1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója"

Átírás

1 Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle Lieáris biom Az a + b kifejezést, ahol a, b valós számok és a 0, lieáris biomak hívjuk Példa Oldjuk meg a következő egyeleteket a valós számok halmazá: a) , 5 5 7, b) c) ( ) a) b) Egyetle szám sem elégíti ki az egyelőséget c) Mide valós szám kielégíti az egyelőséget Képlet a lieáris egyelet gyökéek meghatározására AZ a + b 0, a 0, egyeletek potosa egy gyöke va, kokréta az b a

2 4 Külöböző feladatok Feladat Oldjuk meg a következő egyeleteket a valós számok halmazá: a) +, b), 4 5 c) ( ) Feladat Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: ( ) 5( + ) + ( 6 )( + ) ( ) + ( ) Feladat Egy osztályterembe padok vaak Ha az utolsó pad kivételével mide padhoz 7 diák ül, akkor az utolsó padhoz csak diák fog üli Ha 6 diák ül mide padhoz, diákak em fog juti hely Háy diák va a terembe? Második rész Másodfokú egyeletek Két lieáris biom szorzatakét felírt egyeletek A következő formájú egyeletek: ( a + b)( c + d ) 0, ahol a, b, c, d valós számok és a 0, c 0, két lieáris biom szorzatakét vaak felírva Az ilye egyeletek megoldásáál azt a téyt haszáljuk ki, hogy két kifejezés szorzata akkor és csakis akkor 0, ha legalább az egyik szorzótéyező 0 Példa Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: + 0 Az szám akkor és csakis akkor az egyelet megoldása, ha 0 vagy + 0, azaz

3 vagy A megadott egyelet gyökei a és Egyeletek, amik átalakíthatóak két lieáris biom szorzatává Példa Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: 9 + ( )( ) ( + )( ) , Megjegyzés A több lieáris biom szorzatakét felírt egyeletek hasoló módo oldhatók meg, például: 9 6 ( ) ( )( + ) 0,,, Egyelet létrehozása a két megadott gyöke alapjá Itt visszafelé fogjuk haszáli azt az eljárást, amit a következő formájú egyeletek megoldására haszáltuk: ( a + b)( c + d ) 0 Továbbá, ha adott két valós szám,,, ezek a következő egyelet gyökeit adják: a 0, a 0 Példa Készítsük olya egyeletet, amiek a gyökei a következők: a),, b) 4 a) A megoldás a következő egyelet:

4 ( ) a 0, a 0, a + 6 0, a 0 Ha az melletti együtthatót eljelöljük b-vel, és -6a t c-vel, akkor a következő egyeletet kapjuk: a + b + c 0, a 0 b) Hasolóa ( ) a 4 0, a 0, a , a 0 Ha a következő jelölést haszáljuk: 8a b, 6a c, akkor a következő egyeletet kapjuk a + b + c 0, a 0 4 Másodfokú egyeletek defiíciója A következő formájú egyeleteket, a + b + c 0, ahol a, b, c valós számok és a 0, másodfokú egyeletek hívjuk, az ismeretle Az a kifejezést másodfokú tagak hívjuk, a b kifejezést lieáris tagak és c-t szabad tagak 5 Másodfokú triom Az a + b + c kifejezést, ahol a, b c valós számok és a 0, másodfokú triomak hívjuk 6 Két speciális másodfokú egyelet c0eseté: Ebbe az esetbe, az egyeletük a következő: a + b 0, a 0 Ez a téyezőkre botás segítségével a következő módo oldható meg: a + b 0 b Az egyelet gyökei: 0, a 4 Példa Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: ,

5 b0eseté: Ebbe az esetbe az egyeletük a következő: a + c 0, a 0, c a, a 0 c Ha < 0, akkor az egyeletek icse megoldása a valós számok halmazá a c Ha 0 a c, akkor az egyelet gyökei a következők: a, c a 5 Példa Oldjuk meg a következő egyeleteket a valós számok halmazá: a) + 9 0, b) 8 0 a) Eek az egyeletek ics megoldása a valós számok halmazá b) 6, 6 7 A ormált másodfokú egyeletek A következő egyelet: a + b + c 0, a 0, átalakítható az a 0 együtthatóval törtéő osztással a ormált formába: b c a a b c Ha a következő jelölést haszáljuk: p, q, akkor megkapjuk a ormált formát: a a + p + q 0 8 A másodfokú egyelet gyökei és együtthatói közötti kapcsolat Ha a másodfokú egyelet a ormált formájába va felírva, és a gyökei,, akkor az + p + q, ( ) + p + q + + egyelőség lesz igaz A midkét oldalo lévő együtthatók összehasolításával megkapjuk az

