n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!"

Átírás

1 KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ: 1.) elem háy ülöböző módo redezhető sorba 2.) elemből háyféleéppe lehet darabot iválasztai? 1.) Permutáció: számú, egymástól megülöböztethető elem egy meghatározott sorredjét az elem egy permutációjáa evezzü. Az elem összes permutációjáa száma: P =!= Megegyezés szerit 0!=1 Ha az elem özött egymással megegyezőe is található, aor az eze felcserélésével apott permutáció em ülöböztethetőe meg egymástól. Az ilye esetbe számított permutációt ismétléses permutációa evezzü. Ha az ismétlődő eleme száma: 1, 2,..., l és természetese l aor az elem összes ismétléses permutációia száma: P 1, 2,..., l! = 1! 2!... l! 2.) Variáció: számú, egymástól ülöböző elemből tetszőlegese iválasztott számú ( ) elem egy meghatározott sorredjét az elem -ad osztályú variációjáa evezzü. Az egymástól ülöböző elem összes -ad osztályú variációjáa száma: V =!! = = P P Pl: 15 parlameti épviselőből háyféle módo lehet 6 tagú bizottságot összeállítai, ha a bizottságo belül számít a sorred ( mert a tago em egyeragúa: va elö, titár,...)? V 6 15 = 15! 15 6! Ha az számú elem özül a elemből álló csoportot úgy választhatju i, hogy ugyaaz az elem többször is szerepelhet, és az eleme sorredjét is figyelembe vesszü, aor az elem -ad osztályú ismétléses variációját apju: V,i = Pl: Az 1, 3, 5, 6 számjegyeből, ha bármelyiüet többször is felhaszálhatju, háy háromjegyű számot észíthetü? V 3,i 4 =4 3 3.) Kombiáció: Ha számú, egymástól ülöböző elemből úgy épezü tagú csoportoat, hogy a iválasztott elem sorredjére em vagyu teitettel, aor az elem -ad osztályú ombiációit apju. C = =!!! =V! Pl: ha az előbbi 15 épviselőből olya 6 tagú bizottságoat hozu létre, amelyee belül midei egyeragú ( em számít a sorred), aor a létrehozható bizottságo száma 15 6 = 15! 6! 15 6! Ha ugyaaz az elem többször is szerepelhet, aor az elem -ad osztályú ismétléses ombiációját apju.

2 C,i = = 1 ism Pl: 8-féle fagylaltból háyféleéppe lehet 5 gombócos adagot iválasztai, ha egyforma gombócoat is érhetü és em számít a gombóco sorredje? =8 = = 12 5 = 12! 5! 12 5! A Newto-féle biomiális éplet: a b =C 0 a b 0 C 1 a 1 b 1 C 2 a 2 b 2...C a b... C a b vagy: a b = 0 a b 0 1 a 1 b 1 2 a 2 b 2... a b... a b UGYANEZ MÁSKÉNT, MEGOLDOTT FELADATOKKAL A SÁRGA CSÍKOSBÓL Ismétlés élüli permutáció Ha darab ülöböző elem lehetséges sorbaredezéseie számát szereté meghatározi, aor ombiatoriai szóhaszálattal élve elem ismétlés élüli permutációia számát eressü. (Például: háyféleéppe lehet sorbaállítai egy 30 fős osztályt?) A megoldáshoz próbálju meg sorbaállítai az elemeet: A sorba első helyre -féleéppe választhatu elemet (a példába 30 ember özül). A sorba másodi helyre már csa -1 féleéppe választhatu elemet, hisze az első helye álló elemet már em haszálhatju fel (a példába 29 ember özül választhatu). Eddig tehát már (-1) féle választási lehetőségü volt, hisze az féle első elem midegyie mellé -1 féleéppe választhattu másodi elemet! A sorba harmadi helyre már csa -2 féleépp választhatu elemet, stb. A sorba utolsó előtti helyre már csa 2 választási lehetőségü maradt, az utolsó helyre pedig már csa 1 maradé elem özül választhatu. Az összes lehetséges sorrede száma tehát: (-1) (-2) 2 1 (A példába ) Tehát elem ismétlés élüli permutációia számát úgy számíthatju i, hogy összeszorozzu a természetes számoat 1 től ig. Erre a szorzatra egy speciális jelölést is bevezette a matematiába: =! ( fatoriális) Megállapodás szerit 0! = 1 Pl1: Háyféle számot állíthatu össze az 1, 2, 3, 4 számjegye felhaszálásával, ha midegyi számjegyet fel ell haszáli? Megoldás: A 4 számjegy ülöböző sorredbe felírva más más égyjegyű számot határoz meg. Tehát az a érdés, hogy háyféleéppe tudju sorbaredezi a égy ülöböző számjegyet, azaz égy elem ismétlés élüli permutációia számát eressü. Ezee száma pedig: P 4 = = 4! = 24 (A jobb számológépe tuda fatoriálist számoli!) Pl2: Háy 3 mal ezdődő hatjegyű számot lehet felíri az 1, 3, 4, 6, 7, 9 számjegyeel, ha mide számjegyet potosa egyszer haszálhatu? Megoldás: Ez a feladat is ismétlés élüli permutációhoz vezet, de most a sorba első elem ötött: a száma mideéppe 3 mal ell ezdődie. Ilyeor az első elem léyegébe em vesz részt a redezgetésbe csa a többi elem sorredje érdéses. Tehát öt

