Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező
|
|
- Gusztáv Dudás
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Horváth Árpád december 16. A segédletek egy része a matek honlapon található: Kötelező irodalom: Bagyinszki György: Diszkrét matematika főiskolásoknak, TypoTEX Kiadó, Bp György Kárász Sergyán Vajda Záborszky: Diszkrét matematika példatár, Bp. 2003, BMF-NIK-5003, (Továbbiakban Példatár). Levelezősöknek a matek honlapon elérhető NetworkX-es segédlet. Ajánlott irodalom: Tóth Mihály: Számítástudomány algebrai alapjai Tóth Mihály: Bevezetés a formális nyelvek és automaták elméletébe (Handout, 1992.) Fellegi Tibor: Absztrakt algebrai összefoglaló (a matek honlapról utalás van rá) Demetrovics, Denev, Pavlov: A számítástudomány matematikai alapjai (a formális nyelvek és absztrakt automaták részhez) A beadandó feladatok eredménye 20 %-ban beleszámít a félévközi- illetve vizsgajegybe. Beadás: a következő alkalomkor vagy addig papíron vagy a következő elektronikus formákban pdf, png, gif, jpg, odt (OpenOffice, Abiword vagy KWord), Microsoft Word (.doc). Az utolsó beadási határidejét még pontosítjuk. Ahol nem tüntetünk fel mást, a feladatsorszámok a Diszkrét matematika példatár feladataira utalnak. 1
2 1. Gráfelmélet 1.1. Mintafeladatok 5.1. fejezetből 1., 2., 3. (három feladat!), Az illeszkedési mátrix E V (4 csúcs, 3 él esetén 4 3-as) típusú mátrix, ij-dik eleme 1, ha i-dik csúcs rajta van j-dik élen, különben 0. 8., 14., 15. (izomorfia), 5.2. fejezetből 1. definíció. Euler-sétának nevezzük azt az élsorozatot a gráfban, amely minden élet pontosan egyszer érint. (Minden élen átmegy, és egyiken sem többször.) Az Eulersétát zártnak nevezzük, ha az utolsó csúcspontja egyezik az elsővel, különben nyílt Euler-sétának nevezzük. 1., 4. (csak Euler-séta kell) 5.4. fejezetből 1., 3., 4., 8., 9., 10., 11., 2. Beadandó feladatok feladat. Írjuk fel az alábbi gráf szomszédsági mátrixát. Adjunk meg benne egy feszítőfát feladat. Ábrázoljuk az alábbi súlymátrix-szal megadott súlyozott mátrixot! Adjuk meg egy lehetséges maximális súlyú feszítőfát az ábrán (élek vastagításával vagy színezésével)! Írjuk fel a feszítőfa súlyát valamint az élek sorrendjét, ahogy hozzávettük a fához! Adjuk meg a feszítőfa Prüfer-kódját! S =
3 2.3. feladat. Az alábbi Prüfer-kódok esetén rajzoljuk fel a fát, amennyiben lehetséges: 62, , Alapfogalmak A fogalmak definíciói megtalálhatóak a feladatgyűjtemény 23. oldalától kezdődően. 2. definíció. Egy gráfot egyszerű gráfnak nevezünk, ha nincs benne többszörös és hurokél. 3. Fák 3. definíció. Fáknak az összefüggő körmentes gráfokat nevezzük. 4. definíció. Egy összefüggő gráf feszítőfáján olyan fákat értünk, melyek részgráfjai az eredeti gráfnak, tartalmazzák annak öszűszes csúcsát, és fák. 4. Három fákkal kapcsolatos algoritmus 1. tétel. Egy n csúcspontú fát egy olyan n 2 elemű listával (egy számsorozattal) egyértelműen leírhatunk, melyek elemei a számok 1-től n-ig. Ezt a listát nevezzük a fa Prüfer-kódjának Ez az alábbi algoritmussal bizonyítható A Prüfer-kód előállítása Kiindulás: egy fa valamilyen formában megadva (ábra, szomszédsági mátrix) 1. Legyen v 0 elemű lista. Sorszámozzuk meg a csúcsokat 1-től n-ig. 2. Keressük meg a legkisebb sorszámú egyfokszámú csúcsot a (maradék) fán. Hagyjuk el az élet, és fűzzük a lista végéhez az él másik végén található csúcs sorszámát. 3. Ismételjük a 2. pontot addig, amíg egy él marad, az így kapott lista lesz a Prüfer-kód. 2. tétel. A Prüfer-kód csak egyféle fához tartozhat, és bármilyen {1,2,...,n} elemekből álló n 2 elemű Prüfer-kód egyetlen fát ír le. Ezt az alábbi algoritmussal bizonyítható. A fenti két tételből következik, hogy az ilyen kódok száma n n n = n n 2, és ezzel az n csúcspontú fák száma is ennyi, mivel a Prüfer-kódok és fák között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, algebrai nyelven bijekció van. 3
4 4.2. A Prüfer-kódból a fa visszaállítása 1. Legyen v a Prüfer-kód, számoljuk ki n-et, ha a kód hossza n 2. Legyen E = {1,2,...,n} a csúcsok halmaza. Induljunk ki egy n csúcsú 0 élű gráfból. 2. Vegyük a lista (a Prüfer-kód) első elemét. Kössük össze ezt a sorszámot E halmaznak azzal a legkisebb x sorszámával, ami nem szerepel a listában. 3. Hagyjuk el a lista első elemét, és töröljük x-et az E halmazból. 4. Ismételjük a 2. és 3. pontot addig, amíg el nem fogy a lista összes eleme. 5. Az E megmaradt két elemét kössük össze A legkisebb súlyú feszítőfa létrehozása 5. definíció. Az olyan egyszerű gráfokat nevezzük súlyozott gráfoknak, melynek minden éléhez egy pozitív számot rendelünk. A számot az él súlyának nevezzük, az összes él súlyának összegét a gráf súlyának nevezzük. 