6 úgyevezett kapcsolatot a ormált másodfokú egyelet gyökei és együtthatói között (Vieta-formula, Vieta-gyöktétele) + p, q Ha a másodfokú egyelet em a ormált formájába va felírva, akkor a következők az összefüggések: b + a, c a 9 Vieta-formula felhaszálása a másodfokú egyeletek megoldására Először átalakítjuk az a + b + c 0 egyeletet a ormált formájába: + p + q 0 Aztá megpróbáljuk meghatározi az, számokat, amelyekre igaz, hogy + p, q Az, számok az egyelet megoldásai 6 Példa Oldjuk meg a következő egyeleteket a valós számok halmazá: a) b) + 8 0, a) Itt a következő egyeleteket kell megoldauk: +, 8 A két gyök:, 4 b) Itt a következő egyeleteket kell megoldauk: + 4, 4 A két gyök: 0 Külöböző másodfokú egyeletek Feladat Oldjuk meg a következő egyeleteket a valós számok halmazá: a) + + 0, b) , c) Másodfokú triomok lieáris biomok szorzatává botásáak alkalmazása

7 A másodfokú triomok két lieáris biom szorzatává botásáak egyik alkalmazása a törtek egyszerűsítése 7 Példa Határozzuk meg az összes olya számot, amelyre a következő tört értelmezve va, és egyszerűsítsük is azt: A tört azokra az -ekre ics értelmezve, ahol Hogy megtaláljuk -et, végigmegyük a fet említett eljáráso: 5 +,, A tört mide valós számra értelmezve va, a - és számok kivételével Ezutá téyezőkre botjuk a evezőt: ( + ) + A számláló téyezőkre botása hasolóa megoldható: Így a következő kifejezést kapjuk: ( + )( + 6) ( + ) + + Több feladat a téyezőkre botással kapcsolatba Feladat Keressük meg az összes olya számot, amelyre értelmezve vaak a következő törtek, és egyszerűsítsük is a törteket: a) 4 + 7, 6 b) ( ) Feladat Oldjuk meg a következőket a valós számok halmazá: 5 4 a) , b) ( ) ( ) ( )

8 4 Feladat Keressük meg az összes olya p valós számot, amelyre a következő egyelet két gyökéek külöbsége 6: p + p Feladat Botsuk téyezőkre a következő triomokat: a) + 4, b) , 4 c) Feladat Határozzuk meg az összes olya számot, amelyre a következő tört értelmezve va, és + egyszerűsítsük is a törtet: + 7 Feladat Keressük meg az összes olya számot, amelyre értelmezve vaak a következő törtek, és egyszerűsítsük is a kifejezéseket: a) , b) Feladat Keressük meg az összes olya p valós számot, amelyre az p egyeletek megoldása lesz az 9 Feladat Egy autóak 08 km-es távolságot kell megteie Ha órákét km rel hosszabb távolságot tesz meg, akkor félórával hamarabb ott lesz Mekkora az autó sebessége? 0 Feladat Három egymást követő páratla szám égyzetéek az összege 55 Találjuk meg a számokat! Másodfokú egyeletek megoldása a teljes égyzetté alakítás módszerével 8 Példa Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: A teljes égyzetté alakítás módszerét haszáljuk: + 6 0

9 ( ) + 0 5, A feti eljárás az egyelet ormált formájába törtéő átalakításából és egy lieáris biom teljes égyzetté alakításából áll 9 Példa Oldjuk meg a következő egyeleteket a teljes égyzetté alakítás módszerével: a) , b) a) b) Az egyelet baloldala mide valós szám eseté pozitív lesz, de a jobboldal 0 Ezért az egyeletek icse megoldása a valós számok halmazá Feladat Oldjuk meg a következő egyeleteket a valós számok halmazá teljes égyzetté alakítás módszerével: a) b)

10 4 Képlet az általáos másodfokú egyelet gyökeire (a másodfokú megoldóképlet) Az előző fejezet eljárását fogjuk haszáli, hogy megoldjuk az általáos másodfokú egyeletet: a + b + c 0, a 0 Először, átalakítjuk az egyeletet az ormált formájába: b c a a b Aztá kiegészítjük a + biomot egy lieáris biom égyzetévé és mit másodfokú a egyeletet megoldjuk a lieáris tag élkül: b b b c a a a a b b 4ac + a 4a A 4a evező pozitív és az utolsó egyelőség baloldala em-egatív Az egyeletek akkor és csakis akkor va legalább egy megoldása, ha b 4ac 0 Így, ha b 4ac 0, folytathatjuk a megadott általáos másodfokú egyelet megoldását: b b 4ac + 0 a a b b 4ac b b 4ac a a a a + 4 a b b ac b b 4ac a Ezt a következő rövidebb formába szoktuk felíri:, ± a b b 4ac A másodfokú egyelet megoldása a b 4ac kifejezés előjelétől függ, amit diszkrimiásak hívuk és a következő módo jelölük: D b 4ac Foglaljuk össze, amit felfedeztük: Az a + b + c 0, a 0 egyeletek icse valós b gyöke akkor és csakis akkor ha D < 0, a valós gyökei akkor és csakis a b akkor ha D 0 (azt modjuk, hogy egy kétszeres gyök), vagy két külöböző, a, ± a b b 4a c gyöke va akkor és csakis akkor, ha D > 0

