EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z
|
|
- Miklós Balázs
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a x + b y c 5. Az egyeletredszer megoldása a Z halmazo (3. rész) a x + b y c A hivatkozások köyítése céljából a címbe szereplő egyeletredszert jelöljük (E)-vel. Ebbe a részbe az (E) egyeletredszer megoldását a determiások módszerével mutatjuk be. A következőkbe a kiküszöbölés módszerek a lépéseit követve, így járuk el: Az (E) egyeletredszer első egyeletét b -pal, a második egyeletet (- b )-pal szorozva és az így adódott egyeleteket összeadva kapjuk, hogy: ( a b a b ) x ( b c b c ) (i) Hasolóa a -vel illetve (- Vezessük be a következő jelöléseket: a b a b, x a )-el szorozva kapjuk, hogy ( a b a b ) y ( c a c a ) (ii). b c b c, y c a c a (iii) Ezekkel a jelölésekkel az (i) és (ii) egyeletek a következők: x x és y y (i-ii). Máris kihagsúlyozzuk, hogy a számolások sorá em zártuk ki a, x, y {} lehetőséget sem (tehát ezek előfordulását is letárgyaljuk), továbbá a b, - b, a, - számokkal való beszorzás miatt a 3. részbe leírtak alapjá (MatLap 4/9) idege gyököket is kaphatuk, tehát a továbbiakba ezt is szem előtt kell tartauk. Az (i-ii) egyeletek a z b alakú egyeletek amelyek a megoldásáról részletese az. részbe írtuk (MatLap /9) ahol láttuk, hogy a megoldhatóság az (a, ) d b feltételtől függ, ezért a szóbaforgó egyeletredszer megoldását a következő esetekre botjuk le: I. eset:, és eek kereté belül: ) Ha (, ) illetve ) Ha (, ) d II. eset:, és eek kereté belül: ) Ha x y illetve ) Ha x y A továbbiakba tehát az (E) egyeletredszer megoldását égy esetbe kell vizsgáluk. A köyebb áttekithetőség és a jobb érthetőség végett midezt példák segítségével szemléltetjük. Ezeket és a példák sorszámát is az előző 4. részből vesszük át (MatLap 5/9). I.) eset: és (, ) 9. tétel. A (, ) feltétel mellett az (E) egyeletredszerek potosa egy megoldása va (vagyis kompatibilis és határozott) és a megoldásokat az x x és y y képletekkel kapjuk meg, a, x, y értékei az (iii) összefüggéssel számíthatók ki, ahol a a iverze. Bizoyítás: Legye ( x, y) az (E) egyeletredszer egy megoldása (ha va). Az előbbiekbe leírt kiküszöbölési módszerre épülő számolások alapjá ezek az értékek teljesítik az (i-ii) egyeletredszert is, vagyis x x és y y alapjá, mivel (, ) (ami azt jeleti, hogy ivertálható a egyelet midegyikéek potosa egy-egy megoldás va, és ezek: x x. Az. részbe bemutatott. tétel Z -be), ezért ez utóbbi két és y y.
