1. Az absztrakt adattípus

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. Az absztrakt adattípus"

Átírás

1 . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt, amelyek segítségével leíruk egy jeleséget, taulmáyuk tárgyát, vagy aak egy részét. Szite ármi lehet adat. Adat lehet egy szám, a hét egy apja, egy dátum, egy szí, egy illat, egy etű, egy év, valakiek a eme, a családi állapota, a lakcíme, a mukahelyi eosztása, a féyképe, a hagja st. A felhaszáló céljaitól függ, hogy valami az lesz, vagy sem. Általáosa megfogalmazva az adat (asztrakt adat) valamely előre rögzített halmazak az eleme. (Például ha egy személy egész cetimétere megadott testmagasságáról va szó, akkor az azt leíró adat lehet olya egész szám, amely modjuk a {0,, 2,, 299, 300} számhalmazól kerül ki. Ha agyvoalúak akaruk lei, akkor vehetjük helyette modjuk a emegatív egész - más szóval a természetes - számok halmazát. Ez utóit N-el jelöljük. N={0,, 2, 3, }). Az adat attól asztrakt, hogy csak elméletileg határoztuk meg. Még em jelet meg, em jeleítettük meg ayagi mivoltáa. Például a természetes számok közül vett adat eseté icseek számjegyei az adott számak, mivel em modtuk meg, hogy hogya fogjuk megjeleítei, leíri, reprezetáli. Eze a szite magáak a számjegy fogalmáak ics is értelme. Például a kettőezer-tizeegyet írhatjuk 0-es helyiértékes számredszereli formáa is, úgy, mit 20. Kettes alapú helyiértékes számredszere ez 00 alakú lesz, tizehatos alapú helyiértékes számredszere pedig 7DB. A római számírás szerit például MMXI alaka jeleik meg, a magyar rovásírás szerit pedig formáa. (Megjegyezzük, hogy szavakkal leírva a kettőezer-tizeegy is már egy megjeleési forma.) Általáossága em maga a kokrét adat a fotos számukra, haem a jellege, a típusa, azaz, hogy milye jellegű elemek, adatok közül jö, és mit lehet vele csiáli, milye műveleteket lehet rajta végrehajtai. Defiíció: Az asztrakt adattípus Az asztrakt adattípus egy leírás, amely asztrakt adatok halmazát és a rajtuk végezhető műveleteket adja meg (defiiálja) em törődve azok kokrét (gépi) realizálásával. Tehát egy halmazról va szó a rajta értelmezett műveletekkel együtt. Megadása törtéhet a T=(A,M) párossal, ahol T jelöli az asztakt adattípust, A az adatok halmazát, M pedig a műveletek halmazát. Például megadhatjuk a emegatív egész szám, vagy előjel élküli egész szám (természetes szám) T asztrakt adattípust úgy, hogy ez a típus T=(N, M), ahol N={0,, 2, 3, } az adatok halmaza, és M={+, *} az összeadás és a szorzás, az N elemei végezhető műveletek halmaza. Azt, hogy a műveleteket kokréta hogya kell végrehajtai, a leképezést, amely megadja a művelet eredméyét, a művelet leírása tartalmazza. Az asztrakt adattípus egy fekete dooz, amelye eletesszük az adatot tárolásra és kivesszük, ha szükségük va rá. Nem érdekes, hogy a dooz hogya végzi a tárolást. Ami viszot fotos az az, hogy az asztrakt adattípushoz elválaszthatatlaul hozzátartozak azok a műveletek, amelyeket az adatokkal végezi lehet. A művelet fogalmát ezek utá tisztázuk kell. Defiíció: Halmazok Descartes szorzata Két halmaz Descartes szorzatá egy olya elempárokól álló halmazt értük, amely tartalmazza az összes olya elempárt, amelye a pár első tagja az első, a második tagja a második halmazól való. Tömöre az A és B halmazok Descartes szorzatá azt a C=A B halmazt értjük, amelyre C={(a,), a A, B}. Például, ha X={a,, c} és B={0, }, akkor X B={(a, 0), (a, ), (, 0), (, ), (c, 0), (c, )} és B X={(0, a), (0, ), (0, c), (, a), (, ), (, c)}. (A sorred em felcserélhető, a Descartes

2 Programtervezési ismeretek szorzat em kommutatív!) Három halmaz Descartes szorzata hasoló módo elemhármasok halmaza lesz, égy halmaz eseté elemégyeseké, st. Defiíció: Halmaz hatváya Egy A halmaz ulladik hatváya az üres halmaz, A 0 =, első hatváya maga az A halmaz, A =A. Az A halmaz második hatváya A 2 =A A, és általáa, ha N, és >2, akkor A = A - A. Például ha B={0, }, akkor B 3 ={(0, 0, 0), (0, 0, ), (0,, 0), (0,, ), (, 0, 0), (, 0, ), (,, 0), (,, )}. Ha X={a,, c}, akkor X 2 ={(a, a), (a, ), (a, c), (, a), (, ), (, c), (c, a), (c, ), (c, c)}. Defiíció: -áris művelet halmazo Egy A halmazo értelmezett -áris (-ér) műveletek evezzük a következő leképezést (függvéyt): f : A A. Azaz az f leképezés mide az A elemeiől képezett -esek megfeleltet egy elemet ugyaazo A halmazól. Ha speciálisa =, akkor uáris (uér) műveletről eszélük (egyváltozós művelet). Ha =2, akkor iáris (iér) műveletről eszélük (kétváltozós művelet). Uáris műveletek tekithető például valós számok eseté a szám elletettjéek (--szereséek) meghatározása (előjelváltás), de a égyzetreemelés is az, vagy a szám sziuszáak a meghatározása is. Biáris művelet például két szám összeadása: f : A 2 A, ahol z = f ( x, y) = x + y, x, y, z A. Leggyakraa az uáris és a iáris műveletek fordulak elő a gyakorlata. Ameyie az asztrakt adattípushoz tartozó asztrakt adatot megjeleítjük, akkor már kézzelfoghatóvá válik és ayagi érteleme vett műveleteket végezhetük rajta. Ekkor adatstruktúráról eszélük. Defiíció: Adatstruktúra Az asztrakt adattípus kokrét megjeleési formáját, realizációját adatstruktúráak evezzük. Az adatstruktúrához hozzátartozak természetese midazok a műveletek is, amelyekkel az asztrakt adattípus redelkezett. Ugyaaak az asztrakt adattípusak számtala adatstruktúra felelhet meg. Némelyek támogatják a műveletek elvégzését, mások esetée pedig rutálisa ehéz is lehet azok elvégzése. Például köye össze tuduk szorozi egész számokat a tizes helyiértékes számredszere. Ee az esete a művelet elvégzésére va egy egyszerű, kisiskolásokak is taítható módszer, az adatstruktúra támogatja, segíti a műveletvégzést. Ugyaakkor hogya teék ezt meg, ha római számokkal jeleíteék meg az egész számokat? Ez a struktúra em támogatja a műveletvégzést. Nem lehetetle elvégezi ee a műveleteket, csak agyo oyolulttá válak a szaályok. Defiíció: Az implemetáció Az asztrakt adattípus digitális számítógépe törtéő realizációját implemetációak evezzük. Tehát az implemetáció az adatstruktúra egy speciális esete. Számukra agyo fotos, mert ee tuduk agyo hatékoya dolgozi, kihaszálva a gép agy tároló-kapacitását és a műveletvégzés agy seességét. Az implemetáció azoa már általáa em veszteség- és torzulásmetes a kiiduló eredeti asztrakt adattípushoz, vagy egy eki megfelelő adatstruktúrához képest. Ha másért em, akkor azért, mert ár a gép tároló-kapacitása agy,