11 0 Példa Oldjuk meg a következő egyeletek a valós számok halmazá a másodfokú megoldóképletet haszálva: a) + 4, b) , c) a) b), D ( 4 ) 4 6 > 0 4 ± 6 4 ± 6 + ± D c) D < 0 Eek az egyeletek icse megoldása a valós számok halmazá Feladat + 4 Keressük meg a következő kifejezés értelmezési tartomáyát: Feladat Bizoyítsuk be, hogy ameyibe két szám összege p, a szorzatuk pedig q, akkor igaz, hogy: 4q p 5 A másodfokú egyelet gyökei és együtthatói közötti kapcsolat Ha a + b + c 0 egy másodfokú egyelet, ahol a 0, akkor a diszkrimiása D b 4ac 0, míg a gyökei, b± D, akkor igaz, hogy a b+ D b D + + b a a a, ( 4 ) b+ D b D b D b b ac c a a 4a 4a a Ezeket az összefüggéseket a gyökök és az együtthatók között Vieta-formuláak evezik

12 Példa Keressük meg, hogy milye a, b, c, a 0 a + b + c 0 egyelet gyökei a) egymás elletettjei, egymás reciprokai valós számok eseté igaz, hogy az a) Az egyeletek valódi gyökei vaak, ezért b 4ac 0 Az, egymás elletettjei, b ezért 0 + és így b 0 Így 4ac 0 a, azaz ac 0 Fordítva, ha b 0 és ac 0, akkor az egyeletek két valódi gyöke va, amik egymás elletettjei Így az egyelet gyökei akkor és csakis akkor egymás elletettjei, ha b 0 és ac 0 b) Hasolóa, b 4ac 0 Az egyelőség igaz, ha a gyökök egymás reciprokai, c így vagy másképpe a c Ezért b 4ac b 4a 0 Az egyeletek a akkor és csakis akkor egymás reciprokai a megoldásai, ha a c és b 4a 0 Példa Adott az egyelet A gyökök kiszámítása élkül határozzuk meg azt a másodfokú egyeletet, amiek a gyökei a reciprokai a megadott egyelet gyökeiek Ha, a megadott egyelet megoldásai és ', ' az új egyelet megoldásai, akkor ' ', Mivel + 7 és 80 a megadott egyelet eseté, az új egyeletre a következők igazak: ' ' , 80 ' ' 80 Az új egyelet így a következő formájú: 7 + 0, Feladat Adott az a + b + c 0, a 0 egyelet A gyökök kiszámítása élkül találjuk meg azt a másodfokú egyeletet, amiek a gyökei a megadott egyelet gyökeiek a égyzetei 5 Feladat Keressük meg az összes olya m valós számot, amelyre a következő egyeletek két valós gyöke va, és az egyik kétszer akkora, mit a másik

13 9 8m 8m Feladat Az + p + q 0 egyelet gyökei p és q Keressük meg az összes olya p, q számot, ami kielégíti ezeket a feltételeket 7 Feladat Keressük meg az összes olya valós számot, amelyre a következő egyeletekek va közös gyökük m m Harmadik rész Magasabb fokú poliomok és poliom egyeletek A poliom egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket, a + a + + a+ a 0, ahol a 0, a,, a, a, valós számok, pedig egy egész szám, poliom egyeletek 0 hívjuk, az ismeretle Az szám a poliom egyelet foka Speciális esetei a lieáris egyeletek: a + b 0, a 0, másodfokú egyeletek: a + b + c 0, a 0 és harmadfokú egyeletek a + b + c + d 0, a 0 0 -ed fokú poliomok Azt a következő alakú poliomot, a + a + + a+ a, 0 ahol,,,, a valós számok, pedig egy természetes szám és a 0, -ed fokú a a a 0 poliomak hívjuk Poliomok osztása A poliomok osztása ugyaúgy működik, mit az egész számok osztása Példa Végezzük el a két poliom osztását: 4 ( ):( + ), ( : )

14 : Így is felírhatjuk: Az osztást bármely valós szám eseté elvégezhetjük, amire igaz, hogy + 0, azaz és kivételével mide valós szám eseté Ha az eljárást ebbe a formába írjuk fel: , ez az egyelőség igaz lesz Így is felírhatjuk:, eseté is : Az osztást bármely valós szám eseté elvégezhetjük, amire igaz, hogy + 5 0, azaz mide valós szám eseté, ugyais a egyelet diszkrimiása egatív Az eljárást a következő szorzat formájába is felírhatjuk: ami mide valós szám eseté igaz lesz , Tétel A P és Q poliomokhoz találhatuk egy R és S poliomot úgy, hogy P S R + Q Q Ez az egyelőség mide valós számra igaz, ahol Q 0, és az S poliom foka kisebb, mit a Q poliomé