2 Mivel az (E) egyeletredszerből az (i-ii) egyeletredszerhez úgy jutottuk el, hogy egyeleteket beszoroztuk, ezért a 3. részbe leírtak alapjá idege gyököket hozhattuk be, tehát lehetséges, hogy az előző képlettel kiszámított ( x, y) megoldás éppe idege gyök. A továbbiakba bebizoyítjuk, hogy ezek az értékek teljesítik az eredeti (E) egyeletredszert, ami azt jeleti, hogy az így kapott megoldás em idege gyök, haem téyleges megoldás. Valóba, redre felírhatók a következő számolások: a x + b y a x + b y a ( c b c b ) + b ( a c c a) ( a b a b ) c + ( a b c a b c ) ( a b a b ) c + c c. Teljese hasolóa bizoyítjuk, hogy az előbbi ( x, y ) megoldás teljesíti az (E) egyeletredszer második egyeletét is. Tehát az x x és y y megoldások az (E) egyeletredszerek egyetle megoldása, vagyis a (, ) feltétellel, az (E) egyeletredszer ú.. Cramer egyeletredszer, kompatibilis és határozott. Megjegyzések: ) Vezessük be a következő jelöléseket: A egyeletredszer mátrixegyelet alakja A X B. a a b, X b x y, B c. Így az (E) c Mivel det(a), ezért az A mátrix ivertálható (legye az iverz mártixa A ), akkor x y X A B b b ( a b a b ) b b B ( a b a b ) c x a a a a c y ahoa a mátrixok egyelősége alapjá x x és y y adódik, vagyis éppe a már kapott eredméy. A (, ) feltételre itt is szükség volt, mivel éppe az utóbbi mátrixba a is bejö a számolásokba (hisze a Z -be számoluk, ahol csak + és műveletek vaak). Ez a bizoyítás, az előbbi tétel egy második bizoyítását képezi. ) Az éppe bemutatott megoldási módszer, a és (, ) feltételek mellett, m egyeletből álló és m ismeretlet tartalmazó lieáris egyeletredszer eseté is ugyaígy alkalmazható a Z -be, és a redszer ezúttal is kompatibilis és határozott, vagyis Cramer egyeletredszer (v.ö. [6] és [7] ). 3) A és (, ) feltételek mellett, mit az (E) egyeletredszert, mit az m egyeletből álló m ismeretlees lieáris egyeletredszert a taköyvekbe is leírt,a mátrixok átalakításá (elemi traszfotmációko) alapuló Gauss-féle módszerrel is megoldhatjuk (v.ö. [6]).. példa: Oldjuk meg Z7 -be a x + 3 y 4 és 4 x + y 5 egyeletredszert. 5. példa: Oldjuk meg Z8 -ba a 3 x + y 4 és x + 3 y egyeletredszert. 9. példa: Oldjuk meg Z6 -ba a 3 x + y 4 és x + 3 y egyeletredszert. A felsorolt három példa léyegébe csak abba külöbözik egymástól, hogy az első esetbe mide együttható ivertálható, a második esetbe csak bizoyos együtthatók ivertálhatók, a harmadik esetbe pedig egyik együttható sem ivertálható az illető ( Z,+,.) be.
3 Az előző részbe láthattuk, hogy mid a három példa eseté potosa egyetle (x, y) megoldás létezett. Erre a magyarázat az, hogy midhárom esetbe és (, ), ezért a 9. tétel értelmébe Cramer-típusú, kompatibilis és határozott egyeletredszerről va szó, amelyek megoldásait az (i-ii) összefüggések származtatják. Az. példa eseté 6 és (6, 7) ezért létezik és 6, így x x 6 és y y 6 6. Az 5. példa eseté 5 és (5, 8) ezért 5 és az x x illetve y y összefüggések alapjá x és y 7 adódik. A 9. példa eseté 5 és (5,6) ezért 5 és x és y 5 adódik. I.) eset: és (, ) d Ebe az esetbe a (, ) d miatt em ivertálható a Z -be, tehát az előbbiekbe bemutatott módszer egyike sem alkalmazható. Ellebe, az. részbe bizoyított. tétel alapjá, az x x és fogalmazhatjuk meg: y y (i-ii) egyeletek megoldásáról a következőket a) Ameyibe a d (, ) x vagy d (, ) y valamelyike (vagy midkettő) hamis, akkor az (i-ii) egyeletek valamelyikéek ics megoldása Z -be, így az (E) egyeletredszer sem oldható meg a Z -be... példa: Oldjuk meg Z5 -be a 3 x + y 4 és x + 3 y egyeletredszert. 6.. példa: Oldjuk meg Z -be a 3 x + y 4 és x + 3 y egyeletredszert... példa: Oldjuk meg Z -ba a 9 x + y 3 és 3 x + 4 y egyeletredszert. A felsorolt három példa léyegébe csak abba külöbözik egymástól, hogy az első esetbe mide együttható ivertálható, a második esetbe csak bizoyos együtthatók ivertálhatók, a harmadik esetbe pedig egyik együttható sem ivertálható az illető ( Z,+,.) be. Az előző részbe láttuk, hogy a egyik egyeletredszerek sem volt megoldása. Ezt azoal beláthatjuk, hisze számolásokkal köye meggyőződhetük arról, hogy mid a három esetbe és (, ) d is feáll, de ugyaakkor a d x és d y em midegyike igaz. Eek elleőrzését az érdeklődő Olvasó köye elvégezheti. b) Ameyibe a d (, ) x és d (, ) y igaz állítások, úgy mid a két egyelet megoldható Z -be, és az egyeletek midegyikéek éppe d számú megoldása va, de ez em jeleti azt, hogy az (E) egyeletredszerek d d számú megoldása va, ugyais a kiküszöbölés sorá, ahogya az (i-ii) egyeletekhez jutottuk, a beszorzások sorá idege gyököket hozhattuk be amikek száma az modulótól függ. Gyakorlatilag így járuk el: megoldjuk a x x és y y és egyeleteket úgy, ahogya az. rész. tételébe olvashatjuk, vagyis a megoldások a következők: p q x x +, y y + ahol d (, ) és p, q {,,,, d }, továbbá x és y az d d egyeletekek egy-egy sajátos megoldása.
