematika
RészletesebbenI. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)
MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,
RészletesebbenLineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer
Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény
RészletesebbenA Deligne-Simpson Problémáról (folyamatban lévő munka O. Biquard-ral)
(folyamatban lévő munka O. Biquard-ral) Magyar Tudomány Napja Fiatal Kutatói Ülésszak Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet 2008. november 17. Deligne kérdése Legyenek C 0,...,C n konjugálási osztályok
RészletesebbenHalmazelmélet. 2. fejezet 2-1
2. fejezet Halmazelmélet D 2.1 Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenl nek, ha elemeik ugyanazok. A halmazt, melynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Jele:. D 2.2 Az A halmazt a B halmaz
RészletesebbenHraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok
Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak
RészletesebbenA lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István
A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos
RészletesebbenTENZORSZÁMÍTÁS INDEXES JELÖLÉSMÓDBAN
Kozák Imre Szeidl György TENZORSZÁMÍTÁS INDEXES JELÖLÉSMÓDBAN Második, bővített kiadás MISKOLC 2013 Kozák Imre Szeidl György TENZORSZÁMÍTÁS INDEXES JELÖLÉSMÓDBAN Második, bővített kiadás MISKOLC 2013
RészletesebbenGeometriai axiómarendszerek és modellek
Verhóczki László Geometriai axiómarendszerek és modellek ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék Budapest, 2011 1) Az axiómákra vonatkozó alapvető ismeretek Egy matematikai elmélet felépítésének
RészletesebbenHárom dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái
Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Bolyai Intézet Geometria Tanszék Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái Szakdolgozat Írta: Pásztor Péter Matematika
Részletesebben9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.
9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok
RészletesebbenKőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam
-- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...
RészletesebbenAz áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!
Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április
RészletesebbenOPERÁCIÓKUTATÁS PÉLDATÁR
OPERÁCIÓKUTATÁS PÉLDATÁR Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat Algoritmuselmélet Algoritmusok bonyolultsága Analitikus módszerek a pénzügyekben Bevezetés az analízisbe Differential
RészletesebbenMATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam
MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről
RészletesebbenMATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok
MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve
RészletesebbenGáspár Csaba. Analízis
Gáspár Csaba Analízis Készült a HEFOP 3.3.-P.-004-09-00/.0 pályázat támogatásával Szerzők: Lektor: Gáspár Csaba Szili László, egyetemi docens c Gáspár Csaba, 006. Tartalomjegyzék. Bevezetés 5. Alapvető
RészletesebbenSzámítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező
Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Horváth Árpád 2008. december 16. A segédletek egy része a matek honlapon található: http://www.roik.bmf.hu/matek Kötelező irodalom: Bagyinszki
Részletesebben6. modul Egyenesen előre!
MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/0-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató.
RészletesebbenFejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert
Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris
RészletesebbenLineáris algebra bevezető
Lineáris algebra bevezető 1 Egyismeretlenes egyenletek bemelegítés Az ilyen egyenletek rendezés után ax = b alakba írhatók Ha a 0, akkor a(z egyértelmű megoldás x = b/a Ha a = 0, akkor b 0 esetben nincs
RészletesebbenTémakörök az osztályozó vizsgához. Matematika
Témakörök az osztályozó vizsgához Idegenforgalmi és Informatikus osztályok (9.A/9.B) 1. A halmazok, számhalmazok, ponthalmazok 2. Függvények 3. A számelmélet elemei. Hatványozás. 0 és negatív kitevőjű
RészletesebbenFAIPARI ALAPISMERETEK
Faipari alapismeretek középszint 1221 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. október 13. FAIPARI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris
Részletesebben2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika
2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A
RészletesebbenBEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA
Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló
RészletesebbenLineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál
Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek
RészletesebbenA kvantummechanika általános formalizmusa
A kvantummechanika általános formalizmusa October 4, 2006 Jelen fejezetünk célja bevezetni egy általános matematikai formalizmust amelynek segítségével a végtelen dimenziós vektorterek elegánsan tárgyalhatók.
RészletesebbenLineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Szakdolgozat Készítette: Borostyán Dóra Matematika BSc matematikai elemző Témavezető:
RészletesebbenFunkcionálanalízis az alkalmazott matematikában
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Simon Péter Funkcionálanalízis az alkalmazott matematikában egyetemi jegyzet A jegyzet az ELTE IK 2010. évi Jegyzettámogatási pályázat támogatásával készült
RészletesebbenEgy kétszeresen aszimmetrikus kontytető főbb geometriai adatainak meghatározásáról
1 Egy kétszeresen aszimmetrikus kontytető főbb geometriai adatainak meghatározásáról Korábban már több egyszerűbb tető - alak geometriáját leírtuk. Most egy kicsit nehezebb feladat megoldását tűzzük ki
Részletesebben2. Halmazelmélet (megoldások)
(megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek
RészletesebbenLineáris algebra I. Vektorok és szorzataik
Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Ismert fogalmak Témák Vektortér Lineáris kombináció Lineáris függőség, függetlenség Generátorrendszer, bázis, dimenzió Lineáris leképezések Szabadvektorok vektortere
RészletesebbenMATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények
MATEMATIKA 9 10. évfolyam 1066 MATEMATIKA 9 10. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata, hogy megalapozza a tanulók korszerű, alkalmazásra képes matematikai műveltségét,
RészletesebbenValószín ségelmélet házi feladatok
Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT
) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat
RészletesebbenMatematika helyi tanterv,5 8. évfolyam
Matematika helyi tanterv - bevezetés Matematika helyi tanterv,5 8. évfolyam A kerettanterv B változatának évfolyamonkénti bontása Bevezető Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson
RészletesebbenFELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.