15 Ezt az egyelőséget is felírhatjuk szorzat formájába: P R Q + S, de ez az egyelőség mide valós szám eseté igaz Feladat Végezzük el a következő poliomok osztását, és írjuk fel a műveleteket szorzat formájába is: ( 8 7 ) : ( + ) 4 ( 9 7 ):( ) ( ) : ( 4 + ) -ed fokú poliom egyeletek gyökei Mide olya egyeletek, ami a következő formába írható fel, a + a + + a+ a 0, 0, 0 legfeljebb valós gyöke va Mit a másodfokú egyeletek megoldásából tudjuk, az elsőfokú kivételével bármely poliom egyeletek lehet több megegyező gyöke Ekkor azt modjuk, hogy többszörös gyöke va, illetve a gyök többszörösségi fokáról beszélük Az 0 gyök többszörösségi foka akkor és csakis akkor k, ha az a + a + + a+ a poliom az 0 0 biom k hatváyával osztható, de a ( k + ) hatváyával már em osztható a Példa A következő egyeletek: + 0 gyöke háromszoros, 0 gyöke kétszeres (vagy ill többszörösségi fokkal redelkezek), gyöke pedig egyszerű Poliom egyeletek gyökei és együtthatói közötti kapcsolat Ha a következő egyelet: a + a + + a+ a 0, 0, 0 gyökei az,,,, (egyesek közülük megegyezhetek), téyezőkre bothatjuk a következő formába: a ( )( )( )( ) 0 Ha az egyelet baloldalá található szorzatot kifejtjük, akkor a következő alakot kapjuk: + + ( ) + + ( ) a a A poliom egyelet együtthatói és gyökei közötti kapcsolatot az egyelet két eltérő alakjáak összehasolításával kapjuk: a + + +, a

16 a a 0 ( a ) a + + +, Poliom egyeletek megoldása A lieáris és másodfokú egyeletek gyökeire voatkozó képleteket az előző fejezetekbe vezettük le Hasolóa vaak képletek a harmad- és egyedfokú egyeletek gyökeire is De ezek agyo boyolultak, ezért em fogjuk bemutati ezeket itt Másrészről, em lehetséges uiverzális képleteket gyártai a magasabb fokú egyeletekhez Ezekek az egyeletekek csak speciális formáihoz vaak megoldóképletek Éppe ezért, lehetetle megoldai egy tetszőleges poliom egyeletet éháy képlet alkalmazásával Itt meg fogjuk ézi azt az eljárást, ami alkalmas éháy magasabb fokú poliom egyelet megoldására Ez legalább az egyik gyök meghatározásá és az egyelet fokáak csökketésé alapul A következő tételt fogjuk haszáli Tétel Ha a következő egyelet egyik gyöke: a + a + + a+ a 0, 0, akkor 0 a ( ) a + a + + a+ a b + + b+ b 0, 0 0 b 0 A megadott egyelet többi gyökét a következő egyelet megoldásával találhatjuk meg: b + + b + b 0, b 0 0 Folytathatjuk ezt az eljárást, hogy megtaláljuk a megadott egyelet többi megoldását is Példa Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: Behelyettesítük helyére pár értéket az egyelet bal oldalá Ez alkalommal köyű megláti, hogy az egyelet egyik megoldása Így Az 6 6 p + + +q + p + q poliomot az poliom -gyel törtéő osztásával vagy a poliom és a következő poliom együtthatóiak összehasolításával kapjuk: + p + q + p + q p q Ebből következik, hogy p 6, q p, q 6 vagy p 5, q 6 Így,

17 Az egyelet gyökei:,, 4 Példa Oldjuk meg az egyeletet a valós számok halmazá: Az egyelet, gyökeit megtalálhatjuk, ha ezeket az értékeket helyettesítjük be helyére Így felírhatjuk a következőt: p q r p+ + p+ q 6 + 6p+ q + r + 6q + r 6 r Így következik, hogy p +, p+ q 6 6, 6p+ q + r 0, 6q + r 6, 6r 4 és így p, q, r 4 Most már csak a következő egyelet megoldása marad hátra: Újra rájöhetük, hogy az egy megoldás, ezért: s t s t s t Így következik, hogy s, t s, t 4 vagy s 0, t Utoljára már csak az + 0 egyeletet kell megoldauk, amiek icseek valós gyökei Végül összefoglaljuk, hogy az egyelet gyökei az, 5 Példa Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: + 0 Téyezőkre bothatjuk a harmadfokú poliomot az egyelet bal oldalá: ( )( ) ( )( 5 ) Az egyelet egyik gyöke az Ezutá, oldjuk meg a következő egyeletet a másodfokú megoldóképlet segítségével: 5± 5 4, Az egyelet gyökei:,, Feladat Oldjuk meg a következő egyeleteket a valós számok halmazá úgy, hogy először