4 Ezeket a megoldásokat visszahelyettesítjük az (E) egyeletredszerbe és így eldöthetjük, melyek az idege gyökök, és melyek a téyleges megoldások... példa: Oldjuk meg Z5 -be a 3 x + y 4 és x + 3 y egyeletredszert. 6.. példa: Oldjuk meg Z -be a 3 x + y 4 és x + 3 y egyeletredszert... példa: Oldjuk meg Z6 -ba a x + 3 y 3 és 4 x + y 4 egyeletredszert A felsorolt három példa léyegébe csak abba külöbözik egymástól, hogy az első esetbe mide együttható ivertálható, a második esetbe csak bizoyos együtthatók ivertálhatók, a harmadik esetbe pedig egyik együttható sem ivertálható az illető ( Z,+,.) be. Az előző részbe láttuk, hogy a három egyeletredszer megoldásaiak a száma redre 5 (a Z5 -be), 5 (a Z -be) illetve (a Z6 -ba). A x x és y y egyeletpárok eze három példa eseté redre a következők: (5 x és 5 y a Z5 -be), ( 5 x és 5 y 5 a Z -be), ( 4 x és 4 y a Z6 -ba). Belátható, hogy mid a három esetbe teljesülek a megoldás létezéséhez szükséges d (, ) x és d (, ) y feltételek. Mideesetbe egy-egy a x b illetve c y d alakú egyeletet kell megoldauk amiről az. részbe olvashatuk (MatLap /9). A megoldás kellemetleebb részét ellebe az képezi, hogy midhárom feladat eseté külö-külö kapjuk meg az x illetve y megoldásokat (em pedig egy x és y közötti összefüggés yomá, mit például a helyettesítési módszer eseté) és elleőrizi kell, hogy mely (x, y) számpár elégíti ki az egyeletredszert, hisze a módszerél haszált beszorzások sorá idege gyökök is bekerülhetek. (Az Olvasó erről köye meggyőződhet, ha megoldja ez előző három egyeletpárt). Általába az elleőrzési folyamat hosszadalmas szokott lei, ezért ha egy megoldadó feladat éppe ebbe a típusba tartozik, akkor gyakorlati szempotból érdemes előbb egy másik, em a determiásoko alapuló megoldással próbálkozi (lást a 4. részbe, MatLap 5/9), mert a megoldások számát előre em midig határozhatjuk meg. II.) eset: és x y Ebbe az esetbe a x x és y y (i-ii) egyeletek x x és y y alakot öltik, és ameyibe a x y feltétel em teljesül (márpedig x y ), úgy egy a elletmodáshoz jutuk, tehát ebbe az esetbe sem az (i-ii) egyeletredszerek és ebből kifolyólag az (E) egyeletredszerek sics megoldása a Z -be. 3. példa: Oldjuk meg Z5 -be a 3 x + y 4 és x + 3 y egyeletredszert. 7. példa: Oldjuk meg Z8 -ba a x + 3 y és 4 x + y 6 egyeletredszert.. példa: Oldjuk meg Z6 -ba a x + 4 y és 4 x + y egyeletredszert. A felsorolt három példa léyegébe csak abba külöbözik egymástól, hogy az első esetbe mide együttható ivertálható, a második esetbe csak bizoyos együtthatók ivertálhatók, a harmadik esetbe pedig egyik együttható sem ivertálható az illető ( Z,+,.) be. Az előző részbe láttuk, hogy a egyik egyeletredszerek sem volt megoldása. Ezt azoal beláthatjuk, hisze számolásokkal köye meggyőződhetük arról, hogy midhárom
5 esetbe és ugyaakkor x Olvasóra bízzuk. y. Az egyszerű számolások elvégzését az érdeklődő II.) eset: x y Ebbe az esetbe tehát feállak a következő összefüggések: a b a b (), b c b c (), c a c a (3) Ilye feltételek mellett a következő általáos érvéyű eredméyt fogalmazzuk meg:. tétel. Ameyibe a megoldadó (E) egyeletredszer eseté x y, továbbá az a, a, b, b, c, c számok közül legalább egyik ivertálható a Z -be, akkor létezik vagy olya p Z * szám amelyre a p a, b p b, c p c vagy olya q Z * szám amelyre a q a, b q b, c q c. Bizoyítás: Két esetet külöböztetük meg aszerit, hogy a legalább egy ivertálható elem az a, a, b, b együtthatók, vagy a c, c szabad tagok közül való. Az első esetbe, az általáosság csorbítása élkül feltételezhető, hogy pl. a ivertálható, és legye szorzás szeriti szimmetrikusa) ezért az ()-es összefüggés alapjá b összefüggés alapjá pedig c pedig a a c ( a a ) ( a a ), ezért p a a a b az iverze (a ( a a ) és a (3)-as, továbbá a szimmetrikus elem értelmezése alapjá választás éppe megfelel. Továbbá, ameyibe a c, c valamelyike ivertálható feltételezhető, hogy ez éppe a c szám, ekkor ()-es összefüggés alapjá b b értelmezéséből c a ( c c ), a (3)-as összefüggés alapjá pedig a ( c c ) c ( c c ) adódik, tehát q c c éppe megfelel., és az iverz elem Megjegyzések:.) Érdemes felfigyeli arra, hogy a tétel bármelyik ivertálható együttható eseté megadja a szóbaforgó p illetve q szorzó meghatározásáak a módját is! Természetese ilye szorzó több is adódhat, de például egy a a egyelőség miatt egybe is eshetek..) Köye belátható, hogy akár egyetle ivertálható együttható vagy szabad tag létezése eseté létezik olya p Z * vagy q Z * amelyre feáll a következő egyelőségek valamelyike: a x + b y c p ( a x + b y c ) vagy a x + b y c q ( a x + b y c ). 3.) Vegyük észre, hogy a bizoyított eredméy teljese hasoló ahhoz az esethez, amikor az egyeletredszert az R-e tekiteék, és feállak a x y feltételek. Ekkor mit ismeretes az egyeletredszert alkotó két egyelet megfelelő együtthatói aráyosak, vagyis a a b b c c és a közös aráysor értékét p-vel jelölve, valóba a p a, b p b, c p c ami éppe a q a, b q b, c q c alakra is hozható.
6 . tétel. Ameyibe a megoldadó egyeletredszer eseté x y, továbbá az a, a, b, b, c, c számok közül legalább egyik ivertálható a Z -be, akkor az egyeletredszer összes megoldását vagy az a x + b y c vagy az a x + b y c egyelet megoldásai adják aszerit hogy létezik vagy olya p Z * vagy olya q Z *, amelyekre feáll az a p a, b p b, c p c vagy az a q a, b q b, c q c összefüggések valamelyike. Bizoyítás: Feltételezzük, hogy például az a p a, b p b, c p c összefüggések állak fe. Ekkor a megoldadó egyeletredszer két egyelete p ( a x + b y c) illetve a x + b y c. A (p, ) esetbe gyökvesztés élkül egyszerűsíthetük p -pal, így a két egyeletek azoos számú megoldása va. Ellekező esetbe az a x + b y c egyeletek va kevesebb megoldása vagyis mideképpe elegedő csak ezt megoldai. Teljese hasolóa járuk el az a q a, b q b, c q c esetbe is. Megjegyzés: Ameyibe prímszám, úgy a ( Z, +, ) struktúra kommutatív test, így a kivételével mide a Z ivertálható, sajátos esetbe az a, a, b, b, c, c számok is, ezért ebbe az esetbe érvéyes az előző két tétel eredméye! 4. példa: Oldjuk meg Z5 -be a 3 x + y 4 és x + 3 y egyeletredszert. 8. példa: Oldjuk meg Z8 -ba a x + 3 y és 4 x + y 6 egyeletredszert.. példa: Oldjuk meg Z6 -ba a x + 4 y 4 és 4 x + y egyeletredszert. A felsorolt három példa léyegébe abba külöbözik egymástól, hogy az első esetbe mide együttható ivertálható, a második esetbe csak bizoyos együtthatók ivertálhatók, a harmadik esetbe pedig egyik együttható sem ivertálható az illető ( Z,+,.) be. Ezúttal azoba ez az ivertálhatósági tulajdoság sokkal fotosabb mit eddig! A 4. példa eseté mivel midegyik együttható ivertálható, ezért a. tétel alapjá mivel a a b b c c 4 és a a b b c c 4 így többféleképpe is azt kaptuk, hogy p q 4, vagyis x + 3 y 4 ( 3 x + y 4 ) de ugyaakkor az is igaz, hogy 3 x + y 4 4 ( x + 3 y ), tehát a. tétel értelmébe elegedő megoldai az egyeletredszer egyik egyeletét (ez bármelyik lehet), ahoa megkapjuk a 4. részbe is kapott 5 megoldást (MatLap 5/9). A 8. példa eseté a az egységeleme kívül a Z8 -ba csak a 3 ivertálható, így a. tétel alapjá b b 3 q, vagyis 4 x + y 6 6 ( x + 3 y ), így a. tétel értelmébe csupá a x + 3 y egyeletet kell megoldai. (v.ö. MatLap 3/9) A. példa eseté, már az előző részbe (MatLap 5/9) kimutattuk, hogy bármelyik egyelet a másikak éppe az 5 -pal való beszorzottja, és mivel (5, 6) ezért gyökvesztés
7 élkül egyszerűsítve 5 -pal, a két egyelet egybeesik. Tehát elegedő az eredeti egyeletek közül bármelyiket megoldai. Ebbe az esetbe a meglepő téy csupá az lehet, hogy sem az együtthatók sem a szabad tagok közül egyik sem ivertálható, és mégis létezett a p, sőt a q szorzó is amiről a. tételbe írtuk. Ellebe ez em mide esetbe következik be! 3. példa: Oldjuk meg Z36 -ba a x + y és 3 x + 8 y 3 egyeletredszert. Megoldás: Érdemes felfigyeli arra, hogy ebbe az esetbe a x y feltételek úgy teljesülek, hogy a b a b b c b c, így a. tételhez hasoló eredméy bizoyítására em sok az esély. Ha megpróbálák a p szorzó keresését, akkor eek egyidőbe teljesíteie kellee a 3 p, a 8 p 6 ( 3 p - ) és a 3 p feltételeket. Köye belátható, hogy ezek teljesüléséhez szükséges és elegedő, hogy 3 p legye. Ellebe a (3, 36) 3 hamis állítás alapjá eek az egyeletek ics megoldása a Z36 -ba (v.ö. MatLap /9). Hasolóa látható be, hogy a q létezése a p 3 egyelet megoldásához vezet, amely szité megoldhatatla a Z36 -ba. Ellebe vegyük észre, hogy az egyeletredszer egyeletei így is írhatók: ( x + 6 y ) és 3( x + 6 y ). Ez arra hívja fel a figyelmet, hogy ezúttal létezek olya p, q Z 36 (em ivertálható) számok amelyekre egyidőbe feállak a p a q a, p b q b, p c q c összefüggések (p-q). Továbbá ha a két módosított egyelet megfelelő oldalait összeadjuk, akkor az 5( x + 6 y ) egyelethez jutuk, és az (5, 36) alapjá gyökvesztés élkül egyszerűsítve 5 -pal, így x + 6 y x + 3 y ahol y Z 36 mide értéket felvehet, és x + 3 y. Sajálatos módo sem bizoyítai, sem cáfoli em sikerült azt, hogy a em ivertálható együtthatók és em ivertálható szabad tagok eseté szükségszerűe feáll-e vagy em a (p-q) összefüggés (ami egyébkét a p illetve q esetbe a. tétel feltételeit adja). Szakirodalom: [] C. Nita, T. Spircu: Probleme de structuri algebrice, Editura Techica, Bucuresti 974., oldalak. [] Floreti Smaradache: Iteger algorithms to solve liear eguatios as systems, Ed. Scietifique, Casablaca, 984. (Ugyaez megjelet a Gamma XXIX-XXX, X. évfolyam, 987 Októbet - számába is). [3] Adrás Szilárd és szerzőtársai: Megoldások a XII. osztályos taköyv feladataihoz, Státus Kiadó, Csíkszereda, 5, 88. ; oldalak. [4] Farkas Miklós: Algebra, taköyv a XII. osztályok számára M, Erdélyi Taköyvtaács. [5] Io D. Io és szerzőtársai: Matematika: Taköyv a XII. osztály számára M, Ábel Kiadó (a Sigma kiadóál megjelet taköyv fordítása). [6] Kacsó Ferec: Algebra, Taköyv a XI. osztály számára, Klozsvár-6, old. [7] Thomas Koshy: Elemetary Number Theory with Applicatios, Secod editio, Academic Press 7, old.
EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe
RészletesebbenMAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA
1 MAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA Tuzso Zoltá Akár a régebbi, akár az alteratív XI. osztályos algebra taköyveket lapozva, akár példatárakba vagy matematikai verseyeke gyakra találkozuk egyél magasabb
RészletesebbenA figurális számokról (IV.)
A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe
RészletesebbenEgyenletek és egyenletrendszerek megoldása a Z n halmazon Az a x = b egyenlet megoldása a Z n halmazon
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! Egyeletek és egyeletreszerek megolása a Z halmazo Az a x = b egyelet megolása a Z halmazo Az utóbbi iőbe mit a XII. osztályos alteratív taköyvekbe, mit
RészletesebbenFeladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)
Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
Részletesebben1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója
Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
Részletesebben1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:
1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
RészletesebbenA Cauchy függvényegyenlet és néhány rokon probléma
A Cauchy függvéyegyelet és éháy roko probléma Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A függvéyegyeletek egyik alapegyelete a Cauchy függvéyegyelet, amely a következő: Melyek azok az f : R R folytoos függvéyek,
RészletesebbenEgy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
RészletesebbenINJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK
Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy
Részletesebben8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.
8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenVariációk egy egyenlőtlenség kapcsán
Variációk egy egyelőtleség kapcsá Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely Mit a régebbi, mit az újabb alteratív taköyvekbe valamit számos feladatgyűjteméybe, a matematikai idukció taítása fejezetbe megtalálható
RészletesebbenAlgebrai egyenlőtlenségek versenyeken Dr. Kiss Géza, Budapest
Magas szitű matematikai tehetséggodozás Algebrai egyelőtleségek verseyeke Dr Kiss Géza, Budapest Néháy helyettesítési módszer és a Cauchy-Schwarz-egyelőtleség speciális esetéek alkalmazása bizoyítási feladatokba
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
RészletesebbenBevezetés az algebrába komplex számok
Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok
Részletesebben3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló
. Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV
Részletesebben194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma
94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
RészletesebbenRudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása
Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai
RészletesebbenLineáris kódok. u esetén u oszlopvektor, u T ( n, k ) május 31. Hibajavító kódok 2. 1
Lieáris kódok Defiíció. Legye SF q. Ekkor S az F q test feletti vektortér. K lieáris kód, ha K az S k-dimeziós altere. [,k] q vagy [,k,d] q. Jelölések: F u eseté u oszlopvektor, u T (, k ) q sorvektor.
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
Részletesebben4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!
4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe
RészletesebbenPrímszámok a Fibonacci sorozatban
www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók
Részletesebben5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?
5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra
RészletesebbenI. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN
I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük
RészletesebbenÁltalános taggal megadott sorozatok összegzési képletei
Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás
RészletesebbenEseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok
Eseme yalgebra e s kombiatorika feladatok, megolda sok Szűk elméleti áttekitő Kombiatorika quick-guide: - db. elemből db. sorredjeire vagyuk kívácsiak: permutáció - db. elemből m < db. háyféleképp rakható
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
RészletesebbenANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT
ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT KÍVÁNCSISÁGVEZÉRELT MATEMATIKA TANÍTÁS STÁTUS KIADÓ CSÍKSZEREDA, 010 c PRIMAS projekt c Adrás Szilárd Descrierea CIP a Bibliotecii
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szit 1611 ÉRETTSÉGI VIZSGA 017. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fotos tudivalók Formai előírások: 1. Kérjük,
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő
SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS
SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY
Részletesebben1. Sajátérték és sajátvektor
1. Sajátérték és sajátvektor Leképezés diagoális mátrixa. Kérdés Mely bázisba lesz egy traszformáció mátrixa diagoális? A Hom(V) és b 1,...,b ilye bázis. Ha [A] b,b főátlójába λ 1,...,λ áll, akkor A(b
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II.forduló -10. osztály
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február 11
RészletesebbenDr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?
Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége
RészletesebbenKvantum párhuzamosság Deutsch algoritmus Deutsch-Jozsa algoritmus
LOGO Kvatum párhuzamosság Deutsch algoritmus Deutsch-Jozsa algoritmus Gyögyösi László BME Villamosméröki és Iormatikai Kar Bevezető Kvatum párhuzamosság Bármilye biáris üggvéyre, ahol { } { } : 0, 0,,
Részletesebben2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása
59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
Számelméleti alapfogalma A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelme léteze q és r természetes számo, amelyere igaz: a b q r, r b Megevezés: a osztadó b osztó q
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
Részletesebben16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.:
6. Az AVL-fa Adelszo-Velszkij és Ladisz, 96 Defiíció: t kiegyesúlyozott AVL-tulajdoságú t mide x csúcsára: bal x jobb x. Pl.: A majdem teljes biáris fa AVLtulajdoságú. Az AVL-fára, mit speciális alakú
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szit 09 ÉRETTSÉGI VIZSGA 0 május 8 MATEMATIA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fotos tudivalók Formai előírások: A dolgozatot
Részletesebbenösszeadjuk 0-t kapunk. Képletben:
814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha
RészletesebbenKAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn
A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója
RészletesebbenGyors fejszámolási tippek, trükkök és ötletek (II. rész)
Gyors fejszámolási tippek, trükkök és ötletek (II. rész) Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Az előző részben bemutatott trükkök után, most következzenek sajátos alakú kétjegyű számok szorzása, és hatványozása:
Részletesebbenegyenlőtlenségnek kell teljesülnie.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenVÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea.
VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK 1.ea. 1. Bevezetés - (Mire jók a véletleített algoritmusok, alap techikák) 1.1. Gyorsredezés Vegyük egy ismert példát, a redezések témaköréből, méghozzá a gyorsredezés algoritmusát.
RészletesebbenHanka László. Fejezetek a matematikából
Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet
RészletesebbenA Venn-Euler- diagram és a logikai szita
A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak
Részletesebben2.5. A lineáris kongruencia egyenlet.
2.5. A lieáris kogruecia egyelet. Defiíció: Kogruecia Az a és b egész számokat kogruesek modjuk az modulus szerit, ha az szeriti osztás utái maradékaik megegyezek, vagy ami ugyaaz: ha. Jelölésbe: a bmod.
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
Részletesebben= λ valós megoldása van.
Másodredű álladó együtthatós lieáris differeciálegyelet. Általáos alakja: y + a y + by= q Ha q = 0 Ha q 0 akkor homogé lieárisak evezzük. akkor ihomogé lieárisak evezzük. A jobb oldalo lévő q függvéyt
RészletesebbenAlgebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok
Algebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok 1. a) Z(G), mert az egységelem yilvá felcserélhet mide G-beli elemmel. Továbbá Z(G) zárt a szorzásra, mert ha a, b Z(G), akkor tetsz leges g G-re (ab)g
RészletesebbenGauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei
RészletesebbenHiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban.-86. ábra: A példa-feladat kódolási változatai
közzétéve a szerző egedélyével) Öfüggő szekuder-változó csoport keresése: egy bevezető példa Ez a módszer az állapothalmazo értelmezett partíció-párok elméleté alapul. E helye em lehet céluk az elmélet
RészletesebbenLineáris kódok. sorvektor. W q az n dimenziós s altere. 3. tétel. t tel. Legyen K [n,k,d] kód k d (k 1). Ekkor d(k)=w(k)
Defiíci ció. Legye S=F q. Ekkor S az F q test feletti vektortér. r. K lieáris kód, k ha K az S k-dimeziós s altere. [,k] q vagy [,k,d] q. Jelölések: F u eseté u oszlopvektor, u T (, k ) q sorvektor. W
RészletesebbenMinta JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ
JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által haszált szíűtől eltérő szíű tollal kell javítai, és a taári gyakorlatak megfelelőe
RészletesebbenIngatlanfinanszírozás és befektetés
Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:
RészletesebbenII. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK
Itegrálási módszerek 5 II INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK A parciális itegrálás módszere Ha az f, g : D (D em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek deriválhatók a D halmazo, akkor tudjuk, hogy a szorzatuk
RészletesebbenA primitív függvény és a határozatlan integrál 7
A primitív függvéy és a határozatla itegrál 7 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Korábbi taulmáyaitok sorá láthattátok, hogy sok műveletek, függvéyek va fordított művelete, iverz függvéye
RészletesebbenAnalízis feladatgy jtemény II.
Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................
RészletesebbenA G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
RészletesebbenFourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Fourier sorok FO Trigoometrikus Fourier sorok FO Trigoometrikus redszer Defiíció: trigoometrikus redszer Az {, cos x, si x, cos x, si x, cos 3x, si 3x, } függvéyekből álló (végtele sok függvéyt tartalmazó)
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
Részletesebbenmegoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!
megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)
RészletesebbenSorozatok A.: Sorozatok általában
200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,
RészletesebbenFüggvények határértéke 69. III. Függvények határértéke
Függvéyek határértéke 69 A határérték értelmezése III Függvéyek határértéke Ebbe a fejezetbe taulmáyozi fogjuk a függvéy határértékét egy potba A feladat így fogalmazható meg: Ha adott az f : D valós változójú
RészletesebbenLajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár
Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
RészletesebbenKidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből
Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.
RészletesebbenLineáris algebra. (közgazdászoknak)
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (3.) 2018/2019. tavaszi félév Lineáris egyenletrendszerek 3.1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss-eliminációval
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 3. előadás: Mátrixok LU-felbontása Lócsi Levente ELTE IK 2013. szeptember 23. Tartalomjegyzék 1 Alsó háromszögmátrixok és Gauss-elimináció 2 Háromszögmátrixokról 3 LU-felbontás Gauss-eliminációval
RészletesebbenKényszereknek alávetett rendszerek
Kéyszerekek alávetett redszerek A koordátákak és sebességekek előírt egyeleteket kell kelégítee a mozgás olyamá. (Ezeket a eltételeket, egyeleteket s ayag kölcsöhatások bztosítják, de ezek a kölcsöhatások
RészletesebbenJárattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:
JÁRATTERVEZÉS Kapcsolatok szert: Sugaras, gaárat: Járattípusok Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determsztkus, a beszállítás és kszállítás dőpot em kötött
RészletesebbenKombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.
Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
RészletesebbenKomplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat:
6 fejezet Komplex számo A omplex szám algebrai alaja D 61 Komplex száma evezü mide olya a+bi alaú ifejezést amelybe a és b valós szám i pedig az összes valós számtól ülöböz épzetes egysége evezett szimbólum
Részletesebben