6. Bizonyítási módszerek

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "6. Bizonyítási módszerek"

Átírás

1 6. Bizonyítási módszere I. Feladato. Egy as táblázat minden mezőjébe beírju az,, 3 számo valamelyiét és iszámítju soronént is, oszloponént is, és a ét átlóban is az ott lévő szám öszszegét. Bizonyítsd be, hogy a apott összege özött lesz ét azonos. Varga Tamás Matematia Verseny 997; 7. osztály, országos döntő. Egy 3 3-as négyzet alaú táblázat minden mezőjébe beírju az és számo valamelyiét. Ezután összeadju a soroba írt számoat, majd az egyes oszlopoba írt számoat is. Igazolju, hogy az így apott 6 szám özött mindig van legalább ettő egyenlő. Kalmár László Matematia Verseny 996; 5. osztály, országos döntő 3. Egy 3 3-as táblázat mezőibe az, 0, számo valamelyiét írtu és összeadtu az egyes soroban és oszlopoban álló számoat. Igaz-e, hogy a 6 összeg özött vanna egyenlő? KöMaL, 98. április, Gy Adott hét ülönböző természetes szám, melye összege 00. Bizonyítsu be, hogy van öztü három, melye összege legalább. KöMaL, 980. május, Gy.93. Varga Tamás Matematia Verseny 997; 8. osztály, II. ategória, országos döntő 5. Adott szám, melye összege 00. Bizonyítsu be, hogy a számo özül iválasztható három úgy, hogy az összegü legalább 6 legyen. KöMaL, 98. március, Gy Adott hét szám. Bármelyi négyet iválasztva összegü nagyobb a többi három összegénél. Bizonyítsu be, hogy mindegyi szám pozitív. 7. Adott 0 szám. Bárhogyan választun i özülü -et, eze összege isebb, mint a i nem választotta összege. Bizonyítsu be, hogy a számo mindannyian pozitíva. KöMaL, 980. otóber, Gy Száz szám összege 0. Bizonyítsu be, hogy a özülü iválasztható számpáro özött legalább 99 olyan van, amelyben a ét tag összege nem negatív. KöMaL, 983. január, Gy.097.

2 9. Az,, 3,, 9, 0 számoat leírju valamilyen sorrendben. Ezután minden számhoz hozzáadju azt a sorszámot, ahányadi a leírt sorban. Igazolju, hogy a apott összege özött biztosan lesz ettő, amelyi ugyanarra a számjegyre végződi. Kalmár László Matematia Verseny 007; 8. osztály, országos döntő 0. Egy papírlapra felírtu -től 0-ig az egész számoat. Igaz-e, hogy bárhogyan is választun i 0-et a felírt számo özül, eze özül mindig iválasztható 4 szám úgy, hogy özülü ettő ülönbsége egyenlő a mási ettő ülönbségével? Kalmár László Matematia Verseny 996. és 998; 8. osztály, országos döntő. Adott 0 ülönböző pozitív egész szám, mindegyi isebb 70-nél. Mutassu meg, hogy páronénti ülönbségei özt van négy egyenlő. KöMaL, 984. május, Gy.00.. Adott egy 3-nál nagyobb p prímszám és tudju, hogy p-ne egy hatványa 0 jegyű szám. Igazolju, hogy a 0 számjegy özött van legalább három azonos. Kalmár László Matematia Verseny 996; 7. osztály, országos döntő 3. Az,, 3,, 8, 9 számoat 3 hármas csoportra bontju, és iszámítju mindegyi csoportban a számo szorzatát. Igazolju, hogy a apott legnagyobb szorzat legalább 7. Kalmár László Matematia Verseny 996; 7. osztály, országos döntő 4. Tíz ülönböző pozitív egész szám összege 6. Igazolju, hogy a számo szorzata osztható 60-nal. Kalmár László Matematia Verseny 0; 7. osztály, országos döntő 5. Igazolja, hogy 7 páratlan egész itevőjű hatványához -et adva 8-cal osztható számot apun. Kalmár László Matematia Verseny 997; 7. osztály, országos döntő 6. Igazolju, hogy bárhogyan is adun meg 5 darab, 00-nál nem nagyobb pozitív egész számot, mindig i lehet özülü választani ettőt úgy, hogy a iválasztotta hányadosa - ne pozitív egész hatványa. Kalmár László Matematia Verseny 00; 8. osztály, országos döntő 7. Az,, 3,, 0 számo özül iválasztun -et. Mutasd meg, hogy a iválasztott számo özött mindig van ettő olyan, amely özül egyi osztója a másina. Kalmár László Matematia Verseny 990; 8. osztály, megyei forduló

3 8. Tetszőlegesen megadun 0 darab pozitív egész számot, amelye özül egyi sem osztható 0-zel. Igaz-e, hogy eor van öztü néhány olyan (esetleg az összes), amelyene összege osztható 0-zel? Kalmár László Matematia Verseny 994; 7. osztály, országos döntő 9. Igazolju, hogy tetszőleges n > 0 egész számhoz van olyan tízes számrendszerbeli K 000K00 alaú szám, amely osztható n-nel. Kalmár László Matematia Verseny 0; 8. osztály, megyei forduló 0. Bizonyítsu be, hogy minden -hatványna létezi olyan többszöröse, amelyne tízes számrendszerbeli alajában csa az -es és -es számjegye szerepelne.. Mutassa meg, hogy 03-na van olyan többszöröse, amelyne a) minden számjegye -es; b) amelyben mind a tíz számjegy szerepel. KöMaL, 995. otóber, F Egy üdülő bármely három laója özött van ettő, ai nem ismeri egymást, de bármely hét özött van legalább ettő, ai ismeri egymást. Az üdülés befejeztével mindeni megajándéozza minden ismerősét egy-egy ajándétárggyal. Bizonyítsu be, hogy n nyaraló esetén legfeljebb 6 n tárgy erül ajándéozásra. OKTV, 986; KöMaL, 986. szeptember, F Egy osztályban mindeni ét szaörbe jár, és bármely három gyere jár özös szaörbe. Bizonyítsu be, hogy van olyan szaör, ahová minden gyere jár. KöMaL, 98. május, Gy Egy osztályban bármely ét gyere jár özös szaörbe, de mindeni legfeljebb ét szaörne a tagja. Bizonyítsu be, hogy van olyan szaör, ahová az osztályna legalább a étharmad része jár. KöMaL, 986. április, Gy Egy gulyában ét falu 65 tehene legel, vöröse, fehére, feeté és tará. Igazolju, hogy ha nincsen öt ülönböző orú, azonos színű tehén a gulyában, aor található három azonos színű és egyidős tehén ugyanabból a faluból. Arany Dániel Matematiai Tanulóverseny 987/988; haladó, II. ategória,. forduló Varga Tamás Matematia Verseny 00; 7. osztály, országos döntő 6. Egy nemzetözi onferencián 9 tudós vesz részt. Egyiü sem beszél háromnál több nyelvet, és özülü bármely három özött van ettő, ai beszélne özös nyelvet. Bizonyítsu be, hogy van olyan nyelv, amelyen legalább hárman beszélne. KöMaL, 979. február, F.87. 3