18 meghatározuk éháyat a gyökeik közül: 4 0, , 4 7 Feladat Oldjuk meg a következő egyeleteket a valós számok halmazá a poliomok egy megfelelő téyezőkre botásával: + 0, , 6 0 Egész együtthatójú poliom egyeletek racioális gyökei Eddig a poliom egyeletek megoldását egy vagy több gyökük meghatározásával kezdtük Amikor megtaláltuk ezeket, akkor lecsökketettük velük a poliom fokát, és folytattuk tovább az előbbi eljárást Megköyítheti a gyökök keresését, ha kokréta tudjuk, hogy milye számok halmazá keressük a gyököket A következő tételt fogjuk haszáli Tétel Ha a következő poliom egyeletek, a + a + + a+ a 0, a 0, 0 r ahol a, a,, a, a egész számok, va egy racioális gyöke, ahol r és s számok 0 s relatív prímek, akkor az r szám osztója a 0 ak és az s szám osztója a ek Ez a tétel lehetővé teszi számukra, hogy a megadott poliom egyelet racioális gyökeit is megtaláljuk Más lehetséges gyökök a valós számok halmazából már az irracioális számok közül kerülek ki 6 Példa Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: osztói a következők: ±, ±, ±, ± 4, ± 6, ±, míg osztói: ± Ezért az egyelet 4 6 lehetséges racioális gyökei a következő számok: ±, ±, ±, ±, ±, ± azaz ±, ±, ±, ± 4, ± 6, ± Ha behelyettesítjük ezeket az értékeket helyére a megadott egyelet bal oldalá, akkor azt találjuk, hogy, 4 az egyelet gyökei Így felírhatjuk, hogy: ( 7) ( 7 ) ( 7 ) ( 4)( ) p + q p + q 4 + p + p+ q + + q q + q +

19 Ezért a megadott egyelet gyökei:, 4 és ics több gyöke a valós számok halmazá 7 Példa Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: Az egyelet lehetséges racioális gyökei a következők: ±, ±, ±, ±, ±, ±, ±, 6 ±, azaz ±, ±, ±, ± 6, ±, ± Ha kipróbáljuk ezeket a számokat mid, akkor azt találjuk, hogy az egyelet gyökei az,, 4 Feladat Oldjuk meg a következő egyeleteket a valós számok halmazá: , Feladat Oldjuk meg a következő egyeleteket a valós számok halmazá: + +, 8 Több ismeretlees lieáris és másodfokú egyeletredszerek 8 Példa Oldjuk meg a következő egyeletredszert a valós számok halmazá: + y 5 y 5 Kifejezzük, hogy y 5 a második egyeletből és behelyettesítjük az első egyeletbe: ( ) , A második egyeletből a következőket kapjuk: y 5 5, y 5 4

20 Miutá kipróbáljuk, azt kapjuk, hogy a megadott redszerek két megoldása va: 0, y 5 és, y 4 9 Példa Oldjuk meg a következő egyeletredszert a valós számok halmazá: + y 5 + y + 8 8y 7 0 Kivojuk a második egyeletből az elsőt, és ezt kapjuk: 8 8y 7 5 y + Ezt behelyettesítjük az első egyeletbe A megadott egyeletredszerek két megoldása va:, y és, y Feladat Oldjuk meg a következő egyeletredszereket a valós számok halmazá: y + + y y 8 ( ) + ( y ) ( ) + ( y ) y z y + z 4 + y + z 0 Behelyettesítés Néháy magasabb fokú egyeletet megoldhatuk a behelyettesítés módszerével 0 Példa Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: Haszáljuk az alakítja át: y behelyettesítést! Ez a megadott egyeletet a következő egyeletté y y 0 +, y y 0, amiek a gyökei y, y Így a megadott egyelet gyökei:,,, 4

21 Példa Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: + Az 0, eseté haszáljuk az következő egyeletté alakítja át: amiek a gyökei: y, y Ez a következő egyelethez vezet: y behelyettesítést! Ez a megadott egyeletet a y +, y y y + 0, y + y 0,, amiek a gyöke az, valamit a következő egyelethez:, amiek a gyöke az Így a megadott egyelet gyökei:, 7 Feladat Oldjuk meg a következő egyeleteket a valós számok halmazá a behelyettesítés módszerét haszálva: , + +, + 4 0, Feladat Oldjuk meg a következő egyeletredszereket a valós számok halmazá behelyettesítést haszálva:

22 ( ) ( y + ) y + ( y + ) y + + y + + y ( + y) 44 Negyedik rész Több boyolult feladat 4 Feladat Mely c valós számok eseté lesz a következő egyeletek csak valós megoldása a valós számok halmazá: + c + c 0? 4 Feladat Mely p valós számok eseté lesz a következő egyeletredszerek: + p p 0 legalább egy megoldása a valós számok halmazá? 4 Feladat Keressük meg, hogy mely a valós számok eseté lesz következő egyeletredszerek: + y z+ + y z y z + a megoldása a valós számok halmazá, és oldjuk is meg! 44 Feladat Keressük meg, hogy mely p valós számok eseté lesz az + p + p p+ egyeletek három külöböző valós gyöke:, és amelyekre igaz 45 Feladat Bizoyítsuk be, hogy az r egyeletek mide r valós paraméter eseté maimum egy egész gyöke lesz 46 Feladat Keressük meg azokat a p valós számokat, amelyekre az + 4p + 5p + 6p 6 0 egyeletek két külöböző, gyöke lesz, és amelyekre az + összeg a lehető

