1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot

Átírás

1 1991. évi verseny, 1. nap 1. Bizonyítsd be, hogy < Egy bálon 42-en vettek részt. Az első lány elmondta, hogy 7 fiúval táncolt, a második lány 8-cal, a harmadik 9-cel,..., és végül az utolsó lány minden fiúval táncolt. Hány fiú volt a bálon? 3. Egy háromszög három csúcsa körül három, egymást páronként érintő kört rajzoltunk. Mekkorák a körök sugarai, ha a háromszög oldalai 11, 12, 15 cm? 4. Egy sík terepen szeretnénk megmérni az ábrán látható DC távolságot, de a C pont hozzáférhetetlen. Meg tudtuk mérni az AB távolságot és az ábrán megadott szögeket, a B és A pontoknál derékszög van. Mekkora a CD távolság? évi verseny, 2. nap 1. Egy tetszőleges kétjegyű szám után írjunk egy nullát, majd újra a kétjegyű számot. Mutasd meg, hogy az így kapott ötjegyű szám mindig osztható 11-gyel és 13-mal is! 2. Egy 1200 m hosszú kör alakú versenypályán két kerékpáros egyszerre indul el a rajtvonalról, ellenkező irányban. Amíg az egyik 300 m-t tesz meg, addig a másik 400 m-t. Hány kört tesznek meg, amíg újra a rajtvonalon találkoznak? 3. Vizsgáld meg a következő szám-háromszöget: Melyik szám áll a 10., a 20., az n-edik sor végén? Mennyi a 10., a 20., az n-edik sorban álló számok összege? Állításodat indokold! 4. Az ábrán egy trapéz két párhuzamos oldalának felezőpontját kötöttük össze a szemközti csúcsokkal. Igazold, hogy a vonalkázott terület egyenlő a pontozott területtel! évi verseny, 1. nap 1. Ki lehet-e fizetni 99 Ft-ot csak 1, 2 és 5 Ft-os pénzérmékkel úgy, hogy összesen 22 pénzdarabot használunk fel és nem kell visszaadni? Ha igen, hányféleképpen? 2. Egy szabályos háromszög csúcsainak kiszínezéséhez öt szín áll rendelkezésünkre. Hányféleképpen színezhetünk, ha minden csúcsot kiszínezünk és a tükrözéssel vagy elforgatással egymásba vihető kiszínezéseket nem tekintjük különbözőnek? 3. Egy háromszög oldalai 8, 13 és 17 egység. A háromszögbe írt kör érintési pontja a 8 hosszúságú oldalt két részre osztja. Mekkora ennek a két résznek az aránya? 4. Adott egy négyzet, melynek átlója 2 egység. Melyik az a legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot a négyzet belsejében, vagy a kerületén, mindig kiválasztható közülük két olyan pont, amelyek távolsága kisebb, vagy egyenlő, mint d? évi verseny, 2. nap 1. Melyik az a négyjegyű szám, amely egy egész szám négyzete és az első két jegye is egyenlő, meg az utolsó két jegye is egyenlő? 2. Egy téglalap oldalai 8 és 18 egység. Hogyan kell két darabra vágni úgy (nem feltétlenül egy szakasszal), hogy a két darabból egy négyzetet lehessen összeállítani? 3. Egy utca egyik oldalán 12 ház áll egy sorban, két-két szomszédos ház távolsága 100 m. Egy vállalkozó egy zöldségárusító pavilont akar építeni erre az oldalra. Az építési engedélyt azzal a feltétellel kapja meg, hogy oda kell építenie a pavilont, ahonnan számítva az utca ezen az oldalán álló összes ház távolságát lemérve és ezeket összeadva, a legkisebb számot kapunk (két ház távolságát kapuinak közepének távolságával mérjük). Hová építi a pavilont? 4. Az ABCD négyzet AB oldalára befelé megszerkesztjük az AP B szabályos háromszöget, BC oldalára pedig kifelé a BRC szabályos háromszöget. Igazoljuk, hogy D, P és R egy egyenesre illeszkedik! 2