3 darab elem lehetséges sorredjeie számát ell iszámolu (az 1, 4, 6, 7, 9 számjegye) ezee száma pedig: P 5 = 5! = 120. Pl3: Háy öttel osztható ötjegyű szám észíthető a 0, 1, 2, 3, 4 számjegye felhaszálásával, ha mide számjegyet potosa egyszer haszálhatu? Megoldás: A feladat hasoló az előzőhöz, hisze az öttel való oszthatóság szabálya szerit a száma 0 ra ell végződie. Tehát az első égy számjegyet permutálhatju. A lehetséges sorrede száma: P 4 = 4! = 24. Pl4: Háy ötjegyű páratla szám épezhető a 0, 1, 2, 3, 4 számjegyeből, ha mide számjegyet potosa egyszer haszálhatu? Megoldás: Ez a feladat már túl boyolult ahhoz, hogy csa úgy ráhúzzu a permutációszámító épletet éytelee vagyu godolozi: Páratla számot aaru előállítai, ezért az utolsó helyre az 1, vagy a 3 erülhet. (ez ét lehetőség) Az első helyiértée em lehet 0 (mert aor em lee ötjegyű) tehát az első helyre 3 özül választhatu (em lehet 0 és em lehet az, amelyiet már beratu az utolsó helyre). Ez eddig összese 2 3=6 lehetőség. A többi helyre ( helyiérté) a maradé három szám özül választhatu tetszőleges sorredbe (3 elem ismétlés élüli permutációja) 3! = 6 féleéppe. Tehát az összes lehetősége száma: = 36. Pl5: Nyolc ember jelöljü őet redre A-, B-, C-, D-, E-, F-, G-, H- val leül egy padra. Háyféleéppe helyezedhete el úgy, hogy A és B egymás mellett üljö? Megoldás: Vizsgálju meg először A és B helyzetét! A pár helyzete a pado 7 féle lehet: vagy az első helye ezdőde, vagy a másodio, vagy a hetedie. (A yolcadi helye em ezdődhete!)a páro belül A és B helyzete étféle lehet: jobbról A balról B, vagy fordítva. Ez eddig 7 2 = 14 lehetőség. Ha már a pár leült a padra, aor a többie a femaradó 6 hely özött permutálódhata" tetszőleges sorredbe; ezt P 6 = 6! = 720 féleépp teheti. Az összes lehetősége száma tehát: = Pl6: Háyféleéppe ülhet le Artúr irály yolc lovagja a Kereasztal öré, ha ét elhelyezedést aor teitü ülöbözőe, ha va legalább egy olya lovag, aie legalább az egyi szomszédja a ét elhelyezedésbe ülöböző? Megoldás: Vegyü észre, hogy a feladat em azoos az egyees pad esetével! (Hisze ha midei feláll és egy hellyel arrébb csussza attól még a szomszédsági viszoyo em változa!) Oldju meg az ültetési problémát a övetezőéppe: válasszu i az egyi lovagot (Pl Lacelot) és ültessü le az egyi (tetszőleges) helyre. Lacelot lesz a viszoyítási pot. A többi lovagot ültessü le Lacelot jobb oldalára az összes lehetséges sorredbe. A hét lovag P 7 = 7! = 5040 féleéppe tud leüli Lacelot jobbjá. Lacelot ezdeti ülőhelyválasztása em befolyásolja a szomszédsági viszoyoat, továbbá az sem, hogy Lacelot jobbjára vagy baljára ezdtü leülteti a többi lovagot (hisze úgyis örbeére). Tehát az összes lehetőség: Ismétléses permutáció Ismétléses permutációról aor beszélü, ha a sorbaredezedő eleme özött azoosa teithető is vaa. (Például: háyféleéppe lehet sorbarai 3 piros 2 fehér és 4 zöld golyót?) Ilyeor yilvá em teitjü ülöböző sorbaredezése (permutációa) azoat, amelyeet azoosa teithető eleme felcserélésével apu (Pl ha felcserélü 2 zöld golyót). Eze az azoos elemtípuso belüli redezgetése csöeti a lehetséges permutáció számát,mégpedig ayiadára, aháyféleéppe redezgethetü az azoos elemtípusoo belül. A szíes golyó példájába tehát az összes (ismétlés élüli) permutáció számát (9 golyóál 9!) osztau ell az egyes golyótípusoo belüli permutáció számával (3! al, 2! al, 4! al). A végeredméy tehát: 9! 3! 2! 4! = =

4 Általáos esetbe darab elem ismétléses permutációia száma: P 1, 2, 3,...! = 1! 2! 3!...! Ahol 1, 2, 3, az egyes elemtípuso darabszámait jeleti. (Tehát = ) Pl1: Háy darab hatjegyű számot észíthetü a övetező számártyá felhaszálásával: 4, 4, 4, 6, 6, 8. Megoldás: Hat elem ismétléses permutációia számát ell meghatározu, ahol 3 féle elemtípus va (3 darab, 2 darab, 1darab). A megoldás, azaz a lehetséges sorrede száma: 3,2,1 P 6 = 6! 3! 2! 1! = =60 Pl2: Az 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3 számjegyeből háy darab 13 mal ezdődő hétjegyű számot lehet összeállítai? Megoldás: Az első ét helye mideéppe 13 áll. (Tehát az első ét helye ics permutációs lehetőség.) Maradt tehát öt darab számjegyü: 1, 1, 2, 2, 3. Ezeet tetszőlegese permutálhatju. 2,2,1 A lehetősége száma: P 5 = 5! 2! 2! 1! = =30 Pl3: Egy dobozba a MATEMATIKA szó betűi található. Egyeét ihúzzu a dobozból a betűet és a ihúzás sorredjébe egymás mellé tesszü őet (balról jobbra haladva). Háy esetbe jöhet i a MATEMATIKA szó? Megoldás: A érdéses esete midegyiébe a MATEMATIKA szót látju az asztalo, csa az azoos betű cserélődhete (permutálódhata) egymás özött. Az A betű 3 példáyba szerepel, permutációia száma: 3!, az M és T betű 2-2 példáyba szerepele (2!, 2! permutáció), a többi betű egyszer szerepel, így azoa fix helye va a szóba. Az összes lehetősége száma tehát: 3! 2! 2! = 24. Pl4: Háyféleéppe olvasható i az alábbi táblázatból az ISKOLA szó, ha a táblázat bal felső betűjéből idulu i, és az egyes lépéseet csa jobbra vagy lefelé tehetjü? I S K O S K O L K O L A Megoldás: Vegyü észre, hogy a szó iolvasása sorá midig a jobb alsó saroba ell érezü. Ebből övetezőleg midegyi iolvasásál összese ötször ell lépü: háromszor jobbra és étszer lefelé. Tehát a JOBBRA, JOBBRA, JOBBRA, LEFELÉ, LEFELÉ eleme (ismétléses) permutációit eressü. 3,2 A lehetősége száma: P 5 = 5! 3! 2! = =10 Variáció A variációval apcsolatos feladato a övetező érdést teszi fel: Háyféleéppe lehet iválasztai adott számú dolog özül éháyat, ha a iválasztási sorred is számít? Matematiai szaifejezéssel ezt úgy modju, hogy darab elem ad osztályú variációia számát szereté meghatározi. Attól függőe, hogy a iválasztás sorá egy elemet többször is felhaszálhatu e, foglalozu ismétléses és ismétlés élüli variációal. Ismétlés élüli variáció Ha darab ülöböző elem özül darabot szereté úgy iválasztai, hogy egy egy elemet csa egyszer haszálhatu fel és a iválasztási sorred is számít, aor elem - ad osztályú ismétlés élüli variációit eressü. A iválasztási lehetősége számát (jele: V ) a övetezőépp határozhatju meg:

