KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn"

Átírás

1 A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója Tél Tamás ELTE Elméleti Fizikai Taszék és MTA-ELTE Elméleti Fizikai Ktatócsoport A cikk célja, hogy kiderítse, kaotiks-e a potszerû labdák lépcsô lefelé törtéô pattogó mozgása Az ütközések koordiátáira egyszerû rekrziós szabályt vezetük le, amelyek alakjából azoba em olvasható le a kaotiksság megléte vagy hiáya A meriks szimlálások arra talak, hogy elôbb-tóbb midig álladóslt mozgás alakl ki, amelyek jellege redszerit kváziperiodiks Az ütközési együtthatótól való függés meglehetôse boyollt is lehet, káoszra taló jelet azoba em találk A számolások matematikai igéye a középiskolai szitet em haladják meg, az olvasóak a jeleséggel való ismerkedését a oldalo mide elôismeret élkül fttatható programok segítik Griz Márto fizikataár szako végzet az ELTE- 2-be Egyetemi évei alatt érdeklôdése a káoszelmélet felé fordlt, a témába írt TDK-dolgozata külödíjba részesült és országosa II helyezést ért el Tél Tamással írt káosz taköyve magyar és agol yelvû kiadása alapjá 29-be PhD fokozatot szerzett Az ELTE Elméleti Fizikai Taszék tdomáyos mkatársa, az ELTE Fizika Doktori iskola és a Kaotiks mechaika speciális kollégim alkalmi elôadója Egy osztrák gimázimi taköyvbe több, közismerte kaotiks mozgással járó jeleség bemtatása között azt olvashatjk, hogy a labda lépcsô törtéô pattogása is kaotiks [] A szerzôk elvileg em godolhattak a gmilabdára, amelybe a pattogások között rgalmas hllámok is terjedek, hisze az térbe is lejátszódó, magas szabadsági fokú diamika lee Alacsoy dimeziójú leírást tekitve válasszk a legegyszerûbbet, a potszerû labdát feltételezô (tehát a labda forgását elhayagoló) modellt! Feltesszük, hogy a labda egy hosszú lépcsôsoro rgalmasa pattog, a mozgás sorá az ütközési együttható értéke k < álladó A lépcsôt sima vízszites és függôleges felületekbôl összetettek tekitve, egy biliárd-problémát defiiálk, amely szembe a szokásos biliárdokkal (példál stadio biliárd [2]) gravitációs erôtérbe értelmezett Ezért az ütközési eergiaveszteség mellett eergiaövekedés is felléphet a magasság csökkeése következtébe Elsô ráézésre ehéz eldötei, hogy lehet-e kaotiks a mozgás: a sima vízszites felület a káosz elle szól (hisze síktükörkét, vagyis em szórókét viselkede féyel való megvilágítás eseté), a lépcsô élei, a fokok végé lévô potszerû törések viszot esetleg mellette Ezért alaposabba vizsgáljk meg a mozgást, egyszerû (középiskolai szitû) levezetéseket és szimlációkat haszálva Meszéa Tamás matematika-fizika-számítástechika szakos taárkét végzett az ELTE- 987-be 29 éve taít gimázimba, 2 éve Pécse, a Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázimába, ahol egyedik éve igazgatóhelyettes 2 óta az ELTE Fizika Doktori Iskola Fizika taítása program Phd hallgatója, témavezetôje Griz Márto, ktatási témája a káoszelmélet gimázimi taítási lehetôségeiek vizsgálata Tél Tamás az ELTE- szerzett fiziks diplomát 975-be Doktori dolgozatát Szépfalsy Péter vezetésével írta 977-be Azóta külföldi vedégktatói tartózkodásaitól eltekitve az ELTE Elméleti Fizikai taszéké dolgozik külöbözô beosztásokba Ktatási témái a emegyesúlyi redszerektôl a klímadiamikáig terjedek 27 óta vezeti a Fizika taítása doktori programot, 2 óta az MTA ELTE Elméleti Fizikai Ktatócsoportot A modell Legye az egyes lépcsôfokok hossza L, magasságk M és a lépcsô lejtse balról jobbra ( ábra) Mivel az ütközési együttható -él kisebb, a labda beesési sebességéek függôleges v kompoese mide ütközéskor k < -szeresére változik Az > vízszites kompoes idôbe végig álladó marad A tájékozódás kedvéért megadjk tömör, azoos ayagú golyóval ütközô golyók ütközési együtthatóját [3] szerit: üveg, elefátcsot,9; acél,7; ólom,2; saját méréseik alapjá pedig: tömör gmi,8; fagolyó,3, illetve éháy labda tipiks ütközési együtthatója kôlap- Köszöjük Károlyi Györgyek a kézirattal kapcsolatos haszos észrevételeit, Páll Csabáak pedig a holapo található programok megírásába yújtott segítségét A mka az NK296 OTKA pályázat támogatásával készült 28 FIZIKAI SZEMLE 26 / 4

2 N 2 besség e sebesség elletettjéek k-szorosa, így közvetleül az +-ik ütközés tá a függôleges sebesség x M k v 2 2 gmn () L N Ekkor a labda az origótól vízszites iráyba x + Δt távolságra, jobbra va N em más, mit az a szám, amely megadja, hogy ebbe a távolságba háyszor va meg az L lépcsôhossz Δt -t behelyettesítve, ábra Az L hosszúságú és M magasságú fokokkal redelkezô lépcsô pattogó labda pályája és jellemzô adatai: az -ik ütközés helye x, a visszapattaás tái függôleges sebesség, a vízszites álladó sebesség, és az -ik ütközés tá átgrott lépcsôfokok száma N ról visszapattava: pigpoglabda,8; focilabda,7; teiszlabda,7; felfújt gmilabda,4 Célk, hogy kapcsolatot találjk az -ik és az +-ik ütközés hely- és sebességadatai között Az egyszerûség kedvéért helyezzük koordiáta-redszerüket mide ütközéskor azo lépcsôfok a bal szélére, amelye az ütközés törtéik (Ez azt jeleti, hogy az ütközés x koordiátáját midig visszatoljk a (,L] itervallmba) Legye az -ik ütközés koordiátája x és a visszapattaás tái függôleges sebesség A labda viszszapattaás óta eltelt t idôvel kifejezett magassága a lépcsô felszíétôl mérve miközbe az origótól mért vízszites távolsága x y(t) t g 2 t 2, A következô ütközésig eltelt Δt idô meghatározá- sához célszerû feltei, hogy ismert, háy lépcsôfokkal lejjebb patta legközelebb a labda (Persze most még em tdjk ezt a számot, de késôbb láti fogjk, hogya határozható meg) Legye ez az N egész szám, amely fotos változó lesz a továbbiakba A repülési idô kiszámításához felhaszáljk, hogy a következô, +-ik ütközéskor a labda az y MN magasságba elhelyezkedô lépcsôvel találkozik, azaz x(t) x t amibôl A becsapódás Δ t g 2 Δ t 2 MN, Δ t függôleges sebességgel törtéik A visszapattaási sev g Δ t v 2 v 2 2 gmn g 2 gmn x 2 N x g v 2 2 gmn L (2) ahol a szögletes zárójel az egész részt jelöli Ha a (2) egyeletek több megoldása is lee, akkor közülük a legkisebb N -re va szükségük A keresett N kifejezhetô tehát az -ik ütközés adataival és a paraméterekkel A lépcsôfokra helyezett koordiáta-redszerbe az ütközés tái x + koordiáta a vízszites elmozdlás és az LN külöbsége, azaz Az () (3) redszer egyfajta mozgásegyeletet, leképezést alkot, megadja a következô ütközés x + helyés + sebesség-koordiáta értékét az elôzô x, ismeretébe, az N meyiség kiszámításáak közbeiktatásával 2, x x g v 2 2 gmn LN Dimeziótla alak (3) Érdemes felismeri, hogy a mozgásegyeletek írhatók egyszerûbb alakba is, olyaokba, amelyek em függek már példál külö-külö a lépcsô hosszától és magasságától, csak a meredekség abszolút értékéek m M /L értékétôl Ezt akkor kapjk, ha (3)-at L-lel osztva olya alakba redezzük át, amely a helyet a lépcsôhosszhoz viszoyítva adja meg, és ezzel egyidejûleg a sebességet is a kostas > vízszites sebességhez viszoyítva adjk meg, vagyis mideütt / -t szerepeltetjük: x L x L N 2 gl 2 gl mn 2 (4) Vegyük észre, hogy a leképezés segítségével a ferde hajítás parabolaívéek kiszámítása élkül, közvetleül kapjk meg a becsapódási adatokat 2 Mivel x + defiíció szerit és L közé esik, x + /L egész része lla, és L-lel való osztás tá (3) egész részét véve visszakapjk (2)-t Ez azt jeleti, hogy N megkapható úgy is, hogy (3)-ba addig írk egész számokat N helyébe, amíg L-él kisebb, de pozitív megoldást em találk x + -re 2 A FIZIKA TANÍTÁSA 29

3 Vegyük észre, hogy itt m -e kívül már csakis egy paraméter, a gl/ 2 kombiáció jeleik meg, amelyet ezetúl hosszparaméterek evezük és H -val jelölük Ha hasolóa elemezzük a másik két egyeletet, azokba sem találkozk újabb paraméterekkel Haszos ezért a v/ v, x/l x helyettesítéssel defiiált dimeziótla változókra, vagyis az egységébe mért v {függôleges} sebességre és a L egységébe mért x helykoordiátára áttérve felíri az egyeleteket Ebbe a jelölésbe k v 2 2 mhn, N x H v v 2 2 mhn, x x H v 2 2 mhn N Jól látjk, hogy a mozgás összese három adattól, a k, m M L, H Lg 2 (5) (6) (7) kombiációktól függ, vagyis a k ütközési együtthatótól, az m meredekségtôl és a H hosszparamétertôl (míg az eredeti () (3) alakba még 5 paraméter, k, M, L, és g szerepelt) Utóbbi külööse érdekes, azt mtatja meg, hogy az vízszites és függôleges kezdôsebességû (tehát 45 -os) ferde hajítás 2 /g féltávolsága háyszor fér rá a lépcsô L hosszára Szemléletese: miél kisebb H, aál apróbb lépcsôfokokat kell az vízszites sebességgel repülô labda íve alá képzeli A hosszparaméter megjeleése azt jeleti, hogy adott labdával, adott meredekségû lejtô a 4L hosszúságú lépcsôfokoko 2 vízszites sebességgel mozgó labda éppúgy mozog, mit az L méretû lépcsôfokoko sebességgel mozgó (és gyaúgy, mit a Holdo a 6L hosszúságú lépcsôfokoko sebességgel mozgó) A hosszparaméter tehát a lépcsô hosszát em geometriai, haem diamikai szempotból jellemzi, a mozgásra jellemzô adatokkal veti össze 3 Hosszú lépcsôfokokról a továbbiakba akkor beszélük, ha a H hosszparaméter elegedôe agy, potosabba (lásd feladat), ha H >2m feladat 4 Aak érdekébe, hogy a hosszparaméter jeletését más oldalról is megvilágítsk, mtassk meg, hogy egy lépcsôfok végpotjáról vízszites > sebességgel idított labda a lépcsôfok hosszáak x i -szereséél ütközik elôször az alatta lévôvel, ahol x i 2 m H 3 Szellemébe hasoló az áramlások Reyolds-számához, vagy még ikább Frode-féle számához 4 A feladatok részletes megoldásai a crlh/lepcso holapo megtalálhatók Adott m meredekségû lépcsô a lépcsôfokok akkor tekithetôk hosszúak, ha ez az aráy kisebb egyél, azaz H >2m Az épületekbe elôfordló lépcsôfokok körülbelül kétszer olya hosszúak mit magasak, ezért az m /2 meredekséget fogjk haszáli Az ütközési együtthatót széles tartomáyba változtatjk, és a jobb áttekithetôség kedvéért, a sebességhez képest hosszú lépcsôfokokat vizsgálk a H [2, 8] itervallmból 5 Alapesetek a H 4 választást vesszük, amikor H /2m 4, vagyis vízszitese idlva az elsô ütközés a lépcsôhossz feléél törtéik Egyszerû periodiks pattogás A em túl kis ütközési együtthatójú esetekbe, azaz ha a labda em kezd el csúszi valamelyik lépcsôfoko (részleteket a csúszásról lásd majd A csúszásba törtéô átmeet fejezetbe), akkor midig azt tapasztaljk, hogy elôbb-tóbb egy álladóslt mozgást felvéve pattog lefelé Eze mozgás alatt teljesül az, hogy az ütközések miatt elvesztett eergiát a gravitációs tér éppe kompezálja, a mozgás függôleges átlagsebessége álladó Az ütközési veszteség egyfajta disszipáció, amiek következtébe a redszer elfelejti kezdôállapotát A kezdôfeltételek széles osztályából tehát gyaaz az álladóslt mozgás alakl ki végül, vagyis egy bizoyos mozgásállapot felé vozódak a labdák, amit így attraktorak is evezhetük A 2 ábrá bemtatott mozgás körülbelül az ötödik pattaástól kezdve ismétlôdik Itt a legegyszerûbb attraktort, a periodiks grálás attraktorát ismerhetjük fel A b) betétábra mtatja, hogy az x,, N sorozatok magk is kostas értékhez, fixpotokhoz tartaak Aak érdekébe, hogy az érdeklôdô olvasók iteraktív módo is megismerkedhesseek a jeleséggel, a crlh/lepcso holapo elérhetôvé és kipróbálhatóvá tettük éháy programot, amelyek külöbözô paraméterekkel és kezdôfeltételekkel rajzolják ki a labda mozgását a lépcsô 6 A paraméterek megadása tá a Lépcsô evû program ábrázolja az m meredekségû lépcsôt, és a rajta elidított pattogó labda pályájáak a rajzterületbe esô részét A következô programok az egyes pályákra jellemzô x, és N értékeket mtatják függvéyébe, a Fázistér programok pedig az x, és N koordiáták által kifeszített térbe (az úgyevezett fázistérbe) ábrázolják a mozgást (kiválasztható, hogy melyik két 5 Az említett H tartomáy meghatározásáak em matematikai okai vaak, haem megítélésük szerit körülbelül eze paraméterek jellemzôk a valós lépcsôkö lepattogó em agy vízszites sebességû valós labdákra A szóba forgó paramétertartomáyo belül kvalitatíve azoos mozgásformákat találtk 6 Midegyik program JavaScriptbe íródott (a forráskód is elérhetô), tetszôleges bögészôvel fttatható (az adatbevitelél php részt tartalmaz) 3 FIZIKAI SZEMLE 26 / 4

4 a), k N 9 2 _,9 5 _ 7,8 _ 3,7 _ 7 9,6 _ 3 5,5 b),,5 2,, 3, 2,, ábra Pattogás k,6 ütközési együtthatóval (m,5, H 4) a) Az x,7, v 3 kezdôfeltétellel idított pálya (a folytoos görbe, az alsó lépcsôsoro a felsôrôl lelépô mozgások folytatódak) és b) a pattogások adataiak x,n, sorozata Midkettô ábrá a szaggatott görbe az attraktor pályája és a szaggatott vízszites voalak az attraktorhoz tartozó fixpotértékeket mtatják, amelyeket rövid traziesek tá elér a redszer Az ezzel az ütközési együtthatóval zajló pattogások kivétel élkül mid az egyszerû periodiks egylépcsôyi pattogás attraktorához tartaak, amelyre a (8), (9) szerit v,5 és N Azx függ a kezdôfeltételtôl, esetükbe x,592 koordiáta jeleje meg a síkba) A grafikooko ábrázolt értékek a Táblázat-ba meriksa is megtekithetôk A mozgásegyeletbôl következik, hogy a sebesség és a lépésszám fixpotértékei v 2m k k, N 2 m H k k x * N * v * (8) (9) 2 feladat Mtassk meg, hogy ezek az eredméyek következek az (5) (7) egyeletekbôl! Természetese a potos ismétlôdést feltételezzük, vagyis: x x + x, + v, N N + N 3 ábra A periodiks grásokhoz tartozó k N spektrm grafiks ábrázolása () alapjá m,5, H 4 eseté N övelésével a k N értékek egymást egyre sûrûbbe követve szigorúa mooto övekedek Külö megfotolást igéyel, hogy N defiíció szerit csak egész szám lehet Ezért úgy érdemes eljári, hogy N értékét úgy vesszük fel, mit az N egész számot, és keressük a megfelelô ütközési együtthatóértékeket A (9) egyeletbôl az következik, hogy csak az alábbi diszkrét k értékek jöhetek szóba: k N NH 2 m NH 2 m, N,2, () Ezt az ütközési együtthatók spektrmáak evezhetjük, hisze periodiks pattogás csak kivételes k értékekél törtéhet, hasolóa ahhoz, hogy a hidrogéatom eergiaszitjei is csak diszkrét értékek lehetek [4, 5] A H 4 választással példál az egy lépcsôt átgró periodiks megoldáshoz k 3/5,6, a két lépcsôt átgróhoz k 2 7/9,77 tartozik 7 Érdekes következméy: ahhoz, hogy N mit fixpot megvalóslhasso, teljesüli kell aak, hogy k >, azaz H >2m A legegyszerûbb egylépcsôyi periodiks pattogás tehát csak elegedôe hosszú lépcsôfokok eseté fordlhat elô Rövidebb lépcsôhossz eseté gyais az egy idô tá beálló pattogás sorá az attraktoro a labda midig átgrik éháy lépcsôfokot Ugyaakkor agy H eseté már az egyszeres pattogás is csak agy ütközési együtthatókkal valóslhat meg A 3 ábra alapesetük ütközésiegyüttható-spektrmát mtatja grafiksa 3 feladat A () összefüggés alapjá adjk meg, mekkora H paraméter mellett figyelhetük meg legalább N lépcsôyi grásokat mtató periodiks pattogást! 4 feladat Mekkora a függôleges sebesség fixpotértéke a spektrm N-ik szitjé? 7 Az ütközési paraméterek lehetséges értékei kizárólag az NH/2m aráytól függek, és a () kifejezésbôl látszik, hogy miél hosszabb a lépcsôfok, miél agyobb az NH/2m, aál agyobb k N eseté td csak megvalósli az N lépcsôyi periodiks pattogás (lásd még az 5 feladatot) A FIZIKA TANÍTÁSA 3

5 5 feladat A 3 ábráról látszik, hogy a spektrm agy N értékekre (a hidrogéatom spektrmához hasolóa) besûrûsödik, miközbe a k értékek közelíteek -hez Mtassk meg, hogy ebbe a tartomáyba jó közelítéssel k N 4 m, N >> () H N A 2 ábráál a k,6 eset kapcsá már említett azo tlajdoság, hogy x em egyértelmû (tehát függ a kezdôfeltételtôl), mide k N értékre igaz Eek oka rögtö világossá válik, ha ismét a 2 ábra a) képére tekitük, és észrevesszük: az attraktorhoz tartozó mozgás fotos jellemzôje em más, mit a hosszú idô tái pattogások parabolaívei Egy adott parabolaívhez pedig meghatározott N és v érték (N és v ) tartozik, ellebe x már külöbözô lehet 8 Kettes ciklsok Álladóslt mozgáskét elôfordlhat az is, hogy a pattogás csak mide második ütközés tá ismétlôdik Ez azt jeleti hogy az elsô és a második ütközés között N lépcsôt, a következô ütközésig K lépcsôt (N, K pozitív egész számok) repül át a labda, és aztá szigorúa ez ismétlôdik A 4 ábra mtat egy ilye kettes cikls attraktort (szaggatott görbe), és azt is, hogy az adott kezdôfeltételbôl hogya jtk el ehhez Érdekes, hogy az ilye kettes ciklsok is csak kivételes, az N és K számok által meghatározott k értékekél következhetek be Az eze a számokhoz tartozó k N, K ütközési együttható egyértelmûe meghatározható Közülük a legkisebb a k, 2 érték alapesetükbe (lásd 4 ábra): k, 2,75, amely a két legegyszerûbb periodiks pattogás k és k 2 ütközési együtthatója közé esik 6 feladat Vezessük le a k N, K ütközésiegyüttható-spektrmot meghatározó sajátérték-egyeletet! 4 ábra Pattogás k k,2,75 ütközési együttható eseté A kezdôfeltételek és az egyéb paraméterek gyaazok, mit a 2 ábrá Az ezzel az ütközési együtthatóval idított pattogások rövid traziesek tá kivétel élkül egy olya periodiks grálás attraktorához (szaggatott görbe) tartaak, ahol egy lépcsô tá kettô, majd ismét egy átgrása törtéik, azaz N ésk 2 jö létre (5 ábra) Az elevezés abból adódik, hogy a pattogás em potosa periodiks, csak ahhoz hasoló 5 ábra k,75 ütközési együtthatóval zajló mozgás attraktora a traziesek lecsegése tá (egyéb paraméterek megegyezek a 2 ábrá bemtatottal) (Az elsô 5 pattaás kivárását követôe 5 pattaás idejéig rajzoltk ki az pályaíveket) A pályaívek a 3 lépcsô elhagyása tá a lladik fölött újra és újra gyaabba a magasságba lépek be a képbe Bármely kezdôfeltételbôl is idítjk a mozgást, hosszú távo az ábrá látható kváziperiodiks mozgás jö létre Az ütközési együttható esetükbe k,2 < k < k 2, tehát az N,K 2 kettes cikls és az N 2 egyes cikls közé esik Eek megfelelôe a hosszú távú kváziperiodiks mozgásba egy, illetve két lépcsôfokot grik át egyszerre, méghozzá úgy, hogy átlagosa az tóbbi grásból va több A meriks vizsgálat szerit az átgrott lépcsôk számáak hosszú idôre vett átlaga N,747 Az attraktorra jellemzô sebesség-idô sor a következô ábra betétjébe látható Mozgás tetszôleges k értékekkel Tetszôleges ütközési együttható eseté, vagyis amikor k em az egyes vagy a kettes ciklsak megfelelô agyságú, haem valamilye köztes értékû, akkor hosszú távo midig kváziperiodiks mozgás 8 A pattogó labda gyais semmit sem vesz észre abból, ha attraktoríve alatt a lépcsôt jobbra-balra tologatjk, hisze továbbra is gyaakkora egymás tái magasságkülöbségekkel redelkezô vízszites felületeke fog pattogi A lépcsôvel más kapcsolata pedig ics Persze csak addig tologathatjk, ameddig az ív és a lépcsô geometriája azt megegedi Köye belátható, hogy periodiks attraktorokál a lépcsôfokok bal oldaláak egy része geometriai okokból holt terület lesz, viszot a femaradó rész összes x értéke már lehet x 32 FIZIKAI SZEMLE 26 / 4

6 N _ 2 5 3,2 3, 2, meg A 6 ábra N(k ) sima, mooto övekedését mtatja a k ütközési paraméter függvéyébe Vegyük észre, hogy az N hosszúságú egyes ciklsok ütközési együtthatóiál N egybe az átlagos grásszám, N (k N )N Ha N >>, azaz -hez közeli k N ütközési együtthatók eseté az értékek besûrûsödek, és () megfordítása szerit N 4 m H k, 5 tehát -hez ige közeli ütközési együtthatók eseté az átlagos grásszám ( k ) -el aráyosa ô,6,65,7,75,8,85,9,95 k 6 ábra Az attraktorra jellemzô átlagos N grásszám k függvéyébe, meriks szimlálás alapjá a agy ütközési együttható (k k ) tartomáyba (m,5, H 4) Jól látható, hogy k övekedésével N mooto ô Az N hosszúságú egyes ciklsokhoz tartozó k N, N értékpárokat diszkrét potokkal jelöltük A szaggatott voal a agy k értékekre érvéyes N (2( k)) közelítô összefüggést illsztrálja (amely meglepôe jó közelítések bizoyl az egész tartomáyba) Az N, N + kettes ciklsokba természetese N (k N, N+ )[N +(N + )]/2 N + /2, és ezek is a görbére esô potokat adak, de a jobb áttekithetôség kedvéért ezeket em ábrázoltk A betét az 5 ábra, k,75 attraktorához tartozó sebességidô sort mtatja Jól látszik, hogy a mozgás égy lépésekét majdem ismétlôdik, de a potos ismétlôdést az idôkét bekövetkezô kitüremkedések megakadályozzák A léyeg megértéséhez idljk ki a k ütközési együtthatójú mozgásból Ilyekor hosszú távo egy egyszerû periodiks mozgás jö létre: a labda mide lépcsôfoko patta egyet, méghozzá gyaazo a helye, gyaazo sebességgel Ha k értékét kissé megöveljük, akkor a kisebb eergiaveszteség miatt a labda agyobbakat fog grai, és az N pattogások közé émi N 2 is fog vegyüli Ha tovább öveljük k értékét, akkor az N 2 grások száma mooto módo ôi fog az N -hez képest egésze addig, amíg végül csak N 2 marad Ezzel éppe k 2 -höz érkezük el Va egy köztes állapot (de em k és k 2 számtai közepe!), ahol N ésn 2 darabszáma megegyezik, ráadásl felváltva követik egymást Az ehhez tartozó ütközési együttható éppe k, 2 -ek felel meg A fetebb említettek, illetve meriks vizsgálatok alapjá az alábbi megállapítások tehetôk A kettes ciklsos attraktorok közül csak a K N+ típsúak valóslak meg, azaz em lehet a kettes cikls hoszszabb íve kettô vagy több egységgel hosszabb, mit a rövidebbé Hármas vagy hosszabb ciklsokat a agy ütközési együtthatók k k tartomáyába egyáltalá em találk Mide k N < k < k N+ ütközési együttható eseté (ahol N ) olya kváziperiodiks mozgás jö létre, amelyek alapperiódsai N és N + grásokból állak k övelésével ô az N + hosszúságú grások száma N-éhez képest Az egész folyamat jól jellemezhetô az attraktoro tapasztalható N számmal, amely megadja, hogy két ütközés között átlagosa háy lépcsôt grott át a labda Ezt rövide átlagos grásszámak evezzük, és meriksa határozzk Többszörös pattogások egyetle lépcsô A kis ütközési együtthatók tartomáyába, k < k -re új mozgásformák jelehetek meg A kettes ciklsok keresése sorá em egedtük meg, hogy N zérs lehesse Kis ütközési együtthatókál eek viszot már lehet értelme, és azt jeleti, hogy egyetle lépcsôfoko kétszer is patta a labda Az az eset, amikor a kettes cikls úgy valósl meg, hogy a labda átgrik a következô lépcsôfokra, azo patta még egyet és a mozgás iét ismétlôdik (7 ábra), aál az ütközési együtthatóál tapasztalható, amelyet az N,K vagy N,K idexek jellemezek Ez a k, k, ütközési együttható alapesetükbe k,,45-ek bizoyl, jóval k alatti érték Mivel itt két lépés tá kerül a labda egy lépcsôfokkal odébb, az átlagos grásszám /2: N(k, ),5 7 feladat Vezessük le a k, -t meghatározó egyeletet tetszôleges paraméterek eseté! Eél kisebb ütközési együtthatókra az is megtörtéhet, hogy egyetle lépcsô háromszor vagy többször patta a labda, majd táa grik le a szomszédos lépcsôre, ahol midez ismétlôdik Ha j pattaás törtéik egy lépcsô (ahol j tetszôleges természetes szám), és a labda táa lép át a szomszédosra, akkor a mozgás j + ütközés tá ismétlôdô j +-es cikls 7 ábra Kétszeres pattogás egyetle lejtô A k,,45 ütközési együtthatóval törtéô mozgás pályája a traziesek lecsegése tá (egyéb paraméterek megegyezek a 2 ábrá bemtatottal) Tetszôleges kezdôfeltétellel idított pattogások egy olya periodiks attraktorhoz, kettes ciklshoz tartaak, ahol átgrás elôtt mide lépcsôfoko kettôt patta a labda A FIZIKA TANÍTÁSA 33

7 Az átlagos lépésszám itt /(j +) Az ehhez tartozó (övekvô j -vel egyre csökkeô értékû) ütközési együtthatók a fetiekhez hasolóa meghatározhatók (lásd a feladatot) A csúszásba törtéô átmeet Elegedôe kis ütközési együttható, azaz agy pattogási eergiaveszteség eseté elôfordlhat, hogy a labdát egyetle lépcsôfoko belüli végtele sok pattaás tá is még gyaazo a lépcsôfoko találjk Végtele sok ütközés tá a labda már em emelkedik a lépcsô síkja fölé, és mivel a vízszites iráyú sebessége álladó, ezért az ilye mozgást a valós idôbe csúszáskét értelmezzük Eek kapcsá észre kell veük, hogy a pattogásokra alapló (5) (7) leképezési egyeletek kiegészítésre szorlak a valódi idôbe törtéô csúszással (Ha az (5) (7) leképezési egyeletekkel haladk elôre, akkor a labda végtele sok pattaás tá megálli látszik A valós és az -be mért iterációs idô ilyekor teljese szétválik, az elôbbi az tóbbiba gyakorlatilag megáll) A részletek attól függek, hogy mit tdk a felület érdességérôl Ezt azoba em szükséges kokretizálk, hisze akár va súrlódás, akár ics, a csúszás újfajta mozgás, egy sajátos attraktor, amelybôl lépcsôket átívelô grások már sohasem alaklhatak ki Ha egyetle lépcsô végtele sok grás törtéhet, akkor az iterálás szimlálásával leállhatk, modvá, hogy a labda a csúszási attraktorra érkezett Ha egy adott lépcsôfokra érkezés tái elpattaás függôleges sebessége v i, akkor a teljes elmozdlás a lépcsô törtéô végtele sok pattogás tá Δ x 2 v i H k (2) 8 feladat Vezessük le a (2) összefüggést! Útmtatás: haszáljk a mértai sor összegképletét, érdemes dimeziósa számoli és az tolsó lépésbe áttéri dimeziótla meyiségekre Ameyibe a labda az x i helye érkezik meg az elôzô lépcsôfokról az általk megfigyelt lépcsôfokra, akkor aak feltétele, hogy csúszás alakljo ki, az hogy végtele sok pattaás tá is még a lépcsôfok egységyi koordiátájú végpotja elôtt legye, vagyis x i +Δx < A (2) összefüggést behelyettesítve és átredezve v i < H 2 ( k) x i (3) Az egyelôtleség teljesülése egy adott k értékre azo múlik, hogy hova esik be a labda az adott lépcsôfoko, azaz mekkora az x i idlási koordiáta, és mekkora ott az elpattaás v i idlási sebessége Szimláláskba akkor modjk, hogy egy mozgás 8 ábra A kritiks k c értékhez tartozó attraktor: a lépcsô legvégérôl v sebességgel elpattaó labda végtele pattogás tá éppehogy kijt a következô lépcsôfok végére, ahoa ismét v sebességgel patta tovább Itt k c /3 (H 4,m,5) (Mivel az egymást követô kis pályaívek midegyike k-szor rövidebb és k 2 -szer alacsoyabb (azaz egyre laposabb), mit a megelôzô, ezért a lépcsôfok végé már csak egy vízszites voalat látk) elérte a csúszási attraktort, ha valamelyik lépcsôfokra érkezve az ottai x i és v i között feáll a (3) egyelôtleség 9 Az a kritiks k c ütközési paraméterérték, amelyél már bármely kezdôfeltételbôl idló mozgás émi trazies tá átmegy csúszásba, a meriks tapasztalat szerit a következôkbôl határozható meg Mivel a vízszites sebességkompoes mide ütközésbe megmarad, az elôzô lépcsôfok végé egységyi (dimeziótla) vízszites sebességgel haladó labda ferde hajítási íve olya x i helye érje a következô lépcsôre, hogy azzal és a hozzá tartozó v i ütközés tái függôleges sebességgel végtele sok pattogás tá éppe a lépcsô szélére kerüljö (8 ábra), vagyis (3) egyelôségkét teljesüljö Így azt kapjk, hogy 2 m H k c k c (4) 9 feladat Vezessük le a (4) összefüggést! Útmtatás: Most is érdemes dimeziósa számoli, és az tolsó lépésbe áttéri a dimeziótla meyiségekre A (4) egyeletet átredezve, az explicit eredméy: k c H 2 m H 2 m (5) A H 4 választással k c /3,33 Eél kisebb ütközési együtthatókra az is igaz, hogy bármilye kezdôfeltétel eseté csúszó mozgás alakl ki, a hosszú távú pattogó megoldások teljese eltûek 9 Ha az adott lépcsôfokra érkezô labda pattaásakor a csúszási feltétel (3) egyelôtlesége teljesül, akkor szité teljesül a lépsôfoko végbemeô további (végtele számú) pattaások midegyiké is 34 FIZIKAI SZEMLE 26 / 4

8 N _,,8,6,4,2,8,6,4, x k c k 2 k,8,6,4,2 v 5 5 2,,2,3,4,5,6 k 9 ábra Az attraktorra jellemzô átlagos N grásszám k függvéyébe, meriks szimlálás alapjá a kis ütközési együttható (k k ) tartomáyba (m /2, H 4) A vízszites szaggatott voalak az N /2, /3, / értékekek felelek meg, a fekete potok pedig a k j ütközési együtthatóhoz tartozó j + periódsú attraktor adatait jelölik Függôleges szaggatott voallal a k helyét is bejelöltük A potozott görbe az N(k) függvéy k c köryéké érvéyes alakját adja meg A két egymás alatt lévô betét a kváziperiodiks attraktor idôsorát mtatja a k,35 (amely kissé balra esik a k 2,353 pottól) és a k,337 ütközési együtthatókál Elôbbi mellett a hozzá tartozó pattogási és a csúszási attraktorok vozási tartomáyai láthatók A betétekhez tartozó N,298 és N,94 értékeket yíllal jelöltük Mozgás kis k értékekkel Az egyes periódsú attraktorhoz tartozó k érték alatt lefelé haladva továbbra is igaz, hogy egyetle attraktor létezik, vagyis akármilye kezdeti feltétellel idlk, egy idô tá mide mozgás egyforma jellegûvé válik Az attraktor redszerit kváziperiodiks, és a meriksa meghatározott átlagos N grásszám csökke a k csökketésével (lásd 9 ábra) Létezik egy k érték, amely alatt ez a tlajdoság megszûik abba az értelembe, hogy a hossza tartó pattogás mellett megjeleik a csúszás lehetôsége: a pattogás kváziperiodiks attraktora és a hossza tartó csúszás együtt létezik Ez az érték alapesetükbe meriksa k,382 Abba az esetbe, ha em létezik folyamatosa lépcsôfokról-lépcsôfokra pattaó mozgás (mert midegyik kezdôfeltételél hosszú távo elôbb-tóbb csúszás törtéik), akkor N függvéy értéket lláak vesszük, hisze ez a függvéy azt adja meg, hogy háy lépcsôyi az elmozdlás két ütközés között, de ebbe az esetbe az elmozdlás még végtele sok ütközés tá sics egy lépcsôyi sem Együtt létezô attraktorok, tehát k < k eseté felmerül, hogy milye a vozási tartomáyk Ez úgy határozható meg, hogy a kezdôfeltételek x, v síkjá más szíel jelöljük azokat a potokat, amelyek az egyik vagy másik attraktorhoz tartaak A 9 ábra csíkos betétábrája a pattogó mozgás és a csúszás vozási tartomáyát mtatja alapesetük k,35 értékéél fehér, illetve fekete szíel ábrázolva A szürke háromszög a (3) egyelôtleségek megfelelô tartomáy, az ilye kezdôfeltétellel idló mozgások rögtö csúszási mozgások feladat Becsüljük meg k értékét azo az alapo, hogy k alatt em csak a kezdôfeltételek, haem a pattogási attraktor tipiks értékei mellett is feállhat a (3) egyelôtleség, vagyis a mozgás beléphet a szürke háromszögbe! Útmtatás: haszáljk ki, hogy a tapasztalat szerit a (8) kifejezés mide pattogó mozgásra jó közelítést ad az attraktor átlagos v sebességére, tehát az vehetô v i -ek, és hogy az x i helykoordiáta tipiks értéke /2-ek tekithetô A k -ál kisebb ütközési paraméterek eseté a llától külöbözô N értékeket a pattogó mozgások attraktorára határoztk meg Az átlagos grásszám változó, de összességébe elmodható, hogy tedeciájába csökkeô k csökkeésével Meglepô módo azoba még jóval k c elérése elôtt, rövid itervallmokba teljese eltûek a hosszú távo pattogó mozgások lehetôségei, vagyis a pattogó mozgás attraktora ilyekor em létezik Egy ilye itervallmo belül azoba, ha tovább csökketjük k-t, akkor az itervallm végéhez érve, hirtele újra megjeleik a pattogó mozgás, méghozzá N egy lokális csúcsával Ezek az N értékek egész számok reciprokai, s az álladóslt pattogás ezekbe a kivételes potokba periodiks: egy N -es lépés tá j alkalommal patta a labda gyaazo a lépcsô, vagyis N valósl meg j-szer egymás tá Az eek megfelelô ütközési paramétert k j -vel jelöljük Ilyekor az átlagos grásszám természetese N(k j ) j A legagyobb ilye itervallm k 2,3527 és k,3555 között létezik, és k c -felé haladva a többi hasoló egyre kisebb hosszal ismétlôdik A 9 ábrá ez a halmozódás is megfigyelhetô Fotos megjegyezi, hogy a 6 ábrá meriksa mért N grásszámál, mivel egy k értékhez egy attraktor (egyfajta hosszútávú mozgás) tartozott, tetszôleges kezdôfeltétel mellett mérhettük Esetükbe azoba már meg kell válogati a kezdôfeltételt, méghozzá úgy, hogy továbbra is pattogó mozgáso mérjük átlagot (azo belül persze már midegy melyike, mert csak egyféle va egy adott k mellett most is) A FIZIKA TANÍTÁSA 35

9 feladat Határozzk meg a k j ütközési együttható értékeket, felhaszálva azt, hogy a periodiks mozgás N idôsora ilyekor választható úgy, hogy N N N j,n j+, majd ez ismétlôdik Útmtatás: haszáljk az (5) (7) rekrziókat, amelyek N -ra külööse egyszerûek 2 feladat Határozzk meg az N(k ) függvéy k c köryéké érvéyes alakját a k j értékek k c körüli, azaz agy j-kre törtéô halmozódása alapjá! A k < k c tartomáyba csakis a csúszási attraktor létezik Allról érve k c -hez azoba hirtele jeleek meg a pattogó mozgások, méghozzá úgy, hogy az N(k ) görbe, illetve a közelítô görbe agyo meredeke idl A pattogó mozgás elôbkkaása k c -él tehát a fázisátalaklásokra emlékeztetô átbilleéssel jeleik meg, amit a diamikaredszerek yelvé bifrkációak evezük Összefoglalás Vizsgálatk célja, hogy megtdjk, a labda lépcsô lefelé pattogása, illetve aak legegyszerûbb modellje szeriti mozgás kaotiks-e Összetett viselkedésre érdekes módo a kis k, vagyis a agy disszipációs veszteség tartomáyába bkkatk Az (5) (7) diamika yilvá emlieáris, erre tal a k c -él megfigyelt bifrkáció is, meg az együtt létezô attraktorok megjeleése A vozási határok azoba szemmel láthatóa simák (lásd a 9 ábra betétje), a káoszra fraktálszerkezet lee jellemzô Maga az N(k) függvéy k < k -re éhol em sima és grásokat is mtat Megvizsgáltk azoba azt is, hogy a közeli kezdôfeltételekbôl idló és hossza pattogó mozgást végzô mozgáspárok koordiáta-külöbségei hogya változak idôbe A káoszra jellemzô gyors széttartás helyett mideütt közeledést találtk Így levohatjk azt a következtetést, hogy ebbe a modellbe a mozgás em kaotiks Ugyaakkor a jeleség összetettségére tal, hogy számos meyiségre (elemi módszerekkel) em találtk képlettel leírható összefüggéseket, így példál az N átlagos grásszámfüggvéyre, amelyet csak meriksa tdtk meghatározi Ez az összetettség tlajdoképpe elôrevetíti, hogy a mozgás már kis módosítás eseté is kaotikssá válhat Ha a lépcsôk éles sarka helyett lekerekített átmeeteket veék, a körívek jeleléte a problémát szóró biliárddá teé, és abba eléggé agy görbületi sgarak eseté már kiterjedt, roboszts káoszt várhatk Irodalom A Jaros, A Nssbamer, H Kze: Basiswisse Physik-compact Öbvhpt, Wie, Tél T, Griz M: Kaotiks Diamika Nemzeti Taköyvkiadó, Bdapest, 22 3 Bdó Á: Kísérleti fizika I Taköyvkiadó, Bdapest, Nagy K: Kvatmmechaika Taköyvkiadó, Bdapest, Néda Z, Libál A, Kovács K: Elemi Kvatmmechaika Kolozsvári Egyetemi Nyomda, FIZIKAI SZEMLE 26 / 4

Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás. 1. Bevezetés. 2. A modell

Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás. 1. Bevezetés. 2. A modell . Bevezetés Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás Egy osztrák gimnáziumi tankönyvben több, közismerten kaotikus mozgással járó jelenség bemutatása

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise Nagyméretű emlieáris közúti közlekedési hálózatok speciális aalízise Dr. Péter Tamás* *Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Közlekedéautomatikai Taszék (tel.: +36--46303; e-mail: peter.tamas@mail.bme.hu

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

CIVILEK A NYOMTATOTT SAJTÓBAN ÉRDEKÉRVÉNYESÍTÉS A MÉDIÁBAN 1

CIVILEK A NYOMTATOTT SAJTÓBAN ÉRDEKÉRVÉNYESÍTÉS A MÉDIÁBAN 1 csz12 elm filosz.qxd 2007. 06. 13. 14:53 Page 111 CIVILEK A NYOMTATOTT SAJTÓBAN ÉRDEKÉRVÉNYESÍTÉS A MÉDIÁBAN 1 Beszedics Otília Bevezetõ A 2003. augusztus 1. és 2007. február 28. közötti idõszakba a GPS

Részletesebben

3.3 Fogaskerékhajtások

3.3 Fogaskerékhajtások PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

Területi koncentráció és bolyongás Lengyel Imre publikációs tevékenységében

Területi koncentráció és bolyongás Lengyel Imre publikációs tevékenységében Lukovics Miklós (szerk.) 204: Taulmáyok Legyel Imre professzor 60. születésapja tiszteletére. SZTE Gazdaságtudomáyi Kar, Szeged, 5-24. o. Területi kocetráció és bolyogás Legyel Imre publikációs tevékeységébe

Részletesebben

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése 3.1.1. Rugalmas elektroszórás 45 3.1.1. Rugalmas elektroszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése Aray, ikkel, szilícium és grafit mitákról rugalmasa visszaszórt elektrook eergiaeloszlását mértem

Részletesebben

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2.1. Az iformációs társadalom és gazdaság fogalmáak külöbözô értelmezései 2.1.1. Az iformációs társadalom Bármely iformációs

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Az Európai Unió Tanácsa Brüsszel, 2016. március 30. (OR. en)

Az Európai Unió Tanácsa Brüsszel, 2016. március 30. (OR. en) Az Európai Uió Taácsa Brüsszel, 2016. március 30. (OR. e) 7383/16 ADD 1 ENER 97 FEDŐLAP Küldi: az Európai Bizottság Az átvétel dátuma: 2016. március 22. Címzett: Biz. dok. sz.: Tárgy: a Taács Főtitkársága

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK 6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK A techikai fejlettég mai zívoalá az azikro motor a legelterjedtebb villamo gép, amely a villamo eergiából mechaikai eergiát (forgó mozgát) állít elő. Térhódítáát a háromfáziú váltakozó

Részletesebben

Minőségirányítási rendszerek 8. előadás 2013.05.03.

Minőségirányítási rendszerek 8. előadás 2013.05.03. Miőségiráyítási redszerek 8. előadás 2013.05.03. Miőségtartó szabályozás Elleőrző kártyák miősítéses jellemzőkre Két esete: A termékre voatkozó adat: - valamely jellemző alapjá megfelelő em megfelelő:

Részletesebben

Felépítés Típus 955010/ Konfigurálás setup programmal. Mérési adatok kiolvasása

Felépítés Típus 955010/ Konfigurálás setup programmal. Mérési adatok kiolvasása JUMO Meß- ud Regelgeräte GmbH A-1232 Wie, Pfarrgasse 48 Magyarországi Kereskedelmi Képviselet Telefo: 00-43-1 / 61-061-0 H-1147 Budapest Öv u. 143. Fax: 00-43-1 / 61-061-59 Telefo/fax: 00-36-1 / 467-0835,

Részletesebben

Jelen tanulmány tartalma nem feltétlenül tükrözi az Európai Unió hivatalos álláspontját.

Jelen tanulmány tartalma nem feltétlenül tükrözi az Európai Unió hivatalos álláspontját. Jele taulmáy tartalma em feltétleül tükrözi az Európai Uió hivatalos álláspotját. TARTALOMJEGYZÉK 1 GEOTERMIKUS HŐHASZ OSÍTÁS LEHETŐSÉGEI... 4 1.1 Direkt hévíz haszosítási javaslat... 4 1.2 Hőszivattyús

Részletesebben

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

ANALÓG-DIGITÁLIS ÉS DIGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK

ANALÓG-DIGITÁLIS ÉS DIGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK F3 Bev. az elektroikába E, Kísérleti Fizika Taszék ANALÓG-IGITÁLIS ÉS IGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK Az A és A átalakítók feladata az aalóg és digitális áramkörök közötti kapcsolat megvalósítása. A folytoos

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

A települési hősziget-intenzitás Kárpátalja alföldi részén 1

A települési hősziget-intenzitás Kárpátalja alföldi részén 1 A települési hősziget-itezitás Kárpátalja alföldi részé Molár József, Kakas Móika, Marguca Viola A települési hőszigetek kifejlődéséek vizsgálata az urbaizáció folyamatáak előrehaladásával párhuzamosa

Részletesebben

DIGITÁLIS DOMBORZATMODELLEK ELŐÁLLÍTÁSI TECHNOLÓGIÁI ÉS MINŐSÉGI PARAMÉTEREI

DIGITÁLIS DOMBORZATMODELLEK ELŐÁLLÍTÁSI TECHNOLÓGIÁI ÉS MINŐSÉGI PARAMÉTEREI Koós Tamás Zríyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem koos.tamas@zme.hu DIGITÁLIS DOMBORZATMODELLEK ELŐÁLLÍTÁSI TECHNOLÓGIÁI ÉS MINŐSÉGI PARAMÉTEREI Absztrakt A tériformatikai szoftverek egyre szélesebb köre képes

Részletesebben

AZ ÉPÜLETGÉPÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI

AZ ÉPÜLETGÉPÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI AZ ÉÜLETGÉÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI Szivattyúzás - rövide örös Szilárd Cetrifugál szivattyú Nyomó oldal Járókerék Járókerék lapát Járókerék él Járókerék csavar a szállított közeg

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

Walltherm rendszer. Magyar termék. 5 év rendszergaranciával. Felületfûtés-hûtés Épületszerkezet-temperálás padlófûtés

Walltherm rendszer. Magyar termék. 5 év rendszergaranciával. Felületfûtés-hûtés Épületszerkezet-temperálás padlófûtés Walltherm redszer 5 év redszergaraciával Felületfûtés-hûtés Épületszerkezet-temperálás padlófûtés Magyar termék WALLTHERM felületfûtés-hûtési redszer Egy fûtési- (hûtési) redszer kialakítása elôtt számtala

Részletesebben

Sorbanállási modellek

Sorbanállási modellek VIII. előadás Sorbaállási modellek Sorbaállás: A sorbaállás, a várakozás általáos probléma közlekedés, vásárlás, takolás, étterem, javításra várás, stb. Eze feladatok elmélete és gyakorlata a matematikai

Részletesebben

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben

Hálózati transzformátorok méretezése

Hálózati transzformátorok méretezése KÁLMÁN Telefogyár ISTVÁN Hálózati traszformátorok méretezése ETO 62.34.2.00.2 dolgozat célja olya számítási eljárás megadása, amelyek segítségével gyorsa és a gyakorlat igéyeit kielégítő potossággal lehet

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT

ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT KÍVÁNCSISÁGVEZÉRELT MATEMATIKA TANÍTÁS STÁTUS KIADÓ CSÍKSZEREDA, 010 c PRIMAS projekt c Adrás Szilárd Descrierea CIP a Bibliotecii

Részletesebben

SIMA FELÜLETŰ MOTO- ROKKAL 0,37 1,1 kw

SIMA FELÜLETŰ MOTO- ROKKAL 0,37 1,1 kw Itelliget Drivesystems, Worldwide Services Services KÖNNYŰFÉM HAJTÓMŰVES MOTOROK HAJTÓMO- ÉS TOR FREKVENCIAVÁLTÓK SIMA FELÜLETŰ MOTO- ROKKAL 0,37 1,1 kw HU KOMPLETT HAJTÁSRENDSZEREK EGY KÉZBŐL KOMPLETT

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

23. ISMERKEDÉS A MŰVELETI ERŐSÍTŐKKEL

23. ISMERKEDÉS A MŰVELETI ERŐSÍTŐKKEL 23. ISMEKEDÉS A MŰVELETI EŐSÍTŐKKEL Céltűzés: A műveleti erősítők legfontosabb tlajdonságainak megismerése. I. Elméleti áttentés A műveleti erősítők (továbbiakban: ME) nagy feszültségerősítésű tranzisztorokból

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Csapágyak üzem közbeni vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2

Csapágyak üzem közbeni vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2 ÜZEMFENNTARTÁSI TEVÉKENYSÉGEK 3.9 Csapágyak üzem közbei vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2 Gergely Mihály okl. gépészmérök, Acceleratio Bt. Budapest Tóbis Zsolt doktoradusz, Miskolci Egyetem Gépelemek

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha

Részletesebben

Kontingencia táblák. Khi-négyzet teszt. A nullhipotézis felállítása. Kapcsolatvizsgálat kategorikus változók között.

Kontingencia táblák. Khi-négyzet teszt. A nullhipotézis felállítása. Kapcsolatvizsgálat kategorikus változók között. Kotigecia táblák. Khi-égyzet tet 1. Függetleségvizsgálat. Illekedésvizsgálat 3. Homogeitásvizsgálat Példa 1 em ő 8 75 13 Ismétlés: változók, mérési skálák típusai 48 49 97 76 14 jeles (5) jó (4) közepes

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

Felhasználói kézikönyv

Felhasználói kézikönyv dyadock W10 computers.toshiba-europe.com Tartalom Bevezetés...13 Jellemzők...13 A doboz tartalma...14 Számítógépes követelméyek...14 Gyors ismertető...15 Összeszerelés és csatlakoztatás...20 A dyadock

Részletesebben

Tisztelt Olvasó! Minden Kedves oovasónknak Szeretetteljes Karácsonyi Ünnepeket és Boldog Új Esztendõt Kívánunk!

Tisztelt Olvasó! Minden Kedves oovasónknak Szeretetteljes Karácsonyi Ünnepeket és Boldog Új Esztendõt Kívánunk! Tisztelt Olvasó! Semmilye szél em jó aak, kiek ics célul kiszemelt kikötõje. Motaige Carpe diem! (Haszáld ki a jelet!...) Horatius Még el sem kezdõdött a XXI. század, s máris elsõ évéek végé, 2001 decemberébe

Részletesebben

csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 1 CIVIL SZEMLE

csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 1 CIVIL SZEMLE csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 1 CIVIL SZEMLE WWW. CIVILSZEMLE.HU IV. ÉVFOLYAM 1. SZÁM csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 2 Szerkesztõbizottság/Editorial Board Bíró Edre, Belia Aa, Harsáyi

Részletesebben

FRAKTÁLOK ÉS A KÁOSZ

FRAKTÁLOK ÉS A KÁOSZ FRAKTÁLOK ÉS A KÁOSZ Meszéna Tamás Ciszterci Rend Nagy Lajos Gimnáziuma és Kollégiuma, Pécs, meszena.tamas@gmail.com, az ELTE Fizika Tanítása doktori program hallgatója ÖSSZEFOGLALÁS A fraktálok olyan

Részletesebben

a legjobb kezekben K&H Csoport

a legjobb kezekben K&H Csoport a legjobb kezekbe A K&H Biztosító 1992 óta működik Magyarországo, és közel félmillió ügyfelet szolgál ki. A K&H Biztosító a magyar piac sajátosságait figyelembe véve alakította ki szolgáltatási palettáját,

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat: JÁRATTERVEZÉS Kapcsolatok szert: Sugaras, gaárat: Járattípusok Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determsztkus, a beszállítás és kszállítás dőpot em kötött

Részletesebben

IFFK 2013 Budapest, 2013. augusztus 28-30. Stróbl András*, Péter Tamás**

IFFK 2013 Budapest, 2013. augusztus 28-30. Stróbl András*, Péter Tamás** IFFK 03 Budapest 03. augusztus 8-30. Tartoáyi szitű stabilitásizsgálat alkalazásáak lehetőségei Győr árosába Stróbl Adrás* Péter Taás** Budapest Uiersity of Techology ad Ecooics Hugary (e-ail*:strobl.ad@gail.co

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorgaizmusok számáak meghatározása telepszámlálásos módszerrel A telepszámlálásos módszerek esetébe a teyésztést szilárd táptalajo végezzük, így - szembe

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET FZKA BSc,. évfolya /. félév, Optika tárgy TERFERECA - ÓRA JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 8. AJÁLOTT SZAKRODALOM: ALAPFOGALMAK Klei-Furtak, Optics Richter, Bevezetés a oder optikába Bor-Wolf, Priciples of

Részletesebben

(arcsin x) (arccos x) ( x

(arcsin x) (arccos x) ( x ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

TETÔPONT. e ég e t t v é d e l

TETÔPONT. e ég e t t v é d e l TETÔPONT m a g a z i A C r e a t o H u g a r y K f t. i d ô s z a ko s h í r m a g a z i j a 2 012. m á r c i u s A védelem, amely tűzbe születik A kerámia egób tetőcserépbe égetett védelemről az egób

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

Vi-vaHA collagen Ajándékozza meg testét és bőrét a megújulás üdeség és a vitalitás érzésével, köszönhetően a

Vi-vaHA collagen Ajándékozza meg testét és bőrét a megújulás üdeség és a vitalitás érzésével, köszönhetően a Vi-va HA collage Ajádékozza meg testét és bőrét a megújulás üdeség és a vitalitás érzésével, köszöhetőe a kollagéek hialurosavak C-vitamiak www.ficlub.eu Vi-va HA collage A 2013-as év FORRADALMI ÚJDONSÁGA

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

AZ ÜZEMELTETÉSI KÖLTSÉGEK MINIMALIZÁLÁSA, A TERMELÉKNYSÉG MAXIMALIZÁLÁSA

AZ ÜZEMELTETÉSI KÖLTSÉGEK MINIMALIZÁLÁSA, A TERMELÉKNYSÉG MAXIMALIZÁLÁSA AZ ÜZEMELTETÉSI KÖLTSÉGEK MINIMALIZÁLÁSA, A TERMELÉKNYSÉG MAXIMALIZÁLÁSA A Chevro iovációs örökségéhez tartozik a szállítmáyozásba haszálatos keőayagok fejlesztése. Európába a Texaco márkájú termékek széles

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

TétékásNyúz. Égető kérdés. Irán egy magyar szemével. Végleg kiszáradt a Poopó-tó. 2016. március 9. web: http://nyuz.elte.hu. LII. félévfolyam 4.

TétékásNyúz. Égető kérdés. Irán egy magyar szemével. Végleg kiszáradt a Poopó-tó. 2016. március 9. web: http://nyuz.elte.hu. LII. félévfolyam 4. TétékásNyúz LII. félévfolyam 4. szám 2016. március 9. web: http://yuz.elte.hu Égető kérdés Miért kevesebb idé a szoctámom? 4. oldal Irá egy magyar szemével Végleg kiszáradt a Poopó-tó Kaladok az ősi Perzsia

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

Felhasználói kézikönyv

Felhasználói kézikönyv dyadock computers.toshiba-europe.com Tartalom A program ismertetése...11 Jellemzők...11 Előlap...12 Hátlap...13 Felső lap...14 Számítógépes követelméyek...14 Összeszerelés...14 Telepítés...15 Az illesztőprogram

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002.

4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002. M Ű S Z A K I B I Z O N S Á G I F Ő F E L Ü G Y E L E 4. sz. Füzet A hibafa számszerű kiértékelése 00. Sem a Műszaki Biztonsági Főfelügyelet, sem annak nevében, képviseletében vagy részéről eljáró személy

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

Független komponens analízis

Független komponens analízis Elektroiku verzió. Az eredeti cikk az ElektroNET (ISSN: 9-705X) 00 évf. 3 zám, 0 oldalá jelet meg. Függetle kompoe aalízi A függetle kompoe aalízi (Idepedet Compoet Aalyi, ICA) egy vizoylag új jelfeldolgozái

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Mintavételezés: Kvantálás:

Mintavételezés: Kvantálás: Mintavételezés: Időbeli diszkretizálást jelent. Mintavételezési törvény: Ha a jel nem tartalmaz B-nél magasabb frekvenciájú komponenseket, akkor a jel egyértelműen visszaállítható a legalább 2B frekvenciával

Részletesebben