23 legkisebb 47 Feladat Oldjuk meg a következő egyeletredszert a valós számok halmazá! ( + )( y + ) + 4y 0 y y + 48 Feladat Keressük meg az összes olya P poliomot, amelyre mide valós értéke eseté igaz lesz a egyelet ( ) 8 + ( ) P P 49 Feladat Keressük meg az összes olya P, Q poliomot, amelyekre mide valós értéke eseté igaz lesz a egyelet ( + ) 4 ( ) Q P 40 Feladat Keressük meg a szorzat eredméyét! Feladat Keressük meg az S összeg értékét, ha az a következő poliom együtthatóiak összege: ( + ) ( + ) F 4 Feladat Keressük meg az összes olya F poliomot, ami kielégíti a következőket: F , a) 7 5 b) F , F + F + 7 c) 4 Feladat Keressük meg a következő poliom osztási maradékát, ha az osztó: a), b)! 44 Feladat Határozzuk meg azt a lehető legkisebb fokú F poliomot, ami az ( ) és ( ) kifejezésekkel törtéő osztás eseté redre, illetve maradékot ad 45 Feladat Keressük meg azt az természetes számot, amire az + ( ) + ( ) ( + + ) F G poliom osztható a következő kifejezéssel:

24 46 Feladat Tegyük fel hogy a következő egyelet két gyökéek összege! 7 + d 0 Határozzuk meg d összes lehetséges értékét és az egyelet gyökeit is! 47 Feladat Tegyük fel, hogy az + p + q 0 egyelet,, gyökei kielégítik a következő összefüggést: + Milye feltételeket kell a p, q együtthatókak kielégíteiük? 48 Feladat Határozzuk meg az összes olya a, b, p, q valós számokat, úgy, hogy igaz legye a következő: 0 0 ( ) ( + ) ( + + ) a b p q 0 Ötödik rész Válaszok Feladat: a), b) icse megoldása, c) mide valós szám Feladat: Feladat: 4 diák Feladat: a),, b), 8, c) Feladat: a) 4,,, b), ±,, 7 + ( Feladat: a) ( ) (,,,, b), 5, + ) p+ 4 Feladat: meete p p, 6,, 6, valamit p, aztá p 4p 0, p 0 vagy p Feladat: a) ( + 7)( ) ( p 6 4 6, b) ( )( ) ( + )( )( + )( ) , c) Feladat: Feladat: a) 8 Feladat: p 7,, ± ( ) 9 Feladat: meete - 0, ±, b) ( 5 )( + )( ),, 5, vt 08, v + t 08, t t 6 0, t 9 óra

25 0 Feladat: meete A három egymást követő páratla szám az 5, 7, 9 Feladat: a), b) 5, + 5 Feladat:,, ( + ), Feladat: Ötlet - a p, q számok az p + q 0 egyelet gyökei ' ' b c b ac ' ' c 4 Feladat: + + ( + ) a,, a a a b ac c a kért egyelet a következő: + 0, azaz a ( b ac) + c 0 a a 6 8m 5 Feladat: meete -, + m,, 9 eredméy: m, m 6 Feladat: p q 0 vagy p, q 7 Feladat: m, a közös gyök az 4 Feladat: a) ( 8 7 ):( + ) ,, mide valós számra, vagy b) , 5,, 4 4 vagy ( 4)( 6 + 5) ( 6 8) mide valós számra 4 4 ( ) : ( 4 + ) ,, mide valós számra vagy Feladat: a),, b),,,4, c) 6 + 0, Feladat: a) ( + )( + )( ) 0, b) c) ( + ) Feladat: a),,, b), 5 Feladat: a),,, b) 4, 5,,4 ± 5 6 Feladat: a) ( 4,4+ ), ( + ) 4,4, b) 7 Feladat: a) 4,,,4, b), c), 8 Feladat: a) ics megoldás, b) ( ) 6, 6, 6,6 4 Feladat: meete - ( )( c) 4 Feladat: p 0 vagy p vagy p 0,,,, c) (,0,), 8 5,, ± 7, d), ± + + 0, eredméy: c vagy 4 Feladat: 8, az egyeletredszer megoldása [, y, z] [ p,, p], ahol p egy paraméter a valós számok halmazá c 4 a [, y, z] [, p, p] vagy

26 44 Feladat: meete ha a Vieta-formulát haszáljuk, az eredméy: p, 4,, 45 Feladat: ötlete ha a, b, c a gyökök, akkor a+ b + c 996 és abc Feladat: meete haszáljuk a Vieta-formulát és a következő egyelőséget + +, eredméy: p, + kapjuk: 6 47 Feladat: meete haszáljuk a következő behelyettesítést: u +, y v y +, megoldások: ( y, ) ( + 8, + ), ( y, ) ( + 8, ), ( y, ) ( 8, + ), ( y, ) ( 8, ), (, ) ( +,+ ) ( y, ) ( +, 8), ( y, ) (,+ 8 ), ( y, ) (, 8) y 8, 4 48 Feladat: Ötlet a poliom foka legalább, eredméy: P + vagy 4 7 P a , a egy paraméter a valós számok halmazá 49 Feladat: A égy megoldás: P + és Q +, P és + Q + 4 +, P és Q Feladat: S F 4 Feladat: 4 Feladat: a) + F 4 Feladat: a) 6, b) 6 Q + 4 +, P és F, b) em létezik ilye poliom mivel ( + ) F foka páros, c) 44 Feladat: Ötlet haszáljuk az egyelőséget, a ( 4) + ) 4 F Feladat: Ötlet - G ( + )( ), így igazak kell leie, hogy F P + Q + Q poliomot el kell osztai ( -el, az eredméy: F F 0, eredméy: páros szám 46 Feladat: meete ha +, akkor, ahoa d és ±, 47 Feladat: Ötlet - q +, eredméy: q + pq + q 0 48 Feladat: Ötlet hasolítsuk össze 0 együtthatóit, helyettesítsük be -et, így 0 a ± a, b, ( + p + q ), ahoa p, q 4