6. definíció. Egy n csúcsú súlyozott gráf súlymátrixának olyan n n-es mátrixot nevezünk, amelyben, ha i és j között él fut, akkor a mátrix ij-edik eleme, és természetesen ji-dik eleme is az él fokszáma. A többi esetben a mátrixelem végtelen. (Programban a végtelent egy olyan szám helyettesítheti, amely biztosan nagyobb a program által kezelt gráfok fokszámánál.) Algoritmus: Feladat: Legyen adott egy összefüggő súlyozott n-csúcsú G gráf például súlymátrix-szal. Keressük meg a minimális feszítőfáját, azaz azt a részgráfját, amely fa, és kisebb súlyú az ilyen fáknál. 1. A kezdőgráfunk legyen egy csúcsú él nélküli G gráf. A pont sorszámát válasszuk 1-nek. (Vagy bárminek 1 és n között.) Ezt a gráfot tekintsük a G részhalmazának. 2. Keressük meg, azokat az éleket a G gráfban, amelyek a G gráfból kivezetnek. Keressük meg ezek közül a minimális súlyút. (Ha több ilyen van, akkor válasszunk közülük.) Vegyük hozzá G -höz ezt az élt és a másik végpontját. 3. Ismételjük a 2. pontot, amíg G-t kifeszítő fát nem kapunk. Ez lesz a minimális súlyú feszítőfa. A fenti algoritmusban minden minimális helyett írhatunk maximálisat. 4
5 5. Relációk, számosság, algebrai struktúrák Definíciók, tételek A következő foglamak és tételek szükségesek pl. a példatár 5. és 19. oldaláról illetve a következő fejezetekből. Descartes-szorzat, reláció (bináris, homogén), homogén bináris reláció tulajdonságai (dichotóm, ha a R b és a R b közül egyik mindig teljesül). Részbenrendezés, teljes rendezés. Ekvivalenciareláció, ekvivalenciaosztályok Függvénytulajdonságok (szürjektív, injektív, bijektív) a osztója b-nek, a kongruens b-vel Kétváltozós művelet, tulajdonságai (asszociativitás, kommutativitás, idempotencia, disztributivitás) Félcsoport, csoport, Abel-csoport, gyűrű, test 6. Relációk 1. példa. Alább példákat mutatunk a később definiálandó kételemű (binér) relációkra. Számok között: =,,< osztó (a osztója b-nek) akár ez is lehet: a négyzetgyöke b-nek Egyenesek között: párhuzamos, metsző, kitérő Egyenes és sík között: az egyenest tartalmazza a sík az egyenes metszi a síkot az egyenes párhuzamos a síkkal Ember és település között: a település az ember szülőhelye 6.1. feladat. Határozzunk meg binér relációkat a következők között: két ember; két háromszög; determináns és valós szám; ember és egész szám, két egész szám. A relációk általános definíciójának megadásához a Descart-szorzattal kell kezdenünk. 7. definíció. Legyenek H 1,...,H n halmazok. Ekkor a D = {(h 1,...,h n ) h i H i } halmazt a H i halmazok Descartes-szorzatának nevezzük és a H 1 H n kifejezéssel jelöljük. 5
6 2. példa. Legyen A = {1, 2} és legyen B = {a,b}. Ekkor a Descartes-szorzat A B = {(1,a),(1,b),(2,a),(1,b)}. 8. definíció. Legyen H 1 H n a H i (1 i n) halmazok Descartes-szorzata. Ekkor a R H 1 H n halmazt a H i halmazokon értelmezett relációnak nevezzük. 3. példa. Legyen A = B = {1, 2, 3}. Reláció-e ekkor R = {(a i,b i ) a i < b i és a i A valamint b i B}? Igen, mert R = {(1, 2),(1, 3),(2, 3)} A B. 4. példa. Legyen A = {Lánczos Kornél, Esterházy Péter, Neumann János, Csoóri Sándor}, T a magyar települések halmaza, E az évszámok halmaza, F a foglalkozások halmaza. Válogassunk ki úgy elemnégyeseket, amelynél az első tag ember A-ból van, a második az ember születési helye, a harmadik a sz. éve, a negyedik a foglalkozása. Ez reláció, mert része az A T E F halmaznak. (Lánczos Kornél, Székesfehérvár, 1893, fizikus) (Esterházy Péter, Csákvár, 1950, író) (Neumann János, Budapest, 1903, matematikus) (Csoóri Sándor, Zámoly, 1930, költő) (Csoóri Sándor, Zámoly, 1930, politikus) És ez már hasonlít egy szokványos relációs adatbázishoz, amelyről más tantárgyban esik szó. Ott tanulják meg, hogy az utolsó két sorban látható ismétlődésekhez hasonlóakat hogyan lehet csökkenteni egy adatbázisban. Az előbbi relációt 4-változósnak nevezzük, és általánosan definiálható az n-változós reláció. Minket a továbbiakban a kétváltozós reláció érdekel amit binér relációnak is nevezünk. 9. definíció. Egy relációt homogénnek nevezünk, ha a Descartes-szorzat tényezői mind azonos halmazok feladat. Adjuk meg a következők esetén, hogy hány változósak, és homogének-e. Pont illeszkedik az egyenesre. Egyenesek párhuzamossága. A valós számok a kisebb műveletre nézve. {(x, y, z) ahol x virágnak y a latin neve és z a hivatalos magyar neve} 6
7 6.1. Homogén binér relációk A A alakú szorzatok részhalmazai. Az ilyen relációt úgy szoktuk jelölni, hogy megadjuk az A alaphalmazt, és a rajta értelmezett reláció jelét egy rendezett párban. Például (R, ) A homogén binér relációkat a következő tulajdonságok szerint csoportosíthatjuk: 10. definíció. Az alábbiakban R az A halmaz feletti R homogén binér reláció, a,b és c tetszőleges elemei az A-nak (azaz bárhogy is választjuk ezeket A-ból, a tulajdonság feltételének mindig teljesülniük kell). 1. Reflexív: ara 2. (a) Szimmetrikus: Ha arb akkor bra. (b) Antiszimmetrikus: Ha arb és bra akkor a = b. 3. Tranzitív: Ha arb és brc, akkor arc. 4. Dichotóm: arb és bra közül legalább egyik teljesül. Elnevezés Ekvivalenciareláció Rendezés vagy félig-rendezés Teljes rendezés definíció reflexív, szimmetrikus és tranzitív reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív reflexív, antiszimmetrikus, tranzitív és dichotóm 11. definíció. Legyenek a és b egész számok. Azt mondjuk, hogy a osztója b-nek, ha van olyan c Z, melyre a c = b. Jelölése: a b. Azt mondjuk, hogy a kongruens b mod m, ha m (a b) (azaz azonos maradékot adnak m-mel való osztáskor). Jelölése a b mod m vagy tömörebben a m b. 12. definíció. Két halmazt diszjunktnak nevezünk, ha nincs közös elemük (azaz metszetük üres). Egy halmaz diszjunkt felbontásán olyan H 1, H 2...H n halmazokból álló halmazt értünk, melyre H i H j = bármely olyan i és j pár esetén, melyek nem egyenlőek, és az összes halmaz uniója a H halmazt adja. 3. tétel. Bármely (H, R) H halmaz feletti R ekvivalenciareláció esetén a H halmaznak létezik H 1, H 2...H n diszjunkt felbontása, melyre 1. arb ha a és b ugyanabban a H i halmazban találhatóak 2. a és b ugyanabban a H i halmazban találhatóak, akkor arb Ezt a felbontást a H halmaz R ekvivalencia-reláció szerinti ekvivalenciaosztályainak nevezzük. A m kongruenciához tartozó ekvivalenciaosztályokat gyakran egyszerűen és kissé pongyolán a 0, 1,... m 1 számokkal jelöljük. Nyilván az adott szám jelöli azt az ekvivalenciaosztályt, amelybe az adott szám tartozik. 7
8 6.2. Függvények A már megszokott függvényeket most a relációkból származtatjuk úgy, hogy elhagyjuk a többértékű függvényeket : egy értékhez csak egy másikat rendelhet a függvény. Például a négyzetgyök függvénynél csak a nemnegatív értéket hagyom meg. A továbbiakban a relációknál megszokott R jelölés helyett a függvényekhez jobban illeszkedő f jelölést használjuk. 13. definíció. Az olyan nem feltétlenül homogén, de binér relációkat nevezzük függvényeknek, amelyben egy elem csak egyszer lehet a reláció bal oldalán. Másképpen fogalmazva, ahol a f b és a f c csak akkor teljesülhet, ha b = c. A függvényeknél az a f b jelölés helyett f (a) = b jelölésmódot vezetünk be. Az f (x) = y esetén azt mondjuk, hogy f az x változóhoz az y-t rendeli, vagy másképp, az x képe y. Egy f függvény esetén a zárójelben szereplő elemek halmazát a függvény értelmezési tartományának nevezzük és D f -el jelöljük. (Angolul domain of f.) Egy f függvény esetén a képként fellépő elemek elemek halmazát a függvény értékkészletének nevezzük és R f -el jelöljük. (Angolul range of f.) Ha egy f függvény az A B Descartes-szorzatból származik és D f = A, akkor a függvényt A B típusúnak nevezzük és így jelöljük ezt: f : A B Egy f : A B függvényt bijekciónak (vagy kölcsönösen egyértelmű függvénynek) nevezünk, ha minden elem egyszer lép fel képként. Kissé precízebben: ha f (a) = b és f (c) = b csak akkor teljesülhet, ha a = c. és B a függvény értékkészlete (nem bővebb annál). 7. Halmazok számossága A halmazok egyenlőségének definíciója azon a nyilvánvaló tényen alapul, hogyha egy katonai táborban minden katona felül egy lóra és nem marad üres ló, akkor ugyanannyi a lovak és katonák száma. A pontos definíció azonban a végtelen számosságú halmazok szövevényes világában is alkalmazható. Érdemes tudatosítani, hogy míg a számok határértékeként csak egyféle pozitív végtelen szerepel, addig a halmazok számosságában többféle. 14. definíció. A és B halmazokat egyenlő számosságúnak nevezzük, ha létezik közöttük f : A B bijekció. Jele: A = B. Egy A halmaz számossága A = n Z +, ha A = {1,2,...,n}. Ha van ilyen n, vagy üres halmaz esetén a halmazt véges halmaznak nevezzük (az üres halmaz számossága 0). 15. definíció. A természetes számok számosságát megszámlálhatóan végtelen számosságnak nevezzük. 4. tétel. Az egész számok, a páros számok, a prímszámok és a racionális számok számossága is megszámlálhatóan végtelen. 8
9 N = {páros számok} bizonyítása: az n 2n bijekció létezik a két halmaz között. N = Q bizonyítása kell. Lásd Példatár c) megoldása. 5. tétel. A valós számok számossága nagyobb, mint megszámlálhatóan végtelen. Ezt kontinuum számosságnak nevezzük. 16. definíció. Halmaz hatványhalmaza: az összes részhalmazaiból álló halmaz. Az A halmaz hatványhalmazásnak jelölése P(A) vagy 2 A. 5. példa. P({a,b}) = { ;{a};{b};{a,b}}. 6. tétel. Egy n elemű halmaz hatványhalmaza 2 n elemű. 7. tétel. Minden halmaz hatványhalmaza nagyobb számosságú az eredeti halmaznál. 8. Absztrakt algebra Az absztrakt algebrában az a célunk, hogy a műveletek tulajdonságaiból származó következményeket egyszerre tárjuk fel különböző matematikai objektumok esetén. Nem érdemes ugyanis ugyanazt külön bizonyítani számokra, mátrixokra, vektorokra és más pl. a kvantummechanikában szükséges bonyolultabb struktúrákra, érdemesebb ezeket egyszerre kezelni. n-változós művelet Algebrai struktúra 8.1. Egyműveletes struktúrák 17. definíció. Félcsoportnak nevezünk egy halmazt egy műveletre nézve, ha a művelet 1. nem vezet ki soha a halmazból, 2. a művelet asszociatív a halmaz felett, azaz bármely a,b,c G elemek esetén (a b) c = a (b c). Azaz mindegy melyik melyik művelete végzem el előbb, ugyanazt kapom. Példák: a valós számok az osztásra nézve (R,/) félcsoport, az egész számok az osztásra nézve (Z,/) nem az, mert ott például a 3/2 kivezet a számhalmazból. 18. definíció. Egy (G, ) félcsoportot csoportnak nevezünk, ha 3. létezik egységeleme, azaz olyan e G melyre bármely G-beli a elem esetén e a = a e = a. Azaz van olyan elem, amivel a halmaz bármely másik elemét megszorozva ármelyik oldalról, azt a másik elemet kapjuk vissza. 4. minden G-beli a elemnek létezik (a 1 -nel jelölt) inverzeleme, melyre a 1 a = a a 1 = e. 9
10 19. definíció. Egy (G, ) csoportot Kommutatív csoportnak vagy Abel-csoportnak nevezünk, ha a művelet kommutatív a csoport felett, azaz bármely G-beli a és b esetén a b = b a. Niels Henrik Abel norvég matematikusról matematikai díjat is neveztek el. A díjat odaítélő öt fős nemzetközi bizottság tagja volt 2004 és 2006 között a jelenleg élő egyik legnagyobb magyar matematikusunk, Lovász László is feladat. Mi lesz a valós számok körében egy szám inverze, ha a művelet az összeadás, és mi lesz, ha a művelet a szorzás? Nézzük meg, hogy a természetes, egész, racionális, valós és komplex számok körében az összeadás illetve a szorzás művelettel csoportot, Abel-csoportot alkotnak-e? Csoportot alkotnak-e a sík adott pont körüli elforgatásai? Ha igen, mi lesz az egységelem és egy adott forgatás inverze? Hogyan definiálhatnánk a kivonást és az osztást az összeadás és szorzás segítségével? Gondoljunk az inverzelemekre. És egy nehezebb kérdés: Vajon miért csak az utóbbi kettő alapművelet tulajdonságait vizsgáljuk a számok esetében? 8.2. Kétműveletes struktúrák Ezt még sajnos a feladatgyűjteményből kell megnézni. gyűrű, test 8. tétel. Az alábbi fontosabb algebrai struktúrákat érdemes ismerni: (Z, +, ) gyűrű (Q, +, ) test (R, +, ) test (C, +, ) test Megjegyzések a feladatmegoldáshoz és mintafeladatok Gyakori feladat, hogy valamely véges halmaz feletti struktúrát műveleti táblázattal (kétműveletesnél két táblázattal) adunk meg, és meg kell állapítani, hogy milyen algebrai struktúrát alkot a halmaz az adott egy vagy két műveletre. Általában az asszociativitás megállapítása a legnehezebb, ezért általában meg szoktuk adni a feladatban, hogy asszociatív a művelet a halmazon. A további tulajdonságok esetén indokolni kell, hogy miért mondjuk. Egységelem esetén meg kell adni, hogy a struktúra melyik eleme az. Ha minden elemnek van inverzeleme, akkor azokat meg kell adni. A kommutativitást is indokolni kell (a táblázat szimmetrikus a főátlóra) ; ; ( megérteni a megoldást); a) b) ; ( és ) b) e) h); a) f); ; 4.2.6; 4.3.1; 4.3.3; a) c) Döntsük el, hogy igaz-e az alábbi állítás. Válaszunkat indokoljuk! 1. Van olyan halmaz, amelynek számossága egyezik valamely valódi részhalmazásnak számosságával. 10
11 9. Beadandó feladatok feladat b) (részletezve, szöveges magyarázattal) 9.2. feladat. A mod 5 maradékoszályokra írjuk fel a szorzás és az összeadás műveleti tábláját. ({0;1;2;3;4},+ 5, 5) milyen algebrai struktúrát alkot? + 5, 5 az összeadás és szorzás maradéka öttel való osztás után feladat. Legyen H = P({0; 1; 2}) halmaz a {0; 1; 2} halmaz hatványhalmaza, Igaz-e az efelett értelmezett részhalmaz relációra, hogy a) kétváltozós b) reflexiv c) szimmetrikus d) antiszimmetrikus e) tranzitív f) dichotóm? Ezek alapján milyen típusú reláció? 9.4. feladat. Ugyanilyen módon vizsgáljuk meg a valós számok felett értelmezett < relációt és a feljebb definiált mod 3 maradékosztályokon értelmezett m kongruenciát feladat. Írjuk fel H = P({0; 1; 2}) hatványhalmazt elemeinek felsorolásával. Hány eleme van? 9.6. feladat. Döntsük el, hogy igazak-e az alábbi állítások. Válaszunkat indokoljuk! (Nemleges válasz esetén általában ellenpéldával indokolhatunk.) 1. Minden rendezés teljes rendezés. 2. A valós számok a szorzásra nézve Abel-csoportot alkotnak. 3. Van a valós számoknál nagyobb számosságú halmaz. 4. A mod 5 kongruenciareláció ekvivalenciareláció feladat. Döntsük el, hogy igazak-e az alábbi állítások. Válaszunkat indokoljuk! (Nemleges válasz esetén általában ellenpéldával indokolhatunk.) 1. A valós számok a szorzásra nézve Abel-csoportot alkotnak. 2. A mod 5 kongruenciareláció ekvivalenciareláció feladat. A mod 5 maradékoszályokra írjuk fel a szorzás és az összeadás műveleti tábláját. ({0;1;2;3;4}, 5, 5 ) milyen algebrai struktúrát alkot? 5, 5 az összeadás és szorzás maradéka öttel való osztás után. 11
12 3. konzultáció Formális nyelvek, automaták Tóth Mihály PowerPoint bemutatójának PDF változata elérhető a honlapjáról: Oktatási anyagok/a szám. tud/formalnyelvek*.pdf Az itt szereplő szöveg eredetileg a Demetrovics-féle könyv jelöléseit követte, jelenleg közelítettem a jelöléseket Tóth Mihály jelöléséhez, de a következő dolgok esetén a jelölések eltérnek attól: ebben a segédletben a szavakat görög betűk jelölik, a nem teminális jeleket latin nagybetűk (A,B,C), a terminális jeleket kisbetűk (ez egyezik). 10. Formális nyelvek 20. definíció. A formális nyelvek alapvető definíciói. Ábécé: jelek véges halmaza (K, W, V) Ezek egyesítése, különbsége a halmazokéhoz hasonlóan definiált. Ábécé betűi: a jelek (a, b, c k ) a K Szó: jelek véges sorozata (α, β, ω) Szó hossza: a sorozat hossza (length) (lg(α)) Üres szó (λ): melyre lg(λ) = 0 Szavak konkatenációja (összefűzése): αβ = a 1 a 2 a 3 a n b 1 b 2 b m, ahol α = a 1 a 2 a 3 a n, β = b 1 b 2 b m (Asszociatív, kommutatív, egységelemes-e? lg(αβ) =?) Tükörkép: α 1 = a n a 2 a 1 a fenti alfával. Hatvány: α 0 = λ,α 1 = α,α n = α n 1 α W(V) a V ábécé összes szava (zárt a konkatenációra) V ábécéből alkotott formális nyelv (L(V) vagy L): bármely L(V) W(V) Nyelvek konkatenációja: L 1 L 2 = {αβ α L 1,β L 2 } Nyelvek hatványa: L 0 = {λ},l 1 = L,L n = L n 1 L Példák: V 1 = {0,1}, L 1 (V 1 ) =, L 2 (V 1 ) = {01,0,λ}, L 3 (V 1 ) = {ω0ω 1 ω W({0;1})}, V 2 = {i f ;then;a;b} L 1 (V 2 ) = {if a then b; if a then if b then c} L 2 (V 1 )L 3 (V 1 ) az csak a határt jelöli (Generatív) grammatikák megadásához 4 dolgot kell megadni: G(V T ;V N ;X 0 ;F) V T : terminális jelek, V N : nem terminális jelek, X 0 : kezdőszimbólum, F: helyettesítési szabályok. Grammatikák típusai (Chomsky-hierarchia) Legyen α,β,ω W(V T V N ) A,B V N a V T (X 0 λ szabály mindenhol megengedett) szabályok típusa grammatika típusa automata αaβ ω 0-típusú, általános Turing-gép αaβ αωβ 1-típusú, környezetfüggő A ω 2-típusú, környezetfüggetlen PDA A ab vagy A a 3-típusú, reguláris FDA A fentieken kívül az X 0 λ szabály mindenhol megengedett, ha sehol sem szerepel a jobboldalán X 0. Ha ezt hozzávesszük, akkor egy nyelv típusa nem fog függeni attól, ha az üres szót λ hozzáadjuk, vagy elvesszük belőle. 12
13 21. definíció. A nyelvet n-típusúnak nevezünk, ha van olyan n-típusú generatív grammatika, amely a nyelvet generálja. (Pl: környezetfüggő nyelvet generál a környezetfüggő grammatika.) automaták: PDA: push-down automaton=nem determinisztikus veremautomata; FDA: véges (angolul finite) determinisztikus automata véges determinisztikus automata (FDA) megadása állapotgráffal (ez irányított gráf): nyíl mutat a kezdeti (általában q 0 -lal jelölt) állapotra. A nyilakon szereplő jelek (az ábécéből) jelzik, hogy egy adott állapotból azt olvasván a szalagról hova jut tovább. A kettős körök jelzik a végállapotokat. Ha egy szó esetén a kezdeti állapotból elindulva végállapotba jutunk amikor a szó végére értünk, akkor az automata felismerte a szót. 11. Beadandó feladatok Határozzuk meg, hogy az L(G) nyelvben benne van-e: λ, abb, aabb? Írjuk le szavakkal és halmazjelölésekkel, milyen szavakat tartalmaz! Soroljuk be a Chomsky-féle hierarchiába a grammatikát! V T = {a,b}, V N = {X 0 } F = {X 0 ab;x 0 ax 0 b} 2. Határozzuk meg, hogy az L(G) nyelvben benne van-e: 01, 111, 1111? Írjuk le szavakkal milyen szavakat tartalmaz! Soroljuk be a Chomsky-féle hierarchiába a grammatikát! V T = {0,1}, V N = {X 0,A} F = {X 0 1;X 0 1A;X 0 0X 0 ;A 1X 0 ;A 0A} 3. Adjunk meg olyan reguláris grammatikát, amely pontosan azokat az 0 és 1 jelből álló szavakat generálja: (a) melyek két 0-ra kezdődnek; (b) melyekben pontosan egy 0 van. 4. Felismeri-e az alábbi automata a csupa egyesekből álló szavakat? Adjunk meg három olyan szót, amit az alábbi véges determinisztikus automata felismer! Adjuk meg, milyen szavakat ismer fel (szóban vagy halmazjelöléssel)! 5. Adjunk meg FDA-t, amely az alábbi nyelvet ismeri fel, illetve grammatikát, amely ezt generálja: L = {αα 1 α W({0,1})} 13
14 6. Adjunk meg FDA-t, amely az alábbi nyelvet ismeri fel, illetve reguláris grammatikát, amely ezt generálja: L = {α01 α W({0,1})} 7. Döntsük el, hogy igazak-e az alábbi állítások. Válaszunkat indokoljuk! (Nemleges válasz esetén általában ellenpéldával indokolhatunk.) (a) Egy környezetfüggetlen nyelvhez létezhet olyan általános grammatika, amely azt állítja elő. (b) A szavak konkatenációja egységelemes félcsoport. 8. Adjuk meg halmazleírással vagy írjuk le szavakkal milyen nyelveket ad meg a 4.9 és 4.10 ábrán látható véges determinisztikus automaták. 14
15 Tartalomjegyzék 1. Gráfelmélet Mintafeladatok Beadandó feladatok Fák 3 4. Három fákkal kapcsolatos algoritmus A Prüfer-kód előállítása A Prüfer-kódból a fa visszaállítása A legkisebb súlyú feszítőfa létrehozása Relációk, számosság, algebrai struktúrák Definíciók, tételek 5 6. Relációk Homogén binér relációk Függvények Halmazok számossága 8 8. Absztrakt algebra Egyműveletes struktúrák Kétműveletes struktúrák Beadandó feladatok Formális nyelvek Beadandó feladatok
Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.
Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés
RészletesebbenMatematikai alapismeretek. Huszti Andrea
Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá
RészletesebbenJANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet
RészletesebbenFELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.
FELADATOK A RELÁCIÓK, GRÁFOK TÉMAKÖRHÖZ 1. rész A feladatsorban használt jelölések: R = {r R r < 0}, R + = {r R r>0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. 4.1. Feladat. Adja meg az α = {(x, y) x +
RészletesebbenII. Halmazok. Relációk. II.1. Rövid halmazelmélet. A halmaz megadása. { } { } { } { }
II. Halmazok. Relációk II.1. Rövid halmazelmélet A halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. A halmaz alapfogalom. Ez azt jelenti, hogy csak példákon
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.
Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.
RészletesebbenMATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét
MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
RészletesebbenSzámítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező
Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Horváth Árpád 2010. június 18. A segédletek egy része az http://elearning.bmf.hu oldal Számítástudomány kurzusában található, de esetleg a
RészletesebbenLineáris Algebra gyakorlatok
A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk
RészletesebbenSzeminárium-Rekurziók
1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az
Részletesebben1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt?
skombinatorika 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = 3 2 1 = 6. 3 2. Hány különböző négyjegyű számot írhatunk föl 2 db 1-es, 1 db 2-es és 1 db 3-as
RészletesebbenBUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET
BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott
RészletesebbenHraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok
Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak
RészletesebbenA kvantummechanika általános formalizmusa
A kvantummechanika általános formalizmusa October 4, 2006 Jelen fejezetünk célja bevezetni egy általános matematikai formalizmust amelynek segítségével a végtelen dimenziós vektorterek elegánsan tárgyalhatók.
RészletesebbenSzéchenyi István Egyetem, 2005
Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását
Részletesebben2. Interpolációs görbetervezés
2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,
RészletesebbenIsmerkedés az Abel-csoportokkal
Ismerkedés az Abel-csoportokkal - Szakdolgozat - Készítette: Takács Mária (Matematika BSc, Tanári szakirány) Témavezető: Kiss Emil (Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet) Eötvös Loránd Tudományegyetem
RészletesebbenAlkalmazott modul: Programozás
Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Alkalmazott modul: Programozás Feladatgyűjtemény Összeállította: Giachetta Roberto groberto@inf.elte.hu http://people.inf.elte.hu/groberto Frissítve: 2015.
RészletesebbenA matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2006
A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2006 Köszönöm Koós Gabriella végzős hallgatónak, hogy felhívta a figyelmemet az anyag előző változatában szereplő néhány
RészletesebbenBevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor
Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................
RészletesebbenHalmazelmélet. 2. fejezet 2-1
2. fejezet Halmazelmélet D 2.1 Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenl nek, ha elemeik ugyanazok. A halmazt, melynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Jele:. D 2.2 Az A halmazt a B halmaz
RészletesebbenA lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István
A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos
RészletesebbenDiszkrét Matematika I.
Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. egyetemi jegyzet mobidiák
Részletesebben2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )
Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy
RészletesebbenJuhász Tibor. Lineáris algebra
Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék
RészletesebbenAbsztrakt algebra I. Csoportelmélet
Absztrakt algebra I. Csoportelmélet Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem 2006 Bevezetés Ez az anyag tartalmazza az Algebra és számelmélet című tárgy 4. féléves részének kötelező elméleti
Részletesebben2. Halmazelmélet (megoldások)
(megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek
RészletesebbenLineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)
Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............
RészletesebbenGeometriai axiómarendszerek és modellek
Verhóczki László Geometriai axiómarendszerek és modellek ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék Budapest, 2011 1) Az axiómákra vonatkozó alapvető ismeretek Egy matematikai elmélet felépítésének
RészletesebbenDISZKRÉT MATEMATIKA RENDEZETT HALMAZOKKAL KAPCSOLATOS PÉLDÁK. Rendezett halmaz. (a, b) R a R b 1. Reflexív 2. Antiszimmetrikus 3.
Rendezett halmaz R A x A rendezési reláció A-n, ha R Másképpen: (a, b) R a R b 1. Reflexív 2. Antiszimmetrikus 3. Tranzitív arb for (a, b) R. 1. a A ara 2. a,b A (arb bra a = b 3. a,b,c A (arb brc arc
Részletesebben4. modul Poliéderek felszíne, térfogata
Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott
RészletesebbenHelyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam
Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................