3 Programtervezési ismeretek mégiscsak véges. Eől számtala, látszatra apró proléma, sajátosság adódik, amelyre viszot figyelemmel kell leük, mert sok kíos programhia forrása lehet. A digitális techikáa alapvető fogalom a it fogalma. Defiíció: Az (adat)it Adatitek evezzük az implemetáció sorá a memóriáa tárolt adatmeyiség legkise egységét. Ez tartalmilag egy 0 (zérus), vagy (egy) jelet jelet. Léyegtele, hogy ezt techikailag hogya valósítják meg. Tároli midig csak eek a pozitív egész számú töszörösét lehet. Nics tehát adatmeyiség szempotjáól félit, vagy másfél it. Egyetle it agyo kicsiy adatmeyiség. Defiíció: A yte (ájt) Adatyte-ak evezük egy adott sorrede elhelyezkedő, egymást követő, egy egysége összefogott ityolcast. A yte a memóriáa az egyidejűleg elérhető adatmeyiség legkise egysége. A számítógépes memória yte-okól épül föl, egydejűleg legkevese egy yte írható oda e, vagy olvasható oa ki. Ha egyetle itre vagyuk kívácsiak, akkor is legkevese az őt tartalmazó yte-ot kell kezelük. A yte itjeit az alái módo sorszámozzuk, idexeljük yte és itjei A számítógépek közpoti vezérlő, feldolgozó egységei, a processzorok képesek tö összekapcsolt yte-ot is kezeli. Ilye módo eszélhetük két egymás mellett álló összekapcsolt yte eseté szóról, égy yte eseté pedig dupla szóról szó yte-jai és itjei dupla szó yte-jai és itjei Byte ürese, vagy része ürese em állhat. Mide itje a számukra fotos pillaata vagy a 0 vagy az jelet tartalmazza. Az adat implemetációját ez a redelkezésre álló keret, a yte-ok, szavak, dupla szavak redszere, valamit a processzor által elvégezhető gépi elemi utasítások szaják meg, határolják e. Ez a keret sugalmazza a kettes számredszer haszálatát is például. A természetes szám asztrakt adattípus Formálisa, mit fete említettük, ez az asztrakt adattípus a T=(N, M) párossal írható le, ahol N={0,, 2, 3, } az adatok, a természetes számok halmaza, és M={+, *} az összeadás és a szorzás, az N elemei végezhető műveletek halmaza. (A számok között megszokott

4 Programtervezési ismeretek kivoás és osztás művelete a természetes számok között em midig végezhető el.) Megmutatjuk, hogy va módszer a szorzás elvégzésére úgy, hogy a reprezetálással em törődük. Eek a módszerek a eve ma gyakra úgy olvasható, hogy orosz paraszt módszer. Az elevezés em teljese jogos, mert a módszert már az ókori egyiptomiak is ismerték és haszálták. A módszer léyege, hogy a szorzatot fokozatosa gyűjtjük össze a zérusól idulva ki. A szorzót vizsgáljuk. A vizsgálat aól áll, hogy megézzük, hogy a szorzó páratla-e. Ha ige, akkor a szorzadót hozzáadjuk a szorzathoz, - ami kezdete zérus volt, - ha a szorzó em páratla, akkor em adjuk hozzá. Ezutá a szorzót lecseréljük a feléek az egész részére (lefelé kerekítjük egészre), a szorzadót pedig lecseréljük a duplájára. A vizsgálat midaddig ismétlődik, míg a szorzó zérussá em válik. (Lássuk e, hogy a módszer midig a helyes szorzathoz vezet két emegatív egész szám eseté!) Példa: Szorozzuk össze a 79-et és a 47-et az orosz paraszt módszerrel! Szorzadó szorzó Szorzó Szorzat páratla? ige 0+79= ige 79+58= ige = ige = em = ige =373 0 =373 Néháy érdekes függvéy és művelet Az ayaga foguk függvéyeket haszáli. A szokváyos függvéyek mellett meg kell arátkozi az egészrész függvéyekkel, a törtrész függvéyel és a kerekítő függvéyel. Ne tévessze meg sekit, hogy ezek a függvéyek hasolítai fogak a programozási yelveke előforduló hasoló evű függvéyekhez, mert em iztos, hogy teljese azoosak azokkal. Az egyes programozási yelvek em midig kozekvesek. Az ugyaolya evű függvéy a külööző programozási yelveke émileg eltérő módo viselkedhet. Érdemes taulmáyozi a yelvi leírást, specifikációt. A továiaka Z-vel fogjuk jelöli az egész számok halmazát. Z={, -3, -2, -, 0,, 2, 3, }. Defiíció: Az alsó egészrész függvéy Az alsó egészrész függvéy mide valós számhoz egy egész számot redel hozzá, éppe azt, amely a tőle em agyo egészek közül a legagyo. Az alsó egészrész függvéy jele: x, ahol x valós szám. Tömöre: x = max k. k x k Z () Más szavakkal formálisa: x = k, ahol k olya egész szám, hogy k x < k+. Példa: x 5, , x 6 Defiíció: A felső egészrész függvéy

5 Programtervezési ismeretek A felső egészrész függvéy mide valós számhoz egy egész számot redel hozzá, éppe azt, amely a tőle em kise egészek közül a legkise. A felső egészrész függvéy jele: x, ahol x valós szám. Tömöre: x = mi k. k x k Z (2) Más szavakkal formálisa: x = k, ahol k olya egész szám, hogy k- < x k. Példa: x 5, , x 5 Az alsó és felső egészrész függvéyek fotos tulajdoságait az alái tálázata foglaljuk össze: (Lássuk e, hogy ezek valóa teljesülek!). Ha a egész szám, akkor a = a, a = a. 2. Ha x valós szám, akkor x x. 3. Ha x y valós számok, akkor x y, x y. 4. Ha x valós, a egész szám, akkor x ± a = x ± a, x ± a = x ± a. 5. Ha x valós szám, akkor x = x, x = x. 6. Ha x és y valós számok, akkor x + y x + y, x y x + y 7. Ha x és y valós számok, akkor x y x y, x y x y +.. Defiíció: A kerekítő függvéy A kerekítő függvéy mide valós számhoz a hozzá legközele eső egész számot redeli hozzá. Ha a legközelei egész szám em egyértelmű, akkor a agyoat választja. A kerekítő függvéy jele: Roud(x), ahol x valós szám. Roud ( x) = x + 2. (5) A legközelei egészre kerekít. Pozitív számok eseté, ha a tizedesrész 5/0, vagy aál agyo, akkor felfelé, kise esete lefelé kerekít. Negatív számok eseté ha a tízes számredszer szeriti felírása a tizedesrész kise, mit 5/0, vagy egyelő vele, akkor felfelé, egyékét lefelé kerekít. Példa: x 6 5, 8 5, 5 5, , 2 5, 5 5, 8 6 Roud (x) Defiíció: A törtrész függvéy A törtrész függvéy mide valós számhoz azt a számot redeli hozzá, amely azt mutatja meg, hogy a szám meyivel agyo az alsó egészrészéél. A törtrész függvéy jele: {, ahol x valós szám. Tömöre: x} { x} x x =. (4)