27

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Alfa tanár úr 5 tanulót vizsgáztatott matematikából. Az elért pontszámokat véletlen sorrendben írta

Részletesebben

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise Nagyméretű emlieáris közúti közlekedési hálózatok speciális aalízise Dr. Péter Tamás* *Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Közlekedéautomatikai Taszék (tel.: +36--46303; e-mail: peter.tamas@mail.bme.hu

Részletesebben

ANALÓG-DIGITÁLIS ÉS DIGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK

ANALÓG-DIGITÁLIS ÉS DIGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK F3 Bev. az elektroikába E, Kísérleti Fizika Taszék ANALÓG-IGITÁLIS ÉS IGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK Az A és A átalakítók feladata az aalóg és digitális áramkörök közötti kapcsolat megvalósítása. A folytoos

Részletesebben

Sorbanállási modellek

Sorbanállási modellek VIII. előadás Sorbaállási modellek Sorbaállás: A sorbaállás, a várakozás általáos probléma közlekedés, vásárlás, takolás, étterem, javításra várás, stb. Eze feladatok elmélete és gyakorlata a matematikai

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK 6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK A techikai fejlettég mai zívoalá az azikro motor a legelterjedtebb villamo gép, amely a villamo eergiából mechaikai eergiát (forgó mozgát) állít elő. Térhódítáát a háromfáziú váltakozó

Részletesebben

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Mátrixaritmetika. Tartalom: Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Készítette: Dr. Ábrahám István A játékelmélet a 2. század közepén alakult ki. (Neumann J., O. Morgenstern). Gyakran

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I. Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Egy szám ellentettje megegyezik a szám ( 1) szeresével. Számfogalmak kialakítása:

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT I. rész: Az alábbi 4 feladat megoldása kötelező volt! 1) Egy idegen nyelvekkel kapcsolatos online kérdőívet hetven SG-s töltött ki. Tudja, hogy minden

Részletesebben

Hálózati transzformátorok méretezése

Hálózati transzformátorok méretezése KÁLMÁN Telefogyár ISTVÁN Hálózati traszformátorok méretezése ETO 62.34.2.00.2 dolgozat célja olya számítási eljárás megadása, amelyek segítségével gyorsa és a gyakorlat igéyeit kielégítő potossággal lehet

Részletesebben

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30.

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. 1. Határozzuk meg, hány egybevágósága van egy négyzetnek! Melyek azonos jellegűek ezek között? Ez egy általános bevezető feladat tud

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

Megoldások. I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika. 1. osztály

Megoldások. I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika. 1. osztály Megoldások I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika 1. osztály 4. Lackó kezében egy gesztenye van. 5. Kettő. 1 + 1 = 2. 6. Öt. 3 + 2 = 5. 7. Igaz állítás: A), D), E). 2. osztály 1. 6 lehetőség van. Ha ismétel,

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat: JÁRATTERVEZÉS Kapcsolatok szert: Sugaras, gaárat: Járattípusok Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determsztkus, a beszállítás és kszállítás dőpot em kötött

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorgaizmusok számáak meghatározása telepszámlálásos módszerrel A telepszámlálásos módszerek esetébe a teyésztést szilárd táptalajo végezzük, így - szembe

Részletesebben

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET FZKA BSc,. évfolya /. félév, Optika tárgy TERFERECA - ÓRA JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 8. AJÁLOTT SZAKRODALOM: ALAPFOGALMAK Klei-Furtak, Optics Richter, Bevezetés a oder optikába Bor-Wolf, Priciples of

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A =

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A = Mátrixok 25. február 23.. Feladat: Legyen A ( 3 2 B ( 3 4 Határozzuk meg A + B, A B, 2A, 3B, 2A 3B,A T és (B T T mátrixokat. A deníciók alapján ( + 3 + 3 + A + B 2 + 4 + + ( 4 2 6 2 ( ( 3 3 2 4 A B 2 4

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Kontingencia táblák. Khi-négyzet teszt. A nullhipotézis felállítása. Kapcsolatvizsgálat kategorikus változók között.