5 Az első elem iválasztásaor még bármelyi elemet választhatju, azaz lehetőségü va. A másodi elem iválasztásaor már em választhatju azt az elemet, amelyiet elsőét választottu, azaz -1 választási lehetőségü maradt. A harmadi elem iválasztásaor már em választhatju az előzőleg iválasztott ét elemet, azaz -3 elem özül választhatu. Az utolsó ( adi) választásál mivel em választhatju az előzőleg iválasztott elemeet - +1 választási lehetőségü va. Mivel az első helye iválasztott féle elem midegyiéhez -1 féleéppe választhatu másodi elemet ezért az első ét elemet (-1) féleéppe választhatom i. Az első három elemet (-1) (-2) féleéppe, az első darab elemet (- 1) (-2) (-+1) féleéppe választhatom. A variáció száma tehát: V = (-1) (-2) (-+1) =!! Pl1: Egy futóversey 36 résztvevője özött háyféleéppe osztható i az aray, ezüst, ill. brozérem? Megoldás: A feladat matematiai megfogalmazása: háyféleéppe választhatu i 36 elem özül hármat, ha a sorred is számít? Ez a feladat 36 elem 3 ad osztályú ismétlés élüli variációihoz vezet (hisze valai em lehet egyszerre arayérmes és ezüstérmes is). A 3 lehetséges befutási sorrede száma tehát: V 36 = = Másféleéppe számítva: V 3 36 = 36! 33! = Pl2: Háyféle ötjegyű számot épezhetü az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegye felhaszálásával, ha midegyi számjegyet csa egyszer haszálhatju fel? Megoldás: Ez a feladat 9 elem 5 öd osztályú ismétlés élüli variációihoz vezet, hisze 9 elem özül ell választai az ötjegyű szám első helyiértéére, másodi helyiértéére stb A lehetősége száma tehát: V 5 9 = = Pl3: Háy öttel osztható égyjegyű számot lehet észítei az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegye felhaszálásával, ha midegyi számjegyet csa egyszer haszálhatju fel? Megoldás: Ahhoz, hogy a szám öttel osztható legye 0 ra vagy 5 re ell végződie. Mivel a feladatba em szerepel a 0 számjegy, ezért az utolsó számjegy csa az 5 lehet. Az első három számjegyet szabado választhatju (a maradéból ismétlődés élül) tehát a lehetősége száma: V 3 8 = = 336. Ismétléses variáció Ha darab ülöböző elem özül darabot szereté úgy iválasztai, hogy egy egy elemet többször haszálhatu fel és a iválasztási sorred is számít, aor elem - ad osztályú ismétléses variációit eressü. A iválasztási lehetősége számát (jele: V ism i vagy V ) a övetezőépp határozhatju meg: Az első helyre az elem bármelyiét tehetjü, azaz lehetőségü va. A másodi helyre is elem özül választhatu, hisze az első helyre erült elemet újból felhaszálhatju! Az összes lehetősége száma tehát: V ism =... = darab Pl1: Háy darab ötjegyű szám épezhető az 1, 3, 5 számjegyeből? Megoldás: A feladat csa úgy oldható meg, ha a számjegyeet többször is felhaszálhatju. Tehát 3 elem 5 öd osztályú ismétléses variációia számát eressü. Az eredméy: V 3 5 ism =3 5 =243 Pl2: Háy TOTÓszelvéyt ell itölteü ahhoz, hogy biztosa telitalálatu legye? (Tegyü fel, hogy mide mérőzést lejátszaa, azaz 14 mérőzés eredméyére ell jól tippelü.)

6 Megoldás: 14 mérőzés eredméyét ell eltalálu az 1, 2, X jele beírásával, azaz 3 jel özül ell 14 et iválasztau a megfelelő sorredbe úgy, hogy a jeleet többször is felhaszálhatju. Matematiai szóhaszálattal: 3 elem 14 ed osztályú ismétléses variációia számát ell meghatározu. Az összes variáció száma tehát: V 3 14 ism =3 14 = (Ha ezt a számot beszorozzu a TOTÓszelvéye árával iderül, hogy em éri meg.) Pl3: Háyféleéppe olvasható i az alábbi táblázatból a TANULÓ szó, ha a táblázat bal felső betűjéből idulu i, és az egyes lépéseet csa jobbra vagy lefelé tehetjü? T A N U L Ó A N U L Ó N U L Ó U L Ó L Ó Ó Megoldás: A szó iolvasása sorá ötször ell lépü (mert hatbetűs a szó) és csa jobbra vagy lefelé léphetü. Tehát ét dolog özül (jobbra lefelé) ell választau öt alalommal. A lehetősége száma tehát: V 2 5 ism =2 5 =32 Pl4: Az 1, 2, 3, 4, 5 számjegye felhaszálásával háy olya háromjegyű szám észíthető, amelybe az 5 ös előfordul? Megoldás: A megoldás sorá a övetező trüöt lehet alalmazi: Megfelelő lehetősége száma = Összes lehetősége száma Nem megfelelő lehetősége száma Ebbe a feladatba ez a övetezőt jeleti: Az 5 ös számjegyet tartalmazó számo száma = Összes háromjegyű szám Az 5 öst em tartalmazó számo száma Az összes háromjegyű szám (a feti számjegyeből): V 5 3 ism =5 3 =125 Az 5 öst em tartalmazó háromjegyű számo száma: V 4 3 ism =4 3 =64 Tehát a végeredméy: = 61. Kombiáció A ombiációval apcsolatos feladato a övetező érdést teszi fel: Háyféleéppe lehet iválasztai adott számú dolog özül éháyat, ha a iválasztási sorred NEM számít? Matematiai szaifejezéssel ezt úgy modju, hogy darab elem ad osztályú ombiációia számát szereté meghatározi. Attól függőe, hogy a iválasztás sorá egy elemet többször is felhaszálhatu e, foglalozu ismétléses és ismétlés élüli ombiációal. Ismétlés élüli ombiáció Ha darab ülöböző elem özül darabot szereté úgy iválasztai, hogy egy egy elemet csa egyszer haszálhatu fel és a iválasztási sorred em számít, aor elem - ad osztályú ismétlés élüli ombiációit eressü. A iválasztási lehetősége számát (jele: ) a övetezőépp határozhatju meg: Ha a iválasztott tárgya sorredje is számítaa, aor elem ad osztályú ismétlés élüli variációit eresé, amelyee száma: V! = (-1) (-2) (-+1) = Ezebe a! iválasztásoba azoba ombiációs szempotból azoosa is vaa azo, amelyebe ugyaazoat az elemeet választottu i csa más sorredbe. Mide egyes ombiáció