2 1993. évi verseny, 1. nap 1. Melyik az a pozitív egész szám, amely a számjegyei összegével kisebb a 328-nál? 2. Januárban 3 vasárnap esett páros sorszámú napra. A hét melyik napjára esett január 20-a? 3. Hányad része a négyzet területének a háromszög területe? (A megjelölt pontok a négyzet oldalait négy-négy egyenlő részre osztják.) 4. Két padon 6 6 gyerek ült. Valamennyien különböző életkorúak (az életkorok egész számok), és az egyik padon ülő gyerekek életkorának összege és szorzata is megegyezik a másik padon ülők életkorának összegével és szorzatával. A legidősebb gyerek 16 éves. Hány évesek azok a gyerekek, akik vele egy padon ülnek? évi verseny, 2. nap 1. Az apa és két fia együtt 51 évesek. Az apa 6-szor annyi éves, mint a két fiú életkora számjegyeinek összege. Hány éves az apa? 2. Egy háromszög egyik szöge 20, másik szöge 60. Mutasd meg, hogy a 60 -os szög csúcsán áthaladó alkalmas egyenessel a háromszög két egyenlő szárú háromszögre bontható! 3. Három egymást követő páratlan számot összeszoroztunk, majd a kapott eredményt megszoroztuk 5-tel. Így egy következő alakú hatjegyű számot kaptunk: ABABAB, ahol A és B számjegyek. Mi volt az eredeti három páratlan szám? 4. Van-e olyan pozitív egész k szám, amelyre igaz, hogy k + 5, k + 7 és k + 15 egyszerre prímszámok? évi verseny, 1. nap 1. Figyeld meg a következő összeadásokat: 15 = , 1353 = , = Mennyit kapunk, ha 1333-tól 5333-ig összeadjuk az egész számokat? Általánosíts! 2. Adott az ABC egyenlő szárú háromszög (AC = BC), és ennek BC szárán a D és E pontok úgy, hogy DA = DE és DAB = CAE teljesül. Mekkora az EAB? 3. Hányféleképpen választhatunk ki 1 és 20 között 2 egész számot úgy, hogy összegük páros legyen? 4. Egy szabályos háromszöget könnyen fel tudunk bontani 4 szabályos háromszögre így! A megjelölt pontok, amiket összekötöttünk, az oldalfelező pontok. Felbontható-e egy szabályos háromszög 6 (nem feltétlenül egybevágó (egyforma)) szabályos háromszögre? És 8 szabályos háromszögre? évi verseny, 2. nap 1. A következő szorzat eredményét prímszámok hatványának szorzata alakjában írjuk fel. Mennyi lesz ebben a 2 kitevője? Négy szakasszal legfeljebb 2 egymásba nem nyúló háromszöget tudunk rajzolni Legfeljebb hány, egymásba nem nyúló háromszöget tudunk rajzolni 5 szakasszal? És 6-tal? 3. Adott 12 darab 1 egység hosszú gyufaszál. Készíts ezek felhasználásával olyan sokszöget, amelynek területe 4 (terület)egység és kerülete 12 egység! 4. Az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekkel (gondolatban) elkészítjük az összes ötjegyű, különböző számjegyekből álló, tízes számrendszerbeli számot. Van-e ezek között két olyan szám, hogy egyik osztója a másiknak? 4