6 Programtervezési ismeretek Midig feáll a 0 { x } < egyelőtleség. Példa: x 5, 8 5, , 2 5, 8 x 0,2 0, , 2 0, 8 {} Felhívjuk a figyelmet két műveletre: Defiíció: Az egész háyados képzése, a div művelet Legye a és egész szám (a, Z), 0. Defiíció szerit az egész osztás műveleté az a/ osztás eredméyéek alsó egész részét értjük. Tömöre: Példa: 9 div 4 = 3, 9 div 4 = 2 Defiíció: Az egész maradék képzése, a mod művelet Legye a és egész szám. Defiíció szerit a div = a /. (5) def a mod = a a, a / = a ( a div), ha = 0 ha 0. (6) Példa: 9 mod 4 = 3, 9 mod 4 =, 9 mod ( 4) =, 9 mod ( 4) = 3 Speciális jeletése va az a mod az a valós szám törtrésze, azaz jelölések. Ezt mide valós a-ra értelmezzük és jeletése a def {} a mod =. (7) Az előjel élküli egész szám adatstruktúra A természetes szám asztrakt adattípus egyik realizációja az előjel élküli egész szám adatstruktúra, melyek a lejegyzéséhez a helyiértékes számredszert haszáljuk. Eek elvégzéséhez el kell döteük, hogy a haszált helyiértékes számredszerek mi lesz az alapszáma. Alapszámak ármilye egyél agyo természetes szám választható. Szükségük lesz számok külööző alapú számredszere törtéő felírására. Egy szám lejegyzésekor a haszált számredszer alapszámát midig tizes számredszere adjuk meg és a szám jo alsó sarkához írjuk idexkét. Ha a számredszer alapja a 2 egész szám, akkor az x pozitív egész szám számjegyei: c, c K c,, c, 0, (8) ahol 0 c k <, k = 0,, K, és az x szám értéke ezekkel a számjegyekkel és az alappal kifejezve: x = c 0 + c + K + c + c0. (9)

7 Programtervezési ismeretek Az értékét úgy határozzuk meg, hogy c 0 legye, és mide ck = 0, ha k >. Ha a számredszer alapszáma tízél agyo, akkor a 0,, 2,..., 9 számjegyek mellett új számjegyeket kell evezeti a tíz, tizeegy,..., számértékekre. Kéyelmi és yomdatechikai okok miatt a lati áécé agyetűit haszáljuk erre a célra. Ilye módo tehát az A=0, B=, C=2,..., Z=35 jelek haszálatosak. (Lehet találkozi vegyes jelöléssel is, ahol a számjegyeket tizes számredszere jegyzik le. Mi em fogjuk ezt alkalmazi.) Számoljuk el külööző alapú számredszereke -től 20-ig! A helyiértékes redszere megjeleített eredméyek az alái tálázata láthatók. Az iformatikáa a kettes és a tizehatos alapú számredszerek a kitütetettek a tizes alap mellett, esetleg előfordulhat a yolcas alap is. Számredszer alapszáma Számérték egy kettő három égy öt hat hét yolc kilec tíz A A A A A A tizeegy B B B B B tizekettő C C C C tizehárom D D D tizeégy E E tizeöt F tizehat tizehét tizeyolc tizekilec húsz Példa: 2006 számjegyei tizes számredszere c = 3 2, c 0 2 =, c = 0, c = 0 6. Itt =3 és = Nyílvávalóa: c = 0 x mod és c c c c x div K 2 =. A következő séma alkalmas a számjegyek egymást követő fordított iráyú előhozására:

8 Programtervezési ismeretek x x = x div c x mod = 0 x2 = x div c = x mod xk = xk div c = k xk mod x = x div c = x mod 0 c = x mod (0) Példa: Írjuk fel a 2006-ot kettes (= iáris) számredszere és 6-os (= hexadecimális) számredszere Tehát = =7D =D Átírás tizes alapra a (9) formula átredezésével törtéik az úgyevezett Horer séma szerit. ( (( c ) + c ) + + c ) + c0 x = K K. () Ezzel azt érjük el, hogy kevés műveletet kell haszáli, a műveletek azoos jellegűek (szorzás -vel és a következő jegy hozzáadása), másrészt a műveleteket végezhetjük tizes számredszere. Példa: 7D6 6 =((7) 6+3) 6+6= =(((((((((() 2+) 2+) 2+) 2+) 2+0) 2+) 2+0) 2+0) 2+) =(((2) 0+0) 0+0) 0+6 Kellemes az átváltás a két számredszereli árázolás között, ha törtéetese a iáris és a hexadecimális számredszerről va szó. Ekkor hexadecimális alakról iárisra törtéő átírás eseté mide hexadecimális jegyet a jegy iáris megfelelőjével helyettesítük. Biárisról hexadecimálisra törtéő átírásál pedig joról alra haladva égyes csoportokra osztva a iáris szám számjegyeit mide csoportot helyettesítük a hexadecimális megfelelőjével. A megfeleltetés a hexadecimális számjegyek és a iáris égyjegyű csoportok között az alái tálázata látható: C D A 0 E B F

9 Programtervezési ismeretek (Lássuk e, hogy a javasolt módszer helyes eredméyre vezet!) Módszerükkel kikerüljük egyrészt a tizes számredszerre törtéő átmeeti átalakítást, másrészt em kell em tizes alapú számredszere műveleteket végezi Pozitív egész szám alapú logaritmusa és a szám alapú számredszereli számjegyei számáak a kapcsolatát világítja meg az alái tétel.. Tétel: A számjegyek számáról Pozitív x egész szám számjegyeiek a száma alapú számredszere eggyel tö, mit a szám alapú logaritmusáak az alsó egészrésze, azaz ha a szám számjegyei c, c, K, c c, akkor a jegyek száma, 0 log + = x +. (2) Bizoyítás x = c = + c 0 + K+ c + c = ( c + c + K + c / + c / ) = y. / = y Világos, hogy c y <. Ie az y logaritmusára kapjuk, hogy 0 (3) 0 log y <. (4) (3)-ól logaritmálással adódik. Azaz log x = log + log y = + log y (5) + log y = log x. (6) (6) midkét oldalá az alsó egészrészt véve log x = adódik, mivel egész szám és (4) feáll. Egyet hozzáadva midkét oldalhoz kapjuk az állításukat. (Az jel a izoyítás végét jelzi.) Ee az adatstruktúráa a struktúra tárgyalt műveletei egyszerű módo, kisiskolásokak is taítható szite elvégezhetők. Erre em térük ki, hisze elemi iskolai ayag. Megadjuk meg a kettes és a tizehatos számredszereli összeadó- és szorzótálát. Biáris összeadótála Biáris szorzótála