7 ayiszorosa szerepel a variáció özött aháyféleéppe sorba lehet redezi darab ülöböző elemet. darab ülöböző elemet pedig! féleéppe lehet sorba redezi ( ismétlés élüli permutáció) tehát a feti variáció özött midegyi ombiáció! -szorosa szerepel. A ombiáció száma tehát: ! = =!!! Pl1: Háy égyelemű részhalmaza va egy hételemű halmaza? Megoldás: Hét ülöböző elem özül (halmazeleme özött em lehete azoosa) ell iválasztau égyet. A iválasztási sorred em számít, hisze a részhalmaz csa egy raás sorrediség élül, tehát 7 elem 4 ed osztályú ismétlés élüli ombiációit eressü. A ombiáció, azaz a részhalmazo száma: 7 4 = 7! 4! 3! = =35 Pl2: Háy szelvéyt ell itölteü az ötös lottó, ha biztos telitalálatot szereté eléri? Megoldás: Ha biztos telitalálatot szereté, aor az összes sorsolási lehetőséget le ell fedü. Az ötös lottó 90 szám özül sorsola i ötöt, visszatevés élül, azaz egy szám csa egyszer szerepelhet. Tehát 90 szám ötödosztályú ismétlés élüli ombiációia számát ell meghatározu. A lehetősége száma: 90 5 =90! 5! 85! Pl3: Háy részhalmaza va egy hatelemű halmaza? Megoldás: Az összes részhalmazo száma = ullaelemű részhalmazo száma + 1 elemű részhalmazo száma + Azaz: =64 Pl4: Háy olya hétjegyű szám va, amelye számjegyei övevő sorredbe öveteze egymás utá, egyelő számjegyeet em egedve meg? Megoldás: Kilec féle számjegy áll redelezésüre, hisze a ulla em szerepelhet a számba (a övevő sorred miatt csa az elejé szerepelhete, de aor em apá hétjegyű számot). Tehát ilec számjegy özül ell iválasztau hetet úgy, hogy övevő sorredbe legyee. Kilec számjegy özül hetet 9 7 féleéppe lehet iválasztai, ha a sorred em számít (ilyeor a iválasztott elemeet halmazét teithetjü). Mide egyes ilye számhalmaz potosa egyféleéppe redezhető úgy, hogy elemei övevő sorredbe legyee, tehát potosa ayi övevő számjegysorredű számu lehet aháyféleéppe 7 elemű részhalmaz épezhető a 9 elemű halmazból. A feladat megoldása tehát: 9 7 = 9! 7! 2! = =36 Pl5: Igaz e a övetező összefüggés: = Megoldás: Az összefüggés bal oldala azt a számot jeleti, aháyféleéppe elem özül iválaszthatu darabot. A jobb oldalo az a szám áll, aháyféleéppe iválaszthatu elem özül - darabot. A ét szám egyelő, hisze ha iválasztu darabot, aor ezzel a maradé - darabot em választottu i. Pl6: Igazolju a övetező összefüggést: 1 = 1 1 Megoldás: Az összefüggést ismét ombiatoriai godolatmeettel bizoyítju (másépp is lehet): Az összefüggés jobb oldala azt a számot jeleti, aháyféleéppe +1 elem özül iválaszthatu +1 darabot. Az eleme özül jelöljü meg az egyiet legye ez a itütetett elem. A lehetséges iválasztásoat válogassu ét csoportba aszerit, hogy

8 tartalmazzá e a itütetett elemet. Olya iválasztás, amely tartalmazza a itütetett elemet darab va, hisze a itütetett elem mellé még darab elemet ell választau a maradé darab elem özül. Olya iválasztás, amely em tartalmazza a itütetett elemet darab va, hisze a maradé darab elem özül ell iválasztau a +1 darab 1 elemet. A ét csoport elemszámáa összege megadja az összes iválasztáso számát. Eze a tétele alapul az úgyevezett Pascal háromszög. A Pascal - háromszög felírási szabálya a övetező: Írju fel természetes számoat alapjá álló egyelőszárú háromszög alaba úgy, hogy a szárao midig az 1 szám álljo és egy, a háromszög belsejébe lévő szám midig az átlósa felette lévő ét szám összege legye. A háromszög tehát (ülöböző méretebe): A tétel alapjá állíthatju, hogy a Pascal háromszögbe az hogy a háromszög edi soráa adi eleme éppe legbaloldalibb elem a 0. elem.) ( =1 hisze elem özül ullát csa egyféleéppe 0 választhato i. Hasolóéppe =1 ) számo álla, éspedig úgy, (a legfelső sor a 0. sor; a Ismétléses ombiáció Ha darab ülöböző elem özül darabot szereté úgy iválasztai, hogy egy egy elemet többször is felhaszálhatu és a iválasztási sorred em számít, aor elem - ad osztályú ismétléses ombiációit eressü. A iválasztási lehetősége számát a övetezőéppe határozhatju meg: C ism = = 1 1! =! 1! ism Pl1: Háyféle számombiáció jöhete i az ötös lottó, ha visszatevéses módszerrel sorsolá a számoat (azaz mide egyes húzás utá visszateé a ihúzott számot)? Megoldás: A visszatevés miatt egy számot többször is ihúzhata, ezért 90 elem ötödosztályú ismétléses ombiációia számát ell iszámolu. A megoldás: C 5 90 ism = 94 5 = = = ! 120

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

KOMBINATORIKA Permutáció

KOMBINATORIKA Permutáció Permutáció 1) Három tanuló, András, Gábor és Miklós együtt megy iskolába. Hányféle sorrendben léphetik át az iskola küszöbét? Írja fel a lehetséges sorrendeket! 2) Hány különböző négyjegyű számot alkothatunk

Részletesebben

É É ö Ü É ő Ü É Ö Ó Ö Ó Ü Ü Ü É É É É ö É Ó É ö Ü Ü É Ö ő ő ö Ó ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö Ü É Ó É ő ö ö É ö ö ő ő ö ő ö É ö É ő ű É Ü Ü ö ő É É ö ő É Ü ö ö ö Ü É É ö É É ö É É É Ü É Ü Ü ő Ő ő Ü É É ő ö Ü ö Ü

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

6. Bizonyítási módszerek

6. Bizonyítási módszerek 6. Bizonyítási módszere I. Feladato. Egy 00 00 -as táblázat minden mezőjébe beírju az,, 3 számo valamelyiét és iszámítju soronént is, oszloponént is, és a ét átlóban is az ott lévő 00-00 szám öszszegét.

Részletesebben

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA 9. LINÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKA Az 5. fejezetbe már megmeredtü a leár trazformácóal mt a leár leépezée egy ülölege típuával a 6. fejezetbe pedg megvzgáltu a leár trazformácó mátr-reprezetácóját.