3 1995. évi verseny, 1. nap 1. A 2, 3, 6 számok érdekes tulajdonsága, hogy összegük 11 és = 1. Állítsuk elő a 24-et és a 31-et 1 reciprokaik összege: is olyan pozitív egészek összegeként, amelyeknek reciprokait összeadva 1-et kapunk! 2. Igazoljuk, hogy a 376 bármely pozitív egész kitevőjű hatványa 376-ra végződik! 3. Egy húrtrapézt (szimmetrikus trapézt) az egyik átlója két egyenlő szárú háromszögre bont. Mekkorák a trapéz szögei? 4. Egy téglalap kerületét centiméterekben mérve egész szám fejezi ki. Kiderült, hogy ugyanez az egész szám mutatja meg azt is, hány 1 cm oldalú kis négyzettel rakható ki pontosan a téglalap területe. Mekkorák lehetnek a téglalap oldalai? évi verseny, 2. nap 1. Hány különböző olyan pozitív egészekből álló számhármas van, amelyeknek összege 60? (A számok különböző sorrendje nem számít különbözőnek.) 2. Jóska és Berci egymástól függetlenül kirándulni indultak. Kiderült, hogy egyforma ideig voltak távol, egyenlő távolságot tettek meg, és útközben mindketten megpihentek. Tudjuk még, hogy Jóska kétszerannyi ideig volt úton, mint amennyit Berci pihent, Berci pedig háromszorannyi ideig volt úton, mint ameddig Jóska pihent. Melyikük haladt gyorsabban? 3. Egy rombusz tompaszögű csúcsából induló két magasságvonalnak az oldalakkal való metszéspontjait összekötő szakasz a rombusz hosszabbik átlójának fele. Mekkorák a rombusz szögei? 4. A Fibonacci-sorozat első két eleme: 1, 1; a további elemeket úgy kapjuk, hogy az előző két elemet összeadjuk: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... Bizonyítsuk be, hogy a sorozat minden ötödik eleme osztható 5-tel! évi verseny, 1. nap 1. Az A kétjegyű pozitív egész számról tudjuk, hogy bármelyik pozitív egész kitevőjű hatványának utolsó két számjegyéből alkotott szám A-val egyenlő. Mi lehet A? 2. Adott egy hegyesszög és szárai közt két pont, P és Q. Hogyan kell kijelölnünk a szög két szárán az X és Y pontokat, hogy a P X +XY +Y Q szakaszhosszak összege a legkisebb legyen? 3. Igaz-e, hogy minden konvex kilenc-szögnek van két olyan átlója, amelyek szöge 7 -nál kisebb? 4. Egy kis utca egyik oldalán egymástól egyenlő távolságra 15 ház áll. Egy autóbuszmegállót úgy akarnak elhelyezni ezen az oldalon, hogy az egyes házaktól az autóbuszmegállóhoz vezető utak hosszát összeadva a lehető legkisebb legyen az összeg. Hova helyezzék az autóbuszmegállót? évi verseny, 2. nap 1. Fejtsük meg a következő szorzásokat! Azonos betűk azonos számjegyeket, különböző betűk különböző számjegyeket jelentenek mindkét szorzásban: M IKM = KMBK, IB BL = KMBK. 2. Papírból kivágtak néhány egybevágó (egyforma) szabályos háromszöget és mindegyiknek a csúcsára ráírták sorra az 1, 2, 3 számokat. Előfordulhat-e, hogy a csúcsokra írt számok összege 1996? És az, hogy 1998? 3. Egy kocka minden lapját kilenc egybevágó négyzetre bontjuk és a kapott kis négyzeteket kiszínezzük a következő módon. Bármely két olyan kis négyzet, amelynek van közös oldala, különböző színű legyen. Legalább hány szín szükséges a színezéshez? 4. Igaz-e, hogy és 1995 legnagyobb közös osztója 1? Állításodat indokold! 6