Kontingencia táblák. Khi-négyzet teszt. A nullhipotézis felállítása. Kapcsolatvizsgálat kategorikus változók között. Kotigecia táblák. Khi-égyzet tet 1. Függetleségvizsgálat. Illekedésvizsgálat 3. Homogeitásvizsgálat Példa 1 em ő 8 75 13 Ismétlés: változók, mérési skálák típusai 48 49 97 76 14 jeles (5) jó (4) közepes

Részletesebben

3.3 Fogaskerékhajtások

3.3 Fogaskerékhajtások PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor

Részletesebben

Matematika tanmenet/4. osztály

Matematika tanmenet/4. osztály Comenius Angol-Magyar Két Tanítási Nyelvű Iskola 2015/2016. tanév Matematika tanmenet/4. osztály Tanító: Fürné Kiss Zsuzsanna és Varga Mariann Tankönyv: C. Neményi Eszter Wéber Anikó: Matematika 4. (Nemzeti

Részletesebben

ö ú ö ő ő ü ö ö ű ö ő ö ű ö ő ő ö ü ö ő ö ő ő ü ö ű ú ö ő ü ö ú ú ú ő ő Ő ö ű

ö ú ö ő ő ü ö ö ű ö ő ö ű ö ő ő ö ü ö ő ö ő ő ü ö ű ú ö ő ü ö ú ú ú ő ő Ő ö ű ö ő ü ö ö ő ö ö ö ö ő ő ő ö ő ő ő ö ő ö ő ő ö ö ő ő ö ö ő ö ö ő ö ö ö ő ő ü ö ő ü ű ö ú ő ú ú ú ő ü ő ü ö ö ú ö ö ö ő ü ö ö ö ő ö ő ö ú ö ő ő ü ö ö ű ö ő ö ű ö ő ő ö ü ö ő ö ő ő ü ö ű ú ö ő ü ö ú ú ú ő

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul

közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul Matematika A 4. évfolyam MŰVELETi tulajdonságok, a műveletek közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul Készítette: KONRÁD ÁGNES matematika A 4. ÉVFOLYAM 21. modul Műveleti tulajdonságok, a műveletek

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK?

Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK? Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK? A BGF KKFK Nemzetközi gazdálkodás és Kereskedelem és marketing szakjain a hallgatók tanrendjében statisztikai és matematikai

Részletesebben

Fizikaverseny, Döntő, Elméleti forduló 2013. február 8.

Fizikaverseny, Döntő, Elméleti forduló 2013. február 8. Fizikaverseny, Döntő, Elméleti forduló 2013. február 8. 1. feladat: Az elszökő hélium Több helyen hallhattuk, olvashattuk az alábbit: A hélium kis móltömege miatt elszökik a Föld gravitációs teréből. Ennek

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot 1991. évi verseny, 1. nap 1. Bizonyítsd be, hogy 1 101 + 1 102 + 1 103 +... + 1 200 < 1 2. 2. Egy bálon 42-en vettek részt. Az első lány elmondta, hogy 7 fiúval táncolt, a második lány 8-cal, a harmadik

Részletesebben

Tantárgyi útmutató. 1. A tantárgy helye a szaki hálóban. 2. A tantárgyi program általános célja. Statisztika 1.

Tantárgyi útmutató. 1. A tantárgy helye a szaki hálóban. 2. A tantárgyi program általános célja. Statisztika 1. Tantárgyi útmutató 1. A tantárgy helye a szaki hálóban Gazdálkodási és menedzsment szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz kattintson a képre! Turizmus - vendéglátás szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Szakdolgozat Készítette Vincze Ágnes Melitta Konzulens Héger Tamás Budapest, 2015 Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ

LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ 16..8. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ (MÁTRIX) SAJÁTÉRTÉKE, SAJÁTVEKTORA BSc. Maemaika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ Egy A: R R függvéy lieáris raszformációak evezük, ha eljesülek az alábbi

Részletesebben

8. előadás EGYÉNI KERESLET

8. előadás EGYÉNI KERESLET 8. előadás EGYÉNI KERESLET Kertesi Gábor Varian 6. fejezete, enyhe változtatásokkal 8. Bevezető megjegyzések Az elmúlt héten az optimális egyéni döntést elemeztük grafikus és algebrai eszközökkel: a preferenciatérkép

Részletesebben

DIGITÁLIS DOMBORZATMODELLEK ELŐÁLLÍTÁSI TECHNOLÓGIÁI ÉS MINŐSÉGI PARAMÉTEREI

DIGITÁLIS DOMBORZATMODELLEK ELŐÁLLÍTÁSI TECHNOLÓGIÁI ÉS MINŐSÉGI PARAMÉTEREI Koós Tamás Zríyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem koos.tamas@zme.hu DIGITÁLIS DOMBORZATMODELLEK ELŐÁLLÍTÁSI TECHNOLÓGIÁI ÉS MINŐSÉGI PARAMÉTEREI Absztrakt A tériformatikai szoftverek egyre szélesebb köre képes

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT Matematika RÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK RÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT dottak a 0; ; ; ; ; ; 5; 7; 7; 8 számjegyek. a Hány darab tízjegyű, 5-tel osztható szám készíthető az adott számjegyekből

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben