Matematikai összefoglaló elméleti alapok érettségiz knek. Dézsi Krisztián május 20.

Átírás

1 Matematikai összefoglaló elméleti alapok érettségiz knek Dézsi Krisztián 011. május 0. 1

2 Hatványok alapvet dolgok: log a b = c a a a a... } {{ } c = b ez a hatványozás inverze (FONTOS: a "b" nem lehet csak poizitív szám abban az esetben, ha az "a" páros) egészet értsd úgy, hogy ez egy "fordított" m velet, azt kapjuk meg, hogy egy "a" szám hanyadik hatványán veszi fel a "b" értéket pl: log 8 = 3 3 = 8 log a b = log c b log c a n log a b = log a b n log a b + log a c = log a b c log a b log a c = log a b c a log a b = b log a 1 = 0 át tudom váltani más alapú logaritmusra "a" nem lehet csak pozitiv szám(a nulla nem pozitív szám), és nem lehet 1 sem ( 1nek minden hatványa 1) Feladatok: I. log 3 (x + 3x) log 3 (x) = 4 kikötés: 1.x + 3x > 0 x(x + 3) > 0 tehát x>0 és x<-3. x>0 3.x 0

3 x + 3x megoldás: log 3 = 4 x x + 3x log 3 = log 3 81 x x + 3x log 3 = log 3 81 mivel x 0 ezért x log 3 x + 3 = log 3 81 mivel az alapok azonosak ezért x+3=81 x=78 ELL: behelyeteítünk x-be log 3 ( ) log 3 (78) = log 3 = log 3 (78 + 3) = 4 78 tehát jó a megoldás II. log 5 (x + x + 1) = log 5 (4x) kikötés: 1. x + x + 1 > 0 megoldó képtet használunk x 1, = ± x = 1 tehát x>1. 4x>0 x>0 log 5 (x + x + 1) = log 5 (4x) mivel az alapok azonosak ezért x + x + 1 = 4x x x + 1 = 0 x 1, = ± ( ) esetén jó csak a megoldás tehát x=-1 de ez nem megoldás mivel x>1 3

4 III. lg(x+3)+lg(x+4)=3 kikötés: 1. x+3>0 x>-3. x+4>0 x>-4 lg(x+3)*(x+4)=3 lg(x + 7x + 1) = 3 lg(x + 7x + 1) = lg(1000) mivel azonos alapúak ezért x + 7x + 1 = 1000 x + 7x 988 = 0 x 1, = 7 ± ( 998) = 7 ± ± 4041 x 1 = x 1 = = 8, 8 = 35, 8 = ELL: x=8,8 lg(8,8+3)+lg(8,8+4)=1,49+1,51=3 másikat is hasonlóképpen megfelel Kombinatorika Permutáció: Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböz dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés nélküli" arra utal, hogy a sorba rendezend elemek különböz ek, azaz nem ismétl dnek. Egy n elem halmaz összes permutációinak a száma: P n = n! = n (n 1) (n ) Megjegyzés: Deníció szerint 0! = 1. Példa: Hányféleképpen sorakozhatnak fel egy egyenes sorban egy 6 f s osztály tanulói? Az osztálynak mint 4