4 1997. évi verseny, 1. nap 1. Melyek azok a p és q prímszámok, amelyekre p + q is és p q is prímszám? 2. Milyen számjegyre végződik a következő szorzat: ? 3. Az ABCD négyzet oldala 5 egység. Az AB oldalon a P pont A-tól 1, a BC oldalon a Q pont B-től 1 és a CD oldalon az R pont a C-től 2 egység távolságra van. Számítsd ki a P QR háromszög területét! 4. Hány olyan 1000-nél kisebb pozitív egész szám van, amelyik nem osztható sem 5-tel, sem 7-tel? évi verseny, 2. nap 1. Melyik lehet az a két pozitív egész szám, amelyek összege 168 és legnagyobb közös osztója 24? 2. Felbontható-e két egymást követő pozitív egész szám szorzatára ? 3. Adott egy 60 -os szög szárai között egy P pont. Azok közül a háromszögek közül, amelyeknek egyik csúcsa P, másik két csúcsa pedig a szög egy-egy szárán van, melyiknek lesz legkisebb a kerülete? 4. Egy kockát síkokkal 25 részre akarunk szétvágni. Legalább hány sík szükséges ehhez? évi verseny, 1. nap 1. Hányféleképpen választhatunk ki három különböző, 30-nál nem nagyobb pozitív egész számot úgy, hogy összegük páros legyen? 2. Vannak-e négyzetszámok a következő sorozatban? 11, 111, 1111, 11111, Melyek azok a tízes számrendszerben felírt háromjegyű számok, amelyekre igaz, hogy egyenlők számjegyeik összegének 12-szeresével? 4. Mutassuk meg, hogy egy téglalapot fel lehet darabolni n téglalapra úgy, hogy a darabok közül semelyik kettő nem alkot (az eredeti helyén) egy téglalapot, ha n = 5, 6, 7 és évi verseny, 2. nap 1. Van 23 darab kártyánk, amelyekre felírtuk a pozitív egész számokat 1-től 23-ig. Két csoportra akarjuk osztani a kártyákat úgy, hogy az egyik csoportba tartozókra írt számok összege 17-tel nagyobb a másik csoportba rakott kártyákra írt számok összegénél. Megoldható-e ez a csoportosítás? 2. Hány olyan négyjegyű szám van, amelyben csak 2 különböző számjegy fordul elő? 3. Az A és B pontok az e egyenes különböző oldalain vannak, különböző távolságra. Az e egyenes melyik P pontjára igaz, hogy az AP és BP távolságok különbsége a legkisebb? 4. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek fele egy egész szám négyzete, ötöde pedig egy egész szám köbe (harmadik hatványa)? 8

5 1999. évi verseny, 1. nap 1. Melyik az a három prímszám, amelyekre igaz, hogy a szorzatuk éppen 5-szöröse az összegüknek? 2. Az ABCD négyzet oldala 3 egység. Az AB oldal A-hoz közelebbi harmadolópontja E, a BC oldal B-hez közelebbi harmadolópontja F és a DA oldal D-hez közelebbi harmadolópontja G. Mennyi az EF G háromszög területe? 3. X és Y a múlt században születtek, különböző években. Később mindketten elmondhatták magukról, hogy n éves voltam az n 2 évszámmal jelölt évben. Melyik évben született X és Y? 4. El kell szállítani néhány lezárt ládában lévő árut. A szállítást úgy kell megszervezni, hogy háromtonnás teherautókkal egyszerre kell az összes ládát elvinni (a 3 tonnás teherautó legfeljebb 3 tonnát tud elvinni). Csak annyit tudunk, hogy a ládák együttes súlya 10 tonna, és egyik láda sem nehezebb 1 tonnánál. Minimálisan hány teherautóra van szükség? évi verseny, 2. nap 1. Melyek azok a tízes számrendszerben felírt háromjegyű számok, amelyeket ha ugyanezekkel a számjegyekkel ugyanilyen sorrendben a 15-ös számrendszerben olvasunk, akkor éppen 2-szer akkora számot kapunk? 2. Legfeljebb hány részre osztja fel a síkot két kör, három kör, és négy kör? 3. Egy körlemezt négy átmérőjével 8 egybevágó körcikkre boontunk. Mindegyik körcikkbe egy háromjegyű számot kell írni úgy, hogy csak az 1 és 2 számjegyeket használhatjuk fel, és két szomszédos körcikkbe írt szám csak egy helyi értéken különbözhet. Elvégezhető-e ez a beírás, ha igen, hogyan? Fogalmazzuk meg, és oldjuk is meg a megfelelő feladatot 8 átmérővel és 4-jegyű számokkal! 