10 Programtervezési ismeretek Hexadecimális összeadótála A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A A B C D E F B B C D E F A C C D E F A B D D E F A B C E E F A B C D F F A B C D E Hexadecimális szorzótála A B C D E F A B C D E F A C E A C E C F B E A 2D C C C C A F 4 9 E D C B C 2 8 E 24 2A C E 54 5A E 5 C 23 2A F 46 4D 54 5B B 24 2D 36 3F A 63 6C 75 7E 87 A 0 A 4 E C A 64 6E C 96 B 0 B 6 2 2C D E F 9A A5 C 0 C C C C A8 B4 D 0 D A E 5B F 9C A9 B6 C3 E 0 E C 2A E 8C 9A A8 B6 C4 D2 F 0 F E 2D 3C 4B 5A A5 B4 C3 D2 E A helyiértékes számredszerek egymással azoos módo viselkedek. Ez áll a műveletek végzéséek a módjára is. A szaályoka csak arra kell ügyeli, hogy mikor lépjük át az alap valamely hatváyát, és természetese a saját összeadó- és szorzótálát kell haszáli. Példa összeadásra: =0 =2 = D

11 Programtervezési ismeretek Példa szorzásra: =0 = D D 2 B A C E 5 = Az előjel élküli egész szám implemetációja Az iformatikáa alapvető dolog, hogy a számok hogya kerülek tárolásra a számítógép memóriájáa. A memóriát úgy lehet elképzeli, mit egymás mellett lieárisa felsorakoztatott tárolórekeszek sorozata. A rekeszeket egymástól a sora elfoglalt helyük külöözteti meg, amit egy idexszel (címmel) íruk le. A rekesz fogalom szemléletes, de fizikailag em potos. A fizikai rekesz ma a yte (= 8 it). A yte a memória legkise fizikailag címezhető egysége. A memóriáól kiolvasi, vagy oda eíri egy yte-ál kevese adatmeyiséget em lehet. Ha csak egy itet akaruk megváltoztati, akkor is ki kell olvasi az őt tartalmazó yte-ot, a kívát itet átíri, majd a yte-ot visszaíri a memóriáa. A yte tartalmát a jo áttekithetőség miatt hexadecimális számredszere szoktuk megadi. Például az tartalmú yte hexadecimális alaka C9 6. A yte itjeit joról alra idexeljük. A joszélső it a ullás idexű it (a legkevésé szigifikás it, Least Sigificat Bit, LSB), tőle alra áll az egyes idexű it, és így tová. A yte alszélé áll a hetes it (a legszigifikása it, a legagyo helyiértékű it, Most Sigificat Bit, MSB). MSB LSB it 7 it 6 it 5 it 4 it 3 it 2 it it 0 itidex Byte és itjei Már egyetle yte is alkalmas szám tárolására csak a számtartomáy kicsi. A yolc it midegyike lehet zérus, vagy egy. Eek megfelelőe 2 8 = 256 egymástól külööző yte létezhet. Mide ilye itvariációhoz, itmitázathoz hozzáredelük egy számot. Természetes módo kíálkozott, hogy a számot kettes számredszere leírva tároljuk. Ez törtéhet egy, kettő, vagy égy yte-o. Ha a szám em tölti ki a redelkezésre álló területet, akkor a tároló rekesze jora igazítva az elejét zérusokkal töltjük fel, így a számérték em változik. rekesz legkise számérték legagyo számérték yte =255 szó (két yte) = dupla szó (égy yte) =

12 Programtervezési ismeretek A legkise szám tiszta zérus itekől áll, a legagyo tiszta egyes itekől. Az implemetáció sajátossága, hogy va ee legagyo számérték, szeme az asztrakt adattípussal és az adatstruktúrával, ahol ez a korlátozás em volt. Eek megfelelőe a műveletek egyes eseteke hiás eredméyre vezetek. Például a legagyo számértékhez egyet hozzáadva az eredméy zérus lesz. Ugyais egy továi itre lee szükség a tároláshoz, de az a rekesze már em fér el, az eredméy túlcsordult. Ez a rekeszől kieső it a túlcsordulás jele, amit a processzorok számo is tartaak (átvitel it, agolul carry it) és a túlcsordulás jelzésére szolgál, de a memóriáa em tárolható. Ezektől eltekitve a műveletek potos eredméyt szolgáltatak. Példa helyes és hiás (túlcsordulásos) összeadásra 6 ite. Helyes (carry=0). összeadadó összeadadó összeg átvitel Hiás (carry=). összeadadó összeadadó összeg átvitel Az egész szám asztrakt adattípus Ez az adattípus ayia külöözik a természetes szám adattípustól, hogy a számok lehetek egatívak is. Eek megfelelőe a kivoás művelete is elvégezhető lesz. Formálisa a T=(Z, M) párossal írható le, ahol Z={, -3, -2, -, 0,, 2, 3, } az adatok, az egész számok halmaza, és M={+, -, *} az összeadás, a kivoás és a szorzás, a Z elemei végezhető műveletek halmaza. Az előjeles egész szám adatstruktúra Csak ayia külöözik az előjel élküli egész szám adatstruktúrától, hogy a egatív számok leírását egy míusz (-) jellel kezdjük. A műveletvégzésre em térük ki, elemi iskolás ayag, a természetes számokhoz képest az előjelkezelési szaályok jeleek meg töletkét, szükség eseté zárójelezük, hogy két műveleti jel e kerüljö egymás mellé. Az előjeles egész szám implemetációja Ha előjeles egész számokat szereték tároli, akkor az úgyevezett kettes komplemes árázolást szokás előyei miatt alkalmazi. Ekkor az előjeles egész szám hozzáredelése úgy törtéik, hogy ha a MSB=0, akkor a rekesztartalmat az előjelmetes esetek megfelelőe értelmezzük. Ha MSB=, akkor ayival kell töet teük ezutá még, hogy a kapott

13 Programtervezési ismeretek előjelmetes számól kivojuk a 2 számot, ahol =8, 6, vagy 32 aszerit, hogy a rekesz yte, szó, vagy duplaszó, és amely kivoás eredméye iztosa egatív lesz. Eze a módo az árázolható számok tartomáya az alái. rekesz legkise számérték legagyo számérték yte -2 7 = =27 szó (két yte) -2 5 = = dupla szó (égy yte) -2 3 = = Kettes komplemes képzési szaálya. Egy szám kettes komplemeséek (--szereséek) a felírása azo egyszerű szaály szerit törtéhet, hogy a rekesz joszéléről alfelé elidulva sorra leírjuk a iteket midaddig, amíg zérusok. Ha ezzel elfogytak a itek, akkor e is fejeztük az eljárást. Ha még lettek vola meg em vizsgált itek, akkor a következő dara -es itet is leírjuk. Ezutá, ha még midig leéek itjeik, akkor azokat elletétese írjuk le a továiaka, 0 helyett -et, helyett zérust. Példa 6 itre: szám kettes komplemese Vegyük észre, hogy a két számot 6 ite összeadva az eredméy zérus, tehát az egyik szám a másik --szerese. Másik szaályt is megfogalmazhatuk a kettes komplemes képzésére. Leírjuk a szám itjeit úgy, hogy midegyik helyett az elletétes itet írjuk le, majd a kapott számhoz egyet hozzáaduk. (Elleőrizzük, hogy valóa ez is helyes eredméyt ad!) Az implemetációak a sajátosságai közé tartozik, hogy két olya szám va, amelyikek a kettes komplemese (--szerese) saját maga! Az egyik természetszerűleg a zérus, amit el is váruk, a másik azoa az az eset, amikor a rekesz alszélé egyetle egyes va és a töi it zérus. (Például yte rekeszél a -28 kettes komplemese saját maga, azaz a --szeres em 28-at ad, mivel az em is árázolható.) Ee az implemetációa is előfordulhat túlcsordulás, például amikor két egatív szám összegekét pozitívat kapuk. (Adjuk össze yte-o például a -00-at és a -50-et!) Hogya tudák jelezi a túlcsordulást? Csak a carry it figyelése ee az esete már em elegedő! A valós szám asztrakt adattípus Ez az adattípus léyegese külöözik az előzőektől. A valós szám fogalma, defiíciója már oyolulta. Ee eletartozak az egész és törtszámok, valamit az irracioális számok is. Nem részletezzük a valós szám mielétét, tapasztalatok révé va elképzelésük róla a középiskoláól. A valós számok között az osztás is elvégezhető művelet, ameyie az osztó em zérus. Formálisa leírva T=(R, M) párossal írható le, ahol R={a valós számok} az adatok, a valós számok halmaza, és M={+, -, *, /} az összeadás, a kivoás, a szorzás és az osztás, az R elemei végezhető műveletek halmaza. A valós szám adatstruktúra A valós számokat reprezetálhatjuk a törtvesszős felírással, amikor is a szám egész része utá vesszőt teszük és azutá írjuk a törtrész jegyeit. Tizes számredszer eseté tizedes törtekek