5 6 elem halmaznak 6! permutációja van, azaz ennyiféle sorrend lehetséges. Ismétléses permutáció alatt néhány, egymástól nem feltétlenül különböz dolognak a sorba rendezését értjük. Ha egy n elem multihalmazban s különböz elem fordul el, mégpedig az i-edik fajta elem ki-szer (és így n=k1+k+...+ks), akkor a multihalmaz összes ismétléses permutációinak a száma:p (k 1;k ;...k x ) n = n! k 1! k!... k x! Példa: Hányféleképpen lehet sorba rendezni az a, a, a, b, c, c, d, d bet ket? Itt n=8 elemünk van, s=4 fajta, a bet b l k1=3, b bet b l k=1, c és d bet kb l k3=k4= darab, így a képlet alapján: P 3;1;; 8! 8 = 3! 1!!! = 1680sorrend Kombináció: Az ismétlés nélküli kombinációt alkalmazzuk akkor, ha adott egy véges halmaz, melynek n darabszámú elemeib l k elemszámú halmazokat (kombinatorika nevén osztályokat) akarunk mindenféle módon képezni (és minden elem csak egyszer fordul el ). Ezt úgy hívjuk, hogy n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációja. Az ismétlés nélküli kombináció képlete: C n;k = n! k! (n k)! binomiális együtthatókkal : ( n k) Az ismétléses kombinációt alkalmazzuk, amikor adott n elemekb l k elemszámú multihalmazokat képzünk, ahol adva van legalább 1 multiplikált elem. Az ismétléses kombináció képlete: Cn;k i = ( ) n+k 1 k Ismétlés nélküli valamint ismétléses variáció során egyaránt úgy járunk el, hogy osztályok szerint permutálunk. Vagyis eszerint azon túl, hogy n elem k-ad osztályú kombinációit állítjuk fel, permutálnunk is kell azokat. Az el z kombinatorikai operációkhoz hasonlóan változik a variáció aszerint, hogy ismétléses vagy ismétlés nélküli: amennyiben legalább 1 elem multiplikált, akkor ismétléses-, ellenben ismétlés nélküli variációról van szó. Az ismétlés nélküli variáció képlete: V n;k = n! (n k)! Az ismétléses variáció képlete: Vn k = n k Példák : 1, Egy dobozban darab szám van 1,15. Visszatevéssel húzunk kétszer. a,adja meg az eseményterer! ez az összes lehetséges kimetel,tehát 4 darab van 1,1; 1,15;15,1;15,15; (ha számít a sorrend, ha nem akkor csak 3-om) b, mi a valószín sége, hogy a kihúzott számok között lesz 15? mivel 3-om ban szerepel 15-ös a maradékban nem! P= 3 4 Mennyi a valószín sége,hogy azonos számokat húzunk? = 0.5 mivel a 4b l t ami úgyan az! 4,Egy iskolai rendezvényen 30 ajándékot sorsolnak ki az eladott 500 tombolajegy vársárlói között.ha 10 tombolajegyet vettünk, mennyi a valószín sége annak,hogy : a,nyerünk? annak a valószín sége,hogy nyerünk 1-et P nyer = = 3 50, annak hogy vesztünk P veszt = = ha úgy számolunk, hogy kivonjuk a 1-b l,azt a valószín séget, amikor nem nyerünk egyáltalán(10-b l 10-et vesztünk), akkor megkapjuk a jó megoldást ;) P min1 etnyer = = 0, b,pontosan két ajándékot nyerünk? ehhez az kell, hogy nyerjünk kett t és maradok nyolcal meg nyerjünk! ( 30 ) ( ) = 0, ( ) mivel 500 az összes választás ebb l 30-al lehet nyerni, 470-nel veszteni! 3,Egy 3 lapos magyar kártyából kihúzunk 4- lapot! 5

6 a, mi annak a valószín sége,hogy van benne piros lap és van benne ász is? a piros ász kissé megbonyolítja a dolgot,de éppen ezért kettébontom a feladatot 1 összegre és akkor nincsen probléma ;) ( 7 1)( 3 1) ( 30 )+( 1 1) ( 31 3 ) ( 3 4 ) = = 0, magyarázat eset lehetséges 1. esetben nincs benne a piros ász a x húzások között csak a maradékban(7 darab olyan lap ami piros lap és nem ász, 3om olyan van mi ász de nem piros, és akkor 30 lap marad!), a. esetben csak a piros ászt húzzuk(1darab olyan lap van ami piros is meg ász is, marad 31 lap) ki xen(mindig ez az eljárás ilyen esetben)! b, mi annak a valószín sége,hogy pontosan 1 piros lap és 1 ász legyen benne? ( 7 1)( 3 1) ( 1 )+( 1 1) ( 1 3 ) ( 3 4 ) = = 0, 1596 hasonló a gondolatmenet az elöz höz, csak itt pontosan annyi lap kell legyen amennyit kér, így a maradékba nem vehetjük vele a piros illetve az ász lapokat (tehát a maradék lapok 3-11=1) 6