Részletesebben

ö ö ö ö ő ö ö ő ö ő ő ő ö ö ő ő ö ö ő ő ű ű ő ő ö ű ő ö ö ő ö ő ö ú ő ö ű ű ő ő ö ű ő ö ö ű ű ő ö ű ő ö ö ű ű ű ű ű ű ű ö ű ő É ö ú ö ö ö ö Ő ö ö ö ö ő ö ö ő ö ö ő ö ö ő ű ö ö ö ö ö ö ő Ö ő ö ö ő ö ő ö

Részletesebben

23. Kombinatorika, gráfok

23. Kombinatorika, gráfok I Elméleti összefoglaló Leszámlálási alapfeladatok 23 Kombinatorika, gráfok A kombinatorikai alapfeladatok esetek, lehetőségek összeszámlálásával foglalkoznak Általában n jelöli a rendelkezésre álló különbözőfajta

Részletesebben

FOLYADÉKKRISTÁLY-TELEVÍZIÓK Éber Nándor

FOLYADÉKKRISTÁLY-TELEVÍZIÓK Éber Nándor FLYADÉKKRISTÁLY-TLVÍZIÓK Éber Nádor A 21. SZÁZAD KÉPRNYÔI MTA SZFKI, Budapest A szerezetü és tulajdoságai alapjá a folyadéo és a szilárd ayago özött sajátos átmeetet épezô folyadéristályo felfedezésü (1888)

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

ű ű ű ű ű ű Ú ű ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű ű Ú ű ű ű ű Ó ű ű ű ű Ü É ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ú É ű ű ű É Ó Ú Ó Ü Ő Ó Ó ű É ű ű ű É ű É ű ű ű ű Ö Ü ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű É ű É É ű Ö ű ű ű ű É ű ű ű ű ű ű ű Ö

Részletesebben

É Ú ű Ö ű ű ű ű ű Ü ű ű ű ű ű Ú Ü ű Ú Ö ű ű Ö ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ö ű ű ű ű ű ű ű ű Ö Ö ű É ű Ö ű Ö Ú Ó ű ű Ü Ú ű É Ó ű ű ű Ö ű ű É ű É É Ö É É É É É Ö Ö É Ú É Ó Ú É É Ö Ö Ö ű Ó ű Ö ű ű ű ű

Részletesebben

ö ó É ó Ú ÜÉ ó ö ó ó ö É ó ó ó ó Ü ó ó É ó ó Ú ó ő Úó É ö ó Ü ó ó ó ó Ú ó Ü ó É Ó ő ó ó ó ó ö É ö ó ó Ü ó É ö ó ó ó É ó É Ü ó ó ö ú Ö É Ú É Ü É ó ó ó Ü ó Ü ő É Ö Ó É ó ó ó ó ó ó ó ó ó ö ó Ó ő ö ó ó ó ó

Részletesebben

É ü ü ű ü Ü ü É É ü Ó Ú É É Ö É Ó ű ű ű ű ü ű ü ü Ú ü ű ü ü ű ü Ó ü ü ü ű ü ü ü ü ü ü Ö Ü ű ü ü ü ü ű ü ü É ű ü ü ü ü ű Ü Ö É ü ü ü ü É ü ü ü É ü ű ű ü ü ü ü ü ű ü ü ü Ó ü ü ű ű ü ü ü ü ü ü É ű ü É Ó ü

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

Ú É ő ő ő ő ő Ú É ő ő ő ő ű ű ő ő ő ő ő ű ű ő ő ő Ú ő Ú É É Ú Ú ű ű ő ő É ő Ó ű ű ő ő ű ő É Ó Ü ő ű ő ő ű ő ű Ó É É Ó Ü Ü ő Ú Ü É É Ú É É ő É Ú É Ó É Ü ő ő Ú É ő ő ű ő ű Ú ő Ü É Ú É ő ő É É ű ő Ú É Ü ű

Részletesebben

É Ő ú ú Ü Ú Ü ú Ü Ú Ú Ú Ü Ü Ú ű Ü ú É Ü Ü Ü Ú ú ű Ü Ü Ü ű ű Ü Ü ú Ú ű Ü ű Ú ű Ü ű Ú Ü É É ű É É É É É Ü Ü Ü É ÉÉ Ö ú É É É É ÉÉ É É É ű ú Ó Ö ú Ó Ö ú Ó ú ú Ü Ü ú É É É Ö Ö Ö Ó Ü Ú Ó É É É É Ü Ú Ó Ő Ó ú

Részletesebben

Ö É ű Ú ő Ú ő ű ő ő ő ű Ü ő Ú Ú Ú Ú Ú ű Ü É ű ő ő Ú Ú É Ú ő Ú ő Ú ő É ő Ó É ő ű ű ő ő ő Ó Ú Ó ő ő Ü ő ő ű Ü Ú Ú Ü Ú Ó Ú Ú Ü Ü Ü ő Ö Ö É É É É É É Ó ő ő ű ő ű ű ű ő ő Ú É Ú É Ü űé É Ú ő ő É ő Ü ő ű É É

Részletesebben

Matematika tanmenet 2. osztály részére

Matematika tanmenet 2. osztály részére 2. osztály részére 2014-2015. Izsáki Táncsics Mihály Általános Iskola és Alapfokú Művészeti Iskola Készítette: Molnárné Tóth Ibolya Témakörök 1. Témakör: Év eleji ismétlés /1-24. óra/..3-5. oldal 2. Témakör:

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

É ö ü ú ü ö ú ö ü ö ü ú ü ű ü ü ö ö ö ú ü ö ü ü ö ü ü ü ü ü Ü ü ö ú ü ü ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ü ö ü ö ü ö ö ú ö ü ö ü ö ö ö ú ö ö ö ö ú ú ö ü ö ü ú ü Ú É ö ö ö ö ö ú ö ű ö ű ö ú ö ö ú Ú ü ö ö ö ö

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika Távözlő hálózato és szolgáltatáso Kapcsolástechia émeth Krisztiá BME TMIT 015. ot. 1-8. A tárgy felépítése 1. Bevezetés. IP hálózato elérése távözlő és ábel-tv hálózatoo 3. VoIP, beszédódoló 4. Kapcsolástechia

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

É ő ö ö ö ö ő ő ö ö ö ö ő Ü Ü É ö Ü Ü Ü ő ö É É É É É É É É É ö ű ö ő É É Ü É É ő ö ő É ö Ü Ó É ö É É Ü Ó ű É É É Ó É Ü Ü É Ü Ü ű É Ó ű ű Ó Ü É É Ó ő ő ö ö ő ö ö ö ő ö ö ő Ű Ü ö Ó Ó Ö Ü ő ö É Ö ö ő Ó Ó