14 Programtervezési ismeretek evezzük őket. A műveleteket a tizedes törtekkel törtéő számolás szaályai szerit végezzük. Kettes számredszer eseté talá kettedes törtekek kellee evezi őket. A számolási szaályok is a tizes számredszerhez hasolóa törtéek. Hogya írjuk át egyik számredszeről egy másika az így megadott számokat? A szám egész részét (a tizedes vessző előtti részét), mit egész számot továra is átírhatjuk, ahogy azt koráa az előjeles egészekél láttuk. Ezutá vesszőt írva elkezdhetjük a törtjegyek írását. A törtjegyeket a szorzásos módszerrel határozzuk meg a kereszt sémáól. Tekitsük egy szám törtrészéek a tizes számredszereli felírását. A szám legye 0, c K c2c3 alakú, ahol c, c 2, c 3 K a törtrész egymást követő tizedesjegyei. Ha 0-zel szorzuk, akkor az első tizedesjegy kicsúszik az egészek helyére, amit levághatuk. Továi szorzásokkal a töi jegy is előjö egymás utá. Ha miket egy alapú számredszereli felírás jegyei érdekelek, akkor világos, hogy a 0 helyett -vel kell szorozgati. A tevékeység egy sémáa foglalható, a számjegyek egyees sorrede keletkezek: c c = x c k x x x = ( ) mod 2 = x x2 = ( x ) mod xk = x ( x k = k ) mod A visszaalakítás pedig törtéhet szité egy Horeres séma szerit. Az értelmezése ugyais x = 0, c c c K 2 3 c szám 2 3 = c / + c2 / + c3 / + K + c (7) x / Ez úgy is számolható, hogy x ( ((( c )/ + c )/ + c )/ + c =... 2 / K ) (8) A séma kéyelmes, felváltva kell számjegyekét osztást és összeadást végezi a jegyek fordított sorredjée. Példa: Írjuk fel a 0, öt kettes (= iáris) számredszere és 6-os (= hexadecimális) számredszere. 2 0, , Tehát 0, =0, =0,87 6 0, , , ,0 0 0, , ,875 0,75 0,5 0,0 Példa: Visszaírás tizes számredszerre: 0,87 6 =0+((7)/6+8)/6=0, , =0+((((((((()/2+)/2+)/2+0)/2+0)/2+0)/2+0)2+)/2 0, =0+((((((((5)/0+7)/0+3)/0+4)/0+3)/0+7)/0+2)/0+5)/0

15 Programtervezési ismeretek Némi kellemetleséget jelethet, hogy előfordul, hogy az egyik számredszere véges sok törtjegyet tartalmaz a szám, a másika pedig végtele sokat. Próáljuk meg a 0, tizes számredszereli számot átíri kettes számredszere például! Kettesől tizehatosa az átírás egyszerű, mert a törtvesszőtől alra és jora égyes csoportokat íruk át. Példa: 2006, =0000, =7D6,87 6 Defiíció: Törtvesszős alakú szám értékes jegyeiek a száma A törtvesszős alakú számot a gyakorlata véges sok jegyével tütetjük fel, így a töi jegyét em ismerjük. Azt modjuk, hogy csak valamilye potossággal adott a szám. Eek a potosságak az egyik jelzőszáma az értékes jegyek száma, amit úgy kapuk meg, hogy a számot a felírásáa alról jora vizsgáljuk és az első emzérus számjeggyel kezdve a számlálást megszámláljuk a számjegyeket a lejegyzés utolsó számjegyével ezárva. A kapott daraszámot evezzük a szám értékes jegyei számáak. Példa: 2006, értékes jegyeiek a száma , értékes jegyeiek a száma 9, 7D6,87 6 értékes jegyeiek a száma 5 Ugyaakkor -0,0002 értékes jegyeiek a száma 2. A valós szám leegőpotos implemetációja A valós számok implemetálása em egyszerű feladat. Meg kell alkudi. Erőteljese. Nem tuduk mide valós számot implemetáli és em csak a számtartomáy korlátozott mivolta miatt, mit az egész számokál láttuk, haem azért is, mert ezt csak a tartomáyól praktikusa jó sűrű választott számokra tudjuk megtei. Tulajdoképpe a törtvesszős átírást célozzuk meg. A processzorok korái emzedékeie tapasztalható tarkaságot, amely gyakra eltérő számítási eredméyekre vezetett, ma szaváy szaályozza. Ez az IEEE 754-es szaváy, amely 985 óta érvéyes és William Kaha a Berkeley egyetem professzora evéhez fűződik. A szaváy potos előírásokat ad a valós számok árázolására, amely árázolást leegőpotos számokak evezzük. Eze árázolási formát em tárgyaljuk teljes részletezettséggel, de a két együtt ismertethető esetről - az egyszeres potosság és a dupla potosság esete - szóluk éháy szót. A szaváy szeriti leegőpotos számárázolás égy yte-o törtéik egyszeres potosság eseté és yolc yte-o dupla potosság eseté. A kettő között eltérés igazá csak a potossága és az átfogott számtartomáya va, az árázolás elve azoos. Tekitsük először a ormalizált szám esetét. Legye a szám emzérus. Ekkor a iárisa felírt számot átalakítjuk olya formára, hogy a törtvesszőt a legelső egyes jegyet közvetleül követőe helyezzük el és megjegyezzük, hogy eze művelethez a törtvesszőt háy itpozícióval kellett alra mozgati. Ez a szám alra mozgásál pozitív, jora mozgásál egatív lesz és azt mutatja, hogy az átalakítás utái számot a 2 milye kitevőjű hatváyával kell megszorozi, hogy a kiiduló számot megkapjuk. A törtvesszőt követő itek sorozatáak eve: szigifikás. Eze iformációkat kell elhelyezük a redelkezésre álló égy illetve yolc yte-o. A itek kiosztása az egyszeres potosság eseté: előjelit kitevő 8 ite szigifikás 23 ite