4 7. Egy szobában 9 ember van. Bármely 3 özött található ettő olyan, ai ismeri egymást. Mutassu meg, hogy található a szobában négy olyan ember, ai özül bármely ettő ismeri egymást. KöMaL, 979. április, F Egy nemzetözi onferencián 00 tudós vesz részt. Mindegyiü legfeljebb 4 nyelven beszél, továbbá bármely három özött van ettő, ai beszélne özös nyelven. Bizonyítsu be, hogy van olyan nyelv, amit özülü legalább 6-an beszélne. KöMaL, 006. február, B Bizonyítsu be, hogy K + + <. KöMaL, 994. otóber, F Igaz-e minden n természetes számra a 3 4K n < 3 egyenlőtlenség? KöMaL, 998. február, F.36. II. Megoldáso. Egy as táblázat minden mezőjébe beírju az,, 3 számo valamelyiét és iszámítju soronént is, oszloponént is, és a ét átlóban is az ott lévő szám öszszegét. Bizonyítsd be, hogy a apott összege özött lesz ét azonos. Varga Tamás Matematia Verseny 997; 7. osztály, országos döntő Megoldás: Az összege lehetséges értéei 00, 0, 0,, 300. Azaz 0-féle értée lehet az összegene. A 00 sorban, a 00 oszlopban és a átlóban 0 összeget számolun, eze nem lehetne mind ülönböző értée, hiszen csa 0-féle eredményt aphatun.. Egy 3 3-as négyzet alaú táblázat minden mezőjébe beírju az és számo valamelyiét. Ezután összeadju a soroba írt számoat, majd az egyes oszlopoba írt számoat is. Igazolju, hogy az így apott 6 szám özött mindig van legalább ettő egyenlő. Kalmár László Matematia Verseny 996; 5. osztály, országos döntő Megoldás: Az összege lehetséges értéei páratlano: 3,,, 3. Azaz 4-féle összeg lehetséges. A 3 sorban és a 3 oszlopban 6 összeget számolun, eze nem lehetne mind ülönböző értée, hiszen csa 4-féle eredményt aphatun. 4

5 3. Egy 3 3-as táblázat mezőibe az, 0, számo valamelyiét írtu és összeadtu az egyes soroban és oszlopoban álló számoat. Igaz-e, hogy a 6 összeg özött vanna egyenlő? KöMaL, 98. április, Gy.049. Megoldás: A lehetséges sor-, illetve oszlopösszege hét darab szám, a 3,,, 0,, és a 3 özül erülhetne i. Ha a 6 összeg özött nincsene egyenlő, aor a felsorolt hét szám özül pontosan egy nem szerepel az összege özött. Jelöljü ezt a hiányzó számot h- val. A sorösszege összege ugyanannyi, mint az oszlopösszegeé, hiszen mindét esetben a táblázatba írt ilenc darab számot adtu össze. Emiatt a szóban forgó 6 összeg összege páros, tehát h-na is párosna ell lennie. Ebből övetezi, hogy a 3 és a 3 is szerepel az összege özött. A 3 három darab, a 3 három darab összegeént állhat csa elő, ez a három-három szám így vagy egy-egy sorban, vagy egy-egy oszlopban szerepel. Feltehető, hogy egy-egy sorban vanna. Eor a táblázat harmadi sorában mindhárom szám ülönböző, hisz egyébént volna ét egyenlő oszlopösszeg. A harmadi sorban az,, 0 számo állna valamilyen sorrendben, de abban az oszlopban, ahová a 0 erül, szintén az,, 0 számo állna, tehát találtun olyan sort és oszlopot, amelyben egyforma, 0 összegű számo állna. Tehát bárhogyan töltjü i a táblázatot, a 6 összeg özött vanna egyenlő. 4. Adott hét ülönböző természetes szám, melye összege 00. Bizonyítsu be, hogy van öztü három, melye összege legalább. KöMaL, 980. május, Gy.93. Varga Tamás Matematia Verseny 997; 8. osztály, II. ategória, országos döntő Megoldás: Legyen a hét szám A > B> C > D> E > F > G. Azt ell megmutatnun, hogy A + B+ C. Ha C > 5, aor C 6, B 7, A 8 és így A + B+ C = 5>. Ha C 5, aor D 4, E 3, F, G, aor D + E+ F + G =, ezért a többi három szám összege A + B+ C. 5. Adott szám, melye összege 00. Bizonyítsu be, hogy a számo özül iválasztható három úgy, hogy az összegü legalább 6 legyen. KöMaL, 98. március, Gy.039. Megoldás: A számo özül a három legnagyobb A B C. Ha C, aor A + B+ C 6. Ha C <, aor az A, B, C számotól ülönböző további 47 szám ugyancsa isebb mint, így az összegü isebb mint 47 = 94, ezért A + B+ C 00 94= 6. 5

6 6. Adott hét szám. Bármelyi négyet iválasztva összegü nagyobb a többi három összegénél. Bizonyítsu be, hogy mindegyi szám pozitív. I. megoldás: Legyen a hét szám A B C D E F G. Elegendő azt belátni, hogy a G szám pozitív. Az egyenlőtlenségeből A + B+ C D+ E+ F adódi. Ha G 0 lenne, aor A + B+ C D+ E+ F + G adódna, ami nem lehetséges. Ezért G > 0. II. megoldás: Legyen a hét szám a, b, c, d, e, f, g. Eor az a + b+ c+ d > e+ f + g és a + e+ f + g > b+ c+ d egyenlőtlensége összegéből a > 0 övetezi, azaz a > 0. Mivel a az adott számo bármelyiét jelölheti, ezért mindegyiü pozitív. 7. Adott 0 szám. Bárhogyan választun i özülü -et, eze összege isebb, mint a i nem választotta összege. Bizonyítsu be, hogy a számo mindannyian pozitíva. KöMaL, 980. otóber, Gy.96. I. megoldás: Legyene a számo a a a3 K a00 a0. Elegendő azt belátni, hogy a > 0. 0 Nyilván a + a + a3 + K + a a5+ a5 + a53 + K+ a00. Ha a 0 0 lenne, aor a + a + a3+ K + a a5+ a5 + a53+ K+ a00 + a0 adódna, ami nem lehetséges. Ezért a > II. megoldás: Válasszun i egyet a 0 szám özül, legyen ez a. Ha a megmaradt 00 számot ét -es csoportra osztju, és S -gyel, illetve S -vel jelöljü az egyes csoportoban álló számo összegét, eor a feltétel szerint S < S + a és S < S + a. A ét egyenlőtlenséget összeadva S + S < S + S a, így 0< a, 0 < a. Mivel a-t tetszőlegesen választottu az adott számo özül, így beláttu, hogy a számo mindannyian pozitíva. 8. Száz szám összege 0. Bizonyítsu be, hogy a özülü iválasztható számpáro özött legalább 99 olyan van, amelyben a ét tag összege nem negatív. KöMaL, 983. január, Gy.097. Megoldás: Legyene a számo a a a3 K a00. Két esetet ülönböztetün meg aszerint, hogy a milyen előjelű. Ha a 0, aor 0 a a5+ a99 a5 K a97 a98, és 0 a + a a + a a + a a + a K a + a a + a, itt felsoroltun darab nemnegatív összeget. Eze özött csa a szerepel étszer, vagyis találtun 99 olyan számpárt, ahol a ét tag összege nem negatív

7 Ha a < 0, aor 0> a a49 + a98 a48 + a97 K a3+ a5 a + a5, enne a 49 párna az összege negatív. Ez az összeg viszont nem más, mint S ( + ) a a 00, ahol S jelöli a 00 szám összegét. A feltétel szerint S = 0, így ha a + a 0, aor a + a < 00 > Ugyanaor 0< a + a00 a + a00 a3+ a00 K a98 + a00 a99 + a00, tehát most is találtun 99 olyan számpárt, amelyben a ét tag összege nem negatív. 9. Az,, 3,, 9, 0 számoat leírju valamilyen sorrendben. Ezután minden számhoz hozzáadju azt a sorszámot, ahányadi a leírt sorban. Igazolju, hogy a apott összege özött biztosan lesz ettő, amelyi ugyanarra a számjegyre végződi. Kalmár László Matematia Verseny 007; 8. osztály, országos döntő Megoldás: Legyen az,, 3,, 9, 0 számo valamilyen sorrendje a, a, a3, K, a0. Eor a feladat szerint épzett összege: b = a, b = a,, b = a 0. Azt ell belátnun, hogy a b i számo özött van ettő, amelyi ugyanarra a számjegyre végződi. Indiret úton bizonyítun. Tegyü fel, hogy nincs ettő a bi - özött, amelyi ugyanarra a számjegyre végződi. Ez azt jelenti, hogy minden lehetséges végződés pontosan egyszer fordul elő. Emiatt tudju a b + b + b3 + K + b0 összeg utolsó számjegyét, hiszen az összeadandó utolsó számjegyeine összege K + 9= 45, az összeg utolsó számjegye 5. b + b + K+ b0 = a+ a + K+ a K+ 0= 0 miatt a b + b + K + b0 összeg 0-ra végződi és nem 5-re. Ellentmondásra jutottun. Hibás volt a feltevés, így igaz a feladat állítása. 0. Egy papírlapra felírtu -től 0-ig az egész számoat. Igaz-e, hogy bárhogyan is választun i 0-et a felírt számo özül, eze özül mindig iválasztható 4 szám úgy, hogy özülü ettő ülönbsége egyenlő a mási ettő ülönbségével? Kalmár László Matematia Verseny 996. és 998; 8. osztály, országos döntő Megoldás: Belátju, hogy ha az,, 3,,0 számoból iválasztun 0 számot, és az azoból bármely ét szám összegét iszámolju, az összege özött lesz legalább ét egyenlő. Ebből övetezi a feladat állítása, mert ha a + b= c+ d, aor a c= d b. A 0 számból 45 számpár választható i, 45 összeget számolun. Az összege lehetséges értéei: 3, 4, 5,, 39, azaz 37-féle eredményt aphatun. Ebből látszi, hogy a 45 összeg özött biztosan van ét azonos eredmény. 7

8 . Adott 0 ülönböző pozitív egész szám, mindegyi isebb 70-nél. Mutassu meg, hogy páronénti ülönbségei özt van négy egyenlő. KöMaL, 984. május, Gy.00. Megoldás: Azt fogju belátni, hogy a 0 számot növevő sorrendbe állítva, már a szomszédos tago özötti ülönbsége özött is van legalább négy egyenlő. A szomszédos tago özötti ülönbsége száma 9. Tegyü fel, hogy minden ülönbség legfeljebb 3-szor fordul elő. Legalább 7 ülönböző nagyságú ülönbség van, mert 6 3+ = 9. A ülönbsége összege legalább 3 ( ) + 7= 70, azonban a ülönbsége összege 69. Az ellentmondás oa a hibás feltevés, tehát a szomszédos eleme özötti ülönbsége özött van legalább négy egyenlő.. Adott egy 3-nál nagyobb p prímszám és tudju, hogy p-ne egy hatványa 0 jegyű szám. Igazolju, hogy a 0 számjegy özött van legalább három azonos. Kalmár László Matematia Verseny 996; 7. osztály, országos döntő Megoldás: Tegyü fel, hogy a számban a számjegye özött nincs három azonos. Eor a tíz számjegy mindegyiéből legfeljebb ettő van, és csa úgy lehet 0 számjegy, ha mind a tíz számjegyből pontosan ettő van. Ezért ebben a 0-jegyű számban a számjegye összege ( K + 9) = 90, a számjegye összege osztható 3-mal, így a 0-jegyű prímhatvány is osztható 3-mal, tehát p is osztható 3-mal. Ez ellentmond anna, hogy p > 3 prímszám. Hibás a feltevésün, tehát p hatványában legalább három számjegy azonos. 3. Az,, 3,, 8, 9 számoat 3 hármas csoportra bontju, és iszámítju mindegyi csoportban a számo szorzatát. Igazolju, hogy a apott legnagyobb szorzat legalább 7. Kalmár László Matematia Verseny 996; 7. osztály, országos döntő Megoldás: Tegyü fel, hogy nem igaz az állítás. Azaz van olyan csoportosítása a ilenc számna, hogy mindhárom csoportban a számo szorzata legfeljebb 7. A szorzato özött van páros, ez legfeljebb 70. Azt aptu, hogy , ami ellentmondás, mivel ( 5 7) ( 3 4 6) ( 8 9) = A feltevés tehát hamis, az állítás igaz. 4. Tíz ülönböző pozitív egész szám összege 6. Igazolju, hogy a számo szorzata osztható 60-nal. Kalmár László Matematia Verseny 0; 7. osztály, országos döntő Megoldás: 60= 3 4 5, és a 3, 4, 5 számo páronént relatív príme, így elég belátni, hogy a tíz szám özött van 3-mal, 4-gyel és 5-tel osztható szám is. Indiret úton bizonyítun. Tegyü fel, hogy a számo özött nincs 3-mal osztható. Vegyü a tíz legisebb ilyen tulajdonságú szám összegét: = 75, ami ellentmond anna, hogy a tíz szám összege 6. Hibás a feltevés, emiatt a számo özött van 3-mal osztható. 8

9 Ha a számo özött nincs 4-gyel osztható, aor a számo összege legalább = 67, ami ellentmond anna, hogy a tíz szám összege 6. Hibás a feltevés, emiatt a számo özött van 4-gyel osztható. Ha nincs öztü 5-tel osztható, aor az összeg legalább = 63, ez ellentmond anna, hogy a tíz szám összege 6. Hibás a feltevés, emiatt a számo özött van 5-tel osztható. Beláttu, hogy a számo özött van 3-mal, van 4-gyel és van 5-tel osztható, így a számo szorzata osztható 60-nal. 5. Igazolja, hogy 7 páratlan egész itevőjű hatványához -et adva 8-cal osztható számot apun. Kalmár László Matematia Verseny 997; 7. osztály, országos döntő. megoldás: Bizonyítsun teljes inducióval. n = és n = 3 esetén 7 n + cal ( 7 + = 8, = 344 ). Belátju, ha 7 n + n+ osztható 8-cal, aor 7 + n cal, és ezzel igazoltu az állítást. 7 + n n + = = ( 7 n + ) n mert 48 7 is, ( 7 n + ) is osztható 8-cal, így az összegü is. értée osztható 8- is osztható 8-, és ez osztható 8-cal,. megoldás: A jól ismert 8 7 n+ +. n n a b a + b oszthatóság szerint 7+ 7 n + + n+, azaz 6. Igazolju, hogy bárhogyan is adun meg 5 darab, 00-nál nem nagyobb pozitív egész számot, mindig i lehet özülü választani ettőt úgy, hogy a iválasztotta hányadosa - ne pozitív egész hatványa. Kalmár László Matematia Verseny 00; 8. osztály, országos döntő Megoldás: Írju fel az 5 szám mindegyiét egy páratlan szám és egy -hatvány szorzataént. Ez a páratlan szám 00-nál isebb, így -féle értée lehet. Emiatt az 5 szám esetén lesz ettő, amelye felbontásában ugyanaz a páratlan szám szerepel. Eze hányadosa -ne pozitív egész hatványa lesz, mert a ét szám nem lehet egyenlő. 7. Az,, 3,, 0 számo özül iválasztun -et. Mutasd meg, hogy a iválasztott számo özött mindig van ettő olyan, amely özül egyi osztója a másina. Kalmár László Matematia Verseny 990; 8. osztály, megyei forduló Megoldás: (Lényegében azonos az előző feladattal.) Írju fel a szám mindegyiét egy páratlan szám és egy -hatvány szorzataént. Ez a páratlan szám 0-nál isebb, így 0-féle értée lehet. Emiatt a szám esetén lesz ettő, amelye felbontásában ugyanaz a páratlan szám szerepel. Eze hányadosa -ne pozitív egész hatványa lesz, azaz egyi szám osztója a másina. 9

10 8. Tetszőlegesen megadun 0 darab pozitív egész számot, amelye özül egyi sem osztható 0-zel. Igaz-e, hogy eor van öztü néhány olyan (esetleg az összes), amelyene összege osztható 0-zel? Kalmár László Matematia Verseny 994; 7. osztály, országos döntő Megoldás: Legyene a számo a, a, a3, K, a0. Képezzü az S = a, S = a + a, S 3 = a+ a + a3,, S 0 = a+ a + a3+ K + a0 összegeet. A apott összege özött vagy van olyan, ami 0-zel osztható, eor igaz az állítás. Ha nincs öztü 0-zel osztható, aor biztosan van ettő olyan, amelyi 0-zel osztva ugyanazt a maradéot adja, így eze ülönbsége osztható 0-zel. És ez a ülönbség néhány a i összege. 9. Igazolju, hogy tetszőleges n > 0 egész számhoz van olyan tízes számrendszerbeli K 000K00 alaú szám, amely osztható n-nel. Kalmár László Matematia Verseny 0; 8. osztály, megyei forduló Megoldás: Teintsü az,,,, 4 K 43 számoat. Eze a számo n-el osztva n-féle n+ db es ülönböző maradéot adhatna, így van ét olyan szám, melyene ugyanaz az osztási maradéa. Eze ülönbsége osztható n-nel. Ez a ülönbség K K= K00K0. Ezzel beláttu az állítást. 0. Bizonyítsu be, hogy minden -hatványna létezi olyan többszöröse, amelyne tízes számrendszerbeli alajában csa az -es és -es számjegye szerepelne. KöMaL, 995. otóber, F Megoldás: Bizonyítsun teljes inducióval. Erősebb állítást igazolun: van olyan n -jegyű, n és számjegyeből álló szám, amely osztható -nel. (Az induciós feltevés ellenőrzése.) Az állítás n =,, 3 és 4 esetén igaz, hiszen a,,, számo rendre osztható a, 4, 8, 6 számoal. (Induciós feltevés.) Feltehetjü: n= -ra még igaz, van olyan -jegyű, és számje- gyeből álló szám, amely osztható -nal. (Induciós lépés.) Belátju, hogy n= + -re is igaz az állítás: van olyan + -jegyű, és számjegyeből álló szám, amely osztható + -nel. Megfigyelhetjü a példában szereplő,,, számonál, hogy mindig a legutolsó szám elé első számjegyne írtun -et vagy -t:,,. Legyen A az induciós feltétel szerint létező -jegyű, és számjegyeből álló szám, amely osztható -nal. Írjun a szám elé első számjegyne -est, illetve írjun -est: A= 0 + A, illetve A= 0 + A. Tudju, hogy A (induciós feltétel) és így 0, A. Ha 0 + A teljesül, aor megtaláltu a eresett számot: A. Ha nem teljesül az oszthatóság, aor 0 + A= a, ahol a páratlan szám. Mivel 0 = b, és b, ahol ( a+ b) páratlan szám, így 0 + A= ( 0 + A) + 0 = a + b = ( a+ b) páros szám. Ez azt jelenti, hogy 0 + A osztható = + -nel. 0

11 . Mutassa meg, hogy 03-na van olyan többszöröse, amelyne a) minden számjegye -es; b) amelyben mind a tíz számjegy szerepel. Megoldás: a) Teintsü az,,,, 4 K 43 számoat. 03-mal osztva 03-féle 03 db es maradéot aphatun. Ha eze a számo 03-mal osztva 03-féle ülönböző maradéot adna, aor az egyi maradé 0, és az ehhez tartozó szám osztható 03-mal. Ha nem apju meg mindegyi osztási maradéot, aor lesz ét olyan szám, melyene ugyanaz az osztási maradéa. Eze ülönbsége osztható 03-mal. Ez a ülönbség K K= K00K0= K 0. Mivel 03 és 0 relatív príme, így abból, hogy 03 osztója a K 0 szorzatna, az övetezi, hogy 03 osztója az K számna. Ezzel beláttu az állítást. b) Teintsü az , , ,, számoat. Ez a 03 szám 03-mal osztva páronént ülönböző maradéoat ad, ezért valamelyi maradé a 0, és az ehhez tartozó szám osztható 03-mal.. Egy üdülő bármely három laója özött van ettő, ai nem ismeri egymást, de bármely hét özött van legalább ettő, ai ismeri egymást. Az üdülés befejeztével mindeni megajándéozza minden ismerősét egy-egy ajándétárggyal. Bizonyítsu be, hogy n nyaraló esetén legfeljebb 6 n tárgy erül ajándéozásra. OKTV, 986; KöMaL, 986. szeptember, F.59. Megoldás: Megmutatju, hogy az üdülő egyetlen laójána sem lehet 6-nál több ismerőse, ebből pedig a feladat állítása már övetezi. Bármelyi A nyaraló ismerősei ha vanna ilyene egymást nem ismerheti, ellenező esetben ét ilyen és A özül bármely ettő ismerné egymást, a feladat szövege pedig ezt izárja. A mási feltétel szerint bármely 7 ember özött vanna ismerősö, így A ismerősei mint egymást ölcsönösen nem ismerő embere valóban legfeljebb hatan lehetne. Így viszont az üdülés n darab résztvevője egyenént legfeljebb 6 másiat ajándéoz meg, az ajándéo száma ezért valóban nem több, mint 6 n. 3. Egy osztályban mindeni ét szaörbe jár, és bármely három gyere jár özös szaörbe. Bizonyítsu be, hogy van olyan szaör, ahová minden gyere jár. KöMaL, 98. május, Gy.054. Megoldás: Ha bármely ét gyere ugyanabba a ét szaörbe jár, aor igaz az állítás. Ha van ét gyere, ai nem ugyanabba a ét szaörbe járna, aor biztosan van olyan szaör, ahová mindetten járna, hiszen bármely három gyere jár özös szaörbe. Ebbe a szaörbe viszont az osztályból iválasztott tetszőleges harmadi gyere is jár, mert vele együtt ez a ét gyere jár özös szaörbe. Tehát van olyan szaör, ahová minden gyere jár.

12 4. Egy osztályban bármely ét gyere jár özös szaörbe, de mindeni legfeljebb ét szaörne a tagja. Bizonyítsu be, hogy van olyan szaör, ahová az osztályna legalább a étharmad része jár. KöMaL, 986. április, Gy.334. Megoldás: Ha van olyan gyere, ai csa egy szaörbe jár, aor a feltétel miatt az osztályból mindeni jár ebbe a szaörbe, és eor igaz az állítás. Az az eset maradt, hogy mindeni pontosan ét szaörbe jár. Teintsün valait az osztályból és legyen S és S az a ét szaör, ahová ő jár. Az első feltétel szerint eor mindeni tagja S és S özül valamelyine. A ét szaör egyiébe ezért az osztályna legalább a fele jár, azonban ez még evés. Feltehető, hogy a ét szaör egyiébe sem jár mindeni az osztályból. Van olyan g gyere, ai nem jár S -be, de eor szüségszerűen jár S -be. És van olyan g gyere, ai nem jár S -be, de jár S -be. Legyen S az a szaör, ahová g és g is jár. S S, S S. S -ne pontosan azo a tagjai, ai S és S özül csa az egyi szaörbe járna. Ugyanis, ha valai tagja S -ne és S -ne, aor nem lehet tagja S -ne, hiszen mindeni pontosan ét szaörbe jár. Ha valai tagja S -ne, de S -ne nem, aor csa úgy járhat özös szaörbe a g gyereel, ha tagja S -ne. Hasonlóan, ha valai tagja S -ne és S -ne nem, aor teintettel a g gyerere, járnia ell S -be. Több szaör nem lehet, azaz az osztály tagjai 3 szaörbe járna. Minden gyere ét szaörbe jár, így ha összeadju a szaörö létszámát, az osztály létszámána étszeresét apju. Ezért a három szaör egyiébe az osztályna legalább a étharmada jár. 5. Egy gulyában ét falu 65 tehene legel, vöröse, fehére, feeté és tará. Igazolju, hogy ha nincsen öt ülönböző orú, azonos színű tehén a gulyában, aor található három azonos színű és egyidős tehén ugyanabból a faluból. Arany Dániel Matematiai Tanulóverseny 987/988; haladó, II. ategória,. forduló Varga Tamás Matematia Verseny 00; 7. osztály, országos döntő Megoldás: Van 7 azonos színű tehén, mivel 4 szín van és 4 6< 65. Eze özött mivel csa legfeljebb négyféle orú tehén van találhatun 5 azonos orút, hiszen 4 4< 7. Az 5 tehén özött van 3, melye ugyanabba a faluba tartozna. 6. Egy nemzetözi onferencián 9 tudós vesz részt. Egyiü sem beszél háromnál több nyelvet, és özülü bármely három özött van ettő, ai beszélne özös nyelvet. Bizonyítsu be, hogy van olyan nyelv, amelyen legalább hárman beszélne. KöMaL, 979. február, F.87. Megoldás: Két esetet vizsgálun: bármely ét tudós beszél özös nyelvet; illetve van ét tudós, ai nem beszélne özös nyelvet.

13 Az első esetben bármelyiü 8 másial beszél, és mivel legfeljebb három nyelven tud, ezért található a többie özött legalább ettő (sőt legalább három), aiel azonos nyelven beszél. A másodi esetben mondju A és B nem beszélne özös nyelven. A és B mellé válasszu harmadina sorba a többi hét tudóst. Eze mindegyie a feltétel szerint vagy A-val, vagy B- vel beszél özös nyelvet. A és B együttvéve legfeljebb 3= 6 nyelven beszél, ezért van legalább ét tudós, ai azonos nyelven beszélne, ezért a többi hét tudós özött van legalább ét tudós, ai azonos nyelven beszélne mondju A-val. Ezzel befejeztü a bizonyítást. Megjegyzés: 8 tudós esetén még nem igaz az állítás, mert ha például özülü az első négyből bármely ettőne van özös nyelve és az utolsó négy özött is bármely ettőne van özös nyelve, továbbá az ehhez szüséges nyelv mind ülönböző, aor a feltételein teljesülne, az állítás mégsem igaz. 7. Egy szobában 9 ember van. Bármely 3 özött található ettő olyan, ai ismeri egymást. Mutassu meg, hogy található a szobában négy olyan ember, ai özül bármely ettő ismeri egymást. KöMaL, 979. április, F.0. Megoldás: Ha a társaságna van olyan tagja, ai legalább 4 másiat nem ismer, aor az utóbbia özül bármely ettőne ismernie ell egymást, azaz máris találtun négy megfelelő embert. Így feltehetjü, hogy mindeni legfeljebb 3 másiat nem ismer, azaz mindenine legalább 5 ismerőse van a szobában. Nem lehet mindenine pontosan 5 ismerőse, mert ez 9 5 ismeretséget jelentene, ami pedig nem egész. Kell tehát lennie legalább 6 ismerőssel rendelező emberne is, legyen A ilyen, A ismerősei özül az egyi legyen B. Ha B az A ismerősei özül legalább hármat ismer, aor eze özül valamelyi ettő A-val és B-vel együtt megfelelő négyest alot. Ha nem, aor B az A ismerősei özül legalább hármat nem ismer, ez a három és A lesz a jó négyes. Ezzel befejeztü a bizonyítást. 8. Egy nemzetözi onferencián 00 tudós vesz részt. Mindegyiü legfeljebb 4 nyelven beszél, továbbá bármely három özött van ettő, ai beszélne özös nyelven. Bizonyítsu be, hogy van olyan nyelv, amit özülü legalább 6-an beszélne. KöMaL, 006. február, B I. megoldás: Tegyü fel, hogy van ét olyan tudós, ai nem beszélne özös nyelvet. Mivel bármely három ember özt van ettő, ai megérti egymást, így ha ehhez a ét emberhez iválasztun még egy harmadiat, aor ő beszél özös nyelvet a ét ember valamelyiével. Ezen a ét emberen ívül még 98 van, így a ét ember valamelyie legalább 99 emberrel beszél özös nyelvet; nevezzü eze egyiét A-na. Mivel egy ember legfeljebb 4 nyelvet beszél, a satulya-elv alapján ebből a 99 emberből legalább 5 beszél egy özös nyelvet. Az A-t is beleszámítva tehát van 6 ember, ai egy nyelvet beszél. 3

14 Ha nincs ét olyan ember, ai nem érti meg egymást, aor mindeni mindenivel tud beszélgetni. Válasszun i egy B embert; eor ő 99 emberrel tud beszélni. Mivel egy ember legfeljebb 4 nyelvet beszél, ismét a satulya-elv alapján B legalább emberrel beszél egy bizonyos nyelven. Mindét esetben beláttu, hogy van olyan nyelv, amit legalább 6-an beszélne. II. megoldás: Tegyü fel, hogy a feladat állításával ellentétben minden nyelvet a résztvevő özül legfeljebb 5-en beszélne. Vegyün özülü egyet, A-t, ő bármelyi általa beszélt nyelven legfeljebb 4 mási tudóssal tud ommuniálni; ez azt jelenti, hogy van legalább = 03 tudós, ai nem beszél A-val özös nyelven. Ha eze egyie B, aor B is legfeljebb 4 4= 96 mási tudóssal tud beszélni, marad tehát legalább = 6 olyan, ai sem A-val, sem B-vel nem beszél özös nyelvet. Ha egyiü C, aor A, B, C özül semelyi ettő nem beszél özös nyelvet, ami ellentmond a feladat feltételéne. 9. Bizonyítsu be, hogy K + + <. KöMaL, 994. otóber, F.308. Megoldás: Vizsgálju általános helyzetben ezt az egyenlőtlenséget. Legyen tetszőleges n pozitív egészre = n+ n + n + K+ + A n. Teljes inducióval lássu be, hogy A n < n +. Ez n = 00 esetén éppen a ívánt állítás. Ha n =, aor A = és n + = n, tehát igaz az állítás. Ha valamely -nél nagyobb n-re A n < n, aor A = n+ A < n+ n + < n+ n + = n. Ezzel + igazoltu az állítást. n n Igaz-e minden n természetes számra a 3 4K n < 3 egyenlőtlenség? KöMaL, 998. február, F.36. Megoldás: Ha n, aor rögzítsü az n értéét, és teintsü az alábbi sorozatot. a n = n, a n = ( n ) n = ( n ) a n,, a = a+,, a = a3. A feladat érdése az, hogy 3 4K n = a < 3 igaz-e. Általánosabban bizonyítju, hogy ha n, aor a < +, ha =,3, K, n. Ezt = n -ről indulva eor a n = n < n+ nyilvánvaló a csöenő értéeire vonatozó teljes inducióval igazolju, ha a < +, aor a <. Valóban, a = ( ) a < ( )( + ) = < = Ezzel a bizonyítást befejeztü.. 4

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL

VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL Surányi János Farey törte mate.fazeas.u Surányi János VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL FAREY-TÖRTEK. Egy a alós számot racionális számoal, azaz törteel aarun megözelíteni. A törteet az alábbiaban mindig

Részletesebben

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik 1991. évi verseny, 1. nap 1. Számold össze, hány pozitív osztója van 16 200-nak! 2. Bontsd fel a 60-at két szám összegére úgy, hogy az egyik szám hetede egyenlő legyen a másik szám nyolcadával! 3. Van

Részletesebben

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot 1991. évi verseny, 1. nap 1. Bizonyítsd be, hogy 1 101 + 1 102 + 1 103 +... + 1 200 < 1 2. 2. Egy bálon 42-en vettek részt. Az első lány elmondta, hogy 7 fiúval táncolt, a második lány 8-cal, a harmadik

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

A RUGALMAS GYÁRTÓRENDSZEREK MŰVELETTÍPUSON ALAPULÓ KAPACITÁSELEMZÉSÉNEK EGYSZERŰSÍTÉSE

A RUGALMAS GYÁRTÓRENDSZEREK MŰVELETTÍPUSON ALAPULÓ KAPACITÁSELEMZÉSÉNEK EGYSZERŰSÍTÉSE A RUGALMAS GYÁRTÓRENDSZEREK MŰVELETTÍPUSON ALAPULÓ KAPACITÁSELEMZÉSÉNEK EGYSZERŰSÍTÉSE 1. BEVEZETÉS Juász Vitor P.D. allgató A modern, profitorientált termelővállalato elsődleges célitűzései özé tartozi

Részletesebben

A bemutató órák feladatai

A bemutató órák feladatai A bemutató órák feladatai 1, A dobozban van 7 narancsos, 4 epres, 3 szilvás, 2 banános cukorka. Becsukott szemmel hányat kell kivenned ahhoz, hogy biztosan legyen a) 1 db epres ízű b) 1 db narancsos ízű

Részletesebben

23. Kombinatorika, gráfok

23. Kombinatorika, gráfok I Elméleti összefoglaló Leszámlálási alapfeladatok 23 Kombinatorika, gráfok A kombinatorikai alapfeladatok esetek, lehetőségek összeszámlálásával foglalkoznak Általában n jelöli a rendelkezésre álló különbözőfajta

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Országos döntő, 1. nap - 015. május 9. ÖTÖDIK OSZTÁLY - ok 1. Egy háromjegyű szám középső számjegyét elhagyva egy kétjegyű számot kaptunk. A két szám összege

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

TANMENET javaslat. a szorobánnal számoló. osztály számára. Vajdáné Bárdi Magdolna tanítónő

TANMENET javaslat. a szorobánnal számoló. osztály számára. Vajdáné Bárdi Magdolna tanítónő 2 TANMENET javaslat a szorobánnal számoló 2. osztály számára Szerkesztette: Dr. Vajda József - Összeállította az Első Szorobán Alapítvány megbízásából: Vajdáné Bárdi Magdolna tanítónő Makó, 2001. 2010.

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/0-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató.

Részletesebben

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád Dr. Katz Sándor: Lehet vagy nem? Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád A kreativitás fejlesztésének legközvetlenebb módja a konstrukciós feladatok megoldása.

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

Hálózat gazdaságtan. Kiss Károly Miklós, Badics Judit, Nagy Dávid Krisztián. Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszék 2011. jegyzet

Hálózat gazdaságtan. Kiss Károly Miklós, Badics Judit, Nagy Dávid Krisztián. Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszék 2011. jegyzet Hálózat gazdaságtan jegyzet Kss Károly Mlós, adcs Judt, Nagy Dávd Krsztán Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszé 0. EVEZETÉS... 3 I. HÁLÓZTOS JVK KERESLETOLDLI JELLEMZŐI HÁLÓZTI EXTERNÁLIÁK ÉS KÖVETKEZMÉNYEIK...

Részletesebben

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30.

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. 1. Határozzuk meg, hány egybevágósága van egy négyzetnek! Melyek azonos jellegűek ezek között? Ez egy általános bevezető feladat tud

Részletesebben

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam BEVEZETŐ Ez a helyi tanterv a kerettanterv Emelet matematika A változata alapján készült. Az emelt oktatás során olyan tanulóknak kívánunk magasabb szintű ismerteket nyújtani, akik matematikából átlag

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2006. február 21. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

9. évfolyam feladatai

9. évfolyam feladatai Hómezővásárhely, 015. április 10-11. A versenyolgozato megírására 3 óra áll a iáo renelezésére, minen tárgyi segéeszöz használható. Minen évfolyamon 5 felaatot ell megolani. Egy-egy felaat hibátlan megolása

Részletesebben

Digitál-analóg átalakítók (D/A konverterek)

Digitál-analóg átalakítók (D/A konverterek) 1.Laboratóriumi gyaorlat Digitál-analóg átalaító (D/A onvertere) 1. A gyaorlat célja Digitál-analóg onvertere szerezeti felépítése, műödése, egy négy bites DAC araterisztiájána felrajzolása, valamint az

Részletesebben

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.)

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) 22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) A) A PERMUTÁCIÓK CIKLIKUS SZERKEZETE 1. feladat: Egy húsztagú társaság ül az asztal körül. Néhányat közülük (esetleg az összeset) párba állítunk, és a párok

Részletesebben

Vizsgálódás a szorzótáblákban Összefüggések keresése, indoklása

Vizsgálódás a szorzótáblákban Összefüggések keresése, indoklása Matematika A 2. évfolyam Vizsgálódás a szorzótáblákban Összefüggések keresése, indoklása 46. modul Készítette: Szitányi Judit 2 MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Matematika tanmenet 2. osztály részére

Matematika tanmenet 2. osztály részére 2. osztály részére 2014-2015. Izsáki Táncsics Mihály Általános Iskola és Alapfokú Művészeti Iskola Készítette: Molnárné Tóth Ibolya Témakörök 1. Témakör: Év eleji ismétlés /1-24. óra/..3-5. oldal 2. Témakör:

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Anna, Béla és Csaba összesen 36 diót talált a kertben. Annának és Bélának együtt 27, Bélának és Csabának együtt 19 diója van. Mennyi diót találtak külön-külön a gyerekek? A 36 dióból 27 Annáé

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Alfa tanár úr 5 tanulót vizsgáztatott matematikából. Az elért pontszámokat véletlen sorrendben írta

Részletesebben

Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné MATEMATIKA 1. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK MÁSODIK FÉLÉV

Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné MATEMATIKA 1. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK MÁSODIK FÉLÉV Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné MATEMATIKA. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK MÁSODIK FÉLÉV Tankönyv második kötet Számok és műveletek 0-től 0-ig Kompetenciák, fejlesztési feladatok:

Részletesebben

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak

Részletesebben

3. Az y=x2 parabolához az y=x egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő?

3. Az y=x2 parabolához az y=x egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő? Észforgató középiskolásoknak 1.Egy tálba egymás után felütünk tíz darab tojást. A tojások közül kettő romlott, de ez csak a feltöréskor derül ki. A záptojások az összes előttük feltört tojást használhatatlanná

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ SZÓBELI (2015. NOVEMBER 21.) 3. osztály

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ SZÓBELI (2015. NOVEMBER 21.) 3. osztály 3. osztály Az első oldalon 1-gyel kezdve egyesével beszámozták egy könyv összes oldalát. Hány oldalas ez a könyv, ha ehhez 55 számjegyet használtak fel? A tarjáni harmadik osztályba 3-mal több fiú jár,

Részletesebben

Halmazelmélet. Halmazok megadása

Halmazelmélet. Halmazok megadása Halmazok megadása Halmazelmélet 145. Amikor a halmazt körülírással vagy valamilyen tulajdonságával adjuk meg, bármilyen elemrôl egyértelmûen el kell tudnunk dönteni, hogy beletartozik a halmazba vagy sem.

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2006. május 9. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Az első oldalon 1-gyel kezdve egyesével beszámozták egy könyv összes oldalát. Hány oldalas ez a könyv, ha ehhez 55 számjegyet használtak fel? Az első 9 oldalhoz 9 számjegyet használtak, a további

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

Sokszínû matematika. Második osztály. Tizenegyedik, javított kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Sokszínû matematika. Második osztály. Tizenegyedik, javított kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó Sokszínû matematika Második osztály 2 Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Ïß1 Keresd a párját! Kösd össze! Számok 100-ig kilencvennégy

Részletesebben

2. témakör: Számhalmazok

2. témakör: Számhalmazok 2. témakör: Számhalmazok Olvassa el figyelmesen az elméleti áttekintést, és értelmezze megoldási lépéseket, a definíciókat, tételeket. Próbálja meg a minta feladatokat megoldani! Feldolgozáshoz szükségesidö:

Részletesebben

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak

Részletesebben

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A:= { a csoport tanulói b) B:= { Magyarország városai ma c) C:=

Részletesebben

Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné MATEMATIKA 1. A FELMÉRŐ FELADATSOROK ÉRTÉKELÉSE

Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné MATEMATIKA 1. A FELMÉRŐ FELADATSOROK ÉRTÉKELÉSE Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné MATEMATIKA 1. A FELMÉRŐ FELADATSOROK ÉRTÉKELÉSE A felmérő feladatsorok értékelése A felmérő feladatsorokat úgy állítottuk össze, hogy azok

Részletesebben

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2012 13-as tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a javító

Részletesebben

II. Halmazok. Relációk. II.1. Rövid halmazelmélet. A halmaz megadása. { } { } { } { }

II. Halmazok. Relációk. II.1. Rövid halmazelmélet. A halmaz megadása. { } { } { } { } II. Halmazok. Relációk II.1. Rövid halmazelmélet A halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. A halmaz alapfogalom. Ez azt jelenti, hogy csak példákon

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT ) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat

Részletesebben

Elemi matematika szakkör

Elemi matematika szakkör lemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 26. 1.1. eladat. z konvex négyszögben {} = és { } = (lásd a mellékelt ábrát). izonyítsd be, hogy a következő három kijelentés egyenértékű: 1. z négyszögbe

Részletesebben

MATEMATIKA C 9. évfolyam

MATEMATIKA C 9. évfolyam MATEMATIKA C 9. évfolyam 6. modul GONDOLKODOM, TEHÁT VAGYOK Készítette: Kovács Károlyné MATEMATIKA C 9. ÉVFOLYAM 6. MODUL: GONDOLKODOM, TEHÁT VAGYOK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

Fogópáros fa fedélszék számítása

Fogópáros fa fedélszék számítása BUDAPEST MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építőmérnöi Kar Hida és Szerezete Tanszée Fogópáros fa fedélszé számítása Segédlet v3. Összeállította: Koris Kálmán Erdődi László Molnár András Budapest, 010.

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Curie Matematika Emlékverseny 5. évfolyam Országos döntő 2011/2012. Fontos tudnivalók

Curie Matematika Emlékverseny 5. évfolyam Országos döntő 2011/2012. Fontos tudnivalók A feladatokat írta: Kódszám: Tóth Jánosné, Szolnok Lektorálta:. Kozma Lászlóné, Sajószentpéter 2012.április 14. Curie Matematika Emlékverseny 5. évfolyam Országos döntő 2011/2012. Feladat 1. 2. 3. 4. 5.

Részletesebben

TANMENETJAVASLAT AZ ÚJ KERETTANTERVHEZ MATEMATIKA 1. ÉVFOLYAM KÉSZÍTETTÉK: KURUCZNÉ BORBÉLY MÁRTA ÉS VARGA LÍVIA TANKÖNYVSZERZŐK 2013

TANMENETJAVASLAT AZ ÚJ KERETTANTERVHEZ MATEMATIKA 1. ÉVFOLYAM KÉSZÍTETTÉK: KURUCZNÉ BORBÉLY MÁRTA ÉS VARGA LÍVIA TANKÖNYVSZERZŐK 2013 TANMENETJAVASLAT AZ ÚJ KERETTANTERVHEZ MATEMATIKA 1. ÉVFOLYAM KÉSZÍTETTÉK: KURUCZNÉ BORBÉLY MÁRTA ÉS VARGA LÍVIA TANKÖNYVSZERZŐK 2013 1 Kedves Kollégák! Tanmenet javaslatunkkal segítséget kívánunk nyújtani

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 8. EMELT SZINT I. 1) Egy 011-ben készült statisztikai összehasonlításban az alábbiakat olvashatjuk: Ha New York-ban az átlagfizetést és az átlagos árszínvonalat egyaránt

Részletesebben

Matematika tanmenet/4. osztály

Matematika tanmenet/4. osztály Comenius Angol-Magyar Két Tanítási Nyelvű Iskola 2015/2016. tanév Matematika tanmenet/4. osztály Tanító: Fürné Kiss Zsuzsanna és Varga Mariann Tankönyv: C. Neményi Eszter Wéber Anikó: Matematika 4. (Nemzeti

Részletesebben

Kombinatorika. 7 8. évfolyam. Szerkesztette: Blénessy Gabriella, Dobos Sándor, Fazakas Tünde, Hraskó András, Rubóczky György. 2015. október 19.

Kombinatorika. 7 8. évfolyam. Szerkesztette: Blénessy Gabriella, Dobos Sándor, Fazakas Tünde, Hraskó András, Rubóczky György. 2015. október 19. Kombinatorika 7 8. évfolyam Szerkesztette: Blénessy Gabriella, Dobos Sándor, Fazakas Tünde, Hraskó András, Rubóczky György 2015. október 19. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás,

Részletesebben

KockaKobak Országos Matematikaverseny 5. osztály

KockaKobak Országos Matematikaverseny 5. osztály KockaKobak Országos Matematikaverseny 5. osztály 2012. november 12. Feladatok: IZSÁK DÁVID, általános iskolai tanár SZÉP JÁNOS, középiskolai tanár Lektorok: BALOG MARIANNA, általános iskolai tanár SZITTYAI

Részletesebben

MATEMATIKA C 5. évfolyam 1. modul DOMINÓ

MATEMATIKA C 5. évfolyam 1. modul DOMINÓ MATEMATIKA C 5. évfolyam 1. modul DOMINÓ Készítette: Köves Gabriella MATEMATIKA C 5. ÉVFOLYAM 1. MODUL: DOMINÓ TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A tudatos

Részletesebben

Nyitott mondatok Bennfoglalás maradékkal

Nyitott mondatok Bennfoglalás maradékkal Matematika A 2. évfolyam Nyitott mondatok Bennfoglalás maradékkal 35. modul Készítette: Szitányi Judit 2 modulleírás A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A képességfejlesztés

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 1. Kombinatorika Valószínűségszámítás 2004.03.01. Készítette: Dr. Toledo Rodolfo 1.1. Tétel. Ha n darab különböző elemet az összes lehetséges módon sorba rendezünk, akkor ezt n! := n (n 1) (n 2) 2 1-féle

Részletesebben

Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged

Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged A kombinatorika másfajta gondolkodást és így a tanár részéről a többi témakörtől eltérő óravezetést igényel. Sok esetben tapasztalhatjuk, hogy

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika Kombinatorika Modulok: A kombinatorikai feladatok megoldásához három modult használunk: Permutáció (Sorba rendezés) Kombináció (Kiválasztás) Variáció (Kiválasztás és sorba rendezés) DEFINÍCIÓ: (Ismétlés

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul

közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul Matematika A 4. évfolyam MŰVELETi tulajdonságok, a műveletek közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul Készítette: KONRÁD ÁGNES matematika A 4. ÉVFOLYAM 21. modul Műveleti tulajdonságok, a műveletek

Részletesebben

Megoldások. I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika. 1. osztály

Megoldások. I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika. 1. osztály Megoldások I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika 1. osztály 4. Lackó kezében egy gesztenye van. 5. Kettő. 1 + 1 = 2. 6. Öt. 3 + 2 = 5. 7. Igaz állítás: A), D), E). 2. osztály 1. 6 lehetőség van. Ha ismétel,

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Egy asztal körül 24-en ülnek, mindannyian mindig igazat mondanak. Minden lány azt mondja, hogy a közvetlen szomszédjaim közül pontosan az egyik fiú, és minden fiú azt mondja, hogy mindkét közvetlen

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatok

Valószínűségszámítás feladatok Valószínűségszámítás feladato A FELADATOK MEGOLDÁSAI A 0. FELADAT UTÁN TALÁLHATÓK.. Egyszerre dobun fel három érmét. Mi anna a valószínűsége, hogy mindegyine ugyanaz az oldala erül felülre?. Két dobóocát

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

Szakdolgozat. Karlik Zsuzsanna kémia-matematika szakos hallgató ELTE TTK. Dr. Freud Róbert egyetemi docens ELTE TTK Algebra és Számelmélet Tanszék

Szakdolgozat. Karlik Zsuzsanna kémia-matematika szakos hallgató ELTE TTK. Dr. Freud Róbert egyetemi docens ELTE TTK Algebra és Számelmélet Tanszék A tökéletes számok Szakdolgozat Karlik Zsuzsanna kémia-matematika szakos hallgató ELTE TTK Témavezető: Dr. Freud Róbert egyetemi docens ELTE TTK Algebra és Számelmélet Tanszék 2009 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés

Részletesebben

I. Egységtörtek. Ha az egységet nyolc egyenlő részre vágjuk, akkor ebből egy rész 1-nyolcadot ér.

I. Egységtörtek. Ha az egységet nyolc egyenlő részre vágjuk, akkor ebből egy rész 1-nyolcadot ér. Tudnivaló I. Egységtörtek Ha az egységet nyolc egyenlő részre vágjuk, akkor ebből egy rész 1-nyolcadot ér. Ezt röviden így írhatjuk: A nevező megmutatja, hogy az egységet hány egyenlő részre vágjuk. A

Részletesebben

ÍRÁSBELI ÖSSZEADÁS, KIVONÁS. A MŰVELETI SORREND SZÁMÍTÁSOKBAN ÉS SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA SORÁN. 9. modul

ÍRÁSBELI ÖSSZEADÁS, KIVONÁS. A MŰVELETI SORREND SZÁMÍTÁSOKBAN ÉS SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA SORÁN. 9. modul Matematika A 4. évfolyam ÍRÁSBELI ÖSSZEADÁS, KIVONÁS. A MŰVELETI SORREND SZÁMÍTÁSOKBAN ÉS SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA SORÁN 9. modul Készítette: KONRÁD ÁGNES matematika A 4. ÉVFOLYAM 9. modul ÍRÁSBELI

Részletesebben

Diszkrét matematika I. középszint Alapfogalmakhoz tartozó feladatok kidolgozása

Diszkrét matematika I. középszint Alapfogalmakhoz tartozó feladatok kidolgozása Diszrét matematia I. özépszint Alapfogalmahoz tartozó feladato idolgozása A doumentum a övetező címen elérhető alapfogalmahoz tartozó példafeladato lehetséges megoldásait tartalmazza: http://compalg.inf.elte.hu/~merai/edu/dm1/alapfogalma.pdf

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012. tanév. Kémia I. kategória 2. forduló. Megoldások

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012. tanév. Kémia I. kategória 2. forduló. Megoldások tatási Hivatal rszágos Középisolai Tanulmányi Verseny /. tanév Kémia I. ategória. forduló Megoldáso I. feladatsor. D 5. A 9. B. D. B 6. C. B. A. C 7. A. E. A 8. A. D pont 5. Kiralitáscentrum: A só összegéplete:

Részletesebben

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY KÖRZETI SZÓBELI FORDULÓ 2005. OKTÓBER 29. 5. osztály

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY KÖRZETI SZÓBELI FORDULÓ 2005. OKTÓBER 29. 5. osztály 5. osztály Józsi bácsi egy farkassal, egy kecskével és egy fej káposztával egy folyóhoz érkezik, amin át szeretne kelni. Csak egy olyan csónak áll rendelkezésére, amellyel a felsoroltak közül csak egyet

Részletesebben

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Ismert fogalmak Témák Vektortér Lineáris kombináció Lineáris függőség, függetlenség Generátorrendszer, bázis, dimenzió Lineáris leképezések Szabadvektorok vektortere

Részletesebben

10. Valószínűségszámítás

10. Valószínűségszámítás . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás

Részletesebben

6. HMÉRSÉKLETMÉRÉS. A mérés célja: ismerkedés a villamos elven mköd kontakthmérkkel; exponenciális folyamat idállandójának meghatározása.

6. HMÉRSÉKLETMÉRÉS. A mérés célja: ismerkedés a villamos elven mköd kontakthmérkkel; exponenciális folyamat idállandójának meghatározása. 6. HMÉRSÉKLETMÉRÉS A mérés célja: ismeredés a villamos elven möd ontathmérel; exponenciális folyamat idállandójána meghatározása. Elismerete: ellenállás hmérséletfüggése; ellenállás és feszültség mérése;

Részletesebben

A két csapatra osztás leggyakoribb megvalósításai: Lyukas teli (vagy sima vagy nem lyukas)

A két csapatra osztás leggyakoribb megvalósításai: Lyukas teli (vagy sima vagy nem lyukas) Eredeti forrás: Pintér Klára: Játsszunk Dienes Zoltán Pál logikai készletével! http://www.jgypk.u-szeged.hu/methodus/pinter-klara-jatsszunk-logikat-logikai-keszlettel/ A logikai készlet lapjaival kapcsolatos

Részletesebben

Varga Tamás Matematikaverseny 8. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 2010.

Varga Tamás Matematikaverseny 8. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 2010. Varga Tamás Matematikaverseny 8. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 2010. 1. feladat tengeren léket kapott egy hajó, de ezt csak egy óra múlva vették észre. Ekkorra már 3 m 3 víz befolyt a

Részletesebben

6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE

6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE 6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE A kurzus anyagát felhasználva összeállíthatunk egy kitűnő feladatlapot, de még nem dőlhetünk nyugodtan hátra. Diákjaink teljesítményét még osztályzatokra kell átváltanunk,

Részletesebben

A NEMZETI MÉDIA- ÉS HÍRKÖZLÉSI HATÓSÁG MÉDIATANÁCSÁNAK. 2111/2012. (XI. 28.) sz. HATÁROZATA

A NEMZETI MÉDIA- ÉS HÍRKÖZLÉSI HATÓSÁG MÉDIATANÁCSÁNAK. 2111/2012. (XI. 28.) sz. HATÁROZATA Ügyiratszám: MN/35-9/. Tárgy: a vállalt műsorstrutúrána megfelelő műsor sugárzására vonatozó, valamint a vényöteles gyógyszerészítménye eresedelmi özleményben történő bemutatását, népszerűsítését tilalmazó

Részletesebben

Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória

Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória 2005. január 12. feladatok kidolgozására két óra áll rendelkezésre. Számológép nem használható. példák tetszőleges sorrendben megoldhatók.

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

Darts: surranó nyilak, gondolkodtató problémák Kombinatorika 6. feladatcsomag

Darts: surranó nyilak, gondolkodtató problémák Kombinatorika 6. feladatcsomag Darts: surranó nyilak, gondolkodtató problémák Kombinatorika 6. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 15 18 év összeszámolási módszerek (permutáció, variáció, kombináció) sorozatok rekurzív megadása

Részletesebben

Az indukció. Azáltal, hogy ezt az összefüggést felírtuk, ezúttal nem bizonyítottuk, ez csak sejtés!

Az indukció. Azáltal, hogy ezt az összefüggést felírtuk, ezúttal nem bizonyítottuk, ez csak sejtés! Az indukció A logikában indukciónak nevezzük azt a következtetési módot, amelyek segítségével valamely osztályon belül az egyes esetekb l az általánosra következtetünk. Például: 0,, 804, 76, 48 mind oszthatóak

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. sz, második forduló ... 99

Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. sz, második forduló ... 99 JUNIOR, 990-9. sz, els forduló. Adott két pozitív valós szám. Bizonyítsuk be, hogy ha az összegük kisebb, mint a szorzatuk, akkor az összegük nagyobb 4-nél. (N. Vasziljev, 4 pont) 2. Egy szabályos háromszög

Részletesebben

Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály

Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály SZENT ISTVÁN RÓMAI KATOLIKUS ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS ÓVODA 5094 Tiszajenő, Széchenyi út 28. Tel.: 56/434-501 OM azonosító: 201 669 Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály 1. Hányféleképpen lehet

Részletesebben

BARANYA MEGYEI TANULÓK TUDÁSSTRUKTÚRÁI. Takács Viola

BARANYA MEGYEI TANULÓK TUDÁSSTRUKTÚRÁI. Takács Viola BARANYA MEGYEI TANULÓK TUDÁSSTRUKTÚRÁI Takács Viola Iskolakultúra könyvek 20. Sorozatszerkesztõ: Géczi János Szerkesztõ: Sz. Molnár Szilvia BARANYA MEGYEI TANULÓK TUDÁSSTRUKTÚRÁI TAKÁCS VIOLA iskolakultúra

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. május 5. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. május 5. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. május 5. KÖZÉPSZINT I. 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x 1x 4 0 Az egyenlet gyökei 1, 5 és 8. ) Számítsa ki a 1 és 75 számok mértani közepét! A mértani

Részletesebben

Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán):

Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Oszthatóság Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Azt mondjuk, hogy az a osztója b-nek (jel: a b), ha van olyan c egész, amelyre ac = b. A témakörben a betűk egész

Részletesebben

Kiskunmajsa és környéke turisztikai térinformatikai alkalmazás

Kiskunmajsa és környéke turisztikai térinformatikai alkalmazás Kiskunmajsa és környéke turisztikai térinformatikai alkalmazás Tartalomjegyzék 1. A rendszer rövid leírása...3 1.1. Elvárt funkciók:...3 1.2. Specifikáció...3 1.3. Funkciók ismertetése...3 2. Részletes

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 2016 Fazekas, Berzsenyi Budapest Berzsenyi Dániel Gimnázium Fazekas Mihály Gimnázium Budapest 2. javított kiadás 2016. március 1115. Technikai el készítés, tördelés:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy

Részletesebben