Részletesebben

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen,

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen, KOMBINATORIKA 1 Készítette: Bordi Istvá Tóth Árpád Gimázium Debrece, boi@tagdebr.suliet.hu Kérdések: A KOMBINATORIKA TÁRGYA 1. elemet háyféleképpe lehet egymás mellé tei (permutáció). 2. elemből háyféleképpe

Részletesebben

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben

Í Ó ö ő ő ö ö ó ö ö ó ö ö ö ő ó ó ö ö ő ő ő ó ö ö ó ó ó ó ó ó ó ö ó ú ő ö ő ó ö ó ö ő ö ő ö ő ö ö ó ó ő É É Ú Ú Ő ú ó ó Ü Ő ő É É ú É ő ó ó ú ö ó ó ő É É É ó ű ő ú ó ő ő ó ó ó ó ö ö ó ó ö ő ú ö ö É É É

Részletesebben

É É Á É É ó ó ö ű ó ó ó ű ó ö ö ű ó ó ő ö ű ó ó ű ú ö ű ó ó ó ó ö ű ó ó ó ö ű ő ő ő ó ö ű ú ö ó ó ó ú ő ő ü ó ó ó ö ű ű ö ő ó ú ó ö ü ö ű ó ó ö ő ö ó ö ö ő ő ö ó ő ö ő ó ő ó ő ú ú ö ű ó ú ö ő ű ö ó ó ó

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

MATEMATIKA C 6. évfolyam 3. modul LERAKÓS, TOLOGATÓS JÁTÉKOK

MATEMATIKA C 6. évfolyam 3. modul LERAKÓS, TOLOGATÓS JÁTÉKOK MATEMATIKA C 6. évfolyam 3. modul LERAKÓS, TOLOGATÓS JÁTÉKOK Készítette: Köves Gabriella MATEMATIKA C 6. ÉVFOLYAM 3. MODUL: LERAKÓS, TOLOGATÓS JÁTÉKOK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Á Á É É É ö É Ó ú Á ú Á Á Á Á ö Á ő ű ú ö ö ú ű ú É ő ö ú ú ű ö ű ő Ú Ú ú ő ö ö ő ö ö Á ö Á ö ú ű ö ö ö ö ö ö ö ö ö ő ö ö ö ö ő ö Á ö ő ö ö ő ú ú ö ö ő ö ö ö ö ú ö ú ö ő ú ö ö ö ö ö ú ö ú ú ö Ú ő ű ő ö

Részletesebben

Á Á é é ő ö ó é é é é é ő é é é ő ő ő é ü ő ó ó ó ö ö é é ő é ő é ő ö é é é é é é é ő é ű ő é é é é é ó ő ö é ú ö é ö é é ö ő ó ő ó é ő é ő ő é ő ó ó é ő ő é é ü ő é ó é ö ő é ő é ó ő é é ő é é ő é é é

Részletesebben

Halmazelmélet alapfogalmai

Halmazelmélet alapfogalmai 1. Az A halmaz elemei a kétjegyű négyzetszámok. Adja meg az A halmaz elemeit felsorolással! 2. Adott három halmaz: A = {1; 3; 5; 7; 9}; B = {3; 5; 7}; C = {5;10;15} Ábrázolja Venn-diagrammal az adott halmazokat!

Részletesebben

ö É ö ö ő ő ö ó ó ú ő ó ö ö ő ő ö ö ó ű ű ó ú ó ő ő ö ű ó ő ö ö ű ű ó ú ő ó ó ö ű ó ő ö ö ű ű ó ő ő ö Ü Ü ö ű ó ő ö ö ű ű ó ő ó Ü Ü ó ő ő ű ö ö ű ű ű ű ő ö ó ű ó ö ű ö ó ö ó ö ő ó ö ö ő ó ö ö ö ű Ö ö ö

Részletesebben

Furfangos fejtörők fizikából

Furfangos fejtörők fizikából Furfangos fejtörő fiziából Vigh Máté ELTE Komple Rendszere Fiziája Tanszé Az atomotól a csillagoig 03. április 5. . Fejtörő. A,,SLINKY-rugó'' egy olyan rugó, melyne nyújtatlan hossza elhanyagolhatóan icsi,

Részletesebben

Á Ó Ö Á É É É É Ő ű Á Ó ű Ö ű ű ű Ó ű Ö Ú Ö Ú ű ű ű ű Ö ű ű ű ű ű Ü Á ű ű ű ű ű ű ű ű Ö Ó ű Ö ű ű Ü ű ű ű Ö ű ű ű ű ű ű ű Ö Ó ű ű ű ű ű Á Á ű É ű ű ű ű ű Ö ű ű ű ű ű Ó Ü Á É Ű ű ű ű ű Á ű ű ű Á É ű Ú Ó

Részletesebben

ó á á á á á ó á ó Á ö é á ó Ú á á á ó Á ö é á á á ó ó ó á á ó á ó Ú á é á ó ü é ü é á á á á ó é é á ú á ó á é ó á ó Ó é á ó é á ó ó á Ó Ö é á ó á ó é é é ü é ó á Ó é é é ó ó ó á ó é é ó á ü ó é á ó é é

Részletesebben

Felépítés Típus 955010/ Konfigurálás setup programmal. Mérési adatok kiolvasása

Felépítés Típus 955010/ Konfigurálás setup programmal. Mérési adatok kiolvasása JUMO Meß- ud Regelgeräte GmbH A-1232 Wie, Pfarrgasse 48 Magyarországi Kereskedelmi Képviselet Telefo: 00-43-1 / 61-061-0 H-1147 Budapest Öv u. 143. Fax: 00-43-1 / 61-061-59 Telefo/fax: 00-36-1 / 467-0835,

Részletesebben

ő Á ú ő ú ő ú ú ú ő ő ő ű ú ű ő ő ú ő ő ő ú Á ő ú ő ő ú ő ő É É ú ő ő Ú ő É ú ú ő ő ő ő ő É ő ő ú É ű ű ű ú ő ő É ő ű ő ő É ú É ú ő ő ű ú ű ő ő ú ú Ú ú Ü ő ű ú ő ű ő ő ú ő ő ő ő ú ő ő ú ú ő ú ő ú ű ű É

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Á ő ő ő ö ö Ó ő ú ö Á É É ü Ö ő ö ő ő ö Ó ö Ú Ó ő ő ő ö Ö Ú Ú ő Ö ú ö ő ú ú ú Ó ö Ó Ó Ú Ú Ú Ú Ö Ó ő ő ú ő ű ü ő ö ö ö ő ü Ó Ó ő ő Ó ö Ó Ó ü ő ő Ó ő ö ő ő Ó ő ő ő Ú ö ő Ó Ó ő Ó ő Ö ő ö ő ü ü ű ö ö ö Ó ö

Részletesebben

VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL

VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL Surányi János Farey törte mate.fazeas.u Surányi János VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL FAREY-TÖRTEK. Egy a alós számot racionális számoal, azaz törteel aarun megözelíteni. A törteet az alábbiaban mindig

Részletesebben

Á Á ó ő ő ó Ő ó ó ó Ó Ó Ó ó Ó Ó Ó Ó ó ő ó ó Ő Ó Ó Ó Ó ó Ó Ó Ó Á Ó ó Ó ó Ó Ó Ó ó Ó ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó ó Ó ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó ó Á Ó ó ó Ő ó ó ó Ó ó Ú ó Ó Ó ó Ó Ó Ő ó Ó ó ó Ó ó Ó Ó Ó ó ó ó Ó ó ó ó Ó Ú Ó Ó ó ó ő ö Ó

Részletesebben

Á É ö ö ő ő ő Ú Ü ö ö ő ő ö ú ő ö ő ö ú ü ö Ü Ó ö ö ö ö ö ő ö ú ú ö ü Ü ö ö ö ö ö ö ő ö ö ő ö ü ő ö ő ü Ü Ó Ó ö ö ő Ü Ó ö ő ő ő ő Á ő ő Ü ő ö ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő É ü É ö ö É Ó ő ő ő ő Ü É ő Ó ő ő

Részletesebben

Ú ő É ő ű ő ű Á É ő Ó Á Á ő ű ű Á ű Ú É ő É Ú Ö ő ő Á ő ő Á É É Á ő ő ő ő ő ő Á Ó Á É Ú Á Á Á ő Á Á Á Á Á É ő ő ű ő ő É ő ő Á Á Ó Ü Á É Á ő Á ő ő ő Á É Ü ő Á Á ő Ö ő ő Á É ő ő ű ő Ö Á Á Ú Á Á Á É É ő ű

Részletesebben

É Ó Ö Á ú Á ú ú ú ú Ó ú ú ú ú ű ú Á ÁÉ Á ű ű ú ú É ú É É ű ű É ű Ú ű Ü ú ű ú Ö Ú ű Ö Ö ú Ő ú ű Ö ú ú Ú Ó ú ú ű ú Ö Ú Ü Á Á Á É Ü ű Ü Ö É Á Ü Ó É Ö É ű Ü Á Á Á ú Ü Ö Á É Ü Á ú Ö Ö ú Ö Á ú É É Ö É Á Á Á

Részletesebben

ű É ű Á Ü É É ű ű Ű ÓÓ Ü É Ü Ú Ú ű Ú Ö Ö Ü ű ű Ű Ú Ö Ü Ö Ú Ó Ó Á É Ú Ű Ú Ú Ú Ú Ú ű Ú Ű Ú ű ű Ú ű ű Ú Ú É Á Ú Ú É É ű ű ű Ú ű ű Ú ű Ú Ó É Ű Ó ű Ú ű ű ű Á ű ű Ú ű ű É ű ű ű ű Ó Ú Á Ú ű Á ű Á Ú Ó ű ű Á ű

Részletesebben

Ú ű Ú ű ű ű Á ű Ö Á ű ű ű ű ű ű Ö ű Á ű ű Á ű ű ű ű ű Á ű Ú Ü Ü ű ű Ü Ü Ö ű ű ű ű ű Ú Ü ű ű ű ű ű Ú Ó ű ű ű Á É ű ű ű Ű ű ű ű É Á Á Á Á Ó Ó ű Ü Ú Ú Ö Ú ű Ö Ő Ú Ú ű Ó Ő Ú Ö Ö Ő Ű É ű Ó É Á Á ű ű Ú Á É É

Részletesebben

Ó Ú Ö Ú É Ö É Á ű ű ű ű ű ű ű ű Á ű Á Ú ű Ü ű ű Ü ű Ó ű ű Ú ű Ö Ö ű ű ű ű Á É Ó ű ű Ü Ö ű ű Ü Ú É ű ű ű ű É Ü Ü Ü É Ü Ü Ü Ü ű ű ű ű ű ű ű Ú É ű ű ű ű É Ü ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ú ű Ö ű Ü ű ű ű ű É ű Ó ű ű É

Részletesebben

ö ő ö Ö ö ó ő ő ő ú ö ö ő ó ü ö ö ő ő ő ő ő ö ő ö ő ó ő ö ő ő ő ú ó ő ö ó ö ő ó ö ő ő ő ó ő ő ő ő ö ö ő ö ő ó ú ö ö ő ő ó ő ő ú ő ü ő ó ö ö ő ő ő ü ö ö ő ó ó ö ő ő ö ő ö ö ö ö ő ő ő ü ű ö ö ő ő ó ö ö ö

Részletesebben

ö Á É É ö ö Ö ö ű ö ő ö ő ö ú ü ö Ü ö ö ö ö ü ö ú ö ő ü ö Ú ü ü ö Ü ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ü ő ö ú ö ö ü ö ö ö ö ő ő ö ű ö ö ű ö ö ő Ü ö Ü ö ü Ü ö ö ö ú Ó ö ö ö ö ö ő ö ö ú ö ő ö ö ő ő ö ö ö ü ö ö É ö

Részletesebben

Á ú ő ú Ú ü Ö ú Á Ó ú ü ő ő ő ú Ö ú É ú ű ü É ü ú ő ő ő ú ú ü ü Ö Ö ú ő ő ű É ü ü ü ú ő ő ú ü ü ő ő ő ú ü ő Ö ű ő ü ő ü ő ő Á É ő ü ő ü ú ú ő ü ü ü ő ü ő Ó ü ü ü ü ú É ő ü ü ü ú ő ü Ó ü ü ő ú ő ő ü ü ú

Részletesebben

É É É É É Ö Á Á É Ő ű ű ű Ü ű ű ű Ú Á ű Ö ű Ú Á Ú ű Ó Ú Ú Ú Ú ű Ú Ú ű É ű ű É É É ű É É Ü ű ű É Á ű Á Á Ü Á Ü É Ú Á Ú Ó Ü Ü Ú ű ű Ú Ü Ü ű Ú É Ö ű ű Ü Ó Á Ö Ö ű Ö É É ű ű É ű ű ű Ú ű Ö É Ó ű Ú Ú Ú É Ú Ú

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

ú ú ű ú ú Ú É É Ó ű ű ü ú ü ű ü ú ú ü ü ü ú ü ú ü ü ü ü ú ű ü ü ú ű ü ü ü Á ű ű ú ű ü ü ú ű ü ű ú ü ü ü ú ű ü ü ü ű ú ü ú ü ü ü ű ű ú ü ú ű Ö ú ü ü ü ü ü ú ű Ö ü Ú É ú ú ü ü ü ü ü ü ü ü ü ú ü ú ü ú ü ü

Részletesebben

ú Ö ó ú ó ú Ö ő ü ú ő ó ü ú ő ü ú ő ó ó ó ó Ö ő ü ü ü ü ő ú ű ü ú Ö ő ü ő ó ü ü ü ő ő ő ü ó ő ü ú ő ü ő ő ő ó ó ő ó ó ü ő ó ü ó ó ü ú ó ó ő ú Ö ó ü ó ő ó ő ó ő ó ó ü ó ó ó ó ú ő ü ó ü ú ó ő ü ó ő ő ő ü

Részletesebben

ö ű ö ö ö ö ü ö ö ü ö ö ö ö ö ö ű ö ü ú ö ö ö ö ű ü ü Ö ü ö ű ű ű ö ú Ü Á Á Á ö ö ú ü ú Ü ö ö ö ö ö ú Ü Ü ö ö Ü ö ü ö ú ö ü ö ü ü Ü ü ű ö ü ö Ü Ú Ü ü Ü ü Ü ú Ü ö ö ü ö ö ű ű ü ö ű Á ö ü ö ö ú ö Ü Á Ü Ő

Részletesebben

ő ő ő ü ő ő ő ő ő ő ő ű Ö ő Ö ő ő ő ő ő ő ő ő ü Ö ő ő ü É ő ő ü ő Ú üü ő ő Á Á É É Á ü Ú ő Ó ű ő É ő ű ő ő ő ő ő ű É Ö ű Ú Ö É ő ű ü ő ü É É É É É ő É ü ű ő ü űú ű ü ű Ú É ü ű É É É ő Ó ő ű Á ÚÚ ő ő É

Részletesebben

É ő Ü ő ő ű É ő ő ű É Ó Ö Ó Ó Ó ő É É ő Ü É Ü É ő Ü É ő Ü ő É ő ű ő ű ő Ó Ú Ú É É É Ú É ő É É Ü Ü ő ő ő ű Ü ő É É ő Ü ő ő É É Ú Ü ő Ú Ü Ó ő ű Ú ő ő Ú Ú ő ő ű ű ű ű É ő ű ű ő ű ű ő ő Ú ő ő ő ő ő Ú ű É ű

Részletesebben

Ó Á É Ő É ő ő ő ó ó ó ó ó ő Ö ó ő ó ü ő ó ő ű ó ó ó ő ő ő ő ő ű ő ó ü ó ő ő ő ő ó ü ó ó ó ű ő ó ő ó ő ú ő ő ü ő ó ü ó ő ő ő ü ó ó ő ő ü ő ó ő ó ő ű ő ő ű ő ó ó ó ó ó ó ő ő ó ó ó ő ó ő ü ó ű ő ő Á ó ó Ó

Részletesebben

Á ű Ú ÚÉ Á Á Ü Ü ű Ü Ü Ü Ú Ü Ü Ü É Ú Ü ű Ü Ü Ö ű ű Ü Ü Ü Ü Ü ű ű ű Ú ű ű Ú ű ű ű ű Á Ú É Á ű Á É Á Ú ű Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á ű Á Á Á Á Á É ű Ü ű Á ű ű ű Á ű Ú Ó Á Á ű Ú ű Ü ű Ü Á Á ű ű É

Részletesebben

É ú ú ú ú ú ú ú ú ú É É ú ű ú ű ú Ú Ü ú ú ú ú ű ú ú ű ú ú ú ú ú ú ű ú ú ű Ü ű ű ú É É ű É ű É ú ú ú ű É ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ű ú ú ű Á ú É ű ű ú ú ú ú ű ű ű ú ű ú ú ú ú ú ú ű ú ú Ú ű ú ű ű ú ú ű Ü ú ű

Részletesebben

É ú ú Á É ú É ű Á Ú ú ú ú ű ú É ű ú ú ű ú ú ű ú ú ű ú ú ú ú ú ú ű ű ű ú Á Á ű É É ú ú ú ú ú ú ű Ü ű ű ű Ö Ú ú Ú ú ű ú ú ű ú ű ű ú ú Ö ű ú ú ú ű ű ű ű ú ú É É ű ű É É ú ú ű Á ú ú ú É Ú ű ú ú ű ú ú ú Ü ú

Részletesebben

É Ú ú Á Ú Ú Á Á Ú ú ú ú Ú ú Á Ú Ü Ü ű ű ú ú ú ú Ü ú Ü Ú ú ű ú É ú Ü ű ú ú Ú É É Á Á Á Á Ü ú Á Á É Ú É ú Á Ü É Ü Ü Ü Ü Á Á ű ú ű ú Ü ű Á ú ű ű ú ű ű ű ú ű ű ű ű ú Ü É ű ú ű Ü ű ú ű Ü Ü Ü ú Ú ú ú ú ű ú ű

Részletesebben

ú ő ü ő ő ü ő ű ű ő ü ü ő ő Ü Á ő ü ő ő ü ő ő ü ő ú ő ő ő ü ő ő ő ő ő ő ü ő ü ő ő ű ű ő ü ő ő ő ü ő ü ő ű ő ü ő ő ő ő ü ü ü ő ő ű ú ü ü ő ő ő ő ü ü ő ő ő ü ő ő ő ő ű ő ú ő ő ü ő ő ü ő ő ő ű ő ő ű ü ü ő

Részletesebben

ü Ü ö ö ö Á ő ö ö ö ü ú ö ő Á ő ö ő ü ú ő ő ő ö ö ö ő ú ő ő ő ö ő ö ű ő ő ő Ú ö ü ő ő ú ú ö ő ö ő ú ú ő ú ö ö ő ú ő ü Ü ö ő É ő ő ü ö ő ú ő ö ű ő ő ü ő Ú ű Ö ü ő ú ő ő ő ú Ú ü ö ő ő ú ő ű ő ö ö ü ö ö ő

Részletesebben

Á ö ü ö ő ö ű ö ú ú ö ú ő ő Á ő ő ö ú ü ő ő ú ő ő ő ő ö ü ő ő ú ő ö ö ü ü ő ö ü ü ö ő ú ő ő ő ö ú ú ö ö ú ő ü ü Ü ő ö ő ű ü ö ú ú ú ö ő ö ő ö ú ö ű ő ő ö ő ö ü ö É É É É Ú É É É É É öö É É ő É ö É

Részletesebben

É Ő É é ö í é í é í í Ú é é é í í ő ö ö é É Ó É Á í é ő é í í í Í Í í í É É É í é é í Í é Íő é í é í é í í Í ú é é ű í í é í í Í ö ö ő é ö ö é é í Á ő é é é í é Í ö é é é é é é ö Í ö é é é í í é ö í í

Részletesebben