16 Programtervezési ismeretek yte 2. yte. yte 0. yte Egyszeres potosságú leegőpotos szám Az előjelit pozitív szám eseté zérus, egatív szám eseté. A kitevő részére fetartott 8 ites mezőe a kitevő 27-tel megövelt (eltolt) értékét helyezzük el előjel élküli egész számkét. A szigifikás (a vezető egyes élkül, implicit egyes it) kerül a hátra maradt 23 ites mezőe. Példa: Példa: 2006, hogya éz ki egyszeres potosságú leegőpotos számkét? A szám iárisa, ahogy már kiszámoltuk: 0000, Normalizált alaka:, , ahol a kitevő decimálisa 0. Ez eltolva 0+27=37= (Negatív kitevőt 8 ite kettes komplemes módo tároluk, majd így adjuk hozzá a 27-et.) A szigifikás 23 itre zérusokkal kiegészítve: Végül a 32 it , vagy hexadecimálisa 45 7A 50 E0. A szám ee a formáa törtéő árázolása csak akkor megegedett, ha az eltolt kitevő em zérus és 255 közé esik, tehát a szélső eseteket (0 és 255) kizárjuk. Ez a két szélső eset más célra va fetartva. A tiszta zérus iteket tartalmazó kitevő mező és a zérus szigifikás együtt zéruskét va defiiálva. Va pozitív zérus és egatív zérus az előjeltől függőe, de valójáa a processzorak ezeket azooskét kell kezelie. Ha a kitevő mező zérus, de a szigifikás mező em zérus, akkor em ormalizált (deormalizált) leegőpotos számról eszélük. Ekkor az implicit egyes it is tárolásra kerül, mit a szigifikás része, mivel ő a törtvessző mögé kerül. Deormalizált tárolásál komoly jegyveszteségre lehet számítai! Például a 2-26 még ormalizált módo tárolódik, de a tőle kise kitevőjűekél már az eddig elhagyott egyes itet is tároljuk. Az alái tálázat illusztrál éháy esetet. Szám Byte-ok iárisa Byte-ok hexáa A kitevő mező legmagasa értékéhez szité két eset tartozik. Ha a szigifikás mező zérus, akkor a tárolt iformáció előjeles végtelekét va defiiálva. Szimólum Byte-ok iárisa Byte-ok hexáa F FF A végtele kezelése sorá a processzor a végteleel végezhető műveletek tulajdoságait megtartja. Például végtele plusz véges eredméye végtele, vagy véges osztva végteleel zérust ad. Ha a szigifikás rész em zérus, akkor ezt a szituációt em számkét defiiálták (NaN=Not a Numer). Szimólum NaN NaN Byte-ok iárisa 0 xxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx A sémáa az x-szel jelölt itek em lehetek egyszerre mid zérusok. Ilye eset (NaN) lehet például a végtele osztva végteleel művelet eredméye. Azok a számok, értékek, állapotok,

17 Programtervezési ismeretek amelyek a feti sémáa em férek ele, em árázolhatók, velük közvetle módo számoli em tuduk. A dupla potosságú esete a yolc yte-a a kitevő mező ites, a szigifikás mező 52 ites. A kitevő eltolás mértéke 023. A kitevő mező két kitütetett értéke a zérus és az Egy tálázata mellékeljük a leegőpotos aritmetika lehetőségeit, korlátait: Jellemzők Egyszeres potosság Dupla potosság Előjelitek száma Kitevő itek száma 8 Törtrész itek száma Összes itek száma Kitevő árázolása 27-es eltolás 023-as eltolás Kitevő tartomáya Legkise ormalizált szám Legagyo ormalizált szám k k Decimális számtartomáy k k Legkise em ormalizált szám k k Értékes decimális jegyek száma ormalizált esete 7 6

18 Programtervezési ismeretek FELADATOK. a. Bizoyítsuk e az alsó és felső egészrész függvéyekek a szövege összefoglalt.-7- tulajdoságait! 2. Töltsük ki az alái tálázatot! Számredszer alapszáma és a szám AB XYZ 3. Töltsük ki az alái tálázatot! Számredszer alapszáma és a szám , 20, 4567, 973, 234, AB, YZ, 4. a. Töltsük ki az alái tálázatot decimálisa! Byte hexáa A0 E9 FF Előjel élküli egész Előjeles egész. Töltsük ki az alái tálázatot decimálisa! Szó hexáa A E9 FF Előjel élküli egész Előjeles egész c. Töltsük ki az alái tálázatot decimálisa! (Leegőpotos esete 7 értékes jegyre, szükség eseté decimálisa ormalizálva, ha a szám kise, mit 0-7, vagy agyo, mit 0 7.)

19 Programtervezési ismeretek Duplaszó hexáa A E9 FF Előjel élküli egész Előjeles egész Leegőpotos 5. Egy millió itet akaruk elhelyezi a memóriáa egymást követő yte-oko. Háy yte-ak foglaljuk helyet? Háy szóak? Háy dupla szóak? Háy quadr-ak (dupla duplaszó)? 6. a. Töltsük ki az alái tálázatot! Jegyek száma Számredszer Szám Ha egy pozitív egész szám 34 jegyű 2-es számredszere, háy jegyű 6-osa? Adható-e általáos formula iáris -jegyű számok esetére? Ha ige, adjo ilyet, ha em, idokolja meg, miért em! c. Ha egy pozitív egész szám 9 jegyű 6-os számredszere, háy jegyű 2-es számredszere? Adható-e általáos formula hexadecimális -jegyű számok esetére? Ha ige, adjo ilyet, ha em, idokolja meg, miért em! 7. Adja meg a 3-as, a 4-es, a 8-as, és a 2-es összeadó- és szorzótálákat! 8. Milye módo kapcsolódik egymáshoz az orosz paraszt módszer és a kettes számredszer? 9. Legye x = α + k β, k = 0,,2,3,4, 5! Itt α = 23 és α = 0 lehet, valamit β = 0,72 és β = 0, 9. Határozza meg az x, x, { x }, és Roud(x) értékeket az összes lehetséges alfa, éta és k esetére. Készítse az eeredméyek számára alkalmas szemléltető tálázatokat! 0. Legye A={, } és B={,, *}! Határozza meg az A B, B A, A 3, és B 2 halmazokat!. Legye az a a 9. feladat végeredméyei közül az alsó egészrész, pedig legye redre -5, -2, 0, 2, 5! Határozza meg az a div és a mod értékeket!

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

a legjobb kezekben K&H Csoport

a legjobb kezekben K&H Csoport a legjobb kezekbe A K&H Biztosító 1992 óta működik Magyarországo, és közel félmillió ügyfelet szolgál ki. A K&H Biztosító a magyar piac sajátosságait figyelembe véve alakította ki szolgáltatási palettáját,

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

2. témakör: Számhalmazok

2. témakör: Számhalmazok 2. témakör: Számhalmazok Olvassa el figyelmesen az elméleti áttekintést, és értelmezze megoldási lépéseket, a definíciókat, tételeket. Próbálja meg a minta feladatokat megoldani! Feldolgozáshoz szükségesidö:

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

HU / -- Mag rendszer. Padlótisztítás

HU / -- Mag rendszer. Padlótisztítás HU / -- Mag redszer Padlótisztítás Mag redszer Kocepció 2 www.vermop.com Előyei Mag redszer Ameyire iovatív, ayira egyedi. A VERMOP mágeses redszere teljese új módot jelet a felmosóhuzatok tartóra (ill.

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise Nagyméretű emlieáris közúti közlekedési hálózatok speciális aalízise Dr. Péter Tamás* *Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Közlekedéautomatikai Taszék (tel.: +36--46303; e-mail: peter.tamas@mail.bme.hu

Részletesebben

Hossó Aranka Márta. Matematika. pontozófüzet. a speciális szakiskola 9 10. osztálya számára összeállított. Felmérő feladatokhoz. Novitas Kft.