RészletesebbenHalmazok. Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai.
Halmazok Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. 1. lapfogalmak halmaz és az eleme fogalmakat alapfogalmaknak tekintjük, nem deniáljuk ket. Jelölés: x H,
RészletesebbenKombinatorika. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András. 2015. december 6.
Kombinatorika 9 10. évfolyam Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András 2015. december 6. A kötet létrehozását 2008-tól 2010-ig a Fővárosi Közoktatásfejlesztési Közalapítvány támogatta Technikai
RészletesebbenMiskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás
RészletesebbenMiskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Fogalomhálók alkalmazása osztályfelbontási problémákra PhD értekezés
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Fogalomhálók alkalmazása osztályfelbontási problémákra PhD értekezés Készítette: Körei Attila okleveles matematikus Hatvany József Informatikai Tudományok
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai
Részletesebben6. modul Egyenesen előre!
MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási
RészletesebbenMatematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés
Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a
RészletesebbenBoronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium
Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör Halmazok
RészletesebbenLineáris algebrai módszerek a kombinatorikában
Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában Nagy V. Gábor SZTE Bolyai Intézet Eötvös Loránd Kollégium, Matematika Műhely Szeged, 2013. október 25. ELK 13 A Gyárfás Lehel-sejtés 1/21 Definíció. A G 1,...,
RészletesebbenPRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ
PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok
Részletesebbenhttp://www.ms.sapientia.ro/~kasa/formalis.htm
Formális nyelvek és fordítóprogramok http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/formalis.htm Könyvészet 1. Csörnyei Zoltán, Kása Zoltán, Formális nyelvek és fordítóprogramok, Kolozsvári Egyetemi Kiadó, 2007. 2.
RészletesebbenFordítóprogramok felépítése, az egyes programok feladata. A következő jelölésmódot használjuk: program(bemenet)(kimenet)
Fordítóprogramok. (Fordítóprogramok felépítése, az egyes komponensek feladata. A lexikáliselemző működése, implementációja. Szintaktikus elemző algoritmusok csoportosítása, összehasonlítása; létrehozásuk
RészletesebbenGáspár Csaba. Analízis
Gáspár Csaba Analízis Készült a HEFOP 3.3.-P.-004-09-00/.0 pályázat támogatásával Szerzők: Lektor: Gáspár Csaba Szili László, egyetemi docens c Gáspár Csaba, 006. Tartalomjegyzék. Bevezetés 5. Alapvető
RészletesebbenMatematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)
Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ
MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz
Részletesebben- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez
1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak
RészletesebbenBEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA
Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása
Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása DEFINÍCIÓ: (Séta) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben a csúcsok és élek többször is szerepelhetnek, sétának nevezzük. Egy lehetséges séta: A; 1; B; 2; C; 3; D; 4;
RészletesebbenHelyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február
Helyi tanterv Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február 1 A TANTERV SZERKEZETE Bevezető Célok és feladatok Fejlesztési célok és kompetenciák Helyes
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
RészletesebbenSzakdolgozat. Pongor Gábor
Szakdolgozat Pongor Gábor Debrecen 2009 Debreceni Egyetem Informatikai Kar Egy kétszemélyes játék számítógépes megvalósítása Témavezetı: Mecsei Zoltán Egyetemi tanársegéd Készítette: Pongor Gábor Programozó
RészletesebbenGyakorló feladatok ZH-ra
Algoritmuselmélet Schlotter Ildi 2011. április 6. ildi@cs.bme.hu Gyakorló feladatok ZH-ra Nagyságrendek 1. Egy algoritmusról tudjuk, hogy a lépésszáma O(n 2 ). Lehetséges-e, hogy (a) minden páros n-re
RészletesebbenI. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)
MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,
Részletesebben9. előadás Környezetfüggetlen nyelvek
9. előadás Környezetfüggetlen nyelvek Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom Bevezetés CF nyelv példák Nyelvek és nyelvtanok egy- és többértelműsége Bal- és jobboldali levezetések A fák magassága és határa
RészletesebbenLineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Szakdolgozat Készítette: Borostyán Dóra Matematika BSc matematikai elemző Témavezető:
RészletesebbenElső sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =
2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög
RészletesebbenMiskolci Egyetem. Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal. PhD értekezés
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal PhD értekezés Készítette: Lengyelné Szilágyi Szilvia Hatvany
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
RészletesebbenDebrecen. Bevezetés A digitális képfeldolgozás közel hetven éves múlttal rendelkezik. A kezdeti problémák
VÁZKIJELÖLŐ ALGORITMUSOK A DIGITÁLIS KÉPFELDOLGOZÁSBAN Fazekas Attila Debrecen Összefoglalás: A digitális képfeldolgozásban vonalas ábrák feldolgozása során gyakran használatos a vázkijelölés. Ez a módszer
RészletesebbenLIMBAJE FORMALE ȘI COMPILATOARE Lucrări de laborator FORMÁLIS NYELVEK ÉS FORDÍTÓPROGRAMOK
LIMBAJE FORMALE ȘI COMPILATOARE Lucrări de laborator FORMÁLIS NYELVEK ÉS FORDÍTÓPROGRAMOK LABORGYAKORLATOK http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/formalis.htm Nyomtatott változat Kása Zoltán 0 Formális nyelvek
RészletesebbenMunkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit
Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.
RészletesebbenAz áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!
Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április
Részletesebben1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot
1991. évi verseny, 1. nap 1. Bizonyítsd be, hogy 1 101 + 1 102 + 1 103 +... + 1 200 < 1 2. 2. Egy bálon 42-en vettek részt. Az első lány elmondta, hogy 7 fiúval táncolt, a második lány 8-cal, a harmadik
RészletesebbenMATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ
MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a
RészletesebbenFejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek
Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges
RészletesebbenMATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam
BEVEZETŐ Ez a helyi tanterv a kerettanterv Emelet matematika A változata alapján készült. Az emelt oktatás során olyan tanulóknak kívánunk magasabb szintű ismerteket nyújtani, akik matematikából átlag
RészletesebbenÁttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.
Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány
RészletesebbenHalmazok-előadás vázlat
Halmazok-előadás vázlat Naiv halmazelmélet:. Mi a halmaz? Mit jelent, hogy valami eleme a halmaznak? Igaz-e, hogy a halmaz elemei valamilyen kapcsolatban állnak egymással? Jelölés: a A azt jelenti, hogy
RészletesebbenKomputer statisztika gyakorlatok
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes
RészletesebbenFazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória
Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória 2005. január 12. feladatok kidolgozására két óra áll rendelkezésre. Számológép nem használható. példák tetszőleges sorrendben megoldhatók.
RészletesebbenLineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer
Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény
Részletesebbenkülönösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése.
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
Részletesebben9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.
9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok
RészletesebbenEgy kétszeresen aszimmetrikus kontytető főbb geometriai adatainak meghatározásáról
1 Egy kétszeresen aszimmetrikus kontytető főbb geometriai adatainak meghatározásáról Korábban már több egyszerűbb tető - alak geometriáját leírtuk. Most egy kicsit nehezebb feladat megoldását tűzzük ki
Részletesebbenkülönösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése.
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson amatematikáról, mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
RészletesebbenEMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1.2.3. Matematika az általános iskolák 1 4. évfolyama számára
EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1.2.3 Matematika az általános iskolák 1 4. évfolyama számára Célok és feladatok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet
RészletesebbenMesterséges intelligencia, 7. előadás 2008. október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.)
Mesterséges intelligencia, 7. előadás 2008. október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.) Bizonytalanságkezelés: Az eddig vizsgáltakhoz képest teljesen más világ. A korábbi problémák nagy része logikai,
RészletesebbenAtávlati célokat tekintve: olyan feladatbank létrehozása, amely nagyszámú, a gyakorlatban
Zátonyi Sándor Fizika felmérő A 8 11. évfolyamos tanulók tudásának diagnosztikus értékelése Az Országos Közoktatási Intézet Alapműveltségi Vizsgaközpont 1999. májusában (más tantárgyak mellett fizikából
RészletesebbenSoukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus
Síktopológiák a Sorgenfrey-egyenes ötletével Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus 1. Bevezetés A Sorgenfrey-egyenes
RészletesebbenLineáris algebra bevezető
Lineáris algebra bevezető 1 Egyismeretlenes egyenletek bemelegítés Az ilyen egyenletek rendezés után ax = b alakba írhatók Ha a 0, akkor a(z egyértelmű megoldás x = b/a Ha a = 0, akkor b 0 esetben nincs
RészletesebbenA Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve
A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve Matematika Készítette: a gimnázium reál szakmai munkaközössége 2015. Tartalom Emelt szintű matematika képzés... 3 Matematika alapóraszámú képzés... 47 Matematika
RészletesebbenApor Vilmos Katolikus Iskolaközpont. Helyi tanterv. Matematika. készült. a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1-4./1.2.3.
1 Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont Helyi tanterv Matematika készült a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1-4./1.2.3. alapján 1-4. évfolyam 2 MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja,
RészletesebbenKövetkezõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk
1 1 Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk Jelfeldolgozás 1 Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 2 Bevezetés 5 Kérdések, feladatok 6 Fourier sorok, Fourier transzformáció 7 Jelek
RészletesebbenSzakmai zárójelentés
Szakmai zárójelentés A csoporttechnológia (Group Technology = GT) elvi és módszertani alapjaihoz, valamint a kapcsolódó módszerek informatikai alkalmazásaihoz kötődő kutatómunkával a Miskolci Egyetem Alkalmazott
Részletesebben22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.)
22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) A) A PERMUTÁCIÓK CIKLIKUS SZERKEZETE 1. feladat: Egy húsztagú társaság ül az asztal körül. Néhányat közülük (esetleg az összeset) párba állítunk, és a párok
Részletesebbenképességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják matematikai tudásukat, és felismerjék, hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
RészletesebbenVektortér. A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet).
Vektortér A vektortér (lineáris tér, lineáris vektortér) két, már tanult algebrai struktúrát kapcsol össze. Def.: Legyen V nemüres halmaz, amelyben egy összeadásnak nevezett művelet van definiálva, és
RészletesebbenMATEMATIKA 1-2.osztály
MATEMATIKA 1-2.osztály A matematikatanítás feladata a matematika különböző arculatainak bemutatása. A tanulók matematikai gondolkodásának fejlesztése során alapvető cél, hogy mind inkább ki tudják választani
Részletesebbenkülönösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése.
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről, és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
RészletesebbenLineáris algebra I. Vektorok és szorzataik
Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Ismert fogalmak Témák Vektortér Lineáris kombináció Lineáris függőség, függetlenség Generátorrendszer, bázis, dimenzió Lineáris leképezések Szabadvektorok vektortere
RészletesebbenHALMAZOK TULAJDONSÁGAI,
Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A:= { a csoport tanulói b) B:= { Magyarország városai ma c) C:=
RészletesebbenLoad-flow jellegű feladat a villamos rendszerirányításban
NASZVADI PÉTER Load-flow jellegű feladat a villamos rendszerirányításban TDK dolgozat 2006 Előszó: Adott egy (villamosenergiaellátást biztosító) villamoshálózat, és ezen hálózathoz csatlakozó energiatermelők
RészletesebbenPróba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ
Név: osztály: Próba érettségi feladatsor 2008 április 11 I RÉSZ Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti keretbe írja!
Részletesebben2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n
Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2012 13-as tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a javító
Részletesebben