FELADATOK A RELÁCIÓK, GRÁFOK TÉMAKÖRHÖZ 1. rész A feladatsorban használt jelölések: R = {r R r < 0}, R + = {r R r>0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. 4.1. Feladat. Adja meg az α = {(x, y) x +
RészletesebbenA nyírás ellenőrzése
A nyírás ellenőrzése A nyírási ellenállás számítása Ellenőrzés és tervezés nyírásra 7. előadás Nyírásvizsgálat repedésmentes állapotban (I. feszültségi állapotban) A feszültségek az ideális keresztmetszetet
RészletesebbenFeladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,
RészletesebbenBeadható feladatok. 2006. december 4. 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját!
Beadható feladatok 2006. december 4. 1. Feladatok 2006. szeptember 13-án kitűzött feladat: 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját! Adott I 1,..., I n [0, 1] intervallumokból szeretnénk
RészletesebbenKis-Benedek Ágnes Szimmetrikus és periodikus szerkezetek merevsége
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kis-Benedek Ágnes Szimmetrikus és periodikus szerkezetek merevsége Alkalmazott matematikus MSc Operációkutatás szakirány Szakdolgozat Témavezető: Jordán
RészletesebbenIsmerkedés az Abel-csoportokkal
Ismerkedés az Abel-csoportokkal - Szakdolgozat - Készítette: Takács Mária (Matematika BSc, Tanári szakirány) Témavezető: Kiss Emil (Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet) Eötvös Loránd Tudományegyetem
RészletesebbenMATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A
MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
RészletesebbenEgy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged
Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást
RészletesebbenKosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013
Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
RészletesebbenMunkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit
Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.
RészletesebbenParciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc
Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,
RészletesebbenA digitális számítás elmélete
A digitális számítás elmélete 1. előadás szept. 19. Determinisztikus véges automaták 1. Példa: Fotocellás ajtó m m m k b s = mindkét helyen = kint = bent = sehol k k b s m csukva b nyitva csukva nyitva
Részletesebben86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009
86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek
RészletesebbenSzámsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás
12. évfolyam Osztályozó vizsga 2013. augusztus Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás Ismerje a számsorozat
Részletesebben1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt?
skombinatorika 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = 3 2 1 = 6. 3 2. Hány különböző négyjegyű számot írhatunk föl 2 db 1-es, 1 db 2-es és 1 db 3-as
RészletesebbenBEVEZETÉS A FUZZY-ELVŰ SZABÁLYOZÁSOKBA. Jancskárné Dr. Anweiler Ildikó főiskolai docens. PTE PMMIK Műszaki Informatika Tanszék
BEVEZETÉS A FUZZY-ELVŰ SZABÁLYOZÁSOKBA Jancskárné Dr. Anweiler Ildikó főiskolai docens PTE PMMIK Műszaki Informatika Tanszék A fuzzy-logika a kétértékű logika kalkulusának kiterjesztése. Matematikatörténeti
RészletesebbenAz osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból
Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.
RészletesebbenMatematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés
Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a
RészletesebbenElemi matematika szakkör
lemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 26. 1.1. eladat. z konvex négyszögben {} = és { } = (lásd a mellékelt ábrát). izonyítsd be, hogy a következő három kijelentés egyenértékű: 1. z négyszögbe
RészletesebbenMiskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás
RészletesebbenA lineáris programozás 1 A geometriai megoldás
A lineáris programozás A geometriai megoldás Készítette: Dr. Ábrahám István A döntési, gazdasági problémák optimalizálásának jelentős részét lineáris programozással oldjuk meg. A módszer lényege: Az adott
RészletesebbenDiszkrét Matematika I.
Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. egyetemi jegyzet mobidiák
RészletesebbenMATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam
BEVEZETŐ Ez a helyi tanterv a kerettanterv Emelet matematika A változata alapján készült. Az emelt oktatás során olyan tanulóknak kívánunk magasabb szintű ismerteket nyújtani, akik matematikából átlag
RészletesebbenVálasz Szőnyi Tamásnak az Optimális térlefedő kódok kutatása című doktori értekezés opponensi bírálatára
Válasz Szőnyi Tamásnak az Optimális térlefedő kódok kutatása című doktori értekezés opponensi bírálatára Mindenekelőtt szeretném megköszönni Szőnyi Tamásnak, az MTA doktorának a támogató véleményét. Kérdést
Részletesebbenértelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. Ezért a tanulóknak rendelkezniük kell azzal a képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják
A Baktay Ervin Gimnázium alap matematika tanterve a 6 évfolyamos gimnáziumi osztályok számára 7. 8. 9. 10. 11. 12. heti óraszám 3 cs. 3 cs. 3 cs. 4 4 4 éves óraszám 108 108 108 144 144 120 (cs.: csoportbontásban)
Részletesebben