Hossó Aranka Márta. Matematika. pontozófüzet. a speciális szakiskola 9 10. osztálya számára összeállított. Felmérő feladatokhoz. Novitas Kft. Hossó Aranka Márta Matematika pontozófüzet a speciális szakiskola 9 10. osztálya számára összeállított Felmérő feladatokhoz Novitas Kft. Debrecen, 2007 Összeállította: Hossó Aranka Márta Kiadja: Pedellus

Részletesebben

4. Fejezet : Az egész számok (integer) ábrázolása

4. Fejezet : Az egész számok (integer) ábrázolása 4. Fejezet : Az egész számok (integer) ábrázolása The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003 Wilson

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Egy szám ellentettje megegyezik a szám ( 1) szeresével. Számfogalmak kialakítása:

Részletesebben

csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 1 CIVIL SZEMLE

csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 1 CIVIL SZEMLE csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 1 CIVIL SZEMLE WWW. CIVILSZEMLE.HU IV. ÉVFOLYAM 1. SZÁM csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 2 Szerkesztõbizottság/Editorial Board Bíró Edre, Belia Aa, Harsáyi

Részletesebben

Az Európai Unió Tanácsa Brüsszel, 2016. március 30. (OR. en)

Az Európai Unió Tanácsa Brüsszel, 2016. március 30. (OR. en) Az Európai Uió Taácsa Brüsszel, 2016. március 30. (OR. e) 7383/16 ADD 1 ENER 97 FEDŐLAP Küldi: az Európai Bizottság Az átvétel dátuma: 2016. március 22. Címzett: Biz. dok. sz.: Tárgy: a Taács Főtitkársága

Részletesebben

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak

Részletesebben

Digitális technika VIMIAA01

Digitális technika VIMIAA01 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK Digitális technika VIMIAA01 Fehér Béla BME MIT Digitális Rendszerek Számítógépek

Részletesebben

Harmadik gyakorlat. Számrendszerek

Harmadik gyakorlat. Számrendszerek Harmadik gyakorlat Számrendszerek Ismétlés Tízes (decimális) számrendszer: 2 372 =3 2 +7 +2 alakiérték valódi érték = aé hé helyiérték helyiértékek a tízes szám hatványai, a számjegyek így,,2,,8,9 Kettes

Részletesebben

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2.1. Az iformációs társadalom és gazdaság fogalmáak külöbözô értelmezései 2.1.1. Az iformációs társadalom Bármely iformációs

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT

ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT KÍVÁNCSISÁGVEZÉRELT MATEMATIKA TANÍTÁS STÁTUS KIADÓ CSÍKSZEREDA, 010 c PRIMAS projekt c Adrás Szilárd Descrierea CIP a Bibliotecii

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

SZÁMRENDSZEREK KÉSZÍTETTE: JURÁNYINÉ BESENYEI GABRIELLA

SZÁMRENDSZEREK KÉSZÍTETTE: JURÁNYINÉ BESENYEI GABRIELLA SZÁMRENDSZEREK KÉSZÍTETTE: JURÁNYINÉ BESENYEI GABRIELLA BINÁRIS (kettes) ÉS HEXADECIMÁLIS (tizenhatos) SZÁMRENDSZEREK (HELYIÉRTÉK, ÁTVÁLTÁSOK, MŰVELETEK) A KETTES SZÁMRENDSZER A computerek világában a

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

Ftéstechnika I. Példatár

Ftéstechnika I. Példatár éecha I. Példaár 8 BME Épülegépéze azé éecha I. példaár aralojegyzé. Ha özeoglaló... 3.. Hvezeé...3.. Háadá....3. Hugárzá...6.. Háoáá....5. Szgeel axál hleadáához arozó ül áér....6. Bordázo vezeé.... Sugárzá...5.

Részletesebben

Dunaföldváron a régió legnagyobb máltai ünnepi rendezvénye

Dunaföldváron a régió legnagyobb máltai ünnepi rendezvénye XIX. évfolyam 11. szám, 2015. ovember 195 Ft KÖZÉLETI LAP Duaföldváro a régió legagyobb máltai üepi redezvéye Október 10-é Duaföldvár adott otthot a Magyar Máltai Szeretetszolgálat legagyobb dél-duátúli

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

3.3 Fogaskerékhajtások

3.3 Fogaskerékhajtások PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás

Részletesebben

Ingatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1

Ingatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Piaci érték: Igatlaok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Elıadás Igatlavagyo-értékelı és közvetítı Szakképzés, Igatlakezelı Szakképzés A-. modul Az az ár, amelyért az igatla méltá- yosa,, magájogi szerzıdés

Részletesebben

Kontingencia táblák. Khi-négyzet teszt. A nullhipotézis felállítása. Kapcsolatvizsgálat kategorikus változók között.

Kontingencia táblák. Khi-négyzet teszt. A nullhipotézis felállítása. Kapcsolatvizsgálat kategorikus változók között. Kotigecia táblák. Khi-égyzet tet 1. Függetleségvizsgálat. Illekedésvizsgálat 3. Homogeitásvizsgálat Példa 1 em ő 8 75 13 Ismétlés: változók, mérési skálák típusai 48 49 97 76 14 jeles (5) jó (4) közepes

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

max (3) Más szavakkal formálisan: x = k, ahol k olyan egész szám, hogy k x < k+1. példa:

max (3) Más szavakkal formálisan: x = k, ahol k olyan egész szám, hogy k x < k+1. példa: Defiíció: Az alsó egészrész függvéy Az alsó egészrész függvéy mide valós számhoz egy egész számot redel hozzá, éppe azt, amely a tőle em agyo egészek közül a legagyo. Az alsó egészrész függvéy jele: x,

Részletesebben

A fény diszperziója. Spektroszkóp, spektrum

A fény diszperziója. Spektroszkóp, spektrum A éy diszpeziója. Speoszóp, speum Iodalom [3]: 5, 69 Newo, 666 Tiszább, élesebb szíépe ad a öveező eledezés A speum szíe ovább má em boaó. A speum szíee úja egyesíve eé éy apu. Sziváváy Newo Woolsope-i

Részletesebben

A települési hősziget-intenzitás Kárpátalja alföldi részén 1

A települési hősziget-intenzitás Kárpátalja alföldi részén 1 A települési hősziget-itezitás Kárpátalja alföldi részé Molár József, Kakas Móika, Marguca Viola A települési hőszigetek kifejlődéséek vizsgálata az urbaizáció folyamatáak előrehaladásával párhuzamosa

Részletesebben

Felépítés Típus 955010/ Konfigurálás setup programmal. Mérési adatok kiolvasása

Felépítés Típus 955010/ Konfigurálás setup programmal. Mérési adatok kiolvasása JUMO Meß- ud Regelgeräte GmbH A-1232 Wie, Pfarrgasse 48 Magyarországi Kereskedelmi Képviselet Telefo: 00-43-1 / 61-061-0 H-1147 Budapest Öv u. 143. Fax: 00-43-1 / 61-061-59 Telefo/fax: 00-36-1 / 467-0835,

Részletesebben

Walltherm rendszer. Magyar termék. 5 év rendszergaranciával. Felületfûtés-hûtés Épületszerkezet-temperálás padlófûtés

Walltherm rendszer. Magyar termék. 5 év rendszergaranciával. Felületfûtés-hûtés Épületszerkezet-temperálás padlófûtés Walltherm redszer 5 év redszergaraciával Felületfûtés-hûtés Épületszerkezet-temperálás padlófûtés Magyar termék WALLTHERM felületfûtés-hûtési redszer Egy fûtési- (hûtési) redszer kialakítása elôtt számtala

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Csapágyak üzem közbeni vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2

Csapágyak üzem közbeni vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2 ÜZEMFENNTARTÁSI TEVÉKENYSÉGEK 3.9 Csapágyak üzem közbei vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2 Gergely Mihály okl. gépészmérök, Acceleratio Bt. Budapest Tóbis Zsolt doktoradusz, Miskolci Egyetem Gépelemek

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

Független komponens analízis

Független komponens analízis Elektroiku verzió. Az eredeti cikk az ElektroNET (ISSN: 9-705X) 00 évf. 3 zám, 0 oldalá jelet meg. Függetle kompoe aalízi A függetle kompoe aalízi (Idepedet Compoet Aalyi, ICA) egy vizoylag új jelfeldolgozái

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.)

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) 22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) A) A PERMUTÁCIÓK CIKLIKUS SZERKEZETE 1. feladat: Egy húsztagú társaság ül az asztal körül. Néhányat közülük (esetleg az összeset) párba állítunk, és a párok

Részletesebben

Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez

Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez Sándor Tamás, sandor.tamas@kvk.bmf.hu Takács Gergely, takacs.gergo@kvk.bmf.hu Lektorálta: dr. Schuster György PhD, hal@k2.jozsef.kando.hu

Részletesebben

5 Szupertakarékos. 10A legszélesebb választék. A hűtés specialistája. Kiemelt ajánlatok Hűtés és fagyasztás 2012

5 Szupertakarékos. 10A legszélesebb választék. A hűtés specialistája. Kiemelt ajánlatok Hűtés és fagyasztás 2012 0 jó ok, hogy iért Liebherr készüléket válasszo. A tapasztalat, ai száít A Liebherr, it a hűtő-fagyasztó készülékek szakértője ár több it 50 éve következetese tervez és gyárt olya terékeket, aelyek új

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

ANALÓG-DIGITÁLIS ÉS DIGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK

ANALÓG-DIGITÁLIS ÉS DIGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK F3 Bev. az elektroikába E, Kísérleti Fizika Taszék ANALÓG-IGITÁLIS ÉS IGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK Az A és A átalakítók feladata az aalóg és digitális áramkörök közötti kapcsolat megvalósítása. A folytoos

Részletesebben

Számrendszerek. Átváltás a számrendszerek között: Általában 10-es számrendszerből váltunk tetszőlegesre és tetszőlegest 10-esre.

Számrendszerek. Átváltás a számrendszerek között: Általában 10-es számrendszerből váltunk tetszőlegesre és tetszőlegest 10-esre. Számrendszerek Tízes számrendszer: Ez az általános, informatikán kívül is használt legelterjedtebb számrendszer. Alapja 10 szám 0,1,2,3 9. Decimális számrendszernek is nevezzük. Egyik felhasználása az

Részletesebben

1.52 CS / CSK. Kulisszás hangcsillapítók. Légcsatorna rendszerek

1.52 CS / CSK. Kulisszás hangcsillapítók. Légcsatorna rendszerek 1.52 CS / Légcsatra redszerek Alkalmazás: A légcsatraredszere építve, a légcsatráka terjedõ zaj csillapítására alkalmasak. Kialakításuk a eépített csillapító testek szerit alapvetõe hárm féle lehet: A,

Részletesebben

Sorbanállási modellek

Sorbanállási modellek VIII. előadás Sorbaállási modellek Sorbaállás: A sorbaállás, a várakozás általáos probléma közlekedés, vásárlás, takolás, étterem, javításra várás, stb. Eze feladatok elmélete és gyakorlata a matematikai

Részletesebben

Minőségirányítási rendszerek 8. előadás 2013.05.03.

Minőségirányítási rendszerek 8. előadás 2013.05.03. Miőségiráyítási redszerek 8. előadás 2013.05.03. Miőségtartó szabályozás Elleőrző kártyák miősítéses jellemzőkre Két esete: A termékre voatkozó adat: - valamely jellemző alapjá megfelelő em megfelelő:

Részletesebben

A forgalomba belépő gépjárművek többlet károsanyag kibocsátásának számítása a nemzetközi határértékek figyelembe vételével

A forgalomba belépő gépjárművek többlet károsanyag kibocsátásának számítása a nemzetközi határértékek figyelembe vételével Török Ádá, Zöldy Máté Közúti Közlekedés A foraloba belépő épjárűvek többlet károsaya kibocsátásáak száítása a ezetközi határértékek fiyelebe vételével A XX század véé és a XXI század elejé a otorizált

Részletesebben

(arcsin x) (arccos x) ( x

(arcsin x) (arccos x) ( x ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c

Részletesebben

Matematikai alapok. Dr. Iványi Péter

Matematikai alapok. Dr. Iványi Péter Matematikai alapok Dr. Iványi Péter Számok A leggyakrabban használt adat típus Egész számok Valós számok Bináris számábrázolás Kettes számrendszer Bitek: 0 és 1 Byte: 8 bit 128 64 32 16 8 4 2 1 1 1 1 1

Részletesebben

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorgaizmusok számáak meghatározása telepszámlálásos módszerrel A telepszámlálásos módszerek esetébe a teyésztést szilárd táptalajo végezzük, így - szembe

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

Halmazelmélet. Halmazok megadása

Halmazelmélet. Halmazok megadása Halmazok megadása Halmazelmélet 145. Amikor a halmazt körülírással vagy valamilyen tulajdonságával adjuk meg, bármilyen elemrôl egyértelmûen el kell tudnunk dönteni, hogy beletartozik a halmazba vagy sem.

Részletesebben

Rajzolja fel a helyettesítő vázlatot és határozza meg az elemek értékét, ha minden mennyiséget az N2 menetszámú, szekunder oldalra redukálunk.

Rajzolja fel a helyettesítő vázlatot és határozza meg az elemek értékét, ha minden mennyiséget az N2 menetszámú, szekunder oldalra redukálunk. Villams Gépek Gyakrlat 1. 1.S = 100 kva évleges teljesítméyű egyfázisú, köpey típusú traszfrmátr (1. ábra) feszültsége U 1 /U = 5000 / 400 V. A meetfeszültség effektív értéke U M =4,6 V, a frekvecia f=50hz.

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

Assembly programozás: 2. gyakorlat

Assembly programozás: 2. gyakorlat Assembly programozás: 2. gyakorlat Számrendszerek: Kettes (bináris) számrendszer: {0, 1} Nyolcas (oktális) számrendszer: {0,..., 7} Tízes (decimális) számrendszer: {0, 1, 2,..., 9} 16-os (hexadecimális

Részletesebben

7.2.2. A TMS320C50 és TMS320C24x assembly programozására példák

7.2.2. A TMS320C50 és TMS320C24x assembly programozására példák 7.2.2. A TMS320C50 és TMS320C24x assembly programozására példák A TMS320C50 processzor Ez a DSP processzor az 1.3. fejezetben lett bemutatva. A TMS320C50 ##LINK: http://www.ti.com/product/tms320c50## egy

Részletesebben