4. Hét horgász összesen 100 halat fogott. Érdekes, hogy mindegyiküknek különböző számú hal akadt a horgára. Mutassuk meg, hogy van köztük három olyan horgász, akik együtt legalább 50 halat fogtak! évi verseny, 1. nap 1. Milyen számjegyeket kell írni a -ok helyére, hogy a tízes számrendszerben felírt szám osztható legyen 72-vel? 2. Egy kockát 4 síkkal legalább és legfeljebb hány részre lehet vágni? Feltesszük, hogy mind a 4 sík belevág a kockába. 3. Fel lehet-e rakni 7 darab 3 tonnás teherbírású autóra a következő 50 ládát, amelyek tömege sorra: 370 kg, 372 kg, 374 kg, 376 kg,..., 468 kg? 4. Három és négy óra között pontosan hány órakor zár be az óra kis és nagy mutatója éppen 180 -os szöget? évi verseny, 2. nap 1. Az összes 0-tól különböző számjegyet pontosan egyszer használva írjunk fel olyan prímszámokat (törzsszámokat), amelyeknek az összege a lehető legkisebb! 2. Egy táblára felírták 1-től 2002-ig az egész számokat. Egy lépésben bármelyik két számot letörölhetjük, és helyükre az összegüket, vagy a különbségüket írhatjuk. Előfordulhat-e, hogy 2001 ilyen lépés után a 2 marad a táblán? 3. Igaz-e, hogy bármely konvex nyolcszögnek van két olyan átlója, amelyek legfeljebb 12 -os szöget zárnak be? 4. Anti és Béla együtt elvállaltak egy bizonyos munkát, amit ketten 24 nap alatt végeztek el. Anti csak 2 3 annyit végzett, mint Béla. Hány nap alatt végezték volna el ezt a munkát külön-külön? 10

6 2001. évi verseny, 1. nap 1. Az a természetes számról tudjuk, hogy osztható 5-tel és 49-cel is, továbbá összesen 10 pozitív osztója van (1-et és a-t is beleértve). Mi lehet az értéke? 2. Igazoljuk, hogy ha egy konvex kilencszögnek nincs két párhuzamos átlója, akkor van két olyan átló, amelyeknek egyenese 7 -nál kisebb szöget zár be egymással! 3. Hány olyan négyjegyű pozitív egész szám van, amely csupa különböző számjegyből áll? 4. Az ABC derékszögű háromszög A csúcsában 30 -os, B csúcsában 60 -os szög van. A háromszöget tükrözzük az AB átfogó egyenesre, majd az így kapott ACBC1 négyszöget újra tükrözzük a CC1 átlójára. A tükörkép az A1CB1C1 négyszög. Hányad része az ACA1C1 négyszög területének a CBC1B1 négyszög területe? évi verseny, 2. nap 1. Négy óra után hány perc múlva fedi először egymást a percmutató és az óramutató? 2. A négyzetrácsos (kockás) papíron megrajzoltak egy olyan téglalapot, amelynek oldalai rácsegyeneseken vannak, csúcsai rácspontok, és oldalai 8 és 10 egység hosszúak (egy egység egy rácsnégyzet oldalának hossza). Hány négyzet látható ebben a téglalapban (olyan, amelynek oldalai rácsegyeneseken vannak, csúcsai rácspontok)? 3. Írjátok le a mai dátumot így: A kapott nyolcjegyű szám számjegyeit írjátok más sorrendbe (mindegy, milyenbe): A két szám közül a nagyobbikból vonjátok ki a kisebbet: Adjátok össze a kapott szám számjegyeit: 36, majd a most kapott szám jegyeit: 9. Induljatok ki a születésetek dátumából és végezzétek el ugyanezeket a műveleteket. Mit kaptatok? Magyarázzátok meg! 4. Egy háromszög két szöge 20 és 60. Mutassátok meg, hogy a háromszög egyetlen egyenessel két egyenlőszárú háromszögre bontható! 11